Modelagem da dispersão de poluentes em rios e canais sob a perspectiva das abordagens GILTT e separação de variáveis

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Programa de P ós-Graduaç ão em Ci ências Ambientais

Dissertac¸ ˜ao

Modelagem da dispers ão de poluentes em rios e canais sob a perspectiva das abordagens GILTT e separaç ão de vari áveis

Bettina Rodrigues Machado

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Modelagem da dispers ão de poluentes em rios e canais sob a perspectiva das abordagens GILTT e separaç ão de vari áveis

Dissertaç ão apresentada ao Programa de P ós-Graduaç ão em Ci ências Ambientais da Universidade Federal de Pelotas, como re-quisito à obtenç ão do t´ıtulo de Mestre em Ci ências Ambientais

Orientadora: Profa_{. Dr}a_{. Daniela Buske}

Coorientadora: Profa_{. Dr}a_{. Tirzah Moreira Siqueira}

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M149m Machado, Bettina Rodrigues

MacModelagem da dispersão de poluentes em rios e canais sob a perspectiva das abordagens GILTT e separação de variáveis / Bettina Rodrigues Machado ; Daniela Buske, orientadora ; Tirzah Moreira Siqueira, coorientadora. — Pelotas, 2019.

Mac57 f.

MacDissertação (Mestrado) — Programa de Pós-Graduação em Ciências Ambientais, Centro de Engenharias, Universidade Federal de Pelotas, 2019.

Mac1. Transformada integral. 2. Modelagem matemática. 3. Dispersão de poluentes. 4. Corpos hídricos. I. Buske, Daniela, orient. II. Siqueira, Tirzah Moreira, coorient. III. Título.

CDD : 551.48 Elaborada por Maria Inez Figueiredo Figas Machado CRB: 10/1612

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MODELAGEM DA DISPERSÃO DE POLUENTES EM RIOS E CANAIS SOB A

PERSPECTIVA DAS ABORDAGENS GILTT E SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS

por

Bettina Rodrigues Machado

Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Ciências Ambientais, PPGCamb, do Centro de Engenharias, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Título de

Mestre em Ciências Ambientais

Banca Examinadora:

Profª. Drª. Daniela Buske (UFPel)

Profª. Drª. Tirzah Moreira Siqueira (UFPel) Prof. Dr. Régis Sperotto de Quadros (UFPel) Prof. Dr. Guilherme Jahnecke Weymar (UFPel) Prof. Dr. Hugo Alexandre Soares Guedes (UFPel)

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RODRIGUES MACHADO, Bettina. Modelagem da dispers ão de poluentes em rios e canais sob a perspectiva das abordagens GILTT e separaç ão de vari áveis. 2019. 57 f. Dissertaç ão (Mestrado em Ci ências Ambientais) – Programa de P ós-Graduaç ão em Ci ências Ambientais, Centro de Engenharias, Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, 2019.

Epis ódios envolvendo despejos de res´ıduos l´ıquidos e degradaç ão dos corpos h´ıdricos vem sendo recorrentes ao longo da hist ória. Tendo em vista a preservaç ão dos recursos h´ıdricos, faz-se necess ária a utilizaç ão de ferramentas ambientais que reproduzam os fen ômenos de transporte de poluentes, de modo a antever a dispers ão do poluente e ter uma reaç ão em um tempo-resposta adequado. Dentre as ferramen-tas ambientais merece destaque os modelos matem áticos pela praticidade e pela reproduç ão adequada destes fen ômenos. O trabalho tem como objetivo apresentar e comparar as soluç ões utilizando as abordagens anal´ıticas GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique) e separaç ão de vari áveis, que modelam o problema da dispers ão de poluentes em rios e canais. Para tanto, é considerado um modelo bidimensional, no plano longitudinal e vertical. Por fim, s ão apresentadas simulaç ões num éricas, comparaç ões com dados experimentais e com resultados num éricos dispon´ıveis. Como esperado, os resultados obtidos no estudo demonstram que a adoç ão dos coeficientes vari áveis promove um incremento na qualidade da abordagem utilizada. Desta forma, a abordagem que melhor representou as situaç ões hipot éticas foi a abordagem GILTT.

Palavras-chave: Transformada integral, Modelagem matem ´atica, Dispers ˜ao de polu-entes, Corpos h´ıdricos.

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RODRIGUES MACHADO, Bettina. Pollutant dispersion modelling in rivers and channels under GILTT and separation of variables approaches. 2019. 57 f. Dissertaç ão (Mestrado em Ci ências Ambientais) – Programa de P ós-Graduaç ão em Ci ências Ambientais, Centro de Engenharias, Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, 2019.

Events involving disposal of liquids wastes and water resources degradation has been repeated over the years. Bearing in mind, the preservation of the water re-sources it’s necessary the application of ambiental tools that reproduce the pollutant’s phenomenon of transport, in this way is possible anticipate the pollutant dispersion and have a reaction in an adequate time. Among the ambiental tools deserves particular emphasis the mathematical models for practicality and reproducibility of these phenomenon’s. These work aim’s to present and compare the solutions using the analytical approach of GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique) and separation of variables, which model the problem of dispersion of contaminants in rivers and channels. Therefore, is considered the two-dimensional, in the longitudinal vertical plane model. Finally are presented numerical simulations and some com-parisons between experimental data and numerical results available in literature. As expected, the results obtained in these study demonstrate that the adoption of variable coefficients promotes an increase in the quality of the approach used. In this way, the approach that best represents the hypothetical situations was the GILTT approach.

Keywords: Integral transformation, Mathematical modeling, Pollutant dispersion, Wa-ter bodies.

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Figura 1 a) Transporte puramente advectivo, considerando a velocidade real m ´edia (va) e caminho percorrido m ´edio; b) deslocamento sofrido por um pulso de

soluto no tempo ; c) relaç ão entre concentraç ão e posiç ão.

Fonte: Kinzelbach(1987). . . 13 Figura 2 Experimento de liberaç ão de uma subst ância em canal aberto com fluxo

turbulento.

Fonte: Roberts e Webster (2001). . . 14 Figura 3 Variaç ão temporal de um pico de concentraç ão devido à difus ão molecular;

a) sem o deslocamento de fluido e, b) com deslocamento de fluido.

Fonte: Kinzelbach (1986). . . 14 Figura 4 Esquema da dispers ão de poluentes. Fonte: Machado (2006). . . 16 Figura 5 Perfil de velocidade turbulenta em funç ão da profundidade. Fonte: Oliveira

(2015). . . 40 Figura 6 Perfil de difusividade vertical turbulenta em func¸ ˜ao da profundidade.

Fonte: Oliveira (2015). . . 40 Figura 7 Validac¸ ˜ao do modelo anal´ıtico bidimensional em Z = 0, 1 comparado com

dados da literatura. . . 42 Figura 8 Validac¸ ˜ao do modelo anal´ıtico bidimensional em Z = 0, 3 comparado com

os dados experimentais. . . 44 Figura 9 Comportamento da concentrac¸ ˜ao de poluentes C em Z = 0,1 para as

dist âncias X = (10, 30, 50) para a abordagem GILTT. . . 45 Figura 10 Gr áfico da concentraç ão de poluentes C em funç ão da dist ância X para

tr ês posiç ões de fonte a) Zs= 0, 1; b) Zs= 0, 5; c) Zs= 0, 9. . . . 46

Figura 11 Gr áfico da concentraç ão de poluentes C em funç ão da dist ância X para quatro posiç ões de fonte a) Zs= 0, 2; b) Zs= 0, 5; c) Zs = 0, 75 e d) Zs= 1. 47

Figura 12 Comportamento da concentraç ão de poluente C em Z = 0,1 para as dist âncias X = (10, 30, 50) para a abordagem SV. . . 48 Figura 13 Gr áfico da concentraç ão de poluentes C em funç ão da dist ância X para

tr ês posiç ões de fonte a) Zs= 0, 1; b) Zs= 0, 5; c) Zs= 0, 9. . . . 49

Figura 14 Perfil vertical da concentraç ão de poluentes C para quatro dist âncias (X = 0, 5; X = 2 e X = 10) com a posiç ão da fonte em a) Zs = 0, 2; b) Zs= 0, 5;

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Tabela 1 Par âmetros hidr áulicos do experimento 1. . . 38 Tabela 2 Par âmetros hidr áulicos do experimento 2. . . 39 Tabela 3 Avaliaç ão estat´ıstica dos m étodos GILTT e SV utilizando o experimento 1. 43 Tabela 4 Avaliaç ão estat´ıstica dos m étodos GILTT e SV utilizando o experimento 2. 44

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A, B Matrizes de coeficientes do problema transformado c Concentrac¸ ˜ao de um contaminante

co Concentrac¸ ˜ao inicial de um contaminante

C Concentraç ão m édia de um contaminante

Cn Coeficiente da expans ˜ao em s ´erie do problema bidimensional

C Concentraç ão adimensional de um contaminante Co Concentraç ão observada experimentalmente

