GD11 Filosofia da Educação Matemática

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Jane Carmem Magalhães1 GD11 – Filosofia da Educação Matemática

Resumo: O presente texto trata da pesquisa bibliográfica que estamos realizando acerca do tema Matemática e Linguagem. Temos como objetivo a comparação entre as teorias semióticas de Peirce e de Saussure enfatizando a relação entre a Matemática e a Linguagem. Para abordar esta questão, adotamos as teorias semióticas de Peirce e de Saussure e o conceito de complementaridade de Michael Otte. No final do século XIX, Peirce e Saussure apresentam diferentes maneiras de analisar os diversos tipos de sinais e seu funcionamento na atividade científica e na comunicação. Peirce derivou seu ponto de vista sobre signo a partir da Matemática e da Lógica, enquanto Saussure, como linguista, o fez a partir do sentido estrito da linguagem social e falada. Peirce, enfatiza o lado representacional ou epistemológico do signo e, Saussure, o lado sociocomunicativo. Otte considera que a Matemática não é somente uma linguagem e nem uma ciência analítica de conceitos, mas ela compreende representações indexicais e atividades observacionais. Desse modo, considerar a ideia de signo, que é usado tanto para designar coisas sobre as quais o sujeito pensa, quanto para fornecer descrições das mesmas, pode nos levar a compreender as diferentes caracterizações da Matemática.

Palavras-chave: Matemática. Linguagem. Signo. Semiótica.

Considerações iniciais

Nosso estudo visa organizar um conhecimento acerca da relação entre a Matemática e a Linguagem. Para compreender essa relação, estamos realizando um estudo comparativo das teorias semióticas de Charles Sanders Peirce (1839-1914) e Ferdinand de Saussure (1857-1913) e do conceito de complementaridade de Michael Friedrich Otte. Com terminologia própria para seus estudos do signo, Peirce (2010) assume que o conhecimento sempre ocorre por meio de sinais. Saussure (CLG, 2006) tem a linguagem como um sistema de valores socialmente determinados, ou seja, a linguagem é um sistema de signos. Segundo Otte (2012), os conceitos teóricos são formados de conexões e relações entre coisas que não podem ser comunicadas prontas. Nesse sentido, a abordagem semiótica nos dá uma perspectiva genética do conhecimento, pois o conhecimento é um processo de crescimento e generalização, apresentado em termos de mudança permanente de uma representação em outra. Dessa forma, o estudo dos signos sob as duas perspectivas semióticas, nos proporcionará uma interpretação

mais minuciosa do pensamento matemático e, com isso, poderemos identificar as diferentes caracterizações da Matemática, muitas vezes são tão explícitas, mas sempre complementares. Platão (427-347), em seu diálogo "O Sofista", enfatiza que existem diferentes tipos de discurso e, consequentemente, diferentes formas de existência humana, e que nem todos os discursos servem para revelar a verdade. Segundo Otte (2013), para essa finalidade, além de Platão (427-347) identificar dois tipos de atividades ou artes, artes produtivas e aquisitiva, ele identifica dois tipos de línguas, aquelas que se relacionam com coisas reais e aquelas que se referem a outros sinais. Platão (427-347) define o sofista como “alguém que afirma ser capaz de falar sobre qualquer coisa sem o conhecimento real e que obriga a pessoa que conversa com ele se contradizer” (OTTE, 2013, p.3, tradução nossa).

Mesmo antes de Platão, os sofistas questionavam os problemas relativos à linguagem e aos signos. Em seus estudos semióticos, Platão (427-347), apresenta a compreensão do signo apoiada na compreensão da linguagem. Para ele os signos linguísticos são criados pela necessidade da expressão e comunicação. No modelo platônico o signo tem estrutura triádica e é composto por nome, noção ou ideia e a coisa à qual o signo se refere. Observando se essa estrutura triádica se relaciona naturalmente ou se dependente das convenções sociais, e aponta que

1) signos verbais, naturais, assim como convencionais são só representações incompletas da verdadeira natureza das coisas; 2) o estudo das palavras não revela nada sobre a verdadeira natureza das coisas porque a esfera das idéias é independente das representações na forma de palavras; e 3) cognição concebidas por meio de signos são apreensões indiretas e, por este motivo, inferiores às cognições diretas. (NÖTH, 2009, p. 28)

Desse modo, entendemos que para Platão (427-347), a verdade que se manifesta e se comunica nas palavras, não expressam exatamente as coisas às quais se referem.

