8º CONGRESSO LUSO-BRASILEIRO PARA O PLANEAMENTO URBANO,
REGIONAL, INTEGRADO E SUSTENTÁVEL (PLURIS 2018)
Cidades e Territórios - Desenvolvimento, atratividade e novos desafios Coimbra – Portugal, 24, 25 e 26 de outubro de 2018
APLICAÇÃO DE UM MODELO DE SÉRIE TEMPORAL PARA ESTIMAÇÃO
DOS VOLUMES DE VIAGENS DE PASSAGEIROS EM ÔNIBUS
INTERESTADUAIS GERADOS A PARTIR DO ESTADO CEARÁ
RESUMO
Devido ao demorado tempo de execução de obras de infraestrutura viária é necessário um planejamento prévio para se atender as necessidades da população e corporações de maneira otimizada. Foi proposta a aplicação de um modelo de série temporal para estimação dos volumes de viagens de passageiros em ônibus interestaduais gerados a partir do estado do Ceará. Este estudo consiste na aplicação de um modelo estatístico conhecido como ARIMA. Neste estimou-se o modelo a partir de parâmetros teoricamente identificados através da análise da série de dados de passageiros que utilizam deste serviço. Analisou-se dados referentes ao período 2005-2014 que foram disponibilizados pela ANTT. Os gráficos e dados comportamentais obtidos permitem a identificação dos parâmetros que melhor representavam as séries estudadas. Apesar do ajuste do modelo às séries percebeu-se comportamentos inesperados nos dados obtidos, abrindo o questionamento quanto a consistência dos mesmos, permitindo-se então duvidar da funcionalidade das previsões calculadas.
1 INTRODUÇÃO
No Brasil o ônibus ainda é o principal meio de locomoção interestadual, tornando-se necessário seu planejamento além da análise de sua viabilidade e funcionalidade na prestação de serviços. O presente estudo tem como objetivo principal prever o número de pessoas que utilizam de viagens interestaduais geradas no estado do Ceará, baseados nos fluxos de entrada e saída de passageiros que tem o ônibus como veículo de deslocamento. O interesse por esse tema se justifica diante da necessidade de planejamento para que se possa atender a população que utiliza de viagens interestaduais, como por exemplo, planejamento de ampliação de vias, assim como a criação de novas, gestão do número de ônibus disponibilizados mensalmente que possa atender os passageiros com conforto e viabilidade econômico-financeira e processual para as empresas prestadores do serviço. A complexidade deste estudo está relacionada aos dados serem caracterizados como aleatórios e temporais (variando constantemente no decorrer do tempo), pois não há uma regra para relacioná-los através de equações deterministas.
A partir de todo o estudo e discussões abordadas neste trabalho espera-se colaborar para esclarecer o comportamento e o volume de deslocamentos de passageiros em ônibus, no
estado do Ceará, assim como obter a previsão da demanda de passageiros para implantação de novas linhas interestaduais.
2 REFERENCIAL TEÓRICO
Para realização do presente estudo utilizou-se do método ARIMA (AUTOREGRESSIVE INTEGRAD MEAN AVERAGE). Neste método é feita a generalização do método ARMA (AUTOREGRESSIVE AND MEAN AVERAGE), o modelo ARIMA é aplicado a séries temporais não estacionárias, neste, utiliza-se de autoregressões, diferenciação e média móveis, buscando através de regras matemáticas a estimação do comportamento da série estudada para então prever seus valores futuros. A escolha deste modelo é justificada pelas características apresentadas nos dados, visto que estes não se apresentam de forma estacionária, assim por este método oferecer transformar uma série não estacionária em estacionária inicialmente pode-se julga-lo como funcional.
É mais conveniente ter uma série estacionária, já que esta tem seus principais parâmetros constantes. Desta forma, a estimação se torna mais confiável, pois a série se faz bem comportada ao longo do tempo.
