ANTONIO CARLOS DA COSTA MARTINS
APLICAÇÃO DE AUTÔMATOS CELULARES PARA MODELAGEM DE
VARIÁVEIS REGIONALIZADAS NA MINERAÇÃO
São Paulo 2013
ANTONIO CARLOS DA COSTA MARTINS
APLICAÇÃO DE AUTÔMATOS CELULARES PARA MODELAGEM DE
VARIÁVEIS REGIONALIZADAS NA MINERAÇÃO
Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mineral
São Paulo 2013
ANTONIO CARLOS DA COSTA MARTINS
APLICAÇÃO DE AUTÔMATOS CELULARES PARA MODELAGEM DE
VARIÁVEIS REGIONALIZADAS NA MINERAÇÃO
Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mineral
Área de Concentração: Engenharia Mineral Orientador:
Prof. Dr. Giorgio de Tomi
São Paulo 2013
FICHA CATALOGRÁFICA
Martins, Antonio Carlos da Costa
Aplicação de autômatos celulares para modelagem de variá- veis regionalizadas na mineração / A.C.C. Martins. -- São Paulo, 2013.
92 p.
Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Departamento de Engenharia de Minas e de Petróleo.
1.Autômatos celulares (Aplicações; Modelagem) 2.Mineração I.Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia de Minas e de Petróleo II.t.
Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, sob responsabilidade única do autor e com a anuência de seu orientador.
São Paulo,... de ...de 2013 Assinatura do autor
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus.
Agradeço ao Prof. Dr.Giorgio de Tomi por ter proporcionado a oportunidade dessa conquista e me manter sempre motivado.
Agradeço ao meu irmão Francisco Roberto (em memória), que sempre me incentivou nos meus estudos e projetos.
Agradeço aos professores Ricardo Martins e Ricardo Cabral pela contribuição na revisão do texto da dissertação.
Agradeço ao Fabio Colombo e ao Prof. Dr. Marcelo Careño da engenharia elétrica por contribuírem na confecção do software.
Agradeço a Cristina, coordenadora da biblioteca que me orientou nas referências bibliográficas.
Agradeço a minha sobrinha Karina Martins (matemática) que me orientou nas dúvidas relacionadas a métodos de interpolação
Agradeço ao Alexandre Passos (Geólogo) que muito me ajudou nas análises dos resultados
Em fim, agradeço a todos os meus amigos do Lapol que de uma forma ou de outra contribuíram para o meu trabalho.
RESUMO
O trabalho proposto considerou o desenvolvimento de uma abordagem por autômatos celulares para modelagem de recursos minerais. De uma maneira geral, os autômatos celulares permitem a modelagem de sistemas e fenômenos levando em conta parâmetros de forma, dimensão, geometria, regras de evolução, regras de vizinhança e estado inicial. Para a aplicação dos autômatos celulares, foi desenvolvida uma ferramenta de software com apoio do Núcleo de Desenvolvimento de Software, do Departamento de Engenharia de Sistemas Eletrônicos da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. A ferramenta de modelagem desenvolvida foi aplicada para modelar um banco de dados conhecido na mineração, como Walker Lake Dataset (Isaaks e Srivastava, 1989). The results showed that the approach has potential for CAs to the area of modeling of mineral resources and indicated the importance of defining an interpolation method most appropriate for evolutionary change of ACs for the dataset studied
Palavras-chave: Autômatos Celulares, Estimativa de Teores de Minério,
ABSTRACT
This research project proposes a new approach for modeling geological resources using cellular automata. In general, cellular automata allow modeling systems taking into account parameters of shape, dimensions, evolution rules, neighboring rules and initial state of the cells. For the application of cellular automata in this project, a new tool has been developed in conjunction with the Software Development Group of the Department of Electronics of University of São Paulo. The modeling tool has been applied to model a popular dataset in mining which is the Waker Lake dataset (Isaaks e Srivastava,1989). The results showed that the approach has potential for ACs to the area of modeling of mineral resources and indicated the importance of defining an interpolation method most appropriate for evolutionary change of ACs for the dataset studied.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Diagrama de captura de dados geológico por krigagem e ACs... 16 Figura 2 - Variograma típico e suas propriedades... 22 Figura 3 - Modelos de variogramas teóricos mais utilizados ... 24 Figura 4 - Representação de variograma com os passos e tolerância
angular... 25 Figura 5 - Modelo de blocos tri-dimensional de uma jazida hipotética ... 25 Figura 6 - Exemplo de distribuição de amostras para estimativas de teores de
krigagem ... 26 Figura 7 - Fluxograma de atividades para estimativa de recursos e reservas
minerais ... 27 Figura 8 - Gráfico no plano cartesiano do método de interpolação ... 28 Figura 9 -
Figura 10 -
Representação no plano cartesiano do ponto P a ser interpolado....
Representação das moléculas de gás e estrutura tridimensional de caixas pretas ...
29
36 Figura 11 - Representação esquemática do comportamento dos gases em
uma dimensão ... 37 Figura 12 - Configurações de forma ... 41 Figura 13 - Dimensão dos ACs ... 41 Figura 14 - Representação de transição de estado no AC com seis estados.... 42 Figura 15 - Tipos de vizinhança dos ACs ... 43 Figura 16 -
Figura 17 -
Evolução com reprodução de estado... Fluxograma da metodologia para avaliação do uso de ACs para
44 44 Figura 18 - Distribuição espacial das 470 e 150 amostras ... 47 Figura 19 - Mapa de variograma para 470 amostras, parâmetros do RMP.par
e anisotropias... 50 Figura 20 - Parâmetros adotados no VRMP.par para a construção do mapa de
variograma ... 50 Figura 21 - Mapa de variograma para 150 amostras, parâmetros do VRMP.par
...
51
Figura 22 - Parâmetros adotados no GMV.par para construção do variograma
nas três direções... 51 Figura 23 - Modelo de variograma experimental de 470 amostras nas direções
0º, 250º e 340º... 52 Figura 24 - Parâmetros adotados no GMV.par para construção do variograma
nas três direções ... 53 Figura 25 - Modelo de variograma experimental na direção 0º, 250º e 340º
... 53 Figura 26 - Parâmetros adotados no GMV.par para a construção do
variograma nas três direções ... 54 Figura 27 - Modelo teórico esférico, exponencial, e gaussiano para 470
amostras... 55 Figura 28 - Parâmetros adotados para o variograma esférico 470 amostras
... 55 Figura 29- Parâmetros adotados para o variograma exponencial 470
amostras... 55 Figura 30 - Parâmetros adotados para o variograma gaussiano 470
amostras... 56 Figura 31 - Modelo teórico esférico, exponencial e gaussiano para 150
amostras... 57 Figura 32 - Parâmetros adotados para o variograma esférico 150
amostras... 57 Figura 33 - Parâmetros adotados para o variograma Exponencial 150
amostras... 58 Figura 34 - Parâmetros adotados para o variograma gaussiano para 150
amostras... 58 Figura 35 - Valores de teores em ouro em ppm determinados por krigagem
para 470 amostras baseados nos variogramas teóricos esféricos ... 59 Figura 36 - Valores de teores de ouro em PPM determinados por krigagem
Figura 37 - Valores de teores de ouro em PPM determinados por krigagem para 470 amostras baseado no variograma teórico gaussiano... 60 Figura 38 - Valores de teores de ouro em PPM determinados por krigagem
para 150 amostras baseado nos variograma teórico esférico... 60 Figura 39 - Valores de teores de ouro PPM determinados por krigagem para
150 amostras baseados nos variogramas teórico exponencial... 61 Figura 40 - Valores de teores de ouro em PPM determinados por krigagem
para 150 amostras baseados nos variogramas teórico gaussiano ...
