UMA EXPERIENCIA COM A CALCULADORA NO ENSINO DAS
OPERAÇÕES DOS NÚMEROS DECIMAIS
.Pedro Franco de Sá UEPA / UNAMA/ BRASIL
psa@digi.com.br Rosineide Sousa Jucá
SEDUC-PA / UEPA/ PPGED-UEPA /BRASIL rosejuca@yahoo.com.br
RESUMO
Esse artigo contém a descrição de um experimento realizado junto a 34 alunos da 5ª série da rede publica de Belém do Pará. Tal experimento teve o objetivo verificar se os alunos de uma 5ª série seriam capazes de enunciar os algoritmos das operações com números decimais sem uma apresentação previa do professor a partir de atividades com calculadoras simples. Com base nos estudos e conclusões de Zunino (1995) Pérez (1997) e Padovan (2000) que realizaram estudos sobre o ensino das operações com números decimais, desenvolvemos atividades para o ensino das operações com números decimais, utilizando a calculadora como recurso didático. Os resultados foram satisfatórios para as operações de adição e subtração e indicando para operação de multiplicação e divisão a necessidade de um trabalho mais aprofundado.
Palavras Chaves: números decimais, calculadora, ensino por atividades.
1. Introdução
Durante os últimos anos vem sendo desenvolvidas pesquisas sobre as dificuldades de aprendizagem dos alunos referentes aos números decimais. Dentre elas destacamos aqui os de estudos de Zunino (1995), Pérez (1997) e Padovan (2000). Os trabalhos desses autores mostram as dificuldades de aprendizagem em relação aos números decimais,
principalmente no que se refere às operações com esses números.
Zunino (1995) revela em seus estudos as dificuldades dos alunos em operacionalizar com números decimais, mostrando os erros que os mesmos comentem em relação à posição da vírgula, para ela esses erros ocorre pela não compreensão ou pela ineficiente formação no conceito desses números. Para Zunino (ibidem) as crianças erram na divisão por aplicar uma regra que não possuem compreensão, dessa forma esquecem de como devem proceder ao efetuar o algoritmo e não conseguem reconstruir o procedimento com seu próprio raciocínio.
Pérez (1997) sobre as operações com números decimais afirma que os alunos cometem erros por não possuir a compreensão do que seja um numero decimal. Ela propõe que o ensino das regras das operações seja realizado por meio de procedimentos, nos quais os alunos possam percebê-las, antes de enunciá-las explicitamente.
Segundo Padovan (2000) os alunos realizam a operação de adição de números decimais como se fossem os números naturais, entretanto apresentam a resposta no campo dos decimais. Não apresentam dificuldade em relação à adição e que o erro, nesse caso, refere-se à não considerar a ordem de grandeza dos números envolvidos, misturando o valor posicional na soma. As operações com maior índice de erros foram à multiplicação, subtração e divisão, respectivamente. Na subtração, esquecem de completar o número com zero (quando é necessário) ou de fazer empréstimos das unidades. Desconhecem o funcionamento do algoritmo da multiplicação (efetuam a multiplicação como efetuaram a adição, colocando vírgula sob vírgula) e conseqüentemente sentem dificuldade na colocação da vírgula no resultado da multiplicação.
Os estudos de Zunino (1995), Pérez (1997) e Padovan (2000) apresentam conclusões semelhantes, pois apontam que a grande dificuldade dos alunos nas operações, principalmente na divisão, é que os mesmo não têm compreensão do conceito de número decimal, fazendo uma associação aos naturais e que os alunos realizam as operações de forma mecanizada, não raciocinando sobre as mesmas.
Concordando com a posição de Pérez (1997) ao colocar que o ensino das regras das operações seja realizado por meio de atividades as quais permitam aos alunos a compreensão do que realizam, antes de explicitá-las, desenvolvemos uma seqüência didática para o ensino das operações com os números decimais.
Com base nessa afirmação formulamos as seguintes questões: É possível ensinar os algoritmos das operações com números decimais usando a máquina de calcular com recurso didático?
Neste trabalho apresentamos os resultados de um experimento didático que teve como objetivo verificar se os alunos de uma 5ª série seriam capazes de enunciar os
algoritmos das operações com números decimais sem uma apresentação previa do professor a partir de atividades com calculadoras simples.
