Continuação da velocidade em família de ponto imagem comum em profundidade

(1)

FACULDADE DE ENGENHARIA MEC ˆ

ANICA

E INSTITUTO DE GEOCIˆ

ENCIAS

PETER AMERICO PENY MACHADO

Continua¸c˜

ao da Velocidade em Fam´ılia de Ponto

Imagem Comum em Profundidade

CAMPINAS 2019

(2)

Continua¸c˜

ao da Velocidade em Fam´ılia de Ponto

Imagem Comum em Profundidade

Disserta¸cão de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica e Instituto de Geociências da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ciências e Engenharia de Petróleo, na área de Reservatórios e Gestão.

Orientador: Profa_{. Dr}a_{. Maria Am´elia Novais Schleicher}

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE `A VERS ˜AO

FINAL DA DISSERTAC¸ ˜AO DEFENDIDA PELO

ALUNO Peter Americo Peny Machado E

ORIEN-TADA PELA Profa_. _Dra_. _{Maria Am´elia Novais}

Schleicher.

CAMPINAS 2019

(3)

Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Machado, Peter Americo Peny,

M18c MacContinuação da velocidade em família de ponto imagem comum em profundidade / Peter Americo Peny Machado. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

MacOrientador: Maria Amélia Novais Schleicher.

MacDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.

Mac1. Geofísica. 2. Prospecção sísmica - Processamento de dados. 3. Migração. 4. Ondas sísmicas. 5. Inversão (Geofísica). I. Schleicher, Maria Amélia Novais, 1967-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Velocity continuation in a common image gather in depth Palavras-chave em inglês:

Geophysics

Seismic prospecting - Data processing Migration

Seismic waves

Inversion (Geophysics)

Área de concentração: Reservatórios e Gestão

Titulação: Mestre em Ciências e Engenharia de Petróleo Banca examinadora:

Maria Amélia Novais Schleicher [Orientador] Maria Aparecida Diniz Ehrhardt

Walter Eugênio de Medeiros Data de defesa: 24-07-2019

Programa de Pós-Graduação: Ciências e Engenharia de Petróleo Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-2154-1098 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/7102451308078257

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E INSTITUTO DE GEOCIˆENCIAS

DISSERTAÇ ÃO DE MESTRADO ACADÊMICO

Continua¸c˜

ao da Velocidade em Fam´ılia de Ponto

Imagem Comum em Profundidade

Autor: Peter Americo Peny Machado

Orientador: Profa_{. Dr}a_{. Maria Am´elia Novais Schleicher}

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Disserta¸c˜ao:

Profa_{. Dr}a_{. Maria Am´}_{elia Novais Schleicher, Presidente}

IMECC/UNICAMP

Profa_{. Dr}a_{. Maria Aparecida Diniz Ehrhardt}

IMECC/UNICAMP

Prof Dr. Walter Eugˆenio de Medeiros

DGEF/UFRN

A Ata da defesa com as respectivas assinatura dos membros encontra-se no processo de vida acadˆemica do aluno.

(5)

`

A Deus, `a minha esposa e fam´ılia, por tudo o que fizeram e fazem por mim.

Aos meus orientadores, Profa. Amélia Novais e Prof. Joerg Schleicher, pelos ensinamentos, orienta¸cões, conselhos e paciência ao longo deste caminho.

Aos demais professores do Grupo de Geof´ısica Computacional, Prof. L´ucio Tunes e Prof.

Ricardo Biloti, por todo o conhecimento transmitido durante as disciplinas ministradas. `

A todos os membros da banca examinadora, tanto da qualifica¸cão como da sessão pública,

Profa. Am´elia Novais, Prof. Ricardo Biloti, Profa. Maria Aparecida e Prof. Walter de Medeiros, pelas orienta¸c˜oes e questionamentos que contribu´ıram para o desenvolvimento deste trabalho.

Aos amigos do Laboratório de Geof´ısica Computacional, João Magalhães, Alexandre Ca-margo, Bruno Camerano, Carlos Assis e Joan Guastala, por todos os momentos

comparti-lhados, d´uvidas esclarecidas e aux´ılio concedido durante toda a jornada do mestrado.

`

A PETROBRAS, atrav´es do PRH-PB 230, pelo apoio financeiro.

Ao CNPq via INCT-GP, à FEM, ao IMECC e à Unicamp e todos os seus funcionários, por possibilitar a realiza¸cão deste sonho.

(6)

Comparamos duas abordagens iterativas para análise de velocidade por migra¸cão em profundidade através da continua¸cão da onda-imagem em fam´ılias de ponto imagem comum (Common-Image Gathers - CIGs). Sendo elas, a Atualiza¸cão Global, que visa atualizar todo o modelo de uma vez em cada itera¸cão e o Layer Stripping, que atualiza o modelo uma camada por vez, de cima para baixo. Investiga¸cões anteriores mostraram que a atualiza¸cão global das velocidades produz um modelo de velocidade razoável na primeira itera¸cão, mas apresenta problemas de convergência nas itera¸cões subsequentes. Por este motivo implementamos a abordagem Layer Stripping. Comparamos as duas abordagens iterativas numericamente, testando as implementa¸cões em dados sintéticos, a partir de um modelo bastante simples (mas representativo), que simula duas camadas sedimentares entre uma camada de água no topo e uma camada de sal no fundo. Nossos exemplos numéricos demonstram que a abordagem Layer Stripping melhora consideravelmente a convergência, tanto com, como sem o silenciamento dos afastamentos longos nos CIGs continuados. Sendo este um procedimento barato, que come¸ca sem nenhum conhecimento a priori do meio, ele pode ser usado para construir modelos iniciais para técnicas de inversão mais sofisticadas.

Palavras Chave: An´alise de Velocidade, Migra¸c˜ao, Profundidade, Imageamento,

(7)

We compare two iterative approaches for depth-migration velocity analysis by image-wave continuation in Common-Image Gathers (CIGs). These are the Global Update im-plementation, which updates the whole model in each iteration, and the Layer Stripping implementation, which updates the model one layer at a time, from top to bottom. Previous investigations found that the first iteration of the global velocity update provides a reason-able model, but it presents convergency problems in subsequent iterations. For this reason we implement here the Layer Stripping strategy. We compare both iterative approaches numerically, testing the two implementations on synthetic data from a rather simple (but representative) model which simulates two sedimentary layers between a water layer at the top and a salt layer at the bottom. Our numerical examples demonstrate that the Layer Stripping approach considerably improves convergence, both with or without the muting of long o↵sets in the continued CIGs. Since this is a rather inexpensive procedure which starts at no a-priori knowledge of the medium, it can be used to build initial models for more sophisticated inversion techniques.

Key Word: Velocity Analysis, Migration, Depth, Imaging, Seismic, Residual Moveout.

(8)

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 10

2 FUNDAMENTAÇ ÃO TE ÓRICA . . . 14

2.1 Onda-imagem . . . 14

2.1.1 Propaga¸c˜ao da Onda F´ısica . . . 16

2.1.2 Encontrando a Equa¸cão da Onda Acústica Homogênea a Partir de sua Cinemática 17 2.2 Common Image Gather - CIG . . . 20

2.3 Onda-imagem no CIG . . . 22

3 METODOLOGIA E APLICAC¸ ˜OES . . . 26

3.1 Propaga¸c˜ao da Onda-imagem no CIG . . . 26

3.2 Semblance . . . 28

3.3 Construindo o Modelo de Velocidade . . . 29

3.4 Atualiza¸c˜ao Global . . . 31

3.5 Layer Stripping . . . 32

3.6 Modelo suavizado . . . 33

4 RESULTADOS E DISCUSS ˜OES . . . 34

4.1 Modelagem Direta . . . 34

4.2 Migra¸c˜ao . . . 36

4.3 Continua¸c˜ao de Velocidade . . . 38

4.4 An´alise de Velocidade . . . 40

4.5 T´ecnicas de Atualiza¸c˜ao do Modelo de Velocidade . . . 42

4.5.1 Atualiza¸c˜ao Global . . . 43

4.5.2 Layer Stripping . . . 47

4.5.3 Layer Stripping com Supress˜ao de Afastamentos Longos . . . 54

(9)

(10)

1 INTRODUC

¸ ˜

AO

Entre os vários métodos f´ısicos empregados para investigar o interior da terra, o método s´ısmico tem um papel fundamental. Este método se baseia na propaga¸cão de energia em

forma de ondas elásticas ou acústicas na Terra. Tais ondas são geradas por fontes naturais

(terremotos) ou artificiais (explosões, caminhões vibradores, etc) e o seu registro em um receptor é conhecido como tra¸co s´ısmico. Cada tra¸co s´ısmico é associado a uma fonte e a um receptor. Um conjunto de tra¸cos s´ısmicos forma uma se¸cão s´ısmica e esta é como uma imagem distorcida da situa¸cão geológica no subsolo. Existem algumas configura¸cões poss´ıveis para as se¸cões s´ısmicas, ou seja, algumas formas de ordenar o dado s´ısmico, tais quais: fonte comum, ponto médio comum, afastamento comum, afastamento nulo, etc. Para a exposi¸cão deste trabalho, a configura¸cão mais relevante é a de afastamento comum (mais conhecida como common o↵set). Na se¸cão de afastamento comum todos os tra¸cos s´ısmicos possuem o mesmo afastamento fonte-receptor.