61 Figura 41 - Valores determinados por meio do ACIPD interpolação com
vizinhança retangular para 470 amostras... 62 Figura 42 - Valores determinados por meio do ACIPD interpolação com
vizinhança retangular para 150 amostras... 62 Figura 43 - Valores determinados por meio do AC interpolação bilinear para
470 amostras... 63 Figura 44 - Valores determinados através do AC interpolação bilinear para 150
amostras... 63 Figura 45 - Gráfico de diagrama de dispersão com a correlação linear entre
variável Krigagem ordinária com base no variograma esférico e AC- IPD para 470 amostras... 65 Figura 46 - Gráfico de diagrama de dispersão com a correlação linear entre
variável de krigagem ordinária com base no variograma esférico e AC-IPD para 150 amostras... 67
LISTA DE TABELAS
SUMÁRIO INTRODUÇÃO ... 13 MOTIVAÇÃO ... 13 JUSTIFICATIVA ... 15 OBJETIVOS ... 16 1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 17
1.1 ESTIMATIVA DE RECURSOS E RESERVAS MINERAIS ... 17
1.1.1 Geoestatística ... 19
1.1.1.1 Conceituação da função variograma ... 20
1.1.1.2 Características do variograma... 21
1.1.1.3 Variograma experimental e teórico ... 22
1.1.1.4 Anisotropia ... 23
1.1.1.5 Tolerância linear e angular ... 23
1.1.1.6 Krigagem ... 24
1.2 CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO ... 26
1.2.1 Interpolação bilinear ... 28
1.2.2 Interpolação com média ponderada pelo inverso distância... 31
1.3 AUTÔMATO CELULAR ... 32
1.3.1 Comportamento do cérebro e comportamento dos gases ... 33
1.3.2 Aplicabilidade dos ACs no estudo dos gases – espaço tridimensional .. 35
1.3.3 Aplicabilidade do ACs no estudo dos gases – espaço unidimensional ... 36
1.3.4 Conceito e definição de ACs ... 39
1.3.5 Formato, geometria e dimensão dos ACs ... 40
1.3.6 Regras de evolução dos ACs ... 41
1.3.7 Configuração de vizinhança dos ACs ... 42
1.3.8 Estado inicial dos ACs ... 43
2 MATERIAIS E MÉTODOS ... 45
2.1 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL... 46
2.2 FERRAMENTAS UTILIZADAS ... 48
2.2.1 GSLIB ... 48
3 RESULTADOS ... 50
3.1 VARIOGRAFIA PRELIMINAR E KRIGAGEM ... 50
3.1.1 Distribuição espacial dos variogramas ... 50
3.1.2 Mapa de distribuição das 470 amostras ... 50
3.1.3 Mapa de distribuição das 150 amostras ... 51
3.1.4 Variogramas experimentais ... 52
3.1.4.1 Variograma experimental para 470 amostras. ... 52
3.1.4.2 Variograma experimental para 150 amostras. ... 53
3.1.5 Variogramas teóricos ... 54
3.1.5.1 Variograma esférico, exponencial, gaussiano para 470 e 150 amostras ... 54
3.1.6 Krigagem ordinária para 470 e 150 amostras ... 59
3.1.7 Estimativa ACs para 470 e 150 amostras ... 62
4. ANÁLISE DE RESULTADOS ... 64
4.1 ANÁLISE DOS RESULTADOS 470 AMOSTRAS – KRIGAGEM X AC IB... 66
4.2 ANÁLISE DOS RESULTADOSA 150 AMOSTRAS – KRIGAGEM X AC IB... 68
CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ... 70
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 70
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ... 73
ANEXOS ... 74
ANEXO A -Tabela-2 variancia de dispersão para 150 e 470 amostras ... 75
ANEXO B - Gráficos de dispersão e correlação linear krigagem x AC - IPD ... 76
ANEXO C - Ggráficos de dispersão com a correlação linear krigagem x AC-IB ... 77
ANEXO D - Tabela 2 - tendência central e erro quadrático AC-IB e AC-PD... 78
ANEXO E - Krigagem 470 amostras, baseado no variograma teórico esférico... 79
ANEXO F - AC- IB para 470 amostras... 80
ANEXO G - Krigagem 150 amostras, baseado no variograma teórico esférico... 81
ANEXO H - AC-IB para 150 amostras... 82
ANEXO I - Escoamento de Fluídos... 83
ANEXO J - Desenvolvimento e Lógica do Software Cellular Automata 3D...86
INTRODUÇÃO
A economia mundial mantém uma relação direta com as atividades de mineração, podendo-se afirmar que a intensidade de aproveitamento dos recursos minerais é fator relevante para avaliar o nível social e econômico da sociedade. O produto da atividade da mineração atinge os mais diversos segmentos da sociedade, tais como setores industriais, automobilísticos, eletroeletrônico, entre outros.
Os sistemas comerciais atuais utilizados para estimativas de recursos geológicos atendem de forma adequada aos requisitos da mineração, mas o processo de estimativa de teores pode ser aprimorado por meio de técnicas mais avançadas, identificadas em outros ramos de engenharia e ciência. Esta pesquisa propõe o estudo de Autômatos Celulares (“AC” ou “ACs”) como ferramenta para estimativa de teores de recursos minerais. Os Autômatos Celulares têm demonstrado um excelente desempenho e aproveitamento em diversas aplicações científicas e tecnológicas nos últimos anos; exemplo disso é a sua utilização como ferramenta de simulação para previsão da evolução de sistemas reais, como é o caso das simulações de incêndios florestais. Os Autômatos Celulares também são utilizados na compreensão dos mecanismos básicos evolutivos, contextualizados no desenvolvimento de sistemas vivos e em outros sistemas naturais, como é o caso do Jogo da Vida (CONWAY, 1970 apud MELLOTTI, 2009) e na implantação dos autômatos de Wolfram (2002, p.15) que geram os padrões fractais.
MOTIVAÇÃO
Atualmente, o procedimento padrão para estimativa de teores de recursos minerais é realizado com os recursos da geoestatística. Um dos grandes desafios para o uso apropriado das ferramentas geoestatísticas é o gerenciamento das informações e sua estruturação num banco de dados para posterior acesso e análise. Um dos maiores desafios para geoestatística atualmente, são processos relativos a estruturação de dados para análise e estimativa de teores e de outros atributos para estimativa que demandam muito trabalho e esforço do usuário.
O grande inconveniente nesse contexto diz respeito à atualização dos dados, etapa que em muitas situações acaba não sendo realizada, em decorrência da necessidade de compartilhamento imediato com outros setores da empresa que utilizam as mesmas informações, bem como os erros cometidos em consequência do grande esforço dedicado a atualização das informações. É importante destacar, contudo, que a geoestatística, atualmente, é bastante utilizada na mineração para estimativas de teores, com resultados muito precisos. Embora essa ferramenta mostre-se satisfatória, é necessário também avaliar o impacto da complexidade no contexto de atualização de dados para o devido aproveitamento das estimativas atualizadas por outros setores da empresa. Os dados amostrais, que normalmente são disponibilizados em grande número, seguem um processo bastante amplo, iniciando-se na sondagem e/ou na amostragem das frentes de lavra, passando pelo galpão e laboratório até a sua disponibilização no banco de dados. No banco de dados, as informações são utilizadas para as estimativas que incluem os diversos processos de um estudo geoestatístico, entre os quais a geração de modelos de blocos, estimativa por krigagem e avaliação final. O setor de planejamento de lavra, por exemplo, cuja atribuição é analisar as informações e tomar decisões sobre as frentes de minério a serem lavradas, depende do sucesso desse processo para dar andamento a seus trabalhos.
