Calculo 2

(1)

Sum´

ario

1 T´ecnicas de Integra¸c˜ao 3

1.1 Integral por substitui¸c˜ao . . . 3

1.2 Integral por partes . . . 4

1.3 Integrais Trigonom´etricas . . . 6

1.4 Fra¸c˜oes Parciais . . . 8

2 Extens˜oes do conceito de integral 11 2.1 Integrais Impr´oprias . . . 11

2.2 Convergência e divergência: Critério de Compara¸cão . . . 13

3 Alguns teoremas sobre integrais 16 4 Aplica¸c˜oes da Integral Definida 22 4.1 Coordenadas Polares . . . 22

(2)

SUM ´ARIO 2

4.3 Areas . . . .´ 28 4.4 Volumes de Revolu¸c˜ao . . . 31 4.5 Superf´ıcies de Revolu¸c˜ao . . . 36

5 Fun¸cões de Várias Variáveis 39

5.1 Introdu¸c˜ao . . . 39 5.2 Limite e Continuidade . . . 42

(3)

Cap´ıtulo 1

T´

ecnicas de Integra¸

c˜

ao

1.1 Integral por substitui¸

c˜

ao

Sejam f (x) e F (x) fun¸cões tais que F′(x) = f (x). Suponha g(x) uma fun¸c˜ao, tal que Im(g) ⊂ Dom(F ), ou seja, sempre é poss´ıvel a composi¸cão F ◦ g. Derivando F ◦ g:

[F (g(x))]′ = F′(g(x)).g′(x) = f (g(x)).g′(x) (1.1) Tomando a integral em rela¸c˜ao a x em ambos os membros da equa¸c˜ao acima:

ˆ [F (g(x))]′dx = ˆ f (g(x)).g′(x)dx F (g(x)) + c = ˆ f (g(x)).g′(x)dx (1.2)

(4)

1.2 Integral por partes 4 Fazendo u = g(x)→ du = g′(x)dx: ˆ f (g(x)).g′(x)dx = ˆ f (u)du = F (u) + c (1.3)

ou seja, ´e poss´ıvel adotar uma substitui¸c˜ao de vari´aveis conveniente (u =

g(x)) de forma que a integral possa ser reescrita de maneira mais simples.

Exemplos: a) ´ senxcosxdx.

b) ´ _1+x2x2dx.

1.2 Integral por partes

F´ormula: ˆ udv = uv− ˆ vdu Demonstra¸c˜ao:

Sejam f e g fun¸c˜oes deriv´aveis em um intervalo (a, b). Derivando o pro-duto:

[f (x)g(x)]′ = f′(x)g(x) + f (x)g′(x)

(5)

1.2 Integral por partes 5

Integrando ambos os membros (em rela¸c˜ao a x): ˆ f (x)g′(x)dx = ˆ [f (x)g(x)]′dx− ˆ f′(x)g(x)dx ˆ f (x)g′(x)dx = f (x)g(x)− ˆ f′(x)g(x)dx (1.5) Fazendo      u = f (x)→ du = f(x)dx v = g(x)→ dv = g(x)dx , temos: ˆ udv = uv− ˆ vdu . Exemplos: a) ´ xe−2xdx b) ´ x2_senxdx c) ´ sen3_xdx d) ´ lnxdx

(6)

1.3 Integrais Trigonom´etricas 6

Exerc´ıcios:

1) Resolva as integrais usando o m´etodo de integra¸c˜ao por substitui¸c˜ao: a) ´ √5 x x2₋₁dx b) ´ _et et₊₄dt c) ´ tgxsec2xdx d) ´ _√4t 4t2₊₅dt e) ´ _cos√_x √ x dx

2) Resolva as integrais usando o m´etodo de integra¸c˜ao por partes:

a) ´ xsen5xdx b)´ xln3xdx c) ´ xcos2_xdx d) ´ _x13e 1 xdx e)´ e3xcos4xdx 3) Resolva as integrais: a) ´ _x+32 dx b)´ sen2_xcosxdx _c) ´1 0 x 1+x4dx d) ´ π3 0 sen 4_xcosxdx _e)´ _ex_cosx 2dx f ) ´ cos3_xdx

4) Calcule (usando integrais) a ´area do c´ırculo de raio r.

1.3 Integrais Trigonom´

etricas

A) As f´ormulas a seguir s˜ao muito ´uteis:

sen2x = 1− cos2x 2 e cos 2_{x =} 1 + cos2x 2 (1.6) Exemplo: a)´ sen2_xdx

(7)

1.3 Integrais Trigonom´etricas 7

B) Para qualquer inteiro n, temos: ˆ sennxdx = 1 nsen n−1_{xcosx +}n− 1 n ˆ senn−2xdx (1.7) ˆ cosnxdx = 1 ncos n−1_{xcosx +} n− 1 n ˆ cosn−2xdx (1.8) Dem.: É uma consequência direta da integra¸cão por partes:

Exemplo: b)´ sen3xdx

C) Tamb´em pode-se integrar potˆencias de seno e cosseno usando:      sen2_{x = 1}_{− cos}2_x cos2_{x = 1}_{− sen}2_x Exemplo: c)´ sen2_cos2_xdx

