Mecânica

(1)

Mecânica

Preparado por: Tendayi CHIHAKA

Universidade Virtual Africana

Université Virtuelle Africaine

Universidade Virtual Africana

Nota

Este documento é publicado sob as condições de uma Criação Conjunta http://en.wikipedia.org/wiki/Crative_Commons

Atribuição:

http:creativecommons.org/licenses/by/2.5/License (abbreviated “cc-by”, Version2.5.

(2)

Conteúdos

I. Mecânica...3

II. Pré-requisitos do curso ou conhecimento...3

III. Tempo ...3

IV. Material...3

V. Racionalidade do Módulo ...3

VI. Conteúdo...4

VII. Objectivos gerais ...6

VIII. Objectivos específicos da aprendizagem ...6

IX. Actividades de Ensino e Aprendizagem...6

X. Actividades de Aprendizagem ...10

XI. Glossário (Conceitos - chave)...109

XII. Leituras Compulsórias...114

XIII. Lista Compilada deRecursos(Opcionais) Multimédia ...114

XIV Lista Compilada de Links úteis ...115

XV. Síntese do Módulo...116

XVI. Avaliação Final...117

XVII Referências ...123

XVIII. Autor Principal do Módulo ...123

(3)

I. Mecânica

Por Sr. Tendayi Chihaka.

II. Pré-requisitos do curso ou conhecimento

Álgebra Linear 1 e Cálculo 3 são pré-requisitos.

III. Tempo

O tempo total de estudo para este módulo é de 120 horas.

IV. Material

Os estudantes deveriam ter acesso às leituras básicas mais tarde. Também precisarão de um computador para terem acesso completo às leituras básicas e links da internet nos materiais.

V. Racionalidade do Módulo

Este tópico de Mecânica tem sido tratado como o capítulo da Matemática que procura explicar matematicamente o ambiente físico. É o capítulo da Matemática que reduz a

separação entre a ciência natural e a Matemática.

O módulo infundiu como sua base a Matemática moderna e a Matemática tradicional, com os conceitos básicos de Cinemática – que é o estudo dos movimentos sem referência para as forças que causam o movimento das partículas.

Cinética – que relaciona a acção de forças sobre as partículas e corpos com os seus movimentos resultantes.

Dinâmica – o estudo das causas gerais de movimento. Estáticas – a mecânica do equilíbrio de corpos estacionários.

Foram sugeridos exemplos práticos e as suas implicações para prática de sala de aula quando e onde sejam apropriados no módulo de forma a ajudar o professor a proporcionar o conhecimento da Mecânica aos estudantes.

(4)

VI. Conteúdo

6.1 Visão Geral

Este módulo é um curso do primeiro grau em Mecânica. O módulo começa com um tratamento de vectores e operações com vectores e procura explicar todos os tópicos em Mecânica nesta base. Espera-se que os estudantes matriculando-se para este curso se familiarizarem com as noções básicas de força e o movimento resultante da sua aplicação. Quatro áreas da Mecânica: Estática, Dinâmica, Cinética e Cinemática de partículas e corpos rígidos são tratadas neste módulo.

O estudante é fortemente aconselhado a consultar fontes de Física sobre Mecânica juntamente com este módulo para obter exemplos práticos, os quais são matematicamente modelados no módulo.

6.2. Esboço: Programa

Unidade1: Força, Energia e Movimento

Nível 1. Prioridade A. Álgebra Linear 1 e Cálculo 3 são pré-requisitos.

Vectores, Velocidade e Aceleração: Produto escalar, produto vectorial, produtos triplos. Derivadas de vectores, Integrais de vectores. Velocidade relativa e aceleração. A aceleração tangencial e normal no movimento Circular. Gradiente, Divergência e Integrais de linha e Independência de percurso.

A Lei de movimento de Newton - Trabalho, Energia e Impulso: Trabalho, Potência a, Energia cinética. Campos de forças conservadoras, Potencial, Conservação de energia. Impulso, Torque e Momento angular, Conservação do Momento,

Movimento num Campo de Força uniforme. Queda livre e projécteis. Potencial e Energia Potencial em um campo de força uniforme. Movimento de projécteis em um meio com resistência.

Movimento com atrito. Por causa do volume de conteúdo nesta unidade, achou-se prudente dividir esta unidade em duas partes - 1a e 1b.

Unidade 2: Oscilações

Nível 1. Prioridade A. e Mecânica 1 são pré-requisitos.

O Oscilador Harmónico Simples e o Pêndulo Simples: Energia de um oscilador harmónico simples. Movimento super-amortecido, criticamente amortecido, sub - amortecido extremamente – amortecido e sob cessação de movimento. Pêndulo simples. Oscilador harmónico Bi e Tridimensional.

(5)

Unidade 3: Dinâmica

Nível 2. Prioridade B. Mecânica 2 é pré-requisito.

Forças centrais e Movimento planetário:

_ Equações de movimento para uma partícula num campo central; _ Energia potencial de uma partícula em um campo central;

_ Conservação de energia. As leis de Kepler de movimento planetário. Sistemas de Coordenada móveis:

_ Sistemas de coordenadas giratórios, Operações com derivadas, Velocidade, e Aceleração num sistema móvel. Coriolis e aceleração centrípeta (e força). Movimento de uma partícula relativamente à terra.

Sistemas de Partículas:

_ Conservação do Momento, Momento angular, Torque externo. Energia cinética, Trabalho, Energia potencial. Princípio de trabalho virtual.

O princípio de D'ALembert. Foguetes e Colisões:

_ Problemas envolvendo massa variável. Foguetes, Colisões (directa e oblíqua).

Unidade 4: Corpos rígidos e Energia

Nível 3. Prioridade C. Mecânica 3 é pré-requisito.

Movimento plano de corpos rígidos: _ O Teorema de Euler;

_O Teorema de Chasle; _ Momento de inércia; _ Rádio de gravitação;

_ Teorema dos eixos paralelos; _ Teorema dos eixos perpendiculares; _ Pares;

_ Energia cinética e Momento angular sobre um eixo fixo; _ Princípio do momento angular;

_ Princípio de conservação de energia;

_ Princípio do trabalho virtual e o princípio de D'Alembert. Princípio de energia potencial mínima.

