Código de Gauss não 2-face coloráveis em RP2

Texto

(1)Codigos de Gauss n~ ao 2-Face Color aveis em IRP 2 Emerson Alexandre de Oliveira Lima 25 de Abril de 2003.

(2) Dedicatoria A meu

(3) lho querido, Guilherme, por ter renovado minha forca de vida e juventude.. A minha esposa Adriana por toda paciência que teve comigo durante meu doutoramento. A toda minha famlia pelo apoio e constante incentivo. i.

(4) Agradecimentos Nenhum trabalho e possvel de ser realizado sem a colaborac~ao, muitas vezes imprescindvel, de muitas pessoas. Correndo o risco de n~ao citar (porem nunca de esquecer) alguem, eis algumas pessoas sem as quais nunca teria realizado este empreendimento: Minha esposa e companheira Adriana, sem a qual n~ao teria tido a paz de esprito necessaria a qualquer realizac~ao. Meu

(5) lho querido Guilherme cuja forca vital e juventude foram de tal forma brilhantes que conseguiram iluminar a minha, um pouco extinta, chama de vida. Meu Pai, minha m~ae e irm~aos que sempre me deram forca e apoio nos momentos de di

(6) culdade. Meus antigos orientadores e eternos amigos Antonio Carlos Monteiro (matematica-graduac~ao), Manoel Lemos (matematica-graduac~ao), Walter Mendes de Azevedo (qumica-graduac~ao), Oscar Malta (qumica-graduac~ao), Marcelo Gomes (fsica-graduac~ao), Sergio Coutinho (fsicagraduac~ao), Peter Veermann (matematica - mestrado), Andre Banks (matematica-mestrado) e Ramon Mendonza (o qual, pelos conselhos imprescindveis que me deu durante toda minha vida acadêmica, vou considerar tambem como um de meus orientadores) por terem me mostrado, apesar de minha teimosia, o caminho certo de fazer ciência: o amor, a dedicac~ao e a mente livre para o desconhecido. Meu atual orientador e amigo Sostenes Lins por me mostrar que a alegria, a intuic~ao e o rigor matematico podem, e devem, ser partes integrantes do "fazer matematica". Aos 6 cavaleiros do zodaco: Alexandre (Drag~ao) , Boris (Cisne), Delmo (Mist, o "Lagarto Real"), Kristiano (Phoenix), Otavio (Andrômeda) e Silmar (Cancer - Vejo você no Yomotso) (n~ao esqueci de vocês, rapazes!!!) Aos meus amigos pessoais Claudia, Tânia, Nicole, Dulce, Carlos Henrique, Marcelo Gamma, Leonila, Nivaldo Pinheiro, Cleto Franca, Slvia, Gilka, Jesse Gomes, Almir Pires, Robson Pequeno e o Pequeno Robson, Madeiro, Lgia, Joseane ... Aos amigos que n~ao citei acima (a

(7) nal de contas, e so uma pagina de dedicatoria pessoal: N~ao cabe todo mundo), os autores dos livros e artigos que l durante toda minha vida acadêmica e todo pessoal de bastidores (biblioteca, secretarias, etc) que tornam nosso trabalho possvel. A Universidade Federal de Pernambuco pela infraestrutura que me permitiu o desenvolvimento confortavel deste trabalho. A Universidade Catolica de Pernambuco pelo suporte material vital a realizac~ao desta pesquisa. Finalmente, ao suporte

(8) nanceiro do CNPq, sem o qual nada disto teria sido viavel. ii.

(9) Conteudo 1. 2. 3. Breve Hist orico do Problema. 1.1 Organizaca~o da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumo da Solu c~ ao. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5. Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Codigos de Gauss 2-Coloraveis em IRP 2 . . . . . . . . . . . . Mapas com Unico z-gon: sua Relac~ao com Codigos de Gauss Caso 2-Coloravel: Soluc~ao por Sistemas Lineares . . . . . . . Caso 2-Coloravel: Soluc~ao pelo Grafo de Entrelacamento . . .. Principais Resultados da Tese. 3.1 3.2 3.3 3.4. Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Operac~ao de Quadruplicac~ao do Codigo Ac~oes no Codigo Quadruplicado . . . . . O Teorema de Caracterizac~ao . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 1. 3. 4. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . 4 . 4 . 4 . 10 . 12. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 14. 14 14 20 22. iP 30 4.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2 Propriedades Imediatas da Func~ao i em P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 Ac~oes em P : Efeitos Sobre a Funca~o de Entrelacamento . . . . . . . . . . . . . . 32. 4. Efeito das A co ~es Sobre a Fun c~ ao. 5. Efeito das A co ~es Sobre a Fun c~ ao. 6. Efeito das A co ~es Sobre a Fun c~ ao. 7. Demonstra c~ oes dos Resultados Principais. 5.1 5.2 5.3 5.4. i2P Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriedades da Intersecca~o de Func~oes de Entrelacamento Propriedades Imediatas da Func~ao i2 . . . . . . . . . . . . . Efeito das Aco~es Sobre a Func~ao i2 . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 36. 36 36 39 40. bP 49 6.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.2 Ac~oes em P : Efeitos Sobre a Funca~o Sx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.3 Demonstraca~o das Proposic~oes 3.6, 3.7 e 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 7.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Demonstraca~o da Boa De

(10) nic~ao de Kg (P ) . . . . . . 7.3 Prova do Teorema de Caracterizac~ao . . . . . . . . . 7.3.1 A classe x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Classes de Vertices e Tipos de Arestas em Kg 7.3.3 Prova do Teorema de Classi

(11) caca~o . . . . . . iii. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 54. 54 54 55 56 57 60.

(12) Lista de Figuras 1.1 lacet projetivo 2-coloravel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8. lacet projetivo n~ao 2-coloravel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 5 6 7 7 8 9 13 13. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17. Prova da condica~o de Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aresta (x,y) em ` e sua duplicac~ao em L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Possibilidade de passagem de L por x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lacet projetivo n~ao 2-Coloravel e sua duplicac~ao. . . . . . . . . . . . . . . . Coloraca~o dos Vertices Induzida pela Colorac~ao Canônica das Arestas em L Representac~ao Circular do Codigo Quadruplicado Canônico . . . . . . . . . Regi~oes do lacet correspondentes a g (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tipos de quadrados na faixa correspondente a g (x). . . . . . . . . . . . . Aco~es de x em P 2 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aco~es de x em P 2 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tipos de Arestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafo Kg para codigo n~ao 2-Coloravel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arestas do tipo N e E em Kg (P0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arestas do tipo N em Kg (P0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algoritmo de Classi

(13) caca~o em um codigo n~ao 2-Coloravel . . . . . . . . . . Sinais das arestas do tipo N em Kg (P0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinais das arestas do tipo E em Kg (P0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 16 16 17 18 19 20 20 21 22 24 25 25 26 27 28 29. Exemplo de Mapa Topologico . . . . . . . . . . . . . . . . . Aco~es de (M ) nos Retângulos do mapa M . . . . . . . . . Passagens do z-gon atraves de um retângulo . . . . . . . . . Quadrado Canônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representac~ao Gra

(14) ca por Quadrados Canônicos do Codigo odigo Projetivo 2-Coloravel . . . . . . . . . . . . . i para C odigo Projetivo N~ao 2-Coloravel . . . . . . . . . . i para C. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 4.1 Primeira metade de todos os posicionamentos relativos entre duas classes entrelacadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Segunda metade de todos os posicionamentos relativos entre duas classes entrelacadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Todos os posicionamentos relativos entre duas classes e k entrelacadas . . 4.4 Efeito das três ac~oes de k sobre a func~ao iP . . . . . . . . . . . . . . . . . .. n~ao . .. n~ao . .. . .. . ... 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5. . . . . .. Tipos de Arestas n~ao Entrelacadas . . . . . . . . Tipos de Arestas Entrelacadas . . . . . . . . . . Efeito das Aco~es em Arestas do Tipo N1 a N3 . . Efeito das Aco~es em Arestas do Tipo E1 a E3 . . Efeito das Aco~es nos Vertices das Arestas tipo N iv. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 31 32 33 34 59 60 61 62 65.

(15) v. LISTA DE FIGURAS. 7.6 7.7 7.8 7.9. Efeito das Ac~oes nos Vertices das Arestas tipo E Arestas do tipo N e E em Kg (P0 ) . . . . . . . . . Arestas do tipo N em Kg (P0 ) . . . . . . . . . . . Cofronteira de Arestas Entrelacadas . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 66 67 67 68.

(16) Cap tulo 1. Breve Historico do Problema Introduc~ao Neste captulo, estabelecemos o problema que nos propomos resolver nesta tese. Para tanto, discutimos, brevemente, sua origem historica e principais contribuic~oes no sentido de sua soluc~ao ate o momento. No proximo captulo, continuamos este resumo historico detalhando a soluc~ao do problema do codigo de Gauss em IRP 2 conforme feito por Sostenes Lins em sua tese de doutoramento (ver [12]) para o caso de codigos 2-coloraveis.. O Problema do Codigo de Gauss: um Pequeno Historico Um lacet ` em uma superfcie S (ou seja, uma variedade bidimensional compacta e fechada orientavel ou n~ao) e a imagem contnua do crculo S 1 em S de tal forma que S ` e homeomorfo a uma colec~ao disjunta de discos em S e que cada auto-cruzamento em ` ocorre como um vertice 4-valente. Podemos numerar arbitrariamente de 1 a n os auto-cruzamentos de ` de tal forma que, ao percorrer a curva a partir de qualquer um dos cruzamentos, obteremos uma sequência de smbolos g com cada um dos smbolos de 1 a n ocorrendo exatamente 2 vezes ao longo de g. Chamamos ent~ao g de codigo do lacet ` em S . Um codigo correspondente a um lacet no plano e chamado de realizavel no plano ou codigo planar , sendo projetivo ou Kleiniano um codigo realizavel, respectivamente, em IRP 2 ou na Garrafa de Klein. Um smbolo x, isto e, um numero de 1 a n, de um codigo g do lacet ` na superfcie S e chamado de smbolo par quando, entre as duas aparic~oes do smbolo x em g, tivermos um numero par de outros smbolos, sendo chamado de smbolo mpar caso contrario. O conjunto dos smbolos que aparecem uma unica vez entre as duas aparic~oes de um smbolo x e denotado i(x) (ver exemplo da Figura 1.1) enquanto que o conjunto de todos os smbolos entre as duas aparic~oes de x e denotado por (x). Podemos extender a de

(17) nic~ao das func~oes i e para um subconjunto A de smbolos de g por linearidade utilizando a diferenca simetrica, ou soma modulo 2, dos conjuntos. Finalmente, uma vez que S ` e homeomorfo a uma colec~ao de discos disjuntos, podemos de

(18) nir o grafo dual desta colec~ao da maneira classica, i.e., atribuindo um vertice a cada disco e uma aresta ligando discos que sejam adjacentes em S , ou seja, cuja fronteira em comum n~ao seja vazia ou um conjunto de pontos isolados. O lacet (e o codigo correspondente) sera dito enlacamento 2-coloravel quando o grafo assim de

(19) nido for bipartido, o que equivale a colec~ao de discos ser 2-coloravel no sentido canônico, i.e., podemos colorir, usando 2 cores, os discos em S ` de tal forma que discos adjacentes tenham cores diferentes. 1. lacet. codigo cod. planar smbolo smb. par. i(x). (x). enl. 2-color..