Já Aristóteles (384-322) discutiu a teoria dos signos envolvendo a lógica e a retórica. Segundo Nöth (2009), Aristóteles descreve o signo como uma premissa que nos leva a uma conclusão, “O signo [...] quer ser uma proposição bem certa ou necessária ou também corresponde a uma opinião” (p. 29). O modelo do signo aristotélico é triádico que consiste em som ou escrita, representação e coisa designada. Chamou o signo linguístico de símbolo e define esse signo como signo convencional que afeta a alma.

A dinâmica do conhecimento consiste no fato de que novos objetos chegam ao pensamento e novos conhecimentos são produzidos acerca desses objetos. Entretanto, os objetos da Matemática não são encontramos em algum lugar, mas são transmitidos, segundo Otte (1993), pela práxis social-histórica do homem. Podemos dizer que a Matemática é observativa a partir de construções na imaginação e daí passamos a observar esses objetos imaginários para neles encontrar relações entre partes que não estavam especificadas no preceito da construção. O conceito de Complementaridade foi introduzido na Física Quântica por Niels Bohr para suprir o fato de que “nela a interação entre os aparelhos de medição e os objetos constituem uma parte essencial do fenômeno físico. Trata-se também de poder descrever uma linguagem mais acessível os fenômenos físico-quânticos” (OTTE, 1993, p.219). Vários autores têm utilizado o termo “complementaridade" de Niels Bohr para captar os aspectos essenciais do desenvolvimento cognitivo e epistemológico de conceitos científicos. A abordagem complementarista é induzida pela impossibilidade de definir a realidade matemática ou científica independente da atividade concebida como uma instância de mediação.

Quando tentamos aprender um novo conceito, o primeiro acontecimento é deixar o objeto atuar espontaneamente no pensamento e depois relacionar cada nova informação com conhecimentos que já dispomos. Isto é, vamos integrar cada fato novo no próprio sistema de conhecimentos e experiências. Esse é o caminho para se aprender um novo conceito. Segundo Otte (1993), devemos a Kant as primeiras reflexões acerca do significado da diferenciação entre conceito e objeto do conceito. Kant fundamenta essa diferenciação quando inclui a Filosofia e a Lógica nas ciências discursivas e a Matemática na ciência intuitiva. As duas primeiras são baseadas no conhecimento do conceito e a Matemática baseada na intuição do objeto conceitual. Essa diferenciação foi bastante criticada no século XIX tanto pelo lado filosófico (Hegel/Schelling) como pelo lado matemático (Bolzano/Grassmann). As críticas em Kant é de um certo empirismo e psicologismo. Nem o conhecimento filosófico nem o matemático estão baseados num plano unitário de objeto preexistente. Pois, segundo Otte (1993, p.222),

Na medida em que também nas ciências sucedem cada vez mais especialização, divisão de trabalho e cooperação, cada matemático encontra em sua pratica generalizações, as quais ele utiliza e aplica. Meios(conceitos) e objetos devem ser complementares diferenciados em cada momento da atividade cognitiva individual, mas eles desempenham no desenvolvimento global do conhecimento um papel

totalmente simétrico. Essas simetrias (diferença e conexão) entre objeto e meio fundamentam o nascimento e a dinâmica da matemática pura no século XIX.

Nesse sentido, as simetrias apontam que o objeto e o conceito possuem um caráter complementar. Kant não considera que o objeto do conhecimento poderia desempenhar um papel ativo e, do ponto de vista da atividade individual, tem-se o objeto como a concepção ou a intuição de uma certa coisa. Segundo ele, o homem chega a compreensão que suas concepções de uma coisa nem sempre coincidem com a natureza dessa coisa. E referente a Matemática, o conhecimento é intuitivo.