(6)

6.3 Organizador gráfico

VII. Objectivos gerais

No final do módulo, o formando deveria ser capaz de:

o Relacionar noções matemáticas com as quantidades físicas como força e movimento;

o Modelar alguns fenómenos físicos matematicamente como exigido para um ensino efectivo da Mecânica na escola secundária;

o Relacionar operações tradicionais de Mecânica com o cálculo vectorial e vice-versa.

VIII. Objectivos específicos da aprendizagem

O estudante deve ser capaz de:

1. Estar equipado com operações vectoriais;

2. Estar infundido com as ferramentas básicas de análise em quantidades vectoriais; 3. Infundir as ferramentas básicas de análise em vários tipos de movimento, por exemplo, o Movimento Harmónico Simples.

IX. Actividades de Ensino e Aprendizagem

Teste de Ideias Algébra Básica

Razão: Conferir a familiaridade do estudante com alguns conceitos assumidos no módulo

Perguntas:

1. Velocidade é a:

a. taxa de mudança de deslocamento; b. taxa de mudança de velocidade; c. taxa de mudança de distância; d. taxa de mudança de tempo.

2. O que é que do seguinte é um grupo de vectores? a. velocidade, aceleração e tempo;

b. deslocamento, velocidade e aceleração; c. direcção, deslocamento e velocidade; d. força, velocidade e tempo.

3. A resultante das velocidades 8ms-1_{e 6ms}-1_{dispostas constituindo um ângulo recto é:} a. 12 ms;

b. 10 ms; c. 7 ms;

(7)

d. 9 ms.

4. O momento de um corpo é:

a. A massa de um corpo cronometra sua velocidade; b. O peso de um corpo cronometra sua velocidade; c. A massa de um corpo cronometra sua velocidade; d. O peso de um corpo cronometra sua velocidade.

5. A primeira lei de Newton sobre o movimento diz-nos que:

a. Se um corpo está em repouso ele permanece em repouso ou se está em movimento move-se com uma velocidade até que pare;

b. Se um corpo está em repouso ele permanece em repouso ou permanece em movimento até que actue sobre ele uma força resultante;

c. Se um corpo está em repouso ele permanece em repouso ou se está em movimento ele move-se com uma velocidade constante até que actue sobre ele uma força resultante; d. Se um corpo está em repouso ele permanece em repouso.

6. Um carro de massa 1.0x103_{kg deslocando-se a 72 km/h}-1_{numa estrada horizontal é} obrigado a parar numa distância de 40 m pela acção dos freios e das forças de fricção. Ache a força média de travagem.

a. ₅_.₀_₁₀2N_;

b. ₅_.₀_₁₀3N _;

c. ₅_.₀_₁₀4N_;

d. ₅_.₀_₁₀1N

7. Uma quantidade escalar tem: a. Apenas direcção;

b. Apenas intensidade; c. Direcção e intensidade; d. Nenhuma das coisa acima.

8. Um trem que está se movendo com aceleração constante é observado a levar 20s e 30s para viajar 400 metros sucessivos. Que distância vai ter que percorrer até que se imobilize se aceleração permanecer constante?

a. 163.3 m; b. 963.3 m; c. 800 m; d. 663.3 m.

9. A seguinte equação não é de movimento numa linha recta: a. vuat; b. 2 2 1 at ut x  ; c. v2 _u2 _2ax ; d. _v__u__at2_. 10. Potência:

(8)

b. È a habilidade para correr;

c. É a habilidade para ter velocidade; d. É a habilidade para trabalhar.

11. Uma massa de 5 kg move-se num avião horizontal e liso com uma velocidade de 8 m/s, estando preso a um ponto fixo no avião por um fio de comprimento 4 m. A tensão no fio é: a. 16 N; b. 40 N; c. 80 N; d. 20 N.

12. Impulso está definido como:

a. O produto de força e a distância; b. O produto de força e a massa; c. O produto de força e o tempo; d. O produto de força e a velocidade.

13. A velocidade angular da partícula é:

a. Rádio de um círculo em cima da velocidade de uma partícula; b. Rádio de um círculo em cima da velocidade de uma partícula; c. Velocidade de uma partícula em cima do rádio de um círculo; d. Velocidade de uma partícula em cima do rádio de um círculo. 14. A força que deve ser mostrada pelas grades para o centro do círculo é: a. O momento sobre aquele eixo das forças internas que agem no corpo; b. O momento sobre aquele eixo das forças externas que agem no corpo; c. O momento sobre aquele eixo da velocidade do corpo;

d. O momento sobre aquele eixo da aceleração do corpo.

15. Uma partícula de massa de 3 kg, em repouso numa mesa lisa e fixa a um ponto fixo na mesa por uma corda de 1.2 m, está fazendo 300 rev/min. Ache A velocidade angular da partícula é: a. 10 rev/s; b. 10 rad/s; c. 5 rev/s; d. 5 rad/s.

16. Uma máquina de massa de 80 Mg está se mudando para um arco de um círculo de rádio de 240 m, a uma velocidade de 48 km/h. A força que deve ser mostrada pelas grades para o centro do círculo é a. ₀_.₅₉_₁₀5N; b. ₀_.₅₉_₁₀4N ; c. ₀_.₅₉_₁₀3N; d. ₀_.₅₉_₁₀2N .

17. Diz-se que uma partícula move-se com movimento harmónico simples se:

a. A partícula move-se de forma que a sua aceleração ao longo do seu caminho seja dirigida para um ponto fixo naquele caminho, e varia inversamente como sua distância

(9)

naquele ponto fixo;

b. A partícula move-se de forma que sua aceleração ao longo do seu caminho seja dirigida para um ponto fixo naquele caminho, e varia directamente como sua distância naquele ponto fixo;

c. A partícula move-se de forma que sua velocidade ao longo do seu caminho seja dirigida para um ponto fixo naquele caminho, e varia directamente como sua distância naquele ponto fixo;

d. A partícula move-se de forma que sua aceleração ao longo do seu caminho seja dirigida para um ponto fixo naquele caminho, e varia directamente como sua velocidade naquele ponto fixo.

18. Um pêndulo simples:

a. Consiste numa partícula pesada ou trenó presas a um ponto fixo por um fio pesado e balançando em um avião vertical;

b. Consiste numa partícula pesada ou trenó presas a um ponto fixo por um fio leve e balançando em todas as direcções;

c. Consiste numa partícula pesada ou trenó presas a um ponto fixo por um fio pesado e balançando em todas as direcções;

d. Consiste numa partícula pesada ou trenó presas a um ponto fixo por um fio leve e balançando em um avião vertical.

