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aLista de Problemas de Fis403
— F´ısica Geral III —
IFQ/UNIFEI
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oSemestre de 2018
1) Uma ´unica espira circular de raio 8,0 cm feita de cobre, com resistˆencia de 5,0 Ω, envolve coaxi-almente um solen´oide muito longo de raio 1,5 cm. O solen´oide possui 200 espiras por cent´ımetro e ´e percorrido por uma corrente de 1,5 A. A partir do instante t = 0, a corrente na bobina ´e gradu-almente diminu´ıda at´e zero durante um intervalo de tempo de 0,050 s, sendo ent˜ao aumentada at´e 1,5 A no sentido oposto. Suponha a varia¸c˜ao linear em ambas as fases e que n˜ao h´a nenhum intervalo de tempo entre o final de uma e o in´ıcio da outra.
a) Que corrente aparece na espira enquanto a corrente na bobina est´a variando?
b) Como ´e que as cargas livres na espira “recebem a mensagem” que elas devem come¸car a mover-se, a fim de estabelecer a corrente? Afinal, o fluxo magn´etico est´a confinado ao interior do solen´oide!?
Resp: 0,11 mA
2) A figura 1 (p´agina 2) mostra uma haste de cobre deslocando-se sobre trilhos condutores com velocidade v, paralelamente a um fio retil´ıneo muito longo, pelo qual flui uma corrente i. Sendo v = 5,0 m/s, i = 100 A, a = 1,0 cm e b = 20 cm, determine a fem E induzida na haste. Resp: E = µ0i
2πv ln b/a = 0,30 mV.
3) Quando a barra met´alica m´ovel, de comprimemto L = 20 cm, apoiada sobre os trilhos condutores, se desloca para a direita com velocidade v = 60 cm/s, surge no circuito
mostrado, uma corrente induzida i = 2, 0 A no sentido indicado. Este circuito se encontra numa regi˜ao de campo magn´etico uniforme ~B. Sendo R = 6, 0 mΩ e a resistˆencia dos condutores (trilhos,barra, etc.)
desprez´ıvel, calcule: a)
A f.e.m. E induzida;
b) O campo ~B (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido);
c) A for¸ca aplicada sobre a barra para que a mesma se desloque com a velocidade dada. d) A potˆencia el´etrica dissipada em R e a potˆencia desenvolvida pela for¸ca aplicada. Compare os resultados. Resp: a)E = 12mV , b)B = 0,10 T, perpendicular e saindo do plano da folha. c) ~Fap= 4, 0 10−2x N, d) Pˆ e= Pm= 24mW.
4) Um peda¸co de fio semi-circular de raio R se move com velocidade constante v = v0x numa regi˜ˆ ao
onde existe um campo uniforme de indu¸c˜ao B = B0z. Qual ´ˆ e a for¸ca eletromotriz induzida entre as
extremidades do fio? Resp: 2RB0v
5) Dois trilhos met´alicos, r´ıgidos e paralelos ab e cd, tˆem suas extremidades b e d ligadas a uma bate-ria de tens˜ao V0 e
re-sistˆencia interna R, con-forme indicado na figura. Os trilhos estendem-se in-definidamente para a es-querda, como indicado pe-los segmentos pontilhados. Uma barra condutora xy,
de comprimento `, massa m e resistˆencia el´etrica desprez´ıvel, ´e colocada com velocidade inicial nula sobre os trilhos em t = 0. Perpendicularmente ao plano formado pelos trilhos e saindo do plano do papel, existe um campo magn´etico uniforme B. Desprezam-se quaisquer efeitos de atrito entre os trilhos e a barra m´ovel, bem como o efeito da auto-indutˆancia do circuito m´ovel. Determine:
a) a velocidade escalar da barra num instante qualquer t em termos de B, V0, `, R e m; Resp: V0
B` 1 − e
−αt , α =B2`2
b) a corrente el´etrica que flui atrav´es da barra. Resp: V0 R e
−αt
c) Expresse, em termos de B, V0, ` e v as potˆencias: fornecida pela bateria, a mecˆanica da barra e
a dissipada no resistor R, verificando se h´a ou n˜ao conserva¸c˜ao da energia.