(20) CAPITULO 1. BREVE HISTORICO DO PROBLEMA. Dado um codigo. g. 2. 2-coloravel e uma colorac~ao do mesmo, diremos que um smbolo e um. vertice preto quando as duas passagens do lacet pelo smbolo convergem em uma face preta. (estamos tacitamente admitindo que a colorac~ao utiliza as cores preta e branca) e e um vertice branco caso contrario. O exemplo da Figura 1.1 ilustra estas de

(21) nic~oes. E. C. B. 1. F 8. 2. A. 6 5. D. 7. A. 4. 3. D 11. 10. F. 9 B. C E. vert. preto. i(1)={5 6 8 10 11 } i(2)={3 4 5 6 10 } i(3)={2 4 5 6 10 } i(4)={2 3 5 6 7 8 9 10 } i(5)={1 2 3 4 10 } i(6)={1 2 3 4 8 11 } i(7)={4 8 9 } i(8)={1 4 6 7 } i(9)={4 7 11 } i(10)={1 2 3 4 5 } i(11)={1 6 9 } Vértices Pretos: 1,2,3,7,8 Vértices Brancos: 4,5,6,9,10,11 Vértices Ímpares: 1,2,3,5,7,9,10,11 Vértices Pares: 4,6,8. Figura 1.1: lacet projetivo do codigo g = 1; 2; 3; 4; 10; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 4; 7; 11; 9; 1; 6; 11; 8; 10; 5 e uma 2-coloraca~o para o mesmo. Nosso problema originou-se da seguinte indagac~ao de Gauss [1]: Todo codigo planar e tal que x e par para todo smbolo x. A recproca e verdadeira? Isto e, dado uma sequência de smbolos g tal que x e par para todo smbolo de g, existira um lacet planar cujo codigo seja g?. O proprio Gauss, no mesmo trabalho, concluiu na falsidade desta a

(22) rmaca~o exibindo o codigo g = 1; 2; 3; 4; 5; 3; 4; 1; 2; 5. Gauss, contudo, conjecturou a existência de condic~oes adicionais de su

(23) ciência e esta conjectura e atualmente chamada de Conjectura de Gauss para codigos de lacets . A soluc~ao para conjectura de Gauss para lacets planares foi resolvida em 1936 por Dehn [4] de forma algoritmica. A resoluc~ao da quest~ao, na forma proposta por Gauss, de condic~oes sobre o codigo foi encontrada por Rosenstiehl [9] em 1976: De

(24) nimos em um grafo G, dado um vertice v, a estrela de v, ou Æ(v), como o subconjunto das arestas incidentes a v que n~ao s~ao lacos. Uma co-fronteira em G e a soma modulo 2 de estrelas de vertices. Teorema 1.1. Um codigo. g. e planar se, e somente se,. Conj. Gauss. Æ (v ). co-fronteira.

(25) CAPITULO 1. BREVE HISTORICO DO PROBLEMA. 3. x e par para todo smbolo x 2 g (condic~ao de Gauss) Se x e y n~ao s~ao adjacentes em i ent~ao ji(x) \ i(y)j e par As arestas (x; y) de i para as quais ji(x) \ i(y)j e par formam uma cofronteira Onde grafo i , ou grafo de entrelacamento de um codigo g e formado tomando como i vertices os smbolos de g. Uma aresta liga dois smbolos x e y quando eles s~ao vertices entrelacados , ou seja, as duas aparic~oes do smbolo x em g separam as duas aparic~oes do smbolo vert. entrel. y. Representamos o entrelacamento de dois smbolos por x / y. E facil notar que x / y se, e x / y somente se, y / x. Em 1980, Lins em sua tese de doutoramento (ver [12]), generalizou o resultado de Rosenstiehl [9] para a esfera, isto e, para caracterizac~ao dos codigos de Gauss de lacets para o plano projetivo no caso de lacets 2-coloraveis. Estes resultados tambem foram publicados em 1987 por Lins, Richter e Shank (ver [17]) em um trabalho posterior. Seguindo uma linha mais algebrica, Crapo e Rosenstiehl (ver [19]) caracterizaram, no ano de 2001, os codigos de Gauss 2-coloraveis na esfera, plano projetivo e garrafa de Klein. Tal caracterizac~ao, contudo, n~ao fornece um algoritmo para identi

(26) car os codigos Kleinianos ou Toroidais. Finalmente, Lins, Oliveira-Lima e Valdenberg [20] obtiveram condic~oes sobre um sistema linear para o problema do c odigo de Gauss 2-colorvel na Garrafa de Klein generalizando os resultados obtidos por Lins [12] para o caso do Plano Projetivo. As soluc~oes dadas por Lins seguem o esprito da soluc~ao original do problema encontrada por Rosenstiehl que fornece n~ao apenas condic~oes que caracterizam o codigo ser ou n~ao realizavel numa superfcie mas que, tambem, fornecem um algoritmo que permite, efetivamente, encontrar o lacet correspondente. Nesta tese, complementamos os resultados obtidos por Lins em [12] caracterizando os codigos projetivos n~ao 2-coloraveis. As tecnicas aqui desenvolvidas, contudo, podem ser aplicadas em outras superfcies tais como o Toro e a Garrafa de Klein o que sera objeto de pesquisas futuras.. 1.1 Organizac~ao da Tese No Captulo 2, resumimos os resultados relativos a caracterizaca~o dos codigos projetivos 2coloraveis e cuja extens~ao e o objeto deste trabalho. No Captulo 3, e

(27) xada a notac~ao e s~ao enunciados os resultados centrais da tese. O Teorema de Caracterizac~ao (Teorema 3.1) e enunciado bem como os resultados necessarios a sua demonstraca~o: As Proposico~es 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9. O objetivo do restante da tese e demonstrar os resultados enunciados neste captulo. Nos Captulos 4 e 5 enunciamos e demonstramos uma serie de resultados que s~ao utilizados no captulo 6 para demonstrar as Proposic~oes 3.6, 3.7 e 3.8. No Captulo 7, demonstramos a Proposica~o 3.9 e os Teoremas 3.1 e 3.2

(28) nalizando assim o trabalho..

(29) Cap tulo 2. Resumo da Soluc~ao 2.1 Introduc~ao Neste captulo, continuamos o historico do problema do codigo de Gauss resumindo os resultados obtidos em [12] para o problema do Codigo de Gauss 2-Coloraveis em IRP 2 e, mais recentemente, para a Garrafa de Klein. No proximo captulo, segue um resumo dos resultados que ser~ao demonstrados nesta tese e que resolvem o problema do Codigo de Gauss n~ao 2-Coloraveis em IRP 2 completando a soluc~ao do Problema do Codigo de Gauss naquela superfcie.. 2.2 Codigos de Gauss 2-Coloraveis em IRP 2 Dado um codigo de Gauss g, ou seja, uma sequência cclica de n smbolos numerados de 1 a n onde cada smbolo ocorre exatamente 2 vezes, denotamos por S = Surfmin (g) a superfcie de conectividade mnima na qual podemos encontrar um lacet cujo codigo seja g. Quando S for o plano, pode-se demonstrar que o lacet correspondente sera sempre 2-coloravel, contudo, em outras superfcies isto n~ao ocorre necessariamente conforme podemos notar para o codigo projetivo g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12 cujo um dos enlacamentos e apresentado na Figura 2.1 O que discutiremos neste captulo e a soluca~o dada em [12] para o problema de determinar, dado um codigo de Gauss g, uma superfcie que contem um enlacamento cujo codigo seja g, a qual denotaremos Surf (g), no caso que podemos pressupor que tal enlacamento e 2-coloravel nesta superfcie. Para

(30) xar ideias e estabelecer a notac~ao, exempli

(31) caremos a teoria no codigo. g = 1; 2; 3; 4; 10; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 4; 7; 11; 9; 1; 6; 11; 8; 10; 5 Este codigo e projetivo e 2-coloravel, conforme ilustrado na Figura 1.1. A demonstrac~ao dos resultados que enunciaremos neste captulo, assim como detalhes da teoria, podem ser encontrados em [12, 21].. 2.3 Mapas com Unico z-gon: sua Relac~ao com Codigos de Gauss Para mergulhar o codigo g em alguma superfcie, em [12] de

(32) ne-se o conceito de mapa combinatorio. A maior parte das de

(33) nic~oes e resultados que seguem s~ao de [15]. As de

(34) nico~es relativas a teoria dos grafos podem ser encontradas em [7]. 4. cod. Gauss. Surf (g ).

