Deslocamento. Mecânica dos Sólidos I

Deslocamento

x y z P Q

Deslocamento

x y z P P′ P u Q Q′ Q u Translação

Deslocamento

x y z P P′ P u Q Q′ Q u Translação + Rotação

Deslocamento

x y z P P′ P u Q Q′ Q u

Deslocamento

x y z ) , , (x y z P P′ ) , , (x y z u

k

j

i

u

(

x

,

y

,

z

)

=

u

_x

(

x

,

y

,

z

)

+

u

_y

(

x

,

y

,

z

)

+

u

_z

(

x

,

y

,

z

)

Deslocamento

Deslocamento é uma grandeza vetorial (o campo de deslocamentos):

u

_x,

u

_y, e

u

_z são as componentes do vetor deslocamento nas direções x, y e z.

k

j

i

Deformação – 1D

Medidas de Deformação 1) Lagrangeana 2) Euleriana 3) Logaritimica i

L

∆

_L

f

L

i i i f L L L L L L ∆ = − = ε f f i f E L L L L L ∆ = − = ε ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = i f L L ln log ε

Deformação – 1D

i

L

∆

_L

f

L

i i i f L L L L L L ∆ = − = ε f f i f E L L L L L ∆ = − = ε ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = i f L L ln log ε _69,3%50% _{- 69,3%}-100% _0,10%0,10% _{- 0,10%}- 0,10% - 0,10% 0,10% - 50% 100% 0,999 m 1,001 m 0,5 m 2,0 m 1,0 m 1,0 m 1,0 m 1,0 m i L f L log ε E ε L ε Grandes deformações Pequenas deformações

Deformação – 2D

Não há distorção do elemento

Deformação – 2D

Não há distorção do elemento

Deformação – 2D

Há distorção no elemento (cisalhamento)

Deformação – 2D

Há distorção no elemento (cisalhamento)

Deformação – 2D

Medida de Deformação – Relações entre

deslocamentos e deformações

D

A

C

Deformação – 2D

Medida de Deformação – Relações entre

deslocamentos e deformações A′ B′ C′ D′ HIPÓTESE Pequenas Deformações e Rotações! D A C B

C

Deformação – 2D

A′ B′ C′ D′ D A B x y x y x ∆ y ∆ AB AB B A x xx − ′ ′ = → ∆lim0 ε AD AD D A y yy − ′ ′ = → ∆lim0 ε

(

BAD B A D

)

y x xy = ∠ −∠ ′ ′ ′ → ∆ → ∆ 0 0 lim γ

Deformação – 2D

A′ B′ C′ D′ D A C B x y x y x ∆ y ∆ A u B u C u D u j i u_A = u_x(x, y) +u_y(x, y) j i u_B = u_x(x + ∆x, y) +u_y(x + ∆x, y) j i u_D = u_x(x, y + ∆y) +u_y(x, y + ∆y) Deslocamentos

Deformação – 2D

x y ) , (x x y u_x + ∆ A′ B′ C′ D′ D C B x ∆ A u B u ) , (x y u_x A HIPÓTESE Pequenas Deformações e Rotações!

Deformação – 2D

[

]

[

]

[

]

[

]

x u x x x x u x x x u x y x u x x u y x u x B A x x u y x u y x x u y x u y x x u x B A x AB AB AB B A x x x xx x x x x x x x x x x xx ∂ ∂ = ∆ ∆ − ∆ ∂ ∂ + ∆ = ∆ ∂ ∂ + ∆ = − ∆ ∂ ∂ + + ∆ = ′ ′ ∆ ∂ ∂ + ≈ ∆ + − ∆ + + ∆ = ′ ′ ∆ = − ′ ′ = → ∆ → ∆ ) ( lim ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( lim 0 0 ε ε

Deformação – 2D

x y A′ B′ C′ D′ D C B A u ) , (x y u_y A HIPÓTESE Pequenas Deformações e Rotações! D u ) , (x y y u_y + ∆ y ∆

Deformação – 2D

[

]

[

]

[

]