Cp Concentrac¸ ˜ao predita pelo modelo

Ceq Concentrac¸ ˜ao de equil´ıbrio

CIT T Classic Integral Transform Technique d Comprimento do rio ou canal

D Matriz diagonal dos autovalores da matriz F E(x) Matriz de inc ógnitas do problema transformado EDO Equaç ão Diferencial Ordin ária

F Matriz de coeficientes do problema transformado na qual F = A−1B G Matriz dos autovetores da matriz F

GIT T Generalized Integral Transform Technique

GILT T Generalized Integral Laplace Transform Technique h Profundidade do rio ou canal

I Matriz identidade

K N ´umero de pontos considerado na Quadratura Gaussiana l Largura do rio ou canal

M (x) Matriz da transformada inversa de Laplace E(x)

N N ´umero de autovalores no somat ´orio do problema bidimensional Q Intensidade da fonte

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u Velocidade instant ânea do escoamento na direç ão x U Perfil de velocidade adimesional na direç ão x

u Componente m édia do escoamento na direç ão x u′ Componente turbulenta do escoamento na direç ão x u∗ Velocidade de atrito

u′c′ Fluxo turbulento do contaminante na direç ão x v′c′ Fluxo turbulento do contaminante na direç ão y w′c′ Fluxo turbulento do contaminante na direç ão z v Velocidade instant ânea do escoamento na direç ão y v Componente m édia do escoamento na direç ão y v′ Componente turbulenta do escoamento na direç ão y x Componente longitudinal

X Componente longitudinal adimensional

y Componente lateral

ys Posiç ão da fonte poluidora na direç ão y

w Velocidade instant ânea do escoamento na direç ão z w Componente m édia do escoamento na direç ão z w′ Componente turbulenta do escoamento na direç ão z z Componente vertical

Z Componente vertical adimensional zs Posiç ão da fonte poluidora na direç ão z

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . . 9

2 REVIS ˜AO BIBLIOGR ´AFICA . . . . 11

2.1 Poluiç ão das águas . . . . 11

2.2 Advecc¸ ˜ao . . . . 12

2.3 Difus ˜ao turbulenta . . . . 13

2.4 Difus ˜ao molecular . . . . 14

2.5 Dispers ˜ao de poluentes . . . 15

2.6 Classificaç ão dos modelos matem áticos . . . . 16

2.7 Equaç ão da advecç ão-difus ão . . . 17

2.8 Evoluç ão das soluç ões anal´ıticas . . . . 22

2.8.1 Abordagem GILTT . . . 27

2.8.2 Abordagem SV . . . 28

3 MODELAGEM MATEM ´ATICA . . . . 29

3.1 Hip ´oteses fundamentais . . . . 29

3.2 Resoluc¸ ˜ao do problema sob a perspectiva da abordagem GILTT . . . 30

3.3 Resoluc¸ ˜ao do problema sob a perspectiva da abordagem SV . . . . . 35

3.3.1 Soluç ão da equaç ão (59) . . . 35

3.3.2 Soluç ão da equaç ão (60) . . . 36

4 DADOS PARA A VALIDAC¸ ˜AO DOS MODELOS . . . . 38

4.1 Dados experimentais . . . . 38

4.1.1 Experimento 1 . . . 38

4.1.2 Experimento 2 . . . 39

4.2 Parametrizac¸ ˜oes . . . . 39

4.2.1 Perfil de velocidade . . . 39

4.2.2 Coeficiente de difus ˜ao . . . 40

4.3 An ´alise estat´ıstica . . . . 41

5 RESULTADOS E DISCUSS ˜AO . . . . 42

5.1 Validaç ão e comparaç ão entre as abordagens . . . . 42

5.2 Resultados obtidos pela abordagem GILTT . . . . 45

5.3 Resultados obtidos pela abordagem SV . . . . 47

6 CONCLUS ˜AO . . . . 51

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A utilizaç ão crescente dos recursos h´ıdricos pode gerar uma s érie de impactos ne-gativos capazes de comprometer o equil´ıbrio ambiental e gerar conflitos, uma vez que o aumento na demanda pela água tem como consequ ência a ampliaç ão das descar-gas de recursos h´ıdricos contaminados (TUCCI, 2008). Dentre as principais fontes de poluiç ão das águas est ão a falta de saneamento b ásico, o lançamento de efluen-tes industriais tratados indevidamente e a exploraç ão dos recursos h´ıdricos para fins energ éticos (BARROS, 2004).

A poluiç ão é caracterizada por ser uma alteraç ão indesej ável das caracter´ısticas f´ısico-qu´ımicas e biol ógicas de um sistema que cause ou possa causar preju´ızo à sa úde, sobreviv ência ou atividades dos seres humanos e outras esp écies ou dete-riorar materiais (BRAGA et al., 2005). Quando se trata de um recurso essencial à vida, investigar as consequ ências da poluiç ão sobre o ecossistema é imprescind´ıvel para preservar a sa úde humana e o equil´ıbrio ambiental. Por ém, somente em 1970, com o aprimoramento da legislaç ão ambiental em âmbito mundial, que estes estudos ganharam relev ância (YOSHINARI, 2015).

Os corpos d’ água superficiais constituem parte fundamental do processo de disposiç ão dos res´ıduos gerados pelas atividades humanas, sendo de grande im-port ância o conhecimento antecipado dos tipos e da magnitude dos danos que o des-pejo de cargas poluidoras pode causar aos ambientes aqu áticos (EIGER, 2003). Logo, entender a din âmica das subst âncias no ambiente natural é de suma import ância para tomar aç ões efetivas. Por ém, os processos que governam o transporte e a difus ão de poluentes s ão numerosos e de uma complexidade tal que n ão é poss´ıvel descrev ê-los sem a utilizaç ão de modelos matem áticos, que resultam, ent ão, em um instrumento t écnico indispens ável para a gest ão ambiental e segurança das pessoas (RAMOS et al., 2014).

Os modelos matem áticos contribuem de forma relevante em projetos de estaç ões de tratamento de esgoto, na determinaç ão da influ ência de obras hidr áulicas na quali-dade da água, vazamentos acidentais de res´ıduos t óxicos, na previs ão do aumento de temperatura da água causado pela geraç ão de energia termoel étrica, assim como a

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previs ão de alteraç ões aqu áticas causadas pelo uso do solo da bacia hidrogr áfica con-tribuinte (FISCHER et al., 1979). De uma forma geral, os modelos se mostram mais eficientes quando comparados às pesquisas experimentais por serem econ ômicos e n ão apresentarem problemas operacionais (OLIVEIRA, 2015).

Para solucionar as equaç ões que comp õem um modelo, empregam-se normal-mente, m étodos anal´ıticos, semi-anal´ıticos ou m étodos num éricos. A obtenç ão de soluç ões anal´ıticas para equaç ões diferenciais parciais, quando poss´ıvel, é de fun-damental import ância, pois permite uma an álise mais precisa, uma vez que revela os par âmetros adimensionais que controlam a soluç ão do modelo (VIDAL et al., 2015), enquanto as soluç ões num éricas s ão mais gerais dificultando a verificaç ão dos poss´ıveis erros existentes no modelo (EL-SADEK, 2009).

A escolha do modelo matem ático deve atender as necessidades e peculiaridades do sistema a ser modelado, bem como o tipo e as fontes de poluentes mais relevantes. Uma vez que, os modelos n ão s ão adequados a todas as situaç ões (BITTENCOURT et al., 1999).

Por estas raz ões, é de extrema import ância aprimorar n ão s ó os modelos f´ısicos, adicionando complexidades na formulaç ão que sejam de import ância f´ısica, mas tamb ém, as t écnicas de soluç ão que ser ão utilizadas na simulaç ão computacional.

Sendo assim, o presente trabalho tem como objetivo resolver um problema bidi-mensional de dispers ão de poluentes em rios e canais, utilizando duas abordagens de resoluç ão: GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique) e Separaç ão de Vari áveis (SV), e assim apresentar soluç ões anal´ıticas para a concentraç ão de polu-entes.

´

E realizada uma comparaç ão entre as abordagens afim de investigar a influ ência dos par âmetros de velocidade e difus ão turbulenta na acur ácia dos m étodos.

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2.1 Poluiç ão das águas

A preocupaç ão do homem com a qualidade dos corpos h´ıdricos é milenar e, re-monta a épocas em que o sistema sensorial era o único crit ério de avaliaç ão de qua-lidade. A água é um elemento determinante para sustentaç ão da vida, propulsora do desenvolvimento cultural e econ ômico da sociedade, sua multiplicidade de usos e funç ões tende a gerar conflitos em virtude das diferentes demandas de quantidade e qualidade de água (TUNDISI, 2003).

O crescimento populacional aliado ao desenvolvimento econ ômico configura um aumento progressivo na demanda por água. Sabe-se que os corpos h´ıdricos superfi-ciais s ão uma das principais fontes de disposiç ão dos efluentes ou águas residu árias gerados pelas atividades antr ópicas, o que interfere negativamente na qualidade dos recursos h´ıdricos (ASHBY, 2013).