19. Qual dos seguintes não representa tipicamente um vector? (a) -5, (b) (1, 2, 3), (c) A, (d)            3 8 4

20. Um Sub espaço de um espaço de vector: a. É também um espaço de vector; b. Não é um espaço de vector; c. Não é um espaço linear;

d. É a metade de um espaço de vector.

Chave de resposta

1. a. ((b),(c),(d) têm quantidades escalares velocidade, distância e tempo respectivamente. Então desde que velocidade seja um vector a está correcto)

2. b. (para (a) velocidade e tempo não são vectores, para (c) direcção não é um vector, para (d) tempo não é um vector)

3. b. (usando o teorema de Pitágoras tome 8 ms-1 como o lado oposto e 6 ms-1 como o lado adjacente, então o lado resultante será 10 ms-1)

4. c. (impulso é o produto da massa e da velocidade desde que a partícula esteja se movendo numa direcção particular. Assim (a), (b) e (d) não são correctos)

5. c. ((c) está correcto porque o corpo está movendo-se para uma direcção particular e só pára quando uma força atrito, por exemplo, é aplicada sobre ele).

6. b. (A velocidade inicial é de 72 km/h ou 20 m/s e a velocidade final 0 m/s e assim aceleração é 5 m/s-1, dado que força é a aceleração vezes a massa dando a resposta em (b)) 7. b. (uma quantidade de vector é tal que tem valor e direcção, assim (b) está correcto) 8. a.

(10)

estão correctas)

10. d. (potência é força vezes velocidade ou a taxa de realização de trabalho, assim (d) está correcto.

11. c. (aqui olha-se para o movimento em um círculo, assim aceleração para o ponto fixo é (velocidade)2 rácio 64/4= 16 ms-2 então a tensão é massa vezes aceleração = 5×16 = 80 N) 12. c.

13. d. 14. b.

15 b. (o movimento está num círculo assim multiplicam-se as rotações feitas por segundo por 2 desde que cada rotação seja feita para além de 2)

16. a. (48 km/h = 40/3 ms-1 e a força exercida é mv2/r = 80000 x (40/3)2/240) 17. b.

18. d.

19. a. ((c) normalmente representa um vector ou matriz, (b) e (d) representam vectores) 20. a.

Comentário pedagógico para Estudantes

A pré - avaliação foi projectada de modo a introduzir para os estudantes as noções básicas de cinética e cinemática. Ela abarca conceitos como: identificar as equações de movimento em uma linha recta, familiaridade de noções básicas com processos algébricos básicos. Uma contagem de 50% ou menos deveria ser um motivo de preocupação e exigirá que os estudantes revisitem o nível "O" de Álgebra e seus processos. É essencial que o estudante leia amplamente sobre os conteúdos que não lhe são familiares, como é importante ter estes conhecimentos prévios antes de embarcar nas unidades seguintes.

X. Actividades de Aprendizagem

Unidade 1a: Vectores, Cálculo de Vector, Velocidade e Aceleração

Objectivos específicos de aprendizagem

Ao terminar estas actividades o estudante deve ser capaz de:  Definir vectores e executar operações em vectores;  Diferenciar e Integrar funções vectoriais;

 Definir a velocidade e a aceleração em termos de vectores e descrever as relações entre velocidade e aceleração;

 Dar situações apropriadas, definir e calcular as velocidades e acelerações relativas de corpos em movimento;

 Descrever o movimento circular e calcular a aceleração tangencial e normal de partículas que se movem em movimento circular;

 Definir e aplicar os conceitos de gradiente e divergência;

 Definir e avaliar integrais de linha e independências de caminhos.

Resumo da actividade de aprendizagem

(11)

movimento em dois e três dimensões nesta actividade.

Leitura obrigatória

Fitzpatrick, R. (2001) Classical Mechanics: Na Introductory Course Austin, Texax UTP

Ligações pertinentes e Recursos

Vectores

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_(spatial) Função vector-valued http://en.wikipedia.org/wiki/Vector-valued_function Aceleração http://en.wikipedia.org/wiki/Acceleration Velocidade http://en.wikipedia.org/wiki/Velocity Divergência http://en.wikipedia.org/wiki/DIVERGENCE Curl http://en.wikipedia.org/wiki/CURL Gradiente http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient Gradiente http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/gradi.html Palavras - chave (para descrição/definição veja o glossário)  Escalar  Vector  Velocidade  Aceleração  Função

Preenchendo a lacuna

Um sargento do exército dá a ordem seguinte a um grupo de soldados recrutas numa parada: "Caminhem durante cinco horas."

A outro grupo ordena: "Corram por cinco quilómetros" A um terço ele grita: “Dobrem; dez quilómetros por hora! "

Como se sabe muito bem, aos recrutas de exército não é permitido questionar sobre as ordens dadas por um superior.

Descreva a situação no lugar da parada imediatamente depois destas ordens e as possíveis perguntas que cada recruta poderia estar fazendo para ele próprio.

O que aconteceria se o sargento tivesse dado instruções semelhantes a um grupo de pilotos com os dados e a terminologia apropriada?

Descrição detalhada das actividades

(12)

explorar o cálculo vectorial. Usam-se então os resultados do cálculo vectorial para definir velocidade, aceleração, força na Actividade 2 e finalmente discuti-se o movimento de partículas e corpos em várias situações na Actividade 3. O estudante terá oportunidade para examinar várias situações de problemas e soluções como também oportunidades para resolver problemas por conta própria.

1a.1 Vectores e Escalares

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_(spatial)

1a.1.1 Exemplos de Quantidades de Escalar

Vectores são quantidades que não só requerem um valor, mas uma direcção para os especificar completamente. Ilustre-se com alguns exemplos de

quantidades que não são vectores. O número de litros de gasolina no tanque de gasolina de um carro é um exemplo de uma quantidade que pode ser especificada por um único número--- não faz sentido nenhum falar-se sobre uma "direcção" associada à quantia de gasolina num tanque. Tais quantidades que podem ser especificadas dando um único número (em unidades apropriadas) são chamadas escalares. Outros exemplos de quantidades escalares incluem a temperatura, a massa, ou a população de um país; estes são

x1,x2,x3



v  para 3-d

Definição: Se v é um vector não-nulo no espaço 2-d ou 3-d, então o vector,

v v v v

u  1

tem o comprimento 1 na direcção de v.