D) Substitui¸c˜ao trigonom´etrica ´

E a substitui¸cão de um uma fun¸cão qualquer por uma fun¸cão seno ou cosseno:

Exemplos: d)´ √9− x2_dx

(8)

1.4 Fra¸c˜oes Parciais 8

e)´ √ 1

2+4x2dx

Exerc´ıcios:

1) Resolva as integrais :

a) ´ sen4xdx b) ´ sen2xcos2xdx c)´ sen3xcos5xdx *

d) ´ _x2√dx_x2₋₅ e)

´

secxdx f )´ √4 + x2_dx

g)´ √ex

4−e2xdx

* use senaxcosbx = 1₂sen(a + b)xsen(a− b)x

2) Mostre que: senaxcosbx = 1

2sen(a + b)xsen(a− b)x

3) Calcule a ´area interior a elipse de equa¸c˜ao

x2

a2 +

y2

b2 = 1

1.4 Fra¸

c˜

oes Parciais

Define-se a fun¸c˜ao racional como a fun¸c˜ao do tipo h(x) = P (x)_Q(x), onde P (x) e

Q(x) s˜ao polinˆomios e Q(x)̸= 0. Para calcular a integral da fun¸cão racional, escrevemos-a em forma de uma soma de fun¸cões mais simples, denominadas fra¸cões parciais, e por conseguinte,calculamos a integral. Há vários casos a serem estudados. O primeiro (e mais simples), é o caso em que o gram do polinômio do numerador é maior que o grau do polinômio do denominador, em que uma simples divisão de polinômios resolve o problema:

(9)

Exemplo: a) x

2₊₄

x+2

Seguem, as t´ecnicas para o caso em que o grau do denominador ´e maior que o do denominador:

A) Caso linear:

(i) Fatores lineares distintos:

Exemplos: b)

´

5x−4

x2−x−2

dx

c)

´

x+20

x2−2x−8

dx

(ii) Fatores lineares repetidos:

Exemplo: d)

´

3x

2_+4x+2

(10)

B) Caso quadr´atico:

(ii) Fatores quadr´aticos irredut´ıveis diferentes:

Exemplo: e) 8x

2_+3x+20

x3+x2+4x+4

(ii) Fatores quadr´aticos irredut´ıveis repetidos:

Exemplo: e) x 2_+x+2 x(x2+1)2 Exerc´ıcios: 1) Resolva as integrais: a) ´ x3_x+2x3_+3x2−3x+12_+2x dx b) ´ _t+7 (t+1)(t2_−4t+3)dt c)´ _x(x+2)(x2x2₋₁₎dx d) ´ _4t5_−3t4_−6t3_+4t2_+6t₋₁ (t+1)(t2₋₁₎ dt e) ´ _y4dy₋₁₆ f ) ´ _2t2_−t+1 t(t2₊₂₅₎dt g)´ _(x_−2)(2x6x2−8x−12_−3x+5)dx

(11)

Cap´ıtulo 2

Extens˜

oes do conceito de

integral

2.1 Integrais Impr´

oprias

DEFINI ¸C ˜AO: Seja f integr´avel em [a, t] para todo t > a. Definimos: ˆ _∞ a f (x)dx = lim t→∞ ˆ t a f (x)dx

desde que o limite exista e seja finito. Tal limite ´e chamado integral impr´opria de f estendida de f no intervalo [a, +∞[.

Da mesma form, temos, para f integr´avel em [t, a], ˆ a −∞ f (x)dx = lim t→−∞ ˆ a t f (x)dx.

(12)

2.1 Integrais Impr´oprias 12

Caso a integral impr´opria resulte em um limite finito, dizemos que ela con-verge e caso o limite seja infinito, dizemos que a mesma concon-verge.

Exemplos a)

´

+∞ 1 1 x2

dx

b)

´

₁+∞ 1_x

dx

DEFINI ¸C ˜AO: Seja f n˜ao limitada em ]a, b] e integr´avel em [t, b] pata todo t∈]a, b[. Define-se

ˆ b a f (x)dx = lim t→a+ ˆ b t f (x)dx

desde que o limite exista e seja finito. Exemplos c)

´

1 0 1 √ x

dx

(13)

2.2 Convergência e divergência: Critério de Compara¸cão 13 d)

´

1 0 1 x

dx

2.2 Convergˆ

encia e divergˆ

encia: Crit´

erio de

Compara¸

c˜

ao

TEOREMA: Sejam f e g fun¸c˜oes integr´aveis em [a, t] para todo t > a e tal que para todo x≥ a, 0 < f(x) ≥ g(x). Ent˜ao:

(14)

2.2 Convergência e divergência: Critério de Compara¸cão 14

(ii) ´_a+∞f (x)dx divergente→ ´_a+∞g(x)dx divergente.

Dem.:

Exemplos: a) ´₀+∞e−xsen2_xdx

b) ´₁+∞_x4x₊₃3 dx

TEOREMA: Suponha f integr´avel em [a, t] para todo t > a. Ent˜ao, ´+∞

a |f(x)|dx ´e convergente, se e somente se

´+∞

a f (x)dx for convergente.