Para realizar estimativas de uma série não estacionária a confiança dos dados encontrados seria menor, visto que este tipo de série apresenta aleatoriedade com valores de grandes amplitudes diante de suas médias no decorrer do tempo (T). É possível estimar valores de séries não estacionárias, mas deve-se lembrar que só haveria confiança nos primeiros dados, pois com o decorrer do tempo a função mudaria seus parâmetros representativos e o período estudado seria apenas uma representação de um episódio particular. Portanto, assim como Gujarati (2006) descreve, estimação de séries não estacionárias pode ser considerada de pouco valor prático
Baseados nos princípios de passeio aleatório, passeio aleatório com diferenciação, ruído branco, defasagem, conseguimos identificar que para um processo de série temporal o
termo presente depende exclusivamente de seus predecessores
onde indica o número de termos da série .O modelo ARIMA utiliza dessas definições em sua formulação assim como suas funções componentes. Para que se entenda este modelo é preciso conhecer alguns fatores utilizados no mesmo.
2.1 Autoregressão
Considerando como variável no tempo .
(1) Tem-se que é a média de e é um ruído branco, portanto diz se que o termo é autorregressivo de primeira ordem AR(1). É visível que este processo é estocástico visto que depende apenas dos e de um acréscimo aleatório, então o valor de é expresso por desvios da média de seus valores próprios. Esse modelo diz que a previsão depende da proporção ( ) do valor no tempo acrescido de uma perturbação aleatória no tempo além uma constante da mesma forma, na fórmula seguinte pode-se dizer que o modelo
apresenta duas ordens de autoregressão AR(2), significa dizer que o valor de depende do
valor de e acrescido de uma perturbação.
(2) De forma geral a expressão pode ser representada por
(3) Neste caso é de p ordem autoregressiva, ou AR(p).
2.2 Média móvel
A equação seguinte nos mostra o modelo de médias móveis, tem-se que no tempo qualquer é igual a uma constante adicionada à média móvel dos termos de erros atuais e passados.
(4) Onde μ é uma constante t, é ruído branco. Nesse caso, temos média móvel de primeira ordem MA(1). Na expressão seguinte temos para média móvel de segunda ordem MA(2):
(5)
De forma Geral:
(6) Para q-ordem de médias móveis tem-se a representação MA(q), de forma resumida a média móvel é um processo linear dos ruídos brancos de cada termo.
O modelo ARMA é caracterizado por apresentar ou processo autoregrressivo, ou média móvel, ou ambos. Assim, para um modelo ARMA (p,d) (1,1) ou seja ARMA (1,1) teríamos uma expressão do tipo:
(7) Onde:
representa a constante dos termos.
O modelo ARIMA pode ser utilizado para séries fracamente estacionárias. Porém muitos dos tipos de dados têm comportamento não estacionários necessitando de ferramentas que permitam transformá-las em séries estacionárias.
O método ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) apresenta assim como o modelo ARMA fatores autorregressivos e de média móvel. Porém difere-se diante do fato de termos a possibilidade de trabalhar com séries não estacionarias. Já foi dito que uma série é Integrada de grau 1 quando através de uma diferenciação conseguimos
transformar a série em uma série estacionaria , de forma similar se uma série é integrada de segunda ordem temos com duas diferenciações teremos transformado a série em estacionaria .
Assim podemos dizer que o modelo ARIMA se assemelha ao modelo ARMA aplicado a uma seria vezes diferenciadas, esta série se tornará estacionária e receberá a caracterização pelo modelo ARIMA(p,d,q), onde p é a ordem do termo da autoregressão , d é a ordem do número de diferenciações que a série deve passar até tornar-se estacionária e q é a ordem do termo de média móvel. Através desses coeficientes poderíamos ter um modelo totalmente autoregressivo, um modelo puramente de média móvel, um modelo autoregressivo e de média móvel (ARMA) ou um modelo ARIMA.