Definição: Os vectores unitários standards (1, 0) e (0, 1) em 2-d e em 3-d são:



1,0,0

 

, 0,1,0

e em 3-d são (0,0,1)

i = (1,0) e j = (0,1) e

i = (1,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1)

Suponha-se que se fez um trabalho sobre adição de vectores e multiplicação escalar e as únicas operações que se vão discutir aqui sejam o produto escalar e produto vectorial. Porém, o texto básico tem secções que tratam destas operações como está indicado abaixo.

Fitzpatrick, R. (2001). Mecânica Clássica: Um Curso Introdutório. Austin, Texas. UTP pp 34-38

N.B O estudante terá reconhecido que a adição de vectores descrita é a componente de adição com que ele está familiarizado.

Valor do vector P. 35

Teorema de Pitágoras (3.6) P. 35

N.B Nota que valor de um vector também é chamado de módulo do vector. Equação (3.6) e (3.7)

Multiplicação escalar P. 35

Componente de multiplicação escalar 3.8 P. 36 Diagonais de um paralelogramo P. 36 - 38

N.B. Equações 3.9 - 3.13

Dicas pedagógicas

v u v u   cos

Definição: O trabalho feito, W por uma força que age ao longo da linha de movimento de um objecto é determinado por

W = Força × distância = F PQ

Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas UTP

pp 40

N.B O produto escalar também é chamado de produto de "PONTO". A figura geométrica apresentada na Figura 15 explica muito bem esta operação de vector.

1a.1.5 O produto vectorial (cruzado).

Definição: O produto vectorial de vectores u u₁iu₂ju₃k e vv₁iv₂jv₃k é



u v u v

 

i u v u v

 

j u v u₂v₁



k

v

u  ₂ ₃  ₃ ₂  ₁ ₃  ₃ ₁  ₁ ₂  Um modo mais conveniente é escrever isto como: 3 2 1 3 2 1 v v v u u u k j i v u     

que é o determinante de uma matriz 3x3. O estudante deve lembrar-se de recorrer ao seu módulo em álgebra linear para se refrescar em propriedades de determinantes.

FAÇA ISTO

Verifique que as duas definições realmente são o mesmo. N.B. O produto vectorial não é definido para vectores em 2-d Teorema: Propriedades algébricas do produto vectorial Sejam u e v vectores e c um escalar:

1. uvvu

2. u



vw

 

 uv

 

 uw



3. c



uv



cuvucv

(15)

5. u u 0

6. u



vw

 

 uv



w

Teorema: Propriedades geométricas do produto vectorial. Deixe u e v ser vectores não nulos e seja  o ângulo entre eles. 1. uv é ortogonal a u e v.

2. uv  u v sin

3. u v0 se e só se a pessoa é um múltiplo de escalar do outro. 4. u v área de paralelogramo de lados u e v

N.B O produto vectorial pode ser usado torque - o momento M de uma força sobre um ponto.

Exemplo: Se o ponto de aplicação da força for Q, o momento de F sobre P é M = PQ × F

A intensidade do momento F mede a tendência do vector PQ girar no sentido horário emtorno de um eixo dirigido ao longo do vector M

FAÇA ISTO

Exercício: Prove que uv  u v sin onde u e v são vectores,  o ângulo entre eles e x o produto vectorial.

(Resposta): Sugestão. O estudante deve lembrar-se que sin 1cos e que



(16)

FAÇA ISTO

Prove o teorema

1a.1.7 Funções válidas de Vectores

Definição: Uma função valor vector é uma função onde o domínio é um subconjunto dos números reais e o contra - domínio é um vetor. Em outras palavras as funções valores vectores associam um vedor a um número.

Mais especificamente, Em 2-d j t y i t x t r( ) ( )  ( ) ou r(t)



x(t),y(t)



ou Em 3-d k t z j t y i t x t r( ) ( )  ( )  ( ) ou r(t)



x(t),y(t),z(t)



O estudante notará a forte semelhança nas equações paramétricas. Na realidade há uma equivalência entre as funções valores vectores e as equações paramétricas.

Exemplo Esboce o gráfico de j t i t t r₍ ₎_₍ _₁₎ _ 2 Solução

Puxar-se-ão vectores para vários valores de t e conectar-se-ão os pontos. Note-se que o gráfico é igual a: 2 ) 1 (   x y

(17)

1a.1.8 Cálculos em Funções valores vectores

A definição formal da derivada de uma função valor vector é bem parecida com a definição da derivada de uma função com valores reais.

1a.1.9 A Derivada de uma Função de valor vector

Seja r(t) uma função valor vector, então

h t r h t r t r h ) ( ) ( lim ) ( ' 0      x'(t)iy'(t)j

Porque a derivada de uma soma é a soma das derivadas, podem-se achar a derivada de cada um dos componentes da função valor vector para achar a sua derivada.

k dt d ₃ 2 __cos(₄ ₎ _ t _₆ _₄_sin( ₎ _ t _ t

1a.1.10 Propriedades de diferenciação de Funções valores vectores

Todas as propriedades de diferenciação servem para funções valores vectores. Além disso

f'(t)

1a.1.11 Integração de funções valores vectores

Definição: define-se o integral de função valor vector como o integral de cada componente. Esta definição é válida para ambos integrais definidos e indefinidos.

(18)

j dt t y i dt t x dt t r                  



Apenas tome o integral de cada componente (



(sin_t)_dti)(



2_tdtj)(



8_t3_dtk) k c t j c t i c t ) ( ) (2 ) cos ( 4 ₃ 2 2 1       

Note-se que se introduziram as três diferentes constantes, uma para cada componente e que as três constantes escalares produzem uma constante do vector.

Actividade 1a.2 Velocidade e Aceleração

Defina velocidade e aceleração em termos de vectores e descreva as relações entre velocidade e aceleração

Situações apropriadas dadas, defina e calcule as velocidades relativas e acelerações de corpos em movimento.

1a.2.1 Velocidade

Veja-se este link: : http://en.wikipedia.org/wiki/Velocity

Definição: Velocidade e Velocidade

Num único cálculo de variável a velocidade é definida como a derivada da função de posição. Para o cálculo de vector, faz-se a mesma definição para ambos os espaços 2-d e 3-d.

Seja r(t) uma função valor vector diferenciável que representa o vector posição de uma partícula num tempo t. Então o vector velocidade é a derivada do vector de posição.

