Soluções de caráter analítico para problemas da dinâmica de gases rarefeitos em dutos cilíndricos

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL

DCEEng - DEPARTAMENTO DE CIˆENCIAS EXATAS E ENGENHARIAS MESTRADO EM MODELAGEM MATEM ´ATICA

SOLUÇ ÕES DE CAR ÁTER ANALÍTICO PARA PROBLEMAS DA DIN ÂMICA DE GASES RAREFEITOS EM DUTOS CILÍNDRICOS

por

Adriana Leandra Russi

Disserta¸c˜ao de Mestrado

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DIN ˆAMICA DE GASES RAREFEITOS EM DUTOS CIL´INDRICOS

por

Adriana Leandra Russi

Disserta¸cão submetida ao Corpo Docente do Programa de Pós-Gradua¸cão em Mode-lagem Matemática, do Departamento de Ciências Exatas e Engenharias (DCEEng) da Uni-versidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do T´ıtulo de

Mestre em Modelagem Matem´atica

´

Area de Concentra¸c˜ao: Modelagem Matem´atica dos Processos de Transporte

Orientador: Prof. Dr. Carmo Henrique Kamphorst

Comiss˜ao de Avalia¸c˜ao:

Profa Dra. Patricia Rodrigues Fortes (UFSM/CESNORS)

Profa _{Dra. Airam Teresa Zago Romcy Sausen (UNIJU´I)}

Prof. Dr. Paulo Sauzen Coordenador

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Ao meu amor, Jefferson, companheiro em todos os momentos desta caminhada.

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Sempre que conclu´ımos uma etapa em nossas vidas devemos lembrar que al´em de nosso esfor¸co individual, outras pessoas tamb´em contribu´ıram para que o objetivo final fosse alcan¸cado. Assim, agrade¸co:

A Deus, meu ref´ugio e for¸ca de todos os momentos, pe¸ca fundamental nesta con-quista.

Aos meus pais, Leocadia e Theofilo e tamb´em aos meus irm˜aos, Cleunice e Eleandro, que me deram oportunidade para estudar e incentivo para superar as dificuldades quando elas surgiram.

Ao meu namorado Jefferson da Rosa Lara pelo amor, amizade, carinho, apoio e, em especial, pela paciˆencia de caminhar ao meu lado na constru¸c˜ao deste sonho.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Carmo Henrique Kamphorst, por seus ensinamentos e pelo excelente acompanhamento na elabora¸c˜ao desse trabalho, fazendo-o sempre com muita paciˆencia e amizade.

Aos professores(as) da UNIJU´I que estiveram presentes nas aulas do Curso do Mestrado, servindo como guias neste aprendizado, ampliando meus horizontes pessoais e profissionais.

Aos funcionários da UNIJUÍ, em especial à secretária, Geni Quadros, pela aten¸cão e disponibilidade.

Aos meus colegas do Curso de Modelagem Matem´atica, em especial `a amiga, Ojanes Maria Bagio Daga, pela parceria nos estudos e pelo conv´ıvio amistoso.

`

As Senhoras Alzira e Zaida pela aten¸c˜ao, amizade e hospitalidade. `

As professoras da banca examinadora, Airam Teresa Zago Romcy Sausen e Patricia Rodrigues Fortes por aceitar nos auxiliar na conclus˜ao deste trabalho.

`

As escolas nas quais ministro aulas pela compreensão nos momentos de ausência. A todos que de alguma forma contribu´ıram para a realiza¸cão deste trabalho.

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RESUMO

SOLUÇ ÕES DE CAR ÁTER ANALÍTICO PARA PROBLEMAS DA DIN ÂMICA DE GASES RAREFEITOS EM DUTOS CILÍNDRICOS

Neste trabalho são apresentadas solu¸cões de caráter anal´ıtico para os problemas de Poiseuille e creep térmico em dutos cil´ındricos, dois problemas clássicos da dinâmica de gases rarefeitos em que o escoamento do gás deve-se exclusivamente à existência de um gradiente de pressão e de um gradiente de temperatura na dire¸cão axial do duto, respectivamente. As solu¸cões são obtidas a partir da aplica¸cão de um método espectral, baseado na utiliza¸cão de uma expansão truncada em termos de splines cúbicas de Hermite, na formula¸cão integral do modelo cinético BGK, utilizada para modelar o escoamento de um gás rarefeito em dutos cil´ındricos retos. A metodologia também baseia-se na utiliza¸cão de um esquema de pontos de coloca¸cão, bem como, de pontos de quadratura para a avalia¸cão numérica das integrais envolvidas. Por fim, são apresentados resultados numéricos para as quantidades de interesse f´ısico dos problemas considerados. Resultados esses obtidos a partir de uma implementa¸cão realizada em Matlab, na qual considerou-se a utiliza¸cão de dois esquemas de pontos de quadratura distintos, Gauss-Legendre e Gauss-Kronrod.

Palavras-chave: Dinâmica de gases rarefeitos, dutos cil´ındricos, equa¸cões integrais, métodos espectrais.

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ANALITICAL SOLUTIONS FOR RAREFIED GASES DINAMICS PROBLEMS IN CYLIN-DRICAL TUBES

This paper presents analytical approaches to the Poiseuille and thermal-Creep problems in a cylindrical tube , two classical problems of Rarefied Gas Dynamics in which the gas flow is exclusively due to the existence of a pressure gradient and a temperature gradient in the axial direction of the tube, respectively. The solutions are derived from the application of a spectral method based on the use of a truncated expansion in terms of Hermite cubic splines, in the integral formulation of the BGK kinetic model, used to model the rarefied gas flows in a cylindrical tube. The methodology is also based on the use of a scheme of point placement, as well as quadrature points for numerical evaluation of the involved integrals. Finally, numerical results are presented for the quantities of physical interest for the considered problems. These results were obtained from an implementation done in Matlab, which considered the use of two schemes of distinct point quadrature, Gauss-Legendre and Gauss-Kronrod.

Keywords: Rarefied gas dynamics, cylindrical tube, integral equation, spectrals methods.

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´_INDICE

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 1

2 MODELO MATEM ´ATICO . . . 5

2.1 Equa¸c˜ao de Boltzmann . . . 7

2.2 Modelos Cin´eticos . . . 8

2.3 Equa¸c˜ao Cin´etica do Modelo BGK para Geometrias Cil´ındricas . . . 11

2.4 Formula¸c˜ao Integral do Modelo BGK para Geometrias Cil´ındricas . . . 13

2.4.1 Fluxo de Poiseuille e Creep T´ermico . . . 14

3 SOLUÇ ÕES DE CAR ÁTER ANALÍTICO . . . 18

3.1 Aplica¸c˜ao do M´etodo Espectral . . . 18

3.2 Quantidades de Interesse F´ısico . . . 20

4 ASPECTOS COMPUTACIONAIS E RESULTADOS NUM´ERICOS . . . 22

4.1 Aspectos Computacionais . . . 23

4.1.1 Avalia¸cão do Núcleo da Equa¸cão . . . 24

4.1.2 Avalia¸c˜ao dos Termos U (xi) e V (xi) . . . 26

4.1.3 Avalia¸c˜ao dos Termos Fonte . . . 28

4.1.4 Obten¸c˜ao do Sistema Linear . . . 29

4.1.5 Obten¸c˜ao das Quantidades de Interesse F´ısico . . . 30

4.1.6 Coment´arios sobre a Implementa¸c˜ao . . . 31

4.2 Resultados Num´ericos . . . 31

4.2.1 Compara¸c˜ao dos Esquemas de Quadratura . . . 32

4.2.2 Compara¸c˜ao das Implementa¸c˜oes em Matlab e Fortran . . . 33

4.2.3 Resultados Num´ericos para as Quantidades de Interesse F´ısico . . . 34

(8)

REFERˆENCIAS BIBLIOGR ´AFICAS . . . 40

APˆENDICE A . . . 44

APˆENDICE B . . . 47

APˆENDICE C . . . 49

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LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

DGR Dinˆamica de gases rarefeitos EB Equa¸c˜ao de Boltzmann

ELB Equa¸cão linearizada de Boltzmann MEMS Sistemas microeletromecânicos NEMS Sistemas nanoeletromecânicos

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a Comprimento caracter´ıstico [m] B(r) Termo n˜ao homogˆeneo

c Vetor velocidade [m/s]

c Magnitude da velocidade [m/s] cz Componente de c na dire¸c˜ao axial

C(r) Termo n˜ao homogˆeneo EK Integral el´ıptica completa

F (ξ, µ) Condi¸c˜ao de contorno

F0(t/τ, r/τ ) Fun¸cão usada para determinar o núcleo da equa¸cão integral

f (t, s, c) Fun¸cão de distribui¸cão de part´ıculas f0 Distribui¸cão Maxweliana local

g(r, ξ, φ) Fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao das part´ıculas

G(r, ξ, µ) Fun¸cão de distribui¸cão das part´ıculas do problema generalizado G(r) Fun¸cão incógnita

H (c, c0) N´ucleo de colis˜ao

h (s, c) Fun¸cão de perturba¸cão da distribui¸cão Maxweliana local h(r, c) Fun¸cão de perturba¸cão das part´ıculas

In(x) Fun¸c˜ao de Bessel modificada de ordem n e primeira classe

J (f0, f ) Operador de colis˜ao K(c0, c) N´ucleo de espalhamento

kn(c0, c) Componente da Expans˜ao de K(c0, c)

kB Constante de Boltzmann [1.3805 × 10−23J/K]

Kn N´umero de Knudsen (adimensional)

Kn(x) Fun¸c˜ao de Bessel modificada de ordem n e segunda classe

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K(t → r) Núcleo da equa¸cão integral do modelo BGK m0 Massa de uma part´ıcula do gás [kg]

n0 Densidade molecular [m−3]

Nτ, Ny e Nr N´umeros de pontos de quadratura

P_nm Fun¸c˜ao normalizada de Legendre Pn Polinˆomio de Legendre de ordem n

p0 Press˜ao [P a]

