INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIENCIA E
TECNOLOGIA DA BAHIA–CAMPUS CAMAÇARI
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
AMÓS DE LUCENA REIS
GEOMETRIA FRACTAL E O ENSINO/APRENDIZAGEM DE
MATEMÁTICA
CAMAÇARI 2018
AMOS DE LUCENA REIS
GEOMETRIA FRACTAL E O ENSINO/APRENDIZAGEM DE
MATEMÁTICA
Monografia apresentado ao Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologias – Camaçari-BA como requisito final para conclusão do curso de Licenciatura em Matemática.
CAMAÇARI 2018
AMÓS DE LUCENA REIS
GEOMETRIA FRACTAL E O ENSINO/APRENDIZAGEM DE
MATEMÁTICA
Monografia apresentado ao Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologias – Camaçari-BA como requisito final para conclusão do curso de Licenciatura em Matemática. Data de aprovação: ___/___/___. Conceito:___________________. Nota: _________________. Banca examinadora: _____________________________________
Profº Alexandre Boleira Lopo (orientador)
______________________________________ Profº Maria Raidalva Nery Barreto
_______________________________________ Profº César Andrey Gomes Fereira
Dedicatória
Dedico esse trabalho inicialmente a Deus que me deu vida e me sustentou durante a árdua caminhada da graduação, aos meus pais Jorge e Aidê que não mediram esforços para a concretização deste meu sonho, e a minha esposa Joelma que foi a minha auxiliadora e encorajadora durante a elaboração deste trabalho.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradeço a Deus o centro e o fundamento de tudo em minha vida, por renovar a cada momento a minha força e disposição,pela sabedoria, paciência e calma para escrever este trabalho. Por me guiar no momento em que perdi a esperança e o ânimo, pela minha família e amigos.
Ao meu pai Jorge Reis, que com todo esforço e apoio, me proporcionou condições que eu conseguisse concretizar o sonho de obter a graduação. Pai o senhor é e sempre será a minha fonte de inspiração e exemplo a ser seguido.
À minha mãe Aidê Muniz, que sempre atenciosa e amável, preocupada e dedicada, me incentivou a continuar durante os meus momentos de fraqueza. A você mãe, meu amor incondicional e infinito, a senhora é a razão do meu viver.
A minha Esposa Joelma, que sempre esteve do meu lado, me dando ânimo e dizendo palavras tão belas de incentivo. Joelma, obrigado pelo teu amor, zelo e encorajamento diante das dificuldades.
A minha Irmã Sara, pelo amor e apoio que sempre me deram. A toda minha família que nunca me deixou sozinha nesta caminhada. Amo todos vocês!
Agradeço as meus amigos do IFBA- Campus Camaçari, pelo companheirismo, dignidade, carinho, autenticidade e amizade. Obrigado pela paciência, pelo sorriso, pelo abraço, pela mão que sempre se estendia quando eu precisava. Esta caminhada não seria a mesma sem vocês, e tudo que passamos ficará para sempre em minha memória, vocês realmente marcaram minha vida fazem parte dessa família acadêmica que foi construída ao longo desses quatro anos.
Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Alexandre B. Lopo, uma pessoa admirável, carismática, e muito sábia, que confiou no meu potencial. Um obrigado em especial!
Agradeço aos Professores Maria Raidalva Nery Barreto e César Andrey Gomes Ferreira pelas contribuições na minha formação e por avaliarem esse trabalho.
A todas as pessoas que, direta ou indiretamente, contribuíram para realização deste trabalho.
EPÍGRAFE
"A Geometria dos Fractais não é apenas um capítulo da Matemática, mas também uma forma de ajudar os Homens a verem o mesmo velho Mundo diferentemente“
RESUMO
A Geometria Fractal é uma geometria não euclidiana que está ligada a ciência do caos. Esta ciência retrata os sistemas caóticos que dizem respeito a imprevisibilidade dos fenômenos que não podem ser descritos por leis matemáticas. Os fractais são formas geométricas que repetem sua estrutura em escala cada vez menor. A sua estrutura fragmentada determinam certo padrão em uma figura aparentemente aleatória. As suas características são auto-similaridade, semelhança em diferentes escalas e lei de construção iterativa. Os Parâmetros Curriculares Nacionais de 1998 apontam os fractais como um tema a ser explorado pelos docentes. O presente estudo tem por objetivo apresentar os elementos da Geometria Fractal e analisar as contribuições científico-pedagógicas do seu ensino para a Educação básica. A pesquisa se justifica em virtude da possibilidade de explorar alguns fractais como a curva de Koch e o triângulo de Sierpinski, via software Geogebra, conduzindo o estudante a refletir e observar o senso estético presente nesses elementos geométricos, estendendo-se as suas propriedades. O procedimento metodológico consistiu de pesquisa bibliográfica e exploratória, feita através de estudo descritivo das respostas do questionário estruturado aplicado aos participantes de uma oficina realizada com estudantes do ensino médio do Instituto Federal da Bahia/ Campus Camaçari. Um dos resultados da investigação foi a produção técnica de uma vídeo-aula sobre construção de Fractais via Geogebra publicada na Internet em canal aberto de vídeos. A revisão bibliográfica e os questionários permitiram inferir que a inserção da Geometria Fractal na Educação Básica pode contribui cientificamente e pedagogicamente, pois estimula a aprendizagem matemática dos educandos de maneira que o aluno exercita seus processos cognitivos de desenvolvimento da aprendizagem, exercendo técnicas e estratégias de memorização bem definidas. Os resultados do questionário estruturado demonstram que os alunos reconhecem as contribuições dada pela exploração dos fractais no ensino, pois cerca de 80% dos entrevistados concorda plenamente com a opinião “o ensino da geometria fractal na educação básica pode contribuir com a aprendizagem da geometria euclidiana”.
Palavras chaves: Fractais; tipos de aprendizagem matemática, Curva de Koch; Triângulo de Sierpinski.
