Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas

(1)

Testes e Adequação de Dados à Distribuições de Probabilidade Específicas

Universidade de Brasília

Departamento de Engenharia Mecânica

Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas

P

rof

es

sor

Jorge Luiz A. Ferreira

Métodos Experimentais em

Ciências Mecânicas

(2)

A imagem v inculada não pode ser exibida. Talv ez o arquiv o tenha sido mov ido, renomeado ou excluído. Verifique se o v ínculo aponta para o arquiv o e o local corretos.

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Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas

Vamos analisar a seguinte situação:

Introdução

Após ensaiar um lote de lâmpadas incandecente e outro de lampadas fluorecente com o objetivo

de avaliar o tempo de falha, os engenheiros da empresa estão interessados em identificar a

distribuição de probabilidade que melhor representa o comportamento de falha destes

dispositivos.

Tipo de Lâmpada

Incandecente (1)

976

898 1020

1102

1096

1139

825

981 1088

913 Fluorecente (2)

10271

9710

9939

9729

10423

10001

10853

9845

9448

9398

Horas de Uso Até Falhar

Medidas Resumo

Lampada

(1)

(2)

Média

1004

9962

Desvio Padrão

103

449 C.V.

10.3%

4.5%

(3)

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Procedimento Heurísticos

*

_:

•Comparação

de

Histogramas

(Freqüências);

•Análise Gráfica

• Diagrama Q-Q

• Diagrama P-P

Existem Diversas Técnicas Disponíveis, Dentre as Quais Podem

ser Citadas:

Algumas Técnicas

* Define-se procedimento heurístico como um método de aproximação das soluções dos

problemas, que não segue um percurso claro mas se baseia na intuição e nas circunstâncias.

Testes de Adequação (Aderência)

• Teste de Chi-Quadrados;

• Teste de Kolgorov-Smirnov;

• Teste de Anderson-Darling;

• Teste de Filliben

(4)

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Representam-se graficamente, utilizando a mesma escala, a função

densidade de probabilidade que supomos estar correta, e um histograma

dos dados.

Comparação de Histogramas (Freqüências)

Algumas Técnicas Heurísticas

DADOS

3,0

₀

2,5

₀

2,0

₀

1,5

₀

1,0

₀

,50

0,0

₀

-,5

₀

-1,0

₀

-1,5

₀

-2,0

₀

-2,5

₀

-3,0

₀

300

200

100

0 Std. Dev = 1,03

Mean = -,01

N = 2000,00

Existe coincidência entre os Gráficos ?

Dificuldades no uso:

Exige uma Quantidade de

Dados Experimentais Muito

Elevada

(Consistência do Histograma)

(5)

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A construção do gráfico Q-Q baseia-se na hipótese que, após a ordenação

crescente dos dados, a i-ésima observação da amostra, X

_i

, pode ser

assumida como uma estimativa do quantil da distribuição, ou seja:

Análise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil )

Algumas Técnicas Heurísticas

Identificação da

Amostra de Lampada

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Vida [Horas]

976

898 1020 1102 1096 1139

825

981 1088

913 Identificação da

Amostra de Lampada

G

B

J

A

H

C

I

E

D

F

Vida [Horas]

825

898

913

976

981 1020 1088 1096 1102 1139

Freqüência Observada

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90% 100%

(6)

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Assim, tal estimativa do quantil pode ser usada na comparação da

probabilidade acumulada, Prob(X

i

≥

x),

associada a uma Função de

distribuição de probabilidade específica (modelo), F(X

_i

)

, ou seja:

Análise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil )

Algumas Técnicas Heurísticas

( )

1 i

q

i

x

≈

F

−

Q

Onde F

-1

_{é a função inversa da função de distribuição modelo,}

_x

qi

é o valor

previsto para quantil associado à i-ésima freqüência acumulada observada

experimentalmente, identificada por Q

i

?

Construção da

F.O. não foi

Justa !!

Identificação da

Amostra de Lampada

G

B

J

A

H

C

I

E

D

F

Vida [Horas]

825

898

913

976

981 1020 1088 1096 1102

1139

Freqüência Observada

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

x

qi

871.1 916.7 949.5 977.6 1004 1030 1058 1091 1136

#NÚM!

