Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Química PQI3401 – Engenharia de Reações Químicas II
Experiência:
Distribuição de Tempos de Residência Objetivos:
Levantamento experimental da distribuição de tempos de residência (DTR) em reatores reais tipo tubular e tipo tanque de mistura. Determinação de parâmetros dos modelos analíticos da distribuição de tempos de residência. Detecção de problemas de escoamento.
Introdução:
O conceito de distribuição de tempos de residência em reatores pode ser revisto em Fogler (1999) ou Froment e Bischoff (1990). Perante uma injeção de um traçador físico (n]ao reativo, p.ex., um corante) sob a forma de um sinal tipo impulso, na entrada do reator, pode-se computar as seguintes informações a partir das medidas de concentração do traçador na saída do reator ao longo do tempo, Cs(t) :
Área sob a curva: A Cs t dt
( )0
(1)
Tempo de residência médio:
0 0 0 ) ( ) ( ) ( 1 tC dt A dt C dt tC t s t s t s t (2) Tempo (adimensionalizado): t t (3)
Distr. de Tempos de Residência: Eexp(t)Cs(t) A (4)
Distr. de Tempos de Residência (adimensionalizado): Eexp()t Eexp(t) (5)
Parte I: Reator Tubular Real Modelo de dispersão axial:
O modelo de dispersão axial para o reator de leito fixo é descrito matematicamente por: C t u C z D C z R t z t z t z C z t e ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , )) 2 2 (6)
z0
: z C u D C C t e t e t (,0) ) ( ) 0 , ( (6a)
z L
: C z t L ( , ) 0 (6b)Define-se o número de Peclet para dispersão axial como Pe(uL D/ e). Considerando traçador físico (isto
é, que não reage),
R(C(z,t))=0 (6c)
e uma condição inicial onde não há traçador dentro do reator em t=0
t 0
: C(0,z)0 (6d)e uma perturbação na concentração de traçador na alimentação, do tipo impulso em (t 0):
) ( ) / ( ) (t M V t e C (6e)
a solução analítica em série deste modelo (pode ser obtida pelo método de separação de variáveis) para a concentração de traçador na saída ao longo do tempo, C(t,L) ou Cs(t), é dada por:
C M V E Pe Pe Pe Pe Pe s i i i i i t
e
( ) / ( ) / ( ) exp ( ) serie
2 1 8 4 4 4 4 1 2 2 2 2 2 1 (7) onde i são determinados calculando as raízes das seguintes equações:
/2
4 2 tg i i Pe se i é ímpar
2 / 4 2 cotg i i Pe se i é par (8)A solução analítica (7) é trabalhosa de calcular (pois cada termos depende da solução da equação algébrica (8)) e pode apresentar problemas numéricos (dificuldades de convergência da série) para valores de muito pequenos ou para valores de Pe muito grandes. Por isso, recomenda-se usar em seu lugar a seguinte aproximação simplificada (Gouvea et al., 1990):
Eaprox Pe Pe / ( ) exp ( )( ) 1 4 1 1 4 3 1 2 2 (9)
Em todo caso, pode-se escolher Emodelo( ) Eserie( ) ou Emodelo( ) Eaprox( ) e os dois dependem do número de Peclet, que é o adimensional que contém o coeficiente de dispersão axial. Um critério razoável para escolher o Peclet que melhor ajusta o modelo teórico aos (n) dados experimentais é o critério de mínimos quadrados:
n k k k Pe E E Pe 1 2 modelo exp( ) ( , )min
(10)A obtenção do valor de Pe que minimiza o critério (10) pode ser feito, p.ex., usando o comando “solve” do Excel.
Modelo de N tanques em série
Outro modelo que pode ser usado para representar um reator tubular real é o modelo de N tanques em série, para o qual a curva de DTR é dada por (Fogler, 1999):
E N e N N N N tanques( ) ( )! 1 1 (11)
O parametro (N) que melhor aproxima o modelo de tanques em série aos (n) dados experimentais pode ser obtido usando o critério de mínimos quadrados:
n k k k N E E N 1 2 tanques exp( ) ( , )min
(12)A obtenção do valor de N que minimiza (12) pode ser feita usando o comando “solve” do Excel.