Segundo Otte (1993), para avançar da dualidade que ocorre em Kant, para uma genuína complementaridade, pela qual o conceito ou o objeto tanto de diferencia-se do outro como o abrange, então, é preciso,

colocando a atividade como a essência da relação sujeito-objeto, procurar descrever a dinâmica dessa atividade como uma entidade independente, que se diferencia tanto da consciência quanto da realidade objetiva. Essa dinâmica fundamenta-se exatamente na complementaridade entre os meios e os objetos do conhecimento. (OTTE, 1993, p. 224)

Nesse sentido, nos apoiaremos nas teorias semióticas de Peirce e de Saussure e no conceito de complementaridade de Michael Otte para estudar a relação entre Matemática e Linguagem. Nesse enfoque, a questão norteadora do processo investigativo: Quais as analogias, as diferenças e as relações de complementaridade que podem existir entre a Matemática e a Linguagem numa abordagem baseada nas teorias semióticas de Pierce e de Saussure?

Final do século XIX, Pierce e Saussure apresentam estudos com duas diferentes maneiras de analisar a diversidade dos sinais e seu funcionamento na atividade científica e na comunicação. A partir desses estudos iniciais respeitosos a Semiótica, buscamos compreensões sobre a relação entre Matemática e Linguagem.

1. O conhecimento a partir da vivência de Peirce

O cientista e filósofo americano, Charles Sanders Peirce (1839-1914) foi educado num ambiente onde se respirava a intelectualidade. Seu pai, Benjamim Peirce, foi o matemático mais importante de Harvard. Esse fato fez Peirce, desde muito jovem, se interessar pelas ciências. Aos onze anos escreveu uma História da Química e se bacharelou em Química na

Universidade de Harvard. Peirce, como cientista, se interessava por diversos campos. Foi matemático, físico, astrônomo e estudioso da Biologia e da Geologia. Conhecedor de várias línguas e dedicou-se ao estudo da Linguística, da História, da Arquitetura e de Literatura. Como um disciplinado estudioso, Peirce pesquisou cuidadosamente os métodos de investigação.

Estudioso de Kant, Peirce apresenta uma aproximação do pensamento filosófico através das ciências. No pensamento de Peirce fica estabelecido um vínculo entre a Lógica e a Filosofia. A princípio Pierce concebeu a Lógica como um ramo dentro do campo de uma teoria geral dos signos, ou Semiótica. Mais tarde ampliou sua concepção de Lógica que coincidia com uma teoria geral de todos os tipos de signos. O interesse desse cientista e filósofo pela Lógica surgiu desde os 12 ou 13 anos, a partir da leitura do livro de Whateley sobre Lógica.

A respeito dos estudos de Peirce sobre o signo, ele assume que o conhecimento se dá exclusivamente por meio de sinais. Dentre algumas definições apresentadas em seus textos no que se refere ao signo, a mais intuitiva, em nossa opinião, é que signo “é aquilo que, sob certo aspecto ou modo, representa algo para alguém” (Peirce, 2010, p.46). O modelo sígnico de Peirce é triádico e é composto por representâmen, objeto e o interpretante. Para que o objeto seja representado, ele tem que passar por essas três fases na mente de um intérprete. O signo só representa um objeto para um intérprete com a mediação do interpretante, isto é, a partir do primeiro signo, ou representâmen, temos a segunda etapa em que esse signo representa seu objeto a mente do intérprete e, em seguida, essa mente produz uma outra coisa associada ao objeto, que chamamos de interpretante. Desse modo, esse signo pode se tornar outro signo que convoca outro interpretante que o conduz a outro objeto que pode também se tornar outro signo e assim por diante. É dessa forma que, usando o processo triádico de interpretação e buscando diferenciar os níveis hierárquicos de sinais, Pierce classifica todos os tipos de representações que desempenham uma função cognitiva.

Para Peirce (2010) o signo é determinado principalmente pelo seu objeto. Classifica os signos, no que diz respeito à natureza da sua referência objetiva em três classes: índices, ícones e símbolos. Para Otte (2013), signos indexicais são essenciais, pois garantem a objetividade, enquanto signos icônicos são indispensáveis na gênese de novas ideias. Signos convencionais, chamados de símbolos por Peirce, representam uma espécie de síntese de ícones e índices. A

frase seria para Peirce um exemplo de um símbolo, o sujeito da frase a ser representada por um índice e o predicado por um ícone. Quanto aos aspectos intensional e extensional, “Como índices representam o referencial e ícones do aspecto intensional de um sinal, pode-se concluir que o desenvolvimento do conhecimento é regido pela complementaridade dos aspectos intensional e extensional de signos (OTTE, 2013, p.8, tradução nossa).