∑

Diferença

=

20 ,

5 %

Identificação da

Amostra de Lampada

G

B

J

A

H

C

I

E

D

F

Vida [Horas]

825

898

913

976

981 1020 1088 1096 1102

1139

Freqüência Observada

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

x

qi

871.1 916.7 949.5 977.6 1004 1030 1058 1091 1136

#NÚM!

Diferença (%)

5.6% 2.1% 4.0% 0.2% 2.3% 1.0% 2.7% 0.5% 3.1% #NÚM!

(7)

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Para corrigir o efeito da observação

amostral

sobre o comportamento da

cauda várias fórmulas diferentes têm sido usados. Tipicamente, para a

determinação dos quantis é utilizada a seguinte fórmula: é i/ (n + 1):

Análise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil )

Algumas Técnicas Heurísticas

1 +

=

N

i

Q

_i

onde i é a posição do i-ésimo dado observado após a ordenação da

_{amostra e n é o tamanho da amostra}

Identificação da

Amostra de Lampada

G

B

J

A

H

C

I

E

D

F

Vida [Horas]

825

898

913

976

981 1020 1088 1096 1102

1139

Freqüência Observada

9%

18%

27%

36%

45%

55%

64%

73%

82%

91%

x

qi

865.6 909.7 941.2 967.7

992 1016 1040 1066 1098 1142.04

Identificação da

Amostra de Lampada

G

B

J

A

H

C

I

E

D

F

Vida [Horas]

825

898

913

976

981 1020 1088 1096 1102

1139

Freqüência Observada

9%

18%

27%

36%

45%

55%

64%

73%

82%

91%

x

qi

865.6 909.7 941.2 967.7

992 1016 1040 1066 1098 1142.04

Diferença (%)

4.9% 1.3% 3.1% 0.9% 1.1% 0.4% 4.4% 2.7% 0.4%

0.3%

∑

Diferença

=

19 ,

5 %

(8)

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Na literatura são citadas outras metodologias para a estimativa do valor do

quantil. As expressões em geral têm a forma (i -

κ

_{) / (n+1-2·}

κ

_{) para algum}

valor de κ na faixa de 0 1/2, que dá um intervalo entre i / (n + 1) e (i

-1/2)/n

Análise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil )

Algumas Técnicas Heurísticas











+

−

+

−

=

365 ,

0 3175

,

0

4 ,

0

3 ,

0 n

i

n

i

Q

_i











+

−

+

−

=

25 ,

0

375 ,

0

3

1

3

1 n

i

n

i

Q

_i











+

−

+

−

=

12 ,

0

44 ,

0

2 ,

0

4 ,

0 n

i

n

i

Q

_i











−

=

1

134 ,

0

567 ,

0 n

i

n

i

Q

_i

(9)

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Estimativa do Quantil Q para cada fórmula:

Análise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil )

Algumas Técnicas Heurísticas

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0

2

4

6

8

10 Posição do Dado

Q

u

a

n

ti

l

a

b

c

d

e

f

g

h

(10)

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Estimativa do Quantil Q para cada fórmula:

Análise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil )

Algumas Técnicas Heurísticas

800

900 1,000

1,100

1,200

800

900 1000

1100

1200

P

re

v

is

ã

o

Experimento

a

b

c

d

e

f

g

Normal Q-Q Plot of VAR00001

Observed Value

1200

1100

1000

900

800 E

xp

e

ct

e

d

N

or

m

a

l V

a

lu

e

1200

1100

1000

900

800 Normal Q-Q Plot of VAR00001

Observed Value

1200

1100

1000

900

800 E

xp

ec

te

d

N

or

m

al

V

al

ue

1200

1100

1000

900

800 Normal Q-Q Plot of VAR00001

Observed Value

1200

1100

1000

900

800 E

xp

ec

te

d

N

or

m

al

V

al

ue

1200

1100

1000

900

800

(11)

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Diferença

Percentual Gerada Por cada Metodologia de Estimativa do

Quantil:

Análise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil )

Algumas Técnicas Heurísticas

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

4,0%

4,5%

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 Posição do Dado Experimental

D

if

e

re

n

ç

a

(

%

)

a

b

c

d

e

f

g

(12)

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Como Avaliar se os Dados se Ajustam Bem à Função de Distribuição de

Probabilidade Modelo ?

