Séries Numéricas:
Séries numéricas infinitas, operador Sigma. Séries convergentes e
divergen-tes. Soma de uma série numérica. Séries geométricas, soma dos primeiros
n
termos de uma série geométrica. Critérios de convergência para séries
de termos positivos: critérios da comparação, de d’Alembert e de Cauchy.
Séries alternadas, convergência absoluta e condicional. Séries de sinais
quaisquer.
Integrais:
Cálculo aproximado de áreas, função área A(x) da região definida pelo
gráfico deuma função f (x) e o eixo das abcissas, relação entre A(x) e f (x).
Função primitiva. Integral indefinido de uma função. Primitivas de algumas
funções elementares. Integral definido (de Riemann), Teorema
Fundamen-tal do Cálculo. Primitivação por substituição e por partes.
Séries de Potências:
Polinómios, expansão de polinómios e potências de (x − a). Séries de
Ma-cLaurin das funções sen(x), cos(x), e
x. Expansão de funções em séries de Taylor
em torno de um ponto x = a, raio e intervalo de convergência. Polinómio de
Taylor. Derivação e integração de séries de potências. Fórmula de Euler,
sim-plificação de integrais de funções do tipo e
axcos(kx), e
axsen(kx), cos(ax)sen(bx)
usando a fórmula de Euler; obtenção de algumas relações trigonométricas
usando a fórmula de Euler.
Séries de Potências:
Representação de um ponto do espaço num sistema cartesiano 3D
plani-ficado. Domínio e imagem de uma função de duas (n) variáveis. Gráfico
de uma função de duas (n) variáveis. Equações cartesianas do plano e
de algumas quádricas. Representação cartesiana de curvas no espaço.
Topologia do plano, região do plano, pontos interiores, exteriores e de
fronteira de uma região do plano. Limite de uma função de duas variáveis
num ponto. Continuidade de funções de duas variáveis num ponto e numa
região do plano. Derivadas Parciais de primeira e segunda ordens de
fun-ções de duas variáveis, Teorema de Schwarz.
Exercícios de Linguagem Matemática
Exercício 3.1 Sequências numéricas: termo geral.
Determinar os termos gerais das sequências, começando em n = 1. (a) 1, 1 3, 1 27, · · · (b) 1 2, 3 4, 5 6, · · · (c) 1, 1.2.3, 1.2.3.4.5, · · · Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.2 Séries Geométricas.
Verificar se as séries convergem. Se for o caso, calcular a sua soma.
(a) ∞
∑
1 1 4n (b) ∞∑
1 4n−1 (c) ∞∑
1 (−3/2)n+1 (d) ∞∑
3 4n−1 7n+2 Leitura:Vídeos: Soluções:Exercício 3.3 Séries numéricas: estudo da convergência. Estudar a convergência das séries.
(a) ∞
∑
1 1 6 + n (b) ∞∑
1 (1 + 1/n)n (c) ∞∑
1 n/en2 (d) ∞∑
1 n2sen2(1/n) (e) ∞∑
2 1 3 √ n5 ( f ) ∞∑
3 1 4 √ n (g) ∞∑
3 1 n! (h) ∞∑
3 1/(5n + 2) (i) ∞∑
2 1 (2n + 3)17 ( j) ∞∑
3 n n2+ 1 (l) ∞∑
3 3n n! (m) ∞∑
3 (k/100)k Leitura:Vídeos: Soluções:Exercício 3.4 Séries numéricas alternadas: convergência absoluta. Estudar a convergência absoluta das séries.
(a) ln(1/2) + ln(2/3) + ln(3/4) + · · · (b) ln(1 − 1/4) + ln(1 − 1/9) + ln(1 − 1/16) + · · · (c) 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − · · · (d) 1 − 1/2 − 1/22+ 1/23− 1/24+ 1/25− · · · (e) ∞
∑
1 cos(n) n2 ( f ) ∞∑
1 (−1)n2n n! Leitura:Vídeos: Soluções:Escrever usando um integral. (a) d dx p 1 + x2=√ x 1 + x2 (b) d dx(xe x) = (x + 1)ex (c) d dx(tan(x)) = sec 2(x) (d) d dx bx ln(b) = bx Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.6 Integral indefinido. Calcular os integrais indefinidos.