Q(ξ) Termo fonte do modelo BGK

r Distˆancia radial em rela¸c˜ao ao centro do duto cil´ındrico (adimensional) R Raio (adimensional)

s Vetor posi¸c˜ao S(r) Termo fonte

T0 Temperatura do g´as [K]

u Velocidade macroscópica (adimensional) U Taxa de fluxo do gás (adimensional) vm Velocidade média de escoamento [m/s]

W Frequˆencia de espalhamento xi Pontos de coloca¸c˜ao

Z(r) Fun¸cão incógnita da equa¸cão integral φ Angulo azimutalˆ

λ Livre caminho m´edio (adimensional) λi Autovalores

µ Viscosidade do g´as [m2_/s]

δ Parˆametro de rarefa¸c˜ao µk Pontos de quadratura

σ0 Diˆametro molecular [m]

ωk Pesos do esquema de quadratura

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Ψ(ξ, µ) Fun¸cão caracter´ıstica ζn Nós das fun¸cões splines

=α Spline c´ubica de Hermite

(13)

´_{INDICE DE FIGURAS}

2.1 Vetor velocidade c de uma part´ıcula de g´as . . . 12

4.1 Erro relativo ao avaliar K(0.00003, 0.00002) . . . 32

4.2 Perfis de velocidade de Poiseuille . . . 36

(14)

4.1 Taxas de fluxo: Poiseuille com R = 0, 01 . . . 33

4.2 Taxas de fluxo: creep t´ermico com R = 0, 01 . . . 33

4.3 Velocidades para o problema de Poiseuille . . . 34

4.4 Velocidades para o problema creep t´ermico . . . 35

4.5 Resultados para as taxas de fluxo . . . 35

5.1 Pontos e pesos Gauss-Legendre com N = 7 . . . 49

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CAP´ITULO 1

INTRODUC¸ ˜AO

Estudos envolvendo a dinâmica de gases rarefeitos (DGR) têm sido o foco de várias pesquisas recentes na área da engenharia e da matemática aplicada, principalmente devido `

a crescente quantidade de aplica¸cões envolvendo sistemas microeletromecânicos (MEMS) e sistemas nanoeletromecânicos (NEMS) [Gad-el-Hak, 2005]. Dispositivos esses que com-binam componentes elétricos e mecânicos e são capazes de executar tarefas como medir (microsensores), analisar, decidir (comandos lógico-eletrônicos) e reagir a respostas do meio (microatuadores) [Aubert, 1999].

A sigla MENS provém da abrevia¸cão do termo inglês MicroElectroMechanical Sys-tems e é usada para designar sistemas com dimensões totais menores que o mil´ımetro (10−3m) e maiores que o micrômetro (10−6m) [Gad-el-Hak, 2005]. Estes tiveram sua origem em 1960 com o surgimento dos primeiros sensores de pressão e, hoje, são considerados uma tecnologia inteligente, invis´ıvel, mas que faz parte do cotidiano de grande parcela da popula¸cão.

Os NEMS (abrevia¸cão de NanoElectroMechanical Systems) são sistemas com di-mensões totais menores que o micrômetro e maiores que o nanômetro (10−9m). A nano-tecnologia assenta-se na manipula¸cão controlada da matéria à escala molecular e apoia-se em um corpo de conhecimentos cient´ıficos fortemente multidisciplinar (Nanociência), que tem por base e, em última análise o comportamento quântico da matéria e efeitos super-ficiais espec´ıficos à nanoescala, os quais se designam genericamente por Nanof´ısica [Lobo, 2009]. O termo nanotecnologia foi utilizado pela primeira vez em 1974, pelo professor Norio Taniguchi para descrever as tecnologias que permitem a constru¸cão de materiais à escala de 1 nanômetro.

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na prote¸cão dos ocupantes de ve´ıculos automotivos, na medicina, na aeronáutica, no controle do meio ambiente e na indústria em geral. Nos ve´ıculos destacam-se os dispositivos de segu-ran¸ca, tais como: os acelerômetros de airbag, os giroscópios, além dos sensores de pressão, temperatura e de inje¸cão eletrônica [Krueger, 2007; Müller-Fiedler et al., 2007]. Na área da medicina, pode-se citar microbombas implantáveis que são capazes de realizar diagnósticos, bem como, administrar pequenas doses de medicamentos, como por exemplo, a insulina nos diabéticos [Baal, 2004; Liu et al., 2008]. Na aeronáutica, os principais dispositivos envol-vendo MEMS e/ou NEMS consistem em sensores para medir a altitude, controlar sistemas hidráulicos, bem como, para identificar locais de turbulência [Sharipov e Seleznev, 1998]. E, na indústria em geral, pode-se destacar a existência de microrreatores de hidrogena¸cão con-duzida, cabe¸cas de leitura/grava¸cão utilizadas em discos r´ıgidos de computadores, cabe¸cas de impressão dos cartuchos tipo jato de tinta, células de microcombust´ıvel e microtrocadores de calor para a refrigera¸cão de microschips, por exemplo [Kaka¸c et al., 2005].

Além disto, a DGR tem sido importante para o desenvolvimento tecnológico de equipamentos de vácuo e na área aeroespacial. Contudo, em todos estes casos, o escoamento de gases difere muito do escoamento de outros fluidos ou do próprio escoamento destes gases em dutos com dimensões maiores. Nos MEMS e NEMS, por exemplo, a razão entre a superf´ıcie de contato e o volume dos escoamentos é da ordem de um milhão de vezes maior do que em um escoamento na escala humana, o que faz com que os efeitos de superf´ıcie sejam muito mais importantes do que as for¸cas de campo, resultando em um dom´ınio das for¸cas viscosas sobre as for¸cas de inércia. Consequentemente, a hipótese de um meio cont´ınuo, no qual a modelagem do escoamento se dá mediante a utiliza¸cão das equa¸cões de Navier-Stokes

[Shames, 1982], não é válida nestes casos [Wang et al., 2008].

Sendo assim, para tratar de escoamentos em MEMS e NEMS torna-se necessário considerar modelos que incluam efeitos de rarefa¸cão, tais como: deslizamento, saltos de temperatura, efeitos de compressibilidade, dissipa¸cão viscosa e for¸cas intermoleculares. Di-ante disso, a utiliza¸cão da Equa¸cão de Boltzmann (EB), ou de uma equa¸cão modelo, dela derivada, constitui uma possibilidade para a modelagem de problemas da DGR em MEMS ou NEMS, uma vez que a EB é uma equa¸cão ´ıntegro-diferencial em que a incógnita é uma fun¸cão de distribui¸cão de part´ıculas que contém informa¸cão sobre a distribui¸cão espacial e de velocidade das part´ıculas de um gás em um determinado instante de tempo, sendo que

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3 as quantidades de interesse f´ısico do escoamento podem ser calculadas a partir desta fun¸c˜ao.

[Cercignani, 1988; Scherer et al., 2010].

A obten¸cão de solu¸cões de caráter anal´ıtico a partir da EB ou de equa¸cões modelo proveniente desta equa¸cão é muito restrita, limitando-se aos problemas fisicamente mais simples e, em geral, modelados em geometrias planas. Em geometrias cil´ındricas, uma possibilidade de modelagem visando à obten¸cão de solu¸cões de caráter anal´ıtico consiste na utiliza¸cão da forma integral de uma equa¸cão modelo.

Neste contexto, Kamphorst [Kamphorst, 2009] faz uso de um método espectral, baseado na utiliza¸cão de uma expansão truncada em termos de splines cúbicas de Hermite [Schultz, 1973], a fim de obter solu¸cões de caráter anal´ıtico para os problemas de Poiseuille e creep térmico, em dutos cil´ındricos, a partir da formula¸cão integral dos modelos cinéticos BGK (Bhatnagar, Gross e Krook) [Bhatnagar et al., 1954; Siewert, 2000] e S (Shakhov) [Siewert e Valougeorgis, 2002]. Nesta metodologia, Kamphorst também fez uso de um esquema de pontos de coloca¸cão e, para a obten¸cão de resultados numéricos para as quanti-dades f´ısicas dos problemas considerados, optou por implementar a solu¸cão em Fortran. Nela, Kamphorst avaliou as integrais envolvidas na formula¸cão mediante a aplica¸cão do esquema de quadratura de Gauss-Legendre [Abramowitz e Stegun, 1965], sendo necessário ainda, o tratamento prévio de algumas singularidades presentes nas fun¸cões a serem integradas.

Outro trabalho envolvendo a utiliza¸cão da formula¸cão integral do modelo BGK, na resolu¸cão de problemas da DGR, é o de Loyalka e Thompson [Loyalka e Thompson, 2009]. Nele, Loyalka e Thompson afirmam que o esquema de quadratura de Gauss-Kronrod [Kronrod, 1965b] seria o mais apropriado para a avalia¸cão de integrais com singularidades. Diante disto, e ciente da existência, no Matlab, de algumas fun¸cões envolvidas na formula¸cão integral do modelo cinético BGK usada para modelar o escoamento de gases rarefeitos em dutos cil´ındricos retos, optou-se neste trabalho por implementar a solu¸cão apresentada por Kamphorst, em Matlab, mediante a utiliza¸cão dos esquemas de quadratura de Gauss-Legendre e de Gauss-Kronrod.

O presente trabalho é estruturado de modo que no Cap´ıtulo 2 é apresentada a mode-lagem dos problemas de Poiseuille e creep térmico, no Cap´ıtulo 3 é determinada a solu¸cão de caráter anal´ıtico dos dois problemas considerados e, no Cap´ıtulo 4 são apresentados resulta-dos numéricos para as quantidades de interesse f´ısico obtidos a partir da implementa¸cão da

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solu¸c˜ao, em Matlab.

No Cap´ıtulo 4, também são apresentadas as análises gráficas dos perfis de veloci-dade dos problemas estudados, para diferentes estados de rarefa¸cão.Tais análises constam em trabalhos aceitos na “X Conferência Brasileira de Dinâmica, Controle e Aplica¸cões” (DI-CON’2011), que ocorrerá entre os dias 29 de agosto e 02 de setembro do corrente ano, por Sokoloski [Sokoloski et al., 2011] e Russi [Russi et al., 2011] para os problemas de Poiseuille e creep térmicos, respectivamente.