Análise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil )

Algumas Técnicas Heurísticas

Uma Possibilidade é Usar o Coeficiente de Explicação !!!!

y = 0.9982x

R² = 0.9104

800

850

900

950 1000

1050

1100

1150

1200

800

900 1000

1100

1200

V

a

lo

r

E

s

p

e

ra

d

o

Valor Observado

Média: 1004

Desvio Padrão: 113

y = 0.9982x

_{R² = 0.9104}

800

850

900

950 1000

1050

1100

1150

1200

800

900 1000

1100

1200

V

a

lo

r

E

s

p

e

ra

d

o

Valor Observado

Média: 1000

Desvio Padrão: 200

(13)

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Assim, usando o exemplo será possível apresentar os seguintes resultados

Análise Gráfica – Diagrama P-P

( Probabilidade - Probabilidade )

Algumas Técnicas Heurísticas

y = 1.0301x

R² = 0.9625

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00 Q

u

a

n

ti

l

E

s

p

e

ra

d

o

Quantil Observado

Média: 1003,8

Desvio Padrão: 103,5

Identificação da Amostra

de Lampada

G

B

J

A

H

C

I

E

D

F

Vida [Horas]

825

898

913

976

981 1020 1088 1096

1102

1139

Frequencia Observada 6.7% 16.3% 26.0% 35.6% 45.2% 54.8% 64.4% 74.0% 83.7%

93.3%

Q

xi

4.2% 15.3% 19.0% 39.4% 41.3% 56.2% 79.2% 81.3% 82.9%

90.4%

(14)

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A idéia básica na construção do gráfico P-P é similar a que foi proposta

para a construção do gráfico Q-Q. A diferença básica entre ambos é que

no gráfico Q-Q são plotados os quantiles, enquanto no gráfico P-P são

plotadas as freqüências ou probabilidades associadas aos x

i

, ou seja:

Análise Gráfica – Diagrama P-P

( Probabilidade - Probabilidade )

Algumas Técnicas Heurísticas

( )

i

x

i

Q

≈

F x

Onde F é a função de distribuição a ser testada

_(modelo),

_x

i

é o valor previsto para o i-ésimo

dado experimental, e Q

_xi

é o valor previsto pelo

Função de distribuição modelo.

(15)

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A idéia é comparar as freqüências observadas com as freqüências

esperadas. Assim, considerando:

Teste de Chi-Quadrados (χ

2 ₎

Testes de Adequação ou de Aderência

• Uma tabela contendo as K (K>2) classes e as,

respectivas, freqüências O

₁

, ..., O

_k

(

),

observadas em um processo de amostragem.

• As probabilidades associadas a distribuição modelo,

associadas às k classes, tal que p

₁

= p

₀₁

; ... ; p

_k

= p

_0k

• As freqüências esperadas: E

₁

; ...; E

_K

, E

_k

= N·p

_0k

, tal

que:

1, ,

i

k

=

K

O

=

N

∑

_⋯

1, ,

k

K

E

N

=

∑

⋯

k-ésima Classe

O

_k

E

_k

Karl Pearson

D1895 - †1980

Histograma

Distribuição de

Freqüências

Hipotético

(16)

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A partir destas considerações pode-se admitir duas situações possíveis :

Teste de Chi-Quadrados (χ

2 ₎

Testes de Adequação ou de Aderência

Tal situação será admitida como Hipótese de Nulidade – H

₀

Situação A :

As probabilidades observadas e modelo são estatisticamente iguais, ou

seja:

p

₁

= p

₀₁

, p

₂

= p

₀₂

, p

_K

= p

_0K

Já esta situação será admitida como Hipótese Alternativa – H

₁

Situação B :

Existe pelo menos em uma das classes a probabilidade observada é

estatisticamente diferente da probabilidade modelo.

(17)

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Com a intenção de construir uma metodologia

para avaliar se a

admissibilidade da situação 1, será proposta a seguinte estatística:

Teste de Chi-Quadrados (χ

2 ₎

Testes de Adequação ou de Aderência

Estatística esta, formada pelas realizações O

_k

, associadas as k classes e pelos seus

respectivos valores esperados de ocorrência de um evento na k-ésima,

ρ

_k

, E

_k

= E[

ρ

_k

],

os quais, se a hipótese nula for verdadeira, são iguais a Np

_k

.