(a) Z (3x3− 4√x)dx (b) Z (2x − 3)dx (c) Z et 2 + √ t+1 t dt (d) Z ex− e−xdx (e) Z 1 x3dx ( f ) Z (2x2− 3)2dx (g) Z 1 √ x+ x√3 3 ! dx (h) Z x3√xdx (i) Z x5+ 2x2− 1 x4 dx ( j) Z x13 x dx (k) Z dy (2 + y)2 (l) Z 1 xln(x)dx Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.7 Integral indefinido.
Calcular os integrais indefinidos (usar a tabela de primitivas, se necessário). (a) Z x2 x2+ 1dx (b) Z x2+ 1 x2 dx (c) Z sen(t) cos2(t)dt (d) Z
cos(θ )tan(θ )dθ (e)
Z ln(x) xln(x2)dx ( f ) Z (2x2+ 2x − 3)10(2x + 1)dx (g) Z (x3− 2)91 7x 2dx (h)Z x 5 √ x2− 1dx (i) Z ex ex+ 4dx ( j) Z (x2+ 1)502xdx (k) Z excos(2ex)dx (l) Z arcsen(t) 2√1 − t2dt Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.8 Integral indefinido.
Calcular os integrais indefinidos (usar a tabela de primitivas, se necessário). (a) Z (4sec2(x) + csc(x)cot(x))dx (b) Z sec(x)(sec(x) + tan(x))dx (c) Z θ + 2 sen2(θ ) dθ (d) Z 1 1 + sen(x)dx (e) Z sen2x 2 dx ( f ) Z cos2x 2 dx Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.9 Primitivação por substituição. Primitivar por substituição.
(a) Z −2xe−x2dx, u = −x2 (b) Z x x+ 1dx, u = x + 1 (c) Z 1 + x 1 +√xdx, x = u 2 (d)Z 5xp 1 − x2dx, u = 1 − x2 (e) Z cot(x)csc2(x)dx, u = cot(x) ( f ) Z
(1 + sen(t))9cos(t)dt, u = 1 + sen(t) Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.10 Primitivação por substituição. Primitivar por substituição.
(a) Z e √ y √ ydy (b) Z √ exdx (c) Z x (4x2+ 1)3dx (d) Z
tan3(5x)sec2(5x)dx (e) Z 1
exdx ( f ) Z
senn(a + bx)cos(a + bx)dx, n ∈ N
Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.11 Integral definido.
Calcular os integrais definidos. Identificar aqueles que correspondem ao cálculo de uma área e fazer um esboço das regiões do plano correspondentes.
(a) Z 3 0 xdx (b) Z 0 −1 xdx (c) Z 4 −1 xdx (d) Z π 0 cos(x)dx (e) Z 2π 0 cos(x)dx ( f ) Z 2 −1 |2x − 3| dx (g) Z 1 0 tan−1(x)dx (h) Z 1 0 sen−1(x)dx (i) Z cos4(x)dx ( j) Z 3 1 √ x tan−1(√x)dx (k) Z π 0 (x + xcos(x))dx (l) Z 2 −1x p 8 − x2dx (m) Z 3 1 x−1+√2ex− csc(x)cot(x)dx (n) Z 3π/4 0 |cos(x)| dx (o) Z 1 −1 |ex− 1| dx Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.12 Séries de funções: convergência.
Encontrar todos os valores de x para os quais as séries convergem e determinar as somas das séries para esses valorres de x. (a) x − x3+ x5− x7+ x9+ · · · (b) 1 x2+ 2 x3+ 4 x4+ 8 x5+ 16 x6+ · · · (c) e−x+ e−2x+ e−3x+ e−4x+ e−5x+ · · · Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.13 Séries de potências.
Desenvolver em série de potências de x e de x + 3 a função y =10+x1 . Indicar os intervalos de convergência. Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.14 Séries de potências.
