Prof. M. Sc. Jarbas Thaunahy Santos de Almeida

M J C i 0 1 2 3 t Capital Montante Tempo Juro

Fonte: PENIDO, Eduardo. Matemática Financeira para Concurso Público. São Paulo: Atlas, 2007.

Representação Gráfica

Introdução

Ao se interessar pela aquisição de um notebook,

para realização de suas tarefas escolares, o

vendedor lhe oferece duas possibilidades de

pagamento:

1ª) À vista, por R$ 2.000,00;

2ª) Em duas parcelas, com um “pequeno” acréscimo de 10% sobre o preço à vista, sendo a primeira parcela no ato e a segunda decorridos 30 dias da compra.



Acréscimo na 2ª opção:

R$ 2.000,00 x 0,10 = R$ 200,00



Cada pagamento:

1.100,00

R$

2

200,00

R$

2.000,00

R$





0 prazo (meses) 0 1 Valor à vista R$ 2.000,00 Entrada no ato R$ 1.100,00 2º Pagamento R$ 1.100,00

Fluxos de caixa das duas condições de pagamento

Comparação das duas condições

0 1 prazo (meses) Valor economizado no ato R$ 900,00 Parcela adicional paga R$ 1.100,00

∞

Na 2ª opção de pagamento, deixamos de pagar no ato da

compra R$ 900,00 (R$ 2.000,00 – R$ 1.100,00).

∞

Por outro lado, pagamos mais uma parcela de R$ 1.100,00 um

mês após a compra.

∞

O valor dos juros pagos em um mês, portanto, é igual a

R$ 200,00

(R$ 1.100,00 – R$ 900,00)

∞

A taxa de juros da 2ª opção de pagamento (taxa efetiva) é

calculada pela fórmula:

0 1 prazo (meses) Valor economizado no ato R$ 900,00 Parcela adicional paga R$ 1.100,00

C . t

j

i



1

900

200

.

i



i = 0,222

i = 22,2%



No exemplo apresentado, a operação financeira possui um valor

financiado de

R$ 900,00

, que será denominado de

Capital (C)

e um

valor final de

R$ 1.100,00

que será denominado

Montante (M)

.



A operação tem a duração de

30 dias

(1 mês), que é o

prazo (t)

.



Existe uma diferença entre o montante e o capital de

R$ 200,00,

que será denominado de

juro (j)

da operação. Esse valor será um

custo para o devedor e uma remuneração para o credor.

R$ 1.100,00 R$ 200,00 i = 22,2% R$ 900,00 Ato 30 dias Capital Montante Prazo Juro

A Importância da Matemática Financeira

• I – R$ 5.000,00, a vista sem desconto

• II – R$ 1.000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$

4.500,00 em 1 (um) mês após a data da compra.

• A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da

segunda opção, que vence em 1 (um) mês após a data da

compra, é de:

(Escriturário BB FCC 2006) Um televisor é vendido em uma loja onde o

comprador pode escolher uma das seguintes opções:

• 30%

• 25%

• 20%

• 15%

• 12,5%

A Importância da Matemática Financeira

C . t

j

i



• I – R$ 5.000,00, a vista sem desconto

• II – R$ 1.000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$

4.500,00 em 1 (um) mês após a data da compra.

• A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da

segunda opção, que vence em 1 (um) mês após a data da

compra, é de:

(Escriturário BB FCC 2006) Um televisor é vendido em uma loja onde o

comprador pode escolher uma das seguintes opções:

• 30%

• 25%

• 20%

• 15%

• 12,5%

12,5%

A Importância da Matemática Financeira

1

00

,

4000

00

,

500

.

i



(Banco do Brasil 1998) Uma geladeira é vendida a vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?

• 6%

• 5%

• 4%

• 3%

• 2%

A Importância da Matemática Financeira

C . t

j

(Banco do Brasil 1998) Uma geladeira é vendida a vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?

• 6%

• 5%

• 4%

• 3%

• 2%

5%

A Importância da Matemática Financeira

Valor economizado no ato R$ 800,00 Parcela adicional paga R$ 880,00 0 2 prazo (meses)

2

00

,

800

00

,

80

.

i



(CFC Técnico 2000.1) Taxa de juros em um determinado tempo

significa a relação entre:

• Juros e montante

• Juros e capital

• Capital e montante

• Desconto e montante

(CFC Técnico 2000.1) Taxa de juros em um determinado tempo

significa a relação entre:

• Juros e montante

• Juros e capital

• Capital e montante

• Desconto e montante

Juros e Capital

Capital

Dinheiro*

Capital

Sob o ponto de vista da Matemática Financeira, capital é qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. (CASTANHEIRA e SERENATO, 2007, p. 22)

Leitura recomendada

Capital

§

É o valor aplicado através de alguma operação financeira.

Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Investimento

Inicial, Valor Inicial, Depósito Inicial, Valor Presente ou Valor

Aplicado. Em língua inglesa, usa-se

Present Value

, indicado

nas calculadoras financeiras pela tecla

PV

.

Capital

País Moeda País Moeda

Afeganistão Afenage Índia Rúpia

Argentina Peso Argentino Jamaica Dólar Jamaicano Austrália Dólar Australiano Japão Iene

Bolívia Peso Boliviano México Peso Mexicano Canadá Dólar Canadense Paraguai Guarani

Chile Peso Chileno Peru Sol Peruano China Iuan Renmimbi Reino Unido Libra Esterlina Colômbia Peso Colombiano Rússia Rublo

Cuba Peso Cubano Uruguai Peso Uruguaio Estados Unidos Dólar Venezuela Bolívar

Moedas correntes no mundo e seus países de origem

Fonte: ROCHA, Ricardo Humberto e VERGILI, Rodney. Como esticar seu dinheiro: fundamentos de educação financeira. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007. p. 19. (Coleção Expo Money).

Capital

Moedas convertidas para o Euro

Fonte: ROCHA, Ricardo Humberto e VERGILI, Rodney. Como esticar seu dinheiro: fundamentos de educação financeira. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007. p. 20. (Coleção Expo Money).

País Moeda

Alemanha Marco Áustria Xelim

Bélgica Franco Belga Espanha Peseta

Finlândia Marco Finlândes

França Franco

Grécia Dracma

Holanda Florim

Irlanda Libra Irlandesa

Itália Lira

Luxemburgo Franco Luxemburguês Portugal Escudo

Base Legal: Medida Provisória nº 542, de 30.06.94.

Lei nº 8.880, de 27.05.1994.

Lançamento: 01.07.1994

Na transição do Cruzeiro Real para o Real foi utilizada a URV(*), cujo valor, em cruzeiros reais, variava diariamente. Em 1º de julho de 1994, uma URV passou a ser igual a UM REAL. Para essa equivalência, utilizou-se a URV do dia anterior, fixada em 2.750 cruzeiros reais.

Capital

1 URV = 2.750 Cruzeiros Reais = 1 Real

Representa a soma em

dinheiro

que deve ser paga pelo direito

de se dispor temporariamente de um

capital

, sendo

portanto, um prêmio em

dinheiro

que o emprestador

recebe, além da restituição integral do

capital

cedido.

(CARVALHO, 1975).

Os gregos denominavam o juro tokos,

palavra

que

significa

“progênie”,

“geração”, o que deu margem à afirmação

crítica de Aristóteles de que o dinheiro

não procria.

Os romanos usavam duas denominações para o juro: foenos quando

se referiam ao credor e usura quando se referiam ao devedor.

Até o fim da Idade Média a palavra

usura

significava juro. Sua

acepção atual é de

juro a taxas ilegais ou exorbitantes

.

Atualmente, como no

Brasil

existe a

lei da

usura

, que especifica o limite que pode ser

cobrado para empréstimos pessoais. O

credor que cobrar acima desse valor passa

a ser considerado um

agiota

e pode estar

sujeito a condenação pela legislação do

país.

Lei da usura é a denominação informal atribuída, no Brasil, à legislação que define como sendo ilegal a cobrança de juros superiores ao dobro da taxa legal ao ano (atualmente a taxa SELIC) ou a cobrança exorbitante que ponha em perigo o patrimônio pessoal, a estabilidade econômica e sobrevivência pessoal do tomador de empréstimo.

Nestes casos o emprestador é denominado agiota. Desde 1933 está em vigor na forma do decreto nº 22.626, de 7 de Abril de 1933, que define as punições e preceitos legais a respeito.

A lei em questão se aplica a negócios civis. Para instituições financeiras a Lei de Usura não se aplica, uma vez que existe legislação específica.

Interest (inglês);

Intérêt (francês);

Interesse (italiano);

Interés (espanhol).

Juros

Remuneração que o

dono do dinheiro

cobra para conceder

um empréstimo. O

valor do juro é

considerado o

custo

do dinheiro

.

Juros

Juros



Representam a

remuneração

obtida a partir do

capital

aplicado e podem

ser considerados como o

custo do capital

durante determinado período de

tempo.



Os

juros

existem porque as pessoas nem sempre possuem recursos

financeiros disponíveis para consumir ou quitar suas dívidas à vista.



Os

juros

caracterizam-se ainda, em tese, pela reposição financeira das

perdas sofridas com a desvalorização da moeda (

inflação

) durante o

período em que esses recursos estão emprestados.