O Objetivo neste trabalho consiste em testar o Autômato Celular como ferramenta de estimativa de teores de recursos minerais para minimizar os desafios enfrentados pelo processo tradicional baseado em métodos geoestatísticos.
JUSTIFICATIVA
Um dos maiores desafios no planejamento de lavra é fazer a estimativa de teores de minério de forma dinâmica e reproduzir os resultados em tempo hábil para que os demais setores da empresa possam utilizar essas informações para a tomada de decisões. A abordagem padrão utilizada atualmente esbarra nesse problema, ou seja, o processo de atualização de informações muitas vezes é comprometido, pois a geoestatística exige um processo detalhado e demorado de manuseio de informações para produzir novas estimativas.
O aspecto dinâmico, nesse ponto, consiste basicamente em absorver novas informações sobre teores durante o processo de mineração e aproveitar as análises já realizadas com os dados antigos.
Esta pesquisa tem como objetivo introduzir um método de aproveitamento das análises já realizadas, superando em eficiência a atual prática, e ao mesmo tempo garantir maior facilidade para o usuário. Os ACs permitem a atualização das informações sem um manuseio especial dos dados. O AC é uma ferramenta computacional moderna já utilizada com sucesso em outras ciências, tais como a Física, a Química, e, principalmente, na Matemática. O seu aspecto modelador somado à grande velocidade de processamento dos dados são as principais características do AC. Essas características, quando direcionadas à avaliação de recursos geológicos, devem apoiar significadamente a tomada de decisões na cadeia de produção mineral como um todo. Outra vantagem dos ACs é o seu “aspecto evolutivo”, cujo comportamento automático e natural dispensa a utilização de convenções para o seu desempenho, permitindo a simulação ou modelagem bem próxima da realidade. Por se tratar de um tipo de ferramenta de modelagem de sistemas naturais, os ACs reúnem ótimas condições de modelagem geológica bem próximas da realidade representada pela amostragem de jazidas.
A figura 1 apresenta o Diagrama de captura de dados geológico que envolve a o processo de krigagem e o processo por ACs
OBJETIVOS
Estudar a aplicação de ACs para avaliar os benefícios e as limitações da representação dos atributos geológicos de jazidas minerais;
Aplicar ACs na estimativa de teores em jazidas minerais, utilizando diferentes métodos de interpolação como regra de mudança de estado;
Avaliar os ACs como mecanismo de atualização de dados geológicos;
Comparar o desempenho dos ACs em 2D com o método de Krigagem Ordinária; DIAGRAMA DE CAPTURA DE DADOS GEOLÓGICOS / KRIGAGEM
DIAGRAMA DE CAPTURA DE DADOS GEOLÓGICOS / ACs
1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
1.1 ESTIMATIVA DE RECURSOS E RESERVAS MINERAIS
O trabalho de avaliação e classificação de reservas minerais tem como objetivo a estimativa de jazidas em depósitos minerais e para isso utiliza os métodos científicos já conhecidos: variograma e krigagem.
“O processo de avaliação de um depósito inicia-se com a sua amostragem e tem como objetivo a determinação da extensão da mineralização e, consequentemente, a geometria do corpo mineralizado, os seus teores e sua distribuição espacial” (YAMAMOTO, 2001, p.15). O cálculo de reservas minerais é baseado nos dados coletados nos pontos de amostra obtidos por meio do processo de sondagem, ou seja, amostras recolhidas em furos de sonda nos depósitos. O material coletado sujeita-se à análise que visa o conhecimento da geologia e geometria do minério em questão. Assim, as informações provenientes dos pontos de amostras são a base para a determinação dos parâmetros geológicos. Durante as análises, os parâmetros geológicos e geométricos começam a tomar corpo, culminando no modelo geológico.
Definido um modelo geológico, obtido por meio de dados coletados nos furos de sonda, o objetivo seguinte é o cálculo de reservas. Para isso, os dados assim coletados devem ser de extrema confiabilidade e refletir com fidelidade teores, densidade e quantidade do minério nos pontos de amostra. O passo seguinte prevê a subdivisão do depósito em blocos de cubagem no domínio dos pontos de amostragem, ressaltando-se que essa medida levará ao modelo de bloco.
A análise geoestatística é de fundamental importância no processo de cálculo de reservas, pois é com ela que se determina a variabilidade do depósito, por meio do variograma. Caracterizada como ferramenta básica para o cálculo de reservas, o variograma utiliza as variáveis regionalizadas, local onde se originam os dados para os cálculos variográficos. O variograma teórico finaliza o processo de estimativa geoestatística, fornecendo subsídios suficientes para o desenvolvimento do processo de krigagem. A krigagem consiste em um método de interpolação e permite estimar, a partir dos dados obtidos do variograma, os valores de variáveis
regionalizadas como teores e densidade nos pontos onde não existem amostras. O processo é normalmente aplicado ao modelo de blocos geológicos que representa a jazida mineral. Para serem avaliados, os blocos geológicos devem ter amostras próximas. Nessa fase estão previstos segundo Popoff, 1966 apud Yamamoto, (2001), ações de caráter técnico, que envolvem as seguintes atividades:
Avaliações Geológicas
Avaliações do método de pesquisa e amostragem;
Avaliações dos dados da pesquisa e
Delineação do corpo mineral.
Ainda nessa fase são feitas considerações a respeito do corpo de minério (estruturais, litológicos, minerológicos); técnicas de sondagem adequadas; técnicas de amostragem, densidade das amostras (para garantir ou não a continuidade da mineralização); recuperação do testemunho na zona mineralizada, densidade aparente e quantidade das análises. Na etapa seguinte do processo como um todo, a geoestatística manipula esses dados assim analisados e produz mais um conjunto de informações que servirá de base para os cálculos finais do processo. O objetivo do método consiste em proporcionar um produto final de estimativas que represente a jazida.
1.1.1 Geoestatística
“Um fenômeno mineralizado pode ser caracterizado por uma distribuição espacial de um certo número de quantidades mensuráveis chamado variáveis regionalizadas” (JOURNEL e HUIJBREGTS, 1978, p.10). Segundo Landim (2003) a geoestatística teve inicio com o matemático Daniel G. Krige, a partir de 1951, que tinha o objetivo de avaliar e classificar reservas minerais. As observações e posterior análise a respeito de dados de concentração de ouro levaram-no a concluir que as variâncias obtidas não teriam sentido estatístico sem considerar a distância entre as amostras (VIEIRA, 1995, apud GUIMARÃES, 2004). Entretanto, foi com Matheron (1971) que a Geoestatística teve um grande impulso com o desenvolvimento da Teoria das Variáveis Regionalizadas. O termo variável regionalizada foi escolhido por (MATHERON, 1965, apud ANDRIOTTI, 2003) com o intuito de alertar sobre o aspecto aleatório e estruturado do fenômeno natural que apenas aparentemente são
contraditórios. O aspecto aleatório é determinado pelo valor numérico ou medições feitas que possam variar entre si, e o aspecto estruturado e, portanto, regionalizado, é determinado pelo caráter de dependência existente entre os pontos onde a variável é considerada, isto é, não são completamente independentes da sua localização geográfica.
