01. GRAVITACIÓN. RESUMEN 2º BACH 20-21

1. Gravitación

¡RECUERDA!

FUERZA CENTRÍPETA (MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME)

 Fc = fuerza centrípeta (N en el SI)

 ac= aceleración centrípeta (o aceleración normal) (m/s2 en el SI) Cambia la dirección del

vector velocidad, aunque no su módulo

 R= radio del movimiento circular uniforme (m en el SI)

Debes RECORDAR las ecuaciones del MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

 T = periodo = tiempo que tarda en dar 1 vuelta

 f = frecuencia = número de vueltas que da en 1 segundo  v= velocidad lineal (m/s)

 = velocidad angular (rad/s)

1 vuelta equivale a 2 radianes

CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL ( , kg·m/s) VECTORIAL

 p = cantidad de movimiento o momento lineal (kg·m/s o N·s en el SI)  m= masa (kg en el SI)

 v = velocidad (m/s en el SI)

El momento lineal caracteriza un cuerpo que describe un movimiento rectilíneo.

LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA (m) ÁREA DE UN CÍRCULO (m2) VOLUMEN DE UNA ESFERA (m3) DENSIDAD DE UN PLANETA (kg/m3) Suponiendo que el planeta es una esfera:

LEYES DE KEPLER (son leyes empíricas, basadas en datos de observaciones) 1ª LEY DE KEPLER (o ley de las órbitas)

Los planetas describen órbitas elípticas y planas alrededor del Sol, encontrándose éste en uno de los focos de la elipse.

2ª LEY DE KEPLER (o ley de las áreas)

La velocidad areolar (dA/dt, en m2/s) del planeta alrededor del Sol es constante. O de otro modo, el radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales.

Como consecuencia, los planetas se mueven con mayor velocidad lineal en el perihelio (P, posición más próxima al Sol) que en el afelio (A, posición más alejada al Sol) en órbitas elípticas. Si la órbita es circular, la velocidad lineal es constante.

v_perihelio = v_máxima v_afelio = v_mínima

v

perihelio

>v

afelio

La velocidad es máxima en el perihelio y mínima en el afelio en la órbita elíptica. Cuando el planeta está más cerca de la estrella va más rápido.

3ª LEY DE KEPLER (o ley de los periodos)

La proporción entre el cuadrado del periodo el planeta (T) y el cubo de la distancia media del planeta al Sol (d) es constante.

Esta ley sirve para relacionar los periodos y radios orbitales de varios cuerpos (A y B) que giran alrededor del mismo (satélites que giran alrededor de un planeta o planetas que giran alrededor de una estrella con masa m_{cuerpo central}).

 d= distancia media del planeta al Sol. En órbitas elípticas d coincide con el semieje mayor. En órbitas circulares d es el radio de la órbita.

 T= periodo de traslación del cuerpo que gira (planeta o satélite).  k= constante que depende de la masa del cuerpo central.

En una órbita elíptica la distancia media del planeta al Sol se define como:

Sol

r

_A

ELIPSE

La suma de las distancias (r1 y r2) desde cualquier punto de la elipse a los dos focos es

constante e igual a la longitud del eje mayor (r₁ + r₂ = ).

MOMENTO ANGULAR ( , kg·m2/s) VECTORIAL Producto vectorial  = vector posición (distancia del cuerpo que gira al cuerpo central)  = cantidad de movimiento o momento lineal (kg·m/s o N·s en el SI)  m = masa del cuerpo que gira

 v = velocidad del cuerpo que gira, es tangente a la trayectoria  = ángulo entre (o y )

El momento angular caracteriza un cuerpo que describe un movimiento curvilíneo. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

Un cuerpo sometido a una fuerza centrípeta (fuerza central) tiene un vector momento angular constante (en módulo, dirección y sentido). Luego la variación del momento angular con el tiempo es cero.

r

af

·m

planet

·v

af

·sen 90º= r

per

·m

planet

·v

per

·sen 90º

r

af

·v

af

= r

per

·v

per

En el afelio la velocidad es mínima (r es máximo, punto más alejado) y en el perihelio (r es mínimo, punto más cercano) la velocidad es máxima. En el afelio y en el perihelio  vale 90º, por lo que sen  =1 (en órbitas circulares también se cumple =90º).

La 2ª ley de Kepler es un caso particular del teorema de conservación del momento angular.