Tratamento de dados
Se o volume do reator e/ou a vazão não forem bem conhecidas (medições precisas), é freqüente observar que as curvas calculadas E() pelo modelo e a curva experimental estejam ”deslocadas” no tempo, o ajuste de um único parâmetro não gerará uma boa representação dos dados pelo modelo. Neste caso, é aconselhável trabalhar com os dados de E(t) ao invés de E(), e fazer o ajuste simultaneamente de dois
parâmetros (Pe e t no modelo de dispersão axial, ou N e t no modelo de N tanques). O ajuste simultâneo
de dois (ou mais) parâmetros também pode ser feito usando o comando “solve” do Excel.
) / ( 4 1 ) 1 ( exp ) / ( 4 1 1 ) ( 2 2 / 1 3 aprox t t t t Pe t t Pe t t E (13)
n k k k t Pe E t E t Pet 1 2 modelo exp , ( ) ( , , )min
(14) )! 1 ( 1 ) ( 1 tanques N e t t N t t E t t N N N (15)
n k k k t N E t E t N t 1 2 tanques exp , ( ) ( , , )min
(16)Descrição do equipamento experimental do reator tubular
Consiste de um reator tubular vertical de vidro de 90 cm de comprimento e 4 cm de diametro interno. O enchimento é de anéis de Rasching de 0,8 cm. O volume útil do reator é ~0,8 litros. Uma fração da corrente de saída do reator é continuamente forçada a passar pela célula de um colorímetro, onde se pode ler a absorbância da solução (medição proporcional à concentração do traçador colorido).
Procedimento experimental no reator tubular
Ajustar uma vazão de água. Ligar colorímetro. Com cronômetro preparado, injeta-se na entrada do reator uma solução de azul de metileno, disparando simultaneamente o cronômetro (t=0). Observa-se o pulso do traçador “espalhando-se” à medida que escoa no reator. O colorímetro instalado na saída do reator está conectado a um microcomputador com sistema de aquisição de dados que automaticamente registra e arquiva os valores de absorbância em função do tempo, a intervalos de tempo pré-determinados.
Cálculos e análise dos resultados do reator tubular
Determinar a curva de DTR. Comparar as curvas experimentais e as teóricas. Determinar Pe e N, por ajuste dos modelos (equação 9 e equação 11) aos dados experimentais (note que este ajuste corresponde a um problema de regressão não-linear, ver o item 5.5.2 p. 252 do Fogler 3ª edição, ou use o Polymath, ou o comando “solve” do Excel). Comparar com os valores da literatura para um reator tubular com enchimento (p.ex. figura 14.7 Fogler 3ª edição, 1999). Discutir os resultados.
Parte II: Reator Tipo Tanque
Modelo do reator de mistura perfeita
O reator de mistura tem o seguinte modelo:
C C
r V Qdt dC
V (t) e(t) (t) ( A) (17)
Considerando um traçador físico (não reage , (-rA)=0 ) injetado na forma de uma perturbação tipo impulso na
alimentação Ce(t)(M V/ ) ( )t em (t 0), a resposta em DTR para mistura perfeita é dado por:
C M V E t CSTR
e
( ) / ( ) (18)Modelo de Cholette e Cloutier
Na prática um reator tipo tanque de mistura pode apresentar desvios do comportamento de mistura perfeita. Exemplos destes desvios podem ser a presença de regiões estagnadas (ou volume morto) e
a presença de curto circuito (ou “by-pass”). Um modelo simples, proposto por Cholette e Cloutier leva em conta as imperfeições do reator real, admitindo a presença de um volume morto e de um curto-circuito, na forma de:
QQa Qb (19)
V Va Vb (20)
onde Qa é a vazão ativa, Qb é a vazão de curto circuito, Va é volume ativo e Vb é o volume
morto. Detalhes, se necessário, podem ser vistos em Himmelblau e Bischoff (1968) e em Fogler (3ª. Ed., 1999), item 14.3.1).