2.3 Metodologia do modelo
Figura 1-Metodologia do modelo
Na ilustração acima pode-se identificar a metodologia do modelo de Box e Jenkins comentada nos seguintes itens:
Estágio 1-Encontrar as ordens adequadas de p,d,q. Deve-se observar o correlograma da autocorrelação e autocorrelação parcial.
Modelo é satisfatório?
Escolhe um ou mais modelos candidatos ARIMA
Estima os parâmetros dos modelos escolhidos
Checagem dos modelos quando à adequação Previsão Estagio 1: Identificação Estágio 2: Estimação Estágio 3: Verificação Estágio 4: Previsão Sim Não
Estagio 2-Neste momento deve-se estimar os parâmetros do modelo estudado.
Estagio 3-Checagem de diagnóstico. Já com o modelo e seus parâmetros estimados deve-se verificar sua veracidade (confiança), para então confirmar se este é o que melhor se adequa. A necessidade de sua verificação também é intensificada pela afirmação: “Isto porque o modelo Box–Jenkins (ARIMA) é mais subjetivo que cientifico" (GUJARATI, 2006, p. 841).
Ainda segundo Gujarati (2006, p.841). “Um teste simples de escolha do modelo é ver se os resíduos estimados do modelo são ruído branco. Se eles forem pode-se aceitar o modelo”. Estagio 4-Caso o modelo seja aceito, deve-se coletar os parâmetros equacionais para então estimar os dados futuros.
2.4 Verificação do Modelo 2.4.1. Q de Ljung-Box
Pode se também efetuar a análise de Q de Box-Pierce para verificar se as autocorrelações residuais são estatisticamente diferentes de zero, para as hipóteses:
sendo a estatística de teste dada por :
(8)
Onde:
m é o lag adotado;
p e q são os parâmetros de ordem do modelo suposto;
Segundo (EHLERS R.S, 2009, p.46) na prática o número m de autocorrelações amostrais é tipicamente escolhido entre 15 e 30. Se o modelo ajustado for apropriado então Q terá distribuição aproximadamente qui-quadrado com m−p−q graus de liberdade.
Assim para valores de Q grande indica que as autocorrelações não são consideradas estatisticamente nulas. O teste de Ljung-Box também conhecido como teste de Box-Pierce modificado fornece estatísticas mais confiáveis para pequenas amostras. A estatística de teste é dada por:
(1)
A distribuição amostral também é aproximadamente qui-quadrado com m − p − q graus de liberdade.
2.4.2 Erro quadrático médio
GRANGER & NEWBOLD (1976) sugerem que a estimativa do erro quadrático médio da previsão, abreviado “EQMP”, seja adotado como a estatística de controle da qualidade do modelo de estimativa:
(10)
Onde:
Zt é o último valor observado para elemento da série temporal; )
(
^
h
Zth
é uma estimativa, através da “função para estimativa”, de valor para o elemento que esteja na posição da observação definida por um índice entre (m +1) e N;
“h” é o número de intervalos de tempo após a última observação; N é o número de observações;
m é um número de últimos valores observados para elementos da série temporal sob análise.
Não há teoria para fixar “m”, entretanto diz-se [GRANGER & NEWBOLD (1976)] que previsões são “imediatas” se “N-m”= 1; “a curto prazo” se “N-m”= 6 ou “a longo prazo” se “N-m”=12.
3 METODOLOGIA
Foram utilizados dados da ANTT (Agência Nacional de Transporte Terrestre) solicitados através da ouvidoria em maio de 2015. Foram utilizadas planilhas disponibilizadas pela agência, referentes ao tráfego interestaduais de passageiros.
O trabalho iniciou-se com a análise destas planilhas referentes à contagem de passageiros transportados via ônibus diante dos trechos nacionais da última década. Posteriormente, os dados foram selecionados e utilizou-se para os passos seguintes somente os trechos nos quais o estado do Ceará era designado como ponto de origem ou destino.