A

eje mayor

semieje mayor

ej

e

m

en

o

r

se

m

ie

je

m

en

o

r

F

₁

F

₂

r

₂

r

₁

B

L

r

p

O

r

_a

r

_p

v

_a

v

_p

r

A

P

FUERZA GRAVITATORIA ( N) VECTORIAL Ley de gravitación universal de Newton

Toda partícula de masa m atrae a otra partícula de masa M con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La fuerza gravitatoria es una fuerza ATRACTIVA.

 Fgrav = fuerza gravitatoria (N en el SI)

 G = constante gravitación universal= 6,67·10-11 _N·m2_/kg2

 m = masa del primer objeto (kg en el SI)  M = masa del segundo objeto (kg en el SI)

 r = separación entre los centros de dos masas (m en el SI), también llamado distancia orbital. Los planetas y el Sol se pueden considerar masas puntuales porque sus dimensiones son mucho más pequeñas que las distancias entre ellas.

Se cumple que (la fuerza con la que 2

atrae a 1 (en módulo) es la misma con la que 1 atrae a 2.

Cada vez que te pidan calcular en un punto, debes realizar un DIBUJO, porque es una magnitud VECTORIAL.

GRAVEDAD EN LA SUPERFICIE DE UN PLANETA (m/s2)

 G = constante gravitación universal= 6,67·10-11 _N·m2_/kg2

 MPlaneta= masa del planeta (kg en el SI)

 RPlaneta= radio del planeta (m en el SI)

La gravedad en la superficie de la Tierra (g_T= 9,8 m/s2) se puede calcular con esta fórmula:

PESO (N)

P = m·g  P= peso (N en el SI, es una fuerza)

 m = masa (kg en el SI)  g= gravedad (m/s2

en el SI)

La masa de un cuerpo es una medida de cuánta materia contiene.

La gravedad es una aceleración gravitatoria que se experimenta en la superficie de un astro.

F

₂₁

Masa 2

Masa 1

F

₁₂

INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO (

, N/kg) VECTORIAL

¿Qué es el campo gravitatorio?

Es una región del espacio en la que se aprecia una perturbación por la simple existencia de un cuerpo con masa.

Intensidad de campo gravitatorio

La intensidad de campo gravitatorio en un punto es la fuerza a la que estaría sometida una masa de 1 kg situada en dicho punto. Por tanto, cada vez que te pidan calcular en un punto, debes suponer una masa de 1 kg en dicho punto y realizar un DIBUJO, porque es una magnitud VECTORIAL.

En gravitación el vector campo y el vector unitario siempre tienen SENTIDOS OPUESTOS. De ahí el signo menos de la expresión vectorial .

Vector unitario :

Si se tiene una masa M que crea un campo y se quiere calcular el campo gravitatorio en un punto P, se debe dibujar con origen en el punto P (donde se supone una masa de 1 kg) y dirigido hacia la masa M. Para dibujar su origen es la masa M y dirigido hacia el punto P. - Los vectores unitarios SIEMPRE salen del cuerpo que crea el campo.

- Los vectores campo SIEMPRE salen del punto donde se quiere calcular el campo.

Principio de superposición

Para calcular la intensidad de campo gravitatorio creado por un conjunto de masas puntuales se suman vectorialmente los campos que crearía cada masa suponiendo que estuviese solo ella en el espacio.

¿Cómo resolver los problemas de cálculo de intensidad de campo gravitatorio en un punto?

Para descomponer los vectores hay dos formas:

a) Mediante trigonometría. Primero se calcula el módulo del campo gravitatorio . Se dibujan los vectores creados por cada masa y sus componentes y, teniendo en cuenta los ejes cartesianos, se asigna el signo correspondiente a cada componente de los vectores.

b) Mediante vectores unitarios . En este caso se utiliza la expresión * y ya nos da directamente el signo de las componentes de los vectores.

u

_r

g

_{Punto P}

INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO (

, N/kg) VECTORIAL

Variación del campo gravitatorio con la altura

La intensidad de campo gravitatorio crece linealmente con la distancia al centro de la Tierra en el interior del planeta (r), adquiere un valor máximo en la superficie (9,8 N/kg) y luego decrece (1/r2

) en el exterior.

- Para r ≥ R_T, se cumple:

- Para r < R

T

(suponiendo que la densidad terrestre es constante):

Si la densidad de la Tierra es constante:

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA (E_P, J) ESCALAR Energía potencial de un par de partículas

Es la energía que posee una masa m debido a la influencia gravitatoria de otra masa M. En un campo gravitatorio la energía potencial gravitatoria siempre es NEGATIVA.

Energía potencial de un sistema de partículas

La energía potencial asociada a un sistema formado por más de dos partículas se obtiene sumando las energías correspondientes a todos los sistemas formados por partículas tomadas de dos en dos (no se debe contar 2 veces la misma pareja).