2. Metodologia da pesquisa
A experiência foi desenvolvida por meio das seguintes etapas: 1.Construção das atividades de ensino;
2. Aplicação das atividades;
3. Aplicação de um teste e análise dos resultados.
3. A construção das atividades
A construção das atividades teve como principio levar o aluno a redescobrir os algoritmos das operações com os números decimais. Foram construídas sete atividades assim distribuídas: uma para adição, uma para subtração, uma para multiplicação e duas para divisão. Todas as atividades foram construídas para serem desenvolvidas em trabalhos em grupo tendo a calculadora como recurso didático sob o acompanhamento docente.
4. A aplicação das atividades
1ª atividade: adição de números decimais
Nosso objetivo nessa atividade foi levar o aluno a formular a regra da adição de números decimais.
Os alunos receberam uma lista de problemas envolvendo adição de números decimais. Os grupos foram orientados a resolverem os problemas armando as operações que seriam realizadas. Os alunos utilizaram a calculadora para resolverem os cálculos. Após a resolução dos problemas foi solicitado aos alunos que observassem seus cálculos e tentassem formular uma regra para a adição de decimais. Como fruto das discussões em cada grupo e da intervenção docente em alguns casos, os grupos formularam as suas regras para adição de números decimais. Fizemos as transcrições das respostas dos alunos que apresentamos a seguir.
As conclusões tiradas pelos grupos foram as seguintes.
Grupo 1: Para somar números decimais devemos usar vírgula em baixo do vírgula e numero embaixo de número.
Grupo 2:Para somar um numero decimal precisa ter vírgula embaixo de vírgula e quando falta um numero a direita bota o zero.
Grupo 3:Para somar um numero decimal precisamos botar vírgula embaixo de vírgula e acrescentando zero onde está vazio.
acrescentar o zero onde está sozinho.
Grupo 5:Para somar um numero decimal precisa ter vírgula embaixo de virgula quando falta um número a direita bota zero.
Após a formulação feita pelos grupos foi realizada a institucionalização da regra da adição de números decimais por meio do seguinte enunciado:
Para somar números decimais igualamos o número de casas decimais das parcelas, acrescentando zero. Colocamos vírgula debaixo de vírgula, somamos como se fossem números naturais e colocamos no resultado a vírgula alinhada com as outras. Podemos observar que a regra formulada pelos grupos se aproxima da regra formal encontrada nos livros didáticos.
2ª atividade: subtração de números decimais
Nosso objetivo com essa atividade foi levar os alunos a formularem a regra da subtração dos números decimais.
Os alunos receberam uma lista com questões que envolviam problemas com subtração de números decimais, para serem resolvidas conforme as orientações da 1ª atividade. Após a resolução das questões foi solicitado aos alunos descobrirem uma regra para o cálculo da subtração sem a máquina da calcular, observando os cálculos que haviam realizado. Os alunos não apresentaram dificuldade talvez devido à experiência adquirida na atividade anterior.
As conclusões apresentadas pelos grupos foram as seguintes:
Grupo 1: para subtrair números decimais observamos colocar virgula embaixo d e virgula, acrescentar os zero aonde for preciso e emprestar um numero para o outro quando for preciso.
Grupo 2: para subtrair números decimais devemos colocar os números obedecendo a ordem: décimos, centésimos e milésimos virgula embaixo de virgula e completar com o zero quando for necessário e fazer empréstimo de um número para outro.
Gripo 3: para subtrair números decimais devemos colocar décimos embaixo de décimos, centésimos embaixo de centésimos, milésimos embaixo de milésimos, vírgula embaixo de vírgula e emprestar os números e acrescentar zeros.
Grupo 4:precisa colocar virgula embaixo de virgula e décimos embaixo de décimos, centésimos embaixo de centésimos, milésimos embaixo de milésimos acrescentar os zeros e as casas abaixo.
Grupo 5: para subtrair números decimais coloca número embaixo de numero, vírgula embaixo de vírgula, acrescenta zero aonde for preciso e empresta um número para o outro quando for preciso
subtração de números decimais por meio do seguinte enunciado:
Para subtrair números decimais igualamos o número de casas decimais das parcelas, acrescentando zero. Colocamos vírgula debaixo de vírgula, subtraímos como se fossem números naturais e colocamos no resultado a vírgula alinhada com as outras. Podemos observar que os alunos conseguem formular a regra, alguns grupos se referem a décimos, centésimos e milésimos isso ocorreu por que durante a explicação da operação de adição a professora se referiu a posição decimal dos números.