No Brasil, os maiores problemas ambientais relacionados com a poluiç ão das águas surgiram na d écada de 70 junto com o desenvolvimento industrial. O aumento da demanda h´ıdrica fez com que a capacidade de diluiç ão dos corpos naturais fosse insuficiente com isso, os eventos cr´ıticos de poluiç ão tornam-se frequentes(NEVES, 2012). A poluiç ão tem como caracter´ıstica alterar significativamente as caracter´ısticas f´ısicas, qu´ımicas e biol ógicas da água, podendo inviabilizar o seu uso para diversas finalidades, provocar preju´ızo aos ecossistemas aqu áticos e transmitir doenças às populaç ões. A poluiç ão h´ıdrica decorre do lançamento direto ou indireto de efluen-tes/ águas residu árias gerados pela atividade humana no ambiente.

As fontes de poluiç ão diferem entre si quanto à fonte e origem (VON SPERLING, 2005).

Quanto à fonte, os poluentes podem se dispersar atrav és de fontes pontuais ou de fontes difusas. As fontes pontuais s ão semelhantes a um ponto, usualmente s ão fixas e atingem o corpo h´ıdrico de maneira concentrada, a exemplo disso, a sa´ıda de uma tubulaç ão de esgoto.

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parte da sua extens ão. É de dif´ıcil detecç ão uma vez que, n ão é poss´ıvel identificar exatamente o seu ponto de origem (LAURENTIS, 2004).

Quanto aos poluentes de maior incid ˆencia no ambiente natural, merecem desta-que:

• Lanc¸amento de esgoto sanit´ario in natura.

Os efluentes ou esgotos sanit ários s ão as águas servidas provenientes das re-sid ências, dos edif´ıcios rere-sidenciais, comerciais e p úblicos, dos clubes espor-tivos, dos restaurantes. S ão originados a partir do uso da água para higiene pessoal, cocç ão de alimentos, lavagem de utens´ılios, roupas, pisos e limpeza em geral. Apresenta uma composiç ão pouco vari ável e predom´ınio de mat éria org ânica biodegrad ável (ASHBY, 2013). Segundo os dados da Pesquisa Naci-onal por Amostra de Domic´ılio do Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica (Pnad-IBGE, 2015), o Brasil possu´ıa 97.2% dos domic´ılios com acesso a água, e somente 65.3% deles com esgotamento sanit ário (coleta de esgoto).

• Efluentes industriais com tratamento inadequado.

S ˜ao gerados nas atividades industriais, as caracter´ısticas f´ısico-qu´ımicas do eflu-ente dependem do tipo de atividade industrial.

• Exploração dos recursos h´ıdricos para fins energéticos.

Alteram a qualidade das águas, a sua morfologia, o seu regime fluvial atrav és da construç ão de reservat órios, retificaç ão de cursos de água, desmatamentos e lançamentos de cargas poluidoras.

2.2 Advecc¸ ˜ao

O transporte de solutos pelo fluido em movimento é denominado advecç ão ou convecç ão. Ocorre devido às componentes de velocidades existentes, por exemplo, em regimes turbulentos devido à exist ência de velocidades paralelas, mas pode existir no regime laminar tamb ém.

O transporte puramente advectivo provoca o deslocamento de part´ıculas de soluto com a velocidade real (va) do fluido na direç ão do escoamento. Uma injeç ão

ins-tant ânea no insins-tante t = t0 é deslocada por advecç ão em um intervalo de tempo ∆t para uma nova posiç ão, sem alterar a geometria do pulso (Figura 1) (ASHBY, 2013).

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Figura 1: a) Transporte puramente advectivo, considerando a velocidade real m ´edia (va) e

caminho percorrido m édio; b) deslocamento sofrido por um pulso de soluto no tempo ; c) relaç ão entre concentraç ão e posiç ão.

Fonte: Kinzelbach(1987).

Seguindo esse racioc´ınio, sem fluxo de fluido, o deslocamento de soluto n ˜ao seria poss´ıvel. Analisando somente a componente advectiva do transporte de solutos, fica evidente que as part´ıculas de soluto s ˜ao transportadas com a velocidade do campo de fluxo, acompanhando as part´ıculas de fluido (ASHBY, 2013).

2.3 Difus ˜ao turbulenta

Os estudos da difus ão turbulenta permitem prever os n´ıveis de concentraç ão de poluentes na atmosfera ou na água, al ém de alertarem para os riscos de exposiç ão nestes ambientes.

Os fluxos turbulentos apresentam caracter´ısticas de imprevisibilidade, r ápida di-fusividade, altos n´ıveis de vorticidade e dissipaç ão de energia cin ética (ROBERTS e WEBSTER, 2001). A imprevisibilidade dos fluxos turbulentos faz com que seus movi-mentos devam ser determinados atrav és de c álculos estat´ısticos onde a velocidade de um fluxo turbulento é determinado pela velocidade m édia, enquanto que a intensidade de turbul ência é descrita atrav és da vari ância da velocidade (PESSOLI, 2006).

O processo de mistura em um fluxo turbulento ocorre devido à distorç ão, estira-mento e convoluç ão do fluxo original, o que d á origem a redemoinhos ou v órtices de diversos tamanhos, distribuindo o volume de forma irregular sobre outro volume de maior tamanho. Os redemoinhos gerados em fluxos turbulentos e de tamanhos me-nores ao fluxo est ão em constante mudança e s ão respons áveis pelo decr éscimo da concentraç ão (PESSOLI, 2006).

A Figura 2 mostra o comportamento da difus ão. Uma subst ância é liberada em um canal aberto, com fluxo turbulento, onde percebe-se o espalhamento da subst ância, o

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que resulta em um decr éscimo na concentraç ão dessa subst ância.

Figura 2: Experimento de liberaç ão de uma subst ância em canal aberto com fluxo turbulento. Fonte: Roberts e Webster (2001).

2.4 Difus ˜ao molecular

Diferentemente do fen ômeno de advecç ão, a difus ão molecular pode ocorrer sem que haja deslocamento de fluido. O transporte difusivo ocorre quando as mol éculas do efluente se dispersam entre as camadas do fluido devido ao gradiente de concentraç ão existente entre as diferentes regi ões do escoamento. Pode ser cha-mado de movimento t érmico das mol éculas ou movimento Browniano, o qual conduz ao equil´ıbrio de concentraç ão em um meio. O fen ômeno deixa de ocorrer quando a concentraç ão de um determinado soluto é a mesma em todos os pontos do meio (ASHBY, 2013).

A difus ão molecular provoca uma reduç ão no pico de concentraç ão, independente-mente do fluido estar em repouso (Figura 3a) ou em movimento (Figura 3b) (ASHBY, 2013).

Figura 3: Variaç ão temporal de um pico de concentraç ão devido à difus ão molecular; a) sem o deslocamento de fluido e, b) com deslocamento de fluido.

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Com o aux´ılio de modelos mais elaborados e o desenvolvimento de metodologias flex´ıveis de soluç ão das equaç ões de convecç ão (ou advecç ão) e difus ão, ou seja, equaç ões que regem o comportamento da mistura do poluente com o meio, pode-se ter uma noç ão e uma melhor compreens ão do fen ômeno de transporte de contami-nantes (BARROS, 2004).

2.5 Dispers ˜ao de poluentes

A dispers ão é definida como o fen ômeno de transporte de efluentes causado pela ocorr ência conjunta de difus ão molecular e/ou turbulenta e da advecç ão (tamb ém cha-mada de convecç ão). Embora estes fen ômenos estejam sempre presentes durante a dispers ão dos efluentes, existem situaç ões em que apenas um predomina (NEVES, 2012). Os par âmetros que levam em consideraç ão a difus ão do poluente s ão chama-dos de coeficientes de dispers ão (COX, 2003).

Em 1967, Fischer elaborou uma metodologia para prediç ão da taxa de dispers ão longitudinal em correntes naturais. Foram apresentados diversos valores de coefici-entes de dispers ão determinados em laborat ório para difercoefici-entes condiç ões de escoa-mento.

J á em 1974, Nordin e Sabol, verificaram que os escoamentos que ocorrem no meio ambiente n ão apresentam coeficientes de dispers ão constantes.

A utilizaç ão de coeficientes vari áveis na modelagem representa uma aproximaç ão mais realista do fen ômeno. Por ém, obter soluç ões anal´ıticas completas para a equaç ão de advecç ão-difus ão, com perfil de velocidade n ão uniforme nem sempre

é poss´ıvel e v ários m étodos aproximados podem ser utilizados.

Fischer et al. (1979) constataram que o coeficiente de difus ão transversal é da ordem de dez vezes maior que o coeficiente de difus ão vertical. Esse fato pode ser explicado pela presença de contornos s ólidos e da superf´ıcie livre que afetam o tama-nho dos turbilh ões (NADAOKA e YAGI, 1998). Essa restriç ão f´ısica dos contornos e do tamanho dos turbilh ões implica que esses devem ser mais alongados nas direç ões em que o canal tem maiores dimens ões. Dessa forma, um canal com largura bem maior que a profundidade, tende a apresentar o coeficiente de difusividade turbulenta bem maior na direç ão da pr ópria largura (PORTO et al., 1991), explicando assim a raz ão pela qual canais e rios com profundidades menores que a largura tendem a apresen-tar valores maiores para os coeficientes de difus ão turbulentos na direç ão transversal, ou seja, na direç ão da largura.