No es necesario realizar un dibujo porque es una magnitud ESCALAR, aunque conviene para calcular las distancias.

Energía potencial de una partícula en un sistema de partículas

OJO, porque no es lo mismo la energía potencial del sistema de partículas que la energía potencial de una partícula individual en un sistema de partículas. La energía de una partícula individual se calcula sumando las energías potenciales de cada pareja que se puede formar con dicha partícula.

Así, por ejemplo, la energía potencial de la partícula 1 es:

Energía potencial gravitatoria de un cuerpo que se aleja de un planeta

A medida que se el cuerpo se aleja de un planeta (r aumenta) su energía potencial aumenta (se hace menos negativa), gana energía potencial.

POTENCIAL GRAVITATORIO (V, J/kg) ESCALAR

El potencial gravitatorio en un punto es la energía potencial que tendría una masa de 1 kg situada en dicho punto. Por tanto, cada vez que te pidan calcular V en punto debes suponer una masa de 1 kg en dicho punto. No es necesario realizar un dibujo porque es una magnitud ESCALAR, aunque conviene para calcular las distancias. El potencial es siempre NEGATIVO.

Principio de superposición

Para calcular el potencial gravitatorio creado por un conjunto de masas puntuales se suman los potenciales que crearía cada masa suponiendo que estuviese solo ella en el espacio.

m

2

m

1

m

₃

r

23

r

₁₂

r

₁₃

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA (E

m

, J) y TRABAJO (W, J)

Un campo de fuerzas es conservativo si el TRABAJO necesario para desplazar una partícula desde un punto inicial a otro final de dicho campo NO depende de la TRAYECTORIA, sino que SOLO DEPENDE del punto inicial y del punto final. Por tanto, si la trayectoria es cerrada (posición inicial=posición final), el trabajo total realizado vale cero.

Si un campo de fuerzas es CENTRAL, es CONSERVATIVO. La fuerza gravitatoria es una fuerza central porque:

a) Su dirección pasa por un punto determinado (el centro de fuerza), sea cual sea la posición de la partícula sobre la que actúa.

b) El módulo de dicha fuerza depende de la distancia entre su punto de aplicación y el centro de la fuerza.

La FUERZA GRAVITATORIA es una FUERZA CENTRAL. El CAMPO GRAVITATORIO es un CAMPO CONSERVATIVO.

Principio de conservación de la energía mecánica

La energía mecánica total de una partícula sometida a fuerzas conservativas se mantiene constante.

Trabajo debido a las fuerzas gravitatorias

: trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar un cuerpo de masa m entre

dos puntos inicial y final (m es la masa que se mueve).

a) Si r_f < r_i (el cuerpo de masa m se acerca a la masa M que crea el campo) W_{i f} > 0 y Ep_i > Ep_f, el cuerpo pierde Ep. Es un proceso ESPONTÁNEO, el trabajo lo realizan las fuerzas del campo, a favor del campo. La masa m se acerca libremente a la masa M. b) Si rf > ri (el cuerpo de masa m se aleja de la masa M que crea el campo) Wi f < 0 y

Ep_i < Ep_f, el cuerpo gana Ep (se hace menos negativa). Es un proceso NO ESPONTÁNEO. Se necesita una fuerza exterior para trasladar la masa m, hay que hacer un trabajo contra la fuerza gravitatoria.

Visto de otro modo:

a) Si Vi > Vf Wi f > 0 Es un proceso ESPONTÁNEO. Las masas se mueven

espontáneamente de los puntos de mayor potencial a los puntos de menor potencial. b) Si V_i < V_f W_{i f} < 0 Es un proceso NO ESPONTÁNEO. Hay que realizar un

trabajo contra la fuerza gravitatoria para mover una masa de un punto de menor potencial a otro con mayor potencial.

ENERGÍA CINÉTICA (E

c

, J)

ENERGÍA POTENCIAL (E

p

, J)

Es la energía que posee una masa por tener cierta velocidad. Siempre es POSITIVA.

Es la energía que posee una masa debido a la influencia gravitatoria de otra masa. En un campo gravitatorio siempre es NEGATIVA.

Cuanto más grande es r (nos alejamos de la masa que crea el campo gravitatorio), la disminuye (en valor absoluto, porque el denominador aumenta). Pero, como la energía potencial siempre es negativa, E_p crece (se hace menos negativa).