(35) ~ CAPITULO 2. RESUMO DA SOLUC AO. 5 E. G. B. C 1 F. 8. 6. D 11. 5 4. 7. D. A. 2. 10. 3 A. F 9 C. 12 B. E. G. Figura 2.1: lacet projetivo do codigo n~ao 2-coloravel g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12. Um mapa topologico M t = (G; S ) e um grafo G mergulhado em uma superfcie S de tal forma que S G e uma coleca~o de discos abertos disjuntos chamados de Faces . Queremos, dado o codigo g, encontrar uma superfcie S na qual o grafo 4-regular correspondente a um lacet de g possa ser mergulhado como um mapa topologico. Um mapa combinatorio ou, simplesmente, mapa M = (CM ; vM ; fM ) e uma tripla ordenada onde CM e um grafo 3-regular, conexo e

(36) nito. vM e fM s~ao emparelhamentos perfeitos disjuntos de tal forma que cada componente do subgrafo de CM induzido por vM [ fM e sempre um polgono de 4 arestas os quais representaremos (e denotaremos) por retângulos . Denotamos por aM = E (CM ) vM [ fM , o outro emparelhamento perfeito de CM e por zM as arestas diagonais dos retângulos, correspondentes a um emparelhamento perfeito no complemento de CM . As arestas de vM ,fM ,zM e aM s~ao chamadas, respectivamente de vM -arestas , fM -arestas, zM -arestas e aM -arestas. O grafo QM = CM [ zM e um grafo 4-regular. Uma componente de QM induzida por aM [ vM e um polgono com numero par de vertices chamado de v-gon . Analogamente, tomando os polgonos induzidos por aM [ fM e por aM [ zM teremos, respectivamente, os f-gon's e z-gon's de CM . Desta forma, uma componente induzida por vM [ fM [ zM e um retângulo com diagonais. Por convenc~ao, sempre assumiremos que os retângulos s~ao apresentados tendo os lados menores correspondendo as vM -arestas e os lados maiores correspondendo as fM -arestas. As diagonais correspondendo as zM -arestas, n~ao s~ao mostradas na maioria das

(37) guras seguintes para maior clareza das mesmas. Estes conceitos s~ao ilustrados na Figura 2.2. O primeiro resultado, estabelece a relac~ao entre mapas topologicos e mapas combinatorios. O conjunto dos mapas topologicos esta em bijec~ao com o conjunto dos mapas combinatorios. Mais ainda, dada a correspondência de M t , mapa topologico, com M , mapa combinatorio, por esta bijeca~o teremos as correspondências: Proposi c~ ao 2.1 ([12]). mapa top. Faces. mapa. retângulos. vM -arestas. v-gon.

(38) ~ CAPITULO 2. RESUMO DA SOLUC AO. 6. 1 5. 6. 3. 2. 4. Figura 2.2: Mapa topologico contendo unico z-gon: 1; 5; 4; 6; 1; 2; 6; 5; 3; 2; 4; 3 e unico f-gon: 1; 5; 3; 1; 6; 2; 4; 3; 6; 5; 4; 2 induzindo o grafo K4 com arestas, ou retângulos, indicados pelos rotulos de 1 a 6 e os 4 vertices dados pelos v-gon's 1; 5; 6 ; 2; 4; 6 ; 3; 4; 5 e 1; 2; 3. Os codigos s~ao obtidos anotando a sequência de retângulos visitados pelos polgonos correspondentes.. v-gons em M correspondem a vertices em M t retângulos em M correspondem a arestas em M t f-gons em M correspondem a faces em M t . As faces de M t de

(39) nem um mergulho de M t na superfcie S de

(40) nida como o complexo celular das faces de M t. z-gons em M correspondem a caminhos zig-zag em M t . Nota: O grafo G da correspond^ encia M $ M t = (G; S ) e chamado de grafo induzido por. M e denotado GM . Podemos obter GM e S como segue: CM pode ser mergulhado naturalmente em uma superfcie fechada S considerando inicialmente os retângulos, os f-gons e os v-gons como discos fechados disjuntos. Cada aresta de CM ocorre duas vezes na fronteira desta colec~ao de. discos. Identi

(41) cando as fronteiras correspondentes as duas ocorrências de cada aresta obteremos uma superfcie fechada onde as bordas das faces s~ao polgonos bicoloridos. Contraindo cada disco limitante de um v-gon a um ponto (vertice de GM ) e cada retângulo a um segmento (aresta de GM ), os f-gons passam a ser as bordas das faces de S GM . Este mergulho de CM , fornecendo o mapa topologico M t = (GM ; S ), e chamada de mergulho

(42) el do mapa combinatorio M .. Dado o mapa M , podemos de

(43) nir os seguintes mapas associados cujas propriedades dos espacos de ciclos e co-ciclos ser~ao uteis adiante. grafo induz.. mergulho

(44) el. Mapa Dual de M , denotado por D e obtido permutando os lados menores com os lados. Mapa Dual. Mapa Phial de M , denotado por P e obtido permutando os lados menores com as diag-. Mapa Phial. . Anti-Mapa. maiores de cada retângulo de M . Neste mapa, os z-gons s~ao mantidos e os v-gons e f-gons s~ao intercambiados.. onais de cada retângulo de M . Neste mapa, os f-gons s~ao mantidos e os v-gons e z-gons s~ao intercambiados. Anti-Mapa de M , denotado por M~ e obtido permutando os lados maiores com as diagonais de cada retângulo de M . Neste mapa, os f-gons s~ao mantidos e os v-gons e z-gons s~ao intercambiados.. Estes conceitos s~ao ilustrados na Figura 2.3. Denotamos por (M ) ao conjunto dos mapas associados de M e seus anti-mapas, ou seja. (M ).

(45) ~ CAPITULO 2. RESUMO DA SOLUC AO D. M. M. 7. ~. D. ~. P. P~. Figura 2.3: Como a vizinhanca de cada retângulo e modi

(46) cada nos membros de (M ) ~ D; ~ P~ g que induzem os 3 grafos distintos GM = GM~ , GD = GD~ e GP =. (M ) = fM; D; P; M; GP~ . Denotaremos por V e V ?, respectivamente, o espaco dos co-ciclos e o espaco dos V ciclos de GM respectivamente. Identicamente, o espaco dos co-ciclos e o espaco dos ciclos de V ? GD s~ao denotados, respectivamente, por F e F ? e ao espaco dos co-ciclos e ao espaco dos ciclos de GP denotamos, respectivamente, por Z e Z ?. O proximo resultado, conforme [21] (Theorem 1), e chamado de Propriedade de Absorc~ao e relaciona estes espacos Proposi c~ ao 2.2 ([12, 21]). Seja M mapa qualquer ent~ao. V \F Z F \Z V Z \V F Seja M um mapa com unico z-gon. Podemos encontrar um codigo cclico para este z-gon anotando a sequência de retângulos visitados pelo mesmo. Denotaremos por z a este codigo. Dado um mergulho

(47) el de M em alguma superfcie S , podemos particionar os retângulos de M em duas classes de retângulos brancos e pretos conforme os dois vertices que entram no retângulo sejam extremidades de um lado longo ou de um lado curto, respectivamente. Esta de

(48) nic~ao esta ilustrada na Figura 2.4.. x. y. Figura 2.4: Passagens do z-gon atraves de um retângulo. Neste exemplo x e retângulo branco e y e retângulo preto A proxima proposic~ao estabelece a relac~ao entre mapas com unico z-gon e codigos de Gauss Um codigo de Gauss 2-coloravel g e realizavel em uma superfcie S se, e somente se, existe mapa M com unico z-gon z e com mergulho

(49) el em S e tal que g = z. Mais ainda, o grafo medial do grafo induzido por este mergulho

(50) el de M em S e um lacet para g tal que v ertices pretos em g correspondem a retângulos pretos em z e vertices brancos em g correspondem a retângulos brancos em z Proposi c~ ao 2.3 ([12]).

(51) ~ CAPITULO 2. RESUMO DA SOLUC AO. 8. O problema de determinar se um codigo g e realizavel em uma superfcie S e, desta forma, equivalente ao de determinar se existe mergulho

(52) el de um mapa com unico z-gon z = g naquela superfcie. Este ultimo problema, pode ser entendido como um problema de posicionamento planar de retângulos como segue: O mergulho

(53) el de uma mapa M e determinado de forma unica atraves dos seus retângulos ou arestas, dos seus vertices e das suas faces. Os retângulos s~ao dados pelos smbolos de g enquanto que os vertices s~ao determinados pelos v-gons e as faces pelos f-gons. Assim, o mergulho e completamente determinado fornecendo a partica~o dos retângulos de M em retângulos pretos ou brancos. Atribuindo a cada smbolo x um quadrado canônico , de

(54) nido de tal forma que a primeira passagem de g pelo quadrado rotulado por x ocorra do canto inferior esquerdo para o canto superior direito e a segunda passagem ocorra do canto inferior direito para o canto superior esquerdo (conforme ilustrado na Figura 2.5), uma atribuic~ao de cor a um smbolo x equivalera a substituir o quadrado rotulado por x por um retângulo apoiado sobre sua base curta ou longa conforme, respectivamente, a cor atribuda seja preta ou branca. Estes conceitos est~ao ilustrados na Figuras 2.5 e 2.6.. x. x’. x’’. x’. x’’. Figura 2.5: Quadrado Canônico para o Smbolo x (no alto). Se o retângulo correspondente a este quadrado apoiar-se sobre sua base longa, teremos, como no caso a esquerda (x0 ), um vertice branco, do contrario (x00 ) teremos um vertice preto. Para encontrar ent~ao a partica~o dos smbolos de g em pretos e brancos, utilizaremos as propriedades das seguintes func~oes (de

(55) nidas para os singletons fxg e estendidas por linearidade. quad. can..

(56) ~ CAPITULO 2. RESUMO DA SOLUC AO. 9. 1 1 1. 2. 3. 10. 4. 9. 8. 5. 7. 6. Figura 2.6: Representaca~o Gra

(57) ca por Quadrados Canônicos do Codigo g = 1; 2; 3; 4; 10; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 4; 7; 11; 9; 1; 6; 11; 8; 10; 5 para conjuntos de smbolos utilizando a soma modulo 2, ou diferenca simetrica, de conjuntos). i(x) e o conjunto dos smbolos que aparecem apenas uma vez entre as duas aparic~oes do smbolo x no codigo g. k(x), de

(58) nida quando se possui a partic~ao dos smbolos de g, e igual a fxg se x e smbolo branco e ; caso contrario (No exemplo da Figura 2.4, temos, portanto, k(x) = fxg e k(y) = ;) c(x) = i(x) + k(x) b(x) = c(x) + c2(x). Onde c2 (x) = c(c(x)). O proximo resultado estabelece a relac~ao entre a funca~o b de um codigo de Gauss realizavel em uma superfcie S e a conectividade desta superfcie. A conectividade de S e (S ) = 2 (S ), onde (S ) e a caracterstica de Euler de S . A conectividade determina, a menos de orientac~ao, a superfcie..

