Estimação de pressão de fundo de poço utilizando SVR e UKF

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE AUTOMAC¸ ˜AO E SISTEMAS

D´ecio Haramura Junior

ESTIMAÇ ÃO DE PRESS ÃO DE FUNDO DE POÇ O UTILIZANDO SVR E UKF

Florian´opolis 2018

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D´ecio Haramura Junior

ESTIMAÇ ÃO DE PRESS ÃO DE FUNDO DE POÇ O UTILIZANDO SVR E UKF

Disserta¸cão submetida ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia de Automa¸cão e Sistemas para a obten¸cão do Grau de Mestre em Engenharia de Automa¸cão e Sistemas.

Orientador: Prof. Dr. Ubirajara Franco Moreno

Florian´opolis 2018

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Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor,

através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.

Haramura Junior, Décio

Estimação de pressão de fundo de poço utilizando SVR e UKF / Décio Haramura Junior ; orientador, Ubirajara Franco Moreno, 2018.

118 p.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós Graduação em Engenharia de Automação e Sistemas, Florianópolis, 2018.

Inclui referências.

1. Engenharia de Automação e Sistemas. 2. Support Vector Regression. 3. Unscented Kalman Filter. 4. Permanent Downhole Gauge. 5. Estimação. I. Moreno, Ubirajara Franco. II. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Automação e Sistemas. III. Título.

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Este trabalho ´e dedicado aos meus queri-dos pais por sempre terem me apoiado.

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AGRADECIMENTOS

Primeiramente, gostaria de agradecer aos meus pais, pois tudo que sou hoje eu devo `a forma¸c˜ao que eles me deram.

Ao meu orientador Prof. Dr. Ubirajara Franco Moreno por ter acreditado no meu trabalho, mesmo com as adversidades da distˆancia.

`

A minha namorada, que me apoiou desde o come¸co até aqui. Aos meus amigos que me acompanharam no come¸co dessa jornada e que muito contribu´ıram para os ótimos anos de estudo: Carlos Al-berto Araújo Lopes Júnior, Gean Jacques Maia de Sousa, Ícaro Sales Rezende, Levy Ferreira Costa, Lincoln Moura de Oliveira, Lu´ıs Paulo Carvalho dos Santos, Luiz Fernando Almeida Fontenele, Pedro André Martins Bezerra, Ronny Glauber de Almeida Cacau, Gustavo Artur de Andrade, Heron Eduardo de Lima Ávila e Rômulo Lira Milhomem.

Por fim, agrade¸co ao pessoal do administrativo do PGEAS por estarem sempre sol´ıcitos e me ajudarem a resolver as pendências, mesmo estando à distância, ao CENPES, pela disponibiliza¸cão dos dados e à gerência em que eu trabalho, UO-BC/ENGP/AUT, que sempre fez o que pôde para me ajudar a ter tempo de me dedicar à esta disserta¸cão.

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Information is the oil of the 21st century, and analytics is the combustion engine. (Peter Sondergaard, 2011)

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RESUMO

A proposta desta disserta¸cão é a implementa¸cão de soft sensors, base-ados em modelos emp´ıricos, para a estima¸cão da pressão de fundo de po¸co de petróleo offshore utilizando Support Vector Regression, SVR, e Unscented Kalman Filter, UKF. A abordagem proposta baseia-se em modelos SVR constru´ıdos a partir do treinamento com dados históricos de sensores de uma planta industrial real. Esses modelos são utilizados juntamente com filtros baseados no UKF em uma implementa¸cão em malha fechada para corrigir a estima¸cão com dados em tempo real. Os resultados indicam melhorias ao utilizar variáveis de fundo em rela¸cão `

as de topo e ao utilizar malha fechada em rela¸cão à malha aberta, além de demonstrar a capacidade de generaliza¸cão de treinamento em diferentes regimes de opera¸cão do SVR.

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ABSTRACT

The purpose of this work is to use a data-driven soft sensor to estimate the bottomhole pressure of an offshore oil well using Support Vector Regression, SVR, and Unscented Kalman Filter, UKF. The approach proposed in this work uses SVR models based on historic data of a real industrial plant. These models are employed in an UKF filter to correct the estimations in real time. The experimental results indicate improvement at using seabed variables rather than platform variables and improvement when using a closed-loop Kalman Filter rather than an open-loop. In addition, it is observed that SVR have a good gene-ralization at training models in different operation points.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Localiza¸cão dos campos petrol´ıferos que formam a Bacia de Campos e a Bacia de Santos. Fonte: Petrobras (2016a). . . 36 Figura 2 Po¸cos de produ¸cão em um campo de petróleo. Fonte: Abreu, Aguirre e Barbosa (2013). . . 37 Figura 3 Tipos de plataformas em atividade atualmente pela Pe-trobras no Brasil. Fonte: PePe-trobras (2014). . . 37 Figura 4 Fluxograma simplificado de produ¸cão de petróleo em uma plataforma offshore. Fonte: Elabora¸cão própria. . . 39 Figura 5 Esquemático de reservatório, po¸co e separador. Adap-tado de (SOUZA, 2009). . . 40 Figura 6 Curvas de IPR e VFP. Fonte: Adaptado de (RIZZO FI-LHO, 2011). . . 41 Figura 7 Curva IPR para po¸co não surgente com e sem gas lift. Fonte: Adaptado de Rizzo Filho (2011). . . 42 Figura 8 Esquema de um po¸co com inje¸cão de gas lift. Fonte: Adaptado de Souza (2009). . . 43 Figura 9 Localiza¸cão do PDG em um po¸co de petróleo offshore. Fonte: (PIRES, 2012). . . 44 Figura 10 Detalhe de um PDG real de um fabricante multinacional. Fonte: Manual do equipamento (2018). . . 45 Figura 11 Diagrama de blocos de estima¸cão via SVR. Fonte: Ela-bora¸cão própria. . . 47 Figura 12 Diagrama de blocos de estima¸cão via UKF com SVRs como modelos de processo e medi¸cão. Fonte: Elabora¸cão própria. . 48 Figura 13 Gráfico da fun¸cão de perda, |ξ|ε. Fonte: Smola e Schol-kopf (2004). . . 50 Figura 14 Representa¸cão de UKF por diagrama de blocos. Fonte: Elabora¸cão própria. . . 59 Figura 15 Diagrama de blocos do procedimento de identifica¸cão de um soft sensor. Fonte: (FORTUNA et al., 2010). . . 62 Figura 16 Esquemático simplificado de um po¸co com inje¸cão de gas lift. Fonte: Adaptado de Abreu, Aguirre e Barbosa (2013). . . 64 Figura 17 Diagrama de blocos para a cria¸cão de um modelo SVR de malha aberta. Fonte: Elabora¸cão própria. . . 68