As variáveis regionalizadas são aleatórias e consideram aspectos espaciais, ou seja, as posições relativas onde foram observados os diversos valores amostrais que devem ser consideradas parametricamente nos modelos. Possuem também características estritamente ligadas à estrutura do fenômeno natural que representam, tais como a localização, a continuidade e a anisotropia direcional. Para determinar se a estatística clássica ou a geoestatística deve ser usada para representar um fenômeno específico, utiliza-se a função variograma que expressa a dependência espacial entre os pontos amostrais. Havendo dependência espacial, as técnicas geoestatísticas são utilizadas para estimar os valores da propriedade em estudo em locais não amostrados, sem tendenciosidade e com variância mínima, por algum método geoestatístico, entre os quais o mais popular é a krigagem (VIEIRA, 2000),
Nas últimas décadas, a geoestatística tem se popularizado como o método padrão para estimativas e cálculos de recursos minerais. O campo de aplicação é bastante extenso e abrange outras áreas relacionadas a estudos ambientais, hidrologia, agricultura, meteorologia, e mais recentemente, à indústria de petróleo (YAMAMOTO e PARISI, 1996).
1.1.1.1 Conceituação da função variograma
O variograma é uma ferramenta de análise geoestatística necessária para a krigagem. O cálculo do variograma utiliza um conjunto de dados de amostragem sobre o espaço amostral. Sua equação geral expressa a medida de variância dos diferentes valores da variável regionalizada, representada por pares de amostras separados por uma distância “h”.
O variograma, como uma função da distância, representa quantitativamente as variáveis regionalizadas. Observa-se que o variograma resultante leva em consideração as distâncias em que pares de pontos mais próximos, por estarem
mais correlacionados, resultam em variância menor, aumentando à medida que a distância entre os pares de pontos aumenta, diminuindo a correlação. O variograma permite representar matematicamente a correlação entre pares de amostras e também a natureza regional do fenômeno.
O grau de relação entre pares de amostras do depósito pode ser expresso estatisticamente pela covariância entre as amostras. No entanto, para representar essa grandeza no variograma, é necessário agrupar os pares de amostras em intervalos regulares de múltiplos de inteiros de .
1.1.1.2 Características do variograma
Como indicado acima, a função variograma, também denominada “variograma”, é uma ferramenta de análise geoestatística que permite avaliar o comportamento regionalizado das propriedades de uma jazida. O cálculo do variograma é feito a partir de um conjunto de dados obtidos nos pontos amostrais. Sua equação geral expressa a medida da variância dos diferentes valores da variável regionalizada, representada pelos pontos de amostra separados por uma distância “h”.
A bibliografia especializada Andriotti (2003, p.104) utiliza com muita frequência os vocábulos variograma e semivariograma, como referência à mesma quantidade, porém o mais comum é o uso do primeiro vocábulo.
Na apresentação gráfica do variograma observam-se algumas propriedades que descrevem o comportamento espacial das variáveis regionalizadas.
A figura 2 apresenta o variograma típico e suas propriedades.
Figura 2 - Variograma típico e suas propriedades Fonte: Yamamoto, 2001, p.78
Uma descrição dos elementos principais do variograma é resumida a seguir:
Amplitude: Distância a partir da qual as amostras se tornam independentes. Reflete o grau de homogeneidade entre amostras. A amplitude é a distância que separa as amostras correlacionadas da área independente.
Patamar: Expressa o valor da variância onde o variograma se estabiliza (área aleatória)
Efeito Pepita: h=0 O valor da variância deveria ser zero (amostras no mesmo ponto); atribui-se a esse fato erros de análise de amostragem (variância aleatória).
Variância espacial: Diferença entre a variância e o efeito pepita.
Em termos computacionais, a representação da função variograma é apresentada a seguir: Onde: é a função variograma;
é o numero de pares de pontos separados por uma distância ; é o valor da variável regionalizada no ponto ; e
é o valor da variável regionalizada no ponto
São duas quantidades diferentes:
7 2 variograma;
8 semivariograma.
Segundo Myers apud Andriotti, (2003), a quantidade 1 é o parâmetro natural que se deve estimar a partir das diferenças quadráticas médias. No entanto, para krigagem, necessita-se da quantidade 2, que é a metade da quantidade 1. Ainda de acordo com Myers apud Andriotti, (2003), o termo variograma é o mais utilizado.
Neste trabalho optou-se por utilizar o termo variograma, devido à sua forma sintética, e também como forma de adequação à grande maioria da bibliografia especializada.
O variograma é a ferramenta básica para representar graficamente a função variograma. Essa função possibilita a representação adequada da variabilidade ou correlação espacial existente nos dados.
1.1.1.3 Variograma experimental e teórico
A geoestatística tem como objetivo analisar os fenômenos naturais como já citado anteriormente e sua característica é tratar o fenômeno natural levando em conta o aspecto espacial. Faz uso das variáveis regionalizadas na qual se baseia e tenta extrair dos dados assim disponíveis, a variabilidade do fenômeno e correlação existente entre pares de pontos através do variograma. O variograma na prática é a ferramenta de analise que determina a medida de dispersão da variável regionalizada e o grau de continuidade na mineralização. De modo geral a geoestatística prevê um o variograma experimental obtido a partir das amostras provenientes do campo e o variograma teórico que representa o variograma experimental matematicamente e assim permite a correção do erro de estimativa. O variograma teórico tem que ser na sua essência o mais ajustado possível ao variograma experimental. De acordo Landim (2003) as equações mais utilizadas para o ajuste do modelo teórico de variogramas são as seguintes:
Modelo esférico
Modelo gaussiano
A figura 3 mostra a representação gráfica dos modelos teóricos de variograma.
Figura 3 - Modelos de variograma teóricos mais utilizados Fonte: Landim, 2003, p.181
1.1.1.4 Anisotropia
A anisotropia é uma característica das variáveis regionalizadas que aponta em uma direção privilegiada ou tendência eventualmente presente no depósito mineral. Dessa maneira, é possível representar diversos variogramas direcionais, ou seja, associados em uma determinada direção. Quando não há anisotropia, o fenômeno regionalizado é considerado isotrópico. Quando os dados forem coletados em uma transeção (linha), o variograma é unidimensional e não são feitas considerações sobre anisotropia.
1.1.1.5 Tolerância linear e angular
O que caracteriza uma situação de distribuição irregular é a disposição dos pares de amostras, cuja posição espacial não apresenta um alinhamento regular, e, portanto, diferente do espaçamento h necessário para o cálculo do variograma. Nesse caso, para o cálculo do variograma, determina-se uma distância de tolerância para o espaçamento entre pares de amostras na direção e para o caso de variogramas direcionais na direção . Assim consideram–se todos os pares de
amostras que se encontram no setor e para os pares de amostras . As direções e os setores considerados devem cobrir a área toda.
A figura 4 ilustra os conceitos de tolerância linear e angular para malhas irregulares.
Figura 4 - Representação de variograma com os passos e tolerância angular
Fonte: Yamamoto, 2001, p.84
1.1.1.6 Krigagem
A krigagem é o processo de estimativa do comportamento de variáveis regionalizadas, que utiliza dados obtidos do variograma para estimar atributos como teores, espessura e densidade nos pontos onde não existem amostras. O processo é normalmente aplicado ao modelo de blocos geológicos que representa a jazida mineral. Cada bloco geológico tem a forma de paralelepípedo, cujas dimensões devem ser compatíveis com a distribuição das amostras como indicado na figura 5.
Figura 5 - Modelo de blocos tri-dimensional de uma jazida hipotética Fonte: Yamamoto, 2001, p.123
As amostras próximas aos blocos a serem estimados devem ser escolhidas a partir de um critério de seleção para proporcionar uma quantidade mínima de informações para a krigagem. A seleção das amostras vizinhas de cada bloco deve prever uma cobertura de área, com abrangência adequada, evitando situações de agrupamento de amostras.