[

]

y u y y y y u y y y u y y x u y y u y x u y D A y y u y x u y y x u y x u y y x u y D A y AD AD AD D A y y y yy y y y y y y y y y y yy ∂ ∂ = ∆ ∆ − ∆ ∂ ∂ + ∆ = ∆ ∂ ∂ + ∆ = − ∆ ∂ ∂ + + ∆ = ′ ′ ∆ ∂ ∂ + ≈ ∆ + − ∆ + + ∆ = ′ ′ ∆ = − ′ ′ = → ∆ → ∆ ) ( lim ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( lim 0 0 ε ε

2 γ 1 γ A′ B′ C′ D′ D C B A

Deformação – 2D

x y

(

)

_{1 2} 0 0 lim γ γ γ = ∠ −∠ ′ ′ ′ = + → ∆ → ∆ BAD B A D y x xy

2 γ A′ B′ C′ D′ D C B A

Deformação – 2D

) , (x y u_y ) , (x x y u_y + ∆ 1 γ ) , ( ) , (x x y u x y u_y + ∆ − _y x y x u y x x u_{y y} ∆ − ∆ + ≈ ( , ) ( , ) tanγ₁

A′ B′ C′ D′ D C B A

Deformação – 2D

) , (x y u_y 1 γ ) , ( ) , (x y y u x y u_x + ∆ − _x y y x u y y x u_{x x} ∆ − ∆ + = ( , ) ( , ) tanγ₂ ) , (x y u_x ) , (x y y u_x + ∆ 2 γ

Deformação – 2D

x u x x u y x u y x x u x y x u y x x u y y y y y y ∂ ∂ = ∆ ∂ ∂ + ≈ ∆ + ∆ − ∆ + = ≈ 1 1 1 ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( tan γ γ γ y u y y u y x u y y x u y y x u y y x u x x x x x x ∂ ∂ = ∆ ∂ ∂ + ≈ ∆ + ∆ − ∆ + = ≈ 2 2 2 ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( tan γ γ γ x u y u_x y xy ∂ ∂ + ∂ ∂ = + = γ₁ γ₂ γ

Deformação – 2D

Medida de Deformação – Relações entre

deslocamentos e deformações A′ B′ C′ D′ D A C B ) ( 2 1 2 1 x u y u y u x u y x xy xy y yy x xx ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ = ∂ ∂ = γ ε ε ε

Deformação – 2D

Medida de Deformação – Mudança do sistemas

de coordenada A′ B′ C′ D′ D A C B A′ B′ C′ D′ D A C B θ x y x′ y′ x u y u y u x u y x y x y y y x x x ′ ∂ ′ ∂ + ′ ∂ ′ ∂ = ′ ∂ ′ ∂ = ′ ∂ ′ ∂ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ γ ε ε

Deformação – 2D

Medida de Deformação – Mudança do sistemas

de coordenada x y y u x x x u y y y u y x x u x u y u y y y u y x x u y u x y y u x x x u x u y y x x y x y x y y y y y x x x x x ′ ∂ ∂ ∂ ′ ∂ + ′ ∂ ∂ ∂ ′ ∂ + ′ ∂ ∂ ∂ ′ ∂ + ′ ∂ ∂ ∂ ′ ∂ = ′ ∂ ′ ∂ + ′ ∂ ′ ∂ = ′ ∂ ∂ ∂ ′ ∂ + ′ ∂ ∂ ∂ ′ ∂ = ′ ∂ ′ ∂ = ′ ∂ ∂ ∂ ′ ∂ + ′ ∂ ∂ ∂ ′ ∂ = ′ ∂ ′ ∂ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ γ ε ε

Deformação – 2D

θ x y x′ y′ θ θ θ θ sin sin sin cos y x y y x x ′ + ′ = ′ − ′ = x′ y′ y x

Deformação – 2D

θ x y x′ y′ θ θ θ θ cos sin sin cos y x y y x x v v v v v v + − = ′ + = ′ x v′ y v′ y v x v v

Deformação – 2D

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ε cos sin sin cos sin sin cos cos sin cos 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ′ ′ x u y u y u x u y u y u x u x u y x y x y x y x x x θ θ γ θ ε θ ε