Rendimento do capital;



Ganho sobre o capital;



Remuneração do capital;



“Aluguel” do capital.

Mais Agiotas caras Rotativo no Cartão Cheque Especial Empréstimo Financiamento Pessoal Compras (CDC) Penhor de Bens Financiamento de Autos Empréstimo Cooperativo Empréstimo Consignado Financiamento Imobiliário Crédito Educacional Empréstimo Mais de parentes baratas Contratação Contratação simples burocrática

Fonte: CERBASI, Gustavo. Como organizar sua vida financeira: inteligência financeira pessoal na prática. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009, p. 95. (Coleção Expo Money).

Relação entre o custo e a complexidade de contratação das

diferentes modalidades de crédito

ALTERNATIVAS DE CRÉDITO - PESSOAS FÍSICAS

Tipo Operação Onde obter

Empréstimos

Cheque especial Bancos

Crédito Pessoal Bancos, Financeiras, Cooperativas de crédito, Fundos de Pensão Crédito Consignado (desconto em folha) Bancos, Financeiras, Leasing, Empregador

Microcrédito Bancos, Cooperativas de crédito Penhor Caixa Econômica Federal

Financiamentos

CDC - Crédito Direto ao Consumidor Bancos, Financeiras, Lojas Leasing Bancos, Leasing

Crédito Imobiliário Bancos, CEF, Construtoras/Incorporadoras

Adiantamentos

13º salário Bancos, Empregador

Férias Empregador

Antecipação de devolução de Imposto de Renda Bancos

Outros

Cartão de crédito Comércio, Administradoras de Cartão Cheque pré datado Comércio

Consórcio bens móveis e imóveis Administradoras de Consórcio, Bancos Crédito Educativo Caixa Econômica Federal

Fonte: http://financenter.terra.com.br/Index.cfm/Fuseaction/Secao/Id_Secao/1428. Acesso em: 21 mai 10 * Evite os

(CFC Técnico 2000.1) Podemos conceituar juros como:

• A razão entre o montante e o capital

• Diferença entre o desconto e o capital

• Remuneração de um capital

• Valor retirado de uma operação de antecipação de pagamento

Juros

(CFC Técnico 2000.1) Podemos conceituar juros como:

• A razão entre o montante e o capital

• Diferença entre o desconto e o capital

• Remuneração de um capital

• Valor retirado de uma operação de antecipação de pagamento

Remuneração de um capital



_Denomina-se

_montante

_{(M) a soma do}

_capital

_{(C) e do}

juro

(J) de uma operação financeira e que é devido ao

final da mesma.



_{Esta definição mostra a seguinte relação:}

_{M = C + J}

_{, que}

é denominada

equação básica da Matemática

Financeira

.

Montante Capital Juros

Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 800,00 durante

um determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que

a importância aplicada foi de R$ 15.000,00?

M = C + J

M = 15.000,00 + 800,00

M = R$ 15.800,00

Taxa de Juros

Outrora, na França, exprimia-se a

taxa

por

um

coeficiente

denominado

dinheiro

(denier).

Segundo Carvalho (1975) era o

número de dinheiros (moeda

francesa do tempo de Felipe I),

necessário para produzir, na

unidade de tempo, um

dinheiro

de

juro.

Fonte: CARVALHO, Thales Melo. Matemática Comercial e Financeira: complementos de matemática. Rio de Janeiro: FENAME, 1975.

Taxa de Juros

Na prática financeira, a grandeza do juro é definida por um

coeficiente denominada taxa. Duas são as taxas

habitualmente utilizadas:



Taxa percentual

Representa o juro do capital em porcentagem. Exemplo: 5%.

(usadas no Século XV como abreviatura de per cento) através da forma per , usada no Século XVII).



Taxa decimal ou unitária

Representa o juro da unidade de capital em um determinado período

tomado para unidade de tempo, dividido por cem. Exemplo: 0,05.

o o o c o c

Toda taxa de juros é composta por duas partes:

1ª parte: o valor percentual

6%;

2ª parte: a unidade de tempo

ao ano (a.a.)

Taxa de Juros

Unidades de Medida

Representação da Taxa de juros

Abreviatura

Significado

a.d.

ao dia

a.m.

ao mês

a.b.

ao bimestre

a.t.

ao trimestre

a.q.

ao quadrimestre

a.s.

ao semestre

a.a.

ao ano

a.p.

ao período

Taxa

Percentual

Unitária

0,02% a.d.

0,0002

5% a.m

0,05

10% a.b.

0,1

18,9 % a.t.

0,189

27% a. q.