Uma das principais vantagens da krigagem sobre todos os demais métodos de estimativa está no fato do processo de krigagem permitir avaliar o nível de confiança nos valores já estimados, através da variância de krigagem (BROOKER, 1979 apud YAMAMOTO, 2001). A equação geral da krigagem permite calcular os ponderadores associados a cada amostra, conforme definido a seguir.
Onde: é o valor desconhecido, é o ponderador, e é ponto da amostra
i, conforme o arranjo geral exemplificado na figura 6.
Figura 6 - Exemplo de distribuição de amostras para estimativas de teores de krigagem
A equação geral da krigagem está representada a seguir, para um sistema de n amostras:
Como se pode perceber o processo de estimativa de recursos e reservas minerais consiste em uma série de atividades a serem realizadas, cuja etapa seguinte depende exclusivamente dos resultados adquiridos na etapa anterior.
Abaixo, na figura 7, o fluxograma de atividades a serem realizadas para a estimativa de recursos e reservas minerais.
Figura 7 - Fluxograma de atividades para estimativa de recursos e reservas minerais Fonte: Agra (2011)
1.2 CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO
A interpolação é um método de cálculo numérico que tem como objetivo a determinação de valores em pontos desconhecidos e cuja função é desconhecida na sua forma analítica. Em engenharia e ciências, a interpolação é utilizada para modelar sistemas em casos onde se conhecem apenas um conjunto de valores obtidos através de experimentos ou amostragem. A interpolação permite utilizar funções de aproximação e de simples manuseio. A técnica consiste em substituir uma função, por exemplo, f(x) por outra g(x) que satisfaça algumas propriedades relevantes do sistema em estudo. A função resultante garantidamente terá que passar pelos pontos amostrados. As funções de substituição podem ser de vários tipos:
Polinomiais;
Trigonométricas;
Exponenciais;
Logarítmicas.
Por exemplo, dados os pontos: nós da interpolação e os valores de f( nesses pontos: f( f( )
A forma geral de uma função de interpolação de f( ) consiste em uma determinada função tal que:
;
A figura 8 apresenta o gráfico representativo dessa função.
Figura 8 - Gráfico no plano cartesiano do método de interpolação Fonte: Ruggiero e Lopes (2004)
1.2.1 Interpolação bilinear
Em matemática a interpolação bilinear é uma extensão de interpolação linear para interpolação bilinear para a função de duas variáveis, em uma grade regular. A função de interpolação não deve usar o termo x² ou y², mas xy, que é forma bilinear de x e y.
A idéia principal é realizar uma interpolação linear em uma direção e depois novamente em outra direção. (Chang, 2009). Apesar de cada passo ser linear nos valores amostrados e na posição, a interpolação como um todo não é linear, mas sim quadrática no local da amostra. A figura 9 representa o ponto P a ser interpolado, detalhado no plano carteziano.
Figura 9 – Representação no plano carteziano do ponto P a ser interpolado Fonte: Chang (2009)
Dados quatro pontos e
Primeiro fazemos uma interpolação linear na direção isso gera: onde onde
Seguimos com a interpolação na direção
isto nos dá a estimativa desejada de
O que equivale em matriz:
Ao contrário do que o nome sugere, a interpolação bilinear não é linear, é um produto de duas funções lineares
Alternativamente a interpolação pode ser escrita como:
Onde:
Em ambos os casos, o numero de contantes (quatro) corresponde ao numero de pontos de dados, onde f é dado. A interpolação é linear ao longo das linhas paralelas, quer na direção de x ou na direção de y, equivalentemente se x ou
y está definido como constante. Ao longo de qualquer outra linha, a interpolação é quadrática.
O resultado de interpolação bilinear é independente da ordem (ordem aqui significa que eixo é interpolado em primeiro lugar e em segundo) de interpolação. Se tivessemos apresentado pela primeira vez a interpolação na direção y e depois na direção x, a aproximação resultante seria o mesmo.
1.2.2 Interpolação com média ponderada pelo inverso da distância
A interpolação por média ponderada é um método, cujo valor de cota de cada elemento da grade é definido pela média ponderada dos valores de cota das amostras vizinhas. A ponderação mais usada na prática é o inverso da distância euclidiana do ponto da grade à amostra considerada (Landim, 2000 ) (, isto é, calcula-se o valor de um ponto através da média dos pontos mais próximos. A média é ponderada pelo inverso da distância entre os pontos, a formulação para esse método pode ser observada na Equação que se segue:
Em que:
: é o valor interpolado para o nó da grade; : é o valor do ponto amostrado vizinho ao nó;
: distância entre o nó da grade e ;
: expoente de ponderação (peso);
: número de pontos amostrados utilizados para interpolar cada nó.
O inverso da distância é utilizado para atenuar a influência de pontos distantes, e é fundamentado no pressuposto de existência de correlação espacial positiva. Dentre as características do método pode-se listar que:
a) É o método mais utilizado dentre os métodos de média ponderada; b) É bastante utilizado para a geração de modelos digitais de terreno;
c) O peso dado na interpolação influencia um ponto amostrado, com relação a outro,
diminuindo-o quando a distância entre eles aumenta;
d) Pontos mais próximos do ponto a ser estimado, recebem ponderação maior que
os pontos locados a uma maior distância;
Análise Estatística e Geoestatística dos Dados
e) A soma de todos os pesos dados aos pontos vizinhos é igual a um, isto é,
atribuído um peso proporcional para a contribuição de cada ponto vizinho quando se calcula o valor de um ponto;
f) A posição de uma observação é coincidente com um ponto, quando o seu valor
recebe peso um, e os pesos dos pontos vizinhos recebem valor zero, com isso o resultado será o próprio nó recebendo o valor exato da observação;
g) Pode-se escolher o expoente de ponderação.
Apesar de apresentar vantagens esse método apresenta algumas limitações. A Tabela 4.1, definida por (Landim, 2000) mostra esse comparativo do método do inverso da distância com os demais métodos.
Intuitivamente pode-se notar que quanto maior a distância que uma amostra se encontra do ponto da grade, menor deve ser a sua influência (ponderação) na apuração final do valor de cota do ponto da grade.
1.3AUTÔMATOS CELULARES
Os autômatos celulares (“ACs”) foram introduzidos nos anos 50 por John Von Neumann, levando em conta sugestões de Stanislaw Ulam, numa tentativa de modelar processos naturais de auto-reprodução (TOFFOLI; MARGOULOS, 1987). Ulam, que estava estudando a formação de cristais por meio de um modelo de uma malha e células, sugeriu-lhe usar esse tipo de modelo, conforme descrito por Castro e Castro (2008). Utilizado como ferramenta de modelagem, comprovadamente aprovada na Física, Química, e principalmente na Matemática, surgiu, sobretudo devido a sua flexibilidade e capacidade de produzir resultados, previsões e gerar simulações não obtidas por outros métodos (GREMONINI; VICENTINI, 2008). É um conjunto de células que interagem entre si dentro de um sistema através de regras simples, mas que produzem sistemas altamente complexos. Com regras simples os ACs podem ser incorporados nos tipos mais simples de programas de computador. O estudo de fenômenos coletivos pode ser simplificado com a utilização dos ACs.