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CAP´ITULO 2

MODELO MATEM ´ATICO

A modelagem dos problemas da DGR, comumente, é associada a um parâmetro adimensional denominado número de Knudsen, Kn, que é definido pela razão entre o livre

caminho médio λ e um comprimento caracter´ıstico a da região de escoamento do gás, ou seja,

Kn =

λ

a. (2.1)

O livre caminho médio corresponde à distância média percorrida por uma part´ıcula do gás sem sofrer colisão e pode ser determinado a partir da utiliza¸cão de expressões, exis-tentes na literatura, que o relacionam com a viscosidade ou a condutividade térmica do gás [Barichello e Siewert, 2003]. Para o ar em condi¸cões normais, por exemplo, o valor do livre caminho médio é da ordem de 10 nm.

Também é comum associar o estado de rarefa¸cão de um gás ao seu parâmetro de rarefa¸cão, definido por

δ = p0 µvm

, (2.2)

onde vm é a velocidade média de escoamento e, p0 e µ correspondem à pressão e à viscosidade

do gás, respectivamente. Sharipov e Seleznev [Sharipov e Seleznev, 1998], ainda definem o parâmetro de rarefa¸cão em termos do número de Knudsen, afirmando que

δ = √ 2 2 1 Kn . (2.3)

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inter-valo de varia¸cão do número de Knudsen podem ser definidos quatro poss´ıveis estados ou regimes de rarefa¸cão para um gás:

• Cont´ınuo (Kn< 0, 01): os comprimentos caracter´ısticos s˜ao muito maiores do que

a magnitude do livre caminho médio do gás, nesse caso, pode-se considerar a hipótese do cont´ınuo;

• Slip-flow (0, 01 < Kn < 0, 1): deve-se considerar condi¸c˜oes de contorno que

in-cluam os efeitos de deslizamento e de salto de temperatura na superf´ıcie s´olida que delimita o escoamento do g´as;

• Transi¸cão (0, 1 < Kn < 10): os efeitos de rarefa¸cão são moderados e o livre

caminhos m´edios da mesma ordem que os comprimentos caracter´ısticos;

• Moléculas livres(para Kn > 10): a colisão entre as part´ıculas do gás com a

su-perf´ıcie sólida que delimita o escoamento é muito mais frequente do que a colisão entre as próprias part´ıculas, pois o comprimento caracter´ıstico é menor do que o livre caminho médio. Neste contexto, os efeitos de rarefa¸cão são mais sens´ıveis nos escoamentos com os maiores valores para o número de Knudsen, o que está diretamente relacionado a valores de livre caminho médio grandes e/ou comprimentos caracter´ısticos pequenos. Isso justifica porque aplica¸cões em nanotecnologia e em micromáquinas constituem um campo de aplica¸cão da DGR, assim como as clássicas aplica¸cões nas áreas de equipamentos de vácuo [Sharipov e Seleznev, 1998] e aeroespacial [Fan et al., 2001].

Escoamentos de gases, no regime cont´ınuo, caracterizam-se por apresentar compri-mentos caracter´ısticos muito maiores do que a magnitude do livre caminho médio do gás, o que torna válida a hipótese de modelar o fluido como um meio cont´ınuo, no qual se apli-cam as equa¸cões de Navier-Stokes [Shames, 1982] com as condi¸cões de não deslizamento e sem saltos de temperatura. No regime slip-flow estas equa¸cões ainda podem ser usadas, desde que considerem condi¸cões de contorno que incluam os efeitos de escorregamento e de salto de temperatura na superf´ıcie sólida que delimita o escoamento. Entretanto, nos outros dois regimes de rarefa¸cão, transi¸cão e moléculas livres, a utiliza¸cão das equa¸cões de Navier-Stokes é inválida [Wang et al., 2008], visto que nesta situa¸cão os efeitos de rarefa¸cão, tais como: deslizamento, salto de temperatura, efeitos de compressibilidade, de dissipa¸cão vis-cosa e for¸cas intermoleculares afetam significativamente a transferência de massa, momento e energia. Consequentemente, nesses regimes, a hipótese do fluido ser considerado um meio

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7 cont´ınuo deixa de existir, logo, deve-se considerá-lo como um conjunto de part´ıculas, no qual a modelagem baseia-se na utiliza¸cão da Equa¸cão de Boltzmann (EB).

2.1 Equa¸c˜ao de Boltzmann

A EB é uma equa¸cão de transporte de part´ıculas introduzida na teoria cinética dos gases, por Ludwig Boltzmann, em 1872. Ela estabelece um balan¸co entre os mecanismos de perda e ganho de part´ıculas em um volume qualquer no espa¸co de fase e, baseia-se em uma fun¸cão de distribui¸cão, f (t, s, c), que contém informa¸cão sobre a distribui¸cão espacial s e de velocidade c das part´ıculas de um gás num determinado instante de tempo t.

Considerando a hipótese das moléculas do gás serem monoatômicas, sem carga elétrica, sofrerem apenas colisões binárias e serem do tipo esferas r´ıgidas, a equa¸cão de Boltzmann pode ser escrita na forma [Williams, 2001; Cercignani, 1988]

∂ ∂tf (t, s, c) + c · ∂ ∂sf (t, s, c) = J (f 0 , f ). (2.4)

Nela, J (f0, f ) ´e o operador de colis˜ao

J (f0, f ) = Z Z Z W (c → c0; c1 → c01) × [f (t, s, c0) f (t, s, c0₁) − f (t, s, c) f (t, s, c1)] dc1dc01dc 0 , (2.5)

em que f0 e f indicam as distribui¸cões antes e após as colisões, respectivamente. Ainda na Eq. (2.5), c e c1 correspondem às velocidades pós-colisionais e W (c → c0; c1 → c01) à frequência

de espalhamento diferencial para a colis˜ao entre dois corpos de velocidades pr´e-colisionais c0 e c0₁.

Neste contexto, também se faz necessária a utiliza¸cão de condi¸cões de contorno apropriadas. Entre as possibilidades atualmente utilizadas pode-se citar o modelo de Maxwell [Williams, 2001] que especifica a forma como as part´ıculas interagem com a superf´ıcie, considerando a utiliza¸cão de coeficientes de acomoda¸cão térmica e de momento tangencial que representam a fra¸cão de part´ıculas do gás que é refletida difusamente pela parede que delimita o escoamento.

(22)

rarefa¸cão. Outra diferen¸ca marcante entre as equa¸cões de Navier-Stokes e a EB consiste no fato de que, na primeira, as incógnitas representam as propriedades macroscópicas do fluido, enquanto que na EB, a incógnita em questão caracteriza-se por uma fun¸cão de distribui¸cão de part´ıculas, sendo que as quantidades de interesse relativas ao escoamento do gás (como por exemplo: velocidade, fluxo de calor, temperatura, densidade e tensão de cisalhamento) são calculadas via esta fun¸cão de distribui¸cão [Williams, 2001].

Além da descri¸cão e da análise do comportamento de escoamentos de gases rarefeitos, a EB também possui outras aplica¸cões na área da DGR, entre elas: transferência radiativa [Sik, 1973], transporte de nêutrons [Davison, 1957], problemas envolvendo baixas pressões (como por exemplo, em dispositivos de vácuo ou vôos em alta altitude) [Williams, 1971], entre outras [Duderstadt e Martin, 1979].

Entretanto, a obten¸cão de solu¸cões anal´ıticas a partir da EB, mesmo para os pro-blemas fisicamente mais simples da DGR e formulados em geometria plana, em geral é muito complexa, tendo em vista se tratar de uma equa¸cão ´ıntegro-diferencial muito complicada, uma vez que, originalmente, é não linear e envolve sete variáveis independentes (as três componentes da variável espacial, as três componentes da velocidade e o tempo), além de possuir uma expressão muito complexa no termo de de colisão. Por esta razão, uma alter-nativa proposta para contornar tais problemas, consiste na substitui¸cão do termo de colisão por expressões mais simples, denominadas modelos de colisão, que uma vez substitu´ıdas na EB, resultam nas denominadas equa¸cões modelo ou modelos cinéticos [Cercignani, 1988; Scherer et al., 2010].

2.2 Modelos Cin´eticos

Para escoamentos de gases rarefeitos fracamente fora do equil´ıbrio ou em regime permanente, uma possibilidade no sentido de viabilizar a aplica¸cão de técnicas semianal´ıticas consiste em escrever a fun¸cão de distribui¸cão da EB em termos de uma fun¸cão de perturba¸cão,

f (s, c) = f0(s, c) [1 + h (s, c)] , (2.6)

em que h (s, c) é a fun¸cão de perturba¸cão da distribui¸cão Maxweliana local [Williams, 1971; Williams, 2001]. Substituindo-se a Eq. (2.6) na Eq. (2.4) e usando algumas propriedades

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9 do operador de colisão J , obtém-se a equa¸cão linearizada de Boltzmann (ELB).

Segundo Barichello e Siewert [Barichello e Siewert, 2003], na ELB unidimensional (na dire¸cão x) é usada a fun¸cão de distribui¸cão na forma

f (x, c) = f0(c) [1 + h (x, c)] , (2.7)

em que x é a variável espacial (medida em cm) e h (x, c) é uma perturba¸cão causada à distribui¸cão Maxwelliana,

f0(c) = n0[m0/ (2πkBT0)] 3/2

e−c2, (2.8)

em que n0 corresponde à densidade molecular, m0 é a massa de uma part´ıcula do gás, kB é

a constante de Boltzmann e T0 ´e a temperatura do g´as. Assim sendo, a ELB unidimensional

pode ser reescrita, em coordenadas cartesianas, em termos da vari´avel espacial τ = x/λ (adimensionalizada em termos do livre caminho m´edio λ), na forma

cx ∂ ∂ch (τ, c) + h (τ, c) = π −3/2Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ e−c02h (τ, c0) K (c0, c) dc0_xdc0_ydc0_z + S(c). (2.9)

Na Eq. (2.9), o termo não homogêneo S(c) é o termo fonte, K (c0, c) é o núcleo de espa-lhamento das part´ıculas do gás, c = (cx, cy, cz) é o vetor velocidade adimensionalizado de

modo que c (2kBT0/m0)1/2 corresponda `a magnitude da velocidade e, o termo ´e definido

pela express˜ao

= σ₀2n0π1/2λ, (2.10)

na qual σ0 ´e o diˆametro molecular.