O fen ˆomeno de dispers ˜ao de poluentes em rios pode ser explicado conforme mos-tra a Figura 4.

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Figura 4: Esquema da dispers ˜ao de poluentes. Fonte: Machado (2006).

De acordo com a Figura 4, o poluente é lançado com uma dada vaz ão constante Qe na lateral do rio que escoa com uma vaz ão tamb ém constante Qr. A medida`

que percorre o leito do rio, a pluma formada de poluente vai se expandindo ao longo da zona de mistura, de comprimento LD, at ´e atingir uma zona de mistura completa,

onde n ão h á mais dispers ão significativa. A partir deste ponto, apenas as reaç ões de decomposiç ão da subst ância em estudo, caso seja um componente degenerativo, devem ser levadas em consideraç ão (MACHADO, 2006).

2.6 Classificaç ão dos modelos matem áticos

Os modelos matem áticos v êm sendo frequentemente utilizados para prever o transporte de poluentes e avaliar o risco de poluiç ão, e representam uma aproximaç ão do fen ômeno de transporte real (EL-SADEK, 2009).

A disponibilidade de dados, os objetivos a serem alcançados, os recursos t écnicos, financeiros e computacionais acess´ıveis e o prazo de implantaç ão s ão fatores que em geral delimitam a complexidade do modelo matem ático a ser utilizado na simulaç ão de um sistema h´ıdrico (GARCIA, 2009).

Nenhum modelo isolado é o melhor para todas as situaç ões, de forma que as necessidades e peculiaridades de cada sistema a ser modelado, bem como o tipo e as fontes de poluentes mais relevantes, devem orientar a seleç ão do modelo mais adequado para o sistema (BITTENCOURT et al., 1999).

Dentre as abordagens que podem ser utilizadas para simular a dispers ão de polu-entes, destacam-se: o Lagrangiano, no qual as mudanças na concentraç ão seguem o movimento do fluido, e o Euleriano, em que o comportamento da concentraç ão é descrito em relaç ão a um ponto fixo no espaço (MUNSON et al., 2004).

(20)

emprego de um modelo Euleriano pode ser comparada diretamente com os dados de monitoramento ambiental, permitindo efetuar a verificaç ão da evoluç ão temporal de um determinado par âmetro em uma localizaç ão espec´ıfica (GARCIA, 2009).

De acordo com Garcia (2009), os problemas envolvendo a dispers ão de poluentes em meio aqu ático podem ser tratados matematicamente empregando modelos transi-entes e estacion ários.

Os modelos transientes s ão utilizados em situaç ões de derramamentos de po-luentes advindos de acidentes no transporte rodo e hidrovi ário, rompimentos de tubulaç ões, tanques de armazenamento de subst âncias qu´ımicas e estaç ões de tra-tamento de efluentes l´ıquidos. Al ém de estimar a correta duraç ão de uma interrupç ão emergencial de captaç ão das águas de um corpo h´ıdrico atingido por derramamen-tos acidentais, haja vista os transtornos da suspens ão do abastecimento, os modelos matem áticos para descargas acidentais s ão essenciais à an álise de risco de fontes potenciais de degradaç ão ambiental.

Os modelos estacion ários podem ser empregados em situaç ões em que o campo de velocidade pode ser considerado permanente. Para o caso estacion ário, a equaç ão da advecç ão-difus ão é solucionada sem o termo da variaç ão temporal da concentraç ão.

Neste estudo ser á utilizado um modelo Euleriano, o qual tem como caracter´ıstica principal a soluç ão da equaç ão de advecç ão-difus ão.

2.7 Equaç ão da advecç ão-difus ão

A teoria dos fen ômenos de transporte é de grande import ância na engenharia am-biental. Para realizar qualquer tipo de an álise de risco e de impacto ambiental, se faz necess ário prever o comportamento da dispers ão de poluentes emitidos. O ingredi-ente fundamental para a compreens ão do transporte de contaminantes est á no co-nhecimento dos fen ômenos f´ısicos, acoplados a ferramentas anal´ıticas da matem ática aplicada (NAZAROFF e COHEN, 2001).

Logo, o problema da an álise e da previs ão do transporte de poluentes num dado escoamento est á fortemente ligado a processos f´ısicos de difus ão e advecç ão. Esse tipo de problema é abordado pelo princ´ıpio de conservaç ão de massa do poluente transportado, e os escoamentos que despertam maior interesse na engenharia, em geral, t êm car áter turbulento (por exemplo, canais, condutos, oceanos, atmosfera, la-gos e estu ários).

A equaç ão que descreve o fen ômeno da dispers ão de poluentes é obtida a partir da equaç ão de conservaç ão de massa (equaç ão da continuidade). Considerando uma

(21)

esp écie gen érica c que se conserve em meios aqu áticos, tem-se: ∂c ∂t + u ∂c ∂x + v ∂c ∂y + w ∂c ∂z + S = 0 (1)

onde c é a concentraç ão de poluentes; u, v e w representam as componentes das velocidades instant âneas do escoamento nas direç ões x, y e z respectivamente, e S representa o termo fonte.

Se o processo de transporte de massa ocorre em um escoamento turbulento, as distribuiç ões para a concentraç ão e para a velocidade s ão irregulares dificultando o c álculo exato e instant âneo do potencial. Estas distribuiç ões irregulares tendem a oscilar em torno de seus valores m édios, de instante a instante (NEVES, 2012). Para contornar este problema, Reynolds prop ôs um modelo conceitual em 1895 com uma abordagem estat´ıstica que vem sendo amplamente utilizada at é o presente. De acordo com Reynolds, uma vari ável turbulenta instant ânea, como a velocidade e a concentraç ão de massa, pode ser decomposta em um valor m édio e uma flutuaç ão em torno deste valor m édio (TENNEKES e LUMLEY, 1983).

Aplicando a decomposiç ão de Reynolds para as vari áveis de interesse, ou seja, essas vari áveis s ão expressas como a soma de suas m édias de ensemble (denotadas por uma barra superior) e flutuaç ões (denotadas pela linha) (ARYA, 1999):

u = u + u′; (2)

v = v + v′; w = w + w′; c = c + c′. Substituindo a equac¸ ˜ao (2) em (1):

∂(c + c′) ∂t + (u + u ′₎∂(c + c′) ∂x + (v + v ′₎∂(c + c′) ∂y + (w + w ′₎∂(c + c′) ∂z + S = 0 . (3) Expandindo os termos da equac¸ ˜ao (3):

∂¯c ∂t + ∂c′ ∂t + ¯u ∂¯c ∂x + ¯u ∂c′ ∂x + u ′∂¯c ∂x + u ′∂c′ ∂x + ¯v ∂¯c ∂y + ¯v ∂c′ ∂y+ (4) v′∂¯c ∂y + v ′∂c′ ∂y + ¯w ∂¯c ∂z + ¯w ∂c′ ∂z + w ′∂¯c ∂z + w ′∂c′ ∂z + S = 0 .

Para fins de simplificaç ão, consideram-se as seguintes propriedades da m édia de Rey-nolds, v álidas para um sistema Euleriano:

(22)

P 1) ¯¯ϕ = ¯ϕ ; P 2) ϕ + φ = ¯ϕ + ¯φ ; P 3) ϕ¯· φ = ¯ϕ · ¯φ ; P 4) ∂ϕ ∂x = ∂ ¯ϕ ∂x ; P 5) cte = cte .

Tomando a m édia da equaç ão (4) e aplicando a propriedade P 2, obt êm-se: ∂c ∂t + ∂c′ ∂t + u ∂c ∂x + u ∂c′ ∂x + u′ ∂c ∂x + u′ ∂c′ ∂x + v ∂c ∂y + v ∂c′ ∂y + v′ ∂c ∂y + v′ ∂c′ ∂y+ (5) w∂c ∂z + w ∂c′ ∂z + w ′∂c ∂z + w ′∂c′ ∂z + S = 0 . Aplicando as propriedades de Reynolds na equaç ão (5), tem-se:

∂c ∂t + ∂c′ ∂t + u ∂c ∂x + u ∂c′ ∂x + u′ ∂c ∂x + u′ ∂c′ ∂x + v ∂c ∂y + v ∂c′ ∂y + v′ ∂c ∂y + v′ ∂c′ ∂y+ (6) w∂c ∂z + w ∂c′ ∂z + w ′∂c ∂z + w ′∂c′ ∂z + S = 0 .