Ao contrário de Peirce, cujo trabalho tornou-se conhecido postumamente, Saussure teve uma carreira acadêmica bem sucedida. Seguimos apresentando esse fundador da Linguística moderna, cujos princípios básicos da sua teoria influenciaram no desenvolvimento do estruturalismo semiótico e filosófico.

2. Saussure, fundador da Linguística moderna

Ferdinand de Saussure (1857-1913) contribui para a semiótica quando elabora seu projeto, a teoria geral de sistemas de signos, designado por ele de Semiologia, cujo elemento básico é o modelo sígnico de Saussure.

Nascido em Genebra, em 1857, era filho de um naturalista e membro de uma família com tradições de realizações no campo das ciências naturais. Foi introduzido nos estudos linguísticos, ainda muito jovem, por um amigo da família. Aos quinze anos, com conhecimentos em grego, francês, alemão, inglês e latim, Saussure “tentou elaborar um ‘sistema geral da linguagem’ e escreveu para o Pictet um ‘Ensaio Sobre as Línguas’ no qual demonstrava que todas as línguas têm sua raiz num sistema de duas ou três consoantes básicas” (CULLER, 1979, p.7). Em 1875, ingressou na Universidade de Genebra e, seguindo a tradição familiar, matriculou-se no curso de Física e Química, embora continuou a frequentar cursos de gramática grega e latina. Essa experiência, segundo Culler (1979), convenceu-o que realmente sua carreira estava no estudo da linguagem. Assim, foi para a Universidade de Leipzig estudar línguas indo-europeias. Nessa escola ele teve a oportunidade de comparar-se com os linguistas mais criativos de seu tempo. Nessa ocasião, um de seus professores em Leipzig, Brugmann, segundo Culler (1979), “descobriu a chamada lei das soantes nasais, que Saussure postulara muitos anos antes, mas que rejeitara porque conflitava com as hipóteses de linguistas eminentes”. (p.8)

Saussure nunca escreveu um livro. Com a aposentadoria de um professor, a Universidade atribuiu-lhe a responsabilidade de ensinar Linguística geral. Ministrou três series de conferências nos anos de 1907, 1908-9 e 1910-11 que foram transformadas no Cours de linguistique générale. Nessas conferências foram desenvolvidas ideias sobre a teoria geral da linguagem e dos sistemas sígnicos. Segundo Nöth (2009), no primeiro curso, somente seis alunos se matricularam, no segundo foram 11 alunos, e, no terceiro, 12. Em fevereiro de 1913, Saussure morre aos 56 anos de idade.

Pensando em preservar o trabalho de Saussure no campo da Linguística, os colegas tiveram que confrontar anotações tomadas por alunos, já que Saussure conservara poucas notas de aulas, para obter com mais clareza o que fora dito nas três series de conferências. Com esse material criaram uma obra unificada, o Cours de Linguistique Générale, na qual tentaram extrair o máximo possível do material das conferências e das notas pessoais de Saussure. Para Saussure (CLG, 2006), a linguagem é um sistema de signos. Podemos considerar os sons como linguagem apenas quando servem para comunicar ideias, pois de outra maneira são apenas ruídos. E para comunicar ideias, devem estar num sistema de convenção, ou seja, num sistema de signos. Quanto ao signo,

O signo é a união de uma forma que significa, à qual Saussure chama signifiant ou significante, e de uma idéia significada, o signifié ou significado. Embora possamos falar de significante e significado como se fossem entidades separadas, elas só existem como componentes do signo. O signo é o fato central da linguagem, e portanto, para separar o essencial do seja secundário ou acidental, devemos começar pela natureza do próprio signo. (CULLER, 1979, p.14)

O signo linguístico é essencialmente arbitrário e definido em termos de dualidade. Segundo Culler (1979), essa natureza do signo quer dizer que não existe nenhuma ligação entre o significante e o significado. Isto é, no modelo diádico de Sausurre o signo tem função comunicativa e sua relação com o objeto é ignorada. Entendemos que o termo significado é o conceito e, o significante, a imagem acústica ou impressão psíquica. Assim, o signo se apresenta com três noções, ele como um todo e as suas partes, o significado e o significante, que são entidades mentais e independentes de objeto externo.

