Modelo Charge-Sheet para MOSFET

(1)

Modelo Charge-Sheet

para MOSFET

Preliminares

Concentração

de portadores no semicondutor intrínseco

  ic B EE kT ic El ét ron s n N e     cos vi B EE kT iv Bur a p N e   ii pn  Concentração de portadores no semicondutor extrínseco   0 Fc B EE kT c Elétrons n N e     0 cos vF B EE kT v Bura p N e   00 pn 

(2)

Relações importantes      0 F c Fi i c i c Fi Fi BB B B B EE EE E E E E E E EE kT kT k T kT kT cc c i nN e N e N e e n e               0 v F v i iF v F iF iF BB B B B E E EE E E EE E E E E kT kT kT kT kT vc v i pN e N e N e e p e         

Lei da ação das massas

    22 00 Fi i F BB EE E E kT kT ii i i i i np n e p e n p n p    

(3)

Semicondutor tipo P

Dopantes: Boro (B), Gálio (Ga) e Índio (In) A N conc en traç ão de ac eitadore s      0 iF iF BB EE EE kT kT Ai i pN p e n e    iF F EE q    Potencial de Fermi  F e potencial térmico  T 0.026 27 o B T kT Và te m pe ra tu ra de C q   0 F T Ai pN n e    F T iA nN e     2 00 i np n  2 0 F T A nN e    

(4)

MOSFET de Canal N

Análise

preliminar com estrutura

de 3 terminais MB MG MC P otenciais de contato    

(5)

Diagrama de bandas de energia com V

CB

=0 e V

GB

(6)

Tensão e banda plana V FB s FB MG MB ox V       0 0 FB MG MB ox Q V C       0 FB MB M G ox Q V C      ox ox ox C capac itância por unidade de área t   0 Q carga por unidade de área  

(7)

Polarização com V GB e V CB diferentes de zero Os potenciais de contato  MB e  MC

anulam o potencial de junção

pn+ GB GB F B VV V 

(8)

(9)

Densidade de

cargas

em

uma certa posição

y



A yq p y n y N    Condição de contorno em y 



0 A qp n N        00 0 A pn N   00 0 A np p N   Próximo à região de gate, os elétrons são atraídos pelo contato n+ e, portanto, a concentr ação é regida pela energia de F ermi do contato. Mais afastado do gate, a energia de Fermi do substrato comanda a concentração.  0 Fp i F BT EE kT ii nn e n e      2 0 FF TT iA A nN e n N e       



             Fn i FC B F C B Fn i F BB B B B EE q y q V qy q V qy EE q y kT kT kT kT k T ii i A n y ne ne ne N e e                 



  2 CB F T Vy A ny N e     

(10)



     iF p i F p BB B T Eq y E E E qy y kT kT kT ii A py n e n e e N e         Equação de Poisson E      E     2 E                  Aplicando a equação de Poisson uni dimensional ao substrato









2 2 A ss qp y n y N yy y       



    2 2 2 CB F TT Vy y A AA ss qN e N e N yy y                 



   2 2 2 1 CB F TT Vy y A _s y qN ee y                

(11)

Como resolver a equação diferencial?



2 2 2 2 dy dy d y d _dy dy dy dy      



  











2 2 2 222 2 CB F TT Vy y A _s yy y y y qN ee yy y y y                         







  







2 2 2 22 2 2 CB F TT Vy y A _s yy yy y y y qN dy e e dy yy y y y                          





     







22 22 2 CB F C B F TT T T VV y y A TT T T s y qN ee e e y yy                                           





0 y    

_



0  



   



2 2 2 2 CB F CB F TT T Vy Vy A TT T T s y qN ee e y y                           

(12)



   



2 2 2 CB F CB F TT T Vy Vy A TT T T s y qN ee e y y                          Definindo  s =  (0) como o potencial

de superfície, o campo elétrico na interface é:

  22 2 CB F s C B F s TT T VV A s TT T T s s qN Ee e e                       Na inversão s CB F V    e F T    portanto:  2 2 CB F s T V A s Ts s qN Ee            Pela lei de Gauss