O objetivo principal da s´ısmica é a reconstru¸cão da melhor imagem poss´ıvel não distor-cida na profundidade a partir da imagem distordistor-cida no tempo. Para este objetivo, empregam-se os chamados métodos de imageamento, entre eles principalmente o da migra¸cão. A mi-gra¸cão visa reposicionar os eventos temporais diretamente em seus pontos de reflexão no modelo em profundidade, colapsando as difra¸cões e proporcionando uma imagem da sub-superf´ıcie pass´ıvel de interpreta¸cão. Migrar um dado s´ısmico é equivalente a transformar o dado do dom´ınio de aquisi¸cão (tempo) para o dom´ınio do modelo (profundidade, no nosso caso) (Hubral et al., 1996a).

De acordo com Robinson e Treitel (2008), na migra¸cão, cada reflexão primária (valor de amplitude registrado) em um tra¸co deve ser movida (ou migrada) para a posi¸cão espa-cial do seu ponto de reflexão em profundidade. Muitos pontos admiss´ıveis em profundidade podem contribuir para o valor de amplitude da reflexão primária (Figura 1a) e todos esses pontos devem ser levados em conta para a migra¸cão (Figura 1b). A migra¸cão posiciona o valor da amplitude da reflexão primária em cada ponto admiss´ıvel de profundidade. Este processo é feito para todas as amplitudes em cada tra¸co e as elipses resultantes são somadas, fornecendo as estruturas geológicas em subsuperf´ıcie (imagem da subsuperf´ıcie). Aqui

(11)

uti-Figura 1: (a) Fonte, receptor e ponto em profundidade. (b) Em um meio de velocidade constante, os pontos admiss´ıveis em profundidade se encontram na elipse que tem fonte e receptor como focos. Modificado de Robinson e Treitel (2008).

lizamos o princ´ıpio de Huygens, em que a soma de todas as respostas individuais permite o resultado que esperamos.

O objetivo do imageamento s´ısmico é gerar uma imagem migrada (em tempo ou em profundidade) que possibilite a interpreta¸cão da subsuperf´ıcie estudada. Contudo, para pro-duzir essa imagem migrada é necessário ter um bom modelo de velocidade do subsolo. Para um meio relativamente simples, supondo refletores horizontais e homogeneidade lateral, a análise de velocidade NMO (Normal Moveout Velocity Analysis) baseada no moveout resi-dual (Dix, 1955) providencia um modelo de velocidade satisfatório. Todavia, para meios mais complexos se faz necessário o uso de métodos de Análise de Velocidade por Migra¸cão (Migration Velocity Analysis - MVA). Métodos MVA utilizam Fam´ılias de Ponto Imagem

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Co-mum (Common Image Gathers - CIGs), que imageam a mesma posi¸cão a partir de diferentes partes do dado (assim fazendo uso da redundância do mesmo) e são sens´ıveis ao modelo de velocidade (Al-Yahya, 1989). De acordo com Sattlegger (1975), a ideia básica da análise de velocidade em um CIG é: se a velocidade de migra¸cão for correta, os eventos de reflexão devem se mostrar horizontais no CIG, e se a velocidade de migra¸cão não estiver correta, os eventos apresentarão um Moveout Residual (RMO) (veja também Zhu et al., 1998).

In´umeros trabalhos de pesquisa tˆem sido dedicados a MVA para obter um modelo de

velocidade para migra¸cão. Análise RMO passou a ser a ferramenta preferida para MVA devido a sua clareza e simplicidade. Schleicher et al. (2008) desenvolveram um método para análise RMO usando uma implementa¸cão por diferen¸cas finitas de uma equa¸cão diferencial parcial (EDP), chamada equa¸cão da onda-imagem (Hubral et al., 1996b). Equa¸cões dife-renciais desse tipo descrevem o deslocamento de eventos a partir da varia¸cão da velocidade de migra¸cão (Goldin, 1994; Fomel, 1994, 1997, 2003). A ideia de Schleicher et al. (2008) foi usar uma equa¸cão da onda-imagem para deslocar eventos dentro de um CIG até que eles se tornem horizontais. Então, para cada evento é poss´ıvel encontrar um valor de velocidade que o horizontaliza no CIG. Em seguida deve-se migrar o dado novamente, mas agora com esse novo valor de velocidade. Como esta situa¸cão lida com uma aproxima¸cão, é preciso realizar algumas itera¸cões até que um modelo de velocidade aceitável seja encontrado.

A grande vantagem da análise de velocidade por migra¸cão através da propaga¸cão da onda-imagem no CIG é sua capacidade de construir uma boa imagem migrada a partir de um modelo inicial bastante simples, como por exemplo um modelo de velocidade constante (Schleicher et al., 2008). Os experimentos de Schleicher et al. (2008) lidam apenas com migra¸cão em tempo, que, por sua vez, funciona bem para meios com varia¸cões laterais de velocidade baixas a moderadas. Neste mesmo artigo também se discute a teoria para uma equa¸cão da onda-imagem no CIG para migra¸cão em profundidade.

Em sua disserta¸cão de mestrado, Gomes (2016) apresenta uma implementa¸cão e os primeiros testes numéricos para a versão em profundidade da equa¸cão da onda-imagem no CIG (ver também Gomes et al., 2016a,b). Nessa implementa¸cão, o modelo é atualizado por inteiro em cada itera¸cão, de modo semelhante ao procedimento em tempo empregado por Schleicher et al. (2008). O resultado da primeira itera¸cão da implementa¸cão de Gomes

(13)

(2016), que também se inicia com um modelo de velocidade constante, se mostrou promissor, fornecendo uma boa primeira impressão da estrutura do modelo, com as profundidades dos refletores e as velocidades das camadas não muito distantes das verdadeiras. Contudo, as itera¸cões subsequentes não funcionaram satisfatoriamente, convergindo muito lentamente ou até mesmo não convergindo para um modelo próximo ao real.

Neste trabalho, assim como Gomes (2016), discorremos sobre a versão em profundidade da equa¸cão da onda-imagem no CIG, mas aqui apresentamos uma técnica chamada Layer Stripping para atualizar o modelo de velocidade no decorrer das itera¸cões. Nossos testes numéricos no modelo simples de Gomes (2016) demonstram que o Layer Stripping melhora a convergência do método. Deve-se salientar que esse novo procedimento muda a interpreta¸cão dos valores de velocidade usados no processo de atualiza¸cão. Na abordagem de atualiza¸cão do modelo completo (Atualiza¸cão Global) de Gomes (2016), as velocidades encontradas no pro-cesso de análise de velocidade eram, na verdade, velocidades médias equivalentes ao inverso das vagarosidades médias do meio. Assim, um passo adicional era necessário para converter essas vagarosidades médias em velocidades de camadas. Na abordagem Layer Stripping aqui desenvolvida, as velocidades encontradas já são velocidades intervalares e podem ser usadas diretamente para atualizar o modelo.

No Cap´ıtulo 2, apresentamos a ideia geral da onda-imagem. Para tal, discorremos brevemente sobre a propaga¸cão da onda f´ısica e como encontrar a equa¸cão desta onda partindo da parte cinemática da propaga¸cão, explicamos o que é o common image gather (CIG) e por fim explicitamos a dedu¸cão da equa¸cão da onda-imagem no CIG em profundidade.

No Cap´ıtulo 3, vemos como é realizada a propaga¸cão da onda-imagem no CIG, falamos sobre a medida de coerência (Semblance) utilizada para a análise de velocidade e explicamos as duas técnicas (Atualiza¸cão Global e Layer Stripping) usadas neste trabalho para a cons-tru¸cão do modelo de velocidade.

No Cap´ıtulo 4, apresentamos o modelo e a modelagem direta usados para gerar o dado s´ısmico sintético, explicamos como fazemos a migra¸cão do dado, a continua¸cão de velocidade e a análise de velocidade, para então mostrarmos os resultados obtidos com a Atualiza¸cão Global e com o Layer Stripping.

(14)

2 FUNDAMENTAC

¸ ˜

AO TE ´

ORICA

2.1 Onda-imagem

Usamos a Figura 2, adaptada de Hubral et al. (1996b), para facilitar a compreensão do conceito de onda-imagem. A Figura 2a traz, de forma esquemática, a situa¸cão bem conhecida da propaga¸cão de uma onda (f´ısica) de volume. Nela, três frentes de onda se mostram em três instantes de tempo distintos. Na Figura 2b é mostrada, também de forma esquemática, uma situa¸cão familiar em análise de velocidade por migra¸cão. No entanto, este caso não é comumente visto como um exemplo de propaga¸cão de onda. Nesta imagem vemos três imagens migradas de um refletor s´ısmico, cada uma obtida com uma velocidade de migra¸cão diferente. Ao comparar a Figura 2a com a Figura 2b é fácil aceitar que a segunda situa¸cão pode ser entendida conceitualmente como uma forma de “propaga¸cão de onda” (poder´ıamos chamar de propaga¸cão de imagem). Neste caso, é a imagem do refletor s´ısmico que se “propaga”. Hubral et al. (1996b) chamam esse fenômeno de onda-imagem e dizem que uma onda-imagem não é uma onda f´ısica, mas se comporta de forma análoga. Então, assim como a Figura 2a apresenta uma frente de onda f´ısica em três instantes de tempo, a Figura 2b representa uma frente de onda-imagem em três “instantes” de velocidade de migra¸cão. Neste trabalho tratamos de uma onda-imagem que se propaga em um CIG. Inicialmente, no entanto, vemos brevemente que ondas-imagem podem ser deduzidas para diversos problemas de imageamento s´ısmico.