Para a hipótese das part´ıculas serem do tipo esferas r´ıgidas, o núcleo de espalhamento K (c0, c) exato pode ser expandido em termos de fun¸cões de Legendre [Pekeris e Alterman, 1957], de modo que se tenha

K (c, c0) = 1 4π ∞ X n=0 n X m=0 (2n + 1) (2 − δ0,m) Pnm(µ 0 ) P_nm(µ) kn(c0, c) cos m (χ0 − χ) , (2.11)

(24)

onde P_nm(µ) = (n − m)! (n + m)! 1/2 1 − µ2m/2 d m dµmPn(µ), n ≥ m (2.12)

são as fun¸cões normalizadas de Legendre e, Pn(µ), são os polinômios de Legendre de ordem

n.

Ainda, em rela¸cão à Eq. (2.11) salienta-se que são usadas as coordenadas esféricas (c, arccos µ, χ) para definir o vetor velocidade. Na mesma equa¸cão, os termos kn(c0, c),

pre-sentes na expansão do núcleo são apresentados por Barichello e Siewert [Barichello e Siew-ert, 2003] para n = 0, 1, 2, 3. Tais expressões caracterizam-se pelo fato de a igualdade kn(c0, c) = kn(c, c0) ser válida para todo n e por possu´ırem derivadas descont´ınuas em c = c0.

Estas singularidades impõem dificuldades do ponto de vista anal´ıtico e numérico, para re-solver a ELB. Por esta razão, outras abordagens têm sido propostas na teoria cinética dos gases no sentido de simplificar a expressão do núcleo de espalhamento, mas que conservem as propriedades f´ısicas do processo de colisão, tais como a conserva¸cão de massa, momento e energia. Tais aproxima¸cões dão origem às chamadas equa¸cões cinéticas ou equa¸cões modelo

[Cercignani, 1988; Barichello e Siewert, 2003; Scherer et al., 2010].

Entre os modelos cin´eticos usados com mais frequˆencia, pode-se citar os modelos: • BGK [Bhatnagar et al., 1954], Gross-Jackson [Gross e Jackson, 1959], S [Shakhov,

1968] e MRS [Garcia e Siewert, 2006] para um gás com frequência de colisão constante; • CLF [Cercignani, 1966; Loyalka e Ferziger, 1968], CES e CEBS [Barichello e Siewert,

2003] para um gás com frequência de colisão variável;

• o modelo de McCormack [McCormack, 1973] para misturas gasosas.

Segundo Siewert [Siewert, 2002], o núcleo de espalhamento do modelo cinético BGK, utilizado neste trabalho, é definido pela expressão

K (c0, c) = 1 + 2c0 · c +2 3 c02−3 2 c2− 3 2 . (2.13)

(25)

11 2.3 Equa¸c˜ao Cin´etica do Modelo BGK para Geometrias Cil´ındricas

De acordo com Williams [Williams, 1971], em geometria cil´ındrica, a equa¸cão ´ıntegro-diferencial do modelo cinético BGK, é dada pela equa¸cão

ξ cos φ ∂ ∂r − 1 rsen φ ∂ ∂φ g(r, ξ, φ) + g(r, ξ, φ) = 1 π Z 2π 0 Z ∞ 0 e−ξ 0₂ g(r, ξ0, φ0)ξ0dξ0dφ0+ Q(ξ), (2.14)

na qual ξ ∈ [0, ∞) e φ ∈ [0, 2π] correspondem às componentes de magnitude e ângulo da proje¸cão do vetor velocidade c, de uma part´ıcula do gás, sobre o plano perpendicular à dire¸cão axial de um duto cil´ındrico de raio R e comprimento infinito, conforme evidenciado na Fig.(2.1). Ainda na Eq. (2.14), Q(ξ) é o termo fonte.

Ainda na Eq. (2.14), r ∈ [0, R] simboliza a distância radial em rela¸cão ao centro do duto cil´ındrico e a expressão g(r, ξ, φ) representa a fun¸cão de distribui¸cão de part´ıculas, definida por g(r, ξ, φ) = Z ∞ −∞ e−c2z_{h(r, c)c} zdcz, (2.15)

em que h(r, c) é a fun¸cão de perturba¸cão, c = (ξ, cz, φ) é o vetor velocidade e, cz é a

componente de c paralela ao eixo central do duto.

Nesta formula¸cão, assume-se que o termo fonte não homogêneo Q(ξ) da Eq. (2.14) seja conhecido e, que a condi¸cão de contorno tenha a forma

g(R, ξ, φ) = f (ξ, φ), φ ∈ (π/2, 3π/2) e ξ ∈ [0, ∞), (2.16)

na qual f (ξ, φ) tamb´em deve ser conhecida. Impondo a condi¸c˜ao de simetria

f (ξ, 2π − φ) = f (ξ, φ), φ ∈ (π/2, π], (2.17)

tem-se

(26)

Figura 2.1 – Vetor velocidade c de uma part´ıcula de g´as

para todo r e ξ. E, al´em disso, promovendo as substitui¸c˜oes µ = cos φ, para φ ∈ [0, π], e

G(r, ξ, µ) = g(r, ξ, arc cos µ), (2.19)

para µ ∈ [−1, 1], as Eqs. (2.14) e (2.16) podem ser reescritas por

ξ µ ∂ ∂r + 1 − µ2 r ∂ ∂µ G(r, ξ, µ) + G(r, ξ, µ) = Z 1 −1 Z ∞ 0 Ψ(ξ0, µ0)G(r, ξ0, µ0)dξ0dµ0+ Q(ξ), (2.20) para µ ∈ [−1, 1], ξ ∈ [0, ∞) e r ∈ (0, R), e G(R, ξ, −µ) = F (ξ, µ), µ ∈ (0, 1] e ξ ∈ [0, ∞). (2.21)

Nas Eqs. (2.20) e (2.21), tem-se ainda

Ψ(ξ, µ) = 2ξe

−ξ2

(27)

13 e

F (ξ, µ) = f (ξ, π − arc cos µ), µ ∈ (0, 1]. (2.23)

A equa¸cão apresentada na Eq. (2.20), juntamente com a condi¸cão de contorno indicada pela Eq. (2.21), correspondem à formula¸cão ´ıntegro-diferencial usualmente utilizada nas aplica¸cões do modelo BGK em geometria cil´ındrica.

2.4 Formula¸c˜ao Integral do Modelo BGK para Geometrias Cil´ındricas

Nesta se¸cão apresenta-se a formula¸cão integral associada ao modelo BGK, usada para descrever o comportamento de escoamentos de gases rarefeitos na dire¸cão axial em dutos cil´ındricos retos de raio R e comprimento infinito, conforme deduzida por Barichello et al. [Barichello et al., 2002].

Barichello et al. [Barichello et al., 2002] fizeram uso do método das caracter´ısticas [Debnath, 1997], para a obten¸cão da formula¸cão integral do modelo cinético BGK a partir das Eqs. (2.20) e (2.21). A dedu¸cão da equa¸cão integral é feita enfatizando a inclusão de um termo fonte não homogêneo geral, na equa¸cão de balan¸co e, um termo não homogêneo geral na condi¸cão de contorno. Deste modo, a forma geral da equa¸cão integral para o modelo BGK é dada por

G(r) = B(r) + C(r) + Z R

0

tG(t)K(t → r)dt. (2.24)

Nela, a componente radial r ∈ [0, R] está adimensionalizada de modo que R corresponde ao parâmetro de rarefa¸cão, ou seja, [Siewert e Valougeorgis, 2002]

R = √ 2 2 1 Kn . (2.25)

Na Eq. (2.24), G(r) corresponde à fun¸cão incógnita, a partir da qual podem ser determinadas as quantidades de interesse f´ısico, tais como a velocidade macroscópica e a taxa de fluxo do gás. O núcleo da equa¸cão integral, K(t → r) é definido de modo que

K(t → r) = 2 π1/2 Z ∞ 0 e−τ2F0(t/τ, r/τ ) dτ τ2, (2.26)

(28)

sendo F0(t/τ, r/τ ) =    I0(t/τ )K0(r/τ ), t < r K0(t/τ )I0(r/τ ), t > r , (2.27)

onde I0(x) e K0(x) s˜ao as fun¸c˜oes de Bessel modificadas de ordem zero, de primeira e segunda

classe, respectivamente [Abramowitz e Stegun, 1965].

Ainda na Eq. (2.24), os dois termos não homogêneos são definidos por

B(r) = Z 1 −1 Z ∞ 0 Ψ(ξ, µ)F [ξ, µ0(R, r, µ)]exp{−s0(r, ξ, µ)}dξdµ (2.28) e C(r) = 4 π Z R 0 t Z ∞ 0 F0(t/τ, r/τ ) τ2 Z ∞ r ξQ(ξ)e−ξ2 (ξ2_{− τ}2₎1/2dξdτ dt. (2.29)

Assim sendo, o termo B(r) depende da condi¸c˜ao de contorno F [ξ, µ0(R, r, µ)], enquanto

que C(r) depende do termo fonte Q(ξ) do problema considerado. E, segundo a mesma formula¸c˜ao, na Eq. (2.28), faz-se uso das express˜oes

Ψ(ξ, µ) = 2ξe −ξ2 π(1 − µ2₎1/2, (2.30) µ0(R, r, µ) = 1 R(R 2_{− r}2_{+ r}2_µ2₎1/2 _(2.31) e s0(r, ξ, µ) = [(R2− r2+ r2µ2)1/2+ rµ]/ξ. (2.32)

2.4.1 Fluxo de Poiseuille e Creep T´ermico

Após ter sido feita uma breve apresenta¸cão da formula¸cão geral da equa¸cão integral associada ao modelo BGK para escoamentos de gases rarefeitos em dutos cil´ındricos retos de raio R, faz-se, agora, a apresenta¸cão da formula¸cão para dois casos especiais, conhecidos na literatura como fluxo de Poiseuille e creep térmico. No primeiro o escoamento do gás deve-se exclusivamente à existência de um gradiente de pressão na dire¸cão axial do duto,

(29)

15 enquanto que no segundo deve-se à existência de um gradiente de temperatura também na dire¸cão axial.