Em seguida, foi feita a contabilização do número de passageiros totais mensais, separando-os em grupseparando-os de pagantes comuns, pagantes idseparando-osseparando-os e passe livre. Porém, devido a pouca significância quantitativa desses grupos isolados decidiu-se trabalhar com os totais de passageiros que estavam saindo do estado e totais de passageiros que chegavam ao estado. Os dados coletados foram dispostos de maneira que as cidades do Ceará fossem consideradas sempre como pontos de origem e as demais cidades de outros estados pontos de destino. Para a análise foram selecionados os totais mensais de cada ano da última década, assim deveria haver um total de 120 dados indicando a entrada de pessoas no estado e 120 dados indicando a saída. Porém, no ano de 2014 a ANTT (Agência Nacional de Transportes Terrestres) não coletou os dados referentes aos meses 10, 11 e 12. Então, obteve-se somente 117 dados de entrada e 117 de saída, estes se tornaram a série temporal analisada nesta pesquisa. Foi feita a adequação e adaptação dessa série ao modelo ARIMA utilizando o software estatístico Minitab no trabalho dos dados, posteriormente confeccionada a equação do modelo para a previsão dos próximos 30 meses.
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO
Diante dos dados coletados pode-se ilustrar o gráfico de séries temporais de cada caminho estudado. Percebe-se que as Figuras 02 e 03 mostram-se semelhantes durante todo o período estudado.
Pode-se perceber que a série não se identifica como série não estacionaria visto que nestas encontra-se períodos de valores crescentes e decrescentes, diferentemente do esperado ao qual a série deveria apresentar apenas uma determinada tendência. Devido a esta opacidade quanto à classificação sobre sua estacionariedade decidiu-se por estudar as funções de autocorrelações e autocorrelações parciais de ambas as séries apresentadas.
1 08 96 84 72 60 48 36 24 1 2 1 1 0000 8000 6000 4000 2000 0 mês Pa ss ag ei ro s
Gráfico da Série Temporal dos Passageiros Saindo do Estado
Figura 02 -Gráfico da Série Temporal dos Passageiros Saindo
1 08 96 84 72 60 48 36 24 1 2 1 1 0000 8000 6000 4000 2000 0 mês Pa ss ag ei ro s
Gráfico da Série Temporal dos Passageiros Chegando ao Estado
Figura 03-Gráfico da Série Temporal dos Passageiros Chegando no Estado
Através dos correlogramas das funções de autocorrelação pode-se identificar suas taxas de decrescimento e classificá-las como correlogramas com padrão de decrescimento lento, visto que mesmo ao atingir um total de lags igual a 25% da amostra e ainda assim estes se apresentaram com determinada constância e não podem ser considerados nulos até o ultimo lag. Diante desta percepção decidiu-se por diferenciar a série uma vez, obtendo gráficos das séries temporais diferenciadas. De modo que após avaliação pode-se confirmar recorre-se aos correlogramas das funções de autocorrelação e autocorrelações parciais das séries diferenciadas.
Antes de analisar os possíveis modelos para as séries propostas, decidiu-se por verificar a presença ou não de sazonalidade. Nesse estudo, os dados foram trabalhados de forma mensal. É de conhecimento que o número de passageiros que utilizam de transporte
interestadual torna-se alterado nos períodos de recessos (férias, feriados), então era de se esperar que os dados indicassem o mesmo. Diante desta observação pode-se verificar se existe sazonalidade associadas aos dados.
Utilizando do Q de Ljung-Box pode-se observar o comportamento dos resíduos. Porém é necessário que as séries de ruídos como já citado apresentem comportamento de ruído branco, para isto primeiramente temos de verificar se a série se distribui normalmente. Esta análise inicial foi verificada através do gráfico “papel de probabilidade”. Pode-se perceber na análise dos gráficos que os resíduos em alguns pontos fogem da reta de distribuição normal, partindo-se para a análise da distribuição residual através de testes específicos de normalidade de dados. Inicialmente decidiu-se por fazer a análise dos resíduos a partir do mês 49 de ambas as séries que se apresentavam.