A Figura 2c mostra uma generaliza¸cão das situa¸cões vistas nas Figuras 2a e 2b. Nela vemos um conjunto de curvas no dom´ınio (a, b) e, para cada curva, o parâmetro c é constante. Assim, por exemplo, se fizermos c igual à variável de tempo t e as coordenadas (a, b) iguais a (x, z), temos a mesma situa¸cão da Figura 2a. Por outro lado, se identificarmos c como a velocidade de migra¸cão v e as coordenadas (a, b) como (x, z), vemos a mesma situa¸cão da Figura 2b. Para os que trabalham com imageamento s´ısmico, é poss´ıvel perceber que a Figura 2c pode servir para descrever uma série de outras situa¸cões. Por exemplo, se identificarmos c como v e (a, b) como (x, t), podemos interpretar as curvas como uma imagem de um refletor migrado em tempo, para três instantes diferentes de velocidade de migra¸cão,

(15)

(a) (b)

(c)

Figura 2: (a) Propaga¸cão de uma frente de onda em três diferentes instantes de tempo. (b) Imagem do refletor migrado em profundidade para três velocidades de migra¸cão. (c) Gráfico com eixos cartesianos a e b que definem um conjunto de curvas, em que o parâmetro c é constante para cada um. Modificado de Schleicher et al. (2008).

ou ent˜ao, se identificarmos c como o afastamento comum entre fonte e receptor e (a, b) como (x, z), podemos interpretar as curvas como uma imagem de um refletor migrado em profundidade, para trˆes instantes diferentes de afastamento fonte-receptor comum.

O deslocamento de uma onda f´ısica é descrito pela reposi¸cão de sua frente de onda, i.e., o conjunto de pontos no espa¸co nos quais a onda tem o mesmo tempo de propaga¸cão. A fun¸cão que descreve o tempo de propaga¸cão em todos os pontos do espa¸co, recebe o nome de iconal e ao obtermos a taxa de varia¸cão desta fun¸cão em rela¸cão à posi¸cão, encontramos a equa¸cão iconal, que descreve para onde e em que taxa movimenta-se a frente de onda. Ou seja, a equa¸cão iconal lida com a parte cinemática da propaga¸cão da onda. Porém, para realizar a propaga¸cão da onda corretamente, é preciso também levar em conta a parte dinâmica da propaga¸cão (propagar a onda com a amplitude devida), o que é obtido através da equa¸cão do transporte.

(16)

Para cada onda-imagem proveniente de um dos problemas de imageamento s´ısmico citados acima, pode ser deduzida a equa¸cão da imagem associada. A equa¸cão da onda-imagem descreve a propaga¸cão dessa onda como uma fun¸cão da variável de propaga¸cão. Além disso, para cada equa¸cão de onda-imagem, existe também uma equa¸cão iconal da onda-imagem (que propaga as frentes de onda-imagem) e a solu¸cão desta equa¸cão iconal. Em seu trabalho, Hubral et al. (1996b) descrevem alguns tipos distintos de onda-imagem e em todos supõem uma fonte pontual. Assim, na metodologia geral que sugerem para derivar equa¸cões de onda-imagem, utilizam uma solu¸cão (ou onda) de Huygens, que é a solu¸cão da equa¸cão iconal para uma fonte pontual. Estes conceitos são essenciais para a obten¸cão das equa¸cões das ondas-imagem para diversos problemas de imageamento. Uma pequena ressalva deve ser feita: não é necessário utilizar uma solu¸cão de uma fonte pontual para se obter uma equa¸cão da onda-imagem. Pode-se usar qualquer solu¸cão cinemática conhecida. Assim, no caso da onda-imagem no CIG, não utilizamos uma fonte pontual, mas sim um evento plano. Então nossa solu¸cão não pode ser chamada de onda de Huygens.

2.1.1 Propaga¸c˜ao da Onda F´ısica

Antes de entrarmos no mérito da onda-imagem propriamente dita, que é nosso principal objetivo, revisamos, assim como feito por Hubral et al. (1996b), a situa¸cão bem conhecida da propaga¸cão de uma onda de corpo, como na Figura 2a. Realizar esta revisão é relevante para nós, pois mostramos que ondas-imagem podem ser derivadas usando uma abordagem geral

(Hubral et al., 1996b), e esta abordagem ´e exemplificada para o caso da onda ac´ustica (onda

longitudinal, em que o deslocamento das part´ıculas ocorre paralelo à dire¸cão de propaga¸cão da onda) homogênea (termo fonte é nulo), dada por

@2_p @x2 + @2_p @z2 + 1 v2 @2_p @t2 = 0, (1)

que descreve a propaga¸cão de um campo de pressão acústico p(x, z, t) em um meio com

velocidade constante v. Nesta equa¸cão (1), x corresponde ao eixo horizontal, z é o eixo vertical e t representa tempo, que é a variável de propaga¸cão neste caso.

(17)

✓ @T @x ◆2 + ✓ @T @z ◆2 = 1 v2, (2)

onde T (x, z) é conhecido como iconal. Esta equa¸cão iconal (2) pode ser obtida ao inserir na equa¸cão da onda (1) o seguinte Ansatz (ou palpite) da teoria de raios (ver Bleistein et al., 2001)

p(x, z, t) = p0(x, z)f (t T (x, z)). (3)

Neste caso p0(x, z) diz respeito a um valor de amplitude do campo de onda em uma

certa posi¸c˜ao, ou no espa¸co (x, z), e f (t T (x, z)) representa um pulso de alta frequˆencia

ao longo da frente de onda t = T (x, z). A necessidade de trabalharmos com um pulso de alta frequência surge por estarmos fazendo uso da teoria de raios, que modela ondas apenas no regime de alta frequência e é onde as equa¸cões iconal e do transporte são válidas. O uso dessa aproxima¸cão é justificado pelo fato de que muitos fenômenos de onda observáveis em dados s´ısmicos são satisfatoriamente descritos.

2.1.2 Encontrando a Equa¸cão da Onda Acústica Homogênea a Partir de sua Cinemática

Nesta se¸cão descrevemos, para o caso da onda acústica, como encontrar a equa¸cão da

onda partindo da solu¸cão da equa¸cão iconal (ou solu¸cão de Huygens). Em outras palavras, fazemos o processo reverso da teoria de raios. Como vimos na Se¸cão 2.1.1, normalmente

partimos da equa¸cão da onda acústica, usamos um Ansatz do tipo raios e obtemos a equa¸cão

iconal. Aqui seguimos o caminho contrário, ou seja, partimos da solu¸cão de Huygens, que leva até a equa¸cão iconal e a partir dela obtemos a equa¸cão da onda. Esta explica¸cão para a onda f´ısica nos ajuda a entender o processo usado para encontrar a onda-imagem no CIG, que é de fato o nosso objetivo.

A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao iconal (2) para uma fonte pontual localizada em (x0, z0) em um

meio homogˆeneo com velocidade v, dada por

t = T (x, z) = t0+

1 v

p

(18)

é nada mais, nada menos, que a descri¸cão cinemática de uma onda elementar de Huygens

originada em (x0, z0). Num espa¸co (x, z) esta equa¸c˜ao descreve um c´ırculo com raio igual a

v(t t0), centrado em (x0, z0).

Agora, se tivermos um conjunto de ondas de Huygens, originadas em todos os pontos

ao longo de uma frente de onda t0 = T (x, z), de acordo com o princ´ıpio de Huygens, cada

frente de onda t = T (x, z) para um valor constante t > t0´e simplesmente o envelope de todas

as ondas de Huygens elementares (4) que surgiram da frente de onda t0 = T (x, z). Este

procedimento é um resultado fundamental da propaga¸cão de ondas, que como vimos, pode ser obtido a partir da equa¸cão da onda (1). Mas podemos pensar que este comportamento é observado em experimentos e o nosso objetivo aqui é, a partir da equa¸cão (4), encontrar a equa¸cão diferencial que descreve essa propaga¸cão da onda.

O passo seguinte, para chegar à equa¸cão da onda, é encontrar a equa¸cão iconal (2) associada. Para tanto, encontramos as derivadas parciais da equa¸cão iconal ao derivar a equa¸cão (4) com rela¸cão a x e z,

@T @x = (x x0) vp(x x0)2+ (z z0)2 , @T @z = (z z0) vp(x x0)2+ (z z0)2 . (5)

Tamb´em podemos denotar as derivadas parciais (@T /@x e @T /@z) por Tx e Tz.

O próximo passo para obter a equa¸cão iconal é usar estas expressões (5) para eliminar

os termos (x x0) e (z z0) da equa¸c˜ao (4). Ao fazer isso podemos encontrar exatamente a

equa¸c˜ao iconal (2). Vamos, a seguir, detalhar este procedimento. Inicialmente rearranjamos a equa¸c˜ao (4) (t t0) = 1 v p (x x0)2+ (z z0)2. (6)

Agora, colocamos as derivadas parciais (Tx e Tz) em fun¸c˜ao de t t0

Tx = (x x0) v2_(t _t 0) , Tz = (z z0) v2_(t _t 0) (7)

e, em seguida, isolamos os termos (x x0) e (z z0)

(19)

Por fim, substitu´ımos (x x0) e (z z0), que encontramos em (8), na solu¸c˜ao da equa¸c˜ao iconal em (6) (t t0) = 1 v p [Txv2(t t0)]2+ [Tzv2(t t0)]2. (9)

Ent˜ao desenvolvemos a equa¸c˜ao (9) e encontramos finalmente

T_x2+ T_z2= 1

v2, (10)

que é a equa¸cão iconal (2). Agora que deduzimos a equa¸cão iconal a partir de sua solu¸cão, podemos encontrar a equa¸cão da onda associada.