ABSTRACT
Fractal Geometry is a non-Euclidean geometry that is linked to the science of chaos. This science portrays the chaotic systems that concern the unpredictability of phenomena that can not be described by mathematical laws. Fractals are geometric shapes that repeat their structure on an ever smaller scale. Its fragmented structure gives a certain pattern to an apparently random figure. Its characteristics are self-similarity, similarity in different scales and iterative construction law. National Curricular Parameters point to fractals as a theme to be explored by teachers. The present study aims to present the elements of Fractal Geometry and analyze the scientific-pedagogical contributions of the teaching of Fractal Geometry to the classroom. The research is justified by the possibility of exploring by using Geogebra some fractals such as the Koch curve and the Sierpinski triangle, leading the student to reflect and observe the aesthetic sense present in these geometric entities, extending their properties. The methodological procedure chosen in this work was a bibliographical and exploratory research, done through a bibliographical review and structured questionnaire applied to the participants of the workshop Exploring the fractals through the software geogebra with high school students of the Federal Institute of Bahia / Camaçari Campus that had as production the editing of a video lesson published in an Internet class channel. It is perceived that one of the pedagogical results promoted by this geometry is the notion of connection in mathematics itself. In this way the student has a "relational understanding" of mathematics as a whole, without disconnected areas. The presence of the use of technology as a field for discoveries should be emphasized because the visualization tends to facilitate the geometric understanding of the student, working in an innovative and playful way, the contents that are often few attractive and difficult to understand. The results lead us to conclude that the insertion of fractal geometry in basic education contributes scientifically and pedagogically because it stimulates the mathematical learning of the students so that the student exercises their cognitive processes of learning development, exercising well defined techniques and memorization strategies.
LISTAS ABREVIATURAS E SÍMBOLOS
MEC- Ministério da Educação
LISTA DE FIGURAS EQUAÇÕES
LISTA DE FIGURAS
Figura nº 01 - construções geométricas do Conjunto de Cantor. Repetições sucessivas até o nível 4...16 Figura nº 02- Curva de Peano (a) e fractais artificiais (b) ... 17 Figura nº 03. Curva de Koch e comprimento de cada segmentoErro! Indicador não definido. Figura nº 04. Triângulo de Sierpinski construído pelas semelhanças...Erro! Indicador não definido.
Figura nº 02- Curva de Peano (a) e fractais artificiais (b) ... 17 Figura nº 03. Curva de Koch e comprimento de cada segmentoErro! Indicador não definido. Figura nº 04. Triângulo de Sierpinski construído pelas semelhanças...Erro! Indicador não definido.
Figura nº 05 – Curva de Koch –Construção no Geogebra ...25 Figura nº 06 – Triângulo de Sierpinski Construção no Geogebra... 25 Figura nº 07 - Características dos Fractais identificadas nas construções... 26 Figura 08 – Identificação de conceitos da Geometria Euclidiana no momento da construção da Curva de Koch e/ou do Triângulo de Sierpinski... ...26 Figura 09 – Opinião sobre as contribuições da Geometria Fractal para aprendizagem da Geometria euclidiana na Educação Básica...27 Figura 10 –Inserção do ensino da Geometria fractal no currículo matemático da Educação Básica...30
Equação nº 01-Fórmula da dimensão fractal...17
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ... Erro! Indicador não definido. CAPÍTULO I – GEOMETRIA FRACTAL ... Erro! Indicador não definido. CAPITULO II - FRACTAIS NO ENSINO DE MATEMÁTICAErro! Indicador
não definido.
CAPITULO II - RESULTADOS E ANÁLISE ... Erro! Indicador não definido. CONSIDERAÇÕES FINAIS ... Erro! Indicador não definido. REFERÊNCIAS... Erro! Indicador não definido.33 APENDICE ... 34
INTRODUÇÃO
Na natureza existem estruturas geométricas fantásticas, mas que se tornaram impossíveis de construir uma definição formal do ponto de vista euclidiano. Como se explicaria para um aluno a forma geométrica, por exemplo, das nuvens? Ou das montanhas?
Para responder tais perguntas usando lentes da geometria básica e espacial, o máximo que se pode concluir é que são semelhantes a alguma figura geométrica conhecida. Estruturas como as citadas acima possuem em si algumas características comuns que somente a Geometria não euclidiana pode definir especificamente a Geometria fractal.
A Geometria Fractal é uma geometria não euclidiana que está ligada a ciência do caos. Esta ciência retrata os sistemas caóticos que dizem respeito a imprevisibilidade dos fenômenos que não podem ser descritos por leis matemáticas. Os fractais são formas geométricas que repetem sua estrutura em escala cada vez menor. A sua estrutura fragmentada dão certo padrão em uma figura aparentemente aleatória. As suas características são auto-similaridade, semelhança em diferentes escalas e lei de construção iterativa.
Com o avanço da tecnologia muitos fractais chamados de artificias foram criados. Hoje com a facilidade de acesso a um computador, smartphone ou tabletes muitos são os programas e aplicativos que fornecem fractais. Com auxílio destes recursos pode-se trabalhar propostas educativas voltadas para a compreensão e construção dos fractais.
Então, quais as contribuições científicas e pedagógicas do ensino dos fractais para os educandos da Educação básica? Este questionamento configura-se o problema da pesquisa. Tentando responder a este problema, buscou-se analisar as contribuições cientifico-pedagógicas do ensino de Geometria Fractal para a Educação básica.
Além de ser proposta de ensino, os fractais na ciência estão relacionados a Teoria matemática do Caos, isto implica em uma vasta aplicação principalmente nos ramos de
estudos dos Sistemas Dinâmicos.
Ressalta-se que com a Tecnologia de informação e comunicação (TIC’s) houve a facilidade na construção de um fractal. Nesse estudo se utilizou do software Geogebra, por se tratar de um software de Geometria dinâmica de acesso aberto e de excelente desempenho na construção de um fractal, pois seus comandos permitem explorar as características da Geometria Fractal, sendo um ótimo recurso pedagógico.