Dem.:

(15)

2.2 Convergência e divergência: Critério de Compara¸cão 15

c) ´₀+∞e−xsen3_xdx

TEOREMA:

(i) ´₁+∞_x1αdx ´e convergente para α > 1 e divergente para α≤ 1;

(ii) ´₀+∞e−αxdx ´e convergente para α > 0. Dem.:

Exerc´ıcios:

Alguns teoremas sobre integrais

Essa parte de destina a apresentar algumas informa¸cões sobre integrais, de forma a complementar o conhecimento teórico adquirido na disciplina de Cálculo I.

TEOREMA:

Sejam f e g integráveis em [a, b], tais que f (x)̸= g(x) em apenas um número finito de pontos. Então:

ˆ b a f (x)dx = ˆ b a g(x)dx Dem.:

Seja h(x) = f (x)− g(x) integrável. Então h(x) ̸= 0 exceto em um número finito de pontos. Como

ˆ b a h(x)dx = lim max∆xi n ∑ i=0 h(ci)∆xi

(17)

17

para ci ∈ [xi−1, xi] arbitr´ario, podemos escolhˆe-lo de forma que h(ci) = 0.

Assim: ˆ b a h(x)dx = lim max∆xi n ∑ i=0 h(ci)∆xi = 0 ˆ b a [f (x)− g(x)]dx = 0 ∴ ˆ b a f (x)dx = ˆ b a g(x)dx (3.1) Exemplo a) Calcule ´₀4f (x)dx onde f (x) =      x2; 0≤ x ≤ 1 3 x; x > 1 .

DEFINI ¸C ˜AO: (Fun¸c˜ao dada por uma integral)

Sejam f uma fun¸cão definida em um intervalo I, integrável em todo [c, d] contido em I. Seja a um número fixo pertencente a I. Para todo x ∈ I, a integral ´_axf (t)dt existe. Assim, define-se a fun¸c˜ao

F (x) =

ˆ x a

f (t)dt

como sendo a fun¸c˜ao dada pela integral de F de a a x. Exemplo

(18)

18

b) Esbo¸car o gr´afico de F (x) =´₀xf (t)dt onde f (t) =

     1; 0≤ x < 2 2t; t≥ 2 .

TEOREMA: (Do Valor M´edio para Integrais) Seja f cont´ınua em [a, b]. Ent˜ao, existe c∈ [a, b], tal que:

ˆ b a

f (x)dx = f (c)(b− a).

Dem.:

Usemos o teorema de Weiertrass: Se f é cont´ınua em [a, b], ent˜ao atinge um m´aximo e um m´ınimo nesse intervalo. Se M ´e o valor máximo atingido por f e m o valor m´ınimo, então, para todo x∈ [a, b], tem-se que:

m≤ f(x) ≤ M.

Como f é cont´ınua em [a, b], obedecendo `as condi¸cões do teorema de Wiertrass, então:

(19)

19

. Aplicando a integral definida em [a, b]: ˆ b a mdx≤ ˆ b a f (x)dx≤ ˆ b a M dx m(b− a) ≤ ˆ b a f (x)dx≤ M(b − a) m ≤ ´b af (x)dx b− a ≤ M (3.2) Como ´b af (x)dx

b−a atende `as condi¸c˜oes do teorema de Weiertrass, existe c∈ [a, b]

tal que: f (c) = ´b af (x)dx b− a ∴ ˆ b a f (x)dx = f (c)(b− a) (3.3)

Interpreta¸c˜ao geom´etrica: A ´area do retˆangulo de base b− a e altura

f (c) ´e igual a ´area sob a curva y = f (x) entre a e b.

2° TEOREMA FUNDAMENTAL DO C ´ALCULO

(20)

20 F , definida por F (x) = ˆ x a f (t)dt ´

e uma primitiva de f em I, ou seja, F′(x) = f (x) para todo x∈ I.

Dem.: Queremos provar que

F′(x) = lim h→0 F (x + h)− F (x) h = f (x) Temos que: F (x + h)− F (x) h = ´x+h a f (t)dt− ´x a f (t)dt h = ´x+h x f (t)dt h (3.4)

Pelo Teorema do Valor M´edio para integrais, existe c∈ [x, x + h] tal que: ˆ x+h x f (t)dt = f (c)h. Substituindo em 3.4: F (x + h)− F (x) h = f (c)h h = f (c) (3.5)

Tomando o limite, quando h→ 0, tem-se que x + h → x e c → x. Logo:

F′(x) = lim h→0 F (x + h)− F (x) h = f (x) (3.6) Exemplos: Determine F′(x) dado F (x):

(21)

21

c) F (x) =´₋₂x _1+t3t6dt.

d) F (x) =´₁x2sent2_dt.