Assim, a estatística χ

2 _{expressará a soma das diferenças quadráticas entre as}

realizações das variáveis aleatórias

ρ

_k

e suas respectivas médias populacionais.

(

)

2 (

)

2

1 K

_k

k

O

N p

O

E

O

χ

=

∑

₌

−

⋅

=

−

(18)

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Quando N tende para o infinito, a estatística χ

2 _{, tal como expressa pela}

equação anterior, segue uma distribuição de Qui-Quadrado, com ν = (r-1)

graus de liberdade, ou seja:

Teste de Chi-Quadrados (χ

2 ₎

Testes de Adequação ou de Aderência

(

)

3

2

0 ₀

2

2 lim

2

2 r

x

r

N

x

e

P

x H

dx

r

χ

−

→∞

⋅

<

=

−





⋅ Γ 







∫

Assim, para grandes valores de N, pode-se,

portanto, empregar esse resultado para

testar a hipótese nula H

₀

de que as

freqüências relativas esperadas de

ρ

_k

sejam dadas por N·p

k

, com p

k

calculadas pela

distribuição de probabilidades proposta.

Um valor elevado da estatística de teste revela grandes diferenças entre as freqüências

observadas e esperadas, sendo um indicador da pouca aderência da distribuição especificada,

sob H

₀

, à amostra.

(19)

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T

ab

e

la

d

e

χ

2 Teste de Chi-Quadrados (χ

2 ₎

(20)

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Teste de Chi-Quadrados (χ

2 ₎

Testes de Adequação ou de Aderência

Importante:

• A distribuição limite da estatística de teste não depende de p

k

, contido em H

0 .

• Na prática, o teste de aderência do χ

2 _{fornece resultados satisfatórios para N >}

50 e para N·p

k

≥ 5, com k =1, 2, ... , K.

• Se as probabilidades associadas ao modelo, p

k

, forem calculadas a partir de uma

distribuição de Π parâmetros, estimados pelas observações amostrais, perde-se Π

graus de liberdade adicionais. Em outras palavras, o parâmetro ν, da distribuição da

estatística de teste χ

2 _{, será ν = (K – Π - 1).}

(21)

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Considere

um

conjunto

testes

realizados

em

motores

monocilíndricos com um certo tipo de combustível. O número

de detonações foi gravado durante 30 minutos. Dez destes

motores foram testados e os resultados são apresentados a

seguir. Avaliar, a um nível de significância de 95%, se os dados

amostrais podem ser descritos por uma distribuição de

Poisson?

Teste de Chi-Quadrados (χ

2 _{) - Exemplo}

(22)

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Núm Médio de Detonação por

Minutos: 0,72

(216/(10*30))

Solução:

Se x representar a ocorrência de

detonações em um intervalo de

tempo, o parâmetro da distribuição,

λ,

será igual a 0,72

Resultados dos Ensaios de Detonação

Número de Detonações

por Minuto

Número de Vezes que o

Evento Ocorreu durante

o Ensaio

Número de Detonações

Durante o Ensaio

0

134

0

1

123

2

37

74

3

5

15

4

1

4

5

0

6

0

0 Total

300

216 Teste de Chi-Quadrados (χ

2 _{) - Exemplo}

(23)

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Implementação do Teste

Teste de Chi-Quadrados (χ

2 _{) - Exemplo}

Testes de Adequação ou de Aderência

( )

!

x

E

N P x

N

e

x

ν

−

=

_i

=

_i

Conclusão: Considerando que χ

2 _{< χ}

2 1-a,n

, a decisão é a de não rejeitar a hipótese de

nulidade, H

₀

, ou seja admitir que os dados observados podem ser descritos por uma

distribuição de Poisson com média igual a 0,72

Função Inv.Qui do Excel

χ

2 1−α,ν

5,99

Classes, K

4 Parâmetros Estimados, Π

1 Graus de Liberdade, ν = (K−Π−1)

2 Número de Detonações

por Minuto

Observado na Amostra (O)

Previsto com Base na

Distribuição de Poisson (E)

0

150

145 0,172

1

100

105 0,238

2

36

39 0,231

>3

14

11 0,818

Soma

300

300 1,459

Número de Vezes que o Evento Ocorreu durante o Ensaio

(

)

E

O

−

2

(24)

Testes e Adequação de Dados à Distribuições de Probabilidade Específicas

Universidade de Brasília

Departamento de Engenharia Mecânica

Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas

O

teste

de

aderência

de

Kolmogorov-Smirnov (KS) é um

teste

não

paramétrico,

cuja

estatística de teste tem como

base a diferença máxima entre as

funções

de

probabilidades

acumuladas, empírica e teórica

(modelo), de variáveis aleatórias

contínuas.