ε_x′x′ = _xx cos2 + _yy sin2 + _xy sin cos

θ γ θ ε ε ε ε ε sin 2 2 1 2 cos 2 2 xy yy xx yy xx x x + − + + = ′ ′ θ ε θ ε ε ε ε ε cos2 sin2 2 2 xy yy xx yy xx x x + − + + = ′ ′

Deformação – 2D

Medida de Deformação – Mudança do sistemas

de coordenada θ ε θ ε ε ε ε ε cos2 sin 2 2 2 xy yy xx yy xx x x + − + + = ′ ′ θ ε θ ε ε ε ε ε cos2 sin 2 2 2 xy yy xx yy xx y y − − − + = ′ ′ θ ε θ ε ε γ ε sin2 cos2 2 2 1 xy yy xx y x y x + − − = = _{′ ′} ′ ′

Deformação – 3D

Tensor de Deformação

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = zz yz xz yz yy xy xz xy xx ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε x u_x xx ∂ ∂ = ε y u_y yy ∂ ∂ = ε z u_z zz ∂ ∂ = ε ) ( 2 1 2 1 x u y u_x y xy xy ∂ ∂ + ∂ ∂ = = γ ε ( ) 2 1 2 1 x u z u_{x z} xz xz ∂ ∂ + ∂ ∂ = = γ ε ) ( 2 1 2 1 y u z u_{y z} yz yz ∂ ∂ + ∂ ∂ = = γ ε

Medida Experimental de Deformações

Técnicas para medida de deformação

– Mecânicas – Elétricas – Ópticas – Acústicas

Medida Experimental de Deformações

Extensômetros Elétricos Resistivos

Filme protetor

Grid de material metálico (elemento sensor)

Medida Experimental de Deformações

A

L

R

=

ρ

R – Resistência r – Resistividade

L – Comprimento do fio metálico A – Área

Extensômetros Elétricos Resistivos

Medida Experimental de Deformações

Extensômetros Elétricos Resistivos

ε

g

S

R

R =

∆

Extensômetros uniaxiais

Medida Experimental de Deformações

θ ε θ ε ε ε ε θ ε cos2 sin2 2 2 ) ( = xx + yy + xx − yy + _xy

Extensômetros triaxiais (rosetas extensométricas)

Medida Experimental de Deformações

Roseta a 45° x y xx A ε ε ε = (0°) = ) 45 ( ° = ε ε_B ) 45 (− ° = ε ε_C θ ε θ ε ε ε ε θ ε cos2 sin2 2 2 ) ( = xx + yy + xx − yy + _xy

Medida Experimental de Deformações

Roseta a 45° xy yy A xy yy A yy A C xy yy A xy yy A yy A B ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε − + = ° − + ° − − + + = + + = ° + ° − + + = 2 ) 90 sin( ) 90 cos( 2 2 2 ) 90 sin( ) 90 cos( 2 2 2 C B xy A C B yy A xx ε ε ε ε ε ε ε ε ε − = − + = = x y xx A ε ε ε = (0°)= ) 45 ( ° =ε ε_B ) 45 (− ° =ε ε_C

Relação Tensão vs. Deformação

Lei de Hooke Generalizada

– Material Isotrópico – Material Elástico – Material Linear

Relação Tensão vs. Deformação

Ensaio de Tração

Relação Tensão vs. Deformação

Figuras reproduzidas de:

Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of

Relação Tensão vs. Deformação

Figuras reproduzidas de:

Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of

Regime Plástico Regime Elástico S_y 0,2% σ = F/A ε = δ/L S_u F F F F

Relação entre Tensão e Deformação

Relação Tensão vs. Deformação

P

Relação Tensão vs. Deformação

Deformação longitudinal P 0 L L L₀ + ∆ E A P L L L L σ ε σ ε = = ∆ = ₀

P

Relação Tensão vs. Deformação

Deformação transversal P D0 + ∆D ) ( ) ( ₀ 0 0 E L L D D D D L T T σ ν νε ε ν ε − = − = ∆ − = ∆ ∆ = 0 D