Qualquer equa¸c˜ao diferencial parcial da forma @2_p @x2 + @2_p @z2 1 v2 @2_p @t2 + F ✓ @p @x, @p @z, @p @t, p, x, z, t ◆ = 0 (11)

fornecerá a equa¸cão iconal (2) como resultado da substitui¸cão do Ansatz (3), independente de qual fun¸cão F determinamos para compor a equa¸cão, pois apenas as derivadas de maior ordem da equa¸cão da onda levam à equa¸cão iconal. Ou seja, escolhemos especificamente esta equa¸cão (11), pois já sabemos que a equa¸cão da onda tem de ser tal que, ao substituir nela o Ansatz (3), obtenha-se a equa¸cão iconal (2). Portanto, por exemplo, a escolha do termo da

derivada de segunda ordem de (3) com rela¸c˜ao a x (ou @2_p/@x2_{), nessa equa¸c˜ao da onda (11),}

faz surgir o termo (@T /@x)2 na equa¸c˜ao iconal (2). Todos os termos de (11), com exce¸c˜ao da

fun¸cão F , são escolhidos de forma que a equa¸cão iconal derivada desta equa¸cão da onda (11) seja exatamente igual a (2). A fun¸cão F , que pode conter apenas os argumentos listados, fica “livre”, pois ela não influencia na forma¸cão da equa¸cão iconal (2). Todas as equa¸cões da onda do tipo (11) possuem o mesmo comportamento cinemático da propaga¸cão da onda feita pela equa¸cão (1). A fun¸cão F tem influência somente sobre o comportamento dinâmico, i.e., sobre as amplitudes da onda.

A forma mais simples da equa¸cão da onda (11) é a que apresenta F = 0 (que é

exata-mente o caso da onda acústica), ou seja, quando a fun¸cão F é nula. Ao encontrar a equa¸cão

da onda pelos passos aqui descritos, temos uma equa¸cão cinematicamente correta (mas que poderia estar dinamicamente imprecisa, o que não é o caso), que propaga uma ou diversas

(20)

ondas da forma da equa¸cão (3), do instante t0 ao t > t0. Assim, mostramos que é poss´ıvel obter a equa¸cão da onda partindo da cinemática do problema e é exatamente isso que será feito para o caso da onda-imagem no CIG.

2.2 Common Image Gather - CIG

A fam´ılia de ponto imagem comum (mais conhecida por common image gather - CIG) é uma ferramenta que faz uso da redundância do dado s´ısmico. Essa redundância é relevante, pois permite analisar a mesma por¸cão do modelo por diferentes pontos de vista, isto é, por diferentes afastamentos fonte-receptor ou ainda, diferentes ângulos. Com as diferentes perspectivas é poss´ıvel aplicar uma técnica conhecida como análise de velocidade por migra¸cão (Migration Velocity Analysis - MVA) para construir um modelo de velocidade.

O CIG ´e constru´ıdo da seguinte forma:

1. Separa-se o dado s´ısmico em se¸c˜oes de afastamento comum (common o↵set section). 2. Migra-se cada uma dessas se¸c˜oes de afastamento comum.

3. Seleciona-se o tra¸co de uma coordenada espec´ıfica em todas as se¸cões migradas. 4. Os tra¸cos selecionados das se¸cões migradas formam então o CIG daquela posi¸cão do

dado.

A Figura 3 ilustra, esquematicamente, o processo de constru¸c˜ao do CIG descrito acima. Na parte superior da figura aparecem quatro se¸c˜oes de afastamento comum migradas em profundidade com a mesma velocidade errada, cada uma delas com um afastamento diferente

(h1, h2, h3 e h4). Todas as se¸c˜oes migradas imageam a mesma regi˜ao da subsuperf´ıcie e por

fins didáticos apresentamos apenas um refletor nessa área. Neste caso ilustramos a situa¸cão da migra¸cão em profundidade e por isso temos o espa¸co (x, z). Para construir o CIG, que está representado na parte inferior da figura, selecionamos uma mesma posi¸cão no eixo x

(xCIG) para todas as quatro se¸c˜oes migradas e montamos o CIG com os respectivos tra¸cos

(21)

Figura 3: Esquema de constru¸cão de um CIG. Na parte superior estão quatro se¸cões migradas

em profundidade, com afastamentos h1, h2, h3 e h4. O CIG, que aparece na parte inferior, ´e

formado com os tra¸cos da posi¸c˜ao xCIGde cada se¸c˜ao migrada. Retirado de Gomes (2016).

Analisando a Figura 3 é poss´ıvel perceber dois fatos interessantes. O primeiro deles é que, nas se¸cões migradas, vemos que o mesmo refletor está aparecendo em profundidades

maiores `a medida que observamos o dado por afastamentos mais longos (h1< h2< h3< h4).

O segundo fato interessante, que por sinal está relacionado ao primeiro, é que os eventos no CIG também aparecem mais profundos à medida que o afastamento aumenta. Isto acontece porque a velocidade de migra¸cão usada foi maior do que a velocidade real do meio (maiores informa¸cões em Zhu et al., 1998). Se a velocidade de migra¸cão fosse igual à velocidade do meio, as imagens do refletor nas se¸cões migradas seriam iguais e, portanto, o CIG apresentaria os eventos na mesma profundidade. Portanto, através desta sucinta explica¸cão sobre o CIG, já é poss´ıvel entender a ideia básica por trás da análise de velocidade por migra¸cão (MVA): o fato do refletor na mesma posi¸cão x não aparecer na mesma profundidade z em todas as imagens redundantes indica um erro no modelo de velocidade utilizado para efetuar a migra¸cão.

(22)

2.3 Onda-imagem no CIG

Para conseguirmos realizar a propaga¸cão da onda-imagem no CIG é preciso encontrar a equa¸cão da onda-imagem nesse ambiente. Fazemos aqui um desenvolvimento semelhante ao elaborado na Se¸cão 2.1.2. A dedu¸cão da equa¸cão da onda-imagem que será apresentada foi feita originalmente por Schleicher et al. (2008).

Come¸camos pelo equivalente em profundidade da equa¸c˜ao (1) de Al-Yahya (1989), que descreve a posi¸c˜ao migrada de um refletor horizontal abaixo de uma camada com velocidade

constante vm. Em outras palavras, a equa¸c˜ao a seguir fornece a profundidade z do refletor

migrado no CIG em fun¸c˜ao do meio afastamento h, velocidade do meio vm, velocidade de

migra¸c˜ao v e da profundidade verdadeira do refletor z0:

z(h) = s v2 v2 m z2 0+ ✓ v2 v2 m 1 ◆ h2_. ₍₁₂₎

Nesta equa¸c˜ao v, vm e z0 s˜ao fixos e apenas h varia. Podemos avaliar o comportamento do

CIG para três situa¸cões distintas na equa¸cão (12). Quando v < vm, v > vm e v = vm:

• v < vm: o termo v2/vm2 passa a ser menor do que 1 e ent˜ao, `a medida que h aumenta, z

diminui. Assim o CIG apresentar´a uma curva voltada para cima, como na Figura 4a;

• v > vm: o termo v2/v2mé maior do que 1 e então, à medida que h aumenta, z também

aumenta. Assim o CIG apresentar´a uma curva voltada para baixo, como na Figura 4b;

• v = vm: o termo v2/vm2 é igual a 1 e então, à medida que h aumenta, z permanece

constante. Nesta situa¸c˜ao o CIG apresentar´a uma curva horizontal, como na Figura 4c.

Como já foi visto, para o caso da onda f´ısica, a variável de propaga¸cão é o tempo t. Ou seja, as frentes de onda podem ser descritas por uma fun¸cão t = T (x, z), onde T (x, z) é conhecido como iconal. No caso da onda-imagem, como exemplificado na Se¸cão 2.1, à medida que migramos o dado com diferentes velocidades, os eventos de reflexão aparecem em profundidades distintas (ver Figura 2b). Consideramos esses eventos de reflexão como sendo frentes de onda, analogamente à situa¸cão da onda f´ısica, mas agora as frentes de onda

(23)

x h1 h2 h3 h4 CIG em xCIG z x h1 h2 h3 h4 CIG em xCIG z x h1 h2 h3 h4 CIG em xCIG z (a) (b) (c)

Figura 4: Esbo¸co esquem´atico para as poss´ıveis curvaturas nos CIGs: (a) v < vm, (b) v > vm

e (c) v = vm.

passam a ser descritas por uma fun¸cão v = V (x, z), onde V (x, z) é conhecido como iconal da onda-imagem. Ou seja, a variável de propaga¸cão passa a ser a velocidade v e não o tempo t, como acontece na situa¸cão da onda f´ısica. Para o caso da onda-imagem no CIG especificamente, como estamos no espa¸co (z, h), o iconal da onda-imagem passa a ser V (z, h) e pode ser encontrado ao resolvermos a equa¸cão (12),

v = V (z, h) = vm s h2_{+ z}2 h2_{+ z}2 0 . (13)

Como pode ser visto, z e h s˜ao os eixos do nosso CIG. Percebe-se ainda que V tamb´em

depende de vme z0, que pertencem a um meio espec´ıfico e, portanto, essa não é uma equa¸cão

gen´erica.