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Figura 18 Diagrama de blocos para cria¸cão de modelo UKF de malha fechada. Fonte: Elabora¸cão própria. . . 70 Figura 19 Identifica¸cão dos regimes de opera¸cão de PT1. . . 73 Figura 20 Conjunto de dados de treinamento e valida¸cão de PT1. 74 Figura 21 Estima¸cões de PT1 em “Permanente2” para algoritmos treinados na região P. . . 80 Figura 22 Estima¸cões de PT1 em “Permanente2” para algoritmos treinados na região T. . . 81 Figura 23 Estima¸cões de PT1 em “Permanente2” para algoritmos treinados na região TP. . . 82 Figura 24 Detalhe das estima¸cões de PT1 em “Permanente2” para todos os algoritmos. . . 84 Figura 25 Estima¸cões de PT1 em “Transitório2” para algoritmos treinados na região P. . . 87 Figura 26 Estima¸cões de PT1 em “Transitório2” para algoritmos treinados na região T. . . 88 Figura 27 Estima¸cões de PT1 em “Transitorio2” para algoritmos treinados na região TP. . . 89 Figura 28 Detalhe das estima¸cões de PT1 em “Transitório2” para todos os algoritmos. . . 91 Figura 29 Detalhe das estima¸cões de PT1 em “Transitório2” para todos os algoritmos. . . 92 Figura 30 Série temporal da pressão de fundo de po¸co (PT1k). . . . 94 Figura 31 Séries temporais da pressão do TPT (PT2k) e da tem-peratura a montante do choke de produ¸cão (TT4k). . . 95 Figura 32 Séries temporais das variáveis de comuns a Ftopoe Ffundo: FT8k, TT7k e PT7k. . . 96 Figura 33 Estima¸cões de Ffundo, Ftopoe GUKF. . . 98 Figura 34 Estima¸cões de Ffundo, Ftopoe GUKFdurante transitório.100 Figura 35 Conjunto de dados de treinamento e valida¸cão de PT2 para se¸cão 5.1. . . 111 Figura 36 Conjunto de dados de treinamento e valida¸cão de PT3 para se¸cão 5.1. . . 112 Figura 37 Conjunto de dados de treinamento e valida¸cão de PT5 para se¸cão 5.1. . . 113 Figura 38 Conjunto de dados de treinamento e valida¸cão de PT7 para se¸cão 5.1. . . 114

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Figura 39 Conjunto de dados de treinamento e valida¸cão de FT8 para se¸cão 5.1. . . 115 Figura 40 Conjunto de dados de treinamento e valida¸cão de TT7 para se¸cão 5.1. . . 116

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Parâmetros de SVR e UKF utilizados na se¸cão 5.1. . . 75 Tabela 2 Erros de treinamento dos modelos utilizados na se¸cão 5.1. . . 76 Tabela 3 MAPE das estima¸cões para dados de “Permanente2”.. . 78 Tabela 4 MAPE das estima¸cões para dados de “Transitório2”. . . 85 Tabela 5 Erros de treinamento dos estimadores SVR. . . 97 Tabela 6 Erros de valida¸cão dos estimadores SVR. . . 97

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ANM Arvore de Natal Molhada´

CENPES Centro de Pesquisa e Desenvolvimento Leopoldo Am´erico Miguez de Mello da Petrobras

EKF Extended Kalman Filter ESN Echo State Networks FIR Finite Impulse Response

FPSO Floating Production Storage and Offloading FT Flow Transmitter, referente `a norma ISA 5.1 IPR Inflow Performance Reservoir

Inf Infinito

MAPE Mean Absolute Percent Error MLP Multilayer Perceptron NaN Not a Number

NARX Nonlinear Autoregressive Exogenous PDG Permanent Downhole Gauge

PT Pressure Transmitter, referente `a norma ISA 5.1 RMSE Root Mean Square Error

SDV Shutdown Valve

SVM Support Vector Machine SVR Support Vector Regression TLWP Tension Leg Wellhead Platform

TPT Transmissores de Press˜ao e Temperatura

TT Temperature Transmitter, referente `a norma ISA 5.1 UKF Unscented Kalman Filter

VFP Vertical Flow Performance

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LISTA DE S´IMBOLOS

fu _Fun¸_c˜_{ao n˜}_{ao linear gen´}_{erica para explica¸}_c˜_{ao de transformada} unscented

f Fun¸cão não linear que representa o modelo do processo F Modelo SVR genérico para uso em malha aberta