6) O gerador homopolar de Faraday consiste num disco de metal que gira em um campo magn´etico uniforme perpendicular ao plano do disco. Mostre que a ddp entre o centro do disco e um ponto da sua periferia ´e dada por E = fΦB, onde ΦB ´e o fluxo atrav´es do disco e f ´e a sua freq¨uˆencia de
rota¸c˜ao.
7) Um anel de raio a e massa M , carregado com carga total Q uniformemente distribu´ıda encontra-se inicialmente em repouso numa regi˜ao, podendo girar sem atrito em torno de seu eixo. Submete-se o anel a um campo magn´etico B uniforme e variante no tempo, cujo valor inicial ´e zero, normal ao plano do anel. Mostre que o anel passa a girar e que a sua velocidade angular em qualquer instante ´e dada por
ω = Q 2MB,
onde B ´e o valor instantˆaneo do campo magn´etico. Mostre que o mesmo resultado ´e obtido para um disco com a mesma massa e a mesma carga total distribu´ıda uniformemente em sua superf´ıcie.
i → v Fig. 1 a b R Fig. 2 P I 3a a a P Fig. 3 I 2a b
8) Um solen´oide cil´ındrico muito longo e de raio a, com n espiras por unidade de comprimento, ´e percorrido por uma corrente el´etrica I, inicialmente constante com valor I0 (Fig.2). Duas espiras
quadradas, sendo uma condutora, de resistˆencia R e aresta a e outra isolante de aresta 3a, s˜ao colocadas perpendicularmente ao eixo do solen´oide, com centro coincidindo com este. No instante t = 0 o circuito que alimenta o solen´oide apresenta um defeito, de modo que a corrente I passa a decair exponencialmente, I = I0e−αt, sendo α uma constante conhecida. Determine a corrente e a
fem (for¸ca eletromotriz induzida) na espira quadrada para t > 0; mostre tamb´em na figura os sentidos das correntes induzidas em cada espira, quando for o caso. Resp: E1= µ0nαI0a2e−αt e i1=E1
R =
µ0nαI0a2e−αt
R para a espira interna (aresta a). Para a espira externa (aresta 3a): E2= µ0πa2nαI0e−αt e i2= 0, pois a espira ´e isolante.
9) Em um solen´oide cil´ındrico de raio b e muito longo a corrente I cresce linearmente de modo que ∂B
∂t = K =−K ˆz. Em torno do solen´oide existe uma bobina quadrada de lado 2a com N espiras (Fig.3), num plano perpendicular ao eixo do solen´oide.
a) O vetor campo el´etrico E no v´ertice inferior esquerdo da espira (ponto P ).
b) A corrente pela bobina (intensidade e sentido), sabendo que o fio que a comp˜oe tem resistˆencia por unidade de comprimento r (Ω/m).
Resp: a) E = √ 2kb2 4a ϕ,ˆ b)I = πkb2 8N ar
10) Um pr´oton encontra-se em repouso a uma distˆancia a do eixo de um solenoide muito longo de raio b > a e densidade de espiras n. Num dado instante, a corrente no solenoide ´e ligada e atinge
rapidamente o seu valor m´aximo I0. Determine a velocidade e o raio de curvatura da trajet´oria do
pr´oton, supondo que a distˆancia percorrida por ele durante o intervalo ∆t em que a corrente varia ´e desprez´ıvel. Resp: v = µ0neaI0
2m , r = a/2
11) Um cilindro diel´etrico de raio a tem seu eixo orientado paralelamente a um campo magn´etico uniforme de indu¸c˜ao B. O cilindro, cujo material tem constante diel´etrica κ, ´e colocado a girar em torno de seu eixo. Determine as densidades superficial e volum´etricas de cargas de polariza¸c˜ao resultantes. Resp: ρP = −2(κ − 1)0ωB, σP = (κ − 1)0ωBa.