Agora, precisamos encontrar a equa¸cão iconal da onda-imagem no CIG, que descreve a varia¸cão da posi¸cão dos eventos de forma genérica. Para isso fazemos uma analogia com a já descrita situa¸cão da onda f´ısica. Para o caso da onda f´ısica, vimos que a equa¸cão iconal (2) continha, entre outros termos, as derivadas do iconal T com rela¸cão às variáveis espaciais. Portanto, para a equa¸cão iconal desta onda-imagem também devemos calcular as derivadas do iconal V com rela¸cão às variáveis espaciais, que agora são z e h. Entretanto, como fizemos uso da hipótese do refletor horizontal, só existe propaga¸cão na dire¸cão vertical, ou seja, V só varia em z. Assim, apenas precisamos calcular a derivada de V com respeito a z, já que

(24)

não existe varia¸cão em h. Para calcularmos a derivada de V com rela¸cão a z reorganizamos a equa¸cão (13) como V (z, h)2 h2_{+ z}2 = v2 m h2_{+ z}2 0 . (14)

Derivando a equa¸cão (14) com rela¸cão a z e substituindo na equa¸cão (13), encontramos a equa¸cão iconal da onda-imagem,

@V @z

vz

h2_{+ z}2 = 0. (15)

Sabemos que a equa¸cão iconal (2) (no caso da onda f´ısica) contém a norma do gradiente do iconal (ou as derivadas do iconal com rela¸cão às variáveis espaciais) elevada ao quadrado,

krT k2_{, devido ao fato de, na equa¸c˜ao da onda f´ısica (1) existir o laplaciano do campo p ( p)}

(ou as derivadas segundas do campo p com rela¸cão às variáveis espaciais). Como na equa¸cão iconal da onda-imagem no CIG (15), o termo @V /@z não está elevado ao quadrado, já é poss´ıvel inferir que a equa¸cão da onda-imagem terá apenas derivadas de ordem primeira. Na realidade, o que determina se essas equa¸cões da onda são de primeira ou de segunda ordem é a natureza (ou a f´ısica) do problema.

A equa¸cão da onda f´ısica que vimos inicialmente é de segunda ordem (conhecida como two-way wave equation), pois a onda pode se propagar tanto expandindo como contraindo. Já no caso da onda-imagem que se propaga no CIG, sabemos que, por exemplo, se um determinado refletor foi migrado com uma velocidade de migra¸cão menor do que a velocidade do meio, sua imagem se encontrará acima da posi¸cão verdadeira. Portanto, no caso desta onda-imagem, sabemos sempre a dire¸cão de propaga¸cão e então já nos é suficiente obter uma equa¸cão da onda-imagem de primeira ordem. Assim, fazendo uma analogia com a situa¸cão da onda f´ısica mostrada na Se¸cão 2.1.2, percebemos que a forma mais simples da equa¸cão desta onda-imagem deve ser

@p @z + vz h2_{+ z}2 @p @v = 0. (16)

Provamos isto ao substituir a candidata do tipo raios p(z, h, v) = p0(z, h)f (v V (z, h))

(25)

representa um pulso de alta frequência posicionado ao longo da frente de onda v = V (z, h)) na equa¸cão (16) e recuperar a equa¸cão iconal (15). Percebe-se que a equa¸cão 16 tem a forma de uma equa¸cão de adveçcão, porém com coeficiente não constante. Esquemas de diferen¸cas finitas para essa equa¸cão existem na literatura. Neste trabalho fazemos a propaga¸cão da onda-imagem no CIG através da discretiza¸cão por um esquema de diferen¸cas finitas implementado por Schleicher et al. (2008) para o caso do CIG em tempo e adaptado ao caso do CIG em profundiade por Gomes (2016).

(26)

3 METODOLOGIA E APLICAC

¸ ˜

OES

3.1 Propaga¸c˜ao da Onda-imagem no CIG

Após a determina¸cão da equa¸cão da onda-imagem (16), que é simplesmente uma equa¸cão da onda “one-way”, é poss´ıvel realizar a propaga¸cão desta onda no CIG. Para realizar essa tarefa precisamos discretizar esta equa¸cão (16). Então, fazemos uma aproxima¸cão da mesma ao substituir as derivadas nela presentes por diferen¸cas finitas. Desta forma, utilizamos um esquema impl´ıcito, de segunda ordem e incondicionalmente estável, como descrito em Schleicher et al. (2008).

Para realizar a propaga¸c˜ao da onda-imagem, ou seja, propagar esta onda no CIG para novas velocidades, desenvolvemos o esquema de diferen¸cas finitas tra¸co a tra¸co, at´e

propa-garmos todos os tra¸cos do CIG para uma nova velocidade vn+1. Portanto, neste esquema,

o campo escalar p varia em z e v apenas. Desta forma, o ponto com coordenadas (zk, vn) ´e

descrito por zk = z0+ k z e vn = v0+ n v, onde k e n s˜ao os ´ındices ao longo de z e v,

respectivamente, com k = 1, 2, 3, ..., M 1, M (aqui, M ´e o ´ındice correspondente ao ´ultimo

ponto da malha em z), e n = 1, 2, 3, ..., N 1, N (N ´e o ´ındice correspondente ao ´ultimo

ponto da malha em v). Este esquema ´e centrado em zk e vn+1/2. A Figura 5 auxilia no

entendimento da geometria deste esquema de diferen¸cas finitas. Para discretizar a derivada @p/@z utilizamos o m´etodo de Crank-Nicolson (Crank e Nicolson, 1947), isto ´e, aproximamos

a derivada de p com rela¸cão a z através da média das aproxima¸cões em vn e vn+1,

@p(zk, vn+1/2) @z ⇡ 1 2  1 2 z(p n k+1 pnk 1) + 1 2 z(p n+1 k+1 p n+1 k 1) , (17)

onde z representa o intervalo de amostragem. Agora, discretizando a derivada @p/@v,

@p(zk, vn+1/2)

@v ⇡

pn+1_k pn

k

v . (18)

Aqui v representa o intervalo de velocidade, ou seja, a diferen¸ca entre os valores da

veloci-dade em n + 1 e n. Como o esquema ´e centrado em vn+1/2, precisamos calcular o valor da

(27)

Figura 5: Stencil do esquema de Diferen¸cas Finitas usado para obter a imagem continuada em n + 1 a partir da imagem em n. Retirado de Gomes (2016).

Substituindo estas aproxima¸cões (equa¸cões (17) e (18)) na equa¸cão da onda-imagem (16) e rearranjando temos pn+1 k + (h2_{+ z}2 k) v v_n+1 2zk4 z pn+1 k+1 pn+1k 1 = pnk (h2_{+ z}2 k) v v_n+1 2zk4 z pn k+1 pnk 1 . (19) Então, definindo ↵n_k = (h 2_{+ z}2 k) v v_n+1 2zk4 z , (20) temos pn+1_k + ↵n_k pn+1_k+1 pn+1_{k 1} = pn_k ↵n_k pn_k+1 pn_{k 1} , (21)

que é a versão discretizada da equa¸cão (16). As condi¸cões de fronteira são pn+1₀ = 0, pn

0 = 0

e pn

M +1 = 0. Repare que o lado esquerdo da equa¸c˜ao (21) cont´em apenas os valores que

queremos descobrir (em vn+1) e o lado direito possui os valores que j´a conhecemos (em vn).

Ao desenvolver a equa¸c˜ao (21) para os diferentes k, temos um sistema de equa¸c˜oes que pode ser escrito em forma matricial como

(28)

2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 1 ↵n 1 ↵n 2 1 ↵n2

0

↵n 3 1 ↵n3 . .. . .. . ..

0

↵n M 1 1 ↵nM 1 ↵n M 1 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 pn+1₁ pn+1₂ pn+1₃ pn+1 4 ... pn+1_{M 2} pn+1_{M 1} pn+1 M 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 pn 1 ↵n1pn2 pn 2 ↵n2(pn3 pn1) pn 3 ↵n3(pn4 pn2) ... pn M 1 ↵nM 1 pnM pnM 2 pn M+ ↵nMpnM 1 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 . (22)

A equa¸cão (21) não nos dá cada pn+1_k explicitamente, mas a equa¸cão (22) os fornece

implicita-mente através da solu¸cão do sistema linear. Como se pode ver, a matriz é quadrada, esparsa (a maioria dos elementos é zero) e tridiagonal (exceto pelas três diagonais centrais, todos os elementos são nulos). Computacionalmente, este sistema linear é resolvido por decomposi¸cão LU. Ao aplicar este esquema de diferen¸cas finitas, o CIG é continuado de uma velocidade inicial para uma nova velocidade, sem a necessidade de realizar uma outra migra¸cão.

3.2 Semblance

Em nosso processo de análise de velocidade, a ferramenta mais utilizada para conferir a horizontalidade do CIG na continua¸cão de velocidade é o painel semblance, semelhante ao usado em análise NMO convencional (e.g., Yilmaz, 1987). Semblance é uma medida de coerência (ou seja, é uma fun¸cão que visa quantificar se as amplitudes coletadas ao longo de um evento de reflexão são coerentes), que é extensivamente usada em processamento s´ısmico. Para construir o painel semblance dos CIGs continuados em profundidade e assim determinar as velocidades e profundidades (aproximadamente corretas) de horizontaliza¸cão dos eventos, fazemos uso da expressão do semblance (Neidell e Taner, 1971). O semblance na amostra k

(29)

em profundidade ´e dado por s(k) = k+J_P j=k J ✓_{L 1} P l=0 p(j, l) ◆2 L k+JP j=k J L 1_P l=0 p(j, l)2 , (23)

onde p(j, l) ´e a amplitude do tra¸co na profundidade zj e afastamento hl do CIG continuado.