Saussure enfatiza a linguagem como fato social e, diz que quando analisamos a linguagem, estamos analisando fatos sociais, assim, ocupando-nos com o uso social de objetos materiais. Nesse sentido, para Culler (1979, p. 42)

O que é importante – na verdade, tudo que é relevante – são as distinções e relações que foram dotadas de significado por uma sociedade. A pergunta que o analista constantemente faz é quais são as diferenças que tem significado para os membros da comunidade linguística. [...] Podemos ver, então, que o lingüista estuda não grandes coleções de sequências sonoras mas um sistema de convenções sociais. Ele está tentando determinar as unidades e regras de combinação que formam sistema e tornam possível a comunicação linguística entre os membros de uma sociedade. É uma virtude da teoria saussuriana da linguagem o fato de ter colocado as convenções sociais e os fatos sociais no centro da investigação lingüística mercê da ênfase por ela dada ao problema do signo. Quais são os signos desse sistema lingüístico? De que depende sua identidade como signos?

Dessa forma, estamos entendemos que a teoria saussuriana vê a linguagem como um sistema de valores socialmente determinados, pois para Culler essas perguntas antecipam que, nada podemos admitir como unidade de linguagem.

Uma das tarefas da Semiologia é diferenciar os tipos de signos, e estudá-los de diferentes maneiras. As três classes fundamentais de signos apresentadas são: o ícone, o índice e o signo propriamente dito. Todos os signos são bilaterais, consistem de um significante e de um significado, uma forma e um significado(s) associado(s).

As relações entre o significante e o significado entre os três tipos de signos são diferentes. Segundo Culler (1979), O ícone abrange a semelhança real entre significante e significado, como por exemplo, uma fotografia significa a pessoa fotografada por semelhança. Num índice, a relação entre significante e significado é casual: a fumaça significa fogo porque o fogo geralmente é a causa da fumaça, pegadas são signos do tipo de animal que provavelmente as produziu. Para o signo propriamente dito, a relação entre o significante e significado é arbitrária e convencional, apertar as mãos, convencionalmente, um cumprimento, o queijo é, por convenção, um alimento. Essa divisão triádica implica em tornar o signo propriamente dito no objeto central da Semiologia. Saussure anuncia postulados metodológicos de como analisar a linguagem adequadamente. Esse fato nos leva a considerar que o homem é um ser que vive entre signos e “deve tentar não apenas compreender-lhes os significados mas, especialmente, entender as convenções responsáveis por seus significados.” (CULLER, 1979, p. 101).

Para conhecer e aprender, o pré-requisito mais importante é ter experiência simultânea do conhecimento e de seu uso, sua aplicação; com esta experiência simultânea abastecida pela

cooperação social. Nesse sentido, apresentamos uma relação do conhecimento com a representação sob o ponto de vista da complementaridade otteana.

3. Conhecimento versus representações

Sempre conseguimos distinguir um texto matemático de um romance, pois segundo Otte (2012), o conhecimento está ligado às representações simbólicas e os sistemas de signos indicam os aspectos do conhecimento. Sendo assim, cada texto é um signo. Neste caso, vale lembrar que muitos alunos se confundem na indicação convencional das variáveis x e y como algo que não pode ser mudado conforme sua vontade e, caso esse valor desconhecido for representado por a, isso o deixa confuso. O significado de muitos signos é estabelecido pela convenção.

Por outro lado, a diversas maneiras de relacionar o conhecimento e sua representação simbólica é uma fonte básica de compreensão. Porém, dizer a mesma coisa com palavras diferentes não é mais a mesma coisa. Podemos exemplificar com a transcrição da linguagem cotidiana para a linguagem formal, das representações geométricas para símbolos algébricos fatos essenciais do desenvolvimento da Matemática. Essa atividade semiótica é um problema no entendimento do texto e, em relação aos alunos, “a incapacidade de dinamizar as representações, ou seja, dizer a mesma coisa em outros termos” (OTTE, 2012, p.87).