ENERGÍA MECÁNICA TOTAL DE UN SATÉLITE EN ÓRBITA (E

m

, J)

Cuando el satélite está en órbita (girando alrededor de un cuerpo), si se sustituye la expresión de la velocidad de un satélite en órbita:

La energía mecánica de un cuerpo que está orbitando (está atrapado por el campo) siempre es NEGATIVA.

También hay una relación entre la energía cinética y la energía potencial:

OJO, porque estas expresiones simplificadas (relaciones entre Ec, Ep y Em) solo son válidas

cuando el satélite está girando en órbita circular (no si cae, está parado en la superficie ni en órbita elíptica). Solo en ese caso particular se puede aplicar este atajo.

VELOCIDAD DE UN SATÉLITE EN ÓRBITA (m/s)

Si un satélite describe un movimiento circular uniforme alrededor de un planeta es porque la fuerza gravitatoria con que éste lo atrae es una fuerza centrípeta:

 Fgrav = fuerza gravitatoria (N en el SI)

 Fc = fuerza centrípeta (N en el SI)

 G = constante gravitación universal= 6,67·10-11 _N·m2_/kg2

 m= masa del satélite (kg en el SI)  M= masa del planeta (kg en el SI)

 r = separación entre el centro del planeta y el satélite, radio de la órbita (m en el SI)  v= velocidad del satélite (m/s en el SI)

La velocidad con que gira un satélite NO DEPENDE de la masa del satélite, sólo depende de la masa del cuerpo (planeta) alrededor del que gira y de la distancia que los separa.

Teniendo en cuenta la expresión de la velocidad para un movimiento circular:

En realidad esta expresión es la 3ª ley de Kepler:

SATÉLITE GEOESTACIONARIO

Es un satélite que orbita en torno a la Tierra permaneciendo inmóvil sobre un determinado punto, es decir, su velocidad angular es la misma que la de la Tierra y su periodo, igual. Tsatélite = 24 h (si orbita en torno a la Tierra)

También se puede decir que el satélite tiene una órbita síncrona (tiene el mismo periodo de rotación que el de la Tierra).

VELOCIDAD DE ESCAPE DE UN COHETE DE UN PLANETA (m/s)

Es la velocidad mínima que debe lleva un cuerpo para lograr escapar del campo gravitatorio que crea un planeta, es decir, debe llegar al infinito con velocidad cero.

Aplicando el principio de conservación de la energía:

Si el satélite está en la superficie del planeta: r=RPlaneta. Recordando la definición de g:

 vesc= velocidad de escape (m/s en el SI)

 G = constante gravitación universal= 6,67·10-11

N·m2/kg2  m= masa del objeto que se lanza (kg en el SI)

 M= masa del planeta donde se encuentra el objeto (kg en el SI)

 r = separación entre el centro del planeta y el objeto. Si el objeto se encuentra en la superficie, d es el radio del planeta (m en el SI)

La velocidad de escape NO DEPENDE de la masa del objeto lanzado, sólo de la masa y el radio del planeta desde donde se lanza.

Comparando la velocidad de escape con la velocidad:

AÑO LUZ Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. Dato: c= 3·108 m/s

LÍNEAS DE CAMPO O LÍNEAS DE FUERZA

Son líneas tangentes al vector intensidad de campo gravitatorio en cada punto. Ayudan a visualizar cómo va variando la dirección del campo gravitatorio al pasar de un punto a otro del espacio. Indican las trayectorias que seguiría una masa unitaria (1 kg) si se la abandonase libremente.

- Las líneas de campo no se pueden cortar (implicaría que en un punto existen dos vectores intensidad de campo distintos).

- El número de líneas que llegan a una masa es directamente proporcional a dicha masa. Cuanto mayor sea la masa, mayor la densidad de líneas.

Líneas de campo creadas por una masa puntual m. Tienen dirección radial y sentido hacia la masa que crea el campo.

Líneas de campo creadas por dos masas puntuales distintas m₁ y m₂, donde m₁>m₂.

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

Son las superficies que unen los puntos en los que el potencial es el mismo. Son siempre perpendiculares a las líneas de campo y no se pueden cortar entre ellas.

Por tanto, el trabajo necesario para desplazar una masa de un punto A a otro B de una misma superficie equipotencial vale cero.

Superficies equipotenciales del campo creado por una masa puntual m. Son esferas concéntricas centradas en ella.

Superficies equipotenciales del campo creado por dos masas puntuales iguales m.

Cuando las responsables del campo son varias partículas, las superficies equipotenciales dejan de ser esféricas.

m

_m

1

m

2

PUESTA EN ÓRBITA DE UN CUERPO Y PASO DE UNA ÓRBITA A OTRA Se aplica el principio de conservación de la energía.