Ffundo Modelo SVR para uso em malha aberta utilizando vari´aveis de fundo como entrada

Ftopo Modelo SVR para uso em malha aberta utilizando vari´aveis de topo como entrada

FT8 Sensor de vaz˜ao de inje¸c˜ao de gas lift

h Fun¸cão não linear que representa o modelo de medi¸cões L Dimensão do vetor de estados x

k Unidade de tempo discreto

K Parˆametro de forma¸c˜ao de pontos sigma na transformada unscented

Nt Quantidade de amostras do conjunto de treinamento Nv Quantidade de amostras do conjunto de valida¸cão Pres Pressão do reservatório

Psep Pressão no separador de produ¸cão da plataforma Ptopo Pressão de topo do po¸co

Pwf Pressão de fundo de po¸co Pu_x Matriz de covariância de xu Pk−1 Matriz de covariância de xk−1

P−_k Matriz de covariˆancia a priori do estado Pyy Matriz de covariˆancia de ˆy−k

Pxy Matriz de correla¸c˜ao cruzada de ˆx−k e ˆy − k Pk Matriz de covariˆancia a posteriori de xk

PT1 Sensor de pressão de fundo de po¸co medida pelo PDG PT2 Sensor de pressão da cabe¸ca do po¸co medida pelo TPT PT3 Sensor de pressão de óleo a montante da SDV

PT4 Sensor de pressão de óleo a montante da válvula choke PT5 Sensor de pressão de óleo a jusante da válvula choke PT6 Sensor de pressão de gas lift a jusante da SDV PT7 Sensor de pressão de gas lift a montante da SDV

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qmáx Vazão máxima de produ¸cão teórica de um po¸co qprod Vazão de produ¸cão

Q Matriz de covariância do ru´ıdo de processo R Matriz de covariância do ru´ıdo de medi¸cão

TT1 Sensor de temperatura de fundo de po¸co medida pelo PDG TT2 Sensor de temperatura da cabe¸ca do po¸co medida pelo TPT TT4 Sensor de temperatura de óleo a montante da válvula choke TT7 Sensor de temperatura de gas lift a montante da SDV ZT5 Sensor de posi¸cão da válvula choke de óleo

ZT8 Sensor de posi¸c˜ao da v´alvula choke de gas lift uf_k−1 Vetor de entrada do modelo f

uh_k−1 Vetor de entrada do modelo h

ufundo Vetor de entrada do algoritmo SVR em malha aberta com vari´aveis de fundo

utopo Vetor de entrada do algoritmo SVR em malha aberta com vari´aveis de topo

Wi i-´esimo peso da transformada unscented

xu _{Vetor de vari´}_{aveis aleat´}_{orias gen´}_{erico para explica¸}_c˜_{ao de} trans-formada unscented

xu _M´_{edia do vetor x}u

Xu _{Matriz de vetores sigma do vetor x}u Xu

i i-´esimo vetor sigma da matriz de vetores sigma Xu xk Vetor de estados x no instante k

ˆ

xk Estimativa a posteriori de xk ˆ

x−_k Estimativa a priori de xk

Xk−1 Matriz de vetores sigma de x no instante k − 1

Xk|k−1Predi¸c˜ao da matriz de vetores sigma no instante k dado co-nhecimento no instante k − 1

yu _M´_{edia do vetor y}u

Yu _{Matriz de vetores sigma ap´}_{os X}u_{passar por uma fun¸}_c˜_{ao n˜}_ao linear

Yu

i i-´esimo vetor sigma da matriz de vetores sigma Yu yk Vetor de vari´aveis medidas

ˆ

y−_k Estimativa a priori do vetor de medi¸c˜ao baseado no estado estimado

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Yk Matriz de vetores sigma de medi¸c˜ao no instante k

Yk|k−1Predi¸c˜ao da matriz de vetores sigma de medi¸c˜ao Yk no ins-tante k dado conhecimento no insins-tante k − 1

αu _Parˆ_{ametro de espalhamento de pontos sigma na} transfor-mada unscented

β Parâmetro de inser¸cão de conhecimento a priori da distri-bui¸cão de xu

γ Parˆametro de ajuste de um SVR

θ Parˆametro de forma¸c˜ao de pontos sigma na transformada unscented

λ Parˆametro de forma¸c˜ao de pontos sigma na transformada uns-cented

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SUM ´ARIO

1 INTRODUÇ ÃO . . . 29 1.1 DEFINIÇ ÃO DO PROBLEMA E ABORDAGENS

EXIS-TENTES . . . 30 1.2 OBJETIVOS E CONTRIBUIÇ ÕES . . . 33 1.3 ESTRUTURA DA DISSERTAÇ ÃO . . . 34 2 PRODUÇ ÃO DE PETR ÓLEO E

MONITORA-MENTO DE POÇ O . . . 35 2.1 PRODUÇ ÃO DE PETR ÓLEO OFFSHORE . . . 35 2.2 M ÉTODO DE ELEVAÇ ÃO ARTIFICIAL DE INJEÇ ÃO

DE GAS LIFT CONTÍNUO . . . 40 2.3 PDG (PERMANENT DOWNHOLE GAUGE ) . . . 43 3 FUNDAMENTAÇ ÃO TE ÓRICA DE

ESTIMA-DORES . . . 47 3.1 SUPPORT VECTOR REGRESSION (SVR) . . . 48 3.2 FILTRO DE KALMAN PARA ESTIMAÇ ÃO . . . 52 3.2.1 Filtro de Kalman clássico . . . 52 3.2.2 Unscented Kalman Filter (UKF) . . . 54 3.2.2.1 Transformada unscented . . . 54 3.2.2.2 Equacionamento do UKF . . . 56