Essa pesquisa tem como objetivo geral apresentar os elementos da Geometria Fractal e analisar as contribuições cientifico-pedagógicas do ensino de Geometria Fractal para a Educação básica e objetivos específicos; i) apresentar a Geometria Fractal e comparar coma Geometria Euclidiana; ii) analisar as formas de ensino e aprendizagem de geometria e matemática; iii) investigar se Geometria Fractal poderia ser aplicada na Educação Básica contribuindo com a aprendizagem na Geometria Euclidiana.
O presente estudo se justifica em virtude da possibilidade de explorar alguns fractais como a curva de Koch e o triângulo de Sierpinski, via software Geogebra, conduzindo o estudante a refletir e observar o senso estético, geométrico e propriedades presentes na Geometria Fractal e por consequência da Geometria Euclidiana, contribuindo com a aprendizagem.
O procedimento metodológico escolhido neste trabalho foi uma pesquisa bibliográfica e exploratória, que segundo Gil (2002) é desenvolvido a partir de consultas a materiais já produzidos e investigação. O trabalho estruturou-se, inicialmente na construção da Fundamentação teórica e da revisão bibliográfica em artigos periódicos nacionais, teses e dissertações que retratam as contribuições do ensino da Geometria Fractal na Educação Básica juntamente com o estudo descritivo das respostas do questionário estruturado (apêndice C) aplicado aos participantes de uma oficina sobre construção de fractal por meio do Geogebra realizada com estudantes do ensino médio do Instituto Federal da Bahia/ Campus Camaçari.
Este trabalho foi estruturado nesta introdução e em três capítulos. A introdução apresenta a justificativa do tema escolhido e descreve os objetivos da pesquisa.
O primeiro capítulo, O capítulo 1, traz a fundamentação teórica da Geometria Fractal apresentando o conceito, classificações de um fractal em: sistema de funções iteradas, fractais gerados por computadores, fractais aleatórios, similaridade ou auto-semelhança de um fractal e a dimensão fractal.
O capítulo 2 apresenta os fundamentos teóricos sobre o ensino de Matemática, mostrando os tipos de aprendizagem matemática que influenciam no processo pedagógico de ensino-aprendizagem do educando.
O capítulo 3 apresenta os resultados e aprofunda as discussões sobre a oficina realizada com estudantes do ensino médio do Instituto Federal da Bahia/ Campus Camaçari durante o V Encontro de Matemática do IFBA – Camaçari/BA, ocorrido no dia 24 de Outubro de 2017. Um dos resultados da oficina foi a produção técnica de vídeos-aula sobre construção de Fractais via Geogebra publicada na Internet em canal aberto de vídeos com a apresentação de aula sobre o tema na licenciatura de Matemática e elaborações de vídeo aulas abordando as principais características e construções dos fractais.
CAPITULO I- GEOMETRIA EUCLIDIANA E FRACTAL
Este capítulo apresenta a revisão literária/referencial teórico utilizado para o embasamento acerca do ensino de Geometria Fractal no contexto escolar da Educação Básica
1.1 GEOMETRIA EUCLIDIANA E NÃO EUCLIDIANA
Geometria Euclidiana é uma área da Matemática que estuda as formas geométricas definidas e indefinidas, bem como suas propriedades. É uma das mais belas áreas da Matemática, pois além de auxiliar na compreensão das coisas do mundo concreto, possibilita construir conceitos matemáticos relacionados a esta área do conhecimento (NIEDERMEYER, 2009).
Geometrias Não Euclidianas para Robold (1992, p. 45) é definido como “um sistema geométrico construído sem a ajuda da hipótese euclidiana das paralelas e contendo uma suposição sobre paralelas incompatível com a de Euclides”. Para Davis e Hersh (1995, p. 207) dizem que “uma Geometria Não-Euclidiana é aquela que é jogada com axiomas diferentes dos de Euclides” (CRUZ; SANTOS, 2008).
1.2 GEOMETRIA FRACTAL
Para Alves (2007) Fractal é um uma forma composta de partes que de algum modo são semelhantes ao todo. Já para Bênoit Mandelbr Mandelbrot (1998, p. 207), ao escrever a teoria fractal, afirma que a “Geometria Fractal é o estudo de diversos objetos, tanto matemáticos como naturais, que não são regulares, mas rugosos, porosos, ou fragmentados, sendo-o no mesmo grau e em todas as escalas” (MOURA,2011).
Segundo Moreira (1999), citado por Nicoline (2005, p.5) diz que “os fractais são conjuntos cuja forma é extremamente irregular ou fragmentada e que têm essencialmente a mesma estrutura em todas as escalas”. Porém somente há poucos anos, com o desenvolvimento e aperfeiçoamento dos computadores, a Geometria Fractal vem se consolidando (ROOS,2009).
A descoberta da Geometria Fractal deve-se ao matemático francês Benoît Mandelbrot (1924-2010). O termo fractal foi empregado pela primeira vez na história em 1975. A palavra fractal dada por Mendolbrot para representar as formas geométricas irregulares da natureza tem origem do latim do adjetivo fractus, do verbo frangere, que significa quebrar. Benoît Mandelbrot passou parte da sua vida concentrando seus estudos a geometria não euclidiana. Ele desenvolveu esta nova Geometria e a tornou conhecida. Após ele, surgiram muitos trabalhos científicos envolvendo similaridade e ampliação de figuras geométricas. Conforme apurou Capra apud (1996, NASCIMENTO; SILVA; MACIEL, 2012), observando as estruturas geométricas irregulares presentes na natureza Mandelbront percebeu que existiam particularidades entre elas. Mandelbront compreendeu que os objetos naturais apresentavam em sua estrutura, semelhança em diferentes escalas, o que mais tarde ele classificou como auto-similaridade.
Além da estrutura semelhante Benoît Mandelbront enxergou repetições infinitas nestas figuras. Partindo de situações naturais como as dos fractais, Mandelbront se deparou em resolver um problema de George Cantor (1845 a 1918) mais conhecido como a Poeira de Cantor.