Segundo [Williams, 1971], o termo fonte dos dois problemas citados pode ser ex-presso na forma

Q(ξ) = 1/2[k1− k2(ξ2− 1)], (2.33)

em que k1 e k2 s˜ao constantes que, para o problema de Poiseuille assumem os valores k1 = 1

e k2 = 0, enquanto que para o problema creep t´ermico correspondem aos valores k1 = 0 e

k2 = 1.

Substituindo o termo fonte da Eq. (2.33) na Eq. (2.29) e, fazendo uso da identidade das fun¸c˜oes modificadas de Bessel,

x[K0(x)I1(x) + I0(x)K1(x)] = 1, (2.34)

´

e poss´ıvel reescrever a Eq. (2.29) na forma:

C(r) = k1 2 − R π1/2 Z ∞ 0 e−τ2K1(R/τ )I0(r/τ )k1− k2(τ2− 1/2) dτ τ . (2.35) Segundo Barichello et. al [Barichello et al., 2002], para o caso em que se assume a reflexão das part´ıculas do gás na superf´ıcie sólida que delimita o escoamento perfeitamente difusa, a condi¸cão de contorno remete o termo B(r), indicado na Eq. (2.28), a zero. Este fato simplifica consideravelmente a formula¸cão apresentada.

Barichello et. al [Barichello et al., 2002] no intuito de simplificar ainda mais a formula¸cão integral apresentada na Eq. (2.24), propõe reescrevê-la em termos de uma nova fun¸cão incógnita, Z(r), de modo que se tenha

G(r) = 1

π1/2Z(r) −

1

4(2k1+ k2), (2.36)

onde k1 e k2 correspondem `as constantes j´a mencionadas anteriormente no termo fonte.

(30)

forma Z(r) = Z R 0 tZ(t)K(t → r)dt + S(r), (2.37) na qual S(r) = π 1/2 2 k1+ k2R Z ∞ 0 τ e−τ2K1(R/τ )I0(r/τ )dτ (2.38) ´ e o termo fonte.

Desse modo, a formula¸c˜ao integral do problema de Poiseuille ´e escrita a partir das Eqs. (2.37) e (2.38), tomando-se k1 = 1 e k2 = 0. Logo, para o problema de Poiseuille,

tem-se ZP(r) = Z R 0 tZP(t)K(t → r)dt + SP(r) (2.39) sendo SP(r) = 1 2π 1/2_. _(2.40)

Assim sendo, a fun¸cão incógnita ZP(r), que satisfaz a equa¸cão integral (2.39), possibilita a

avalia¸cão das quantidades de interesse f´ısico do problema de Poiseuille, tais como o perfil de velocidade macroscópica das part´ıculas do gás

uP(r) = π−1/2ZP(r) −

1

2 (2.41)

e a taxa de fluxo (do inglês flow rate, cuja tradu¸cão mais correta seria taxa de escoamento, porém, aqui denominado de taxa de fluxo, tendo em vista que esta denomina¸cão já foi usada em trabalhos anteriores) UP = 4 R3 Z R 0 uP(r)rdr. (2.42)

(31)

17 Do mesmo modo, a formula¸cão integral do problema de creep térmico é obtida a partir das Eqs. (2.37) e (2.38), tomando-se k1 = 0 e k2 = 1. Diante disso, tem-se

ZT(r) = Z R 0 tZT(t)K(t → r)dt + ST(r) (2.43) com ST(r) = R Z ∞ 0 τ e−τ2K1(R/τ )I0(r/τ )dτ. (2.44)

Sendo que a fun¸cão incógnita ZT, que satisfaz a Eq. (2.43), permite a avalia¸cão da velocidade

macroscópica e da taxa de fluxo do problema creep térmico, a partir da expressões

uT(r) = π−1/2ZT(r) − 1 4 (2.45) e UT = 4 R3 Z R 0 uT(r)rdr, (2.46) respectivamente.

(32)

SOLUÇ ÕES DE CAR ÁTER ANALÍTICO

Com o intuito de apresentar solu¸cões de caráter anal´ıtico para os problemas de Poiseuille e creep térmico, a partir da formula¸cão integral do modelo BGK apresentada no cap´ıtulo anterior, propõe-se, neste trabalho, a utiliza¸cão de uma metodologia já empregada anteriormente por Kamphorst [Kamphorst, 2009]. Kamphorst, em seu trabalho de tese de doutorado, apresenta as solu¸cões dos dois problemas considerados a partir da aplica¸cão de um método espectral baseado na utiliza¸cão de uma expansão truncada em termos de splines cúbicas de Hermite [Schultz, 1973]. A mesma metodologia também já foi empregada em outros trabalhos, entre eles, [Rodrigues et al., 2009; Kamphorst et al., 2009; Russi et al., 2011; Sokoloski et al., 2011].

3.1 Aplica¸c˜ao do M´etodo Espectral

Denomina-se método espectral a metodologia de resolu¸cão de equa¸cões que tem por base iniciar o processo propondo uma solu¸cão na forma de uma expansão truncada em termos de fun¸cões de base conhecidas.

Assim sendo, no intuito de obter a solu¸cão da equa¸cão integral indicada na Eq.(2.37), inicialmente, propõe-se escrever a fun¸cão incógnita Z(r) na forma de uma expansão truncada em termos de splines cúbicas de Hermite,

Z(r) = L X α=0 aα=α r R. (3.1)

Nela, =α(x) corresponde à spline cúbica de Hermite de ordem α, que consiste em uma fun¸cão

(33)

19 conforme definida por Schultz [Schultz, 1973] e apresentada no Apêndice A deste trabalho. Nesse contexto, os subintervalos não nulos das splines cúbicas são definidos em termos do valor de α a partir de um número pré-fixado de nós no intervalo x ∈ [0, 1].

Na Eq. (3.1) tem-se ainda, os termos aα que representam os coeficientes constantes

que devem ser determinados de modo que a expans˜ao Z(r) satisfa¸ca a formula¸c˜ao integral indicada na Eq. (2.37).

Deste modo, promovendo a substitui¸cão da expansão proposta, bem como, a reali-za¸cão das trocas de variáveis:

x = r R (3.2) e y = t R, (3.3) ´

e poss´ıvel reescrever a Eq. (2.37), na forma

L

X

α=0

aα=α(x) − R2{U (x) + V (x)} = S(Rx). (3.4)

Na Eq. (3.4), tem-se as express˜oes

U (x) = Z x

0

y=α(y) K(Ry → Rx)dy (3.5)

e

V (x) = Z 1

x

y=α(y) K(Ry → Rx)dy. (3.6)

Nelas o núcleo da equa¸cão integral, já definido na Eq. (2.26), é reescrito por

K(Ry → Rx) = 2 π1/2 Z ∞ 0 e−τ2F0(Ry/τ, Rx/τ ) dτ τ2, (3.7) sendo F0(Ry/τ, Rx/τ ) =    I0(Ry/τ )K0(Rx/τ ), y < x K0(Ry/τ )I0(Rx/τ ), y > x . (3.8)

(34)

As expressões indicadas nas Eqs. (3.5) e (3.6) correspondem à integral presente na Eq. (2.37), reescrita nestes termos com o intuito de facilitar sua avalia¸cão, tendo em vista que esta depende do núcleo da equa¸cão (definido conforme indicado na Eq. (3.7)) que possui uma descontinuidade em y = x, decorrente da defini¸cão do termo F0(Ry/τ, Rx/τ ).

Avaliando a Eq. (3.4) nos pontos de coloca¸c˜ao aqui escolhidos como

xi = i L 2 , i = 0, 1, 2, . . . , L, (3.9) obt´em-se L X α=0 aα=α(xi) − R2{U (xi) + V (xi)} = S(Rxi), (3.10)

que, após a avalia¸cão da integrais envolvidas na formula¸cão, corresponde a um sistema linear de ordem L + 1, cuja solu¸cão é o conjunto de coeficientes aα da expansão proposta na Eq.

(3.1).

A solu¸cão Z(r) determinada através da metodologia aqui apresentada é dita de caráter anal´ıtico, tendo em vista que ela é válida para todo r ∈ [0, R], embora a avalia¸cão das integrais presentes na formula¸cão seja realizada mediante a aplica¸cão de métodos numéricos, como será especificado no próximo cap´ıtulo.

3.2 Quantidades de Interesse F´ısico

A resolu¸cão do sistema linear indicado na Eq. (3.10) torna poss´ıvel a obten¸cão das quantidades de interesse f´ısico dos problemas em questão, tais como as velocidades macroscópicas uP(r) = π−1/2 L X α=0 aα=α r R − 1 2 (3.11) e uT(r) = π−1/2 L X α=0 aα=α r R − 1 4, (3.12)

para os problemas de Poiseuille e creep térmico, respectivamente. Do mesmo modo, torna-se poss´ıvel ainda, a obten¸cão das taxas de fluxo do gás mediante a utiliza¸cão das Eqs. (2.42) e

(35)

21 (2.46).

Salienta-se ainda, que tanto para o problema de Poiseuille quanto para o creep térmico, os coeficientes aα das Eqs. (3.11) e (3.12) são dados pela solu¸cão do sistema linear

indicado na Eq. (3.10). O que diferencia os sistemas obtidos para os dois problemas em questão é a presen¸ca do termo não homogêneo S(Rxi), que para o problema de Poiseuille é

(36)

ASPECTOS COMPUTACIONAIS E RESULTADOS NUM´ERICOS

Com o intuito de obter resultados numéricos para as velocidades macroscópicas e as taxas de fluxo em escoamentos de gases rarefeitos em dutos cil´ındricos que se devem à existência de um gradiente de pressão na dire¸cão axial do duto (problema de Poiseuille) e, `

a existência de um gradiente de temperatura também na dire¸cão axial do duto (problema creep térmico), optou-se por realizar uma implementa¸cão da solu¸cão de caráter anal´ıtico apresentada no Cap´ıtulo anterior em Matlab.