4 PROPOSTA DE ESTIMADORES DE PRESS ˜AO

DE FUNDO DE POC¸ O . . . 61 4.1 PROPOSTA CONCEITUAL DE ESTIMADOR . . . 61 4.2 PROPOSTA APLICADA DE ESTIMADORES . . . 63 4.2.1 Monitoramento de po¸co . . . 63 4.2.2 Aplica¸c˜ao da proposta conceitual . . . 65

5 AN ´ALISE DOS RESULTADOS DOS

ESTIMA-DORES PROPOSTOS . . . 71 5.1 AN ÁLISE DE ESTIMAÇ ÕES DE PT1 EM REGIMES

PERMANENTES E TRANSIT ÓRIOS . . . 72 5.1.1 Regime permanente . . . 76 5.1.2 Regime transitório . . . 85 5.1.3 Considera¸cões finais da se¸cão . . . 93 5.2 COMPARAÇ ÃO DOS MODELOS PROPOSTOS COM

A LITERATURA . . . 94 6 CONCLUS ˜OES . . . 101 REFER ˆENCIAS . . . 103

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1 INTRODUC¸ ˜AO

Em plataformas de extra¸cão de petróleo offshore é necessário uti-lizar métodos de eleva¸cão artificial para viabilizar a produ¸cão em po¸cos não surgentes. De acordo com Rizzo Filho (2011), um dos métodos mais comuns é o gas lift cont´ınuo. Esse método consiste em injetar gás no po¸co para diminuir a densidade do fluido e, consequentemente, reduzir as perdas de pressão e aumentar a diferen¸ca de pressão entre o fundo do po¸co e a plataforma, possibilitando a eleva¸cão do petróleo até a plataforma.

A tubula¸cão que leva o petróleo do po¸co até o vaso separador da plataforma é monitorada por sensores, um desses sensores é o PDG (do inglês, Permanent Downhole Gauge), que está localizado no fundo do po¸co medindo pressão e temperatura. O PDG possui um papel muito importante para a otimiza¸cão da produ¸cão de petróleo utilizando gas lift, pois o conhecimento da pressão de fundo de po¸co permite o cálculo da vazão de produ¸cão, estudo do desempenho do po¸co e a otimiza¸cão da produ¸cão (ECK, 1999). Por se localizar no fundo do po¸co, este equipamento fica exposto a altas pressões e temperaturas e não é rara a ocorrência de falhas. Em caso de falhas do PDG, sua substitui¸cão pode não ser viável, dado o elevado custo operacional da troca, bem como o risco mecânico envolvido nesta opera¸cão (ECK, 1999).

Portanto, diante da possibilidade de falha do PDG e da dificul-dade de sua manuten¸cão e substitui¸cão, o desenvolvimento de estima-dores de pressão de fundo do po¸co aumenta a tolerância a falhas das opera¸cões de gas lift. Além disso, para a indústria de óleo e gás, qual-quer estima¸cão da pressão do PDG permite uma melhor tomada de decisão por parte da equipe de engenheiros e geólogos.

Estimadores em tempo real são chamados na literatura de soft sensors, sensores virtuais ou modelos inferenciais. De acordo com For-tuna et al. (2010), soft sensor é um modelo computacional para inferir medi¸cões de uma dada variável de processo a partir de medi¸cões de outras variáveis. Algumas razões poss´ıveis para a utiliza¸cão de soft sensors na indústria são:

• Alternativa mais econômica, se comparada à aquisi¸cão de sensores f´ısicos;

• Possibilidade de trabalhar em paralelo com sensores f´ısicos detec-tando falhas de calibra¸c˜ao;

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gico program´aveis;

• Medi¸cão em tempo real em casos de atrasos em sensores f´ısicos. Os soft sensors podem ser classificados como model-driven, quan-do utilizam um modelo fenomenológico, ou como data-driven, quando utilizam dados históricos para cria¸cão do modelo computacional.

A abordagem via model-driven tem suas limita¸cões, pois, dentro de um processo complexo, como a produ¸cão de petróleo, o tempo para tornar um modelo fact´ıvel pode não ser satisfatório. Já a abordagem via data-driven, tende a ser concretizada em um tempo menor.

Esta disserta¸cão tem como foco desenvolver um soft sensor tipo data-driven para estimar em tempo real a medi¸cão de pressão do PDG de um po¸co de petróleo. Como as técnicas utilizadas neste trabalho têm como base o histórico de dados, elas têm o potencial de serem aplicadas em diferentes contextos.

1.1 DEFINIC¸ ˜AO DO PROBLEMA E ABORDAGENS EXISTENTES

Antes da populariza¸cão do PDG, o único modo para se construir o modelo de um po¸co de petróleo em funcionamento era realizando um teste de produ¸cão. Para fazer esse teste, é preciso colocar o po¸co em diversos pontos de opera¸cão e gerar transientes nas variáveis de interesse, onerando a produ¸cão de petróleo durante o per´ıodo do teste. Com o advento do PDG, tornou-se poss´ıvel a monitora¸cão em tempo real da pressão e temperatura do fundo do po¸co de petróleo. O primeiro PDG foi instalado em 1963 (NESTLERODE, 1963), porém so-mente no final da década de 80 o PDG se tornou popular na indústria do petróleo e no come¸co da década de 90 surgiram as primeiras ex-periências com a análise dos dados dos PDGs. A utiliza¸cão do PDG não elimina o teste de produ¸cão, ele complementa as informa¸cões mo-nitoradas durante o teste.