Teste de Kolmogorov-Smirnov

Testes de Adequação ou de Aderência

Kolmogorov, A., N.

D1903 - †1987

Smirnov, V. I.

D1887 - †1974

7.87

7.04

14.99

9.38

9.87

11.11

14.40

10.14

11.40

6.38

9.43

5.10

12.65

6.95

6.33

7.54

12.34

11.77

10.94 Dados

Amostrais (X)

Ordenar

e Tratar

0.3

0.4 i

i

Q

N

−

=

+

Quantil

Posição

(i)

Dados Amostrais

(X)

P(x<X)

Observado

Modelo

1

5.10

0.048

0.051

2

6.33

0.095

0.110

3

6.38

0.143

0.114

4

6.95

0.190

0.155

5

7.04

0.238

0.162

6

7.54

0.286

0.206

7

7.87

0.333

0.239

8

9.38

0.381

0.418

9

9.43

0.429

0.424

10

9.87

0.476

0.483

11

9.87

0.524

0.483

12

10.14

0.571

0.518

13

10.94

0.619

0.623

14

11.11

0.667

0.644

15

11.40

0.714

0.680

16

11.77

0.762

0.723

17

12.34

0.810

0.782

18

12.65

0.857

0.812

19

14.40

0.905

0.929

20

14.99

0.952

(25)

Testes e Adequação de Dados à Distribuições de Probabilidade Específicas

Universidade de Brasília

Departamento de Engenharia Mecânica

Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas

O

teste

de

aderência

de

Kolmogorov-Smirnov (KS) é um

teste

não

paramétrico,

cuja

estatística de teste tem como

base a diferença máxima entre as

funções

de

probabilidades

acumuladas, empírica e teórica

(modelo), de variáveis aleatórias

contínuas.

Teste de Kolmogorov-Smirnov

Testes de Adequação ou de Aderência

Kolmogorov, A., N.

D1903 - †1987

Smirnov, V. I.

D1887 - †1974

0.000

0.100

0.200

0.300

0.400

0.500

0.600

0.700

0.800

0.900

1.000

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00 D

is

tr

ib

u

iç

ã

o

A

c

u

m

u

la

d

a

Variável Aleatória

Observado

Modelo

D

(26)

Testes e Adequação de Dados à Distribuições de Probabilidade Específicas

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Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas

Considere que X represente uma variável aleatória contínua, de cuja

população extraiu-se a amostra {X

₁

, X

₂

, ... , X

_N

}. A hipótese nula a ser

testada é H0: P(X < x) =F

_X

(x), onde F

_X

(x) é suposta conhecida, ou seja, seus

parâmetros não são estimados a partir da amostra. Para implementar o

teste KS, inicialmente, classifique os elementos da amostra {X

₁

,X

₂

, ... , X

_N

}

em ordem crescente, de modo a constituir a seqüência {x

₍₁₎

, x

₍₂₎

, ... , x

_(m)

, ...

x

_(N)

}, na qual 1 ≤ m ≤ N denota a ordem de classificação. Para cada elemento

x

_(m)

, a distribuição empírica F

_N

(x

_(m)

) é calculada pela proporção de valores

amostrais que não excedam x

_(m)

, ou seja, F

_N

= Quantil.

Teste de Kolmogorov-Smirnov

Testes de Adequação ou de Aderência

Kolmogorov, A., N.

D1903 - †1987

Smirnov, V. I.

(27)

Testes e Adequação de Dados à Distribuições de Probabilidade Específicas

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Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas

Em seguida, calcule as probabilidades teóricas, segundo F

_X

(x), tendo como

argumento os valores x

_(m)

. A estatística do teste KS é dada por

Teste de Kolmogorov-Smirnov

Testes de Adequação ou de Aderência

Assim, D

_N

corresponderá à maior diferença entre as probabilidades

empírica e teórica (central, a direita ou a esquerda).