Na implementa¸cão a resolu¸cão do sistema dado pela Eq. (3.10) e consequentemente a determina¸cão dos coeficientes da expansão indicada na Eq. (3.1) depende da avalia¸cão de suas integrais. Do mesmo modo como fora feito no trabalho de Kamphorst [Kamphorst, 2009], optou-se por utilizar o esquema de quadratura de Gauss-Legendre. E, como Loyalka e Thompson [Loyalka e Thompson, 2009] afirmam que o esquema de quadratura de Gauss-Kronrod pode ser mais preciso na avalia¸cão de integrais com singularidades, optou-se ainda, por avaliar as integrais usando também este outro esquema de quadratura.

Entretanto, a formula¸cão apresentada impõe algumas dificuldades decorrentes da forma de defini¸cão do núcleo. De fato, esses aspectos podem acarretar um esfor¸co computa-cional muito elevado ou a perda de precisão. Nesse sentido, é importante considerar algumas simplifica¸cões e trocas de variáveis com o intuito de possibilitar a avalia¸cão das integrais com boa precisão e de reduzir o esfor¸co computacional, bem como, para evitar problemas de overflow na avalia¸cão de algumas fun¸cões presentes na formula¸cão. Tais aspectos são abordados a seguir na se¸cão Aspectos Computacionais.

(37)

23 4.1 Aspectos Computacionais

O primeiro aspecto a ser considerado é a presen¸ca das fun¸cões modificadas de Bessel na defini¸cão do núcleo da equa¸cão integral. A avalia¸cão da fun¸cão I0(x) causa problemas

de overflow para valores de x muito grandes, enquanto que K0(x), para valores de x muito

próximos de zero. Uma alternativa, também já utilizada em trabalhos anteriores [Rodrigues et al., 2009; Kamphorst et al., 2009; Russi et al., 2011; Sokoloski et al., 2011] consiste na utiliza¸cão das expressões

ˆ

I0(x) = I0(x)e−x (4.1)

e

ˆ

K0(x) = K0(x)ex. (4.2)

Promovendo-se ainda a utiliza¸c˜ao do esquema do pontos de coloca¸c˜ao sugerido na Eq. (3.9), a Eq. (3.8) passa a ser reescrita na forma

ˆ F0(Ry/τ, Rxi/τ ) =    ˆ I0(Ry/τ ) ˆK0(Rxi/τ )e(y−xi)R/τ, y < xi ˆ K0(Ry/τ ) ˆI0(Rxi/τ )e(xi−y)R/τ, y > xi . (4.3)

E, consequentemente, o núcleo da equa¸cão integral, K(Ry → Rxi), definido na Eq. (3.7), é

reescrito por K(Ry → Rxi) = 2 π1/2 Z ∞ 0 e−τ2Fˆ0(Ry/τ, Rxi/τ ) dτ τ2, (4.4)

A fim de avaliar as integrais presentes no sistema linear indicado na Eq. (3.10) mediante a aplica¸c˜ao dos esquemas de quadratura de Gauss-Legendre ou Gauss-Kronrod usuais, com pontos de quadratura µ ∈ [−1, 1] e seus respectivos pesos ωn faz-se necess´aria a

utiliza¸c˜ao de algumas trocas de vari´aveis, entre elas

x∗ = 2x − a − b

(38)

ou

x∗ = 2e−x− 1, para x ∈ [0, ∞). (4.6)

4.1.1 Avalia¸cão do Núcleo da Equa¸cão

O núcleo da equa¸cão integral, conforme definido na Eq. (4.4), também apresenta uma divisão por τ2_{, o que imp˜}_{oe dificuldades na avalia¸c˜}_{ao num´}_{erica desta integral nas}

proxi-midades de τ = 0, particularmente quando os valores dos argumentos Ry e Rxi estiverem

bastante próximos. Porém, tal dificuldade não se manifesta quando a variável τ tende a zero e os valores de Ry e Rxi não estiverem bastante próximos, como por exemplo quando

|Ry − Rxi| ≥ 0, 05. Nesses casos, as dificuldades num´ericas impostas pela singularidade,

oriunda da divis˜ao por τ2_{, s˜}_{ao minimizadas pelo comportamento num´}_{erico das fun¸c˜}_oes

mo-dificadas de Bessel.

Uma alternativa utilizada para amenizar os efeitos numéricos provindos da presen¸ca desta singularidade e, consequentemente, evitar problemas na avalia¸cão das integrais, foi usada nos trabalhos [Kamphorst, 2009; Rodrigues et al., 2009; Kamphorst et al., 2009; Russi et al., 2011], consiste em somar e subtrair uma outra integral (sem evidentemente alterar o integrando final), que possa ser avaliada analiticamente de forma que a integral resultante seja mais fácil de ser avaliada. Segundo esta metodologia, a avalia¸cão da integral K(Ry → Rxi) é realizada mediante a considera¸cão de dois casos, um quando |Ry − Rxi| ≥

0, 05 e outro quando |Ry − Rxi| < 0, 05.

No primeiro caso a avalia¸cão do núcleo é realizada através da troca de variáveis especificada na Eq. (4.6) e a consequente aplica¸cão de um esquema de quadratura, o que resulta em K(Ry → Rxi) = 2 π1/2 Nτ X n=1 ωn e−zn2Fˆ 0(Ry/zn, Rxi/zn) (µn+ 1)zn2 . (4.7) onde zn = − ln µ_n+ 1 2 (4.8)

(39)

25 pesos ωn, usados na avalia¸c˜ao desta integral.

Para o caso em que |Ry − Rxi| < 0, 05, optou-se por utilizar uma metodologia que

consiste em somar e subtrair um novo termo na Eq. (4.4), de forma a possibilitar que a integral resultante possa ser avaliada mais facilmente. Portanto, promovendo a subtra¸c˜ao e a soma da integral S1(y, xi) = 2 π1/2 Z ∞ 0 ˆ F0(Ry/τ, Rxi/τ ) dτ τ2 (4.9) ` a Eq. (4.4), tem-se K(Ry → Rxi) = 2 π1/2 Z ∞ 0 e−τ2 − 1 ˆF0(Ry/τ, Rxi/τ ) dτ τ2 + S1(y, xi). (4.10)

Propõe-se então, a realiza¸cão da troca de variável

s = 1

1 + τ, (4.11)

que possibilita reescrever a Eq. (4.10) na forma

K(Ry → Rxi) = 2 π1/2 Z 1 0 H(y, xi, s)ds + S1(y, xi), (4.12) em que H(y, xi, s) = e−τ (s)2 − 1 (1 − s)2 Fˆ0 Ry/τ (s), Rxi/τ (s) , (4.13) sendo τ (s) = 1 s − 1. (4.14)

Efetuando ainda a soma e a subtra¸c˜ao de

S2 = 2 π1/2 Z 1 0 e−sKˆ0(s) ds (4.15)

junto `a Eq. (4.12), obt´em-se

K(Ry → Rxi) = 2 π1/2 Z 1 0 n H(y, xi, s) + e−sKˆ0(s) o ds + S1(y, xi) − S2. (4.16)

(40)

A avalia¸cão numérica da primeira integral da Eq. (4.16) pode ser realizada através da troca de variáveis indicada na Eq. (4.5) e posterior uso de um esquema de quadratura. Desse modo, obtém-se

K(Ry → Rxi) = 1 π1/2 Nτ X n=1 ωn n H(y, xi, sn) + e−snKˆ0(sn) o + S1(y, xi) − S2, (4.17) em que sn = µn+ 1 2 . (4.18)

Diante disso, o termo S1(y, xi) pode ser avaliado no software Maple, resultando em

S1(y, xi) = 2π−1/2 Rxi EK(y/xi) se y < xi (4.19) ou S1(y, xi) = 2π−1/2 Ry EK(xi/y) se y > xi, (4.20) sendo EK(x) a integral el´ıptica completa de primeira ordem [Abramowitz e Stegun, 1965],

a qual pode ser avaliada com aux´ılio de uma fun¸cão do próprio Matlab (ellipke(x)). Ainda, o termo S2, presente na Eq. (4.17), é avaliado no software Maple como sendo igual a

1, 40202222809807033.

4.1.2 Avalia¸c˜ao dos Termos U (xi) e V (xi)

Ainda, do ponto de vista do esfor¸co computacional requerido, ´e importante avaliar os termos U (xi) e V (xi), definidos nas Eqs. (3.5) e (3.6), apenas nos subintervalos [dα, eα]

para os quais as splines c´ubicas =α(y) assumem valores n˜ao nulos, de forma que

=α(y) = 0, se y /∈ [dα, eα] . (4.21)

Pode-se, ent˜ao, escrever

(41)

27 e,

Uα(xi) =

Z mα,i

dα

y=α(y) K(Ry → Rxi)dy, se xi > dα, (4.23)

sendo

mα,i= min{xi, eα}. (4.24)

Do mesmo modo, tem-se

Vα(xi) = 0, se xi ≥ eα (4.25)

e,

Vα(xi) =

Z eα

nα,i

y=α(y) K(Ry → Rxi)dy, se xi < eα, (4.26)

sendo

nα,i = max{xi, dα}. (4.27)

Diante disso, prop˜oe-se efetuar a troca de vari´avel indicada na Eq. (4.5) a fim de avaliar os termos Uα(xi) e Vα(xi), mediante o uso de um esquema de pontos de quadratura.

Desse modo, após a aplica¸cão do esquema de quadratura, obtém-se

Uα(xi) = 0, se xi ≤ dα (4.28) e, Uα(xi) = mα,i− dα 2 Ny X m=1

ωmpα,i,m=α(pα,i,m) K(Rpα,i,m → Rxi), (4.29)

se xi > dα, sendo

pα,i,m =

(mα,i− dα) µm+ dα+ mα,i

(42)

Bem como, Vα(xi) = 0, se xi ≥ eα (4.31) e, Vα(xi) = eα− nα,i 2 Ny X m=1

ωmqα,i,m=α(qα,i,m) K(Rqα,i,m → Rxi), (4.32)

se xi < eα, sendo

qα,i,m=

(eα− nα,i) µm+ nα,i+ eα

2 . (4.33)

Nas Eqs. (4.29) e (4.32), a constante Ny corresponde ao n´umero de pontos de

quadratura usados para a avalia¸c˜ao da integral, enquanto que os termos K(Rpα,i,m → Rxi)

e K(Rqα,i,m → Rxi) s˜ao avaliados pela Eq. (4.7) ou pela Eq. (4.17), dependendo se o valor

absoluto da diferen¸ca de seus argumentos ´e maior ou menor do que 0.05.