A Poeira de Cantor são construções geométricas do Conjunto de Cantor, como apresentada na Figura nº 01. Têm-se um segmento de reta unitário e divide-se este segmento em 3 partes iguais, retirando o terço médio, assim está concluído o primeiro nível da construção. Isto resulta em dois segmentos. Procedendo novamente de mesmo modo e sucessivamente, resulta numa estranha poeira de pontos que obedece a um padrão não linear.
Figura nº 01- construções geométricas do Conjunto de Cantor. Repetições sucessivas até o nível 4.
Fonte: Miranda et al, 2008.
A Geometria euclidiana não representa em si a realidade da natureza devido a complexidade dos sistemas que a torna imprevisível. A ciência responsável por estudar fenômenos não determinísticos é chamada de Caos. É neste cenário que encontra-se a Geometria Fractal para descrever as formas “desordenadas” existentes na natureza” assim a estrutura fragmentada do fractal fornece certa ordem ao Caos e busca padrões dentro de um sistema por vezes aparentemente aleatório” (BARBOSA et al, 2012).
Existem fractais naturais como, por exemplo, os ramos de árvores, nuvens, montanhas, sistema circulatório, linhas costeiras, e os fractais artificiais ou matemáticos, como a curva de Peano, a, Poeira de Cantor, curva de Koch, Triângulo de Spiersinspki, entre outros. Alguns outros autores assemelham o conceito de fractais com suas peculiaridades, “a noção de fractal, ilustra a propriedade da “auto-similaridade”, como por exemplo, um pedaço de uma couve-flor arrancado” (CAPRA, 2004, p.118). Em outras palavras Stewart (1996, p.12) afirma que “os fractais são formas geométricas que repetem sua estrutura em escalas cada vez menores”.
Os fractais são classificados de acordo com a maneira que são formados ou gerados. Existem três categorias de fractais: Sistemas de funções iteradas, Fractais gerados por computadores e Fractais aleatórios.
Os sistemas de funções iteradas ou leis de construções iterativas são “subconjuntos gerados por transformações geométricas simples do próprio objeto nele mesmo, possuem uma regra fixa de substituição geométrica aplicada a cada iteração como, por exemplo, a curva de Peano, como apresentado na Figura nº 02(a) e o floco de neve de Koch [...]” (OLIVEIRA, 2014).
Os fractais gerados por computadores são gráficos de funções matemáticas definidoras de conjuntos que costumam operar com números imaginários e números complexos como, por exemplo, os fractais artificiais (OLIVEIRA, 2014), como apresentado na Figura nº 02(b).
Os fractais aleatórios são aquelas figuras em que o todo é estatisticamente semelhante a ampliação de uma parte como por exemplo os fractais naturais.
Os fractais como já fora abordado tem complexidade infinita. Isto significa dizer que as figuras podem ser reproduzidas infinitamente por meio de processos de iterações. Não deve-se esquecer que os fractais possuem forma mesmo que indefinida e por isso tem uma dimensão. Para Assis et al. (2008, p. 4) tal dimensão representa o número de coordenadas necessárias para descrever uma forma euclidiana. Então uma linha é representado por uma coordenada conhecida como comprimento, um plano é representado por duas coordenadas (comprimento e largura), o espaço é representado por 3 coordenadas (comprimento, largura e altura). O ponto, por exemplo, é adimensional, ou seja, dimensão zero.
A dimensão fractal difere da dimensão euclidiana. Na dimensão euclidiana as dimensões são sempre inteiras. Já a dimensão fractal admite dimensões não inteiras. Isto acontece devido às dimensões fractais levam em conta outras características, como aspereza, espessura, textura, etc. (BORGES; FADIGA, 2007).
A fórmula da dimensão fractal segundo Barbosa (2005 apud, NASCIMENTO; SILVA; MACIEL, 2012, p.8) é obtida a partir da comparação com objetos de 1, 2 e 3 dimensões, repartindo-os em objetos autos similares determinando assim a fórmula para o cálculo da Dimensão Fractal (D):
𝐷 =
log 𝑚log 𝑛,
Equação nº 01Sendo que m: representa o número de segmento semelhantes após uma etapa e n representa o fator da escala ou seja a razão de semelhança.
1.2.1 FRACTAL CURVA DE KOCH
A curva de Koch é um dos fractais considerados clássicos e o nome refere-se ao seu criador o matemático sueco Niels Fabian Helge von Koch. Seu objetivo era construir uma curva que não tivesse nenhuma tangente em nenhum de seus pontos (RORRES, 2012).
A construção da curva de Koch é feita com um segmento de reta, que se divide em três partes iguais, da qual se retira a parte central. Nesta parte é construído um triângulo equilátero, do qual é retirada a sua base, ficando dois lados desse triângulo. Esse processo é repetido novamente para os quatro segmentos que se formaram, sucessivamente e indefinidamente (RORRES, 2012). A Figura nº 03 apresenta a curva de Koch e comprimento de cada segmento.
Figura nº 03. Curva de Koch e comprimento de cada segmento.
Fonte: Fuzzo RA, Santos T S, Ferreira L.(2011)
1.2.2. FRACTAL TRIÂNGULO DE SIERPINSKI
O triângulo de Sierpinski é mais um fractal clássico. O nome se refere ao seu criador matemático polonês, Waclaw Sierpinski, que o apresentou em 1916. O triângulo de Sierpinsk é denominado também como cesta de Sierpinsk (RORRES, 2012).