0 c s s s y Q EA A dy       



cc s s s QQ E A        2 2 CB F s T V cs A T s Qq N e           

(13)

Aproximação Charge-Sheet As ca rg as QI na camada de inversão concentr am-se praticamente na super fície, enquanto o resto Q B distribui-se ao longo do substrato numa camada de depleção, com densidade qN A e comprimento dB . Para calcular Q B , basta conhecer o campo elétrico logo após a camada de inversão. A queda de potencial através da camada de inversão é desprezível, devido à espessura muito fina. Equação de Poisson





2 2 A s s y qN y   _     











2 00 2 A s qN yy y      





0 dB  





0 s   

(14)



2 0 2 A s s qN dB dB      yd B  0





E    2 A s s qN dB E dB    BA ss QA qN dB E AA    2 A As ss AqN dB qN dB A dB    2s s A dB qN    2 2 s B AA s A s s A Q A qN dB AqN A qN qN       2 B As s Qq N   

(15)

Conhecendo a carga total no substrato e a de depleção, podemos calcular as cargas na camada de inversão CI B QQ Q    IC B QQ Q     2 2 CB F s T V Is A T s s Qq N e                 

(16)

GC QQ  GB ox s V    GC GB s s ox ox QQ V CC          2 2 CB F s T V sA GB T s s ox qN Ve C               2 2 CB F s T V sA GB F B T s s ox qN VV e C               Potencial de superfície em função de V GB Inversão Forte Inversão Fraca  2 2 CB F s T V Is A T s s Qq N e                 

(17)

Densidade d e cargas n a região d e inversão forte Na região de inversão for te o potencial de super fície satura em  s =  0 +V CB e a camada de inversão torna-s e ex tremamente condutiva, funcionando como a segunda placa do capacitor de gate. GB ox s V     0 s CB V     0 GB ox C B VV     00 GI B G B CB CB ox ox QQ Q VV V CC            0 22 B As s A s C B Qq N qN V      



00 2 As Io x G B C B C B ox qN QC V V V C              



00 2 As Io x G B F B C B C B ox qN QC V V V V C             

(18)







00 Io x G B F B C B C B QC V V V V         2 A s ox qN C     Algumas definições





00 T B F B CB CB VV V V      





Io x G B T B QC V V   TT B C B VV V  00 TF B C B VV V      0 0 CB TT V VV   00 0 TF B VV    

_



00 0 TT C B VV V     





00 0 TB T C B C B VV V V      

(19)

Densidade d e cargas n a região d e inversão fraca   2 CB F s T V Ts e         2 2 CB F s T V Is A T s s Qq N e                  2 F CB s F C B VV       2 2 CB F s T V sA GB F B T s s ox qN VV e C               GB FB s s VV      2 21 CB F s T V T Is A s s s e Qq N                       2 21 2 CB F s T V T Is A s s s e Qq N                        2 2 CB F s T V sA IT s qN Qe         Expandindo V GB em torno de  s =2  F +V CB até o termo de primeira ordem  22 1 2 22 GB FB F C B F CB s F C B FC B VV V V V V                    22 2 1 22 GB FB F C B F CB sF C B FC B VV V V V V      _        



   22 1 22 22 GB F B F C B F C B T FC B VV V V V sA IT FC B qN Qe V                   

(20)



 22 GB M T VV n sA IT FC B qN Qe V       



22 M FB F C B F CB VV V V       1 22 FC B n V  _  

(21)

T ipos de corrente no canal 1 -C orrente de deriva I DS1 provocada

pelo movimento de cargas devido

ao

campo elétrico 2

-C

orrente de difusão I

DS2

provocada pelo gradiente de

concentração de cargas 12 D SD S D S I II  Corrente total

(22)

Corrente de deriva (drift) vE   II dQ Q dA Q W dy    1 DS I I I dQ dy I QW QW v Q W E dt dt          1 DS I I QW E    1 s DS I d IW Q dy    