A ideia básica desses modelos está em considerar cada posição (ou região) do domínio espacial como sendo uma célula, à qual é atribuído um estado. O estado de cada célula é modificado de acordo com o seu estado e o de suas vizinhas na etapa de tempo anterior, por meio de uma série de regras simples que tentam imitar as leis físicas ou biológicas, que regem o sistema. São as interações e estrutura interna similar, os fatores mais importantes nos ACs, ou seja, um sistema formado por células idênticas representativas que interagem, não importando o seu conteúdo interno (microscópico) ou qual a sua dinâmica interna. Dessa forma, cada célula tem uma estrutura que independe do meio ao qual está inserida e reage sempre da mesma maneira a estímulos idênticos, produzindo um comportamento automático e universal, o que o caracteriza como um autômato celular. Partindo de um sistema complexo, com efeito coletivo, o que é mais relevante na sistematização e implementação no âmbito dos ACs, são necessariamente os elementos externos em escala macroscópica,o que significa dizer que o cenário passa de uma descrição microscópica para uma macroscópica.
Na natureza, existem fenômenos que são modelados por equações, mas na grande maioria dos casos segundo Melotti (2009, p.1) não é possível a utilização do método por equações. Os sistemas complexos não possuem ainda uma definição
formal, o que pode ser visto como uma consequência da ausência de um tratamento analítico dentro da teoria geral dos sistemas dinâmicos (NUSSENZVEIGA apud ALONSO, 2008, p.1).
O estudo dos gases, de terremoto e dinâmica de populações são exemplos típicos dessa situação. A matemática, frequentemente, nessas situações, faz uso de equações diferenciais com elevado número de variáveis. No entanto, essa abordagem matemática, de acordo com Dilão (1993) torna sua resolução extremamente trabalhosa e impraticável. Ainda segundo Dilão (1993) uma alternativa seria a limitação do número de variáveis consideradas, mas nesse caso os resultados alcançados são limitados em relação ao fenômeno estudado. Quando um sistema contém um número elevado de variáveis, ele é denominado de Sistema Complexo. Esse tipo de cenário mostra a necessidade de estudo com uma forma mais simples, e o caráter evolutivo, característica própria dos ACs apresenta uma forma de linguagem mais adequada e simplificada para resolver esse impasse. Sobre esse aspecto, a indicação de utilização dos ACs mostra-se totalmente relevante, porque, além de sistemas virtuais, eles geram padrões gráficos que tornam as estruturas dos sistemas mais adaptadas à sua descrição. Além de servirem para simular vários sistemas físicos, biológicos, econômicos, os ACs trabalham a uma velocidade de processamento superior aos métodos convencionais. Para poder construir um AC é necessário apenas saber como se dá a interação entre as unidades básicas.
1.3.1 Comportamento do cérebro e comportamento dos gases
O cérebro e os gases apresentam em seu interior unidades estruturais básicas. Na sua composição, aparecem as células (neurônios) e seus elementos microscópicos como a membrana e o núcleo celular. O núcleo celular e a membrana, por sua vez, são constituídos por átomos e moléculas. Esses elementos desempenham funções específicas, produzindo como resultado efeitos coletivos globais no sistema como um todo; por exemplo, o controle do fluxo sanguíneo ou sensibilidade auditiva. O principal responsável pelo efeito coletivo do cérebro e que
resulta em um comportamento global ou macroscópico são as interações entre as células.
No comportamento dos gases no interior de um recipiente, o efeito coletivo ou comportamento global macroscópico é representado pela sua temperatura, pressão e densidade; a interação entre as moléculas é a responsável pelo comportamento global ou macroscópico destas últimas que, por sua vez, são obtidas pelas leis microscópicas, isto é, de partículas ainda menores que elas. No âmbito da física, esse aspecto denota um cenário termodinâmico, cuja temperatura, densidade e pressão são os representantes reais.
Dessa forma, cada sistema caracterizado por sua estrutura interna similar reage sempre aos mesmos estímulos. No entanto, segundo Dilão (1993), os aspectos químicos e físicos de escala microscópica não são suficientes para uma explicação em termos de descrição de sistemas complexos. Na verdade, o mais importante são as interações entre os elementos macroscópicos, obtidas das leis microscópicas que resultam em fenômenos globais. No caso dos neurônios, os efeitos coletivos globais não são caracterizáveis pela interação das moléculas que compõem a célula, mas sim as interações das próprias células. Nos gases, as interações ocorrem entre as moléculas, que fazem o papel das células e que determinam o resultado coletivo global. Nos neurônios, o efeito global é representado pelo controle do fluxo sanguíneo ou sensibilidade auditiva, e, nos gases, pela sua termodinâmica. Dessa forma, em um sistema complexo aparecem, associados, efeitos coletivos, que são os resultados observáveis sobre a visão do comportamento global do sistema, quer seja um sistema biológico quer físico.
Ao se comparar os fenômenos coletivos de um gás aos fenômenos coletivos do cérebro, o comportamento coletivo dos neurônios, fluxo sanguíneo ou sensibilidade auditiva correspondem à termodinâmica do gás.
O que de fato existe em comum nos dois sistemas é que ambos são regidos por suas interações macroscópicas que evoluem para efeitos coletivos globais. Em outras palavras, o comportamento macroscópico coletivo não é caracterizado pelos mesmos parâmetros individuais à escala microscópica; e embora essa visão pareça limitada, porque isola a natureza das interações da dinâmica interna dos elementos dos sistemas, ela tem sido a abordagem da ciência moderna quando sistemas manifestam comportamentos que se realizam em diferentes escalas (DILÃO, 1993). Mas existem sistemas, Dilão (1993), cuja capacidade de descrição é muito reduzida
no âmbito das variáveis coletivas. São os chamados sistemas caóticos e não lineares passiveis de simulação somente em laboratório.
Em principio, a simulação em laboratório parece ser a solução final e definitiva. No entanto, o maior limitador nesses sistemas físicos está no fato de que nem todos são passiveis de aplicabilidade em laboratório, porque o nível de complexidade foge totalmente ao controle. Como, por exemplo, as previsões climáticas no nível da atmosfera terrestre. Assim, os sistemas complexos exigem um aprimoramento de estudo que apresentem uma forma de linguagem mais adequada e com um formato mais simplificado.
Nesse cenário, a utilização e aplicabilidade dos ACs como modeladores de sistemas, com alto nível de complexidade, aparecem como um facilitador e podem ser uma alternativa de aplicabilidade, devido à ligação direta entre autômatos e teoria da computação.
1.3.2 Aplicabilidade dos ACs no estudo dos gases- espaço tridimensional
A utilização dos ACs para o estudo de fenômenos coletivos mostra o quanto um sistema complexo pode ser simplificado para constituir-se em um modelo simples para modelagem de fenômenos coletivos. Um exemplo que ilustra bem esse cenário é representado na figura 8 que simula os gases aprisionados em um recipiente. Na figura 10, abaixo, exibem-se as moléculas de um gás em um recipiente com uma estrutura espacial constituída por caixas negras ligadas entre si.
Figura 10 - Representação das moléculas de gás e estrutura tridimensional de caixas preta
Podemos imaginar, então, a construção e esquematização de uma estrutura espacial, cujas moléculas do gás seriam representadas por caixas pretas, isto é, elementos internos idênticos, que por meio das conectividades interajam pautados em um modelo matemático (regra adequada ou algoritmo), não importando o seu conteúdo interno ou a sua dinâmica interna. Nesse caso, as caixas pretas correspondem às células, onde, cada uma, independe do meio onde está inserida e reage sempre de forma idêntica. Um sistema com uma configuração espacial desse tipo tem uma estrutura celular que produzirá um comportamento automático. Tem-se então uma estrutura celular de autômato ou um autômato celular para simulação do comportamento dos gases em recipiente.