Atualmente, é necessária uma monitora¸cão com grande acurácia para o gerenciamento com sucesso da produ¸cão de um reservatório. Isso se tornou necessário, porque os novos reservatórios de petróleo estão localizados em ambientes offshore mais hostis e com maiores desafios técnicos a serem superados.

O conhecimento da pressão de fundo de po¸co é muito importante para a extra¸cão de petróleo. Com essa informa¸cão, é poss´ıvel avaliar o reservatório no qual o po¸co está inserido, identificar poss´ıveis problemas no po¸co e otimizar a produ¸cão de petróleo por meio da inje¸cão de gas

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lift.

O PDG tem uma vida útil curta se comparada à vida útil de um po¸co que pode chegar a 20 anos. Em estudos realizados por Frota e Destro (2006), a gera¸cão mais recente de PDGs tem uma confiabilidade de 68,11% em um intervalo de cinco anos e, como citado anteriormente, após a falha, a substitui¸cão do PDG é muitas vezes inviável. Logo, em caso de falha do PDG, alternativas sub-ótimas são utilizadas para inferir as caracter´ısticas do po¸co.

A ind´ustria petrol´ıfera vem tentando contornar essa situa¸c˜ao, com base em estudos de confiabilidade. Gisbergen e Vandeweijer (2001) e Frota e Destro (2006) levantaram as principais causas das falhas do PDG. Zheng, Garcia e Balasubramanian (2017) focaram tornar o sen-sor mais resistente a altas temperaturas, enquanto Enyekwe e Ajienka (2014) criaram um fluxograma para orientar qual tipo de PDG deve ser escolhido para cada tipo de po¸co.

Além de abordagens para evitar e entender as falhas do PDG, a literatura também desenvolve ferramentas para antecipar as falhas do PDG e estimar a pressão de fundo de po¸co a partir dos dados históricos da planta. Na disserta¸cão de Boechat (2012), o autor foca em detectar quando o PDG entra em falha por drifting, enquanto Aguirre et al. (2017) e Antonelo, Camponogara e Foss (2017) realizam a estima¸cão da pressão de fundo de po¸co.

A estima¸cão da pressão de fundo de po¸co a partir de medi¸cões feitas na superf´ıcie pode ser necessária, principalmente, após a falha do PDG. Na literatura notam-se duas maneiras de tratar o problema: por abordagem fenomenológica e por modelo baseado em dados históricos. Em Carbone (2007), o autor utiliza diversos modelos fenome-nológicos para aplicar corre¸cões nas medi¸cões. Foi desenvolvido na prática um sistema que ajuda a otimizar a inje¸cão de gas lift nos po¸cos de uma plataforma de petróleo da Petrobras.

Na abordagem por meio de modelos baseado em dados históricos, Abreu, Aguirre e Barbosa (2013) fazem duas abordagens. A primeira utiliza uma identifica¸cão caixa cinza e adota a curva estática do sis-tema como informa¸cão auxiliar do treinamento de uma rede neural e a segunda abordagem utiliza um combinador de modelos do tipo “média ponderada” baseado na medi¸cão de diversidade. Essas solu¸cões são capazes de reduzir o valor e a variância do erro de estima¸cão. Outra abordagem da literatura é a utiliza¸cão de Máquinas de Comitês com redes neurais FIR (do inglês, Finite Impulse Response) como realizado por Barbosa et al. (2015).

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um algoritmo NARX (do inglês, Nonlinear Autoregressive Exogenous) caixa cinza que se adapta às medi¸cões em tempo real, um MLP (do inglês, Multilayer Perceptron) NARX que utiliza UKF (do inglês, Uns-cented Kalman Filter ) e um banco de filtros para reunir as informa¸cões de cada estimador. Já no trabalho de Ribeiro e Aguirre (2015), essa técnica é aprofundada utilizando modelos lineares e não lineares, além de comparar os resultados caso não tenham sido utilizadas variáveis de fundo de po¸co. A conclusão dos trabalhos demonstra que o banco tem um desempenho global superior aos algoritmos separadamente. A continua¸cão desses trabalho pode ser lida no trabalho de Aguirre et al. (2017), onde os autores apresentam um sistema completo para a cria¸cão de modelos e estima¸cões das pressões de fundo de po¸co. É importante notar que os modelos apresentados são utilizados na prática pela Pe-trobras para avalia¸cão de desempenho dos seus po¸cos e reservatórios de petróleo.

Ainda para o problema de estima¸cão da pressão do PDG, Anto-nelo e Camponogara (2015) e AntoAnto-nelo, Camponogara e Foss (2017), utilizam um tipo de rede neural chamada ESN (do inglês, Echo State Networks) e os resultados são promissores. Esse trabalho detalha de maneira mais clara como são utilizados os dados do po¸co offshore real da Petrobras.

Nesta disserta¸cão, buscou-se outras ferramentas que ainda não tivessem sido exploradas na indústria de óleo e gás para a estima¸cão da pressão de fundo de po¸co. O algoritmo SVR (do inglês, Support Vector Regression) é um algoritmo de aprendizado de máquina, que cria um modelo baseado em uma fun¸cão kernel não linear e vetores suporte escolhidos a partir de uma base de dados de treinamento.

Essa abordagem vem sendo utilizada com sucesso na indústria, como pode ser visto nos trabalhos de Chitralekha e Shah (2010) e Xu e Wang (2012). O SVR também já foi utilizado com sistemas não line-ares (MA; THEILER; PERKINS, 2003), na indústria qu´ımica (BALABIN; LOMAKINA, 2011) e com estima¸cões on-line (MA; THEILER; PERKINS, 2003).