0,27

55% a.s.

0,55

103,4% a.a.

1,034

0,2% a.p.

0,002

Taxa de Juros

3. (AFTN 98 ESAF) Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês:

a) 60,0 b) 1,0 c) 12,0 d) 0,6 e) 5,0

3. (AFTN 98 ESAF) Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês:

a) 60,0 b) 1,0 c) 12,0 d) 0,6 e) 5,0

Fonte: Programa Educacional BOVESPA.

Disponível em: http://www.bmfbovespa.com.br/pdf/Encarte_Agosto.pdf. Acesso em: 19 mai 10



É o tempo necessário que certo

Capital

(C), aplicado a uma

Taxa

de juros

(i), necessita para produzir um

Montante

(M).



O prazo pode ser inteiro ou fracionário.



Inteiro

: 1 dia, 1 mês comercial (30 dias), 1 semestre, 1 ano, entre outros.



Fracionário

: 3,5 meses, 5 anos e 2 meses, 17 dias, por exemplo.

Comparação

entre os

calendários



O calendário gregoriano é o

calendário utilizado na maior parte

do mundo, e em todos os

países

ocidentais

; porém, existem países

que não o aplicam como a

China

,

Israel

,

Irã

,

Índia

,

Bangladesh

,

Paquistão

,

Argélia

, entre outros.



Foi

promulgado

pelo

Papa

Gregório XIII

a

24 de Fevereiro

do

ano

1582

para substituir o

Calendário Juliano

.



Gregório XIII reuniu um grupo de

especialistas para reformar o

calendário juliano

e, passados

cinco anos de estudos, foi

elaborado o calendário gregoriano,

que foi sendo implementado

lentamente em várias nações.

Prazo

O calendário gregoriano é o que hoje em dia se usa e distingue-se do Juliano porque:

 Omitiram-se dez dias (de 5 a 14 de Outubro de 1582).

 Corrigiu-se a medição do ano solar, estimando-se que este durava 365 dias solares, 5 horas, 49 minutos e 12 segundos, o equivalente a 365,2425 dias solares.

 Acostumou-se a começar cada ano novo em 1 de

Janeiro.

 Nem todos os anos seculares são bissextos.

Para um ano secular ser bissexto tem de ser múltiplo de 400.

Deste modo, evita-se a diferença (atraso) de três dias

em cada quatrocentos anos existente no calendário

juliano.

A mudança para o calendário gregoriano deu-se ao longo de mais de três séculos.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Calend%C3%A1rio_gregoriano#cite_ref-0

Primeiramente foi adotado por Itália, Portugal,

Espanha e França; e de modo sucessivo, pela maioria dos países católicos europeus.

Os países onde predominava o luteranismo e o

anglicanismo tardariam a adotá-lo, caso da Alemanha (Baviera, Prússia e demais províncias) (1700) e Reino Unido (Inglaterra) (1751).

A adoção deste calendário pela Suécia foi tão

problemática que gerou até o dia 30 de fevereiro. A China aprova-o em 1912, a Bulgária em 1917, a Rússia em 1918, a Romênia em 1919, a Grécia em 1923 e a Turquia em 1927.

Prazo

Março: Marte, Deus romano da guerra.

Abril: Os estudiosos modernos associam o nome a uma raiz antiga com o significado de

'outro', isto é, outro mês que não Março.

Maio: Maia Maiestas, Deusa romana.

Junho: Juno, Deusa romana, esposa do deus Júpiter.

Julho: Júlio César, ditador romano. O mês era anteriormente chamado Quintilis, o quinto mês do calendário de Rômulo.

Agosto: Augusto, primeiro imperador romano. O mês era anteriormente chamado Sextilis, o sexto mês do calendário de Rômulo.

Setembro: septem, "sete" em latim; o sétimo mês do calendário de Rômulo.

Outubro: octo, "oito" em latim; o oitavo mês do calendário de Rômulo.

Novembro: novem, "nove" em latim; o nono mês do calendário de Rômulo.

O regime de capitalização é o processo de formação dos juros.



Caso os juros incidam somente sobre o valor inicialmente aplicado ou

tomado emprestado, trata-se de

juros simples

ou

convenção linear

.



Caso os juros incidam sobre o capital mais os juros acumulados

anteriormente,

trata-se

de

juros

compostos

ou

convenção

exponencial

.

Capitalização, portanto, nada mais é que a incorporação dos juros ao

capital.

Fonte: CASTANHEIRA, Nelson Pereira e SERENATO, Verginia Stella. Matemática Financeira e Análise Financeira. Curitiba: Juruá, 2007, p. 21.

Fonte: ALMEIDA (2008, p. 63)