(23)

Corrente de difusão



, T x y J y     



2 0 , I DS T T xy dQ IJ dS W dx W yd y          





(24)

Corrente total I DS 12 D SD S D S I II  s I DS T d dQ IW Q W dy dy        D SI s T I I dy WQ d W dQ            00 0 sI sI LQ L L D SI s T I Q I dy W Q d W dQ         





 









0 0 s s L DS I s T I I IL W Q d W Q L Q         



 









0 0 s s L DS I s T I I WW IQ d Q L Q LL         



   1 0 s s L D SI s W I Qd L      











2 0 DS T I I W IQ L Q L    Precisamos de uma equação que relacion e Q ’ I com o potencial de superfície par a calcularmos a integral em I DS1

(25)

GB ox s V    IB GB s ox QQ V C      2 BA s s Qq N    2 As I GB s s ox ox qN Q V CC         I GB F B s s ox Q VV C       



I ox GB F B s s QC V V        



   1 00 ss ss LL D SI s ox G B F B s s s WW I Qd C V V d LL              

























33 22 22 1 12 00 0 23 DS ox G B F B s s s s s s W IC V V L L L L                    

(26)









2 0 DS T I I W IQ L Q L   



I ox GB FB s s QC V V      

















2 00 DS ox T s s s s W IC L L L          





























 



 



33 22 22 1 2 2 20 12 12 00 0 23 00 00 DB F s T SB F s T DS ox G B F B s s s s s s DS ox T s s s s VL GB F B T s s V GB F B T s s DS DS DS W IC V V L L L L W IC L L L VV e L L VV e II I                                                                            

O conjunto de equações abaixo

representa o modelo completo, mas só tem

solução

(27)

Exemplo: Processo AMS0.35 0.026 T   0. 44 F   3 4.55 10 ox C   2 4.758 10    0.645  

Limites da região de inversão

fraca com V SB =0 2 F sF    GB F B s s VV     0.12 0.5 GB V  

(28)

Correntes de

difusão

e

deriva

Na região de inversão

fraca domina a corr

ente de difusão, enquanto na inversão forte

(29)







3 2 2 12 , 23 GB ox GB FB T T gV x C V V x x x x            

Simetria entre dreno e source Definindo Podemos escrever









,, DS GB DB GB SB W Ig V V g V V L  Aproximações

para a inversão forte

1 D SD S I I 

_

0 0 s SB V   



0 s DB LV   









33 22 22 00 0 12 23 D S ox G B FB D B SB DB SB DB SB W I C V V VV VV V V L                    

(30)



33 2 22 00 0 12 2 23 DS ox GS SB F B D S DS D S SB DS SB SB W IC V V V V V V V V V V L                        

Modelo referenciado ao source GB

GS SB VV V  D BD S SB VV V 



33 2 22 00 0 12 23 DS ox GS F B DS DS D S SB SB W IC V V V V V V V L                    Aproximação de segunda ordem em torno de V DS



2 2 00 0 12 3 3 23 2 8 DS DS ox GS F B D S D S SB DS SB V W IC V V V V V V L V                    



2 00 0 1 1 2 2 D So x G S F B SB D S D S SB W IC V V V V V L V                    

(31)



2 00 0 2 1 2 D So x G S T D S D S TF B SB SB W IC V V V V L VV V V                          

Na região de triodo Na região de saturação



2 00 0 2 1 2 ox DS GS T TF B SB SB GS T DS sa t C W IV V L VV V V VV V                            

(32)

Aproximações

para a inversão fraca referenciado ao source

2 D SD S I I 









2 0 DS T I I W IQ L Q L   



  2 0 2 sS B F T V sA IT s qN Qe        



  2 2 sD B F T V sA IT s qN QL e        



 

2 01 0 I DS T I I QL W IQ LQ             2 2 2 1 2 sS B F SB D B TT VV V sA DS T s qN W Ie e L             s só depende de V GB

(33)