3ª atividade: multiplicação com números decimais
Nosso objetivo com essa atividade foi levar os alunos formularem a regra da multiplicação dos números decimais.
Os alunos receberam como atividade uma lista de contendo 10 questões envolvendo multiplicação de número decimal por inteiro e número decimal por decimal e foram orientados a procederem como nas demais atividades. Após a resolução das questões os alunos apresentaram suas regras para a multiplicação de números decimais.
As conclusões apresentadas pelos grupos foram as seguintes:
Grupo 1: devemos observar que o número de casas das parcelas após a virgula corresponde ao número de casas após a virgula no resultado.
Grupo2: para colocar a vírgula no resultado precisamos olhar os números após a vírgula nas parcelas.
Grupo 3: devemos observar os números após a vírgula nas parcelas para colocar virgula no resultado
Grupo 4: devemos observar os números após a vírgula nas parcelas para botar vírgula o resultado.
Grupo 5: colocar a vírgula no resultado precisa olhar os números após a vírgula nas parcelas.
Após a formulação feita pelos grupos foi realizada a institucionalização da regra da multiplicação de números decimais por meio do seguinte enunciado:
Multiplicamos os números decimais como se fossem naturais. Colocamos a vírgula no resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à soma do numero de casas decimais dos fatores.
Podemos constatar que os alunos conseguem se aproximar da regra formal que aparece no livro didático.
4ª atividade: divisão de números decimais
Nosso objetivo com essa atividade é levar os alunos formular a regra da divisão dos números decimais.
Os alunos receberam uma lista contendo problemas sobre divisão de números decimais e foram orientados para resolverem com a calculadora os problemas. A professora conduziu as discussões nos grupos para que os alunos conseguissem formular a regra. Com as repostas que obtinham do cálculo feito na calculadora os alunos analisavam as respostas e respondiam o questionamento da professora até que pudessem chegar à regra da divisão.
As conclusões apresentadas pelos grupos foram as seguintes:
Grupo 1: para dividir números decimais com casas decimais diferentes devemos acrescenta zeros quando for preciso para ficar igual.
Grupo 2: para dividir números decimais com casas decimais diferentes devemos acrescentar zeros para ficarem iguais.
Grupo 3: para dividir números decimais com casas decimais diferentes acrescenta zeros para poder ficar igual.
Grupo 4: para dividir números decimais com casas decimais diferentes devemos acrescentar zeros para ficar igual.
Grupo 5: devemos acrescentar os zeros quando for preciso para ficarem iguais.
Após a formulação feita pelos grupos foi realizada a institucionalização da regra da divisão de números decimais por meio do seguinte enunciado:
Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor, acrescentando zeros, eliminamos as vírgulas e dividimos os números naturais obtidos.
Os alunos se aproximam da regra formal, apenas não se referem à eliminação da vírgula na regra, mas ao realizar a operação eles igualam as casas decimais e desprezam a vírgula, como veremos nas respostas do teste.
5ª atividade: divisão de inteiros dando como resposta um decimal
Nosso objetivo nessa atividade foi levar o aluno à formulação da regra da divisão de inteiros dando como resposta números decimais.
A professora partiu da situação “Preciso dividir 5 reais para 2 alunos, quanto receberá cada um?” para introduzir a idéia de divisão de inteiros dando um decimal como resposta. A professora conduziu os alunos a desenvolverem o algoritmo da divisão sem apresentar a regra anteriormente, ela fez à representação da divisão no quadro e sobre a vírgula disse que ela serviria para separar o real dos centavos.
Após as explicações da professora os alunos receberam uma lista contendo problemas com divisão de números decimais e foram orientados para resolverem as divisões usando a calculadora para que conferissem seus resultados. Após a realização da atividade os alunos fizeram à formulação da regra.
Grupo1: na divisão quando o resto não é exato acrescentamos o zero e a vírgula no quociente e dividimos.
Grupo 2: acrescentamos zero no resto e a virgula no quociente.
Grupo 3: para dividir é preciso acrescentar zero e a vírgula acrescenta zero no resto e vírgula no quociente.
Grupo 4: devemos zero no resto e a vírgula no quociente.