Desenvolver em séries de potências de x e de x − 2 e indicar os intervalos de convergência.
(a) y = ex (b) y = x + 3x3− x3 (c) y = ex−1 (d) y = sen(2x) Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.15 Funções de várias variáveis: gráfico.
Fazer um esboço dos gráficos das funções num referencial tridimensional. Indicar, para cada caso, um ponto (x, y, z) do espaço que pertença à superfície (ou à curva) definida.
(a) x = 0 (b) z = 4 (c) y = −5 (d) 3x − 2y + z = 2 (e) x2+ y2+ z2= 9 ( f ) x2+ (y − 3)2+ z2= 9 (g) ( x2+ y2+ z2= 9 z= 1 (h) z = x 2 (i) y = x2 ( j) ( y= x2 z= 1 (k) ( y2= x2+ z2 y= 1 (l) ( z2+ x2= 25 y= 1 Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.16 Funções de várias variáveis: domínio.
Esboçar o domínio natural de f . Para cada caso, indicar um ponto interior, um ponto exterior e um ponto de fronteira do domínio. (a) f (x, y) = ln(1 − x2− y2) (b) f (x, y) =p x2+ y2− 4 (c) f (x, y) = 1 x− y2 (d) f (x, y) = xe− √ y+2 (e) f (x, y) = √ 4 − x2 y2+ 3 ( f ) f (x, y) = x+ y x+ y Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.17 Funções de várias variáveis: continuidade. Justificar que cada função é contínua no seu domínio de definição.
(a) z = y ln(x) (b) z =√x− y (c) z = e1−xy (d) z =4 − x 2 y2+ 3 Leitura:Vídeos: Soluções:
Determinar ∂ z/∂ x e ∂ z/∂ y.
(a) z = 2xy − 4x + 6y − y2 (b) z = 5x3y2+ (2x − 1)(3y + 2) − x2 (c) z = 2x3y−2y 3x
Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.19 Funções de várias variáveis: derivadas parciais. Seja f (x, y) = 4x − 2y + x3y4. Determinar as derivadas parciais indicadas.
(a) fxx (b) fyy (c) fxy (d) fyx
Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.20 Funções de várias variáveis: derivadas parciais. Seja f (x, y) = 6xy − 2xy2. Determinar as derivadas parciais indicadas.
(a) ∂2f/∂ x2 (b) ∂2f/∂ y2 (c) ∂2f/∂ x∂ y (d) ∂2f/∂ y∂ x Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício 3.21 Funções de várias variáveis: variação direccional.
Caracterizar a variação das funções (crescente, decrescente, estacionária) nos pontos indicados, na direcção do eixo dos xx e na direcção do eixo dos yy.
(a) z = 2x − 7 + y, (x, y) = (0, 0) (b) z = x2− y, (x, y) = (−1, −1) (c) z =p1 − xy, (x, y) = (1/2, 1) (d) z = ln(2x2+ y), (x, y) = (−1, 2) Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercícios de Aplicação
Exercício Prático 3.1 Problema de Cinemática (= posição, velocidade, aceleração, sem considerar as
for-ças envolvidas).
Um automóvel acelera em linha recta dos 0 km/h aos 100 km/h em 12 segundos, afastando-se de um ponto A. A distância inicial do automóvel em relação ao ponto A é de 150 m. Supôr que a aceleração é constante.
(a) Quanto tempo leva o carro a atingir os 100 km/h?
(b) Qual a distância percorrida pelo automóvel nesse intervalo de tempo?
(c) Qual a lei de movimento do automóvel relativamente ao ponto A, supondo que a aceleração se anula quando é atingida a velocidade de 100 km/h?
Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício Prático 3.2 Energia Potencail Gravítica, velocidade, deslocamento.
Um corpo de massa m = 1 kg é disparado na vertical, desde a superfície da Terra, com a velocidade de V0m/s. Desprezar o atrito do ar. Escrever a expressão para a altura máxima atingida pelo corpo. Verificar que a altura máxima atingiga é independente da massa do corpo.