Os modelos de signos abaixo indicam matematicamente a mesma coisa, porém eles podem ser percebidos de maneira diferente pelo sujeito, e nesse caso, determinam modos diferentes de resolver o problema. 1+2+3+4+5+6 = ? 1+2+ ... + 6 = ?

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Na primeira representação temos um caminho direto. Nos outros dois casos, os signos estão representados de forma compacta, o que não é funcional para uma simples execução de procedimentos. Nesse caso, só é útil quando é parte de outra fórmula, ou seja, aparece como super-signo apenas no processo de desenvolvimento, como por exemplo, quando uma fórmula aparece como parte de outra fórmula. A visualização por meio de diagramas “delimitados por processos restritos (por exemplo, processos com uma regra interrompida) e que podem ser

introduzidos como componentes dentro de outros processos” (OTTE, 2012, p. 90), representa a complementaridade de estrutura e processo.

Segundo Otte (2012), o conteúdo dos conceitos teóricos consiste de conexão e relações entre coisas que não podem ser comunicadas prontas. Isto é, para que o pensamento teórico progrida ele precisa não só de regras, mas também de visualizações (num sentido amplo) para imaginar relações. É nesse enfoque que apoiamos nosso estudo sobre as relações entre Matemática e Linguagem. A seguir, apresentamos os objetivos que pretendemos alcançar com este estudo e o caminho a ser percorrido.

4. Objetivo Geral

Realizar um estudo comparativo entre as teorias semióticas de Peirce e de Saussure em relação a Matemática e a Linguagem.

5. Objetivos específicos

Descrever as teorias semióticas de Peirce e de Saussure.

Analisar as relações de semelhança e de diferença entre as noções de signo nessas teorias. Compreender o conceito de complementaridade de Otte.

Compreender as relações conceituais dos signos na Matemática e na Linguagem e articular com o conceito de complementaridade de Otte.

6. Metodologia

Iniciamos com a revisão de literatura no sentido de verificar o que se tem sobre os estudos dos signos em geral e, mais particularmente, sobre os estudos dos signos na Matemática.

Nossa pesquisa é bibliográfica, pois ela se realiza a partir de material disponível, decorrente de pesquisas anteriores, documentos, livros, artigos, teses e outros. Com base no material bibliográfico vamos realizar análises e interpretações e expor nossa compreensão.

A pesquisa é de natureza qualitativa, pois vamos nos dedicar à compreensão dos significados dos eventos. A pesquisa é descritiva, pois queremos estudar e descrever características, propriedades e relações existentes entre a Matemática e a Linguagem.

Referências bibliográficas

CULLER, Jonathan. As ideias de Saussure. Tradução de Carlos Alberto da Fonseca. São Paulo, SP: Cultrix, 1979.

LAKATOS, Eva M.; MARCONI, Marina de A. Metodologia do trabalho científico. 4ª ed. São Paulo, SP: Atlas, 1992.

NÖTH, Winfried. A semiótica no século XX. 3ª edição. São Paulo, SP: ANNABLUME, 2009. OTTE, Michael F. O formal, o social e o subjetivo: uma introdução à filosofia e á didática da

matemática. Tradução Raul Fernando Neto. São Paulo, SP: Ed. UNESP, 1993.

______________. A realidade das ideias: uma perspectiva epistemológica para a educação matemática. Organização e tradução Alexandre Silva Abido. Cuiabá, MT: Ed. EduFMT, 2012. ______________. Notas de aula: Mathematics and Philosophy - a semiotic and historical Perspective. Curso Seminários Avançados. Universidade Bandeirante Anhanguera. São Paulo, SP, 2013.

PEIRCE, Charles S. Semiótica. São Paulo: Perspectiva, 2010.

SAUSSURE, Ferdinand de (CLG). Curso de Linguística Geral. Org. Charles Bally e Albert Sechehaye. Colaboração de Albert Riedlinger. Tradução de Antônio Cheline, José Paulo Paes e Izidoro Blikstein. 27ª ed. São Paulo: Cultrix, 2006.