Grupo 5: para dividir o número inteiro precisamos acrescentar zero no resto e a vírgula no quociente.
Após a formulação feita pelos grupos foi realizada a institucionalização da regra da divisão de números decimais por meio do seguinte enunciado:
Realizamos a divisão dos inteiros e se tiver resto acrescentamos zero no resto, colocamos a vírgula no quociente e seguimos fazendo a divisão.
Observamos que a resposta dos grupos se aproxima da regra formal.
4. Análise dos resultados do teste
Aplicamos após as atividades um teste para verificar o conhecimento dos alunos. O teste foi realizado por 34 alunos. Apresentamos a seguir nossas análises das respostas dos alunos as questões do teste.
01. Dona Marta comprou 8, 25 metros de tecido e dona Lucia comprou 12,35 metros. Quantos metros as duas compraram juntas?
Algumas das respostas dadas pelos alunos:
FIGURA 1- teste FIGURA 2 - teste FIGURA 3 - teste
Essa questão apresentou 85% de acerto, assim constatamos que os alunos conseguiram aplicar corretamente a regra da adição, alguns erros detectados no teste foram em relação à escolha errada da operação.
02. Salário de José é R$ 980, 56. Ele terá que pagar R$ 225, 68 de aluguel. Quanto sobrará de seu salário?
FIGURA 4 - teste FIGURA 5 - teste FIGURA 6 - teste
Essa questão teve 88% de acerto, os alunos apresentaram um desempenho satisfatório na aplicação da regra da subtração. Os erros foram relacionados a escolha errada da operação.
03. Sofia tem R$ 22,00. Foi ao parque e gastou R$ 8, 50, na roda gigante e nos cavalinhos, R$ 5,90 com maça do amor e docinhos. Quanto restou do dinheiro que possuía?
Respostas dadas pelos alunos.
FIGURA 7- teste FIGURA 8 - teste FIGURA 9 - teste
Os alunos conseguiram resolver a questão sem nenhuma dificuldade, aplicando corretamente a regra da adição e da subtração. A questão apresentou 37% de acertos, os maiores erros foram na escolha da operação. Em alguns casos, os alunos acertavam apenas uma operação.
04. Um alfaiate gasta 2,6m de tecido para fazer um paletó. De quantos metros de tecido precisará para fazer 3 paletós?
Respostas dos alunos
FIGURA 10- teste FIGURA 11 - teste FIGURA 12 - teste
Essa questão apresentou 79% de acerto, um bom índice visto que a multiplicação é uma operação que os alunos costumam cometer erros de tabuada. Os erros foram relacionados
à escolha errada da operação ou na falta de domínio da tabuada.
05. João vai comprar 1, 87 quilo de biscoitos, sabe-se que o quilo custa R$ 0,80. Quanto João irá pagar?
Resposta dos alunos
FIGURA 13- teste FIGURA 14 - teste FIGURA 15 - teste
Essa questão apresentou 18 % de acerto, por envolver a multiplicação muitos alunos erraram a armação do algoritmo, como podemos constatar na figura 13 e 15. Observamos que os alunos não dominam a multiplicação no campo dos naturais, dessa forma isso se tornou um obstáculo para na aprendizagem da multiplicação de decimais. Apesar de terem conseguido formular a regra para a multiplicação, sentem dificuldade em aplicá-la.
06. Helena comprou um DVD e irá pagar 4 prestações de R$ 83,60. Sabe-se que ela já deu de entrada R$ 120 reais. Qual o valor total desse DVD?
FIGURA 16- teste FIGURA 17 - teste FIGURA 18 - teste
Essa questão envolvia multiplicação e adição, 26% dos alunos conseguiram acertar a questão, mas erraram cálculo ou na escolha da segunda operação como mostra a figura 16. Também detectamos erros relacionados a tabuada.
07. Uma coca – cola possui 1,25 litros que serão distribuídos em copos de 0, 25 litros. Quantos copos serão usados?
FIGURA 20 - teste FIGURA 21 - teste FIGURA 22 - teste
Nessa questão 55% dos alunos acertaram a questão, aplicando corretamente a regra que eles formularam. Na formulação da regra eles não falam que devem ignorar as vírgulas, mas nos cálculos observamos que eles ignoram as vírgulas e dividem como se fossem naturais, e isso fica claro na figura 21, onde o aluno corta as vírgulas e repete o número sem a vírgula.