A construção desse fractal inicia-se com um triângulo eqüilátero. Marca-se o ponto médio de cada lado e, com estes pontos, que serão os vértices, traça-se outro triângulo equilátero. Surgem, assim, quatro novos triângulos dos quais se elimina o triângulo
central. Repete-se o processo infinitamente (RORRES, 2012). A Figura nº 04 apresenta o triângulo de Sierpinski construído por semelhanças
Figura nº 04. Triângulo de Sierpinski construído pelas semelhanças
CAPITULO II- FRACTAIS NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Este capítulo apresenta a revisão literária/referencial teórico utilizado para o embasamento acerca do ensino e aprendizagem de Matemática a fim de fundamentar a análise dos resultados
2.1 FRACTAIS NO ENSINO DE MATEMATICA
Atento as normas e padrões curriculares que orientam o ensino da matemática no país, pôde-se verificar que os fractais são abordados como conhecimento matemático para o 3º e 4º ciclo do ensino fundamental. Segundo os Padrões Curriculares Nacionais (PCN) do Ensino da Matemática, relata
O advento posterior de uma multiplicidade de sistemas matemáticos . teorias matemáticas evidenciou, por outro lado, que não há uma via única ligando a Matemática e o mundo físico. Os sistemas axiomáticos euclidiano e hiperbólico na Geometria, equivalentes sob o ponto de vista da consistência lógica, são dois possíveis modelos da realidade física. Além disso, essa multiplicidade amplia-se, nos tempos presentes, com o tratamento cada vez mais importante dos fenômenos que envolvem o acaso . a Estatística e a probabilidade . e daqueles relacionados com as noções matemáticas de caos e de conjuntos fractais. (BRASIL, 1998, p. 25) Assim o fractal pode ser objeto de estudo na Educação básica como qualquer outro conteúdo matemático, inclusive as orientações curriculares do estado do Paraná debatem o tema com mais amplitude, reconhecendo os fractais como uma Geometria não euclidiana.
As orientações Curriculares do estado do Paraná afirmam,
O Conteúdo Estruturante Geometrias, no Ensino Fundamental, tem o espaço como referência, de modo que o aluno consiga analisá-lo e perceber seus objetos para, então, representá-lo. Neste nível de ensino, o aluno deve compreender:[...] noções de geometrias não-euclidianas: geometria projetiva (pontos de fuga e linhas do horizonte); geometria topológica (conceitos de interior, exterior, fronteira, vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados) e noção de geometria dos fractais. (PARANÁ, 2008, p. 56)
O ensino da Geometria fractal possibilita integrar conceitos além daqueles relacionados a geometria euclidiana. O estudo da Geometria fractal possibilita abordar mais de um conteúdo matemático simultaneamente e usando o lúdico (BARBOSA, 2005).
As potencialidades da Geometria fractal no currículo matemático apresentado por Barbosa intervêm positivamente na aprendizagem do aluno, pois estimula a memória operativa do indivíduo permitindo que ele organize os conceitos e os relacione. Assim a teoria de Barbosa reflete o que Cockcroft (1985) diz acerca da “compreensão relacional”. A “compreensão relacional” – “permite-nos saber o que fazer em casos muito particulares e relacioná-los com conhecimentos matemáticos mais gerais”. Cockcroft (1985, apud HUETE E BRAVO, 2006, p.70).
2.1 TIPOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
Segundo Huete e Bravo (2006) existem 4 tipos de aprendizagem matemática. São eles, a aprendizagem por memorização, aprendizagem algorítmica, a aprendizagem de conceitos e a resolução de problemas.
A aprendizagem por memorização está associada a habilidade do indivíduo em exercer uma memória operativa de modo que produza bases significativas de conhecimentos, armazenando uma nova informação por longos prazos. Não pode-se fundamentar a memorização em simples repetições mecânicas ou leituras infrutíferas e prejudiciais. Um fator que influencia positivamente na memorização é o fracionamento do tempo em períodos mais curtos e espaçados (HUETE E BRAVO, 2006).
Na aprendizagem algorítmica solicita-se o uso da memória para a interpretação do procedimento correto. A ausência de significação ou compreensão dos algoritmos matemáticos retomam um problema relacionada a memória operativa (HUETE E BRAVO, 2006).
A aprendizagem de matemática que se resume a memorização de fórmulas e a maneira que os conteúdos são dispostos de forma descontextualizados geram distanciamento com a realidade e consequentemente dificuldades em compreender aquilo que se ensina. Cockcroft (1985, apud HUETE E BRAVO, 2006, p.70) conceitua esta dificuldade como uma “compreensão instrumental”. O educando memoriza regras para casos concretos sem chegar a integrar e compreender seu funcionamento.
A aprendizagem por conceitos baseia-se em uma construção hierárquica de conceitos que se apoiam em outros conceitos de forma que os de condição superior não são apresentados por simples definições. Assim, o uso dos exemplos ajuda para um
melhor entendimento das definições matemáticas de um conceito (HUETE E BRAVO, 2006).
A aprendizagem por resolução de problemas estabelece diversos elementos referentes ao aluno como os pré-conceitos, as regras e as habilidades. É considerável que esta aprendizagem se baseie no cotidiano do aluno dando aplicabilidade matemática a uma gama de problemas (HUETE E BRAVO, 2006).
CAPITULO III RESULTADOS E ANÁLISE
A pesquisa foi realizada por meio de oficina com estudantes do ensino médio, público-alvo, do Instituto Federal da Bahia/ Campus Camaçari, no dia 24 de outubro de 2017. Este encontro ocorreu na semana do Seminário Integrador, um seminário que reuniu os principais eventos do IFBA- Camaçari, no segundo semestre de 2017 como o V Encontro de Matemática da instituição - ENMAT, IV Seminário de Pesquisa e Extensão, Seminários de Formação de Professores do IFBA/Camaçari – SEMFOP. Todos estes eventos coincidiram com a Semana Nacional de Ciência e Tecnologia.
Durante o evento do V ENMAT foi apresentado a Comunicação Cientifica As Contribuições dos Fractais no ensino de Matemática por meio do software Geogebra. O resumo desta comunicação se encontra no Apêndice A
A oficina teve uma carga horária de 3 horas e foi organizada da seguinte forma: Foi feita uma síntese do assunto a ser trabalhado e realizada um reconhecimento das ferramentas do software Geogebra. Em seguida, iniciaram as construções dos fractais curva de Koch e triângulo de Sierspinsk. As Figura nº 05 e 06 apresentam as etapas da construção no Geogebra da Curva de Koch e Triângulo de Sierpinski
Na ultima etapa foi realizada com os presentes um questionário investigativo e estruturado com cinco questões objetivas com o intuito de averiguar as reais contribuições científico-pedagógicas do ensino da Geometria Fractal para a Educação Básica.