(59) ~ CAPITULO 2. RESUMO DA SOLUC AO Proposi c~ ao 2.4. S , temos. 10. Dado M mapa com unico z-gon. g. possuindo mergulho

(60) el em uma superfcie. dim(Im(b)) = (S ) Im(b) = V? \ F? Ker(b) = V +F. Como consequência desta ultima proposic~ao, se (S ) = 0 (ou seja, S for o plano) ent~ao b 0. Se (S ) = 1 (ou seja, S for o plano projetivo) ent~ao temos a divis~ao dos smbolos do codigo em duas classes, de fato, denotando o Conjunto dos Vertices Pares de g por E e o dos vertices E mpares por O, temos: O Proposi c~ ao 2.5 ([20]). . Se. g. e codigo projetivo 2-coloravel ent~ao,. Se x 2 O ent~ao b(x) = O. Se x 2 E ent~ao b(x) = ;. Esta propriedade dos codigos projetivos 2-coloraveis permite encontrar duas caracterizac~oes de tais codigos. A primeira destas caracterizac~oes, dada pelas soluc~oes de um sistema linear, permitiu recentemente uma generalizac~ao para superfcies de maior conectividade, tais como a Garrafa de Klein e o Toro, enquanto que a segunda, dada pelas propriedades do grafo de entrelacamento, permitiu uma generalizaca~o para o problema, ainda em IRP 2 , para o caso n~ao 2-coloravel. Esta segunda generalizac~ao e o resultado do trabalho desenvolvido nesta tese.. 2.4 Caso 2-Coloravel: Soluc~ao por Sistemas Lineares Determinar a imagem da funca~o k equivale a determinar os lados curto e longo de cada retângulo. Isto porque os v-gons e f-gons determinam, respectivamente, os vertices e as faces do grafo cujo medial e o lacet procurado. E possvel determinar a imagem de k mediante a resoluc~ao de um sistema linear em GF (2). Proposi c~ ao 2.6 ([12]). Seja M mapa com unico z-gon c , ent~ao b(x) = i2 (x)+ Sx (i(x; P )) onde. i2 (x) = i(i(x; P ); P ) e Sx(A) = fy 2 A : k(x; P ) = k(y; P )g. No teorema a seguir, se a variavel x assume valor 0 ent~ao o vertice x e branco e se assume o valor 1 ent~ao o vertice x e preto.. c admite um lacet projetivo 2-coloravel se, e somente se, o seguinte sistema linear sobre GF (2) nas variaveis x , onde x e smbolo de c, tem soluc~ao: Teorema 2.1 ([12]). i (x) + y2i(x;P ) (1 + x + y )y = 2. Onde (x) =. . 0 1. . y2O y x 2 O = (x) (y)y 0 x2E. se x e par se x e mpar. Por exemplo, para o codigo g = 1; 2; 3; 4; 10; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 4; 7; 11; 9; 1; 6; 11; 8; 10; 5 temos a seguinte equac~ao correspondentes a x = 1 (que e um smbolo mpar) + 11)+ (1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 8 + 9 + 10 (1 + 1 + 5 )5 + (1 + 1 + 6 )6 + (1 + 1 + 8 )8+ + (1 + 1 + 11 )11 = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 10 + 11 (1 + 1 + 10 )10.

(61) ~ CAPITULO 2. RESUMO DA SOLUC AO. 11. fornecendo as seguintes equac~oes para o sistema 1 + 1 + 5 = 0 1 + 1 + 6 = 0 1 + 8 = 0 1 + 1 + 10 = 0 1 + 1 + 11 = 0 Repetindo o procedimento para cada um dos 11 smbolos do codigo, teremos o sistema procurado de equaco~es que determina cada x e, consequentemente, o valor de k(x; P ). Para este exemplo, o sistema de equac~oes e. 1 + 5 1 + 11 2 + 6 3 + 6 4 + 7 5 + 10 7 + 9 Cujas soluc~oes s~ao. = = = = = = =. 1 1 + 6 1 2 + 3 1 2 + 10 1 3 + 10 1 4 + 8 0 6 + 8 1 9 + 11. = = = = = = =. 1 1 + 8 0 2 + 4 1 3 + 4 1 4 + 5 1 4 + 9 1 6 + 11 0. = = = = = =. 0 1 + 10 1 2 + 5 1 3 + 5 0 4 + 6 0 4 + 10 0 7 + 8. = = = = = =. 1 1 1 0 0 0. 1 = 2 = 3 = 7 = 8 = 0 4 = 5 = 6 = 9 = 10 = 11 = 1 e. 1 = 2 = 3 = 7 = 8 = 1 4 = 5 = 6 = 9 = 10 = 11 = 0 A segunda soluca~o corresponde a ilustrada na Figura 1.1. Para o codigo g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12 o sistema correspondente e. 1 + 5 = 1 1 + 6 = 1 1 + 8 = 0 1 + 10 = 1 1 + 11 = 1 1 + 12 = 0 2 + 3 = 0 2 + 4 = 0 2 + 5 = 1 2 + 6 = 1 3 + 4 = 0 3 + 5 = 1 3 + 6 = 1 4 + 5 = 0 4 + 6 = 1 4 + 7 = 0 4 + 8 = 0 4 + 9 = 1 4 + 10 = 0 5 + 10 = 0 5 + 12 = 1 6 + 8 = 1 6 + 10 = 1 6 + 11 = 1 6 + 12 = 1 7 + 8 = 1 7 + 9 = 1 7 + 10 = 0 8 + 10 = 0 8 + 12 = 0 9 + 10 = 1 9 + 11 = 1 10 + 12 = 1 11 + 12 = 1 Este sistema n~ao possui soluc~oes em GF (2) o que demonstra que toda soluca~o em GF (2) e n~ao 2-Face Coloravel. Ressaltamos que a formulaca~o do problema do codigo de Gauss mediante sistemas de equac~oes foi generalizada em [20] e [21] para superfcies de maior conectividade. Para Garrafa de Klein, o sistema obtido e linear enquanto que, no caso geral, o sistema e quadratico..

(62) ~ CAPITULO 2. RESUMO DA SOLUC AO. 12. 2.5 Caso 2-Coloravel: Soluc~ao pelo Grafo de Entrelacamento Como consequência da Proposica~o 2.5 temos o seguinte resultado: Um codigo de Gauss 2-coloravel g e realizavel em uma superfcie de conectividade no maximo 1 se, e somente se for possvel separar os smbolos de g em duas classes (ou cores) satisfazendo a seguinte condica~o Teorema 2.2 ([12]). Para cada par x,y de smbolos de g temos ji(x) \ i(y)j + ji(x)jji(y)j mpar se, e somente se, x / y e x e y s~ao da mesma cor. Em termos do grafo de entrelacamento, podemos reescrever o Teorema 2.2 como: Teorema 2.3 ([12]) Um c odigo de Gauss 2-coloravel g e realizavel em uma superfcie de conectividade no maximo 1 se, e somente. . Se (x; y) n~ao e aresta de i ent~ao ji(x) \ i(y)j + ji(x)jji(y)j e par. As arestas (x; y) de i para as quais ji(x) \ i(y)j + ji(x)jji(y)j e par formam uma cofronteira em i .. Nestas condic~oes, denotando por B os vertices cuja cofronteira s~ao as arestas de i para as quais. ji(x) \ i(y)j + ji(x)jji(y)j e par, temos que a partic~ao dos vertices em cores do teorema anterior e fB; V ( i ) B g. Isto sugere uma partic~ao das arestas do grafo completo formado pelos smbolos de g (denotado Kg ) nas seguintes classes. . Arestas Pretas. , ou arestas (x; y) nas quais x / y e ji(x) \ i(y)j + ji(x)jji(y)j e mpar. Arestas Vermelhas Arestas Amarelas Arestas Verdes. , ou arestas (x; y) nas quais x / y e ji(x) \ i(y)j + ji(x)jji(y)j e par. , ou arestas (x; y) nas quais x 6/ y e ji(x) \ i(y)j + ji(x)jji(y)j e par. , ou arestas (x; y) nas quais x 6/ y e ji(x) \ i(y)j + ji(x)jji(y)j e mpar. Esta partica~o das arestas de Kg em classes permite reformular o teorema anterior numa forma mais adequada a nossa extens~ao para o caso n~ao 2-coloravel. Um codigo de Gauss 2-coloravel g e realizavel em uma superfcie de conectividade no maximo 1 se, e somente Teorema 2.4. Kg n~ao possui arestas verdes O conjunto das arestas vermelhas de Kg e cofronteira em. i.. Nestas condic~oes, denotando por B os vertices cuja cofronteira s~ao as arestas vermelhas, temos que a partic~ao dos vertices em cores do Teorema 2.2 e fB; V ( i ) B g. Para o exemplo do codigo g = 1; 2; 3; 4; 10; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 4; 7; 11; 9; 1; 6; 11; 8; 10; 5 temos o grafo na Figura 2.7. O codigo 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12 tem grafo Kg ilustrado na Figura 2.8. A presenca de arestas verdes no grafo implica no codigo n~ao ser projetivo ou ser projetivo e n~ao 2-coloravel. Uma vez que a Figura 2.1 estabelece que o codigo e realizavel em IRP 2 , conclumos em sua n~ao 2-colorabilidade. No proximo captulo, generalizamos a tecnica desenvolvida em [12] para tratar do caso n~ao 2-coloravel. Enunciamos uma extens~ao do Teorema 2.4. Este e o Teorema 3.1 que e demonstrado ao longo da tese. Usamos o codigo 1; 2; 3; 4; 5; 6; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12 para ilustrar os conceitos envolvidos no Teorema 3.1..

(63) ~ CAPITULO 2. RESUMO DA SOLUC AO. 13. 1 11. 2 3. 10. 4. 9 5. 8 7. 6. Figura 2.7: i para Codigo Projetivo 2-Coloravel g = 1; 2; 3; 4; 10; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 4; 7; 11; 9; 1; 6; 11; 8; 10; 5 Para cofronteiras temos, neste caso, as possibilidades B = f1; 2; 3; 7; 8g ou B = f4; 5; 6; 9; 10; 11g, onde a primeira escolha, que corresponde a partica~o da Figura 1.1, esta ilustrada acima.. 12. 1. 2. 11. 3 4. 10 5. 9 8. 7. 6. Figura 2.8: i para Codigo Projetivo N~ao 2-Coloravel g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12.