O artigo de Balabin e Lomakina (2011) faz a compara¸cão en-tre Support Vector Regression/Least-Squares Support Vector Machine (SVR/LS-SVM) com Artificial Neural Networks no cenário de clas-sifica¸cão de caracter´ısticas de produtos qu´ımicos industriais. A con-clusão do trabalho demonstra que esse algoritmo é recomendado para aplica¸cões industriais complicadas e altamente não lineares em razão da robustez do algoritmo.

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uma tarefa simples, Cherkassky e Ma (2004) e Jeng e Chuang (2002) dissertam sobre como melhor parametrizar uma SVR. Cherkassky e Ma (2004) propõem uma metodologia para escolher o parâmetro C e outra para o parâmetro ε. Os autores utilizam os dados de treinamento do modelo para a parametriza¸cão e concluem que o parâmetro mais importante é o ε. Já Jeng e Chuang (2002) buscam melhor parametrizar ε e o kernel não linear utilizado pelo SVR. Após realizar simula¸cões, os autores chegam a conclusão de que o método proposto é estruturado eficientemente e chegam próximos ao hiperplano ótimo de parâmetros. Diante desta gama de aplica¸cões e estudos de SVR para o pro-blema de regressão, esse algoritmo é utilizado nesta disserta¸cão para realizar a estima¸cão da pressão de fundo de po¸co na indústria de óleo e gás.

Neste trabalho, ´e proposta a utiliza¸c˜ao conjunta de um algoritmo SVR com filtros baseados em UKF (Unscented Kalman Filter ). O UKF ´

e um filtro de Kalman não linear e tem a fun¸cão de utilizar as medi¸cões atuais de uma variável observada para corrigir a estima¸cão da variável proposta. O UKF foi escolhido devido à sua utiliza¸cão em sistemas não lineares, uma vez que a planta estudada nesta disserta¸cão é um po¸co de petróleo offshore que tem caracter´ısticas altamente não lineares.

O UKF, conforme proposto por Julier e Uhlmann (1999), é uma expansão do filtro de Kalman para sistemas não lineares, porém com abordagem diferente em rela¸cão ao EKF (do inglês, Extended Kalman Filter ). O EKF se baseia na lineariza¸cão do sistema não linear em torno de um ponto de opera¸cão, enquanto o UKF utiliza a transformada unscented para inferir a média e a covariância das sa´ıdas do sistema. A média e a covariância são utilizadas para calcular o ganho do filtro de Kalman.

1.2 OBJETIVOS E CONTRIBUIC¸ ˜OES

O principal objetivo desta disserta¸cão é desenvolver um soft sen-sor baseado em histórico de dados para realizar a estima¸cão da pressão de fundo de po¸co de petróleo. Para se atingir o objetivo principal pro-posto, dividiu-se o trabalho em etapas intermediárias:

• Estudar o processo de extra¸cão de petróleo via gas lift e processar os dados históricos, que foram obtidos em colabora¸cão com a Petrobras;

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• Identificar quais algoritmos propostos são mais adequados a quais situa¸cões e pontos de opera¸cão do po¸co de petróleo.

Como principais contribui¸c˜oes deste trabalho, podem-se desta-car:

• Aplica¸cão de técnicas de modelagem emp´ırica baseada em hist´ ori-co de dados a um sistema de produ¸cão de petróleo offshore; • Análise de desempenho dos modelos quanto à utiliza¸cão de

medi-¸

cões de fundo e de topo, à aplica¸cão em regimes de opera¸cão permanente e transitório e à utiliza¸cão ou não de malha fechada; • Apresenta¸cão de um novo soft sensor alinhado à literatura atual,

considerando o trabalho de Aguirre et al. (2017).

1.3 ESTRUTURA DA DISSERTAC¸ ˜AO

No cap´ıtulo 2, detalha-se a produ¸cão de petróleo por gas lift e o cenário no qual o soft sensor está inserido. No cap´ıtulo 3, expõe-se a formula¸cão matemática dos algoritmos SVR e UKF utilizados para realizar a estima¸cão. No cap´ıtulo 4, explana-se a metodologia de cria¸cão dos algoritmos e a estrutura dos modelos utilizados. No cap´ıtulo 5, são analisados os resultados e comparados os desempenho dos algoritmos propostos. Por fim, no cap´ıtulo 6, são apresentadas as conclusões dos ensaios realizados e as perspectivas de trabalho futuro.

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2 PRODUÇ ÃO DE PETR ÓLEO E MONITORAMENTO DE POÇ O

Apesar de ser utilizado no Oriente desde a antiguidade, o petr´ o-leo come¸cou a ser popularizado e produzido em larga escala após a Segunda Revolu¸cão Industrial, em meados do século XIX. O petróleo era utilizado, principalmente, como fonte de energia, em substitui¸cão ao carvão mineral, mas, com o passar do tempo, foram se desenvol-vendo tecnologias de refino na indústria petroqu´ımica, aumentando a quantidade de produtos derivados do mesmo. Thomas et al. (2001) citam como produtos derivados importantes do petróleo para o mundo moderno: gasolina, diesel, querosene de avia¸cão, plásticos, borrachas sintéticas, tintas, corantes, adesivos, solventes, detergentes, explosivos, produtos farmacêuticos, cosméticos, etc. Com essa grande gama de pro-dutos derivados, principalmente por conta do potencial combust´ıvel, o petróleo se tornou um fator importante na geopol´ıtica mundial. Logo, otimizar a produ¸cão de petróleo gera muito lucro.