(19)

No espaço2-d: j t y i t x t r( ) ( )  ( ) e velocidade = v(t)r'(t) x'(t)iy'(t)j O módulo da velocidade = _v₍_t₎ _ _r_'₍_t₎ _



_x_'₍_t₎

 

2 _ _y_'₍_t₎



2 No espaço 3-d: r(t) x(t)iy(t)jz(t)k eVelocidade =v(t)r'(t) x'(t)iy'(t)jz(t)k O módulo da velocidade = v(t)  r'(t) 



x'(t)

 

2  y'(t)

 

2  z'(t)



2 Exemplo

Ache o vector velocidade v(t) se o vector posição for r(t)_3ti_2t2j_sintk

Basta acharmos a derivada v(t)3i4tjcostk

N.B. Quando se pensa em velocidade, pensa-se no quão rápido se caminha. Velocidade não deveria ser negativa. Num cálculo da variável, a velocidade era o valor absoluto da velocidade.

Para o cálculo de vector é o módulo da velocidade.

1a.2.2 Movimento em uma dimensão Leitura obrigatória

Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas pp18-31 de UTP

Esta secção introduz os conceitos de deslocamento, velocidade e aceleração e o movimento de uma partícula variando as velocidades tais como constante, uniforme e assim por diante. O estudante deveria poder relacionar as ideias do vector posição ao importante conceito de deslocamento.

Discussão: São os dois conceitos de deslocamento e de vector posição o mesmo?

1a.2.3. Movimento em três dimensões Leitura obrigatória

Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas UTP p 33-52

N.B. O estudante deveria notar a introdução do plano Cartesiano tridimensional para prover um quadro de referência satisfatório para descrever o movimento nas três dimensões. Para exemplos práticos o estudante pode usar a ideia de uma aeronave levantando o voo

(20)

num aeroporto.

Em qualquer momento dado, a sua posição com referência para o aeroporto pode ser descrita fazendo as perguntas

Quão distante para norte está o avião do aeroporto? Quão distante a leste?

1a.2.4 Aceleração

Veja-se este link: http://en.wikipedia.org/wiki/Acceleration

Num cálculo da variável, define-se a aceleração de uma partícula como a segunda derivada da função posição. Nada muda para o cálculo vectorial.

1a.2.5. Definição de Aceleração

Seja r(t) função valor vector diferenciável duas vezes representando o vector posição de uma partícula em tempo t. Então o vector aceleração é a segunda derivada do vector posição. No espaço, 2-d r(t) x(t)i y(t)je aceleração =a(t)r ''(t)x''(t)iy ''(t)j No espaço, 3-d r(t) x(t)i y(t)jz(t)k e aceleração = a(t)r ''(t)x''(t)iy ''(t)jz''(t)k

Exemplo

Ache a velocidade e a aceleração da função de posição r₍t₎_₄ti_t2j

quando t = -1. Depois esboce os vectores

Solução

O vector velocidade é v(t)r'(t)4i2tj

Calculando para t = -1 dá v(1)4i2j

Fazendo a outra derivada acha-se a aceleração a(t)v'(t)2j

(21)

FAÇA ISTO

Esboce a trajectória do movimento de um objecto cujo vector posição é



t



i j t

r( ) 2 4 

FAÇA ISTO

Um objecto a partir do repouso em P(1, 2, 0) tem a aceleração

a(t) j2k

Onde a(t) é medido em ms-2. Ache a localização do objecto após 2 segundos

(22)

Resposta

 Movimento com aceleração constante p24  Equações de movimento em uma linha recta p26

1a.2.6 Movimento de Corpos em queda

A Física Aristotéliana diz que a velocidade de um corpo em queda depende completamente do seu peso, assim uma pedra de um Quilograma cairá mais rápido que uma pedra de meio - quilograma. Galileu negou isto, justificando que todo o corpo cai com a mesma rapidez e aceleração, por exemplo, se alguém tem uma pedra em sua mão, e de repente deixa de a segurar, ela cairá ao chão com velocidade V. E, se tem um papel e lança-o ao chão sua velocidade de queda será agora v (uma velocidade menor), mas se fizer uma pequena "bola" com o papel, a sua velocidade será V. (o mesmo que a pedra). Daqui postulou ele que a velocidade não depende do peso, toda vez a aceleração é a mesma, mas no caso do papel claro o ar tem mais resistência e isso é a causa da velocidade menor. Esta experiência foi feita por Galileu na Torre de Pisa.

1a.2.7 Experiência Propósito

Nesta experiência o estudante poderá ver a aceleração de diferentes objectos e os comparar como Galileu (o precursor de Einstein) fez.

Materiais

 Uma bola de ténis;  Uma bola de futebol;

(23)

 Um caderno;  Uma folha. Procedimento

1. Levam-se ambas as bolas.

2. Seguram-se ao mesmo nível, tão alto quanto se pode (ombro, em frente, etc.). 3. Largam-se ao mesmo tempo para o chão.

4. Ambos alcançam o solo ao mesmo tempo.

5. O estudante pensa que isto só acontece porque eles têm a mesma forma? Logo deverá tentar isto com o caderno e com a bola de ténis.

6. Ambos alcançam o solo ao mesmo tempo!

7. Depois, deverá tentar com o caderno e com a folha de papel. O que acontece? Por que isto acontece?

8. Depois deve fazer-se uma pequena "bola" com a folha de papel e repetir a experiência.

9. Eles deveriam alcançar o chão ao mesmo tempo. Porquê?

Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas UTP, Queda livre sob acção da gravidade p 26-28

P28-31 de exemplos

FAÇA ISTO

Exercício

Uma criança apoia-se fora de uma janela de um edifício de uma altura 10 m do chão. Ela lança verticalmente para cima uma bola com uma velocidade inicial de 12m/s. Qual é a altura máxima sobre o chão alcançada pela bola e qual é o tempo total que ela leva até golpear o chão?

Resposta: O estudante deveria chegar a estas respostas: Altura de máxima = 17.4 m e tempo total decorrido = 3.11s.

(24)

1a.2.8 Movimento de Projéctil

N.B. Isto deveria ser lido com a secção sobre as leis de Newton na Actividade 2.

Como já se mencionou antes será assumido que a única força que age sobre o projéctil depois do seu lançamento é a força de gravidade. Assim o movimento acontece em um plano vertical.