Os somatórios internos corridos em l correspondem a L tra¸cos do CIG continuado com um certo valor de velocidade, enquanto os somatórios externos corridos em j correspondem a uma janela em profundidade, mais conhecida como janela de coerência, de comprimento 2J + 1, centrada no ´ındice de profundidade k. Idealmente, o valor de J e, consequentemente, o com-primento da janela de coerência são escolhidos de maneira que, ao multiplicar o comcom-primento da janela (2J + 1) pelo intervalo de amostragem, tenhamos aproximadamente a dura¸cão do pulso. Em nossos experimentos numéricos utilizamos o valor de J = 5.

Para identificarmos eventos horizontalizados, procuramos máximos nos espectros de velocidade com a Semblance calculada ao longo de linhas horizontais nos CIGs continuados. No entanto, quando os eventos não se apresentam bem focados no painel Semblance, com-binamos a informa¸cão do Semblance com uma inspe¸cão visual dos CIGs continuados para obtermos o melhor resultado poss´ıvel. Denominamos de velocidade de horizontaliza¸cão a velocidade que, nestes critérios, produz o evento mais perto da horizontal.

3.3 Construindo o Modelo de Velocidade

Em nossos experimentos numéricos demonstramos dois procedimentos distintos para construir modelos de velocidade. Ambas implementa¸cões são procedimentos iterativos e usam a versão em profundidade da propaga¸cão da onda-imagem no CIG. Na primeira abordagem que trabalhamos, nomeada Atualiza¸cão Global, atualizamos todo o modelo de velocidade em cada itera¸cão. Esta foi a abordagem utilizada por Gomes (2016). Já em nossa segunda abordagem utilizamos uma técnica conhecida como Layer Stripping. Nela atualizamos o modelo camada por camada, a partir da camada superior, até preencher todo o modelo.

(30)

que determina a posi¸cão do evento migrado em profundidade, através da continua¸cão de velocidade, é dada pelo inverso da vagarosidade média. Então, de acordo com Gomes (2016),

para um modelo com camadas planas, a velocidade intervalar V_Ij na j-´esima camada pode

ser calculada a partir das velocidades m´edias

V_Ij= (zj zj 1)

(zj z0) /VMj (zj 1 z0) /VMj 1

, (24)

onde zj e zj 1 s˜ao as profundidades de dois eventos consecutivos abaixo da profundidade z0

e V_Mj e V_Mj 1 s˜ao as velocidades m´edias associadas a esses dois eventos.

Este cálculo de velocidades intervalares só é necessário para a estratégia Atualiza¸cão Global. Ao executar o Layer Stripping, este cálculo não é realizado, porque os valores de velocidade que encontramos com a análise de velocidade no CIG já representam os valores de velocidade das camadas.

Iniciamos o procedimento iterativo para ambas implementa¸cões com uma velocidade de migra¸cão constante. Desta forma, a atualiza¸cão de velocidade na primeira itera¸cão é realizada simplesmente com as velocidades de horizontaliza¸cão do CIG. Já nas itera¸cões subsequentes, é necessário aplicar uma corre¸cão adicional, uma vez que o modelo de velocidade passa a ser heterogêneo. O fato de trabalharmos com um modelo de velocidade heterogêneo está em conflito com o desenvolvimento teórico, que usa uma velocidade constante como variável de

propaga¸c˜ao. Por isso, utilizamos uma velocidade de referˆencia VRconstante para inicializar a

propaga¸cão. Assim, os valores de velocidade que horizontalizam um evento no CIG passam a ser relativos a esta velocidade de referência. Precisamos então de um passo de atualiza¸cão das velocidades do modelo que utilize esses valores relativos de velocidade usados na propaga¸cão. Na estratégia Atualiza¸cão Global, idealmente, as vagarosidades médias devem ser atu-alizadas da seguinte forma:

1/V_M,i+1j = 1/V_M,ij + 1/V_Fj 1/VR , (25)

onde V_M,i+1j e V_M,ij são os valores das velocidades médias do j-ésimo evento em duas itera¸cões

subsequentes, V_Fjé o valor de velocidade que horizontaliza o j-ésimo evento na itera¸cão atual

(31)

A velocidade média V_M,i+1j é atribu´ıda a todos os pontos entre as profundidades zj e zj 1. Porém, nos experimentos de Gomes (2016), atualizar a velocidade média por

V_M,i+1j = V_M,ij + V_Fj VR , (26)

produziu melhores resultados. Esta observa¸cão motivou a investiga¸cão da estratégia Layer Stripping, na qual atualizamos diretamente as velocidades intervalares, de acordo com

V_I,i+1j = V_I,ij + V_Fj VR , (27)

onde V_I,i+1j e V_I,ij s˜ao os valores da velocidade intervalar em duas itera¸c˜oes subsequentes, sendo

V_I,i+1j a velocidade intervalar a ser determinada na presente itera¸c˜ao e V_I,ij ´e a velocidade

intervalar que foi determinada na itera¸c˜ao passada e utilizada para migrar o dado nesta

itera¸c˜ao. A velocidade intervalar V_I,i+1j ´e atribu´ıda a todos os pontos entre as profundidades

zj e zj 1. Note que na primeira itera¸c˜ao de ambas as estrat´egias, o modelo inicial tem uma

velocidade constante, i.e., VR = VM,0 = VI,0, de forma que as velocidades de atualiza¸c˜ao j´a

s˜ao as velocidades de horizontaliza¸c˜ao do CIG.

3.4 Atualiza¸c˜ao Global

O algoritmo iterativo da estratégia de remigra¸cão em profundidade Atualiza¸cão Global é muito semelhante ao algoritmo da remigra¸cão em tempo apresentado por Schleicher et al. (2008). Basicamente, muda-se apenas a fórmula de atualiza¸cão de velocidade de acordo com o dom´ınio de migra¸cão. Mais especificamente, os passos são:

1. Migre o dado usando um modelo de velocidade constante e separe o dado em CIGs. 2. Aplique o processo de continua¸c˜ao de imagem ao resolver a equa¸c˜ao (16).

3. A partir dos CIGs continuados, determine as velocidades de horizontaliza¸c˜ao e profun-didades para todos os eventos.

(32)

itera¸c˜ao.

5. Calcule as novas velocidades intervalares usando a equa¸c˜ao (24). 6. Migre o dado com esse novo modelo de velocidade.

7. Repita os passos 2 a 6 at´e que os eventos estejam satisfatoriamente horizontalizados nos CIGs.

3.5 Layer Stripping

Nesta estratégia determinamos as velocidades intervalares uma camada por vez. Aqui usamos o algoritmo para uma determinada camada até que o seu evento no CIG esteja ho-rizontal e após isso partimos para o próximo evento em profundidade, continuando assim até que todos os eventos estejam horizontais. Dessa forma, atualizamos diretamente as veloci-dades locais e é isso que nos permite usar a equa¸cão (27). Uma vez que esse procedimento reduz o erro de velocidade para eventos mais rasos antes de proceder para camadas mais profundas, ocorre uma redu¸cão da acumula¸cão de erro, o que favorece a convergência nas

camadas mais profundas. Nossos experimentos n´umericos confirmam esta expectativa. Os

passos do algoritmo do Layer Stripping s˜ao:

1. Migre o dado usando um modelo de velocidade constante e separe o dado migrado em CIGs.

2. Aplique o processo de continua¸c˜ao de imagem ao resolver a equa¸c˜ao (16).

3. A partir dos CIGs continuados, determine as velocidades de horizontaliza¸c˜ao e profun-didades para o evento atual.

4. Atualize a velocidade intervalar usando a equa¸c˜ao (27). 5. Migre o dado com esse novo modelo de velocidade.

6. Repita os passos 2 a 5 até que o evento atual esteja satisfatoriamente horizontal. 7. Vá para o próximo evento.

(33)

8. Repita os passos 2 a 7 at´e que todos os eventos estejam satisfatoriamente horizonta-lizados nos CIGs.

3.6 Modelo suavizado

Os processos de atualiza¸cão do modelo de velocidade descritos acima fornecem um mo-delo com contrastes nas camadas detectadas. Um momo-delo assim apresenta certas desvantagens quando utilizado para migra¸cão. Por este motivo, Gomes (2016) utilizava, na migra¸cão, um modelo suavizado. A atualiza¸cão das velocidades médias, porém, sempre era efetuada no modelo com camadas.

Observamos em nossos testes numéricos que parte das dificuldades de convergência do processo de atualiza¸cão global do modelo se deve ao procedimento descrito acima. Portanto, optamos pela seguinte modifica¸cão do procedimento da atualiza¸cão do modelo. Ao invés de aplicar a suaviza¸cão somente para fins da migra¸cão, mas atualizando sempre o modelo acamadado como feito em Gomes (2016), aqui consideramos o modelo suavizado como mo-delo final de cada itera¸cão. Utilizamos este momo-delo suavizado não somente para a próxima migra¸cão, mas, após a próxima propaga¸cão dos CIGs, atualizamos então as velocidades in-tervalares diretamente nesse modelo suavizado. Uma vez que este procedimento introduz novamente contrastes de velocidade, suavizamos o modelo atualizado outra vez para obter o modelo final da próxima itera¸cão. Utilizamos um filtro Gaussiano para realizar a suaviza¸cão do modelo.