12) Uma espira condutora de arestas a e 2a retangular encontra-se disposta com seu menor lado paralelo a um fio retil´ıneo infinito, no mesmo plano e a uma distˆancia a deste. O fio ´e percorrido por uma corrente inicialmente igual a I0. Num determinado instante (t = 0), a circuito que alimenta
o fio apresenta um defeito e a corrente come¸ca a decair exponencialmente, de acordo com I(t) = I0e−αt, onde α ´e uma constante conhecida. Determine: a) O sentido da corrente induzida na espira
retangular. Explique detalhadamente por que e fa¸ca uma figura mostrando o racioc´ınio utilizado; b) a for¸ca sofrida pela espira retangular (considere sua resistˆencia el´etrica igual a R). c) a quantidade total de energia dissipada na espira por efeito Joule. Resp: a) Na aresta mais pr´oxima ao fio, no mesmo sentido da do fio. b) De atra¸c˜ao: µ
2 0I02aα 6π2R e −2αt ln 3. c) µ 2 0I02a2α 8π2R ln 23
13) Um pequeno anel de raio a e momento de dipolo magn´etico m = m ˆz encontra-se na origem do sistema de coordenadas. Um outro anel de raio b < a e resistˆencia R ´e colocado a uma al-tura z a do plano do primeiro, num plano paralelo ao daquele e com eixos coincidentes, sendo ent˜ao solto. Para a fase do movimento em que se pode considerar z >> a , determine a corrente que circula pelo anel em queda quando sua velocidade ´e v. Determine tamb´em a for¸ca magn´etica que atua sobre o anel neste instante. Mostre que ela ´e tal que tende a retardar a queda. Resp: i =3µ0mb 2 2R zv (b2+ z2)5/2, F = 9µ2 0m2b4 4R z2v (b2+ z2)5.
14) Uma espira circular de raio a, resistˆencia R, percorrida por uma corrente I1, encontra-se
inici-almente no plano yz com centro na origem. A uma distˆancia b muito grande dela, uma outra espira idˆentica jaz sobre o mesmo plano com centro em (0,b,0). Determine a for¸ca eletromotriz e a corrente induzidas sobre esta ´ultima se a primeira espira girar com velocidade angular ω constante ao redor do eixo y. Resp: i0=µ0πωI1a
4
b3R sen ωt
15) (Correntes de Foulcault) Um disco condutor de raio a, espessura δ e condutividade σ ´e colocado perpendicularmente a um campo magn´etico sim´etrico, B = B0(t) ˆz para ρ < R e B = 0 para ρ > R,
onde R < a. O eixo de simetria do disco coincide com o eixo de simetria do campo, ou seja, o eixo z. Determine, em todas as regi˜oes, o vetor potencial magn´etico A e o campo el´etrico E induzido. Determine a densidade de corrente induzida no disco e mostre que a potˆencia total nele dissipada ser´a P = πδσ 8 R 4 dB0 dt 2 1 + 4 ln a R .
16) Um anel circular de diˆametro D ´e feito de fio condutor de diˆametro d, condutividade σ e densidade de massa µ. O anel cai de uma altura h ao longo de uma dire¸c˜ao paralela ao eixo z do anel. H´a um campo magn´etico n˜ao uniforme B = B0(1 + βz) ˆz−
1
2B0βρ ˆρ, onde B0 e β s˜ao constantes. Suponha que o anel permane¸ca, durante a queda, sempre paralelo ao plano xy.