Para um projéctil de massa m, a força devido à gravidade é: F mgj

Comparando isto com

(da segunda lei de movimento de Newton) pode ter-se

ma F 

agjque se torna vector aceleração.

Agora, como se mostra no diagrama acima, se o projéctil é lançado com velocidade inicial vo e da posição

r

o então: v(t)



a(t)dt



gjdt gtjC₁ 2 ₁ ₂ 1 2 1 ) ( ) ( ) (t v t dt gtj C dt gt j Ct C r 

_



_

    

Agora

v(0)= v

o e s

(0)= s

o e isto implica que o v C₁  e C₂ s_o E então 2 ₀ 2 1 4 ) (t ti gt j tv r

r    _o  o que dá ao vector posição Recorde-se que

(25)



v

 

i v



j v i v j yj

xi

v_o    _o cos  _o sin  _ocos  _osin

Substituindo na expressão anterior, tem-se r t  gt jtv_ocositv_osinjhj

2 1 )

( 2 _onde

h é a altura inicial sobre o chão.

Rearranjando, tem-se a Função de posição de um Projéctil como: r t 



v_o



ti_h



v_o



t gt2_j 2 1 sin cos ) (   FAÇA ISTO

Uma catapulta lança uma pedra de 3m acima do chão e a um ângulo de 45o da horizontal a 100 m/s. Ache a altura máxima da pedra. Passará a pedra por cima de uma parede de 10 m de altura, localizada a 300m do ponto de projecção?

O estudante não deve virar a página até que tenha acabado!

(26)

Resposta Deu-se, h=3, v_o 100, e 4 45    o  _{. Usando g = 9.8 ms}-1_. j t t ri t r _                      ₄_.₉ 2 4 sin 100 3 4 cos 100 ) (  



₅₀ ₂t

 

i_ ₃_₅₀ ₂t _₄_.₉t2



j  . .

A altura máxima dá-se quando a componente vertical de v é 0. Isso é:y'(t)50 29.8t0 significa que

9 . 4 2 25  t segundos Altura máxima é: 2 9 . 4 2 25 9 . 4 9 . 4 2 25 2 50 3 _               y FAÇA ISTO

Simplifique a anterior equação e ache o valor actual de y Para a parede, x(t)30050 2t

O que significa t3 2 e _y _3_50 2(3 2)_4.9(3 2)2 _3_300_88.2_214.8

Isto significa que a pedra atinge a parede.

Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas UTP Projéctil movimento P41-44

1a.2.9 Movimento Circular

Em geral, o movimento circular é a rotação ao longo de um círculo, uma trajectória circular ou uma órbita circular.

A rotação ao redor de um eixo fixo de um corpo tridimensional envolve movimento circular de suas partes. Pode falar-se sobre o movimento circular de um objecto se se ignorar o seu tamanho, de forma que se tenha o movimento de uma massa de um ponto em um avião.

Exemplos de movimento circular são: de um satélite artificial orbitando a Terra em órbita geosincrónica, uma pedra que é amarrada a uma corda e está sendo balançada em círculos (lançamento de martelo), um carro de corrida que vira por uma curva em uma pista de corridas, um electrão que se move perpendicularmente a um campo magnético uniforme, um torneamento de engrenagem dentro da caixa de câmbio de um carro.

(27)

centro de massa. Isto pode ser chamado movimento giratório ou movimento rotacional e será discutido num módulo posterior. Seguramente, o estudante pode avançar com seus próprios exemplos de movimento num círculo.

O movimento circular envolve a aceleração do objecto comovente por uma força centrípeta que puxa o objecto comovente para o centro da órbita circular. Sem esta aceleração o objecto mover-se-ia inercialmente em linha recta, tangente ao círculo, de acordo com a primeira lei de movimento de Newton. O movimento circular é acelerado através da direcção. O estudante deveria deduzir a partir disto que o vector de aceleração e o vector de velocidade são ortogonais.

Leituras obrigatórias

Fitzpatrick, R. (2001). Mecânica Clássica: Um Curso Introdutório. Austin, Texas UTP,  Introdução P. 136

 Movimento Circular Uniforme P. 136 - 138  N.B. Equações 7.1 - 7.11

 Aceleração Centrípeta P. 138 - 141  N.B. Equações 7.12 - 7.17

 Definição: Aceleração Centrípeta (7.15) p139  O Pêndulo Cónico p 141 - 142

 N.B. Equações 7.18 - 7.25

 Movimento circular não uniforme P. 143 - 147  Explicações: Vector unitário radial P. 143  Vector unitário tangencial P. 143

 Velocidade radial e velocidade tangencial P. 144  Aceleração radial e aceleração tangencial P. 144  N.B. Equações para anotar (7.26) - (7.45)  O Pêndulo vertical P. 148 - 150

 N.B. Equações para anotar 7.46 - 7.53  Figura animada)

 N.B. Equações 7.54 - 7.64

O estudante deve anotar a aproximação diferente que não esteja baseada na Álgebra vectorial e as equações tradicionais que são empregues no seu texto de leitura obrigatória.

Exemplo

Ache o vector velocidade, o módulo da velocidade, e o vector aceleração do círculo.

r t t i t j 2 cos 2 2 sin 2 ) (   E esboce o círculo. Solução. O vector velocidade é:

(28)

j t i t t r t v 2 sin 2 2 sin 2 ) ( ' ) (   

A velocidade em qualquer instante é:

1 2 sin 2 cos ) ( ' _t _ 2 t _ 2 t _ r O vector aceleração é a t r t t i t j 2 cos 2 1 2 sin 2 1 ) ( '' ) (   

N.B. As equações paramétricas para a curva são: 2 sin 2 t x e 2 cos 2 t y FAÇA ISTO Exercício

Verifique se a equação rectangular do círculo é: _x2 _{ y}2 _4

FAÇA ISTO

Exercício

Uma partícula começa do repouso no ponto P(1,2,0) com a aceleração a(t) j2k

nas unidades habituais. Ache a posição da partícula depois de 2 segundos

(29)

O estudante não deve virar a página até que tenha acabado!