Observe que a m édia de uma flutuaç ão é igual a zero, pois ϕ = ϕ + ϕ′ent ão ϕ = ϕ + ϕ′, implicando que ϕ′ = 0. Dessa forma, pode-se considerar que:

c′ = u′ = v′ = w′ = 0 . (7)

Substituindo a equac¸ ˜ao (7) em (6), chega-se a: ∂¯c ∂t + ¯u ∂¯c ∂x + ¯v ∂¯c ∂y + ¯w ∂¯c ∂z + u ′∂c′ ∂x + v ′∂c′ ∂y + w ′∂c′ ∂z + S = 0 . (8)

Para reescrever os termos dos fluxos turbulentos da equaç ão (8) ser ão consideradas as seguintes relaç ões:

∂(u′c′) ∂x = u ′∂c′ ∂x + c ′∂u′ ∂x ; (9) ∂(v′c′) ∂y = v ′∂c′ ∂y + c ′∂v′ ∂y ; (10) ∂(w′c′) ∂z = w ′∂c′ ∂z + c ′∂w′ ∂z . (11)

(23)

Somando (9), (10) e (11), chega-se em: ∂(u′c′) ∂x + ∂(v′c′) ∂y + ∂(w′c′) ∂z = u ′∂c′ ∂x + v ′∂c′ ∂y + w ′∂c′ ∂z + c ′ ( ∂u′ ∂x + ∂v′ ∂y + ∂w′ ∂z ) . (12)

Ademais, nota-se que a equaç ão da continuidade aplicada a um fluido incompress´ıvel e com densidade constante é representada por:

∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z = 0 . (13)

Aplicando a decomposic¸ ˜ao de Reynolds: ∂(¯u + u′) ∂x + ∂(¯v + v′) ∂y + ∂( ¯w + w′) ∂z = 0 . (14)

Expandindo os termos da equac¸ ˜ao (14): ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z + ∂u′ ∂x + ∂v′ ∂y + ∂w′ ∂z = 0 . (15)

Tomando a m édia da equaç ão (15) e aplicando a propriedade P 2: ∂ ¯u ∂x + ∂ ¯v ∂y + ∂ ¯w ∂z + ∂u′ ∂x + ∂v′ ∂y + ∂w′ ∂z = 0 . (16)

Aplicando as propriedades de Reynols na equac¸ ˜ao (16): ∂ ¯u ∂x + ∂ ¯v ∂y + ∂ ¯w ∂z + ∂u′ ∂x + ∂v′ ∂y + ∂w′ ∂z = 0 . (17)

Substituindo a equaç ão (7) em (17), tem-se: ∂u′ ∂x + ∂v′ ∂y + ∂w′ ∂z = 0 , (18) ∂ ¯u ∂x + ∂ ¯v ∂y + ∂ ¯w ∂z = 0 . Substituindo equaç ão (18) em (15), resulta em:

∂u′ ∂x + ∂v′ ∂y + ∂w′ ∂z = 0 . (19)

Com isso, substituindo a equaç ão (19) em (12), a equaç ão é reduzida para: ∂u′c′ ∂x + ∂v′c′ ∂y + ∂w′c′ ∂z = u ′∂c′ ∂x + v ′∂c′ ∂y + w ′∂c′ ∂z . (20)

(24)

Tomando a m ´edia de (20) e aplicando a propriedade P 2: ∂u′c′ ∂x + ∂v′c′ ∂y + ∂w′c′ ∂z = u′ ∂c′ ∂x + v′ ∂c′ ∂y + w′ ∂c′ ∂z . (21)

Substituindo (21) em (8) e aplicando a propriedade P 4, chega-se na equaç ão de advecç ão-difus ão tridimensional em regime transiente que descreve as concentraç ões a partir de uma fonte cont´ınua:

∂¯c ∂t + ¯u ∂¯c ∂x + ¯v ∂¯c ∂y + ¯w ∂¯c ∂z + ∂u′c′ ∂x + ∂v′c′ ∂y + ∂w′c′ ∂z + S = 0 , (22)

na qual c denota a concentraç ão m édia do contaminante (g.m−3), u, v e w s ão as componentes cartesianas do escoamento m édio (m.s−1) orientado nas direç ões x (0 < x < d), y (0 < y < l) e z (0 < z < h). Os termos u′c′, v′c′ e w′c′ representam o fluxo turbulento do contaminante (g.s−1.m−2)nas direç ões longitudinal, transversal (lateral) e vertical, respectivamente.

O termo de difus ão molecular ser á desconsiderado, pois a turbul ência domina os processos de transporte e dispers ão. A equaç ão (22) apresenta quatro vari áveis des-conhecidas (os fluxos turbulentos e a concentraç ão c), por isso n ão pode ser resolvida diretamente.

Uma das maneiras mais utilizadas para solucionar o problema de fechamento da equaç ão de advecç ão-difus ão é baseada na hip ótese de transporte por gradiente (ou teoria K) que, em analogia com a lei de Fick da difus ão molecular, assume que o fluxo turbulento de concentraç ão é proporcional à magnitude do gradiente de concentraç ão m édia (SEINFELD e PANDIS, 1997). Logo:

u′c′ =−εx ∂¯c ∂x; (23) v′c′ =−εy ∂¯c ∂y ; w′c′ =−εz ∂¯c ∂z ,

onde εx, εy e εz s ão os coeficientes de difus ão turbulenta (m2.s−1) nas direç ões x,

y e z, respectivamente. No fechamento de primeira ordem, toda a informaç ão da complexidade da turbul ência est á contida nesses coeficientes de difus ão.

Finalmente, substituindo a equaç ão (23) em (22), obt êm-se a equaç ão de advecç ão-difus ão tridimensional, com fechamento Fickiano da turbul ência, para um sistema de coordenadas cartesianas em que a direç ão x coincide com a direç ão do fluxo, dada por (ARYA, 1999):

(25)

∂¯c ∂t + ¯u ∂¯c ∂x + ¯v ∂¯c ∂y + ¯w ∂¯c ∂z = ∂ ∂x ( εx ∂¯c ∂x ) + ∂ ∂y ( εy ∂¯c ∂y ) + ∂ ∂z ( εz ∂¯c ∂z ) + S , (24)

onde c representa a concentraç ão m édia do contaminante (g.m−3); u, v e w represen-tam a velocidade m édia do fluxo (m.s−1)nas direç ões x, y e z, respectivamente; εx, εy

e εz representam os coeficientes de difus ão turbulenta (m2.s−1)nas direç ões x, y e z,

respectivamente, e S representa o termo fonte. Do lado esquerdo da equaç ão (24), o primeiro termo é dependente do tempo e os tr ês termos restantes descrevem o trans-porte devido à advecç ão. J á no lado direito, os tr ês primeiros termos representam a difus ão turbulenta e o último termo representa a taxa de emiss ão da fonte.

O termo fonte é considerado na equaç ão quando o poluente sofre transformaç ões, sejam elas atrav és de processos f´ısicos, qu´ımicos ou biol ógicos. Nesses casos, os poluentes s ão classificados como n ão conservativos. Quando o poluente é dito con-servativo, ou seja, quando sua concentraç ão permanece inerte, exceto por difus ão ou advecç ão, o termo S é desconsiderado (EIGER, 2003).

2.8 Evoluç ão das soluç ões anal´ıticas

Neste t ópico apresenta-se uma revis ão acerca dos trabalhos encontrados na lite-ratura que tenham como objetivo solucionar um problema de dispers ão de contami-nantes em meio aqu ático tendo como foco as soluç ões anal´ıticas.

Os modelos unidimensionais podem ser de grande utilidade para uma primeira es-timativa, uma vez que existe uma grande quantidade de soluç ões anal´ıticas para essa classe de problema (ZOPPOU e KNIGHT, 1997; DIAS, 2003; GANDOLFI e FACCHI, 2001; VAN GENUCHTEN et al., 2013; SANSKRITYAYN et al., 2018). Estes mode-los s ão simples e é poss´ıvel obter resultados satisfat órios, por ém, tais formulaç ões unidimensionais s ó s ão v álidas para certas condiç ões (BARROS, 2004).

Para modelos unidimensionais é normal considerar que, ap ós uma determinada dist ância a jusante do ponto de despejo, o poluente estar á distribu´ıdo uniformemente no rio ou canal tanto na direç ão transversal quanto na direç ão vertical ao longo do dom´ınio f´ısico (EIGER, 2003).

Em 1996 Runkel (1996) utilizou um modelo unidimensional, com coeficiente de difusividade longitudinal e velocidade constantes, considerando os tipos de fonte (cont´ınua de duraç ão infinita e de duraç ão finita), o problema foi resolvido analitica-mente.

Considerando problema semelhante, Gandolfi e Facchi (2001) solucionaram um modelo unidimensional de dispers ão, advecç ão e decaimento com coeficientes cons-tantes para o transporte de solutos em um rio, considerando uma fonte pontual vari ável

(26)

no tempo. O problema foi resolvido analiticamente atrav ´es do uso da Transformada de Laplace.

Em (1997), Zoppou e Knight solucionaram analiticamente um modelo unidimensio-nal com velocidade dependente da direç ão longitudiunidimensio-nal para o transporte de poluentes em um canal. Apesar de incluir uma variaç ão espacial no modelo, inicialmente o co-eficiente de difus ão longitudinal foi desprezado sob a hip ótese de que o transporte advectivo é mais relevante do que o processo difusivo. Na sequ ência, o termo de di-fus ão longitudinal é considerado. Os autores destacam que soluç ões anal´ıticas s ão de extrema import ância, pois s ão usadas para validar problemas mais complexos re-solvidos por m étodos num éricos.