A oficina inclusive permitiu a produção técnica de uma vídeo-aula sobre as os Fractais e construções feitas do triângulo de Sierspinsk no Geogebra. A vídeo-aula foi publicada em um canal de aulas e vídeos na Internet em uma Plataforma de acesso livre (Apendice B).
O questionário aplicado resume-se em cinco questões objetivas. A primeira questão buscava averiguar no aluno se a construção dos fractais curva de Koch e triângulo de Sierpinski contribuíam para uma melhor compreensão de conceitos básicos euclidianos, sanando possíveis deficiências no processo de ensino e aprendizagem dos alunos em ciclos anteriores.
Figura nº 05 – Curva de Koch –Construção no Geogebra
Fonte: Própria
Fonte: Própria
Para os entrevistados foi perguntado sobre sua opinião sobre a afirmação: A construção do fractal por meio do software Geogebra lhe possibilita compreender alguns conceitos de Geometria Euclidiana (ponto, segmento, figuras geométricas). 80% concordaram plenamente e 20% parcialmente. Os números mostram que a maioria compreende a contribuição que a exploração da geometria fractal no ensino promove para a aprendizagem.
Desta forma algumas dificuldades de aprendizagem do estudante num processo de formação deficitário podem ser resolvidas com estratégias pedagógicas bem definidas. O tema favorece por exemplo a construção de sequências didáticas que para Cenpec, (2006), as sequências didáticas pretendem sanar uma dificuldade dos alunos ou contribuir para a apropriação de um novo conteúdo.
A segunda questão aplicada no questionário tinha como interesse saber dos entrevistados a percepção que eles tiveram acerca das características principais dos fractais construídos.
A Figura nº 07 mostra que entre as características principais de um fractal a mais lembrada foi a auto-similaridade (45,4%), seguida da lei de construção iterativa (36,4% aproximadamente) e da dimensão fracionária (18, 2% aproximadamente). As características mencionadas foram discutidas antes, durante e após as construções.
Fonte: própria
Os alunos foram preparados para entender as características e diferenciá-las entre si. Percebe-se que todos os estudantes reconheceram as características de um fractal por meio da visualização no Geogebra. Aliás, a escolha do software geogebra para oficina foi proposital, pois sua finalidade permite explorar de uma melhor maneira as características de uma figura, “os softwares de geometria dinâmica são projetados de forma que as figuras construídas possam ser manipuladas e tragam consigo suas propriedades geométricas, desde que construídas a partir das mesmas” (TRATCH, 2010, p.24).
A terceira questão solicitava aos entrevistados que identificassem aqueles conceitos da Geometria Euclidiana no momento da construção da Curva de Koch e/ou do Triângulo de Sierpinski. Esta questão busca revisar conceitos euclidianos na construção dos fractais, diferentemente da primeira questão que visava identificar lacunas existentes num processo de aprendizagem deficitário.
Figura 08 – Identificação de conceitos da Geometria Euclidiana no momento da construção da Curva de Koch e/ou do Triângulo de Sierpinski.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Auto-similaridade Lei de construção iterativa
Fonte: Própria
O resultado exposto na Figura nº 03 revelam que aqueles alunos que marcaram os conteúdos retas e polígonos regulares, em algum momento da sua vida escolar, armazenaram estes conceitos e ao serem estimulados pelo o questionário, exercendo a sua memória operativa, trouxe á memória estas definições, de sorte que acertaram.
Quanto aqueles (≅ 18,2%) que marcaram o conceito de ângulos, áreas e volumes representam um percentual de alunos que tiveram um déficit de atenção durante as construções pois tais conceitos não foram trabalhados. Porém não pode-se creditar a desatenção o fator preponderante para este erro. A marcação das opções podem indicar aprendizagem algorítmica ilustrada por uma “compreensão instrumental” abordado por Huete e Bravo (2006), ou seja, há uma possibilidade real de que tais conteúdos matemáticos não foram até aqui, entendidas.
A quarta questão apresenta uma afirmação: Ensino da Geometria Fractal na Educação Básica pode contribuir com a aprendizagem de Geometria euclidiana, para que os entrevistados emitam sua opinião além de justifica-la de forma opcional.
A Figura nº 09 expõe que cerca de 80% dos entrevistados concorda plenamente com a opinião “o ensino da geometria fractal na educação básica pode contribuir com a
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Retas Ângulos Áreas e Volumes Polígonos
aprendizagem da geometria euclidiana”. O registro das justificativas da 4ª questão reforçam esse resultado. Os alunos serão identificados pelas letras iniciais do seu nome.
Figura 09 – Opinião sobre as contribuições da Geometria Fractal para aprendizagem da Geometria euclidiana na Educação Básica
Fonte: Própria
O participante E.A.A apresenta como justificativa o fato de a Geometria fractal colabora em alguns conceitos de Geometria Euclidiana. Ele diz “seria abordado alguns conceitos que ajudariam no aprendizado da matéria”
A resposta do aluno acima reafirma o que Barbosa (2005) diz sobre a potencialidade do ensino da geometria fractal na correlação entre diferentes conteúdos dando unidade e coerência ao currículo da disciplina matemática, assim como também retoma o conceito de “compreensão relacional” exposto por Huete e Bravo (2006).
A participante M.P em sua justificativa apresenta conteúdos relacionados principalmente com a construção do fractal Triângulo de Sierpinski enquanto que o aluno G.F.C.O apresenta conteúdos presentes nas construções Curva de Koch e Triângulo de Sierpinski. A participante M.P: “através da geometria fractal é possível identificar polígonos regulares, triângulos equiláteros, entre outros”. A participante G.F.C.O explica
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Concordo plenamente Concordo parcialmente Não concordo nem discordo Discordo parcialmente Discordo plenamente
que: “por meio da prática ajuda o aluno a similar figuras geométricas, segmentos e vértices com o objeto criado” .
A quinta e última questão apresenta uma afirmação sobre a inserção do ensino da Geometria fractal no currículo matemático da Educação Básica. Para isso pede que o entrevistado opine sobre esta afirmação e de forma opcional apresente uma justificativa.