Exerc´ıcios

1) Suponha que f (x) > 0 e ´e cont´ınua em [a, b]. Prove que ´_abf (x)dx > 0

2) Calcule ´₀2f (x)dx onde f (t) = { 2; 0≤ t ≤ 1 1 t; 1 < t≤ 2 3) Esboce os gr´aficos a) F (x) =´₁xtdt b) F (x) =´₋₅x tdt, onde f (t) = { 0; |t| ≥ 1 t2; |t| < 1 4) Calcule F′(x): a) F (x) =´₂xsent2_dt _{b) F (x) =}´x 0 t 2_e−s2_dt c) F (x) =´_senxx3 _1+t34dt d) F (x) = ´x3 x2 1 5+t4dt

5) Suponha f cont´ınua em [−r, r] (com r > 0), e considere a fun¸c˜ao

F (x) =´₀xf (t)dt.

(22)

Cap´ıtulo 4

Aplica¸

c˜

oes da Integral Definida

4.1 Coordenadas Polares

At´e o presente momento descrevemos um ponto (ou uma curva) atrav´es de coordenadas retangulares. Podemos representar um ponto P (x, y) atrav´es da distˆancia OP = r do mesmo at´e a origem e do ˆangulo θ formado entre o segmento OP e o eixo−x, de forma que ao par (r, θ) nomeamos coordenadas polares do ponto P .







cosθ =

x_r

⇒ x = rcosθ

senθ =

y_r

⇒ y = rsenθ

x

2

+ y

2

= r

2

(23)

4.2 Comprimento de curvas 23

A partir dessas rela¸cões, convertemos a representa¸cão de um lugar geo-métrico entre coordenadas polares e retangulares.

Exemplos:

1) Achar as coordenadas polares correspondentes a (1,√3).

2) Escrever a equa¸c˜ao r = senθ em coordenadas retangulares e represent´a-la graficamente

Exerc´ıcios 1) Esbo¸car:

a) r = 5 b) r = senθ + cosθ c) r = asenθ (a > 0) d) r = 1 + 2senθ

2) Reescrever em coordenadas retangulares:

a) θ = 2 b) r = 4 c) r = 2senθ

d) r = _cosθ1 e) r = ₂_−cosθ2

4.2 Comprimento de curvas

Seja uma curva de equa¸c˜ao y = f (x), onde f ´e uma fun¸cão derivável em [a, b], cuja derivada f′ é cont´ınua. Queremos determinar o comprimento da

(24)

curva dada entre os pontos a e b.

Vamos aproximar a curva atrav´es de segmentos de reta. Para tanto, con-sidere a parti¸c˜ao P : a = x0 < x1 < ... < xn = b. Cada um dos segmentos

determinado tem extremidades em (xi−1, f (xi−1) e (xi, f (xi). O comprimento

desse segmento ´e:

m(Ii) =

√

(xi− xi−1)2+ (f (xi)− f(xi−1))2

Pelo Teorema do Valor M´edio (TVM), existe ci ∈]xi−1, xi[ tal que

f (xi− f(xi−1) = f′(ci)(xi− xi−1). Ent˜ao: m(Ii) = √ (xi− xi−1)2+ f′(ci)2(xi− xi−1)2 m(Ii) = (xi− xi−1) √ 1 + f′(ci)2 m(Ii) = √ 1 + f′(ci)2∆xi (4.1)

(25)

A soma dos comprimentos desses segmentos ´e:

S = n ∑ i=0 √ 1 + f′(ci)2∆xi (4.2)

Como √1 + f′(ci)2 ´e cont´ınua em [a, b] (uma vez que f′ ´e cont´ınua nessse

intervalo), podemos afirmar que o limite da Soma de Riemann (com n → ∞) ´

e a integral definida em [a, b]:

C = lim n→∞ n ∑ i=0 √ 1 + f′(ci)2∆xi = ˆ b a √ 1 + f′(x)2_dx _(4.3)

ou seja, o comprimento da curva de equa¸c˜ao y = f (x) no intervalo [a, b] ´e dado por: C = ˆ b a √ 1 + f′(x)2_dx _(4.4) Exemplo

a) Determine o comprimento da curva y = ex _{para 0 < x < 1.}

FORMA PARAM´ETRICA

Seja uma curva dada na forma param´etrica pelas equa¸c˜oes x = x(t);

(26)

a = t0 < t1 < t2 < ... < tn= b, obtendo os pontos (x(ti), y(ti)). Temos que:

m(Ii) =

√

(x(ti)− x(ti−1))2+ (y(ti)− y(ti−1))2

Do teorema do valor m´edio para as fun¸c˜oes x(t) e y(t), existem ci e di em

[a, b], tais que:

x(ti)− x(ti−1) = x′(ci)(ti− ti−1)

y(ti)− y(ti−1) = y′(di)(ti− ti−1)

De forma que a soma dos comprimentos S ´e dada por:

S = n ∑ i=1 √ x′(ci)2+ y′(di)2(ti − ti−1) (4.5)

Aplicando o limite (n → ∞) a soma de Riemman acima, obtemos a forma param´etrica do domprimento da curva de equa¸c˜ao param´etrica x = x(t);

y = y(t) com a < t < b: C = ˆ b a √ x′(t)2_{+ y}′_(t)2_dt _(4.6) Exemplo

b) Achar o comprimento da curva x = cos3_{t, y = sen}3_{t entre t = 0 e t =} π

(27)

COORDENADAS POLARES:

Considere a curva r = f (θ), com θ1 ≤ θ ≤ θ2. Sabemos que:

x = rcosθ = f (θ)cosθ y = rsenθ = f (θ)senθ

Aplicando o c´alculo de comprimento de curvas para a forma param´etrica:

x = f (θ)cosθ → x′(θ) = f′(θ)cosθ− f(θ)senθ

y = f (θ)senθ → y′(θ) = f′(θ)senθ + f (θ)cosθ

C = ˆ b a √ f (θ)2_{+ f}′_(θ)2_dt _(4.7) Exemplo

c) Determine o comprimento do c´ırculo de raio R.