Dias (2003), com modelo unidimensional, obteve uma soluç ão anal´ıtica para a equaç ão de advecç ão-difus ão com decaimento de primeira ordem pelo m étodo da transformaç ão de similaridade generalizada. O m étodo proposto proporciona uma forma sistem ática de encontrar as vari áveis de similaridade que reduzem o problema a uma equaç ão diferencial ordin ária com soluç ão conhecida, o que completa a obtenç ão da soluç ão desejada.

Em Seo e Cheong (2001) foi desenvolvido um estudo para estimar o coeficiente de dispers ão longitudinal em correntes naturais. O modelo unidimensional utilizado é descrito por uma equaç ão diferencial parcial, na direç ão longitudinal e no tempo, com coeficientes constantes. Apesar de utilizar tal modelo, os autores afirmam que esse modelo demonstra limitaç ões, pois s ó pode ser usado para situaç ões muito distantes da fonte poluidora.

Utilizar o modelo adequado é imprescind´ıvel para obter resultados satisfat órios e realistas. Para determinar o modelo de dispers ão adequado se faz necess ário con-siderar: a configuraç ão geom étrica do rio, o trecho que se deseja analisar, o tipo de fonte poluidora (pontual, linear ou plana) e as raz ões de aspectos entre a profundidade e a largura (BARROS, 2004).

Entendem-se como fonte pontual as fontes similares a um ponto, na qual a área de emiss ão n ão é muito significativa. As fontes lineares s ão aquelas em que duas das tr ês dimens ões da fonte emissora s ão desprez áveis, e as fontes planas s ão aquelas representadas por uma área espec´ıfica (SOARES e RAMALDES, 2012). Al ém disso, deve-se considerar que o transporte de um poluente em um rio n ão é geralmente um fen ômeno unidimensional. Considerando um lançamento pontual de efluente em um canal, ambos com a mesma densidade, o poluente espalha-se de forma tridimensio-nal pr óximo a fonte (EIGER, 2003). À medida que o poluente desloca-se para jusante e passa a ocupar uma regi ão cada vez maior, o fen ômeno tende a tornar-se bidimen-sional, ocorrendo uma uniformizaç ão de concentraç ão ao longo da direç ão vertical (FISCHER et al., 1979). Por estas raz ões, é pr ática comum utilizar modelos com duas ou tr ês dimens ões para locais pr óximos à fonte poluidora (WEYMAR et al., 2010;

(27)

NE-VES, 2012).

Diante disso, percebe-se que as formulaç ões unidimensionais s ão v álidas somente para determinadas condiç ões. Para simular o processo inicial de descarga de um poluente em um rio é coerente utilizar modelos com duas ou tr ês dimens ões.

Quando se tratam dos modelos bidimensionais, s ão classificados de acordo com os processos de transporte. Modelos horizontais s ão aqueles os quais consideram o transporte no plano x (direç ão longitudinal) e y (direç ão transversal); j á os modelos verticais consideram o transporte no plano x (direç ão longitudinal) e z (direç ão verti-cal). A escolha desses dois modelos depende do tipo de fonte poluidora e da ordem de grandeza dos fluxos difusivos.

Os modelos horizontais s ão utilizados para rios muito largos e para casos em que o fluxo difusivo na direç ão vertical é muito menor que o fluxo na direç ão transversal. Este tipo de abordagem assume que o poluente ao ser despejado no meio se difunde instantaneamente para o leito do rio (EIGER, 2003). A hip ótese de mistura completa do poluente na seç ão transversal s ó é v álida quando a raz ão de aspecto da largura pela profundidade seja grande e que o efeito da distribuiç ão de velocidades na direç ão lateral seja mais significativo que o efeito do perfil de velocidades na profundidade (BASHA, 1997).

A maioria dos modelos bidimensionais assim como os unidimensionais, assume o perfil de velocidade e coeficientes de difus ão turbulenta uniforme. Isto pode ser observado em Vilhena e Sefidvash (1985), que realizaram um trabalho de car áter ex-perimental com o objetivo de validar o modelo te órico. O trabalho exex-perimental foi realizado no rio Jacu´ı, situado no sul do Brasil. Para a determinaç ão dos coeficientes de dispers ão utilizou-se uma t écnica com traçador radioativo, em seguida os dados obtidos foram usados no modelo matem ático. Para esse modelo foram considerados valores uniformes para a velocidade e para o coeficiente de difus ão. A soluç ão do problema matem ático foi encontrada atrav és do uso da Transformada de Laplace. Se-gundo os autores, os resultados obtidos pelo modelo te órico e aqueles medidos em campo n ão foram satisfat órios, havendo diverg ências entre os resultados, uma vez que a velocidade do rio variou em 46% ao longo da largura do mesmo. Este fato demonstra a import ância de considerar a velocidade vari ável em determinadas situaç ões.

De modo semelhante, Lew, Mills e Loh (1999) modelaram o problema bidimen-sional de difus ão e advecç ão de poluentes para rios largos e n ão muito profundos. Para determinar os perfis de concentraç ão do despejo de res´ıduos de cloro em rios foi utilizado o software RIVRISK. Esse software utiliza modelos de dispers ão de po-luentes em rios em diversos tipos de cen ários, e a partir dos resultados simulados determinam-se os riscos associados. O modelo bidimensional considerado assume a hip ótese de que a velocidade do rio e o coeficiente de difus ão turbulenta s ão unifor-mes e n ão vari áveis, ou seja, independem do espaço e do tempo. A soluç ão foi obtida

(28)

atrav ´es do m ´etodo CITT (Classic Integral Transform Technique).

Diversos autores ressaltam em seus trabalhos a import ância da inclus ão de um perfil de velocidade n ão uniforme nos modelos de dispers ão de poluentes em rios e correntes naturais. Como demonstram Wang, Mc-Millan e Chen (1978), que resol-veram analiticamente um modelo bidimensional para canais rasos considerando uma fonte pontual e instant ânea. Os autores consideraram um perfil de velocidade vari ável ao longo da largura do rio ou canal. A express ão para esse perfil pode ser gene-ralizada para ajustar distribuiç ões de velocidade mais realistas em rios e correntes naturais, e o procedimento de ajuste é explicado detalhadamente no artigo.

Em Mazumder e Xia (1994) tamb ém foi estudada a dispers ão em um canal bidi-mensional. Os perfis de velocidade utilizados s ão os mesmos de Wang, MC-Millan e Chen (1978), uma vez que eles permitem, atrav és da mudança de um valor de um par âmetro da express ão, a obtenç ão de perfis sim étricos e assim étricos. Isso é de grande interesse pr ático, uma vez que perfis n ão uniformes para a distribuiç ão do campo de velocidade s ão comuns em rios, devido a sua geometria irregular. A soluç ão anal´ıtica do modelo foi obtida usando o m étodo dos momentos de Aris. Medidas re-alizadas em campo mostram como o perfil de velocidade varia de uma margem para outra e da superf´ıcie da água para o leito, mas tamb ém pode haver variaç ões da seç ão transversal ao longo do percurso do rio (CHOW, 1959; XIA, 1997; BOGLE, 1997).

J á no trabalho de Yotsukura e Sayre (1976) foi solucionado um modelo bidi-mensional no plano horizontal em regime permanente, onde se provou, a partir de comparaç ões com medidas efetuadas em campo, que em rios que apresentam mean-dros a variaç ão da componente transversal da velocidade é fundamental no fen ômeno de mistura.

Apesar de alguns trabalhos apresentarem modelos que incluam a n ão uniformi-dade na velociuniformi-dade, aparentemente ainda s ão escassos na literatura modelos que incluam variaç ões tamb ém no campo da difusividade turbulenta para rios rasos.

Visando estimar o coeficiente de difus ão turbulenta na direç ão horizontal, Hol-ley e Abraham (1973) desenvolveram alguns trabalhos experimentais feitos com traçadores para investigar essas taxas de mistura transversal em canais que simu-lam as condiç ões de um rio. No mesmo trabalho, estudou-se o efeito da turbul ência que ocorre no leito, atrav és do coeficiente de difus ão. Os autores demonstraram que é inadequado considerar o coeficiente de difus ão turbulenta transversal constante, so-bretudo em casos onde a profundidade varia.

Mais tarde, Nokes e Wood (1988) apresentaram uma tabela com coeficientes de difus ão turbulenta na direç ão transversal, retirados da literatura, enfatizando a im-port ância deste coeficiente no processo de mistura do poluente com o meio e des-tacaram que desprez á-lo pode acarretar erros significativos na previs ão do campo de concentraç ão. Estes erros podem ser explicados a partir dos trabalhos de Fischer et

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al. (1979) e Porto et al. (1991). Seguindo esta mesma linha de racioc´ınio, Gharbi e Verrette (1998) mostraram que em boa parte dos escoamentos em rios e canais, o coeficiente de difus ão na direç ão longitudinal é desprez ável quando comparado à direç ão transversal, uma vez que o transporte longitudinal é praticamente convectivo. De acordo com as refer ências apresentadas, pode-se perceber que a maioria dos mo-delos encontrados na literatura n ão assume a variaç ão da velocidade e da difusividade turbulenta na direç ão horizontal.