GB FB s s VV     Expandindo V GB em torno de  s =2  F +V SB até o termo de primeira ordem



 22 1 22 2 2 1 22 GB SB F F B F SB SB DB T FS B T VV V V VV V sA DS T FS B qN W Ie e LV                         



22 1 2 22 G B FB F SB F SB s F SB FS B VV V V V V                    22 2 1 22 GB FB F SB F SB sF SB FS B VV V V V V      _        



2 2 1 22 GS M DS TT VV V n sA DS T FS B qN W Ie e LV            22 M FF B F SB VV V      1 22 FS B n V  _  

(34)

Parâmetros 10 -3 23 19 10 11 1.06 10 cm 1. 38 10 1. 6 10 1.036 10 3.453 10 300.5K i B s ox nom n k q   T       _    BSIM3



6 ,0 10 0.0259 ln 0.5983 22 2 A _F _FBn p T H F F As ox ox ox ox NN C H NCH VV qN C C t        _      17 -3 0 2 0 3 NM OS 2.611 10 cm 0.497 4. 758 10 0. 44 0.988 _4.558 10 0.645 TH F FB ox NCH _VV V VV C  _     _    _ _ 16 -3 0 2 0 3 PMO S 9. 24 10 cm 0.6915 1.482 10 0.413 0.496 4.453 10 0. 393 TH F FB ox NCH _VV V VV C  _     _    _ _ AMS 0.35 – 3.3V

(35)

Modelo EKV

Equação Básica da Corrente 0 F T i nn e    



    , , Fn i B EE q x y kT i nx y n e   



      , , F B Vy x y kT q i nx y n e    



    , 0 , T Vy q x y nx y n e    



    , , F _TT Vy x y i nx y n e e      _

(36)



, di f T nx y Jq y     Densidade de Corrente de Drift Densidade de Corrente de Difusão



(, ) , drif t dx y Jq n x y dy   

Elemento de Corrente de Drift Elemento de Corrente de Difusão



(, ) , drift dx y dI qW n x y dx dy   



, dif T nx y dI qW dx y     Densidade de Corrente To tal Elemento de Corrente To tal



,, , drif t dif J xy J x y J xy 







, (, ) ,, DS T nx y xy dI x y qWdx n x y yy         

(37)

Fazendo a substituição



   , 0 , T Vy q x y nx y n e    







, (, ) ,, DS T nx y xy dI x y qW dx n x y yy         



      , 0 , 0 (, ) , T T Vy q x y Vy q x y DS T ne xy dI x y qWdx n e yy                       



  







, 0 , (, ) 1 1 , T Vy q x y DS T TT Vy x y xy dI x y qWdxn e yy y                       



,, DS Vy dI x y qW n x y dx y     Integrando em x











0 , DS i Vy Vy Iy qW n x y dx W Q y yy      





(38)

I DS

é constante ao longo do canal



DS i I dy W Q y dV y   



  00 D S VL V L DS i VV I dy WQ V y dV y    



 Charge-Based Model



  0 D S VL V DS i VV W I QV y dV y L    



 D S V DS i V W I Qd V L  



 DD SS VV ii DS ox ox ox VV QQ W I Cd V dV LC C     





(39)

A

integral que define a corrente pode ser dividida

em duas partes SD ii D SF R ox ox VV QQ I dV dV I I CC       



 É a co rr en te D ir et a É a corrent e R ev ers a S D i F ox V i R ox V Q Id V C Q Id V C                 



 

Onde Modos de Operação

Sa tur aç ão D ir eta S at uração R ev ers a T riodo D ir eto T riodo R ev er so FR FR FR FR II II II II             

(40)

Aproximação para a Densidade de Cargas no Canal Uma vez conhecida a densidade de cargas Q i ’ no canal, a co rrente no canal fica totalmente deter minada. Mas para tal, é necessário realizar algumas apr oximações para a carga, de forma a viabilizar a integral que define a corrente. Equação que descreve a densidade de car gas de inversão no canal em função da tensão de gate e do potencial de superfície



_

IT B T B ss I ox G T B TB F B s s Io x G F B s s QQ y V V y yQ C V V VV QC V V                             A relação entr e VTB e s é quase linear . O parâmetro  p é o potencial de pinch-of f, onde Q’ i =0 ou seja, V G =V TB .