Para otimizar qualquer processo industrial, é de se esperar que se conhe¸ca o processo e que haja monitora¸cão das variáveis de interesse. Por isso, este cap´ıtulo está organizado da seguinte maneira: a se¸cão 2.1 descreve a produ¸cão de petróleo no ambiente offshore, a se¸cão 2.2 detalha o método de eleva¸cão artificial no qual o problema desta dis-serta¸cão está inserido e a se¸cão 2.3 descreve o sensor mais importante neste processo que é o PDG (do inglês, Permanent Downhole Gauge).

2.1 PRODUÇ ÃO DE PETR ÓLEO OFFSHORE

O petróleo é formado a partir do depósito de matéria orgânica, tipicamente micro-organismos e algas que formam o fitoplâncton, junto com sedimentos e em condi¸cões termoqu´ımicas favoráveis (THOMAS et al., 2001). Além disso, é necessário que as forma¸cões geológicas permi-tam a migra¸cão e a acumula¸cão do petróleo gerado. Essas condi¸cões geológicas são peculiares e, portanto, raras de se encontrar.

O petróleo se acumula em reservatórios que compõem um campo de petróleo e o conjunto de vários campos de petróleo forma uma bacia petrol´ıfera. No Brasil, existem bacias petrol´ıferas localizadas em terra e no mar, respectivamente chamadas de onshore e offshore. As bacias mais importantes do Brasil são offshore: a Bacia de Campos e a Bacia de Santos, conforme a figura 1. Os campos são leiloados pelo governo

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36

federal para a explora¸c˜ao das empresas petroleiras, com a contrapartida de pagamento de royalties para faturamento governamental.

Figura 1 – Localiza¸c˜ao dos campos petrol´ıferos que formam a Bacia de Campos e a Bacia de Santos. Fonte: Petrobras (2016a).

Após obter a permissão para explorar um campo de petróleo, a empresa realiza a perfura¸cão de po¸cos para ter acesso ao óleo locali-zado no reservatório. Existem diversos estudos para melhor localizar os po¸cos e maximizar a produ¸cão. Em seguida, os po¸cos são conecta-dos às plataformas de produ¸cão por tubula¸cões conhecidas na indústria petrol´ıfera como risers. O petróleo é elevado desde a cabe¸ca do po¸co no leito submarino até a planta de processo na plataforma. A figura 2 ilustra uma plataforma extraindo petróleo de diversos po¸cos em duas forma¸cões geológicas distintas.

Existem diversos tipos de plataformas de petróleo, como mos-trado na figura 3. Os tipos de plataforma variam de acordo com a aplica¸cão, ancoragem, limite suportável de lâmina d’água (distância entre a superf´ıcie e o fundo do mar), possibilidade de armazenamento de petróleo e tipo de completa¸cão necessária aos po¸cos.

• Fixa: plataforma de produ¸cão e/ou perfura¸cão com estrutura r´ıgida fixada no fundo do mar. Não tem capacidade de arma-zenamento e a lâmina d’água máxima permitida é de até 300 metros;

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37

Figura 2 – Po¸cos de produ¸c˜ao em um campo de petr´oleo. Fonte: Abreu, Aguirre e Barbosa (2013).

Figura 3 – Tipos de plataformas em atividade atualmente pela Petro-bras no Brasil. Fonte: PetroPetro-bras (2014).

• Autoelevável: plataforma de perfura¸cão que se fixa no fundo do mar a partir das pernas autoeleváveis. Lâmina d’água máxima de 150 metros;

• Semissubmers´ıvel: Plataforma de produ¸cão e/ou perfura¸cão flu-tuante e ancorada no solo marinho ou com posicionamento dinˆ a-mico. Não possui capacidade de armazenamento e pode se loca-lizar a uma lâmina d’água de até 2.000 metros;

• FPSO (do inglês, Floating Production Storage and Offloading): unidade flutuante de produ¸cão, armazenamento e transferência, em tradu¸cão direta. Plataforma flutuante constru´ıda a partir de

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navios petroleiros e ancorados no solo marinho, como as platafor-mas semissubmersiveis. Possui capacidade de armazenamento e pode se localizar a uma lâmina d’água de mais de 2.000 metros; • FPSO Monocoluna: plataforma similar ao FPSO, porém essa

pos-sui um casco cil´ındrico. Lâmina d’água suportável é maior do que 2.000 metros, se necessário;

• TLWP (do inglês, Tension Leg Wellhead Platform): plataforma flutuante similar a semissubmers´ıvel, porém é ancorada no fundo do mar por pernas tensionadas r´ıgidas. Lâmina d’água de até 1.500 metros;

• Navio-Sonda: plataforma flutuante com casco em forma de navio exclusiva para perfura¸cão. Pode ser ancorada ou ter posiciona-mento dinâmico e a máxima lâmina d’água permitida é 2.000 metros.

A seguir, informa-se de maneira simplificada as etapas de cons-tru¸cão de um po¸co de petróleo até a efetiva produ¸cão do mesmo, se-gundo Thomas et al. (2001).

Primeiramente, deve-se perfurar o po¸co levando-se em consi-dera¸cão as caracter´ısticas geológicas do lugar. A perfura¸cão deve en-frentar tipos de rochas diferentes, lama, pressões e temperaturas ele-vadas e instáveis. Além disso, na etapa de perfura¸cão deve-se revestir, cimentar e avaliar o po¸co.