(64) Cap tulo 3. Principais Resultados da Tese 3.1 Introduc~ao No captulo anterior, caracterizamos sobre quais condic~oes um codigo de Gauss e realizavel no plano projetivo admitindo-se sua 2-colorabilidade. Conforme vimos para o caso do codigo projetivo g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12, tais condic~oes n~ao s~ao su

(65) cientes para caracterizaca~o de todos os codigos projetivos, uma vez que a 2-colorabilidade n~ao e uma condic~ao universal como no caso planar. Neste captulo, estabelecemos a notac~ao que utilizamos no restante desta tese bem como enunciamos os resultados principais, a serem demonstrados nos proximos captulos, que caracterizam completamente os codigos projetivos n~ao 2-coloraveis completando assim a teoria relativa aos codigos de Gauss realizaveis no plano projetivo, sendo esta a contribuica~o desta tese.. 3.2 A Operac~ao de Quadruplicac~ao do Codigo Conforme estudamos na sec~ao anterior, o problema de determinar se um dado codigo de Gauss 2-coloravel g e ou n~ao um codigo projetivo baseava-se em determinar a imagem da funca~o k para os smbolos de g o que equivale a determinar a 2-colorac~ao das faces do lacet correspondente ao codigo. A ideia da extens~ao desta teoria para o caso n~ao 2-coloravel e fornecer uma colorac~ao canônica para o lacet correspondente ao codigo g. Na verdade, associaremos ao codigo n~ao 2-coloravel um codigo 2-coloravel cujo lacet induz um lacet para o codigo original. Este procedimento, contudo, deixa indeterminado o valor da func~ao i, disponvel no caso 2-coloravel. O restante da teoria correspondente ao caso dos codigos projetivos n~ao 2-coloraveis, que chamaremos, doravante, de Problema Central desta tese, consiste na recuperac~ao da func~ao i atraves das propriedades de g. O primeiro resultado desta sec~ao marca a principal diferenca entre os codigos projetivos 2-coloraveis e aqueles que n~ao o s~ao. Proposi c~ ao 3.1. Seja. g. codigo projetivo n~ao 2-coloravel. Ent~ao. Paridade , ou seja, todo smbolo de x e um smbolo par.. g. satisfaz a Condic~ ao de. Demonstra c~ ao. Inicialmente, observamos que se ` e lacet projetivo n~ao 2-coloravel, ele atravessa a capa de cruzamentos ([13]) um numero mpar de vezes. Fixando um cruzamento x, queremos mostrar que ji(x)j e par. 14. Pr. Central. Cond. Par..

(66) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE. 15. De fato, x divide o lacet ` em duas partes: Uma que atravessa a capa de cruzamentos um numero par de vezes, que denotaremos èven , e um que atravessa a capa de cruzamentos um numero mpar de vezes, denotado òdd . èven e homologicamente nula sendo a fronteira de uma 2-cadeia. Ora, òdd forma uma curva fechada. Mais ainda, os cruzamentos de òdd com a regi~ao limitada por èven s~ao, justamente, os smbolos em i(x), como a fronteira da 2-cadeia e cruzada um numero par de vezes,

(67) ca demonstrada a paridade de x. Uma vez que o argumento funciona para qualquer smbolo x, segue a proposic~ao. A demonstrac~ao e ilustrada na Figura 3.1. E. G. B. C 1 F. 8. 6. D 11. 5 4. 7. D. A. 2. 10. 3 A. F 9 C. 12 B. E. G. Figura 3.1: Ilustrac~ao do argumento de prova da condic~ao de paridade. A regi~ao sombreada e relativa a èven com x = 1. Observe que a condica~o de paridade n~ao e satisfeita, por codigos projetivos 2-coloraveis uma vez que a 2-colorabilidade juntamente com a condic~ao de paridade implicam que o codigo correspondente possui lacet em uma superfcie orientavel - o que exclui IRP 2 como tal superfcie. Seja g codigo projetivo n~ao 2-coloravel com lacet ` em IRP 2 . Podemos associar um lacet L 2-coloravel a g substituindo cada vertice x de ` por um quadrado de vertices x1 ; x2 ; x3 e x4 de tal forma que ao arco, isto e, a aresta ordenada, [x; y] em ` correspondem dois arcos ligando os quadrados correspondentes a x e a y em L. Este processo e ilustrado na Figura 3.2. Note que o lacet g se transforma em uma faixa com auto-cruzamentos. Evitando estes auto-cruzamentos por uma ligeira perturbac~ao, que eleva uma dessas passagens de cada auto-cruzamento, a faixa se transforma em uma faixa de Mobius cuja fronteira e um S 1 . Os vertices x1 ; x2 ; x3 e x4 correspondentes em L ao vertice x em ` s~ao a Classe do Vertice x denotada por x. Nesta tese sobrecarregamos o smbolo x tanto para signi

(68) car um smbolo de g quanto para smbolo generico de um dos vertices de x, assim, por exemplo, 1 = f11 ; 12 ; 13 ; 14 g ) 11 = 12 = 13 = 14 = f11 ; 12 ; 13 ; 14 g Para

(69) xar a notaca~o, convencionamos que a primeira passagem de L pelo quadrado x sera feita do vertice x1 para o vertice x2 e a terceira passagem de L pelo quadrado x sera feita do. Classe.

(70) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE. x. y. 16. x1. x2. x4. x3. y1. y2. y4. y3. Figura 3.2: Aresta (x,y) em ` e sua duplicac~ao em L vertice x4 para o vertice x3 .. Como a faixa perturbada e uma faixa de Mobius, as passagens 2 e 4 têm o mesmo sentido. A. segunda passagem de L pelo quadrado x determina, tambem, qual a direc~ao da quarta passagem.. Isto determina completamente L em x. As quatro possibilidades para a segunda passagem de L por x s~ao ilustradas na Figura 3.3. x2. x1. x2. x1. P. xP. x4. x3. x4. x3. x1. x2. x1. x2. Q x4. xQ x3. x4. x3. Figura 3.3: As 4 Possibilidades de passagem de L por uma classe x Dado um lacet de um codigo g teremos um unico L correspondente a ` que e, claramente, 2coloravel uma vez que podemos colorir a face correspondente aos quadrados de Branco e as faces correspondentes as arestas de Preto deixando as faces restantes tambem da cor Branca. O lacet correspondente ao codigo projetivo n~ao 2-coloravel g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12 bem como o lacet duplicado a ele correspondente est~ao ilustrados na Figura 3.4. Em geral, contudo, queremos determinar o lacet correspondente a g, o que n~ao permite.

(71) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE E. G. B. C. 8. A. 4. 6. D. b’. c’’. b’’ a’ a’’. 1. f’. f’’ 8. d’ d’’. 6. 11. 5. 10. F 9 C. 12 B. e’ e’’. 11. 3 A. c’. g’’. 2. 5 7. D. g’. 2. 1 F. 17. E. G. d’’ d’. 7. f’ f’’. 4 10 3. a’’. 9 12. a’ b’’ b’. e’’ e’. g’’. g’. c’’. c’. Figura 3.4: Lacet projetivo n~ao 2-Coloravel do codigo g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12 e sua duplica c~ao. construir L. Uma vez que, tendo o lacet duplicado L do lacet ` correspondente a g, podemos recuperar ` contraindo x a um vertice e as faces correspondentes as arestas, isto e, as faces pretas em L a um arco. O problema de determinar se um codigo de Gauss g satisfazendo a condic~ao de paridade e realizavel no plano projetivo por um ` n~ao 2-coloravel e equivalente a determinar se existe algum lacet 2-coloravel L realizavel no plano projetivo e que seja a duplicac~ao de `. Para cada um dos n smbolos de g teremos 4 possibilidades locais para L correspondendo a indeterminac~ao da direca~o da segunda passagem de L por x conforme ilustrado na Figura 3.3, totalizando, desta forma, 4n possibilidades para L. Para cada lacet assim construdo teremos um codigo P com 4n smbolos correspondentes. O conjunto destes 4n Lacets possveis e denotado por L ou Conjunto dos Lacets Duplicados de g e o conjunto dos 4n codigos correspondentes e L denotado por P ou Conjunto dos Codigos Quadruplicados de g. P A discuss~ao previa nos conduz ao primeiro resultado relativo aos codigos quadruplicados Um codigo de Gauss g satisfazendo a condic~ao de paridade e realizavel no plano projetivo por um lacet n~ao 2-coloravel ` se, e somente se, existe P 2 P realizavel em IRP 2 por um lacet 2-coloravel L. Mais ainda, L sera, nestas condic~oes, a duplicaca~o de `. Proposi c~ ao 3.2. Este resultado estabelece, portanto, que bastaria aplicar o Teorema 2.4 a cada um dos codigos em P para resolver o problema no caso n~ao 2-coloravel, entretanto, a cardinalidade de P (que e 4n onde n e o numero de smbolos em g) inviabiliza tal teste mesmo para codigos relativamente pequenos. No exemplo central desta sec~ao, ou seja o codigo g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12 teramos, por exemplo, de realizar 412 = 16:777:216 testes. O que propomos nesta tese e, a partir de um codigo quadruplicado canônico P0 oriundo de um codigo de Gauss g , obter uma partic~ao de seus smbolos em conjuntos que fornecam ou uma condic~ao que mostre que o codigo g n~ao e projetivo ou uma maneira construtiva de obter, a partir de P0 um codigo P 0 2 P (g) projetivo cujo lacet L seja contratil a um lacet ` de g. Para de

(72) nir o codigo canônico P0 2 P ,

(73) xaremos a segunda passagem de L por x de x2 para x3 o que, de acordo com as convenco~es anteriores, tambem determina a quarta passagem de L por x de x1 para x4 . Com estas convenco~es, o codigo g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6;.

(74) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE. 18. 11; 8; 5; 10; 12 gera o codigo canônico escrito em duas linhas com igual numero de entradas para enfatizar a quadruplicac~ao do codigo original conforme ilustrado abaixo. :::. ::: :::. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 2. 3. 7. 8. 9. 10. 11 ; 12 14 ; 13. 21 ; 22 24 ; 23. 31 ; 32 34 ; 33. 41 ; 42 44 ; 43. 51 ; 52 54 ; 53. 61 ; 61 64 ; 64. 22 ; 23 21 ; 24. 32 ; 33 31 ; 34. 71 ; 72 74 ; 73. 81 ; 82 84 ; 83. 91 ; 92 94 ; 93. 101 ; 102 104 ; 103. 4. 7. 11. 9. 12. 1. 6. 11. 8. 5. 10. 12. 42 ; 43 41 ; 44. 72 ; 73 71 ; 74. 111 ; 112 114 ; 113. 92 ; 93 91 ; 94. 121 ; 122 124 ; 123. 12 ; 13 11 ; 14. 62 ; 63 61 ; 64. 112 ; 113 111 ; 114. 82 ; 83 81 ; 84. 52 ; 53 51 ; 54. 102 ; 103 101 ; 104. 122 ; 123 121 ; 124. :::. ::: :::. O codigo canônico e o unico codigo em P para os quais os vertices têm a mesma paridade dos seus sub-ndices e para o qual um vertice e mpar se, e somente se, e um vertice branco, ou seja, para uma classe x = fx1 ; x2 ; x3 ; x4 g os vertices mpares desta classe, que tambem s~ao os vertices brancos, s~ao os vertices O = W = fx1 ; x3 g, onde denotamos por W ao W Conjunto dos Vertices Brancos de um codigo e por B ao Conjunto dos Vertices Pretos. B Proposi c~ ao 3.3. Demonstra c~ ao. A a

(75) rmac~ao de que os vertices brancos de uma classe x do codigo canônico P0 s~ao os vertices fx1 ; x3 g e veri

(76) cada pela Figura 3.5 uma vez que a escolha da colorac~ao mantem o interior do quadrado x como branco e as faces correspondentes as arestas como pretas. A a

(77) rmac~ao quanto a paridade dos vertices na classe x pode ser veri

(78) cada utilizando a representac~ao circular do codigo quadruplicado conforme a Figura 3.6.. x1. x2. x4. x3. Figura 3.5: Colorac~ao dos Vertices Induzida pela Colorac~ao Canônica das Arestas em L. A passagem canônica de L por x ocorre do vertice x1 para o vertice x2 na primeira passagem e do vertice x2 para o vertice x3 na segunda passagem. A terceira passagem ocorre de x4 para x3 e a quarta passagem ocorre de x1 para x4 Nesta representac~ao, nossa escolha para passagem de L por uma classe x corresponde a con

(79) guraca~o xQ. Como jiP (x) \ yj = 0 ou 2 (ver Proposic~ao 4.1) a paridade de um vertice x 2 x dependera apenas da cardinalidade de iP (x) \ x e a a

(80) rmaca~o segue da Proposic~ao 4.2..