A distribuição de tempo de residência em um reator tipo tanque que segue o modelo de Cholette-Cloutier é dado por: ) ( exp ) ( 2 tan Q Q QV V Q V V Q Q E b a a a a k (21)
onde a primeira parcela do segundo membro representa um decaimento exponencial, e a segunda parcela representa um “pico” no instante t=0 (pico correspondente ao curto circuito). Considere que a fração de vazão de by-pass é = Qb/Q e que a fração de volume ativo do reator é = Va/V, então a equação (21) pode ser reescrita na forma:
) ( ) 1 ( exp 1 ) ( 2 tan k E (22)Tomando apenas a primeira parcela (isto é desprezando o “pico” inicial correpondente ao curto-circuito), e representando em escala semi-logarítmica, tem-se
linear coef X k angular coef Y k E . 2 . cstr ) 1 ( ln ) 1 ( ) ( ln (22)Isto é, um gráfico de ln(E()) versus os dados experimentais terão a forma linear:
( )
( . ). ( . )ln Eexp k coef angular k coef linear (23)
Portanto, uma vez adimensionalizados os dados experimentais do CSTR usando as equações (22)-(23), pode-se determinar graficamente o coeficiente angular e o coeficiente linear, na equação (23). Assim, tem-se as frações ativas: angular coef e Q Q coeflinear a . 1 . ; 2 . ) . (coef angular e V V coeflinear a (24)
Outra opção interessante, neste caso, é trabalhar com a curva F(t), a resposta a uma perturbação tipo degrau, que se relaciona com a curva E(T) na forma:
t E t dt t F 0 ) ( ) ( ; (25)Para o modelo de Cholette-Cloutier (tanque com curto-circuito e volume morto), a curva F(t) é dada por ) 1 exp 1 (1 )exp (1 )( / ) ( ) ( t QV V Q Q Q F t F a a a (26) e linearizando, obtem´se
angular coef linear coef a a a QV V Q Q Q t F . . 1 1 ln ln ) ( 1 ln (27)Ou seja, determinando os coeficientes angular e linear do gráfico ln(1F()) versus = t/, pode-se obter?
linear coef a e Q Q . 1 ; ) . ( . angular coef e V V coeflinear a (28) Assim as porcentagens de curto circuito e de volume morto são:
1 ( / ) ) (%CC Qa Q (29)
1 ( / ) 1 ) (%VM Va V (30)Descrição do equipamento experimental do reator de mistura
Consiste de um reator de mistura com volume aproximado de 3,4 litros. O volume útil efetivamente usado no experimento deve ser medido. Uma fração da corrente de saída do reator é continuamente forçada a passar pela célula de um colorímetro, onde se pode ler a concentração do traçador colorido.
Procedimento experimental no reator de mistura
Ajustar uma vazão de água. Ligar o colorímetro. Com cronômetro preparado, injeta-se na entrada do reator uma solução de azul de metileno, disparando-se simultaneamente o cronômetro (t=0). Observa-se o pulso do traçador “espalhando-se” à medida que escoa no reator. Anota-se a concentração do traçador na saída ao longo do tempo, ou, usa-se um microcomputador com sistema de aquisição de dados conectado ao colorímetro para automaticamente registrar e arquivar os valores de absorbância em função do tempo, a intervalos de tempo pré-determinados.