a) Usando a lei de Faraday, determine a for¸ca eletromotriz induzida no anel durante a queda; Resp: πD2βB
0v
4
b) Desprezando a resistˆencia do ar, calcule a velocidade terminal do anel em sua queda. Resp: 16µg σβ2B2
17) Uma espira circular de raio a, resistˆencia R e auto-indutˆancia desprez´ıvel, que inicialmente jaz no plano xy com centro na origem, ´e posta a girar com frequˆencia ν em um campo magn´etico uniforme de indu¸c˜ao B = B0sen ωt ˆz, em torno de um de seus diˆametros que ´e perpendicular ao campo (por
exemplo, o eixo y). Determine a corrente induzida na espira, o torque exercido pelo campo sobre ela e a potˆencia necess´aria para manter o movimento. Resp: i0 = πa
2B 0
R [ω cos(ωt) cos(2πνt) − 2πν sen(ωt) sen(2πνt)], τ = − ˆy(πa
2B 0)2
R sen(ωt) sen(2πνt)i
0[ω cos(ωt) cos(2πνt) − 2πν sen(ωt) sen(2πνt)], P
mec= 2πντ
18) Um dipolo magn´etico de m´odulo m ´e colocado no eixo de uma espira circular fixa de raio a, resistˆencia R e auto-indutˆancia L, a uma distˆancia h do seu centro e com seu vetor momento de dipolo alinhado com o eixo da espira. O dipolo sofre pequenas oscila¸c˜oes longitudinais b sen ωt, b h ao redor de sua posi¸c˜ao inicial. Determine aproximadamente a corrente induzida em fun¸c˜ao do tempo e a m´axima for¸ca sobre a espira, depois de ter sido atingido o regime estacion´ario. Resp: i = 3ma 2ωhb µ0(a2+ h2)5/2 ωL sen ωt + R cos ωt R2+ ω2L2 , Fmax= 9a4m2ωh2b µ2 0(a2+ h2)5(R2+ ω2L2)
19) Dois indutores muito distantes s˜ao ligados a) em s´erie; b) em paralelo. Determine a indutˆancia equivalente em cada caso. Por que a distˆancia entre eles deve ser grande? Resp: a) L1+ L2, b)
L1L2
L1+ L2
20) Mostre que a auto-indutˆancia por unidade de comprimento de um fio condutor retil´ıneo muito longo de raio a, associada apenas ao fluxo no interior do fio ´e dada por µ0/8π (independente do
seu raio). Sugest˜ao: Use a express˜ao para a energia magn´etica armazenada.
21) Um cabo coaxial ´e constitu´ıdo por um cabo condutor central de raio a e uma casca cil´ındrica de raio b, com eixo coincidente com o cabo interno, sendo ambos muito longos. A corrente est´a uniformemente distribu´ıda ao longo da se¸c˜ao reta do cabo interno e, na casca, possui o mesmo m´odulo, mas flui no sentido oposto. Determine a indutˆancia desse dispositivo por unidade de comprimento.
Resp: L l = µ0 8π+ µ0 2πln b a
22) Uma linha de transmiss˜ao ´e constituida por dois condutores muito longos de raio a, separados por uma distˆancia d. Determine a auto-indutˆancia por unidade de comprimento deste sistema supondo que d a, de modo que o fluxo dentro dos condutores possa ser desprezado. Resp: L
l = µ0
π ln d − a
a
23) Determine a auto-indutˆancia de um solen´oide de diˆametro D, comprimento l e N espiras. Des-preze o efeito das bordas (distor¸c˜ao das linhas de indu¸c˜ao pr´oximo `as extremidades do solen´oide).
Resp: L = π 4lµ0N
2D2
24) Um solen´oide muito longo de N espiras, raio a e auto-indutˆancia L, percorrido por uma corrente I0, ´e disposto coaxialmente a uma espira circular de raio b > a e resistˆencia R. Num dado momento
(t = 0), a bateria que alimenta a bobina apresenta um defeito e a corrente passa a decair exponen-cialmente, I = I0e−αt. Determine a corrente na espira em fun¸c˜ao do tempo. Resp: i =αI0Le
−αt
N R .