1.3.3 Aplicabilidade do ACs no estudo dos gases- espaço unidimensional
Para simplificar ainda mais o modelo apresentado anteriormente, vamos torná-lo um sistema unidimensional. O texto a seguir tem a intenção de elucidar e explicar o mecanismo dos ACs por meio de demonstração simples do comportamento de um gás aprisionado em um recipiente. O texto é adaptado de Dilão (1993) e gerou uma publicação na Colóquio Ciências Revista de cultura científica. Lisboa, número 12 (Dilão, 1993 p.3–20.)
Na figura 11, abaixo, estão representados as interações e evolução dos gases em recipiente e o seu comportamento global em uma dimensão.
Figura 11 - Representação esquemática do comportamento dos gases em uma dimensão Fonte: (Dilão, 1993 p.6)
“A estrutura do AC agora está inserida em um espaço unidimensional, isto é, uma linha de caixas equidistantes em que cada caixa vê apenas ou interage diretamente com seus vizinhos mais próximos”.
Na figura, o modelo do AC, é representado pelas caixas pretas e em cada uma ele deverá encontrar-se num certo estado. Em acordo com o esquema: o estado vazio corresponde à cor amarela, e os estados ocupados correspondem às cores vermelho, verde e azul.
Como o sistema está identificado como uma estrutura unidimensional, os átomos podem se deslocar ao longo de uma linha reta. Quando uma caixa encontra-se no estado amarelo, nessa posição não existe nenhuma partícula. Se uma caixa encontra-se no estado vermelho ou verde, então existe aí um átomo que se desloca, respectivamente, para a direita ou esquerda. O estado azul representa a ocupação da célula por duas partículas com a mesma velocidade, mas sentido oposto. Esse sistema, de acordo com Dilão (1993), vai evoluir no tempo conforme as leis dos choques de partículas e, em cada instante, a posição de uma partícula vai depender do seu estado de movimento e também do estado de movimento das partículas vizinhas. Vão existir no total 64 estados locais possíveis. Na Figura 9 a, estão representados alguns dos 64 estados locais possíveis das partículas, assim como o resultado da sua evolução temporal. Na Figura 9 b, está representado o estado coletivo de um conjunto de partículas ao longo da linha.
Como o gás de partículas está contido num recipiente, quando a partícula mais à esquerda atinge o limite do contentor com uma velocidade dirigida no sentido direito-esquerda, a colisão muda o sentido da velocidade, ficando a célula mais à esquerda no estado azul, ou seja, ocupada por duas partículas, pois as partículas imediatamente a seguir deslocam-se apenas da direita para a esquerda, figura 9 c. No instante zero, as partículas encontram-se num certo estado caracterizado pela cor das caixas. Num instante seguinte, digamos, tempo um, todas as partículas se moveram com a mesma velocidade e interagiram com as partículas vizinhas.
O estado do autômato, no instante um, é determinado pelas regras exemplificadas na figura 9 a, sendo todos os estados das caixas analisados simultaneamente. A pergunta que se faz agora é se o sistema evolui para um estado bem determinado e facilmente caracterizável macroscopicamente. Na figura 9 d, está representada a evolução temporal do autômato, para condições iniciais diferentes. Nota-se que o comportamento dos gases, nesse caso, é dependente das
condições iniciais escolhidas. Verifica-se também que o comportamento final do gás não é o de um gás em equilíbrio termodinâmico.
De fato, nesse sistema, a evolução temporal vai ser fortemente dependente das condições iniciais, no sentido em que, ao longo do tempo, posições de moléculas localizadas se localizadas e posições iniciais aleatórias mantêm-se com o mesmo tipo de complexidade. Um gás em equilíbrio termodinâmico tem configurações espaciais aleatórias mesmo que as condições iniciais correspondam a uma configuração inicial ordenada. Assim, para se obter um modelo de AC com as características de um gás, é necessário analisar quais os mecanismos físicos responsáveis pelas interações e implementá-los na lei de evolução.
Esse modelo de AC, para a simulação da evolução temporal de um gás, exemplifica como construir as regras de evolução temporal ou de interação implementada na rede de autômatos. Por outro lado, esse tipo de modelo é muito útil para selecionar os mecanismos mínimos que originam um certo fenômeno. De fato, foi a análise detalhada da versão contínua desse modelo que levou Lee e Yanga, 1952 apud Dilão, 1993 formular a teoria das transições de fase de condensação (transições líquido-gás). Por exemplo, esses autores concluíram que, para se obterem simulações realistas de um gás, são importantes: a possibilidade de existir um conjunto muito grande de velocidades diferentes, o fato de as interações se realizarem a três dimensões e de as partículas serem consideradas como pontuais.
“No exemplo que acabamos de apresentar, existe apenas uma velocidade possível para as partículas, as interações estão constrangidas a uma rede unidimensional e as leis locais de interação são apenas compatíveis com partículas de dimensões finitas”. Um exemplo de AC bidimensional ser observado no ANEXO I.
1.3.4 Conceito e definição de ACs
O AC é uma ferramenta de modelagem e simulação composta por células dispostas em um ser a malha com um número finito de dimensões.
As células que então compõem a malha se encontram em um estado finito que varia de acordo com uma regra e evolui em tempo discreto. O estado de uma célula no tempo t depende diretamente do estado no tempo t-1 de um número finito
de células na sua vizinhança. Essa vizinhança corresponde a uma determinada seleção de células próximas (podendo eventualmente incluir a própria célula). Todas as células evoluem segundo a mesma regra para atualização, baseada, essa regra, nos valores das suas células vizinhas. Cada vez que as regras são aplicadas à malha completa, uma nova geração de valores das células é produzida. Os ACs são sistemas distribuídos espacialmente, consistindo de um grande número de componentes simples, idênticos, e com conectividade local. Eles são de implantação extremamente simples e permitem a manipulação direta de seus parâmetros para o estudo de seu comportamento. Assim, os ACs tornaram-se importantes ferramentas para o estudo e modelagem de sistemas complexos reais nas mais diversas áreas.
Uma célula do sistema de ACs é caracterizada por seu espaço celular e por sua regra de transição. O espaço celular é um reticulado de N células idênticas dispostas em um arranjo d-dimensional, cada uma com um padrão idêntico de conexões locais para outras células, e com condições de contorno. Além de possuírem o potencial de modelar o comportamento de sistemas complexos na natureza, os ACs também são capazes de executar computações complexas com um alto grau de eficiência e robustez (OLIVEIRA, 1999).
Podemos representar computacionalmente um AC como sendo U = (L, R, f), ou por quatro partes U = (L, Q, R, f), onde L é o tipo de estrutura conhecida como “lattice” (tipo da rede de contato entre os componentes do sistema), Q o conjunto de estados, R a vizinhança de uma determinada célula e f a regra de transição local ou conhecida como função de transição local. (ADAMATZAKY, 1994 apud MELOTTI, 2009, p.10).
Uma célula arbitrária do “lattice” L será denotada por x, x ∈ L. Algumas vezes pode-se explicitamente especificar as coordenadas das células (índices inteiros), por exemplo, xi significa uma célula de um “lattice” de uma dimensão e xi, j uma célula de um “lattice” de duas dimensões.
Os valores que as células assumem são conhecidos como estados e o conjunto de estados que uma célula pode assumir é representado por Q. O conjunto Q pode consistir de objetos arbitrários, mas por simplicidade são usados principalmente símbolos ou números inteiros que são compostos por k estados (quantidade de estados que o AC possui). O estado da célula x no instante t é indicado por e o estado da vizinhança por ou ( ,) em que vt é o comprimento total da vizinhança. Além disso, assume-se que o ∈ Q.