Cálculos e análise dos resultados do reator de mistura
Determinar a curva de DTR. Não esqueça de considerar a “cauda” da distribuição nos cálculos (pois a
curva experimental não atinge concentração zero. Sugestão: extrapole a cauda considerando uma variação exponencial do trecho final da curva de DTR e use a exponencial ajustada para calcular as áreas após o último ponto medido). Comparar as curvas experimentais e a esperada para um reator de
mistura perfeita (ideal). Determinar as porcentagens de curto circuito e de volume morto. Interpretar e discutir os resultados. Se for o caso, sugerir modificações no reator para reduzir os problemas de escoamento observados na experiência.
Referências
Fogler, H.S. Elements of Chemical Reaction Engineering. 3rd ed. Prentice-Hall, cap.13 e 14, 1999.
Froment, G.F. e Bischoff, K.B. Chemical Reactor Analysis and Design. 2nd ed. John Wiley. Cap.12. p.509. 1992.
Gouvea, M.T., Park, S.W. e Giudici, R. Estimação de coeficientes de dispersão axial em leitos fixos. 18. Encontro sobre
Escoamento em Meios Porosos. Nova Friburgo. 1990.
Himmelblau, D.M. e Bischoff, K.B. Process Analysis and Simulation. Deterministic Ssystems. John Wiley. Cap.4. p.59. 1968. Levenspiel, O. e Bischoff, K.B. Patterns of flow in chemical process vessels. Advances in Chemical Enginnering. Vol.4.
Academic Press. 1963.
Nascimento, C.A.O. e Giudici, R. Um experimento didático para a determinação de distribuição de tempo de residência em reator de leito fixo. Revista de Ensino de Engenharia. Vol.8, n.1, p.16-22. 1989.
Wen, C.Y. e Fan, L.T. Model for Flow Systems and Chemical Reactors. Marcel Dekker. 1975.
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Roteiro para relatório de DTR de reator tubular real
O grupo deve assistir ao vídeo da experiência e receberá o conjunto de dados a ser trabalhado.
Siga estritamente as instruções abaixo para a elaboração do relatório. Os cálculos podem ser feitos em uma planilha Excel, que deve ser anexada ao relatório. Caso os cálculos sejam feitos usando outro software, apresentar o programa-fonte (comandos dos cálculos) e as tabelas de resultados gerados.
(1) A partir dos dados Absorbância versus tempo, obter A, tmédio, E(t), e E(). Modelo de dispersão axial
(2) Calcular as curvas teóricas de DRT (usando a equação 13 para o modelo de dispersão axial) para diferentes valores de Pe (modelo = linha contínua, sem símbolos, sem pontos).
(3) No mesmo gráfico, apresentar os dados experimentais de E(t) versus t (dados experimentais = pontos discretos, sem linha). Por comparação, estimar visualmente o valor de Pe aproximado que melhor ajusta os dados experimentais.
(4) Para cada valor de tempo medido, calcular o valor de E(t) usando valores estimados de Pe e t . Calcular a soma dos resíduos, equação (14). Usando o comando “solver” do Excel, encontrar os valores ótimos de Pe e t que minimizem a equação (14).
(5) Faça outro gráfico com os pontos experimentais E(t) (pontos discretos) e uma única curva E(t) calculada pelo modelo de dispersão axial, ajustada aos dados (modelo = linha contínua, sem pontos, sem símbolos).
(6) Discuta sucintamente se o modelo conseguiu ou não ajustar corretamente o comportamento experimentalmente medido, e caso não tenha conseguido, quais os razões.
(7) Compare o valor de Pe e Da obtidos, com os valores experimentais deste parâmetro reportados na
literatura ( marque no gráfico abaixo o ponto correspondente ao valor de Pe obtido e o correspondente valor do número de Reynolds, ou seja, acrescente no gráfico abaixo o ponto obtido).
(equivalente à figura 14.7 do livro do Fogler)
(8) Pesquise na literatura uma ou mais equações/correlações para previsão de coeficiente de dispersão axial em leitos fixos (apresente a equação, explique o significado dos termos da equação, e cite a referência/fonte). Compare o valor obtido no seu experimento com o valor previsto/predito pela correlação. Discuta sucintamente.