Observando os gráficos percebe-se a presença de um único resíduo discrepante dos demais em ambas as séries, este mesmo pode ser visualizado a presença de apenas um resíduo com valores bastante discrepantes dos demais localizados na cauda esquerda de cada gráfico. Assim decidiu-se por analisar como os resíduos se comportariam na ausência deste, então plotou-se novamente o gráfico de estudo da normalidade na ausência destes resíduos discrepantes. Nota-se que a partir da remoção deste ponto a série de resíduos assemelhou-se de uma distribuição normal.
Mesmo na ausência de um comportamento continuo de normalidade decidiu-se por classificar a distribuição residual diante do exposto como normalmente distribuída, já que um único dado estava distorcendo o seu comportamento. Esta conclusão se opõe ao Teorema Central do Limite, que afirma: quanto maior o tamanho da amostra, mais a forma da distribuição amostral da média aproxima-se de uma distribuição normal, ainda que a distribuição da variável estudada não a tenha. Pode-se entender que esta inversão indica que os dados mais recentes são mais bem correspondidos pelo modelo, já que os resíduos destes são menores e que de forma geral seu comportamento como ruído branco é melhor caracterizado a medida que se aproximam dos dados mais atuais. Assim diante destas considerações decidiu-se por afirmar que a série aproxima-se de uma distribuição normal. Então prosseguiu-se para o teste de Ljung-Box tentando confirmar o comportamento de ruído branco recomendado para o modelo, diante dos critérios de análise desta estatística de teste. O Q teste foi calculado para a defasagem para cada série onde é o número de termos de resíduos.
Tabela 01-Q de Ljung Box dos Resíduos Teste Q de Ljung Box
lags Q de Ljung Box Q critico (5%)
Passageiros Saindo do Estado 23 14,22 26,296
Passageiros Chegando ao Estado 23 15,40 27,587
A partir da Tabela 01 podemos concluir que os dados das autocorrelações deixam de rejeitar a Hipótese nula indicando que as autocorrelações até o lag 23 podem ser consideradas iguais à zero. Assim pode-se dizer que os resíduos comportam-se como ruído branco. Assim atendeu-se a condição requerida na qual os resíduos aproximam-se de um ruído branco para aceitarmos o modelo.
Nas Figura 04 e Figura 05 pode-se ver o histograma dos resíduos para o ajuste da série Passageiros Saindo do Estado e Passageiros Chegando ao Estado, respectivamente. Nestes pode-se perceber que a grande maioria dos resíduos encontra-se em classes inferiores a 20% da média de ambas as séries, percebe-se também que a distribuição residual apresenta valores residuais de menor amplitude conforme avançamos a valores mais atuais.
800 400 0 -400 -800 -1 200 -1 600 25 20 1 5 1 0 5 0 Resíduos Fr eq uê nc ia Histograma (Passageiros Saindo do Estado)
Figura 04 - Histograma Residual da Série Ajustada Passageiros Saindo do Estado
1 500 1 000 500 0 -500 -1 000 -1 500 25 20 1 5 1 0 5 0 Resíduos Fr eq uê nc ia Histograma (Passageiros Chegando ao Estado)
Figura 05-Histograma Residual da Série Ajustada Passageiros Chegando ao Estado
Nas Figura 06 e 08 tem-se o gráfico das séries temporais associadas as suas projeções, neste percebemos que as previsões assemelham seus comportamentos ao comportamento visto ao longo da amostra. Pode-se perceber inclusive que nos meses referentes ao início dos anos surge um aumento do número de passageiros, mostrando que a sazonalidade dos dados foi conservada. Já nas Figuras 07 e 09 pode-se analisar mais detalhadamente o comportamento das previsões, nestas estão representados pela linha central a previsão e nas linhas de bordo os valores previstos que garantem com 95% de chance de acerto valores limites aos quais é esperado que os dados se apresentem.