(a) Escrever a expressão para a altura máxima atingida pelo corpo. Verificar que a altura máxima atingiga é independente da massa do corpo.
(b) Escrever a lei de movimento do corpo. Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício Prático 3.3 Energia Potencail Elástica armazenada numa mola.
Uma mola com rigidez 800 N/m é comprimida 2 cm. Qual a energia potencial alástica armazenada pela mola comprimida?
Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício Prático 3.4 Aceleração, velocidade, deslocamento, energia.
Uma caixa de massa m = 2 kg está em repouso no cimo de uma rampa (figura 3.1). A rampa tem o comprimento de l = 50 m. O ângulo que a rampa faz com a horizontal é θ = 40o. No instante t = 0 s a carga é libertada e começa a deslizar, sem atrito, sob o efeito da gravidade da Terra. Despreza-se o atrito do ar (supor, para efeito dos cálculos, que a massa é pontual).
(a) Qual a lei de movimento da massa?
(b) Quanto tempo leva a massa a chegar ao fundo da rampa.
(c) Qual a velocidade com que a massa chega ao fim da rampa. Mostrar que a velocidade com que a massa chega ao solo é a mesma, quer a massa deslize sobre a rampa, quer seja largada e a queda se efetue na vertical.
(d) Se no fim da rampa estiver uma mola com rigidez k = 1500n/m, qual é a compressão máxima ∆x a que é sujeita pelo impacto da massa?
Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício Prático 3.5 Impedância de uma indutância.
Na figura 3.2, v(t)I = 3cos(100πt) volts. Determinar a tensão V aos terminais da indutância L. Representar I e V no mesmo gráfico.
(a) Determinar a corrente i(t) que percorre a indutância L. (b) Determinar a impedância da indutância L.
θ
Figura 3.1: (Crédito: Peter Grill -tex.stacexchange.com)
(c) Para que frequência angular ω da tensão a indutância apresenta uma impedância de z = 150 Ω? (d) Determinar a energia potencial magnética armazenada na indutância no intervalo de tempo [0, 1]. Leitura:Vídeos: Soluções: + − V I L 1 mH + − Figura 3.2:
Exercício Prático 3.6 Energia potencial eléctrica armazenada num condensador.
Na figura 3.3, V = 3cos(100πt) volts, com t em segundos. Determinar a energia potencial eléctrica armazenada no condensador no intervalo de tempo [0, 1]corrente I.
Leitura:Vídeos: Soluções: + − V I C 20 µF + − Figura 3.3: Condensador C.
Exercício Prático 3.7 Energia Potencial Gravítica, velocidade, deslocamento.
Uma pessoa com massa 80 kg está em cima de uma balança de mola. A mola da balança é comprimida 1 cm devido ao peso da pessoa. De súbito a pessoa dá um sa to na vertical, elevando-se 40 cm relativamente ao topo da balança.
(b) Qual a velocidade de ascensão da pessoa no momento em que os seus pés perdem contacto com a balança? (c) Qual a compressão máxima da mola por efeito da queda da pessoa? Que massa tem um corpo que, colocado
sobre a balança (velocidade inicial nula), provoque a compressão máxima anterior?
(d) Escrever a lei de movimento do topo da cabeça da pessoa, supondo que a sua altura é 1.60 m. Leitura:Vídeos: Soluções:
Exercício Prático 3.8 Energia cinética, velocidade, deslocamento.
Um corpo com massa 2 kg desloca-se em linha recta, sem atrito, sob a acção de uma força F(x) = −4
x2 N, sendo x, em metros, a posição do corpo num refencial linear. A posição do corpo em função do tempo, é descrita por uma função x(t), sendo t o tempo em segundos. No instante em que a observação começa (t = 0), o corpo está na posição x(0) = 3 e tem a velocidade v(0) = 3 m/s.
(a) Qual a velocidade do corpo no instante t = 1?
(b) Qual a lei de movimento do corpo? Comentar os pontos em que x(t) é indefinida? (c) Qual a energia cinética que a força fornece a um corpo entre as posições xie xf > xi? Leitura:Vídeos: Soluções:
Bibliografia