Relação Tensão vs. Deformação

y

x

z

y

x

z

Relação Tensão vs. Deformação

Estado uniaxial de tensão (direção x)

xx

σ

xx

σ

E E E xx zz xx yy xx xx

σ

ν

ε

σ

ν

ε

σ

ε

− = − = =

Relação Tensão vs. Deformação

y

x

z

y

x

z

Relação Tensão vs. Deformação

Estado uniaxial de tensão (direção y)

yy

σ

yy

σ

E E E yy zz yy yy yy xx

σ

ν

ε

σ

ε

σ

ν

ε

− = = − =

Relação Tensão vs. Deformação

y

x

z

Relação Tensão vs. Deformação

Estado uniaxial de tensão (direção y)

σ

zz

σ

E E E zz zz zz yy zz xx

σ

ε

σ

ν

ε

σ

ν

ε

= − = − = y x z

Relação Tensão vs. Deformação

Estado triaxial de tensão (emprega-se o princípio da superposição): y x z y x z zz

σ

zz

σ

yy

σ

yy

σ

σ

xx xx

σ

E E E E E E E E E zz yy xx zz zz yy xx yy zz yy xx xx

σ

σ

ν

σ

ν

ε

σ

ν

σ

σ

ν

ε

σ

ν

σ

ν

σ

ε

+ − − = − + − = − − =

Relação Tensão vs. Deformação

Cisalhamento puro (plano xz)

y

x

Relação Tensão vs. Deformação

y x z xz

σ

xz

σ

G xz xz xz 2 2 1

_γ

σ

ε

= =

Relação Tensão vs. Deformação

Cisalhamento puro (plano yz)

y

x

Relação Tensão vs. Deformação

y x z yz

σ

yz

σ

G yz yz yz 2 2 1

_γ

σ

ε

= =

Relação Tensão vs. Deformação

Cisalhamento puro (plano xy)

y

x

Relação Tensão vs. Deformação

y x z xy

σ

xy

σ

G xy xy xy 2 2 1

_γ

σ

ε

= =

Relação Tensão vs. Deformação

G G G yz yz yz xz xz xz xy xy xy 2 2 1 2 2 1 2 2 1

σ

γ

ε

σ

γ

ε

σ

γ

ε

= = = = = =

Relação Tensão vs. Deformação

Acoplamento entre tensões longitudinais e deformações cisalhantes xx

σ

xx

σ

x y z b c d a

Relação Tensão vs. Deformação

Supondo-se que exista o acoplamento: xx

σ

xx

σ

x y z 0 > xz

γ

b c d a

Relação Tensão vs. Deformação

Considerando uma rotação do bloco de 180° em torno de x: xx

σ

x y z ° 180 d a b c xx

σ

Relação Tensão vs. Deformação

Material é isotrópico, logo a deformação cisalhante deveria ser idêntica à verificada antes da rotação. x y z d a b c ° 180 xx

σ

xx

σ

0 < xz

γ

xx σ xx σ x y z 0 > xz γ b c d a xx σ xx σ x y z 0 > xz γ b c d a x y z d a b c ° 180 xx σ xx σ 0 < xz γ x y z d a b c ° 180 xx σ xx σ 0 < xz γ

Relação Tensão vs. Deformação

Para materiais isotrópicos, tensões normais não

produzem deformações cisalhantes. Pode-se mostrar que tensões cisalhantes também não produzem

Relação Tensão vs. Deformação

Equações constitutivas para material isotrópico, linear (pequenas deformações) e elástico

E E E E E E E E E zz yy xx zz zz yy xx yy zz yy xx xx σ σ ν σ ν ε σ ν σ σ ν ε σ ν σ ν σ ε + − − = − + − = − − = G G G yz yz yz xz xz xz xy xy xy 2 2 1 2 2 1 2 2 1 σ γ ε σ γ ε σ γ ε = = = = = =

Relação Tensão vs. Deformação

Considerando variações de temperatura:

T E E E T E E E T E E E zz yy xx zz zz yy xx yy zz yy xx xx ∆ + + − − = ∆ + − + − = ∆ + − − = α σ σ ν σ ν ε α σ ν σ σ ν ε α σ ν σ ν σ ε G G G yz yz yz xz xz xz xy xy xy 2 2 1 2 2 1 2 2 1 σ γ ε σ γ ε σ γ ε = = = = = =