(30)

Resposta

O estudante deveria poder deduzir que: 0 ) 0 (  v e j i k j i k z j y i x r 2 0 2 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (        

Para achar a função da posição ele tem que integrar duas vezes, de cada vez usando uma das condições iniciais para achar as constantes de integração. Assim,











     a t dt j k dt tj tk C t v( ) ( ) 2 2 onde k C j C i C C  ₁  ₂  ₃ Quando t = 0, e v(0) = 0 adquire-se 0 0 ) 0 ( C₁iC₂jC₃k  C₁ C₂ C₃  v

Assim a velocidade a qualquer instante t é: v(t)t(j)2t(k)

Quando se integram mais uma vez produz-se r t 



v t dt





tj tk



dt t2 jt2kC 2 2 ) ( ) ( onde C C₄iC₅jC₆k Quando t = 0 e r(0)i2j tem-se r(0)C₄iC₅jC₆k i2jC₄ 1,C₅ 2,C₆ 0 Assim o vector posição é:

r t i t2 ₂ j t2k 2 ) ( _         

A posição da partícula depois de 2 segundos é r(2)i4j4k dada pelas coordenadas (1,4,4)

(31)

Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas UTP p 136-160

Note-se que na leitura obrigatória introduzem-se noções de velocidade angular, aceleração centrípeta e assim por diante. Esta secção deveria ser lida com as secções em movimento curvilíneo abaixo e o estudante deveria poder encontrar aspectos comuns entre o movimento circular e movimento curvilíneo que são uma extensão do movimento secular.

1a.2.10 Velocidade Relativa

Pode-se descrever a posição de um corpo e a sua velocidade com referência à origem de um determinado sistema de coordenadas. Ordinariamente, esta origem é fixada noutro corpo o qual pode estar em movimento relativo a um terceiro e assim por diante. Por exemplo, quando se fala da velocidade de um carro, normalmente, quer-se dizer a velocidade do carro relativa à terra… Mas a terra está em movimento relativo ao sol… o sol está em movimento relativo à alguma outra estrela…. e assim por diante…..

Suponha-se que um comboio longo esteja se movendo a direita ao longo de uma linha-férrea rectilínea e um atleta esteja correndo no comboio para direita.

O Diagrama de um homem correndo no comboio. O diagrama uTE representa a velocidade do comboio T relativa à terra E,

uAT representa a velocidade do atleta A relativa ao comboio T.

A velocidade do atleta relativo à terra uAE

é evidentemente igual à soma de uAT e uTE

TE AT AE u u u  

N.B. A velocidade uAE é a soma algébrica de uAT e uTE e quando se combinam velocidades relativas

 Escreva cada velocidade com uma subscrição dupla no próprio significado de ordem "velocidade de (primeiro subscrição) relativa à (segunda subscrição).

 Quando as velocidades são somadas, a primeira letra de qualquer subscrição tem que ser a mesma com a da última letra da segunda subscrição.

 A primeira letra da subscrição da primeira velocidade na soma e a segunda letra da subscrição da última velocidade são as subscrições, nesta ordem, da velocidade relativa representada pela soma.

Estas três longas e incómodas declarações são muito importantes considerar quando se ensina a adição de vectores, em geral onde as subscrições representam os próprios vectores.

Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório. Austin, Texas.UTP pp 44-48 (velocidade relativa)

(32)

Exemplos trabalhados

Fitzpatrick, R. (2001). Mecânicas Clássicas: Um Curso Introdutório Austin, Texas. UTP pp 48

1a.2.11 Movimento Curvilíneo

1a.2.12 Vectores Tangentes e Vectores Normais

Mostrou-se na última secção que o vector velocidade sempre aponta a direcção do movimento. Nesta secção usa-se esta observação para alargar o aspecto mencionado a um conceito que se aplica para qualquer curva lisa que não é necessariamente descrita em termos de tempo.

1a.2.13 A Unidade Vector Tangente

A derivada de uma função valor vector dá uma nova função valor vector que é uma tangente à curva definida. O análogo para o declive da linha tangente é a direcção da linha tangente. Considerando que um vector contém um módulo e uma direcção, o vector velocidade contém mais informação que se precisa. Pode-se tirar um vector do seu módulo dividindo-o pelo seu módulo.

1a.2.14 Definição da Unidade Vector Tangente

Seja r (t) uma função valor vector diferenciável e v (t) = r’ (t) seja o vector velocidade. Então define-se a unidade vector tangente como o vector unitário na direcção do vector velocidade. ) ( ) ( ) ( t v t v t T  , v(t)0 Exemplo Seja r₍t₎_ti_etj_₃t2k Ache o T(t) e T(0). Solução Tem-se v₍t₎_r_´(t₎_i_et j_₆tk e

(33)

_v₍_t₎ _ ₁__e2t _j_₃₆_t2

Para achar o vector unitário tangente, apenas divide-se 2 2 ₃₆ 1 6 ) ( ) ( ) ( t j e tk j e i t v t v t T t t       Para se achar T(0) j i j i j e k j e i T 2 1 2 1 2 ) 0 ( 36 1 ) 0 ( 6 ) 0 ( 2 ) 0 ( 2 0          FAÇA ISTO

Mostre que o vector unitário tangente para a curva dada por _r₍_t₎__ti__t2

j quando t = 1 é determinado por ( 2 ) 5 1 j i

N.B. Neste exercício a direcção vector unitário tangente é determinada pela orientação da curva. Esboce a curva e verifique que o vector unitário tangente para a curva

r(t)



t2

 

i t2



2 j no ponto (1,1)

seria ainda o mesmo mas apontará na direcção oposta.

FAÇA ISTO

Ache T(t) para a curva dada por

r(t)2costi2sintk no ponto quando 4





t e mostre que as equações paramétricas para a linha tangente são:

xx₁as 2 2s y y₁ bs 2 2s z z cs s 4 1  usando o ponto (x1, y1, z1) ) 4 , 2 , 2 ( ) , , (x₁ y₁ z₁  

(34)

1a.2.15 A Unidade Principal Vector Normal

Um vector normal é um vector perpendicular. Dado para um vector v no espaço, há infinitamente muitos vectores perpendiculares. A nossa meta é seleccionar um vector especial que é normal ao vector unitário tangente. Geometricamente, para uma curva não recta, este vector é o único vector que aponta para dentro da curva ou, em outras palavras, o único que aponta para o lado côncavo da curva. Algebricamente pode-se computar o vector usando a seguinte definição.

Definição: Seja r (t) uma função valor vector diferenciável e seja T (t) vector unitário tangente. Então a unidade principal vector normal N (26) é definida por

) ( ' ) ( ' ) ( t T t T t N 

Comparando isto com a fórmula para o vector unitário tangente, se se pensar no vector unitário tangente como uma função válida do vector, então a unidade principal vector normal é a tangente do vector unitário da unidade função de vector tangente. Você encontrará que, achar a unidade principal do vector normal é quase sempre um incómodo. A regra do quociente de diferenciação, normalmente aparece para complicar este processo!