( )

(

)

( )

(

)

sup

N

X

m

N

m

N

X

m

N

m

D

F

x

F

x

D

F

x

F

x

−

+

=

−

=

−

( )

N

m

x

F

_N

−

_m

=

−

1 ( )

N

m

x

F

_N

+

_m

=

(28)

Testes e Adequação de Dados à Distribuições de Probabilidade Específicas

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Teste de Kolmogorov-Smirnov

Testes de Adequação ou de Aderência

Se a hipótese de nulidade, H

₀

, for verdadeira quando N→∞ , a estatística

D

_N

irá tender a zero. Por outro lado, se N é um valor finito, a estatística D

_N

deverá ser da ordem de grandeza de

e, portanto, a quantidade

não

irá tender a zero, mesmo para valores muito elevados de N. Smirnov (1948)

determinou a distribuição limite da variável aleatória

, a qual, sob a

premissa de veracidade da hipótese H

₀

, é expressa por:

1 N

D

N

i

N

D

i

N

(

)

(

)

2

1

8

1

2 lim

k

z

N

x

k

P

N D

z

e

z

π



_{⋅ −}

_⋅





₋



∞



_⋅







→∞

=

⋅

≤

=

⋅

∑

(29)

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Teste de Kolmogorov-Smirnov

Testes de Adequação ou de Aderência

(30)

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Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas

Teste de Kolmogorov-Smirnov

Testes de Adequação ou de Aderência

Importante:

A construção da estatística do teste KS parte da premissa que F

_X

(x) é

completamente

conhecida

e,

portanto,

que

seus

parâmetros

são

especificados e, portanto, não são estimados a partir da amostra.

Entretanto, quando as estimativas dos parâmetros são obtidas dos

elementos da amostra, simulações de Monte Carlo demonstram que o teste

KS é conservador quanto à magnitude do erro do tipo I, podendo ocorrer

rejeições indevidas da hipótese nula. Com o objetivo de corrigir tal

situação, Crutcher (1975) apresenta novas tabelas de valores críticos da

estatística D

_N,α

para amostras de tamanhos variáveis, considerando, sob H

₀

,

(31)

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Teste de Kolmogorov-Smirnov

Testes de Adequação ou de Aderência

Exemplo: Avaliar se os dados amostrais (A) são N(10,3), α = 95%

Conclusão: Considerando que D

₂₀

< D

_{20, 95%}

, a decisão

é a de não se rejeitar a hipótese de nulidade, H

0 , ou

seja admitir que os dados observados podem ser

descritos por uma distribuição de N(10,3).

Amostra

10.32

8.84

12.27

7.95

7.62

12.18

9.67

11.77

8.41

12.67

14.42

14.43

9.01

11.98

16.11

9.04

13.53

12.86

9.65

4.96 Esquerda

Direita

1

4.96 0.046449

0.00

0.05

0.046

0.004

2

7.62 0.213965

0.05

0.10

0.164

0.114

3

7.95 0.246925

0.10

0.15

0.147

0.097

4

8.41 0.298105

0.15

0.20

0.148

0.098

5

8.84 0.34901

0.20

0.25

0.149

0.099

6

9.01 0.370372

0.25

0.30

0.120

0.070

7

9.04 0.374554

0.30

0.35

0.075

0.025

8

9.65 0.453505

0.35

0.40

0.104

0.054

9

9.67 0.45558

0.40

0.45

0.056

0.006

10

10.32 0.542588

0.45

0.50

0.093

0.043

11

11.77 0.722373

0.50

0.55

0.222

0.172

12

11.98 0.744957

0.55

0.60

0.195

0.145

13

12.18 0.766686

0.60

0.65

0.167

0.117

14

12.27 0.775598

0.65

0.70

0.126

0.076

15

12.67 0.813043

0.70

0.75

0.113

0.063

16

12.86 0.829951

0.75

0.80

0.080

0.030

17

13.53 0.880154

0.80

0.85

0.080

0.030

18

14.42 0.929838

0.85

0.90

0.080

0.030

19

14.43 0.930235

0.90

0.95

0.030

0.020

20

16.11 0.979125

0.95

1.00

0.029

0.021 Máximo

0.222

0.172 Máximo

Dado

Amostral

(x)

0.222 P(x<X)

D

N

Modelo

Amostral

Esquerda Direita

Posição

(i)