Exerc´ıcios

1) Determinar o comprimento das curvas:

a) y = x3₂ entre x = 1 e x = 3 b) y = 1₂(ex_{+ e}−x_{) entre} _{−1 e 1}

c) r = cosθ entre −π₂ e π₂ d) r = _cosθ2 entre 0 e π₃ e) x = cos3_{t, y = sen}3_{t entre 0 e π}

OBSERVA ¸C ˜AO:

Certas vezes não é poss´ıvel tornar a equa¸cão da curva explicita da forma

(28)

4.3 ´Areas 28

x = g(y), com c < y < d, e assim:

C = ˆ b a √ 1 + g′(y)2_dy Exemplo

d) Estabele¸ca a integral que calcula o comprimento da curva y3_{+3xy+2x = 0}

entre os pontos A(−1₄, 1) e B(0, 0)

4.3 Areas

´

Conforme aprendido no c´alculo I, a ´area sob a curva y = f (x) para a < x < b ´

e dada pela integral definida de f no intervalo [a, b].

(29)

4.3 ´Areas 29

A =

´

_cd

f (y)dy

A =

´

_ab

[f (y)

− g(y)]dy

f

c

d

Agora, vamos determinar uma ”fórmula”para o cálculo de áreas em coor-denadas polares. Suponha uma fun¸c˜ao cont´ınua r = f (θ), definida em um certo intervalo a < θ < b, com f (θ) ≥ 0 e b ≤ a+2π. Tomemos uma parti¸cão

P : a = θ0 < θ1 < ... < θn = b. Suponha si ∈ ]θi−1θi[, tal que f (si) seja

m´aximo.

θi−1

θi f (ti)

(30)

4.3 ´Areas 30

A ´area entre θi−1 e θi e a curva compreendida entre esses setores est´a

entre as ´areas dos setores de raio f (ti) e f (si). Logo:

θi− θi−1 2 πf (ti) 2 _{≤ A} i ≤ θi− θi−1 2 πf (si) 2 _(4.8)

Aplicando a soma em ambos os membros:

n ∑ i=0 θi− θi−1 2 πf (ti) 2 _{≤ A ≤} n ∑ i=0 θi− θi−1 2 πf (si) 2 _(4.9)

E como a ´area est´a entre a soma superior e inferior associada a parti¸c˜ao P , tomando o limite (com n/to/inf ty), obtemos a integral:

A = 1 2 ˆ b a f (θ)2dθ (4.10) Exemplos

a) Determine e a ´area de um la¸co da curva r2 _{= 2a}2_{cos2θ, (a > 0).}

(31)

4.4 Volumes de Revolu¸c˜ao 31

Exerc´ıcios

1) Achar a ´area limitada pelas curvas em coordenadas polares: a) r2 _{= a}2_{sen2θ, (a > 0)} _{b) r = 1 + senθ}

c) r = 2 + cosθ

2) Esboce a regi˜ao delimitada por cada gr´afico e calcule sua ´area: a) y = x2 e y = 4x b) y2 =−x; x − y = 4; y = −1 e y = −2 c) y = x√4− x2 _{e y = 0} _{d) x = y}2_{; e x = 2y}2_{− 4}

4.4 Volumes de Revolu¸

c˜

ao

Seja y = f (x) uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] e suponha que f (x) ≥ 0 nesse intervalo. Ao girarmos essa curva em torno do eixo-x, obtemos um s´olido de revolu¸c˜ao, cujo volume queremos determinar. Tomemos a parti¸c˜ao P : a =

a _b

y = f (x)

a _b

y = f (x)

x0 < x1 < ... < xn = b, e considere Ii = [xi−1, xi]. Sejam ci, di ∈ Ii, tais que

f (ci) e f (di) sejam o m´ınimo e o m´aximo de f em Ii respectivamente. Assim

(32)

e menor, de altura ∆xi = xi − xi−1 e raios f (di) e f (ci) respectivamente.

Ent˜ao:

πf (ci)2∆xi ≤ Vi ≤ πf(di)2∆xi

Somando em toda a parti¸c˜ao:

n ∑ i=0 πf (ci)2∆xi ≤ n ∑ i=0 Vi ≤ n ∑ i=0 πf (di)2∆xi

e tomando o limite dessas somas de Riemman, com n → ∞, chega-se a integral que dá o volume do sólido de revolu¸cão obtido pela rota¸c˜ao de y =

f (x) em torno do eixo-x, no intervalo [a, b]:

V =

ˆ b a

πf (x)2dx (4.11)

Analogamente, se ocorrer a rota¸c˜ao de uma curva x = g(y), y ∈ [c, d], em torno do eixo−y, temos:

x = g(y)

c d

V =´_cdπg(y)2dx

Exemplos

a) Determine os volumes dos s´olidos de revolu¸c˜ao obtidos pela rota¸c˜ao da curva y = x2_{, entre x = 0 e x = 1, em torno dos eixos x e y.}

(33)

b) Calcule o volume de uma esfera de raio r.