Exemplo

Ache a unidade vector normal para a função válida do vector r₍t₎_ti_t2j

e esboça a curva, a unidade tangente e a unidade principal vectores normais quando t = 1

Solução

Primeiro acha-se a unidade vector tangente 2 4 1 2 ) ( t tj i t T   

Depois usa-se a regra de quociente para achar T’ (t)





  

₂







2 1 2 2 1 2 4 1 4 1 4 2 2 4 1 ) ( ' t t t tj i j t t T       

Como o vector de unidade na direcção de um determinado vector será o mesmo depois de multiplicar o vector por um escalar positivo, pode-se simplificar multiplicando pelo factor:



₁_₄_t2



₁_₄_t2



12

O primeiro factor, o denominador, e o segundo factor adquirem o poder fraccionário. Tem-se

T'(t)



1_4t2



1_4t2

 

12 _ 1_4t2



  

2j _ i_2tj



4t__4ti_2j

Depois divide-se pela magnitude (depois de dividir primeiro 2) para obter 2 4 1 2 ) ( t j ti t N    

(35)

Tampe-se 1 para em ambos a unidade vector tangente adquirir

T i j 5 2 5 1 ) 1 (   N i j 5 1 5 2 ) 1 (  

O quadro debaixo mostra o gráfico e os dois vectores.

FAÇA ISTO (com um colega)

Dada a curva r(t)3ti2tj

Ache-se N(t).

Qual é o valor de N(t) quando t = 1

O estudante não deve virar a página até que tenha terminado o problema!

Solução

j i t r'( )3 4 e _r_'₍_t₎ _ ₉_₁₆_t2



i tj



t t r t r t T 3 4 16 9 1 ) ( ' ) ( ' ) ( 2     

(36)

 



t





i tj



t j t t T 3 4 16 9 16 4 16 9 1 ) ( ' 2 3 2 2      



t



1a.2.16 Componentes Tangentes e Normais de Aceleração

Imagine-se a si próprio conduzindo numa colina abaixo ao longo de uma estrada curva de e de repente sente falta dos travões. Como tu estás dirigindo, sofrerá duas forças (diferente da força de terror) que mudará a velocidade. A força de gravidade fará o carro aumentar a velocidade. Uma segunda mudança na velocidade será causada no carro ao passar a curva. A primeira componente da aceleração é chamada a componente tangencial da aceleração e a segunda é chamada a componente normal da aceleração. Como o estudante pode adivinhar a componente tangencial da aceleração está na direcção do vector unitário tangente e a componente normal de aceleração está na direcção da unidade principal vector normal. Uma vez que se tem T e N o cálculo das duas componentes é directo. Definição: A componente tangencial de aceleração é:

v a v T a a_T    

e o componente normal de aceleração é: v a v N a a_N     e aa_NNa_TT

N.B. A componente normal da aceleração também é chamada a componente centrípeta da aceleração.

Exemplo

Prove que o a (t de vector de aceleração) está no plano que contém T(t) e N(t)

(37)

Prova

Primeiro note isso:

v vT e T' T'N

(N.B. Simplificou-se a anotação aqui usando, por exemplo, T para T (t) e assim por diante) Tomando a derivada de ambos os lados dá

av' v'T  vT' v'T v T' N

Isto diz que o vector aceleração está no plano que contém o vector unitário tangente e o vector unitário normal.

Exemplo

Ache as componentes tangencial e normal da aceleração para o exemplo anterior r₍t₎_ti_t2j

Solução

Tomando duas derivadas tem-se a(t)r ''(t)2j

Multiplicou-se escolarmente o vector aceleração com as unidades dos vectores tangencial e normal 2 4 1 4 ) ( t t T a t a_T     2 4 1 2 ) ( t N a t a_N     FAÇA ISTO

Exercício: Mostre que Se r(t)3titjt2k então

2 4 10 4 t t a_T   e 2 4 10 10 2 t a_N   Exercício

A função de posição para um projéctil é determinada por: r₍t₎_



₅₀ ₂t

 

i_ ₅₀ ₂t _₁₆t2



j

Ache a componente tangencial da aceleração quando: t = 0,1 e

16 2 25

(38)

O estudante não deve virar a página até que tenha terminado o problema! Solução



t



j i t v( )50 2  50 232 2 2 ₁₆₍₅₀₎ ₂ ₁₆ 50 2 ) (t   t  v

Actividade 1a.3 Gradiente, Divergência e Torção

Esta secção está completamente coberta na análise de um módulo deste curso. Os estudantes podem rever a sua compreensão neste trabalho recorrendo às leituras obrigatórias dadas na análise do módulo.

1a.3.1 Divergência

No cálculo vectorial, a divergência é uma operadora que mede a tendência de um campo vectorial para originar ou convergir num determinado ponto. Por exemplo, para um campo vectorial que indica a velocidade do ar que se expande como estaria sendo aquecido, a divergência do campo de velocidade teria um valor positivo porque o ar estaria expandindo-se. Reciprocamente, se o ar estivesse esfriando e contraindo-se, a divergência seria negativa.

Um campo vectorial que tenha divergência zero em todos lugares é chamado solenoidal. Sejam x, y, z um sistema de coordenadas Cartesianas de um espaço Euclidiano

3-dimensional, e sejam i j k a base correspondente de vectores unitários.

A divergência de um campo vectorial continuamente diferenciável F  F₁iF₂jF₃k é definida para ser a função valorizada escalar:

z F y F x F F divF             1 2 3

Interpretação física

Em termos físicos, a divergência de um campo vectorial tri-dimensional é a extensão até a qual o fluxo do campo vectorial se comporta como uma fonte ou uma absorção num determinado ponto. Realmente, uma alternativa, mas uma definição logicamente equivalente, dá a divergência como a derivada do fluxo líquido do campo de vectores pela superfície de uma esfera pequena relativa ao volume da esfera. (Nota-se que se está imaginando o campo de vectores como o campo de vector de velocidade de um fluido (em movimento) quando se usa o termo fluxo e absorção e assim por diante.)

Formalmente,







_

 0 ( ) ₃ 3 4 lim ) ( r S r r ndS F p divF 