1 44 1 32 1 20 1 08 96 84 72 60 48 36 24 1 2 1 1 5000 1 0000 5000 0 -5000 Tempo Pa ss ag ei ro s Sa in do d o Es ta do
Gráfico de Série Temporal para Passageiros Saindo do Estado (com previsões e seus limites de 95% de confiança)
Figura 06-Série Temporal Passageiros Chegando ao Estado (Previsão)
147 146 145 1 44 143 142 141 140 1 39 138 137 136 135 1 34 133 132 131 1 30 1 29 128 127 126 1 25 124 123 122 121 1 20 119 118 117 1 5000 1 0000 5000 0 -5000 Tempo Pa ss ag ei ro s Sa in do d o Es ta do
Gráfico de Série Temporal para Passageiros Saindo do Estado (Previsão) (com previsões e seus limites de 95% de confiança)
Figura 07-Previsão da Série de Passageiros Chegando ao Estado
1 44 1 32 1 20 1 08 96 84 72 60 48 36 24 1 2 1 1 5000 1 0000 5000 0 -5000 Tempo Pa ss ag ei ro s C he ga nd o ao E st ad o
Gráfico de Série Temporal para Passageiros Chegando ao Estado (com previsões e seus limites de 95% de confiança)
Figura 08-Série Temporal Passageiros Chegando ao Estado (Previsão)
147 146 145 1 44 143 142 141 140 1 39 138 137 136 135 1 34 133 132 131 1 30 1 29 128 127 126 1 25 124 123 122 121 1 20 119 118 117 1 5000 1 0000 5000 0 -5000 Tempo Pa ss ag ei ro s C he ga nd o ao E st ad o
Gráfico de Série Temporal para Passageiros Chegando ao Estado (com previsões e seus limites de 95% de confiança)
Figura 09-Previsão da Série de Passageiros Chegando ao Estado
5 CONCLUSÕES
Diante das observações pode-se identificar dois parâmetros para o modelo ARIMA que se adequasse as séries temporais seguindo recomendações dos autores citados. Julgou-se como o melhor modelo o que apresentasse menor erro quadrático médio além da necessidade de seus resíduos comportarem-se como ruído branco.
Diante do comportamento inesperado em alguns trechos das séries, algumas alternativas que promoveram um melhor ajuste do modelo aos dados podem ser propostas. Neste texto foi descrito e analisado séries de dados com um total de 117 dados para cada série, porém analisando o gráfico nas Figuras 02 e 03 é perceptível que nos dados iniciais que as séries comportam-se completamente diferente se comparadas com os dados mais recentes, nesta comparação pode-se observar que nos dados mais recentes há um comportamento mais estável (homogêneo), percebe-se que há uma espécie de patamares separados por picos de passageiros referentes aos meses de janeiro, diante destas diferenças é de se questionar a veracidade dos dados.
Como já visto neste estudo, a partir do comportamento de séries temporais e processos estocásticos sabe-se que os dados de qualquer tempo (T) influenciam nas previsões subsequentes, assim recomenda-se um novo estudo apenas com os dados mais recentes, possivelmente com os últimos cinco anos de dados, pois neste existe a homogeneidade dos comportamentos da série, além da pesquisa por um meio ao qual se possa verificar a consistência dos dados.
Diante do esclarecimento sobre o funcionamento do modelo sugere-se ainda novas pesquisas aplicadas a este na região do Cariri, como o estudo de tráfego gerado durante os períodos de romarias, estimativa da quantidade de romeiros que tornam-se moradores da região do cariri, aumento de venda nos estabelecimentos comerciais na região do cariri durante períodos de romaria, entre outros.
6 REFERÊNCIAS
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