(81) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE. 19. x1 x2. x4 x1. xQ. x2 x3. x3 x4. Figura 3.6: Representac~ao Circular do Codigo Quadruplicado Canônico. Nesta

(82) gura, destacamos uma classe x. As cordas no crculo limitam as regi~oes correspondentes a func~ao iP do smbolo correspondente. As demais classes distribuem seus smbolos aos pares ao longo dos setores delimitados por x, desta forma, jx \ yj = 0 ou 2 para cada classe y 6= x. Os cruzamentos das cordas destacam ainda que iP (x1 ) \ x = fx4 g,iP (x2 ) \ x = ;, iP (x3 ) \ x = fx4 g e iP (x4 ) \ x = fx1 ; x3 g determinando, assim, a paridade de cada um destes elementos. A de

(83) nic~ao de paridade de um smbolo x, conforme anteriormente de

(84) nimos, se refere a paridade da cardinalidade de iP (x). Ressaltamos, contudo, que, para superfcies nas quais a condic~ao de paridade n~ao e necessariamente satisfeita, como, por exemplo, a garrafa de Klein, a seguinte norma e mais util para de

(85) nir a paridade de um smbolo do codigo quadruplicado: kxkP = jiP (x)j + ji(x)j onde iP (x) e a imagem da func~ao i para o codigo P do smbolo x e i(x) e a imagem da func~ao i para o codigo g do smbolo cuja classe contem x, por exemplo, k11 kP = jiP (11 )j + ji(1)j. Como, em IRP 2 vale a condic~ao de paridade, isto e, ji(x)j e par, as duas noc~oes coincidem neste caso. O proximo resultado estabelece a primeira relac~ao entre os codigos de P e a func~ao b. Por convenc~ao, acrescentaremos sub-ndice as func~oes i e b para distinguir seus valores entre os diversos codigos de P . Para o codigo original g as func~oes seguem sem sub-ndices. Proposi c~ ao 3.4 Seja P e bP (x2 ) = bP (x4 ).. 2 P e x = fx1 ; x2; x3 ; x4 g com x smbolo de g. Ent~ao bP (x1) = bP (x3). Demonstra c~ ao. Queremos demonstrar que fx1 ; x3 g 2 V + F e que fx2 ; x4 g 2 V + F . Para tanto, considere a faixa correspondente a g (x) = c1 ; c2 ; :::; ck (ver Figura 3.7). Nesta faixa, os elementos de V correspondem a soma de conjuntos de vertices que s~ao incidentes a um quadrado enquanto que os elementos de F correspondem a soma de conjuntos de vertices que s~ao incidentes a um retângulo. Colorindo de cinza os quadrados e retângulos da faixa cuja soma dos vertices incidentes, que esta no conjunto V + F , sera fx1 ; x3 g, somente iremos ignorar as regi~oes que s~ao relativas as auto-intercess~oes da faixa. A proposic~ao segue da observaca~o de que cada vertice incide em exatamente dois retângulos ou a um retângulo e a um quadrado, exceto por x1 , que incide em um quadrado apenas, e por x3 , que incide em um quadrado e dois retângulos. O conjunto fx2 ; x4 g tambem esta em V + F pois fx2; x4 g = fx1 ; x3g + x. O argumento de prova e ilustrado na Figura 3.8..

(86) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE. 20. Dg(x). Figura 3.7: Um smbolo x divide o lacet em duas regi~oes. Os vertices que limitam uma destas regi~oes s~ao os vertices de g (x). A escolha da regi~ao em quest~ao dependera da orientac~ao que g d a a curva. Neste desenho, a seta indica o incio e direc~ao da primeira passagem do lacet pelo smbolo x, de forma que a os vertices de regi~ao g (x) s~ao os que limitam a regi~ao escura.. xa xd. xb xg. Cj,a. Cj,b. Cj,d. Cj,g. Cj,a. Cj,b. Cj,d. Cj,g. Figura 3.8: Tipos de quadrados (correspondentes a vertices do lacet original) na faixa correspondente a g (x). A esquerda, o quadrado x. Ao centro, um quadrado cujo vertice correspondente ocorre uma unica vez em g (x). A direita, um quadrado cujo vertice correspondente ocorre duas vezes em g (x).. 3.3 Ac~oes no Codigo Quadruplicado De posse do codigo canônico P0 2 P , podemos recuperar todos os demais codigos em P atraves da realizaca~o de sucessivas aco~es. Uma ac~ao de uma classe x sobre um codigo P em P e uma operac~ao que produz um outro codigo em P . Distinguimos 3 tipos de ac~oes:. . A c~ ao Horizontal. : Muda o sentido da segunda passagem em x.. : Troca a segunda pela quarta passagem em x. a aca~o resultante da aplicac~ao consecutiva das ac~oes horizontal e verA c~ ao Cruzada: E tical. Uma vez que as ac~oes comutam, tambem pode ser obtido pela aplicac~ao consecutiva das ac~oes vertical e horizontal. A c~ ao Vertical. ac~ao.

(87) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE. x2. x1. x2. x1. P x4. 21. Q x3. x4. x3. Q = x P x2. x1. xQ x4. x2. x1. xP x3. x4. x3. xQ = x P. xP = x P. Figura 3.9: Ac~oes de x em P. 2P. As Figuras 3.9 e 3.10 ilustram o efeito local das ac~oes em L. Abaixo segue o efeito das aco~es na classe 1 do codigo canônico 11 12 : : : 12 13 : : : 11 12 : : : 13 12 14 13 : : : 11 14 : : : 14 13 : : : 14 11 P = P0 Q = x P 11 12 : : : 11 14 : : : 11 12 : : : 14 11 14 13 : : : 12 13 : : : 14 13 : : : 13 12 xQ = x P xP = x P O seguinte resultado e imediato das Figuras 3.9 e 3.10 Proposi c~ ao 3.5. Seja P. ::: ::: ::: :::. 2 P e x smbolo de P , ent~ao. x P inverte as paridades em x e inverte a colorac~ao dos vertices em x x P mantem as paridades em x e mantem a coloraca~o dos vertices em x x P inverte as paridades em x e inverte a coloraca~o dos vertices em x Os seguintes resultados, cujas demonstrac~oes s~ao o objetivo do restante da tese, mostram como as ac~oes de uma classe modi

(88) cam o valor da func~ao b em um codigo generico P 2 P : Proposi c~ ao 3.6 (Demonstrada na Proposi c~ ao 6.5). bk P (x) + bP (x) =. . ;;. Se x 6= k e x par, ent~ao. se x 6/ k caso contrario k;.

(89) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE x1 x2. x3 x2. x1 x2. P. x1. x2. x4. x3. x3 x4. Q. x1. Q = x P x1 x2. xQ. x2. x1. x3. x4. x3 x4. xQ = x P. xP. bk P (x) + bP (x) =. 2P. Se x 6= k ent~ao. ;;. se iP (x) \ k 2 f;; fk1 ; k4 g; fk2 ; k3 gg k; caso contrario. Proposi c~ ao 3.8 (Demonstrada na Proposi c~ ao 6.8). . x2. xP = x P. Proposi c~ ao 3.7 (Demonstrada na Proposi c~ ao 6.7). . x3. x3 x4. Figura 3.10: Ac~oes de x em P. bk P (x) + bP (x) =. x4 x1. x3 x4. x1 x2. x4. 22. Se x 6= k e x for par, ent~ao. ;;. se iP (x) \ k 2 f;; fk1 ; k2 g; fk3 ; k4 gg k; caso contrario. 3.4 Caracterizac~ao dos Codigos Projetivos N~ao 2-Coloraveis Seja x = fx ; x

(90) ; x ; xÆ g, onde x o primeiro elemento mpar da classe x = fx1 ; x2 ; x3 ; x4 g ordenada pelos sub-ndices. O antpoda de x , ou seja, o outro elemento mpar em x e x . Identicamente, o primeiro elemento par de x e x

(91) e a seu antpoda e xÆ . Denotamos xodd o subconjunto fx ; x g de x e xeven o subconjunto fx

(92) ; xÆ g. De posse das proposico~es sobre o efeito das ac~oes na func~ao b, podemos demonstrar (o que e feito no captulo 7) um resultado central na caracterizac~ao dos codigos projetivos n~ao 2-coloraveis, a Propriedade da n~ao Separac~ao da func~ao bP com P 2 P : Proposi c~ ao 3.9 (Propriedade da n~ ao Separa c~ ao, demonstrada na Proposi c~ ao 7.2). x 6= k, ent~ao ou k bP (x

(93) ) ou k \ bP (x

(94) ) = ;.. Se. x x odd x even.