A Figura nª 10 reforça a ideia que o ensino da Geometria fractal deveria estar previsto nos currículos da Educação Básica, pois trazem colaborações na aprendizagem matemática ao permitir a compreensão sobre conceitos de auto-similaridade, complexidade infinita (lei de construção iterativa), dimensão fracionária, entre outros. O registro das justificativas da 5ª questão enfatiza esse resultado. A participante P.R.M.L diz: “o contato direto com as figuras (visão)” . Aluno W.C.J: ”a visualização das formas geométricas ficam evidentes com a ferramenta”
Figura 10 –Inserção do ensino da Geometria fractal no currículo matemático da Educação Básica Fonte: Própria 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Concordo plenamente Concordo parcialmente Não concordo nem discordo Discordo parcialmente Discordo plenamente
A participante P.R.M.L e o aluno W.C.J associam a influência positiva na aprendizagem do uso do software Geogebra ao conteúdo geometria fractal como justificativa para inserção do ensino da geometria fractal na educação básica.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O presente estudo tem por objetivo apresentar os elementos da Geometria Fractal e analisar as contribuições científico-pedagógicas do seu ensino para a Educação básica na visão dos entrevistados, sendo assim o trabalho concentrou-se em apresentar os elementos da Geometria Fractal e os resultados da coleta de dados.
As atividades pedagógicas propostas aos alunos, a produção de vídeo aulas sobre Geometria fractal, as construções dos fractais curva de Koch e triângulo de Sierpinski através do software Geogebra possibilitou investigar as principais características de um fractal além de perceber os auxílios que a Geometria fractal possibilita para a aprendizagem matemática dos alunos.
Os resultados do questionário estruturado demonstram que os alunos reconhecem as contribuições dada pela exploração dos fractais no ensino, pois cerca de 80% dos entrevistados concorda plenamente com a opinião “o ensino da geometria fractal na educação básica pode contribuir com a aprendizagem da geometria euclidiana”.
Na visão dos participantes da Oficina, a Geometria fractal colabora para a compreensão de conceitos euclidianos que não foram assimilados no passado. Esta compreensão tornou-se importante para a pesquisa. Percebe-se que um dos resultados pedagógico promovido por esta geometria é a noção de conexão na matemática em si. Desta maneira o aluno passa a ter uma “compreensão relacional” de matemática como um todo, sem áreas desconexas.
Os entrevistados também entendem (80%) que inserção do ensino da Geometria fractal no currículo matemático da Educação Básica seria relevante, e que o software Geogebra facilita a compreensão das características principais de uma figura fractal, pois permite a visualização das particularidades da figura. A presença do uso da tecnologia como um campo para descobertas tende a facilitar a compreensão geométrica do educando, trabalhando de forma inovadora e lúdica, os conteúdos que muitas vezes são poucos atrativos e de difícil compreensão.
Percebe-se que um dos resultados pedagógico promovido por esta geometria é a noção de conexão na matemática em si. Desta maneira o aluno passa a ter uma “compreensão relacional” de matemática como um todo, sem áreas desconexas. Este costume em enxergar a falta de coerência, por exemplo, entre a álgebra e geometria é o reflexo da dicotomia que uma promovida pela escola.
A álgebra pode ser associado a geometria assim como os conceitos de geometria euclidiana estão relacionados com os conceitos de geometria fractal. Euclides em sua obra Os Elementos especificamente no livro II apresenta um tratamento algébrico notável em que nele se encontra equivalentes geométricos de muitas identidades algébricas, como os produtos notáveis.
Os resultados permitem concluir que a inserção da geometria fractal na educação básica contribui cientificamente e pedagogicamente, pois estimula a aprendizagem matemática dos educandos de maneira que o aluno exercita seus processos cognitivos de desenvolvimento da aprendizagem, exercendo técnicas e estratégias de memorização bem definidas. Deve-se salientar a presença do uso da tecnologia como campo para as descobertas, pois a visualização tende a facilitar a compreensão geométrica do educando, trabalhando de forma inovadora e lúdica, os conteúdos que muitas vezes são poucos atrativos e de difícil compreensão.
REFERÊNCIAS
BARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractal para sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental: Parâmetros curriculares nacionais – Matemática. Brasília MEC /SEF, 1998.148 p.
FERNANDES, J. A. Fractais: Uma nova visão da Matemática. 2007. 46 f. Trabalho de conclusão de Curso – Centro Universitário de Lavras, Lavras, 2007.
HUETE, J.C.S; BRAVO,.J.A.F. O ensino da matemática: Fundamentos teóricos e bases pedagógicas. Tradução Ernani Rosa. Porto Alegre: Artmed, 2006.
NASCIMENTO,M.; SILVA, S.;MACIEL,NILCÉIA. Uma proposta didática para o ensino de geometria fractal em sala de aula na educação básica. VIDYA, v. 32, n. 2, p.113-132, jul./dez., 2012 - Santa Maria, 2012.
MOURA, D. Introdução à geometria fractal. Universidade Federal do Piauí: Centro de Ciências da natureza. Teresina. 2016.
PADILHA, T. A. F; DULLIUS, M. M.; QUARTIERI, M.T. CONSTRUÇÃO DE FRACTAIS COM USO DO SOFTWARE GEOGEBRA. 2017.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2008.
TRATCH, C. Investigando matematicamente alguns fractais por meio do software Geogebra. União da Vitória. 2010.
RORRES, H. A. C, Álgebra linear com aplicações. Porta Alegre, Bookman, 2012.
FUZZO RA, SANTOST S, FERREIRA L. Fractais e o Geogebra Construindo a curva de Koch (PO) CONFERENCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2011
35
APÊNDICE A
COMUNICAÇÃO CIENTIFICA NO V ENMAT-2017
AS CONTRIBUIÇÕES DOS FRACTAIS NO ENSINO DE MATEMÁTICA POR MEIO DO SOFWTARE GEOGEBRA.