Modelo de N tanques em série
(9) Calcular as curvas teóricas de DRT (usando a equação 15 para o modelo de dispersão axial) para diferentes valores de N (modelo = linha contínua, sem símbolos, sem pontos).
(10) No mesmo gráfico, apresentar os dados experimentais de E(t) versus t (dados experimentais = pontos discretos, sem linha). Por comparação, estimar visualmente o valor de N aproximado que melhor ajusta os dados experimentais.
(11) Para cada valor de tempo medido, calcular o valor de E(t) usando valores estimados de N e t . Calcular a soma dos resíduos, equação (16). Usando o comando “solver” do Excel, encontrar os valores ótimos de Pe e t que minimizem a equação (16).
(12) Faça outro gráfico com os pontos experimentais E(t) (pontos discretos) e a curva E(t) calculada pelo modelo de N tanques em série ajustado ao dados (modelo = linha contínua, sem pontos,sem símbolos).
(13) Verifique se os valores ajustados de Pe e N obedecem à relação de equivalência dada pela equação Pe = 2(N1) ou N = (Pe/2) + 1 (ver Fogler, 3ª. Ed., 1999, Eq 14.41, e 14. 42).
(14) Liste as referências bibliográficas EFETIVAMENTE consultadas (todas) para a elaboração do relatório.
(15) Anexe a planilha com os cálculos realizados.
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Roteiro para relatório de DTR de reator tipo tanque real
O grupo deve assistir ao vídeo da experiência e receberá o conjunto de dados a ser trabalhado.
Siga estritamente as instruções abaixo para a elaboração do relatório. Os cálculos podem ser feitos em uma planilha Excel, que deve ser anexada ao relatório. Caso os cálculos sejam feitos usando outro software, apresentar o programa-fonte (comandos dos cálculos) e as tabelas de resultados gerados.
(1) A partir dos dados Absorbância versus tempo, obter A, tmédio, E(t), , E(). Cuidado com a “cauda
longa de altos tempos de residência. Tanto para o cálculo da área sob a curva como para o cálculo do tempo médio de residência, deve-se extrapolar o final da curva E() por uma equação exponencial y=a.exp(-b.x) ajustada ao último trecho da curva, e considerar esta curva para extrapolar o cálculo das integrais deste o último tempo medido até tempo infinito.
(2) Calcule também a curva F(t) = F(), fazendo a integral, p.ex., por regra dos trapézios.
(3) Compare a curva de DTR experimental (E() versus ) com a curva teórica do modelo CSTR dada por E() = exp(). Compare também a curva experimental F() versus com a curva do modelo CSTR dada por F() = 1exp(). Lembre-se SEMPRE de que pontos experimentais são
símbolos (sem linha) e curva teórica é linha contínua (sem símbolos, sem pontos).
(4) Comente se o reator tipo tanque do experimento pode ou não ser considerado um CSTR.
(5) Ajuste o modelo de Cholette-Cloutier aos dados medidos, usando a curva E() linearizada, eq.(22). Apresente o gráfico correspondente a este ajuste (tanto o gráfico linearizado ln E() versus como também o gráfico de E() versus ).
(6) Ajuste o modelo de Cholette-Cloutier aos dados medidos, usando a curva F() linearizada, eq.(27). Apresente o gráfico correspondente a este ajuste (tanto o gráfico linearizado ln(1-F()) versus como também o gráfico de F() versus ).
(7) Compare os resultados dos parâmetros obtidos ( = fração de volume ativo e =fração de vazão de curto-circuito). Comente qual deles lhe pareceu mais confiável e justifique sua resposta.
(8) Comente sucintamente se o ajuste feito é razoável ou não, e o que deveria ser feito em experimentos futuros para melhorar as medições e troná-las mais precisas e confiáveis.
(9) Liste as referências bibliográficas EFETIVAMENTE consultadas (todas) para a elaboração do relatório.
(10) Anexe a planilha com os cálculos realizados.