(95) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE. 23. Desta forma, podemos de

(96) nir o grafo Kg (P ) cujas propriedades fornecem uma soluc~ao do problema do codigo de Gauss no plano projetivo no caso n~ao 2-coloravel - o resultado central desta tese. Kg (P ) e o grafo completo que tem como vertices os smbolos de g. As arestas de Kg (P ) recebem sinal positivo ou negativo conforme bP (y

(97) ) \ x seja vazio ou toda classe x. A demonstrac~ao da boa de

(98) nica~o do grafo Kg (P ) segue da separac~ao das classes pela func~ao b (Proposic~ao 3.9). De

(99) niremos, seguindo a linha do Teorema 2.4, uma rotulac~ao (colorac~ao) das arestas de Kg que, diferentemente da colorac~ao baseada apenas em i , sera dependente de P (denotaremos o grafo assim colorido por Kg (P )). . . Arestas n~ao Entrelacadas. Aresta Tipo N1 S~ao aquelas onde iP (y

(100) ) \ x = iP (x

(101) ) \ y = ;. Nas ilustrac~oes de Kg (P ), s~ao representadas por arestas azuis. Aresta Tipo N2 S~ao aquelas onde iP (y

(102) ) \ x = ; e iP (x

(103) ) \ y = fy ; y g. As arestas do tipo N2 s~ao orientadas com incio em y e

(104) m em x. Nas ilustrac~oes de Kg (P ), s~ao representadas por arestas verdes. Aresta Tipo N3 S~ao aquelas onde iP (y

(105) ) \ x = fx

(106) ; xÆ g e iP (x

(107) ) \ y = fy

(108) ; yÆ g. Nas ilustraco~es de Kg (P ), s~ao representadas por arestas violetas.. N1 N2. N3. Arestas Entrelacadas. Aresta Tipo E1 S~ao aquelas onde iP (y

(109) ) \ x = fx ; x

(110) g e iP (x

(111) ) \ y = fy ; y

(112) g. Nas ilustraco~es de Kg (P ), s~ao representadas por arestas magentas. Aresta Tipo E2 S~ao aquelas onde iP (y

(113) ) \ x = fx ; x

(114) g e iP (x

(115) ) \ y = fy

(116) ; y g. As arestas do tipo E2 s~ao orientadas com incio em y e

(117) m em x. Nas ilustrac~oes de Kg (P ), s~ao representadas por arestas vermelhas. Aresta Tipo E3 S~ao aquelas onde iP (y

(118) ) \ x = fx ; xÆ g e iP (x

(119) ) \ y = fy ; yÆ g. Nas ilustrac~oes de Kg (P ), s~ao representadas por arestas laranjas.. A Figura 3.11 ilustra algumas representaco~es que utilizamos para cada tipo de aresta. No captulo 7, demonstramos que estes s~ao os unicos tipos de arestas em qualquer grafo Kg (P ), ou seja, demonstramos os seguintes resultados: Proposi c~ ao 3.10 Seja P 2 P e ( x; y) aresta entre vertices n~ao entrelacados de P . Ent~ao (x; y) ou e do tipo N1 ou do tipo N2 ou do tipo N3.. Seja P 2 P e ( x; y) aresta entre vertices entrelacados de P . Ent~ao (x; y) ou e do tipo E1 ou do tipo E2 ou do tipo E3. Proposi c~ ao 3.11. Continuando a caracterizaca~o das arestas de Kg (P ) ,diremos que uma aresta (x; y) e positiva quando x \ bP (y

(120) ) = ; e negativa quando x bP (y

(121) ). Nas ilustrac~oes, as arestas positivas s~ao representadas por linhas

(122) nas enquanto que as negativas s~ao representadas por linhas grossas. A Figura 3.12 mostra o grafo Kg (P0 ) para o codigo g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12. Pela Proposic~ao 3.9, os sinais das arestas est~ao bem de

(123) nidos e pelas Proposico~es 2.5 e 3.2 para codigos projetivos, temos Um codigo de Gauss g satisfazendo a condica~o de paridade e realizavel no plano projetivo por um lacet n~ao 2-coloravel ` se, e somente se, existe P 2 P tal que Kg (P ) consiste apenas de arestas positivas Proposi c~ ao 3.12. E1 E2. E3.

(124) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE. E1. E2. E2. E3. a,b. b,g. a,b. a,d. a,b. a,b. b,g. a,d. [[ [[ [[ [[ b,g a,b a,d g,d a,b b,g g,d a,d a,d a,b b,g g,d. a,b a,d g,d b,g. x. x. x. x. y. y. y. y. [[ [[ [[ [[ b,g a,b a,d g,d. N1. a,d a,b b,g g,d. N2. a,b b,g g,d a,d. N2. a,b a,d g,d b,g. N3. x. 24 y. i. i. x. y. a,g. i. x. y. i. a,g. x. y. b,d. b,d. [[ [[ [[ [[ a,g a,g. i. i. x. y. i. a,g. x. y. x. y. i i. i. a,g. i. a,g. i. b,d b,d. b,d. i. i i. i. i. b,d b,d. a,g. b,d. a,g. i. [[ [[ [[ [[ a,g. i. b,d. x. y. i. b,d. Figura 3.11: Tipos de Arestas Entrelacadas e n~ao Entrelacadas. Na representaca~o a esquerda em cada uma das duas colunas, os subscritos referem-se a iP (y

(125) ) \ x no vertice a esquerda (x) e a iP (x

(126) ) \ y no vertice a direita (y ), assim, por exemplo, para aresta N1, o subscrito ; no vertice a esquerda signi

(127) ca que iP (y

(128) ) \ x = ;. Na representaca~o a direita em cada uma das duas colunas, de cima para baixo lê-se, seguindo a mesma notac~ao de subscrito da representaca~o a direita, os valores de iP (y ) \ x,iP (y

(129) ) \ x, iP (y ) \ x e iP (yÆ ) \ x para o vertice x e os valores de iP (x ) \ y,iP (x

(130) ) \ y, iP (x ) \ y e iP (xÆ ) \ y para o vertice y. Desta forma, por exemplo, para aresta E3, a quarta linha do colchete relativo ao vertice x ter valor

(131) ; signi

(132) ca que iP (yÆ ) \ x = fx

(133) ; x g O seguinte teorema, demonstrado no Captulo 7, fornece, com base no estudo do efeito das ac~oes sobre cada tipo de aresta no grafo Kg (P ), a caracterizac~ao dos codigos projetivos n~ao 2-coloraveis sendo, portanto, o resultado central desta tese. Teorema 3.1 (Teorema de Caracteriza c~ ao dos C odigos Pro jetivos n~ ao 2-Color aveis). Um codigo de Gauss g n~ao 2-coloravel e codigo projetivo se, e somente se, as cores das arestas em Kg (P0 ) induzem uma partic~ao nos vertices de Kg (P0 ) em 4 conjuntos A,B,C e D (alguns dos quais podem ser vazios), de tal forma que os sinais das arestas entre vertices de um mesmo conjunto e entre vertices de conjuntos diferentes se apresentem como na Figura 3.13 Mais ainda, aplicando ac~oes cruzadas a todos os elementos de A, aco~es verticais a todos os elementos de B, aco~es horizontais a todos os elementos de C e n~ao aplicando ac~ao alguma nos elementos de D, obteremos um codigo P 0 correspondente a um lacet duplicado L de `, lacet de 2 g em IRP .. O problema de, dado o grafo Kg (P0 ), encontrar a partic~ao de seus vertices nos conjuntos A,B,C e D do teorema e resolvido pelo seguinte teorema, enunciado na forma de um algoritmo e demonstrado, tambem, no captulo 7, fornece tal partic~ao ou uma condica~o mostrando que esta n~ao existe o que termina completamente a soluca~o do problema.

(134) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE. 1. 12. 25. 2 3. 11. 4. 10 5. 9 8. 6. 7. Figura 3.12: Grafo Kg para o codigo n~ao 2-Coloravel g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12. As orientac~oes das arestas do tipo N2 e E2 foram omitidas para maior clareza do desenho. E1. N1 N3. N1. N2. N3. N1. A. N3. N2. A=. B. C=. E3. N1. N1 N3. N3. N1 N3. N2. C. B= C= D=. D N2. N1. A=. B. E3. E3. D N3. E2 E1. E1. D=. N3. N3. E3. E1. A. E2. B=. N1. N1. E3. E1. E3. N3 N1. E1. E1 E3. E2. E1. E3 E1. E3. E1 E3. E2. C. Figura 3.13: Sinais das arestas do tipo N e E na partic~ao dos vertices em Kg (P0 ) Um codigo de Gauss g n~ao 2-coloravel e codigo projetivo quando as arestas do tipo N2 negativas induzem uma partic~ao dos vertices de Kg (P0 ) em dois conjuntos X e Y, que podem ser vazios, de tal forma que as arestas do tipo N em Kg (P0 ) distribuem-se como na Figura 3.14 e, neste caso, aplicando ac~oes horizontais a cada vertice em X, obtemos um grafo bipartido na arestas de tipo E negativas em dois conjuntos Z e W. Nestas condic~oes, aplicando ac~oes cruzadas em cada vertice de Z obtemos um codigo P 0 corTeorema 3.2.

(135) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE. 26. respondente a um lacet duplicado L de `, lacet de g em IRP 2 . A partica~o de

(136) nida no Teorema 3.1 e dada por A = Z X , B = Z \ X , C = X Z e D = Y \ W . N1 N2 N3. N1. X N3. N1. Y. N2 N3. Figura 3.14: Sinais das arestas do tipo N na partic~ao dos vertices em Kg (P0 ) Se um codigo de Gauss g n~ao 2-coloravel n~ ao e codigo projetivo ent~ao existe, no grafo obtido contraindo as arestas do tipo N1 negativas e do tipo N3 positivas, uma das seguintes estruturas:. . Um vertice que n~ao e nem fonte nem sorvedouro para arestas do tipo N2 negativas. Uma aresta do tipo N1 negativa ligando dois vertices fonte de arestas do tipo N2 negativas. Uma aresta do tipo N3 positiva ligando dois vertices sorvedouro de arestas do tipo N2 negativas..

(137) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE. 27. Finalizamos este captulo aplicando os dois ultimos teoremas na demonstrac~ao da projetividade do codigo n~ao 2-coloravel g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12 cujas cores das arestas em Kg (P0 ) s~ao ilustradas na Figura 3.12.. 1 11. 2 3. 10. 5. 9. 7. X. 6 12. 1. 3. 6. 9. 10. 12. Z. Y. W. 4 8. 2. 4. 5. 7. 8. 11. Figura 3.15: Algoritmo de Classi

(138) cac~ao aplicado ao codigo n~ao 2-Coloravel g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12. A esquerda mostramos a partica~o induzida pelas arestas de tipo N no grafo Kg (P0 ) para o codigo g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12. Para maior clareza do desenho, as direc~oes nas arestas tipo N2 (verdes) nas arestas internas aos conjuntos X e Y foram omitidas (ver Figura 3.14). A direita mostramos a partica~o induzida pelas arestas de tipo E negativas no grafo Kg (P 0 ) para o codigo g = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 7; 8; 9; 10; 4; 7; 11; 9; 12; 1; 6; 11; 8; 5; 10; 12 e P 0 obtido de P0 pela aplicac~ao de aco~es horizontais nos vertices do conjunto X = f1; 2; 3; 5; 7; 9; 10; 11g. Para maior clareza do desenho, as direc~oes nas arestas tipo E2 (vermelhas) negativas foram omitidas assim como as arestas tipo E positivas internas aos conjuntos Z ou W (ver Teorema 3.2).