4.1.3 Avalia¸c˜ao dos Termos Fonte

Nesse contexto, tamb´em faz-se necess´ario avaliar o termo fonte, S(Rxi), presente na

Eq. (3.10). Para o problema de Poiseuille, de acordo com a Eq. (2.40), tem-se

SP(Rxi) =

1 2π

1/2_, _(4.34)

para i = 0, 1, 2, · · · , L. Enquanto que para o problema creep térmico, o termo fonte dado pela Eq. (2.44) é avaliado mediante a aplica¸cão de um esquema de quadratura. Entretanto, primeiramente faz-se necessário promover a troca de variável indicada pela Eq. (4.5). Desse modo, tem-se ST(Rxi) = R Nτ X n=1 ωn zne−z 2 nK 1(R/zn)I0(Rxi/zn) µn+ 1 , (4.35)

(43)

29 4.1.4 Obten¸c˜ao do Sistema Linear

Diante de tudo o que foi exposto anteriormente, neste cap´ıtulo, o sistema linear indicado na Eq. (3.10) pode ser reescrito na forma matricial

Ta = S, (4.36) em que T =            t1,1 t1,2 t1,3 · · · t1,L+1 t2,1 t2,2 t2,3 · · · t2,L+1 t3,1 t3,2 t3,3 · · · t3,L+1 .. . ... ... . .. ... tL+1,1 tL+1,2 tL+1,3 · · · tL+1,L+1            , (4.37) a =            a0 a1 a2 .. . aL            (4.38) e S =            S(Rx0) S(Rx1) S(Rx2) .. . S(RxL)            , (4.39) sendo ti+1,α+1 = =α(xi) − R2{Uα(xi) + Vα(xi)} . (4.40)

Neste trabalho, para a avalia¸c˜ao dos termos ti+1,α+1, da matriz T, implementou-se

(44)

as splines cúbicas, =α(xi), são avaliadas conforme definidas no Apêndice A, enquanto que

os termos Uα(xi) e Vα(xi) s˜ao avaliados mediante a utiliza¸c˜ao das Eqs. (4.28) ou (4.29) e

(4.31) ou (4.32), respectivamente. Nesse contexto, os pontos e pesos de quadratura, µn e ωn,

usados neste trabalho correspondem aos pontos e pesos dos esquemas de Gauss-Legendre e Gauss-Kronrod, apresentados nos Apˆendices B e C, respectivamente.

A Eq. (4.38) refere-se ao vetor solu¸cão do sistema linear, o qual dispõe dos coefi-cientes constantes que devem ser usados na expansão proposta na Eq. (3.1) de modo que esta satisfa¸ca a equa¸cão integral usada para modelar os dois problemas estudados.

Na Eq. (4.39) a avalia¸c˜ao do termo fonte S(Rxi) ´e realizada mediante a Eq. (4.34)

para o problema de Poiseuille e, pela Eq. (4.35) para o problema creep t´ermico.

4.1.5 Obten¸c˜ao das Quantidades de Interesse F´ısico

Uma vez conhecida a solu¸c˜ao do sistema linear descrito anteriormente, torna-se poss´ıvel a obten¸c˜ao das quantidades de interesse f´ısico, sendo elas, as velocidades macrosc´ opi-cas e as taxas de fluxo dos dois problemas estudados.

As velocidades macroscópicas são determinadas a partir da utiliza¸cão das Eqs. (3.11) e (3.12), respectivamente, para os problemas de Poiseuille e creep térmico.

As taxas de fluxo, dadas em unidades de volume por unidade de tempo, são obtidas mediante a aplica¸cão da troca de variáveis indicada na Eq. (4.5) e a posterior aplica¸cão de um esquema de pontos de quadratura, nas Eqs. (2.42) e (2.46). Desse modo, para o problema de Poiseuille tem-se

UP = 2 R2 Nr X h=1 ωhuP(rh∗)r ∗ h, (4.41)

enquanto que para o problema creep t´ermico

UT = 2 R2 Nr X h=1 ωhuT(r∗h)r ∗ h, (4.42) sendo r∗_h = R 2(µh+ 1). (4.43)

(45)

31 4.1.6 Coment´arios sobre a Implementa¸c˜ao

A fim de obter resultados numéricos para as quantidades de interesse f´ısico dos problemas estudados, optou-se por realizar uma implementa¸cão em Matlab, visto que este software disponibiliza recursos de programa¸cão que possibilita a resolu¸cão de sistemas lin-eares e, oferece comandos para avalia¸cão de algumas das fun¸cões que necessitam ser avaliadas, entre elas: as fun¸cões modificadas de Bessel e as integrais el´ıpticas.

Assim sendo, a implementa¸c˜ao realizada faz uso dos seguintes parˆametros de entrada: • a magnitude R do raio;

• o valor de L que estabelece a ordem L + 1 da expans˜ao e do sistema linear obtido; • as constantes Nτ, Ny e Nr que indicam o n´umero de pontos de quadratura usados na

avalia¸c˜ao das integrais;

Bem como foram criadas sub-rotinas para:

• calcular os pontos e os respectivos pesos das quadraturas de Legendre e Gauss-Kronrod;

• determinar os pontos de coloca¸c˜ao xi;

• avaliar as splines c´ubicas de Hermite =α(xi);

• determinar os elementos das matrizes que comp˜oem o sistema linear; • obter resultados para o perfil de velocidade;

• obter resultados para a taxa de fluxo.

4.2 Resultados Num´ericos

A seguir são apresentados alguns resultados numéricos obtidos mediante a utiliza¸cão da implementa¸cão realizada em Matlab. Paralelamente, é realizado um comparativo entre os esquemas de quadratura de Gauss-Legendre e Gauss-Kronrod, utilizados neste trabalho. Do mesmo modo, também são comparados os resultados obtidos mediante a utiliza¸cão da implementa¸cão em Matlab, aqui utilizada, e a implementa¸cão em Fortran empregada por

(46)

Kamphorst [Kamphorst, 2009], na qual se faz uso do esquema de quadratura de Gauss-Legendre. Além disso, é realizada uma análise dos perfis de velocidade dos problemas de Poiseuille e creep térmico, para escoamentos de gases rarefeitos em diferentes estados de rarefa¸cão.

4.2.1 Compara¸c˜ao dos Esquemas de Quadratura

Neste trabalho optou-se por implementar, em Matlab, esquemas de quadratura de Gauss-Legendre e Gauss-Kronrod, apresentados nos Apˆendices B e C, respectivamente.

Ambos os esquemas de quadratura mostraram-se muito eficientes, sendo que nos casos em que a singularidade é mais acentuada, o esquema de quadratura de Gauss-Kronrod pode ser mais preciso, sobretudo para as menores ordens de quadratura, conforme pode ser visto no gráfico da Fig. 4.1, que apresenta os erros relativos (em %) cometidos ao avaliar o termo K(0.00003, 0.00002), em fun¸cão do número de pontos e pesos de quadratura de cada um dos dois esquemas utilizados.

Figura 4.1 – Erro relativo ao avaliar K(0.00003, 0.00002)

Assim sendo, a utiliza¸cão do esquema de quadratura de Gauss-Kronrod também possibilita a obten¸cão de resultados numéricos mais precisos para as grandezas de interesse

(47)

33 f´ısico, se comparado à utiliza¸cão do esquema de Gauss-Legendre, mediante a utiliza¸cão de esquemas de quadratura da mesma ordem. Fato este, que pode ser constatado nas Tabelas 4.1 e 4.2.

A coluna “Siewert”, das Tabelas 4.1 e 4.2, referem-se aos valores das taxas de fluxo determinadas por Siewert [Siewert, 2000], obtidos mediante o emprego da transforma¸cão proposta por Mitzis [Mitsis, 1963] e a posterior aplica¸cão do método das ordenada discretas [Barichello e Siewert, 1999]. E, os resultados numéricos para as taxas de fluxo, indicadas nas outras duas colunas destas tabelas, são obtidas na implementa¸cão realizada em Matlab usando-se cinquenta pontos de quadratura para a avalia¸cão de todas as integrais envolvidas mediante a utiliza¸cão do esquema de Gauss-Legendre e, quarenta e nove no esquema de Gauss-Kronrod, visto que o primeiro esquema é aqui implementado de modo a permitir o cálculo de um número par de pontos e pesos, enquanto que o segundo, um número ´ımpar. No entanto, observando os resultados numéricos obtidos a partir da utiliza¸cão de expansões truncadas em termos das splines cúbicas de Hermite de ordem L = 100 e L = 200, constata-se uma boa convergência dos resultados obtidos mediante a aplica¸cão dos dois esquemas de quadratura. Contudo, a utiliza¸cão do esquema de quadratura de Gauss-Kronrod mostrou-se ligeiramente mais preciso.

Tabela 4.1 – Taxas de fluxo: Poiseuille com R = 0, 01 L = 100 L = 200 Siewert Gauss-Legendre 1.476270 1.476299 1.476313 Gauss-Kronrod 1.476272 1.476301 1.476313

Tabela 4.2 – Taxas de fluxo: creep t´ermico com R = 0, 01

L = 100 L = 200 Siewert

Gauss-Legendre 7.178126(-1) 7.178272(-1) 7.178339(-1) Gauss-Kronrod 7.178137(-1) 7.178281(-1) 7.178339(-1)

4.2.2 Compara¸c˜ao das Implementa¸c˜oes em Matlab e Fortran

Conforme já mencionado anteriormente, Kamphorst [Kamphorst, 2009] implemen-tou a solu¸cão anal´ıtica apresentada neste trabalho em Fortran, utilizando o esquema de quadratura de Gauss-Legendre. Comparando os resultados obtidos da implementa¸cão

(48)

reali-zada em Matlab, mediante a utiliza¸cão do esquema de quadratura de Gauss-Legendre, com os respectivos resultados obtidos mediante a utiliza¸cão da implementa¸cão realizada em For-tram, por Kamphorst (através da utiliza¸cão dos mesmos parâmetros de entrada), constata-se que os seis primeiros d´ıgitos significativos obtidos são idênticos, entretanto o tempo com-putacional requerido através do Matlab é extremamente superior, principalmente à medida em que os sistemas obtidos tornam-se maiores. No caso da obten¸cão dos resultados indicados nas Tabelas 4.1 e 4.3 para L = 200, por exemplo, em Fortran os resultados são obtidos em cerca de cinco minutos, enquanto que no Matlab em aproximadamente duas horas.