Esse fato pode ser observado no trabalho de Codell, Key e Whelan (1982), que mostraram que o modelo mais adequado, tanto do ponto de vista te órico quanto pr ático, é o bidimensional com velocidade vari ável para o termo de convecç ão na direç ão do escoamento, difusividade turbulenta vari ável na direç ão horizontal do rio e inclus ão do termo de decaimento ou transformaç ão qu´ımica. Apesar de julgar esse modelo como sendo mais adequado, os autores consideraram todos os coeficientes constantes a fim de obter uma soluç ão anal´ıtica trabalhando num dom´ınio infinito na direç ão do escoamento. O m étodo adotado neste estudo foi o da transformada de Fourier.

Em contrapartida, a teoria da difusividade vertical para os modelos bidimensionais verticais est á bem consolidada. Esses modelos s ão normalmente utilizados para rios estreitos e profundos cuja difus ão turbulenta lateral é muito menor que a vertical.

No trabalho de Yeh e Tsai (1976) foi resolvido analiticamente um modelo bidimen-sional vertical em regime permanente. Foram utilizadas express ões aproximadas, por leis de pot ência, para os campos de velocidade e difusividade verticais. Os auto-res mostraram as diferenças entre os auto-resultados simulados com os perfis vari áveis e os resultados simulados com valores uniformes para a velocidade e o coeficiente de difus ão. Considerando um modelo id êntico ao descrito em Yeh e Tsai (1976), Nokes, MCNulty e Wood (1984) apresentaram uma soluç ão aproximada atrav és de um m étodo semi-anal´ıtico. Os dois modelos desprezaram a inclus ão do termo de degradaç ão da subst ância qu´ımica, sendo que, dependendo do poluente em quest ão,

´e de extrema import ˆancia que este termo seja considerado.

Uma conclus ão importante encontrada em Nokes, MCNulty e Wood (1984) é que os resultados obtidos em seu trabalho, atrav és da simulaç ão usando o perfil lo-gar´ıtmico, pouco diferem daqueles adquiridos com a aproximaç ão do perfil de veloci-dade por leis de pot ência. Esse mesmo problema, um modelo bidimensional vertical, foi resolvido por Habel, Mendoza e Bagtzoglou (2002), por ém incluindo o termo do transiente da concentraç ão e acoplando o modelo com o transporte e aprisionamento do poluente no leito poroso. Parte do material despejado pode ficar temporariamente retido na subcamada viscosa, onde os efeitos difusivos dominam. Uma das maneiras de contornar esse problema é a utilizaç ão de modelos conservativos, em que se con-sidera o pior caso poss´ıvel, por ém ainda n ão existe um modelo satisfat ório para se

(30)

avaliar este fen ˆomeno. 2.8.1 Abordagem GILTT

A t écnica da GILTT é utilizada para prediç ão do comportamento de um poluente dispersado. É um m étodo espectral que combina uma expans ão em s érie com uma integraç ão. A t écnica compreende os seguintes passos: construç ão de um pro-blema auxiliar de Sturm-Liouville associado ao propro-blema estacion ário, determinaç ão da t écnica da transformada integral em uma s érie truncada usando como base as autofunç ões do problema de Sturm-Liouville resolvido, substituiç ão desta expans ão no problema original. Tomando momentos, obt êm-se um sistema de Equaç ões Dife-renciais Ordin árias (EDO) e aplica-se a Transformada de Laplace, o que resulta em um sistema alg ébrico. A matriz dos coeficientes do sistema transformado é decomposta em seus autovalores e seus autovetores. Ap ós, esta matriz é invertida para se obter a soluç ão do sistema alg ébrico. Esta invers ão é anal´ıtica e sem custo computacional por se tratar de uma matriz diagonalizada. Dessa forma, a soluç ão anal´ıtica do pro-blema transformado é finalmente encontrada (BUSKE, 2008). Uma revis ão completa do m étodo GILTT é encontrada em (MOREIRA et al., 2009).

O m étodo GILTT encontra-se bem estabelecido e é aplicado com grande sucesso para modelar a dispers ão de poluentes na atmosfera (WORTMANN et al., 2005; MO-REIRA et al., 2009; TIRABASSI et al., 2009; BUSKE et al., 2011; VILHENA et al., 2012). Os esforços concentram-se em ampliar a aplicaç ão da t écnica para dispers ão de poluentes em meio aqu ático.

Neste sentido, uma s érie de trabalhos com o objetivo de aperfeiçoar e estender a t écnica podem ser encontrados na literatura. A exemplo disso, o trabalho de Weymar et al. (2010) desenvolve um modelo bidimensional em regime permanente, com perfil de velocidade e coeficiente de difusividade vari áveis, para modelar a dispers ão de poluentes em rios e canais. O problema foi resolvido analiticamente atrav és do m étodo GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique). No mesmo trabalho, os autores realizaram uma comparaç ão entre os resultados obtidos pelo modelo e os resultados encontrados na literatura.

Um modelo mais completo é apresentado por Barros (2004), que estudou mode-los multidimensionais (modemode-los bidimensionais e tridimensionais) em regime perma-nente de dispers ão de poluentes em rios e canais. A soluç ão num érico-anal´ıtica foi obtida atrav és do uso da t écnica GITT (Generalized Integral Transform Technique). Para os modelos desenvolvidos foram utilizados coeficientes n ão uniformes, incluindo variaç ões de velocidade ao longo do escoamento e na seç ão transversal. Tamb ém foram usadas fontes planas, lineares e pontuais nas condiç ões de entrada do polu-ente. De acordo com a teoria discutida, percebe-se que diferentes m étodos podem ser utilizados com a mesma finalidade, ou seja, encontrar soluç ões anal´ıticas para o

(31)

problema de dispers ˜ao de poluentes em rios e canais.

O estudo desenvolvido por Oliveira (2015) apresenta modelos multidimensionais (modelos bidimensionais e tridimensionais) para a dispers ão de contaminantes em rios e canais, em regime permanente, com perfis de velocidade e coeficientes de difusividade turbulenta n ão uniformes. As soluç ões anal´ıticas foram obtidas atrav és da t écnica GILTT.

Estudos mais recentes como o de Buske et al. (2017) apresentaram uma soluç ão anal´ıtica para o problema de dispers ão de poluentes em rios e canais, considerando um modelo bidimensional vertical e tridimensional estacion ário com perfil de veloci-dade e difusiviveloci-dade turbulenta vari áveis.

J á no estudo de Machado et al. (2018) foram apresentadas duas t écnicas de soluç ões anal´ıticas ao problema da dispers ão de poluentes em um corpo h´ıdrico, sendo as soluç ões apresentadas via GILTT e SV. Foi observada a acur ácia das t écnicas em representar um fen ômeno de dispers ão.

Os trabalhos citados acima demonstram a aplicabilidade da t écnica GILTT e sua acur ácia em resolver problemas de dispers ão de poluentes em água.

O presente estudo tem como objetivo n ão somente estender a aplicaç ão da t écnica, mas, tamb ém demonstrar e comprovar sua performance.

2.8.2 Abordagem SV

Uma das t écnicas aplicadas à resoluç ão do problema de dispers ão bidimensional de poluentes em rios é a abordagem SV. Esse m étodo é de grande utilidade para re-solver problemas de valor de contorno no campo da f´ısica-matem ática para problemas homog êneos e foi detalhadamente descrito em Özisik (1993). Tal m étodo foi formu-lado com base nos conceitos e processos f´ısicos que governam o fen ômeno e é v álido para perfis de velocidades e difusividade constantes tanto para o modelo unidimensi-onal quanto para o modelo bidimensiunidimensi-onal (NEVES, 2012).

O m étodo tamb ém é conhecido como de Fourier e é o mais cl ássico dos m étodos para determinar soluç ões particulares de EDP’s lineares. Basicamente permite reduzir o problema da procura de soluç ões de certos tipos de EDP’s a problemas de resoluç ão de EDO’s. A abordagem pode ser resumida da seguinte maneira: a abordagem SV substitui uma funç ão inicial, antes dependente de duas vari áveis (EDP), por um pro-duto de duas novas funç ões, cada uma delas dependente somente de uma vari ável (EDO’s) (LEITHOLD, 1994).

O m étodo encontra-se largamente difundido na literatura. Trabalhos como o de Ne-ves (2012) demonstram a aplicabilidade da metodologia nos problemas de dispers ão de poluentes em corpos h´ıdricos. Utilizando esta abordagem pretende-se chegar em uma soluç ão anal´ıtica para a equaç ão da advecç ão-difus ão aplicada ao problema da dispers ão de poluentes em rios e canais.

(32)

3.1 Hip ´oteses fundamentais

Os modelos bidimensionais no plano longitudinal e vertical s ão normalmente utili-zados para rios ou canais cuja profundidade tem um papel relevante no processo de difus ão e advecç ão de massa. Esses modelos podem ser usados para rios estreitos e profundos cuja difus ão turbulenta lateral é muito menor que a vertical dependendo do tipo da fonte poluidora.