08. Antonio comprou uma TV por 850 reais. Para pagar deram de entrada 125 reais e o restante parcelou em 5 prestações. Qual será o valor de cada prestação?
Respostas dos alunos
FIGURA 23 - teste FIGURA 24 - teste FIGURA 25 - teste
Essa questão apresentou 35% de acerto, os alunos acertam na escolha da operação e conseguem aplicar a regra da divisão para números decimais, mas erra no algoritmo da divisão, como mostram as figuras 23 e 24. Percebemos que o aluno não tem ainda o domínio da divisão no campo dos naturais.
09. O dono de uma mercearia distribuiu 87 quilos de arroz em uma dúzia de pacotes iguais. Quantos quilos foram colocados em cada pacote?
Respostas dos alunos
Essa questão apresenta 26% de acertos. Os alunos conseguem aplicar a regra da divisão de inteiros dando decimais, como percebemos nas figuras 26 e 27, na figura 28 o aluno mostra dúvida na posição da vírgula. Os erros detectados foram na escolha errada da operação e não na aplicação da regra pra decimais.
5. Considerações finais
Nossos objetivos nessa experiência era investigar se os alunos seriam capazes de formular as regras das operações com números decimais sem a apresentação prévia do professor.
Pela respostas dos alunos nas atividades percebemos que eles conseguiram formular as regras de forma correta. Por ser uma forma nova de conduzir as aulas entendemos que seja normal que os alunos sintam dificuldade nos primeiros momentos da atividade, pois os mesmo não estão acostumados a participar da construção de um conhecimento. Na maioria das vezes a aulas se realizam de forma expositiva tendo o aluno apenas de memorizar o conteúdo exposto pelo professor.
A participação do professor para conduzir e organizar as idéias dos alunos no processo de elaboração das regras se torna importante, pois o que observamos é que os alunos conseguem entender as operações, mas não conseguem explicitar corretamente as mesmas. Nessa hora a intervenção do professor é essencial, pois ele conduzirá o processo de construção do conhecimento, levando o aluno a sistematizar suas idéias.
A utilização da calculadora na atividade foi importante para a verificação dos resultados e na elaboração das regras, sendo um recurso muito útil no desenvolvimento da atividade. Esse tipo de atividade é proposta por Pérez (1997), pois para ela o ensino das operações com números decimais deveria ser por meio de atividades, levando o aluno a reflexão do conhecimento e não apenas a memorização.
Visando confirmar se os alunos conseguiam aplicar corretamente as regras por eles construídas, aplicamos um teste e verificamos que este apresentou uma resposta satisfatória, pois os alunos conseguiam aplicar corretamente as regras das operações. Dessa forma, acreditamos que as atividades propostas são viáveis para o ensino das operações com número decimais.
Entendemos que os resultados podiam ter sido melhores, mas nas operações de multiplicação e divisão os resultados não foram tão bons. Os estudos de Zunino (1995) e Padovan (2000) já alertavam para isso, pois os alunos apresentam dificuldades nessas operações. Observamos que os alunos demonstraram dificuldade em realizar a operação de multiplicação com números naturais, e isso de certa forma dificultou para que os mesmos entendessem a multiplicação com números decimais. Percebemos que a dificuldade deles não era em posicionar a vírgula no resultado e sim em efetuar o algoritmo.
Talvez as dificuldades encontradas estejam na deficiência que os alunos apresentam no domínio da tabuada e na multiplicação e divisão dos números naturais, essas deficiências dos alunos em operacionalizar no campo dos números naturais e a forma mecanizada como essas operações são ensinadas são enfatizadas nos estudos de Zunino (1995), Pérez (1997) e Padovan (2000).
Diante disso, se faz necessário desenvolver um outro estudo mais aprofundado para as operações de multiplicação e divisão de números decimais para sanar as dificuldades encontradas.
6. Referências
PADOVAN, D. M. F. Números decimais: o erro como caminho. 2000. 145p. Dissertação (Mestrado em educação matemática) – Universidade de São Paulo, São Paulo, 2000. PÉREZ, J.C. Números decimales? ¿Por qué? ¿Para que? Madrid: Síntesis, 1997. 210p. ZUNINO, D. L. O valor posicional. A matemática na escola: aqui e agora. 2 ed. Porto Alegre: Artes médicas, 1995. 117-189p.