A célula x tem o seu estado alterado no próximo instante dependendo do estado das células vizinhas e em alguns autômatos incluem-se o estado atual da célula: ( ,) (ADAMATZAKY, 1994 apud MELOTTI, 2009,
p.10).
1.3.5 Formato, geometria e dimensão do ACs
Os ACs possuem forma, dimensão e geometria específicas. Para sua configuração, é necessária uma geometria regular, com células do mesmo tamanho, contidas em uma rede ou malha regular. O formato das células pode ser triangular, quadrangular, hexagonal e podem ser multidimensionais. De forma geral:
O AC de uma dimensão possui uma sequência (infinita ou não) de autômatos justapostos em linha;
O AC de duas dimensões é composto por autômatos postos lado a lado, formando um plano;
O AC de três dimensões é composto por autômatos distribuídos tridimensionalmente, ou seja, uma distribuição no espaço;
O AC de n dimensões é composto por autômatos distribuídos n-dimensionalmente.
A figura 12 ilustra diferentes configurações de forma, como tamanho e dimensão de ACs.
Figura 12 - Configurações de forma: a) quadrada, b) triangular e c) hexagonal.
A figura 13 mostra as diferentes dimensões dos ACs
Figura 13 - Dimensão: a) uma, b) duas e c) três. Fonte: Leite et al., 2007
1.3.6 Regras de evolução dos ACs
Os ACs evoluem de acordo com regras que valem para todas as células. A partir de uma regra adequada, como um mecanismo de operação simples, é possível apoiar toda uma hierarquia de estruturas e fenômenos de alto grau de complexidade.
As regras podem ser determinísticas ou probabilísticas. Normalmente, os ACs são inicialmente modelados a partir de regras determinísticas com estados definidos e finitos. A partir do estado de uma célula, pode-se saber o estado da célula vizinha. Na situação de uma regra não determinística, o sistema se apoia em uma função de caráter probabilístico para definir o próximo estado da célula vizinha. Também existem regras temporais que se baseiam no fator tempo.
A figura 14 mostra a transição de estado, em que a AC possui seis estados (valores: 1, 2, 3, 4, 5 e vazio), Vizinhança de Moore e “lattice” quadrado.
Figura 14 - Representação de transição de estado no AC com seis estados Fonte: Mellotti, 2009
Observando a figura 14, nota-se que a célula, no estado 4, necessita que as oito células vizinhas estejam no estado 3, no próximo instante, para que essa mesma célula mude para o estado 2. Para que a célula, no estado 1, mude para o estado 5, conforme mostrado na figura 14, as duas células vizinhas necessitam estar no estado 3 com o restante da vizinhança vazio.
1.3.7 Configuração de vizinhança dos ACs
Para representar a evolução característica de um determinado sistema, o AC necessita que seja estabelecida a configuração de vizinhança. Quando o AC é unidimensional, as células estão dispostas de forma a possuírem duas células vizinhas, uma de cada lado.
Em duas dimensões, é possível definir várias configurações de vizinhança, como, por exemplo, a vizinhança de Von Newman e suas alternativas, conforme ilustrado na figura 15. Já em três dimensões, as células estão dispostas vertical, horizontal e diagonalmente adjacentes à célula de referência.
Figura 15 - (a) Vizinhança de Von Newman; (b) Vizinhança de Moore; (c) Vizinhança de Moore estendida
Fonte: Melotti, 2009
A figura 15 (a), com a Vizinhança de Von Newman, apresenta quatro células como vizinhança, a figura 15 (b) com Vizinhança de Moore apresenta oito células, e a figura 15 (c) Vizinhança de Moore Estendida considera um raio de vizinhança igual a dois, ou seja, duas camadas (linhas e colunas) são consideradas; assim, a vizinhança da célula que será atualizada será igual a 25 células. Outros tipos de vizinhanças podem ser considerados para aumentar a faixa de vizinhos ou escolher vizinhos aleatórios.
Os raios de vizinhança das figuras 15 (a) e 15 (b) possuem nível um, que significa que ambas possuem apenas uma camada (coluna e linha); no entanto, a figura 15 (c) possui duas camadas (duas linhas e duas colunas).
1.3.8 Estado inicial dos ACs
A evolução de um autômato celular também depende do seu estado inicial. Pequenas variações no estado inicial podem causar grandes variações nos estados subsequentes, ou seja, os ACs são normalmente muito sensíveis às variações no seu estado inicial.
Na figura abaixo 16, um exemplo de evolução com reprodução de estado.
Figura 16 - Evolução com reprodução de estado Fonte: Melotti, 2009
Os quatro ACS em destaque na figura X evidenciam como o estado inicial podem provocar grandes mudanças. São ACS de uma dimensão com uma regra de transição definida como com “lattice” quadrado, dois vizinhos (uma célula a direira e uma a esquerda), limite periódico e estados das células com valores Q = {0,1}.
Os quatro ACS possuem estados iniciais diferentes e evoluem para estados posteriores diferentes; os ACs da figura 13a) e 13b) repetem as condições iniciais no instante t = 4 e t = 2 respectivamente, O AC da figura 13 c) permanece constante a partir do instante t = 2 e o AC da figura 13d) repete a condição inicial no instante t = 3.
2 MATERIAIS E MÉTODOS
2.1 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
A figura 16 apresenta o fluxograma da metodologia desenvolvida para avaliação.
Figura 16 - Fluxograma da metodologia para avaliação do uso de ACs para estimativas de recursos minerais
Como discutido nos capítulos anteriores, os ACs utilizam regras que servem para comandar e orientar seu aspecto evolutivo para geração de resultados.
A proposta de pesquisa deste trabalho consiste na proposição de um procedimento experimental para identificação de regras que representem os fenômenos naturais relacionados à formação de depósitos minerais. Com isso, um modelo de AC foi desenvolvido e utilizado no processo de estimativa de atributos na avaliação de recursos minerais. A pesquisa se concentrou no estudo de alguns métodos de interpolação que pudessem ser utilizados como regra de mudança de estado do AC; tais métodos deveriam atender a esse aspecto de caráter fundamental e inerente ao AC e também desencadear um desempenho satisfatório, levando em conta alguns bancos de dados utilizados como exemplos de aplicação.
Várias etapas foram necessárias para se atingir um resultado final a partir dos dados amostrais. Após a escolha das amostras e definição das ferramentas, procurou-se, em primeiro lugar, trabalhar a geração de resultados sob a visão da geoestatística e krigagem. Sob esse aspecto, foram gerados sequencialmente os mapas de distribuição dos variogramas para as 470 e 150 amostras, essa ultimas foram escolhidas aleatoriamente e distribuídas numa malha irregular de dimensão 260 x 300 m². A análise de variogramas serviu para identificação de possíveis anisotropias ou isotropia para a geração dos variogramas experimentais.
Com a identificação de anisotropias para 470 e para 150 amostras, partiu-se para a construção dos variogramas experimentais em três direções que possibilitou a confecção dos variogramas teóricos, esférico, exponencial e gaussiano, que forneceram as bases para a krigagem.
Concluída a geração de resultados no âmbito da geoestatística, a atenção voltou-se para a produção de resultados na visão dos ACs, que incluiu resultados a partir das 470 e 150 amostras. A utilização dos ACs baseou-se nos métodos de interpolação bilinear AC IB e interpolação com média ponderada do inverso da distância AC IPD como regra de mudança de estado.
Após a conclusão dos trabalhos no âmbito da geoestatística e krigagem, bem como os ACs, iniciaram-se as análises de comparações dos resultados obtidos, método este adotado como princípio de mensuração do desempenho dos ACs. Ao término das comparações, desenvolveu-se uma argumentação sobre as conclusões e considerações.