VOLUME DE UM ANEL:

Suponha y = f (x) e y = g(x) fun¸c˜oes cont´ınuas definidas em um intervalo [a, b] e positivas nesse intervalo. A rota¸c˜ao em torno do eixo-x dessas fun¸c˜oes, gera um anel, cujo volume queremos determinar. O volume do anel pode ser

y = f (x) y = g(x)

calculado pela diferen¸ca entre os volumes de revolu¸c˜ao das curvas externa e interna: V = Vexterno− Vinterno = ˆ b a πf (x)2dx = ˆ b a πg(x)2dx V = ˆ b a π[f (x)2− g(x)2]dx (4.12) Analogamente, dadas fun¸c˜oes x = g(y) e x = f (y) em c ≤ y ≤ d, com

(34)

g(y)≥ f(y) para todo y ∈ [c, d], temos:

V = π

ˆ d c

[g(y)2− f(y)2]dx Exemplos

a) Determine o volume do s´olido gerado a partir da rota¸c˜ao em torno do eixo−x, das curvas de equa¸c˜oes x2 _{= y}− 2 e 2y − x − 2 = 0, entre x = 1 e

x = 0.

b) Determinar o volume do s´olido gerado a partir da regi˜ao descrita no exem-plo anterior, rotacionada em torno do eixo y = 3.

Observe pelo exemplo anterior, que na express˜ao

V = π

ˆ d c

[f (x)2− g(x)2]dx,

f (x) corresponde ao “raio maior” e g(x) corresponde ao “raio menor”. Logo:

Raio maior = 3− g(x) = 3 − (_x 2 + 1 ) = 2− x 2 Raio menor = 3− f(x) = 3 − (x2+ 2) = 1− x2

(35)

4.4 Volumes de Revolu¸c˜ao 35 Portanto: V = π ˆ 1 0 [( 2−x 2 )2 −(1− x2)2 ] dx = 51π 20 u.v.

VOLUME POR SEC ¸C ˜OES TRANSVERSAS:

Seja S um s´olido delimitado por planos que s˜ao permendiculares ao eixo-x em a e b. Se para todo x ∈ [a, b], a área por seçcões transversas é dada por

A(x), sendo A cont´ınua em [a, b]. Ent˜ao o volume de S ´e:

V =

ˆ b a

A(x)dx,

sendo o resultado an´alogo para um intervalo [c, d] em y e uma ´area por sec¸c˜oes transversas A(y).

Exemplos

c) Seja R uma regi˜ao delimitada pelos gr´aficos x = y2 _{e x = 9. Determine o}

volume do s´olido que tem R por base, se toda sec¸c˜ao transversa tem a forma de um semi-c´ırculo.

Exerc´ıcios

1) Achar os volumes de revolu¸c˜ao de: a) y = senx entre x = 0 e x = π₄, eixo-x b) a regi˜ao entre xy = x2 _{e y = 5x, eixo-x}

(36)

4.5 Superf´ıcies de Revolu¸c˜ao 36

2) Seja R a regi˜ao delimitada pelos gráficos das equa¸cões dadas. Estabele-¸ca uma integral que permita calcular o volume do sólido gerado:

a) y = x2 _{e y = 4 em torno de}

(i) y = 4 (ii) y = 5 (iii) x = 2 (iv) x =−3 b) y = x23; y = x2 em torno de y =−1

3) Um s´olido tem como base a regi˜ao do plano-xy delimitada pelos gr´aficos

y = 4 e y = x2_{. Ache o volume do s´}_{olido em que toda se¸c˜}_{ao transversal por}

um plano perpendicular ao eixo-x ´e um triângulo retângulo isósceles com a hipotenusa no plano-xy.

4) Mostre que o volume do toro (cˆamara de ar) ´e dado por V = 2πaπr2_.

Dica: Considere a rota¸c˜ao de uma circunferˆencia de raio r em torno de uma reta que dista a unidades de seu centro).

4.5 Superf´ıcies de Revolu¸

c˜

ao

Seja uma fun¸c˜ao f n˜ao-negativa em um intervalo [a, b]. Rotacionando-a em torno do eixo-x, ont´em-se uma superf´ıcie de revolu¸c˜ao.