25) Um condutor de diˆametro d = 1, 25 mm e resistˆencia r = 1, 36.10−2Ω/m deve ser usado para construir um solen´oide cil´ındrico de comprimento l = 20, 0 cm e diˆametro D = 4, 0 cm. O enrolamento ´e feito em uma ´unica camada e de modo que as espiras fiquem bem juntas entre si. Determine: a) o campo magn´etico estabelecido na regi˜ao central do solen´oide quando ele ´e conectado a uma bateria de 12 V, quando a corrente j´a estiver se estabilizado;
b) a auto-indutˆancia da bobina. Resp: a) B = 441 G b) 0, 202 mH.
26) Sejam dois condutores, um retil´ıneo, muito longo e outro na forma de uma espira retangular, com dimens˜oes a e b, localizada a uma distˆancia d do fio retil´ıneo, sendo que a aresta b ´e paralela ao fio (toda a espira e o fio infinito est˜ao contidos num mesmo plano). Determine a indutˆancia m´utua entre estes dois elementos. Resp: M = µ0b
2π ln d + a
d
Em torno da regi˜ao central do solen´oide encontra-se enrolada uma pequena bobina com N2 espiras. Determine:
a) A auto-indutˆancia do solen´oide.
b) A indutˆancia m´utua entre o solen´oide e a bobina.
c) A fem induzida na bobina quando a corrente no solen´oide varia de acordo com
dI dt = γ,
sendo γ uma constante positiva. Resp: a) L = µ0
N12 l πa 2, b) M = µ 0 N1 l N2πa 2, c)E = µ 0 N1 l N2πa 2γ.
28) Duas pequenas espiras circulares de raios a e b, b < a, encontram-se separadas por uma distˆancia R >> a entre seus centros. Determine a indutˆancia m´utua entre elas nos seguintes casos: a) as espiras encontram-se sobre o mesmo eixo e s˜ao paralelas entre si; b) as espiras situam-se no mesmo plano.
Resp: a) −µ0πa
2b2
2R3 , b)
µ0πa2b2
4R3
29) Determine as indutˆancias m´utuas entre duas espiras circulares concˆentricas e coplanares, de raios a e b, sendo b >> a, comprovando que M12 = M21.
30) Um capacitor de placas circulares planas, ambas de raio a, paralelas entre si, montadas a uma distˆancia b uma da outra, b << a, ´e alimentado por uma fonte de tens˜ao alternada de tens˜ao m´axima V0, frequˆencia angular ω e resistˆencia interna R. Desprezando efeitos de borda no capacitor,
determine, no seu interior: a) O campo el´etrico E.
b) A densidade de corrente de deslocamento e a corrente total de deslocamento. c) O campo magn´etico B.
31) Uma corrente alternada i(t) = I0cos ωt flui ao longo de um fio retil´ıneo infinito e retorna atrav´es
de uma casca de raio a coaxial a ele. Tanto o fio como a casca possuem espessuras desprez´ıveis. a) Qual a dire¸c˜ao do campo el´etrico induzido?
b) Supondo que o campo se anule para ρ→ ∞, determine E(ρ, t).
c) Determine a densidade de corrente de deslocamento Jd em todo o espa¸co e a corrente total de
deslocamento Id.
d) Para a = 2 mm, quanto deve ser a frequˆencia angular ω para que a corrente de deslocamento represente 1% da corrente de condu¸c˜ao no fio?
Resp: E = µ0ωI0 2π sen ωt ln a ρˆz, Jd= ω2I 0 2πc2cos ωt ln a
ρz, para ρ < a, ambos nulos fora dele. Iˆ d= ωa
2c 2
I0cos ωt. d) ≈ 50 GHz.
32) Uma onda eletromagn´etica plana de frequˆencia 2,0.109Hz se propaga atrav´es do v´acuo ao longo do eixo y de um sistema, com campo el´etrico de amplitude 2,5 V/cm ao longo do eixo x e fase inicial nula. Escreva a express˜ao do camppo magn´etico dessa onda. Repita, considerando o meio como um diel´etrico de ´ındice de refra¸c˜ao 1,5.