Tal modelo faz uso da hip ótese de desprezar correntes secund árias de forma que o perfil de velocidade é descrito pela componente longitudinal, a qual pode variar ao longo das direç ões x e z. O coeficiente de difus ão turbulenta tamb ém varia nas mes-mas direç ões. Al ém disso, considera-se que o poluente é introduzido no rio atrav és de uma fonte pontual e que esse poluente est á sujeito a sofrer degradaç ão qu´ımica.

As hip ´oteses fundamentais adotadas nesse estudo s ˜ao (BARROS, 2004):

• O fluxo de massa na direção vertical é muito maior que na direção transversal, ou seja, εz_∂z∂c >> εy∂c_∂y;

• A superf´ıcie e o leito do rio não são dispersivos, ou seja, não há migração do poluente atrav és destes contornos;

• O efeito difusivo na direção longitudinal é desprez´ıvel quando comparado com o termo advectivo;

• O lanc¸amento do poluente ´e cont´ınuo;

• A área transversal do rio varia gradualmente com a direção longitudinal e a variaç ão de sua altura é desprez´ıvel;

• As substâncias poluidoras são dissolvidas e têm a mesma densidade do fluido receptor;

• A velocidade de descarga do poluente é considerada desprez´ıvel em relação à velocidade longitudinal do rio ou canal.

(33)

3.2 Resoluc¸ ˜ao do problema sob a perspectiva da abordagem

GILTT

Aplicando as hip óteses fundamentais na equaç ão (24), obt êm-se a equaç ão bidi-mensional em regime transiente que descreve matematicamente este problema:

∂c ∂t + u ∂c ∂x = ∂ ∂z ( εz ∂c ∂z ) − µc . (25) Sendo:

c é concentraç ão do poluente [M.L−3];

εz ´e o coeficiente de dispers ˜ao transversal [L2.T−1];

xe z s ão as coordenadas do ponto de exposiç ão [L]; u é o perfil de velocidade do fluxo [L.T−1];

µ ´e a constante de decaimento de primeira ordem do poluente [T−1]; ttempo [T ].

A equaç ão (25) est á sujeita às condiç ões de contorno: ∂c

∂z = 0 em z = 0, (26)

∂c

∂z = 0 em z = h, (27)

Condic¸ ˜ao de fonte:

c = δ(z− zs) em x = 0, (28)

E condic¸ ˜ao inicial:

c = 0 em t = 0. (29)

Inicialmente é aplicada na equaç ão (25) a transformada de Laplace na vari ável temporal, t, e utilizando a condiç ão inicial (29), tem-se:

rC + u∂C ∂x = ∂ ∂z ( εz ∂C ∂z ) − µC, (30)

onde C (x, z, r) denota a transformada de Laplace na vari ável t ( C (x, z, r) = c (x, z, r, t); t→ r, r é complexo), reescrevendo a equação (30) com a substituição de λ = µ + r, obt ém-se: u∂C ∂x = ∂ ∂z ( εz ∂C ∂z ) − λC. (31)

(34)

Sturm-Liouville:

Ψ′′_n(z) + β_n2Ψn(z) = 0 em 0 < z < h, (32)

Cujas condiç ões de contorno s ão as mesmas do problema original:

Ψ′_n(z) = 0 em z = 0 e z = h. (33)

A soluç ão anal´ıtica do problema auxiliar ( ÖZISIK, 1993) é dada por:

Ψn(z) = cos(βnz), (34)

onde βn = nπ_h .

A seguir, expande-se a concentraç ão de poluentes em uma s érie, utilizando como base as autofunç ões do problema de Sturm-Liouville:

C(x, z, r) =

∞

∑

n=0

cn(x, r)Ψn(z). (35)

Para determinar o coeficiente cn(x,r) substitui-se (35) em (32):

u ∞ ∑ n=0 c′n(x, r)Ψn(z) = ∞ ∑ n=0 cn(x, r) ∂(εzΨ′(z)) ∂z − λ ∞ ∑ n=0 cn(x, r)Ψn(z). (36)

Fazendo uso da propriedade de ortogonalidade das autofunç ões, integra-se o re-sultado em todo o dom´ınio da vari ável transformada, ou seja, multiplica-se pelo ope-rador∫₀h(.)Ψm(z)dz: ∞ ∑ n=0 c′n(x, r) ∫ _h 0 uΨn(z)Ψm(z) = ∞ ∑ n=0 cn(x, r) ∫ _h 0 ε′_zΨ′_n(z)Ψm(z)dz (37) + ∞ ∑ n=0 cn(x, r) ∫ h 0 εzΨ′′n(z)Ψm(z)dz− λ ∞ ∑ n=0 cn(x, r) ∫ h 0 Ψn(z)Ψm(z)dz.

Da equac¸ ˜ao de Sturm-Liouville tem-se que Ψ′′_n(z) = −β2

nΨn(z), logo: ∞ ∑ n=0 c′_n(x, r) ∫ _h 0 uΨn(z)Ψm(z)dz− ∞ ∑ n=0 cn(x, r) ∫ _h 0 ε′_zΨ′_n(z)Ψm(z)dz (38) + ∞ ∑ n=0 cn(x, r)βn2 ∫ h 0 εzΨn(z)Ψm(z)dz + λ ∞ ∑ n=0 cn(x, r) ∫ h 0 Ψn(z)Ψm(z)dz = 0.

A equac¸ ˜ao (38) pode ser escrita na forma matricial. Sendo E(x, r) um vetor com as componentes cn(x, r)e:

an,m =

∫ h

0

(35)

bn,m = − ∫ _h 0 ε′_zΨ′_n(z)Ψm(z)dz + βn2 ∫ _h 0 εzΨn(z)Ψm(z)dz + λ ∫ _h 0 Ψn(z)Ψm(z)dz.

Logo, a equaç ão (39) escrita na forma matricial é dada por:

AE′(x, r) + BE(x, r) = 0, (40)

Assumindo que a matriz A n ão é singular, multiplica-se a equaç ão (40) pela matriz inversa de A:

AA−1E′(x, r) + A−1BE(x, r) = 0−→ E′(x, r) + A−1BE(x, r) = 0, (41)

E′(x, r) + F E(x, r) = 0. (42)

sendo F = A−1B. A equaç ão (42) est á sujeita à condiç ão de fonte:

c(0, z, r) = δ(z− zs)

r . (43)

Para obter E(0,r) aplica-se o mesmo procedimento utilizado anteriormente. Inicial-mente, expande-se a condiç ão de fonte em s érie, substituindo (35) em (28):

∑

cn(0, r)ψn(z) =

δ(z− zs)

r . (44)

Aplicando o operador∫₀h(.)ψm(z)dz e truncando a s ´erie:

∑ cn(0, r) ∫ h 0 ψn(z)ψm(z)dz = 1 r ∫ h 0 δ(z− zs)ψm(z)dz. (45)

Deste modo, a condic¸ ˜ao de fonte pode ser escrita como: E(0, r) = cn(0, r) = ψm(z0) rh para n = 0; (46) E(0, r) = cn(0, r) = ψm(z0) rh/2 para n̸= 0.

Aplicando a T écnica da Transformada de Laplace no problema transformado apre-sentado na equaç ão (42), obt ém-se:

sE(s, r) + F E(s, r) = E(0, r), (47) Assumindo que a matriz F é n ão-defectiva, utiliza-se o processo de diagonalizaç ão e decomp õe-se a matriz na forma:

(36)

onde D é a matriz diagonal de autovalores de F e G é a matriz dos respectivos auto-vetores. Substituindo a matriz F (48) na equaç ão (47):

sE(s, r) + GDG−1E(s, r) = E(0, r). (49) Rearranjando os termos, tem-se:

(sI + GDG−1)E(s, r) = E(0, r), (50)

onde I é a matriz identidade. Lembrando que: GG−1 = G−1G = I, a equaç ão (50) pode ser reescrita como:

(sGG−1+ GDG−1)E(s, r) = E(0, r), (51)

G(sI + D)G−1E(s, r) = E(0, r). A equaç ão (51) tem a seguinte soluç ão:

E(s, r) = G(sI + D)−1G−1E(0, r), (52) Aplicando a Transformada Inversa de Laplace na equac¸ ˜ao (52), tem-se:

E(s, r) = GL−1(sI + D)−1G−1E(0, r). (53) onde L−1 denota o operador Transformada Inversa de Laplace.

A matriz (sI + D) ´e escrita como:

(sI + D) =         s + d1 0 · · · 0 0 s + d2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · s + dn         ,

onde dns ˜ao os autovalores da matriz F . A matriz inversa da matriz diagonal (sI + D)

´e: (sI + D)−1 =         1/(s + d1) 0 · · · 0 0 1/(s + d2) · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · 1/(s + dn)         ,

Fazendo a invers ˜ao da Transformada de Laplace de (sI + D)−1 e usando os re-sultados padr ˜oes da teoria da Transformada de Laplace, que podem ser encontrados