(34)

4 RESULTADOS E DISCUSS ˜

OES

Para testar a estratégia Layer Stripping e compará-la com a estratégia Atualiza¸cão Global de Gomes (2016), aplicamos ambas ao primeiro modelo usado por Gomes (2016) em sua disserta¸cão de mestrado, mostrado na Figura 6. Este modelo possui duas camadas sedi-mentares (com velocidades 2000 e 3000 m/s) envolvidas por uma lâmina d’água (1500 m/s) e uma camada de sal (4500 m/s) com topografia relativamente acentuada. O modelo tem extensão de 25850 metros e sua profundidade máxima é 3000 metros. Como o modelo não possui refletor abaixo do topo do sal, a velocidade do sal não pode ser extra´ıda dos dados de reflexão s´ısmica, pois nesta camada não existe propaga¸cão de onda em dire¸cão à superf´ıcie.

4.1 Modelagem Direta

Geramos nosso dado sintético através do modelador por tra¸camento de raios csmodel-ing, de autoria de Ricardo Biloti. O csmodelcsmodel-ing, por sua vez, faz uso do modelador CShot (Cohen e Stockwell, 2008), um tra¸cador de raios distribu´ıdo como parte do pacote de código aberto Seismic Un*x. Usamos uma wavelet de fase zero (Figura 7b) que é uma fun¸cão banda-limitada padrão do modelador CShot, constru´ıda a partir da Transformada Inversa de Fourier do seguinte filtro passa-banda (Figura 7a) no dom´ınio da frequência:

f (!) = 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : df, !1< ! < !2 0, ! < !0 ou ! > !3 sen2⇣⇡(! !0) 2(!1 !0) ⌘ df, !0< ! < !1 sen2⇣⇡(!3 !) 2(!3 !2) ⌘ df, !2< ! < !3 , (28)

onde ! representa frequência, df é o valor do incremento de frequência e !0, !1, !2e !3são

os n´umeros das amostras que delimitam o espectro de frequˆencia deste filtro passa-banda (ou

nossa fonte no dom´ınio da frequˆencia). Para !0, !1, !2e !3, usamos respectivamente 10, 25,

35 e 50 Hz.

(35)

afasta-0 5 10 15 20 25 Distância (km) 0 1 2 3 Profundidade (km) (a) 5 10 15 20 25 Distância (km) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Profundidade (km) 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 (b)

Figura 6: Modelo de velocidade usado para gerar o dado s´ısmico (Gomes, 2016). (a) modelo com propor¸cões verdadeiras; (b) modelo com propor¸cões modificadas para melhor identi-fica¸cão das camadas.

(36)

(a) (b)

Figura 7: (a) Fonte no dom´ınio da frequência, (b) wavelet, no dom´ınio do tempo. mento de 50 metros entre eles e para cada tiro foram posicionados 99 receptores, um a cada 50 metros, num arranjo end-on. Selecionamos 50 se¸cões de afastamento comum espa¸cadas a cada 100 metros, onde o menor o↵set é 50 m e o maior é 4950 m. Modelamos somente as reflexões primárias (eventos que representam o caminho direto de uma onda s´ısmica saindo da fonte para o ponto em profundidade onde ocorre a reflexão e do ponto de reflexão para o receptor) de ondas P (ondas longitudinais, também chamadas de primárias; o fato de

estar-mos modelando somente ondas P implica que estaestar-mos lidando com um meio ac´ustico), sem

levar em conta perdas por transmissão, absor¸cão nem por espalhamento geométrico. Mode-lar o dado s´ısmico somente com as reflexões primárias nos permite partir diretamente para a etapa de migra¸cão, sem a necessidade de aplicar outras etapas de processamento comumente necessárias em dados reais, como corre¸cão estática, deconvolu¸cão e etc.

4.2 Migra¸c˜ao

Dentre os diversos métodos de migra¸cão dispon´ıveis, utilizamos a migra¸cão Kirchho↵ (Schneider, 1978) pré-empilhamento. A equa¸cão integral da migra¸cão Kirchho↵ pode ser numericamente implementada como uma soma sobre as curvas de difra¸cão. Por curva de difra¸cão entenda-se a “imagem cinemática” no dom´ınio do tempo de um ponto no dom´ınio

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da profundidade (Hubral et al., 1996a). Na migra¸c˜ao Kirchho↵ em profundidade a curva de

difra¸cão é encontrada por tra¸camento de raios paraxiais (Beydoun e Keho, 1987; ˇCervený,

1985). Portanto, constru´ımos tabelas de tempo de trânsito para obter as curvas de difra¸cão e colecionar as amplitudes nessas curvas, que serão usadas para realizar o empilhamento Kirchho↵.

Geramos as tabelas de tempo de trˆansito com o programa rayt2d

(Cohen e Stockwell, 2008), distribu´ıdo através do pacote Seismic Un*x. Os tempos de trânsito são calculados por tra¸camento de raio paraxial. As tabelas contêm os tempos de trânsito para cada par fonte-receptor, sendo uma tabela para cada fonte. Todas as tabelas de tempo de trânsito criadas pelo programa rayt2d são então armazenadas num arquivo que será acessado durante a migra¸cão.

Realizamos a migra¸c˜ao Kirchho↵ atrav´es do programa sukdmig2d

(Cohen e Stockwell, 2008), distribu´ıdo com o pacote Seismic Un*x. Para realizar a mi-gra¸c˜ao, o sukdmig2d acessa as tabelas de tempo de trˆansito no arquivo que foi gerado pelo

rayt2d. ´E importante salientar que os headers dos tra¸cos do dado s´ısmico devem conter

as posi¸cões da fonte (sx) e do receptor (gx). Caso essas posi¸cões não sejam indicadas, o sukdmig2d assumirá que todos os tra¸cos tem as posi¸cões de fonte e receptor iguais a zero e consequentemente, nossa migra¸cão não funcionará como esperado.

Realizamos a etapa de migra¸c˜ao da seguinte forma:

1. Separamos o dado em se¸c˜oes de afastamento comum (common o↵set) com susort/suwind (Cohen e Stockwell, 2008);

2. Constru´ımos as tabelas de tempo de trˆansito com o rayt2d; 3. Migramos as se¸c˜oes de afastamento comum usando o sukdmig2d; 4. Constru´ımos os CIGs.

Na realidade, não existe diferen¸ca em come¸car esse processo por 1 ou 2. Utilizamos este mesmo esquema de migra¸cão para ambas implementa¸cões (Atualiza¸cão Global e Layer Strip-ping). Come¸camos os dois procedimentos iterativos usando um modelo de velocidade cons-tante (2000 m/s) para realizar a primeira migra¸cão em profundidade, de acordo com o

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0 5 10 15 20 25 Distância (km) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Profundidade (km)

Figura 8: Se¸c˜ao de afastamento comum de 50 m migrada, obtida a partir do modelo inicial de velocidade constante 2000 m/s.

primeiro passo de ambos algoritmos. A Figura 8 apresenta a se¸cão de afastamento comum de 50 metros resultante desta primeira migra¸cão com modelo de velocidade constante 2000 metros por segundo, comum para as duas implementa¸cões.

4.3 Continua¸c˜ao de Velocidade

Realizamos a continua¸cão de velocidade com o código Cigcont, implementado por Schleicher et al. (2008) para continua¸cão em tempo e adaptado por Gomes (2016) para continua¸cão em profundidade.

Para a continua¸cão de velocidade e posterior análise de velocidade, selecionamos em todas as itera¸cões 52 CIGs (um a cada 500 metros do nosso dado) para serem continuados para velocidades entre 1400 m/s e 4000 m/s (faixa de velocidades da continua¸cão), come¸cando com a velocidade de referência de 2000 m/s.

Basicamente, nosso algoritmo funciona da seguinte maneira: inicia-se o processo de continua¸c˜ao de velocidade nos CIGs pela velocidade de referˆencia (2000 m/s), em seguida

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0 2000 4000 Offset (m) 500 1000 1500 2000 2500 3000 Profundidade (m) v = 1450 m/s 0 2000 4000 Offset (m) 500 1000 1500 2000 2500 3000 v = 1790 m/s 0 2000 4000 Offset (m) 500 1000 1500 2000 2500 3000 v = 2470 m/s (a) (b) (c)

Figura 9: CIGs continuados a partir do CIG 7525 para três velocidades que horizontalizam cada evento. No eixo horizontal temos afastamento e no vertical temos profundidade. continua-se a velocidade, de acordo com o incremento de velocidade, para velocidades menores do que 2000 m/s, até 1400 m/s (em outras palavras, temos um “retrocesso” de velocidade). Quando atinge a velocidade de continua¸cão de 1400 m/s, o programa come¸ca a realizar a continua¸cão para velocidades maiores que 2000 m/s (sempre a cada 1 m/s e gravando a cada 10 m/s), até a velocidade 4000 m/s (chamemos de “avan¸co” de velocidade). A Figura 9 mostra três imagens do processo de continua¸cão de velocidade no CIG da posi¸cão 7525 m, continuado para 1450, 1790 e 2470 m/s. Ela foi obtida na primeira itera¸cão, onde a continua¸cão de velocidade é exatamente a mesma para as duas implementa¸cões (Atualiza¸cão Global e Layer Stripping).

Vale salientar que, à medida que fazemos a continua¸cão de velocidade para velocidades mais distantes da velocidade de referência, acreditamos que o erro numérico se torna maior

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em nosso experimento. Outra observa¸cão relevante é que a escolha do valor do incremento dos instantâneos fica a critério do usuário. Ou seja, é poss´ıvel escolher se faremos nossa análise de velocidade com muitos ou poucos CIGs continuados e esta escolha, obviamente, é feita ao analisar a rela¸cão custo-benef´ıcio. Ainda, quanto menor o valor do incremento, maior será o tempo para realizar o processo de continua¸cão completo.