(139) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE. 3. 6. 12. 28. 1. 9 10. 4. 8. 7 2. 5 11. Figura 3.16: Sinais das arestas do tipo N na partic~ao dos vertices em Kg (P0 ). Uma vez que, conforme a Figura 3.4, temos X = f1; 2; 3; 5; 7; 9; 10g; Y = f4; 6; 8; 12g; Z = f1; 3; 6; 9; 10; 12g e W = f2; 4; 5; 7; 8; 11g, podemos utilizar a caracterizac~ao dos conjuntos A; B; C e D dadas pelo Algoritmo de Classi

(140) caca~o (ver Teorema 3.2).

(141) CAPITULO 3. PRINCIPAIS RESULTADOS DA TESE. 3. 6. 29. 1. 9 10. 12. 4. 8. 7 2. 5 11. Figura 3.17: Sinais das arestas do tipo E na partic~ao dos vertices em Kg (P0 ) (ver

(142) gura 3.16).

(143) Cap tulo 4. Efeito das Aco~es Sobre a Func~ao iP 4.1 Introduc~ao Uma vez que as funco~es i e b caracterizam, conforme estudado no Captulo 7, os codigos projetivos n~ao 2-coloraveis, neste e nos proximos 2 captulos desta tese, estudamos com detalhes as modi

(144) caco~es induzidas pelas aco~es nestas funco~es. A func~ao b, conforme detalhado adiante, depende das funco~es i - estudada neste captulo, i2 - cujo estudo, no proximo captulo, depende do entendimento da paridade das intersecc~oes da func~ao i para diversos smbolos -, e Sx , estudada, juntamente com a funca~o b, no Captulo 6. A segunda sec~ao deste captulo se refere as propriedades da func~ao i que valem para quaisquer codigos em P e a sec~ao seguinte relaciona as propriedades preservadas pelas ac~oes em tal func~ao.. 4.2 Propriedades Imediatas da Func~ao i em P Para iniciar o estudo da func~ao i, a analise cuidadosa de todos os posicionamentos relativos entre duas classes x e k ao longo do codigo (conforme as Figuras 4.1, 4.2 e 4.3) fornece os resultados basicos. Na proxima sec~ao, analisamos como as ac~oes de uma classe modi

(145) cam os valores da func~ao iP , P 2 P . Proposi c~ ao 4.1. Se x 6= k ent~ao jiP (x) \ kj = 0 ou 2. Mais ainda,. x / k x 6/ k onde a 2 4ZZZZ . Proposi c~ ao 4.2. () iP (x) \ k = fka ; ka+1 g () iP (x) \ k = ; or fka ; ka+2 g. Se k1 e impar (isto e, jiP (k1 )j e mpar) em P ent~ao valem os resultados:. iP (k1 ) \ k = fk2 g iP (k2 ) \ k = fk1 ; k3 g iP (k3 ) \ k = fk2 g iP (k4 ) \ k = ; Se k1 for par em P ent~ao valem: iP (k1 ) \ k iP (k2 ) \ k iP (k3 ) \ k iP (k4 ) \ k. = = = =. fk2 ; k4 g fk1 g ; fk1 g. ou. iP (k1 ) \ k iP (k2 ) \ k iP (k3 ) \ k iP (k4 ) \ k. = = = =. fk4 g ; fk4 g fk1 ; k3 g. ou. iP (k1 ) \ k iP (k2 ) \ k iP (k3 ) \ k iP (k4 ) \ k. = = = =. ; fk3 g fk2 ; k4 g fk3 g. 30.

(146) ~ ~ IP CAPITULO 4. EFEITO DAS AC OES SOBRE A FUNC AO. kk 3. j1. j2 k2. P1. 3. j3. j1. k4. k1. k2. k3. Q1 j 2. j4. k4. j2 j1. j3 S1 k3 j4. k4 j4. k3. j4. j2. P3. k1. k3 j 3. k4 j3. k1 k4. k3. j2. j4. k3. j3. R3. k4. j3 k3 j4. Q2. j4. k1. j1. k4. j4. k4. j1. k1. k3. k2. k3. j4. j4. R2. k1. j3. j2 k1. P4. j2 k2. k4. k3. Q4 j3. k2 k3. j2 k1. k2. j1. j4. j2. S4 j3. j2. k2. k2. j1 k4. k2. k4. j3. k1. j2. k3. j1. j1. k1. j2. S3 j 2 k2. k4. j3. S2 j1. j3. j4. j1 j4. k2. k2. Q3. k2. j2. k4. j2. k2. j1. k1. j4. R1 k3 j3. j1. j1. j3 P2 k3. k4. j1. k1 k2. k1. k4 j3. j4. k1. j2 k1. 31. k3. j3. k4. R4. j1. k1. k2. j4. Figura 4.1: Primeira metade de todos os posicionamentos relativos entre duas classes e k n~ao entrelacadas. Proposi c~ ao 4.3. . Se x 6= k, ent~ao. (iP (x1 ) + iP (x3 )) \ k = (iP (x2 ) + iP (x4 )) \ k = (iP (x1 ) + iP (x2 )) \ k = (iP (x3 ) + iP (x4 )) \ k = (iP (x1 ) + iP (x4 )) \ k = (iP (x2 ) + iP (x3 )) \ k =. Outra forma de enunciar a proposica~o anterior e a seguinte: 4.4 Se x 6= k ent~ao (iP (xa ) + iP (xb )) \ k e igual a: ; ou k () xa e xb s~ao de mesma paridade em P fk1 ; k3 g ou fk2 ; k4 g caso contrario. Observa c~ ao: Proposi c~ ao. . ; or k fk1 ; k3 g or fk2 ; k4 g fk1 ; k3 g or fk2 ; k4 g. : fk1 ; k3 g e fk2 ; k4 g s~ao pares de antpodas.. Observa c~ ao.

(147) ~ ~ IP CAPITULO 4. EFEITO DAS AC OES SOBRE A FUNC AO k3 j1. k3 j1. j2 j3 k4 P5. k2. j4. j4. k4. k1 k4. j3. k3. S5. j4. j3. j4 k 3. j1. j1. j3. k3 j4. k1. j2. j3. j4. j3. k1 j2. j2 k3 j4. k2. j4. j1. R7. j1 k1. j3. k1 j2. R6. j1. j3 k2. k4 j2. j3. k1. k3 P8. k4. k2. j1 j4 k3. k3 S6 k1 j4 k2. k1. k4. k4. k4 j1 j3. j2. j3. k2. j2. k3. Q k4 7 k2 j1. k1. S7. R5. j2 j3. j1. j4. k1. k3 Q6. k4. k2. j1 j3 k4 P k 2 7 j2. j1. j4. k2. j3. k3. j1. P6. k1. k2. j4. j3. k4. k1. j2. k4. k1. j2. Q5 k2 j2. k4. k3. 32. k3. j2. k2. k2. j4. j4. j2 k4. k4. k3 S8. k1 j 1. Q8. k1 j2. k3 j3. R8 k1. j1. j4. k2. k2. Figura 4.2: Segunda metade de todos os posicionamentos relativos entre duas classes e k n~ao entrelacadas. 4.3 Ac~oes em P : Efeitos Sobre a Func~ao de Entrelacamento Os proximos resultados, relativos ao efeito das ac~oes sobre um codigo quadruplicado P , s~ao obtidos analisando as possibilidades ilustradas na Figura 4.4. O primeiro resultado se refere a mudanca na funca~o iP induzida pelas ac~oes de uma classe k nos demais smbolos do codigo quadruplicado Proposi c~ ao 4.5 Se x 6= k ent~ao. ik P (x) = iP (x) ik P (x) = ik P (x) =. . iP (x) iP (x) + k. Se. iP (x) \ k 2 f;; fk1 ; k2 g; fk3 ; k4 gg. iP (x) iP (x) + k. Se. iP (x) \ k 2 f;; fk1 ; k2 g; fk3 ; k4 gg. caso contrario. caso contrario.

(148) ~ ~ IP CAPITULO 4. EFEITO DAS AC OES SOBRE A FUNC AO k3 j2 j3. P9. k4. j1. k2. k4. j3. k3. j2. j3. j1. k1. k3. j3. j3. k3. k1. R9. j3. j2. j3. j2. k2. j4 k3. k1. j1. j1. R11 j 1 k2 j3 k3. j4 k4. j4. j2. P12. k3. k2. j3. k3. k2. S12. k1 j2 j3. k4. j3. j2 k1. k4 j3. k1. k2. R10. j4. k1. k2. j1. k3. k2. j1. k3. k3. j4. k4. j4 k1. j2. j2. S10. Q10 j2 j3. k2. k4. Q11 j1. k4 j2. k2. k3 k4. k1. S11. j4. k3. j1. k1. k4. j1. j4. k1. k2. k2 j2. P11. k4. j4. k2. k3 j1. k4. j1. S9. j4. j4. k4. j4. P10. k3. k4 k1. j3. j2. j3. k1. j4. j2. k4. k2. Q9. j4. j1. k1. j1. k3. 33. j2 k 1. Q12 j1 k 2 j4. j2. k2 j1. R12. j3 k4. j4. k1. Figura 4.3: Todos os posicionamentos relativos entre duas classes e k entrelacadas Mais ainda, as ac~oes cruzada e horizontal mudam a paridade dos elementos de k ao contrario da ac~ao vertical que as mantem.. Agora, a mudanca operada em iP pelas ac~oes de k nos seus proprios elementos: Os seguintes resultados descrevem a aca~o cruzada da classe k sobre a func~ao iP nos elementos da propria classe k: Proposi c~ ao 4.6. caso 1:. k1 mpar e iP (k1 ) \ k = fk2 g ik P (k1 ) ik P (k2 ) ik P (k3 ) ik P (k4 ). = = = =. iP (k2 ) + fk1 ; k3 g iP (k1 ) + fk2 ; k3 g iP (k4 ) + fk2 ; k4 g iP (k3 ) + fk2 ; k3 g.