4.2.3 Resultados Num´ericos para as Quantidades de Interesse F´ısico

Nas Tabelas 4.3, 4.4 e 4.5 são apresentados alguns resultados numéricos para as quantidades de interesse f´ısico dos problemas de Poiseuille e creep térmico obtidos com a utiliza¸cão da implementa¸cão em Matlab usando-se como parâmetros de entrada L = 300, Nτ = 49, Ny = 79 e Nr = 49 e, mediante a utiliza¸cão do esquema de quadratura de

Gauss-Kronrod.

Kamphorst [Kamphorst, 2009] apresenta em seu trabalho os respectivos resultados das Tabelas 4.3, 4.4 e 4.5 com precisão de seis d´ıgitos ao invés dos cinco aqui apresentados (devido ao tempo computacional requerido), porém fazendo uso de parâmetros de entrada maiores. Salienta-se, no entanto, que os cinco d´ıgitos aqui apresentados concordam com os resultados apresentados por Kamphorst.

Tabela 4.3 – Velocidades para o problema de Poiseuille

r/R R = 0.1 R = 0.2 R = 0.5 R = 1.0 R = 2.0 0.0 8.4868(-2) 1.6981(-1) 4.4197(-1) 9.7186(-1) 2.3533(0) 0.1 8.4624(-2) 1.6928(-1) 4.4035(-1) 9.6764(-1) 2.3408(0) 0.2 8.3885(-2) 1.6767(-1) 4.3546(-1) 9.5492(-1) 2.3032(0) 0.3 8.2636(-2) 1.6497(-1) 4.2720(-1) 9.3348(-1) 2.2399(0) 0.4 8.0844(-2) 1.6109(-1) 4.1539(-1) 9.0295(-1) 2.1503(0) 0.5 7.8461(-2) 1.5593(-1) 3.9976(-1) 8.6269(-1) 2.0329(0) 0.6 7.5407(-2) 1.4934(-1) 3.7983(-1) 8.1170(-1) 1.8856(0) 0.7 7.1554(-2) 1.4103(-1) 3.5486(-1) 7.4829(-1) 1.7046(0) 0.8 6.6668(-2) 1.3052(-1) 3.2348(-1) 6.6933(-1) 1.4826(0) 0.9 6.0238(-2) 1.1673(-1) 2.8258(-1) 5.6767(-1) 1.2025(0) 1.0 4.9705(-2) 9.4175(-2) 2.1620(-1) 4.0481(-1) 7.6517(-1)

(49)

35

Tabela 4.4 – Velocidades para o problema creep t´ermico

r/R R = 0.1 R = 0.2 R = 0.5 R = 1.0 R = 2.0 0.0 3.6510(-2) 6.5888(-2) 1.3366(-1) 2.1014(-1) 2.9703(-1) 0.1 3.6402(-2) 6.5679(-2) 1.3320(-1) 2.0940(-1) 2.9609(-1) 0.2 3.6073(-2) 6.5045(-2) 1.3181(-1) 2.0718(-1) 2.9325(-1) 0.3 3.5517(-2) 6.3970(-2) 1.2943(-1) 2.0337(-1) 2.8833(-1) 0.4 3.4717(-2) 6.2422(-2) 1.2600(-1) 1.9783(-1) 2.8107(-1) 0.5 3.3649(-2) 6.0351(-2) 1.2138(-1) 1.9030(-1) 2.7102(-1) 0.6 3.2275(-2) 5.7679(-2) 1.1537(-1) 1.8039(-1) 2.5743(-1) 0.7 3.0530(-2) 5.4273(-2) 1.0764(-1) 1.6742(-1) 2.3906(-1) 0.8 2.8300(-2) 4.9899(-2) 9.7574(-2) 1.5019(-1) 2.1361(-1) 0.9 2.5333(-2) 4.4035(-2) 8.3810(-2) 1.2592(-1) 1.7575(-1) 1.0 2.0370(-2) 3.4061(-2) 5.9391(-2) 8.0243(-2) 9.6627(-2)

Tabela 4.5 – Resultados para as taxas de fluxo R Poiseuille Creep T´ermico 0.1 1.4040(0) 5.9748(-1) 0.2 1.3816(0) 5.2937(-1) 0.5 1.3867(0) 4.1707(-1) 1.0 1.4583(0) 3.2173(-1) 2.0 1.6577(0) 2.2712(-1)

(50)

4.2.4 An´alise Gr´afica dos Perfis de Velocidade

O modelo matemático utilizado [Siewert e Valougeorgis, 2002] faz uso de uma adimensionaliza¸cão que torna o raio f´ısico, R, equivalente ao parâmetro de rarefa¸cão definido nas Eqs. (2.1), (2.2) e (2.3). Logo, nesse caso, o valor de R é inversamente proporcional ao número de Knudsen, sendo que

Kn= √ 2 2 1 R. (4.44)

Assim sendo, optou-se por analisar graficamente o perfil de velocidade dos pro-blemas de Poiseuille e creep t´ermico, em cada um dos estados de rarefa¸c˜ao definidos por Karniadakis e Beskok [Karniadakis e Beskok, 2002] e, apresentados no in´ıcio do cap´ıtulo 2 deste trabalho.

Nesse contexto, os gráficos apresentados nas figuras a seguir foram constru´ıdos a partir dos resultados numéricos obtidos na implementa¸cão em Matlab.

(51)

37 A primeira linha de gráficos da Figura 4.2 apresenta os perfis de velocidade para o escoamento de um gás rarefeito em dutos cil´ındricos com R = 150 e R = 50 que corres-pondem, respectivamente, a escoamentos em regimes cont´ınuo e slip-flow. No primeiro, a velocidade do gás na parede é inferior a 0, 1% da velocidade máxima do escoamento, o que torna viável sua modelagem mediante a utiliza¸cão das equa¸cões de Navier-Stokes [Shames, 1982] com condi¸cão de não deslizamento na parede. No segundo gráfico, este percentual aumenta para aproximadamente 2, 7%, o que inviabiliza a utiliza¸cão da condi¸cão de não deslizamento.

Na segunda linha de gráficos da Figura 4.2, são apresentados os perfis de veloci-dade para R = 1 e R = 0, 001 que equivalem, respectivamente, a escoamentos nos regimes de transi¸cão e de moléculas livres. Neles, as velocidades do gás na parede correspondem aproximadamente a 41, 7% e 63, 5% da velocidade máxima do escoamento, resultados esses decorrentes dos efeitos de maior rarefa¸cão do gás.

Figura 4.3 – Perfis de velocidade do creep t´ermico

A primeira linha de gráficos da Figura 4.3 apresenta os perfis de velocidade para o escoamento de um gás rarefeito em dutos cil´ındricos com R = 150 e R = 50 que corres-pondem, respectivamente, a escoamentos nos regimes cont´ınuo e slip-flow. No primeiro, a velocidade do gás na parede é inferior a 0, 1% da velocidade máxima do escoamento,

(52)

o que torna viável sua modelagem mediante a utiliza¸cão das equa¸cões de Navier-Stokes [Shames, 1982] com condi¸cão de não deslizamento na parede. No segundo gráfico, este percentual aumenta para aproximadamente 3%, o que inviabiliza a utiliza¸cão da condi¸cão de não deslizamento.

Na segunda linha de gráficos da Figura 4.2 são apresentados os perfis de veloci-dade para R = 1 e R = 0, 001 que equivalem, respectivamente, a escoamentos nos regimes de transi¸cão e de moléculas livres. Neles, as velocidades do gás na parede correspondem a aproximadamente a 38% e 63% da velocidade máxima do escoamento, resultados esses decorrentes dos efeitos de maior rarefa¸cão do gás.

Logo, pode-se concluir que, quanto maiores os efeitos de rarefa¸cão (para os menores valores de R) menores são as varia¸cões do perfil em fun¸cão da componente radial, conforme pode ser visualizado nos gráficos com os menores valores de R.

(53)

CAP´ITULO 5

CONCLUS ˜OES

A realiza¸cão deste trabalho de Disserta¸cão de Mestrado possibilitou, entre outros, o desenvolvimento de uma pesquisa na área da Modelagem de Processos de Transporte que pode contribuir para o desenvolvimento de uma metodologia de caráter anal´ıtico aplicável a uma classe mais ampla de problemas da DGR em geometria cil´ındrica.

As solu¸cões apresentadas para os problemas de Poiseuille e creep térmico a partir da aplica¸cão de um método espectral baseado na utiliza¸cão de uma expansão truncada em termos de splines cúbicas de Hermite, na equa¸cão integral do modelo cinético BGK, usada para descrever o comportamento do escoamento de um gás rarefeito em um duto cil´ındrico de raio R, possibilitaram a obten¸cão de resultados numéricos para as quantidades de interesse f´ısico dos problemas estudados mediante a realiza¸cão de uma implementa¸cão em Matlab.

A implementa¸cão em Matlab possibilitou a obten¸cão de resultados numéricos al-tamente significativos. Entretanto, apesar de facilitar a realiza¸cão da implementa¸cão por possuir comandos pré-programados para a avalia¸cão de algumas fun¸cões, a obten¸cão de re-sultados mais precisos acarreta a demanda de um tempo computacional muito elevado se comparado com o Fortran, por exemplo.

Contudo, o emprego de um esquema da quadratura de Gauss-Kronrod na avalia¸cão numérica das integrais mostrou ser algo que pode contribuir para o desenvolvimento da metodologia, tendo em vista que, através dele, é poss´ıvel obter resultados mais precisos do que mediante a aplica¸cão do esquema de Gauss-Legendre, por exemplo.

Diante da observa¸cão dos resultados numéricos apresentados, pôde-se confirmar al-guns dos aspectos teóricos citados nas bibliografias da área da dinâmica de gases rarefeitos. Entre eles, o efeito da rarefa¸cão do gás sobre o perfil de velocidade.

(54)

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