Amós de Lucena Reis, Alexandre Boleira Lopo Instituto Federal da Bahia (IFBA)
A geometria fractal é um geometria não euclidiana que está ligada a ciência do caos. Esta ciência retrata os sistemas caóticos que dizem respeito a imprevisibilidade dos fenômenos que não podem ser descritos por leis matemáticas. Os fractais são formas geométricas que repetem sua estrutura em escala cada vez menor. A sua estrutura fragmentada dão um certo padrão em uma figura aparentemente aleatória. As suas características são auto-similaridade, semelhança em diferentes escalas e lei de construção iterativa. Os Parâmetros Curriculares Nacionais apontam os fractais como um tema a ser explorado pelos docentes. O presente estudo tem por objetivo apresentar os elementos da geometria fractal e analisar as contribuições cientifico-pedagógicas do ensino de geometria fractal para a sala de aula. A pesquisa se justifica em virtude da possibilidade de explorar por uso do Geogebra alguns fractais como a curva de Koch e o triângulo de Sierpinski, conduzindo o aluno a refletir e observar o senso estético presente nessas entidades geométricas, estendendo-se as suas propriedades. O Geogebra por se tratar de um software de geometria dinâmica torna-se um ótimo recurso pedagógico a ser utilizado na construção de um fractal pois a sua finalidade permite investigar as características da figura. O procedimento metodológico escolhido neste trabalho foi uma pesquisa bibliográfica e exploratória, iniciado por revisões bibliográficas em artigos periódicos nacionais, teses e dissertações que retratam as contribuições do ensino da geometria fractal na educação juntamente com o relato de experiência em uma aula sobre construção de fractal por meio do Geogebra realizado numa turma da Licenciatura em Matemática do Instituto Federal da Bahia/ Campus Camaçari. Os resultados referentes as análises aos trabalhos revelam, que a geometria fractal possibilita com o uso do lúdico e da tecnologia trabalhar de forma integrada conteúdos diferentes, despertando o educando para a visão de unidade do currículo matemático. Sobre a experiência em aula de construções dos fractais, os relatos expressaram obstáculos ao uso das ferramentas do Geogebra, entretanto os aluno durante a aula, mostraram maturidade para enxergar regularidade geométrica a figuras aparentemente irregulares, o que demonstra compreensão ao conceito . Finalizando, os resultados obtidos permitem concluir que o ensino da geometria fractal aliado ao lúdico e a tecnologia, contribui para um melhor desempenho do indivíduo no processo de aprendizagem pois estimula o educando a pensar a matemática como uma disciplina coerente e não fragmentada, além de desenvolver uma sensibilidade geométrico da realidade do mundo que outrora era desconhecido.
36
APÊNDICE B
VÍDEO –AULA SOBRE GEOMETRIA FRACTAL
Link: https://www.youtube.com/watch?v=FDpz5Aup7Yk
A oficina inclusive permitiu a produção técnica de uma vídeo-aula sobre as os Fractais e construções feitas do triângulo de Sierspinsk. A vídeo-aula foi publicada em um canal de aulas e vídeos na Internet em uma Plataforma de acesso livre.
37
APÊNDICE C
IFBA-CAMAÇARI Prezado Cursista
Favor responder este questionário após a Oficina de construção de Fractais. Agradecemos a Colaboração: Amós de Lucena e Prof Alexandre B Lopo Alguns conceitos:
A Geometria Fractal é uma geometria não euclidiana que está ligada a ciência do caos. Esta ciência retrata os sistemas caóticos que dizem respeito a imprevisibilidade dos fenômenos que não podem ser descritos por leis matemáticas.
Os fractais são formas geométricas que reptem sua estrutura em escala cada vez menor. A sua estrutura fragmentada encontra um certo padrão em uma figura aparentemente aleatória. As suas características são auto-similaridade, lei de construção iterativa e dimensão fracionária.
Sobre o software Geogebra
O geogebra é um software de geometria dinâmica e torna-se um ótimo recurso pedagógico a ser utilizado na construção de um fractal, pois permite investigar as características da figura.
Objetivo Geral da Pesquisa
O presente estudo tem por objetivo apresentar os elementos da geometria fractal e analisar as contribuições cientifico-pedagógicas do ensino de geometria fractal para a sala de aula.
QUESTIONÁRIO INVESTIGATIVO
Perfil do cursista. Nome (opcional)__________________________ Idade:__________________ anos
Escolaridade:_____________________
38 1) A construção do fractal por meio do software Geogebra lhe possibilitou a compreender alguns conceitos de Geometria Euclidiana (ponto, segmento, figuras geométricas). Abaixo Escala Likert.
( ) Concordo plenamente ( ) Concordo parcialmente ( ) Não concordo nem discordo ( ) Discordo parcialmente ( ) Discordo plenamente.
2) Quais características dos Fractais você visualizou nas construções? ( ) auto-similaridade
( ) Dimensão fractal
( )lei de construção iterativa
3) Quais dos conceitos de Geometria Euclidiana você reconheceu no momento da construção da curva de Koch e/ou do Triângulo de Sierpinski. Questão de múltipla escolha. ( ) Retas e segmentos ( ) Ângulos ( ) Áreas e Volumes ( ) Polígonos regulares ( ) Outros:______________________
4) Qual a sua opnião sobre a afirmação: O ensino da Geometria Fractal na Educação Básica pode contribuir com a aprendizagem de Geometria Euclidiana.
( ) Concordo plenamente ( ) Concordo parcialmente ( ) Não concordo nem discordo ( ) Discordo parcialmente
( ) Discordo plenamente.
39 __________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
5) Qual sua opinião sobre a afirmação: O ensino da Geometria Fractal deveria estar previsto nos currículos da Educação Básica, pois trazem colaborações na aprendizagem em Matemática ao permitir a compreensão sobre conceitos de semelhança, lei de construção, entre outros.
( ) Concordo plenamente ( ) Concordo parcialmente ( ) Não concordo nem discordo ( ) Discordo parcialmente ( ) Discordo plenamente. Justifique (opcional): __________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