Uma forma de diminuir o tempo de execu¸cão do processo de continua¸cão de velocidade seria paralelizar parte de nosso código Cigcont. Este é um código que, em boa parte,

neces-sita ser serial, uma vez que, por exemplo, para avan¸car um passo de velocidade (em vn+1), ´e

preciso ter o campo de velocidade em vn. Atualmente o c´odigo procede serialmente realizando

primeiro o “retrocesso” de velocidade e em seguida o “avan¸co” de velocidade. Perceba que esses s˜ao dois processos independentes, que no momento s˜ao executados serialmente por um ´

unico processador, mas podem ser realizados paralelamente por dois processadores. Pode-mos ainda paralelizar a continua¸cão dos CIGs selecionados que cobrem toda a extensão do modelo. Atualmente a continua¸cão do dado todo é feita serialmente: faz-se a continua¸cão do primeiro CIG, em seguida continua-se o segundo, até continuar todos os CIGs seleciona-dos. Ou seja, podemos fazer a continua¸cão de cada CIG em um processador diferente, o que também aceleraria o processo de continua¸cão do dado todo.

Paralelizar a etapa de continua¸cão de imagem (que é o passo 2 de ambas imple-menta¸cões) certamente diminuirá o tempo de cada itera¸cão, porém, esta não é a etapa que demanda mais tempo em nossas estratégias de MVA (o passo 3, que é a análise de veloci-dade propriamente dita, é a etapa mais extensa). A automatiza¸cão da determina¸cão das velocidades de horizontaliza¸cão teria muito mais impacto sobre o tempo total de execu¸cão do método.

4.4 An´alise de Velocidade

A análise de velocidade que realizamos faz uso primordialmente do painel Semblance, como visto na Figura 10, que mostra o painel obtido na primeira itera¸cão do processo de continua¸cão para o CIG na posi¸cão 7525 m (também chamado de CIG 7525). Secundaria-mente, também analisamos os CIGs continuados. Na inspe¸cão visual dos CIGs continuados,

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1500 2000 2500 3000 3500 Velocidade (m/s) 500 1000 1500 2000 2500 3000 Profundidade (m) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Figura 10: Painel Semblance do CIG continuado na posi¸c˜ao 7525 m, com velocidade no eixo horizontal e profundidade no eixo vertical.

é preciso analisar cada um dos instantâneos, buscando a velocidade e a profundidade de horizontaliza¸cão de cada evento de reflexão. Já para a análise do painel Semblance, fazemos o picking (ou, do português, sele¸cão) nas regiões do espectro de velocidade que apresen-tam maior amplitude, pois essas regiões indicam as velocidades e profundidades onde temos eventos horizontais no CIG daquela posi¸cão.

Através deste painel Semblance, fica evidente uma das razões pela qual a abordagem Atualiza¸cão Global enfrenta dificuldades: em situa¸cões como a do painel da figura 10 é complicado identificar e fazer o picking dos três eventos de reflexão. Enquanto existem painéis mais bem focados para outros CIGs, muitos pickings errôneos irão existir e produzirão erros de velocidade. Observar diretamente os CIGs continuados ajuda a resolver ambiguidades, mas torna o processo de análise de velocidade mais demorado. Por exemplo, a Figura 9 mostra o CIG 7525 (obtido na primeira itera¸cão de ambas implementa¸cões) continuado para três velocidades que, aproximadamente, horizontalizam os três eventos para afastamentos curtos. Na abordagem Atualiza¸cão Global, as velocidades de horizontaliza¸cão dos três eventos são os valores de velocidade média nas profundidades onde cada evento aparece horizontal.

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Já para a abordagem Layer Stripping, como estamos no in´ıcio do processo iterativo, usamos apenas o primeiro evento (que por sinal, é o mais bem focado) para definir a velocidade da camada até aquela profundidade. Ao realizar a análise de velocidade em cada um dos 52 CIGs que selecionamos para cobrir o dado todo, podemos definir um novo modelo de velocidade. Valores de velocidade entre as posi¸cões dos CIGs escolhidos são preenchidos por interpola¸cão.

A principal razão de obtermos eventos desfocados nos painéis Semblance, como ocorre no painel da Figura 10, é o fato de que a velocidade que determina o posicionamento dos eventos de reflexão migrados não é igual para o↵sets distintos. Isso se deve ao fato de

que, para refletores inclinados, os eventos em um ´unico CIG n˜ao correspondem ao mesmo

ponto de reflexão. Em consequência disto, num mesmo CIG temos uma certa velocidade de horizontaliza¸cão do evento para afastamentos curtos e outra velocidade para afastamentos longos. Essa situa¸cão pode ser facilmente observada nos CIGs continuados da Figura 9. Uma solu¸cão para este problema é suprimir as imagens discrepantes nos afastamentos longos dos CIGs continuados, uma vez que a informa¸cão mais confiável se encontra nos afastamentos curtos, pois estes pertencem a pontos de reflexão na mesma região do refletor.

4.5 T´ecnicas de Atualiza¸c˜ao do Modelo de Velocidade

Construir o modelo de velocidade final é, na realidade, um processo iterativo que envolve todas as etapas descritas acima. Entretanto, a cada itera¸cão já encontramos um modelo de velocidade “provisório” que é utilizado para gerar o modelo da itera¸cão seguinte.

Na abordagem Atualiza¸cão Global (seguindo a implementa¸cão de Gomes, 2016), após concluir a análise de velocidade, atualizamos todo o modelo de velocidade e preenchemos a

região abaixo da posi¸cão do último refletor identificado com a velocidade do sal (4500 m/s).

Em seguida aplicamos uma suaviza¸cão para evitar a dispersão de raios durante o tra¸camento, que é feito para a cria¸cão das tabelas de tempo de trânsito usadas na migra¸cão seguinte.

Na estratégia Layer Stripping, atualizamos uma camada do modelo de velocidade por vez, estendemos a velocidade dessa camada para todo o resto do modelo abaixo dela e o suavizamos antes de prosseguirmos para a próxima itera¸cão. Neste caso do Layer Stripping, a

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atualiza¸cão das velocidades do modelo atual é feita com as velocidades do modelo suavizado (o mesmo utilizado para migrar o dado nessa itera¸cão) encontrado na itera¸cão anterior. Come¸camos pela primeira camada, onde iteramos até considerarmos que obtemos um bom resultado (mais detalhes a seguir). Em seguida partimos para a segunda camada e assim

por diante, at´e obtermos o modelo final com todas as camadas definidas, a menos da ´ultima

(neste caso, o sal), que não pode pode ter sua velocidade determinada pois não possui um refletor delimitando seu fim. Nas se¸cões a seguir, além de exibir os modelos de velocidade em cada itera¸cão, apresentamos as se¸cões migradas com cada um dos modelos, tendo em vista que o objetivo final deste processo de imageamento é obter a imagem migrada da região estudada.

4.5.1 Atualiza¸c˜ao Global

Como explicado anteriormente, nesta abordagem atualizamos todo o modelo a cada itera¸cão. A Figura 11 mostra, juntamente com o modelo real (Figura 11a), os modelos suavizados resultantes (os mesmos modelos usados para realizar as migra¸cões) de cinco itera¸cões desta abordagem. Nas figuras dos modelos de velocidade as linhas brancas trace-jadas representam as posi¸cões verdadeiras das interfaces, enquanto que as linhas pretas demonstram a posi¸cão exata das interfaces determinadas em cada itera¸cão.

Já na primeira itera¸cão (Figura 11b), conseguimos obter uma impressão geral do modelo real, embora as velocidades das camadas estejam bem distantes das verdadeiras. Na segunda itera¸cão (Figura 11c) percebe-se uma melhora significativa nas velocidades e posi¸cões das interfaces das duas camadas superiores, mas não há melhora significativa na terceira camada. A partir da terceira itera¸cão (Figura 11d, 11e e 11f), os resultados das velocidades das camadas e posi¸cão das interfaces pioram cada vez mais, principalmente na terceira camada. Este resultado é consistente com o de Gomes (2016). Decidimos finalizar as itera¸cões desta abordagem na quinta itera¸cão, uma vez que é notável a piora na convergência com o aumento

do n´umero de itera¸c˜oes.

Esses modelos de velocidade suavizados obtidos em cada uma das itera¸cões são em-pregados para realizar a migra¸cão na itera¸cão seguinte deste processo iterativo. A Figura

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5 10 15 20 25 Distância (km) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Profundidade (km) 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 (a) 5 10 15 20 25 Distância (km) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Profundidade (km) 2000 2500 3000 3500 4000 4500 (b) 5 10 15 20 25 Distância (km) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Profundidade (km) 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 (c) 5 10 15 20 25 Distância (km) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Profundidade (km) 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 (d) 5 10 15 20 25 Distância (km) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Profundidade (km) 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 (e) 5 10 15 20 25 Distância (km) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Profundidade (km) 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 (f)

Figura 11: Evolu¸cão dos modelos em cada itera¸cão consecutiva para a implementa¸cão At-ualiza¸cão Global. (a) modelo usado para gerar o dado s´ısmico, (b) primeira itera¸cão, (c) segunda itera¸cão, (d) terceira itera¸cão (e) quarta itera¸cão e (f) quinta itera¸cão.