Tomemos uma parti¸c˜ao P : a = x0 < x1 < ... < xn = b. Cada s´olido

(37)

pode ser aproximado por um tronco cone 1_{, de superf´ıcie lateral dada por:}

Si = 2π f (xi)− f(xi−1) 2 d(Qi−1Qi) Somando: Sn = n ∑ i=0 2πf (xi)− f(xi−1) 2 d(Qi−1Qi)

Tomando limite com o n → ∞, e lembrando que ∑n_i=0d(Qi−1Qi) ´e a soma

de Riemman correspondente ao comprimento de curva, temos:

Si = 2π

ˆ b a

f (x)√1 + f′(x)2

Exemplos

a) Calcule a superf´ıcie de revolu¸c˜ao obtida pela rota¸c˜ao de y = 2√x entre A(1, 2) e B(4, 4) em torno do eixo-x.

b) Fa¸ca o mesmo para y = 2√3 _{x entre A(1, 2) e B(8, 4) em torno do eixo-y.}

1_{FATO: Considere um, tronco de cone de geratriz g e raio m´}_{edio R}

m. A ´area lateral

(38)

Exerc´ıcios

1) Determine as superf´ıcies de revolu¸c˜ao obtida pela rota¸c˜ao de: a) 8y = 2x4_{− x}−2 _{em torno do eixo-x entre A(1,}3

8) e B(2, 129

32).

b) x = 4√y em torno do eixo-y entre A(4, 1) e B(12, 9).

2) Estabelecer uma integral definida para calcular:

a) a ´area lateral de um cone circular reto de altura h e raio r; b) um segmento esf´erico de altura h em uma esfera de raio r; c) Uma esfera de raio r.

(39)

Cap´ıtulo 5

Fun¸

c˜

oes de V´

arias Vari´

aveis

5.1 Introdu¸

c˜

ao

DEFINI ¸C ˜AO: Seja D⊂ R2_{. Uma fun¸c˜}_{ao que associa a cada par (x, y) um}

n´umero denotado por f (x, y), real e denominada fun¸c˜ao de duas variáveis. A maneira mais usada para representar uma fun¸cão de duas variáveis graficamente é o método das curvas de n´ıvel. Nesse método, são analisadas as curvas z0 = f (x, y), z1 = f (x, y),... e assim sucessivamente, de forma

a serem constru´ıdas as curvas em planos paralelos ao plano-xy, em v´arias alturas:

(40)

5.1 Introdu¸c˜ao 40

´

E comum o uso dessa t´ecnica em topografia, em que cada curva de n´ıvel representa um conjunto de pontos que est´a a uma mesma altitude.

Exemplo:

a) Construir o gr´afico de z = x2+ y2.

DEFINI ¸C ˜AO: Seja D ⊂ R3. Uma fun¸c˜ao que associa a cada terna (x, y, z) um n´umero denotado por f (x, y, z), real e denominada fun¸c˜ao de

trˆes vari´aveis.

(41)

5.1 Introdu¸c˜ao 41

´

e comum fazer representa¸c˜ao de superf´ıcies de n´ıvel para alguns valores de

f (x, y, z):

Exemplo:

b) Algumas superf´ıcies de n´ıvel da fun¸c˜ao de f (x, y, z) = x2+ y2 − z2.

Exerc´ıcios

1) Desenhe as curvas de n´ıvel e esboce os gr´aficos: a) f (x, y) = 1− x2_{− y}2 _{b) z = 4x}2_{+ y}2

c) f (x, y) = senx, 0≤ x ≤ π, y ≥ 0.

2) Desenhe as curvas de n´ıvel e determine a imagem das fun¸c˜oes a) f (x, y) = x_x+y−y b) z = _x2x_+y2 2

3)Suponha que T (x, y) = 4x2_{+ 9y}2 _{represente a temperatura em cada}

pon-to do plano-xy em °C.

a) Desenhe a isoterma correspondente a temperatura de 36°C. b) Determine o ponto de mais baixa temperatura na reta x + y = 1. 4) Desenhe a superf´ıcie de n´ıvel correspondente a z = 1 em:

(42)

5.2 Limite e Continuidade 42

5.2 Limite e Continuidade

DEFINI ¸C ˜AO: Seja f uma fun¸c˜ao definida no interior de um c´ırculo de centro (a, b) (exceto possivelente em (a, b)). O limite de f (x, y). O limite de

f (x, y) quando (x, y) tende para (a, b) ´e L e escrevemos

lim

(x,y)→(a,b)f (x, y) = L

se dado ε > 0 arbitr´ario, existe δ > 0 tal que:

0 <||(x, y) − (a, b)|| < δ ⇔ |f(x, y) − L| < ε

Exemplos:

a) Se f (x, y) = k (fun¸c˜ao constante), para todo (x0, y0),

lim (x, y)→ (a, b)k = k,

pois |f(x, y) − L| = |k − k| = 0 < ε para qualquer ε > 0. Assim, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

0 <||(x, y) − (a, b)|| < δ ⇔ |f(x, y) − k| < ε

e

lim (x, y)→ (a, b)k = k,

(43)

Sabemos que f é definida em todo ponto, exceto em (0, 0), o que n˜ao significa que a fun¸cão não possa ter limite nesse ponto. Para que isso ocorra, ´

e necessário que a defini¸cão fuincione, ou seja, que para uma aproxima¸cão de (0, 0) implique em uma tendˆencia para o limite, independente do caminho pelo qual essa aproxima¸cão ocorre. Note que:

(i) em um ponto arbitr´ario da reta formada pelos pontos (x, 0), temos

f (x, 0) = 1, (x̸= 0)

(ii) em um ponto arbitr´ario da reta formada pelos pontos (0, y), temos

f (0, y) =−1, (y ̸= 0). Assim temos, que existe δ > 0 com ε ≥ 1

0 <||(x, y) − (a, b)|| < δ ⇔ |f(x, y) − L| < 1 ≤ ε,

ou seja, a defini¸cão não ´e obedecida para um δ e ε quaisquer. Assim o limite não existe.