(41)

Cálculo do coeficiente angular da reta 1 2 TB s s V n        Considerando n constante em toda gama de  s , podemos linearizar a função V TB ( s )



GT B TB G p s ps VV nV V n         









I ox G T B I ox s p QC V V Q nC           



_

2Fs T V Io x T s s I ss QC e QQ y y VV y                               Mas Q ’ i também possui uma dependência com o potencial de canal V(y)

(42)

Fazendo a substituição



I I ox s p s p ox Q Qn C nC           2Fs T V I ox T s s QC e                  2 I pF ox T Q V nC II io x T p p ox ox QQ QC e nC nC                                Resolvendo a equação para 2 2 ln ln 2 2 pF p T II I I T ox T ox ox T T ox T V n QQ Q Q nC n C nC C                                



2 p F V  

(43)

Aplicando as normalizações 2 ˆ ˆ I i es p es p T ox T T T Q q Q Qn C V v                               



22 ˆ ˆˆ 2 2 ln ln 2 ˆˆ ˆ ˆ 22 ln 22 ˆ ln 2 ˆˆ pF i i i p i pF i i sh sh i p i nn vq q q q vq q v nn vq q                                             Pode-se desprezar q’ i na expressão de v sh



2 ˆ ˆˆ 2 2 ln ln ˆ p Fi i p n vq q           



ˆ ˆ 22 ln 2 ˆ ln ˆ p Fi i sh sh p vq q v n v                 

(44)

Definindo ˆ ˆ 2 p pF sh vv   



ˆ ˆ 22 ln p Fi i sh vq q v       

_

2l n ii p qq v v   Regiões d e O peração 1 i q  1 _i q  1 i q  Inversão Fraca p vv i qe   Inversão Moderada Inversão Forte 2 p i vv q  

(45)

Estimativa para V p eV T0 Na região de inversão forte









00 0 00 0 0 2 Io x G T TF B _F QC V V V V VV                     Pela aproximação da inversão forte pelo m odelo EKV 2 p i vv q  





Io x p Qn C V V   Desnormalizando Fazendo V=0

_







0 0 Io x G T ox p QC V V nC V        0 GT p VV V n  

(46)

Determinação de ∅



I ox G F B s s QC V V       Na inversão for te, o potencial de superfície praticamente não var ia, sendo limitado ao valor ∅ , onde ∅ é ligeiramente m aior que 2∅ e V é o potencial de canal. Fazendo a tensão de pinch-of f igual a zero implica em fazer ∅ . Tomemos a equação da carga em função do potencial de superfície e a definição da tensão de pinch-of f. ˆ ˆ 2 p pF sh vv   



00 Io x G F B QC V V      

Limite da inversão forte

2 p pF sh VV     Desnormalizando 0 00 0 00 2 GT p GT p p F sh VV VV V V V n               0 2 Fs h V    2 ˆ ln ˆ shp n v       Da equação de V sh com ∅ Desnormalizando 0 22 ln ln sh T p sh T nn VV               

(47)

Uma estimativa razoável para V sh é considerar ∅ 2 ∅ dentro da raiz quadrada 0 2 Fs h V    00 2 2l n FT n         00 0 TF B VV     , , SD SD ii D SF R ox ox VV i FR ox V QQ I dV dV I I CC Q Id V C                   





 



2l n ii p qq v v   Determinação das C orrentes de Dreno e Source Conhecendo a equação da corrente e da carga, é possível deter minar as correntes de dreno e source

(48)



,, , , , 2 2 2 SD SD SD FR To x i i FR T i ox ox T Vv v I nC q Q I dV dv q dv CC n                