Caso 1. Se tiene un satélite en reposo en la superficie de la Tierra y se quiere ponerlo en órbita.

 En el punto de lanzamiento hay que comunicarle una energía cinética que, sumada a su energía potencial, coincida con la energía mecánica en la órbita.

Como inicialmente está en reposo: vi=0 Eci=0

Epi + Esuministrada= Ecf + Epf = Emf W=Esuministrada = Emf  Epi

La energía suministrada es E_c y es el trabajo que hay que aportar (W>0).

W=E_suministrada = Em = Em_f  Ep_i W>0 porque se realiza un trabajo contra el campo gravitatorio

 Si piden la energía mínima (o trabajo mínimo) que hay que suministrar, Ecf = 0 y

simplemente se lanza hasta que alcanza la altura máxima (v_f = 0, pero sin orbitar), por lo que:

Epi + Esuministrada= Epf W= Esuministrada = Epf  Epi

Una vez que llegara a dicha altura, acto seguido volvería a caer (no orbitaría).

Caso 2. Se tiene un satélite en una órbita inicial y se quiere pasarlo a otra órbita final (en ambas está orbitando, con velocidad).

a) Si piden la energía que hay que suministrar (o trabajo), al estar orbitando, en ambas órbitas lleva velocidad y tiene Ec.

Em_i + E_suministrada = Em_f Ec_i+ Ep_i + E_suministrada= Ec_f + Ep_f

OJO, porque vi  vf, por lo que con esta expresión debe calcularse la velocidad en cada

órbita. Al cambiar de órbita cambia la Ep, pero también cambia la Ec porque cambia la velocidad necesaria para tener una órbita estable.

Como en ambas órbitas lleva velocidad, suele ser más fácil aplicar:

W=E_suministrada = Em = Em_f  Em_i

b) Si piden la velocidad que hay que dar, la incógnita es v_i. La energía suministrada es Ec:

 Si se pasa de una órbita interior a otra exterior:W>0 (Em_f > Em_i), se debe aportar energía(Esuministrada>0).

 Si se pasa de una órbita exterior a otra interior:W<0 (Em_f < Em_i), se debe sustraer energía (Esuministrada<0).

Si en el problema se dice “el cuerpo se deja caer” (de una órbita exterior a otra interior) es que la energía en la órbita inicial es solo gravitatoria (no hay energía cinética) vi = 0.

Emi = Emf → Eci+ Epi = Ecf + Epf

órbita exterior órbita interior

PUESTA EN ÓRBITA DE UN CUERPO Y PASO DE UNA ÓRBITA A OTRA Se aplica el principio de conservación de la energía.

Caso 3. Se pide el trabajo de escape, la energía para alejarlo indefinidamente de su órbita (llega al  con velocidad 0, E_mf=0)

Ec_i+ Ep_i + E_suministrada=0 Wesc=Esuministrada = Em = 0 Emi

ENERGÍA Y TIPO DE ÓRBITA DE UN CUERPO CELESTE

Em<0, la energía total es siempre NEGATIVA, por lo que el cuerpo describe una órbita CERRADA. El cuerpo queda ligado al planeta/estrella porque está atrapado por el campo gravitatorio.

 Ec= 0 Em=Ep El cuerpo ha alcanzado su altura máxima y cae.

 Ec > 0 Em= Ec+Ep Ec < Ep La energía cinética no es suficiente para que el objeto

escape de la atracción, sino que permanece orbitando. Se pueden dar dos casos:

a) Órbita CIRCULAR. El satélite está siempre a la misma distancia, luego E_c = constante y E_m= constante, v = v_órbita

b) Órbita ELÍPTICA. La energía cinética y la energía potencial cambian, aunque E_m= constante. En el perihelio la velocidad aumenta, la energía cinética aumenta y

la energía potencial disminuye, vórbita< v < vescape

Em 0, la energía total es siempre POSITIVA, por lo que el cuerpo describe una órbita ABIERTA. El cuerpo no queda ligado gravitatoriamente, escapa del campo.

 Em= 0 Ec= Ep El cuerpo describe una órbita PARABÓLICA y escapa del campo.

Su velocidad en el infinito es v=0, v = v_escape= vórbita

 Em> 0 El cuerpo describe una órbita HIPERBÓLICA y escapa del campo. Su

velocidad en el infinito es v>0, v > v_escape.

e = excentricidad

Hipérbola (e>1)

Circular (e=0) Parábola (e=1)