De maneira geral, para provar que o limite de f (x, y) com (x, y)→ (a, b) n˜ao existe basta mostrar que os limites de f (x, y) com (x, y)→ (a, b) em pelo menos dois caminhos distintos divergem.

Exemplos: c) Mostre que lim (x,y)→(0,0) 2x2− y2 x2_{+ 2y}2 n˜ao existe.

(44)

d) lim(x,y)→(1,2)_x2_+yxy−2x−y+22_−2x−4y+5

De maneira geral, as regras dos limites para fun¸cões reais tem resultados semelhantes para fun¸cões de várias variáveis:

TEOREMA (do confronto):

Se f (x, y)≤ g(x, y) ≤ h(x, y) para 0 < ||(x, y) − (a, b)|| < r e lim (x,y)→(a,b) f (x, y) = lim (x,y)→(a,b) h(x, y) = L ent˜ao, lim (x,y)→(a,b)g(x, y) = L

A demonstra¸c˜ao fica a cargo do leitor. COROL ´ARIO:

Se lim(x,y)→(a,b)f (x, y) = 0 e |g(x, y)| = M (ou seja, g ´e limitada), ent˜ao:

lim

(x,y)→(a,b)f (x, y)g(x, y) = 0

.

(45)

e) Calcule, caso exista,

lim

(x,y)→(0,0)

x3

x2_{+ y}2.

DEFINI ¸C ˜AO: (Continuidade)

Seja f uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis com (a, b) ∈ Dom(f) com (a, b) ponto de acumula¸c˜ao de Dom(f ). Define-se:

f´e cont´ınua em(a, b) ⇔ lim

(x,y)→(a,b)f (x, y) = f (a, b)

Exemplos:

f ) A fun¸c˜ao f (x, y) = 2y ´e cont´ınua, para todo (a, b)∈ R2, pois: lim

(x,y)→(a,b)f (x, y) = 2b = f (a, b)

g) A fun¸c˜ao f (x, y) =      x2_−y2 x2_+y2 ; (x, y)̸= (0, 0) 0 ; (x, y) = (0, 0) ´ e cont´ınua em (0, 0) ?

(46)

TEOREMA:

Sejam f : A ⊂ R2 → R e g : B ⊂ R → R fun¸c˜oes tais que Im(f) ⊂ Dom(g).

Se f for cont´ınua em (a, b) e g for cont´ınua em f (a, b), ent˜ao h(x, y) =

g(f (x, y)) ser´a cont´ınua em (a, b).

Dem.:

(i) Se g(u) ´e cont´ınua em f (a, b), ent˜ao, dado ε > 0, existe δ1 > 0 tal que:

0 <|u − f(a, b)| < δ1 ⇔ |g(u) − g(f(a, b))| < ε,

(ii) Se f (x, y) ´e cont´ınua em (a, b), ent˜ao, dado ε = δ1 > 0, existe δ > 0 tal

que:

0 <||(x, y) − (a, b)|| < δ ⇔ |f(x, y) − f(a, b)| < ε = δ1,

Comparando as duas senten¸cas, (com u = f (x, y)) temos que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que:

0 < ||(x, y) − (a, b)|| < δ ⇔ |g(f(x, y)) − g(f(a, b))| < ε,

ou seja, h(x, y) = g(f (x, y)) ´e cont´ınua em (a, b). Exemplos:

h) A fun¸c˜ao h(x, y) = sen√y− 4x2 _{tem como dom´ınio y/ge4x}2_{. Note que se}

fizermos g(u) = senu e f (x, y) = √y− 4x2 _{teremos que h(x, y) = g(f (x, y).}

g ´e cont´ınua para todo u∈ R e f ´e cont´ınua para todo (x, y) tal que y > 4x2_.

(47)

Exerc´ıcios

1) Determine os limites, se existirem: a) lim(x,y)→(0,0) x

2₋₂

3+xy b) lim(x,y)→(0,0) 2x2_−y2

x2_+2y2

c) lim(x,y)→(0,0)x

3_−x2_y+xy2_−y3

x2_+y2 d) lim(x,y)→(0,0) xy+yz+xz_x2_+y2_+z2

2) Discuta a continuidade da fun¸c˜ao f :

a) f (x, y) = ln(x + y + 1) b) f (x, y) = _x2xy_−y2

c) f (x, y) =√xe√1−y2

d) f (x, y, z) =√xytgz

3) Se lim(x,y)→(a,b)f (x, y) = L e c∈ R, prove que:

lim(x,y)→(a,b)c.f (x, y) = c.L

4) A fun¸c˜ao f (x, y) = { xy2 x2_+y2 ; (x, y)̸= (0, 0) 0 ; (x, y) = (0, 0) ´ e cont´ınua em (0, 0)?