, , , , 2 2 SD FR i v FR FR es p es p T iq dv I i I In              



 Normalizando a corrente Aplicando a derivada implícita à equação da carga



2l n ii p qq v v  



2l n p ii vv dq q dv dv     11 21 2 ii i ii dq dq dv dq dv q dv q            

(49)

, , SD FR i v iq dv   



1 2 i i dv dq q        Aplicando a substituição de variável



, 0 , 21 iS D FR i i q iq dq    



, 11 4 2 FR i i q    _Substituindo q’ i na equação da carga, mas considerando v a tensão nos extremos (source e dreno) Extraindo a carga ,, , 11 4 1 1 4 2l n 22 FR FR p SD ii vv                2 , FR i i iq q    



, 2l n ii p S D qq v v  



,, , 11 4 ln 1 1 4 ln 2 FR F R p S D ii v v        







,, , 1 4 ln 1 1 4 1 ln 2 pS D F R F R vv i i        

(50)

Coeficiente d e Inversão e R egiões de Operação







,, , 1 4 ln 1 1 4 1 ln 2 pS D F R F R vv i i         A corrente nor malizada i F,R é também conhecida como coeficiente de inversão, que por definição é:



max , m ax , F R F esp R esp ICi i I I I I  Inversão Fraca – IC<<1 Neste caso, o termo logaritmo domina a equação da corrente ,, , 11 4 1 2 FR FR FR ii i    













,, , , , , 1 2 ln 2 1 ln 2 2 ln ln p S D FR FR FR FR FR vv i i i i i         , , p SD vv FR ie   , , 0 pS D DS F R vv FR GT p ii i ie vv v n             , , 0 ₂ 2 p SD _T DS F R VV FR es p GT p _esp T II I II e VV V n In                   0, 2 , 2 GT S D T DS F R VV nV n FR T II I In e          

(51)

Inversão Forte – IC>>1 Neste caso, o termo logaritmo é desprezível na equação da corrente ,, , 11 4 FR p S D F R iv v i    



2 , , 4 pS D FR vv i  



2 , , 0 4 DS F R pS D FR GT p ii i vv i vv v n              



2 ,, 0 2 DS F R FR p S D GT p II I n IV V VV V n             



2 ,0 , 2 DS F R FR G T S D II I IV V nV n          Saturação D ireta 0 0 GT D pG T D D Ss at S VV VV V V nV V V n        A saturação direta ocorre a partir do ponto onde a corrente reversa iguala-se a zero

(52)

Saturação R eversa 0 0 GT Sp G T S SD sa t D VV VV V V nV V V n        A saturação direta ocorre a partir do ponto onde a corrente direta iguala-se a zero Interpolação As regiões de inversão fraca e for te são fáce is de representar analiticamente, pois as aproximações permitidas quando IC >>1 ou IC<<1 levam a equações simples. Entretanto, na região moderada, quando IC 1, não ex iste apr oximação possível. Uma for ma de tentar repres entar todas as regiões de operação numa única equação é a través de interpolação entre as equações da inversão fraca e forte. 2 , , 0 ln 1 ex p 2 pS D FR GT p vv i vv v n                  2 , 2 , 0 2l n 1 ex p 2 pS D FR T T GT p VV In VV V n                       Desnormalizando

(53)

Resumo NMOS 0, 2 , 2 GT S D T VV nV n FR T In e    



2 ,0 , 0 0 2 FR G T S D GT DS sa t S GT SD sat D IV V nV n _VV VV n VV VV n                 2 0, 2 , 2l n 1 ex p 2 GT S D FR T T VV nV In n           D SF R I II  Inversão Fraca Inversão Forte Interpolação PMOS ,0 2 , 2 SD T G T nV V V n FR T In e     



2 ,, 0 0 0 2 FR S D T G TG SD sat S TG DS sa t D In V V V n _VV VV n VV VV n                 2 ,0 2 , 2l n 1 ex p 2 SD T G FR T T nV V V In n              D SF R I II   Inversão Fraca Inversão Forte Interpolação



22 max 2 , 2 FT FT IC In In    