A etapa seguinte é a completa¸cão do po¸co, que deve deixar o po¸co em condi¸cões de operar de forma segura e econômica durante toda a sua vida produtiva. Na etapa de completa¸cão deve-se instalar equipamentos de produ¸cão, como a árvore de natal, condicionar o po¸co, realizar o canhoneio e instalar a coluna de produ¸cão.

As etapas de perfura¸cão e completa¸cão são realizas por em-barca¸cões conhecidas como sondas, inclusive a própria plataforma de produ¸cão de petróleo pode ser uma sonda. O tempo de constru¸cão de um po¸co da Petrobras é atualmente 89 dias (PETROBRAS, 2016b).

Depois de realizadas todas as opera¸cões de perfura¸cão e com-pleta¸cão, é necessário colocar o po¸co em opera¸cão. O fluxo básico de produ¸cão de petróleo está na figura 4. As plataformas extraem o petróleo, que chega pelos risers, realizam um pré-processamento do fluido para retirar água e gás e exportam o óleo para fora da plataforma, seja para outra plataforma armazenar ou para um navio aliviador le-var para terra. Em terra, esse óleo é transportado para as refinarias extra´ırem os subprodutos do petróleo.

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Figura 4 – Fluxograma simplificado de produ¸cão de petróleo em uma plataforma offshore. Fonte: Elabora¸cão própria.

Esta disserta¸cão está inserida em uma etapa espec´ıfica do pro-cesso de extra¸cão do petróleo chamada eleva¸cão. Essa etapa consiste em prover tecnologicamente uma maneira para o petróleo ser transportado desde o reservatório até a plataforma de petróleo.

Em plataformas de extra¸cão de petróleo, a produ¸cão de petróleo pode ser feita por meio de po¸cos surgentes ou não surgentes. Em po¸cos surgentes, o reservatório no qual o po¸co está localizado tem uma pressão suficientemente elevada, fazendo com que os fluidos nele contidos al-cancem livremente a superf´ıcie. Os métodos artificiais de eleva¸cão de petróleo são utilizados para viabilizar a produ¸cão em po¸cos não sur-gentes ou para aumentar a produ¸cão em po¸cos surgentes. Em um dado momento da vida produtiva, a maioria dos po¸cos vai requerer a uti-liza¸cão de um método de eleva¸cão artificial (LEA; CLEGG; LAKE, 2007). Segundo Thomas et al. (2001), os métodos mais tradicionais de eleva¸cão artificial de petróleo são:

• Gas Lift Cont´ınuo e Gas Lift Intermitente; • Bombeio Centr´ıfugo Submerso;

• Bombeio Mecˆanico com Hastes; • Bombeio por Cavidades Progressivas.

A escolha do método de eleva¸cão deve ser feita durante o pro-jeto da plataforma, uma vez que a estrutura de recursos do método deve estar prevista. Todos os métodos têm vantagens e desvantagens, portanto é necessário estudo para conseguir encontrar a melhor op¸cão levando em considera¸cão custo, seguran¸ca e treinamento de pessoal. Em campos offshore brasileiros, o método de eleva¸cão artificial mais comum é o Gas Lift Cont´ınuo e sua opera¸cão está descrita na se¸cão seguinte 2.2.

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2.2 M ÉTODO DE ELEVAÇ ÃO ARTIFICIAL DE INJEÇ ÃO DE GAS LIFT CONTÍNUO

O estudo da eleva¸cão de fluido proveniente de um po¸co de pe-tróleo se assemelha ao estudo e dimensionamento de uma bomba hi-dráulica. O desempenho de uma bomba depende da potência do motor e dos seus aspectos construtivos em geral. Da mesma maneira, cada po¸co de petróleo tem seu desempenho relacionado à pressão de seu reservatório e à sua forma¸cão geológica. O desempenho de um po¸co depende do quanto a pressão de reservatório decai para entregar deter-minada vazão de produ¸cão. Por outro lado, o sistema por onde o óleo escoa após a sa´ıda do po¸co tem perdas de pressão, chamadas de perdas de carga, que vão delimitar a pressão m´ınima no po¸co para conseguir determinada vazão de produ¸cão.

A figura 5 representa o esquema de liga¸cão de um po¸co ao se-parador da plataforma. Na parte inferior está o reservatório com sua respectiva pressão (Pres), em seguida, através do fluxo no reservatório, o petróleo adentra o po¸co, que está a pressão de fundo de po¸co (Pwf). O óleo flui até a cabe¸ca do po¸co, cuja pressão é representada por Ptopo e depois chega no separador com pressão igual a Psep. O separador é responsável por separar o l´ıquido do gás.

Ptopo

Pres Psep

Pwf

Figura 5 – Esquem´atico de reservat´orio, po¸co e separador. Adaptado de (SOUZA, 2009).

O IPR (do inglês, Inflow Performance Reservoir ) é a curva ca-racter´ıstica do po¸co, que relaciona a vazão de produ¸cão (qprod) com Pwf.

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41

Um exemplo hipotético de IPR está no gráfico da figura 6. Quando o po¸co está fechado qprodé igual a zero e Pwfé igual a Pres. Ao aumentar a vazão de produ¸cão a pressão Pwfdiminui aos poucos, até teoricamente chegar no valor zero e atingir a vazão máxima (qmáx) que o po¸co pode fornecer. Na prática não é poss´ıvel chegar a uma condi¸cão em que Pwf seja igual a zero.

Pres qmáx VFP A

P

wf

q

prod qA IPR

Figura 6 – Curvas de IPR e VFP. Fonte: Adaptado de (RIZZO FILHO, 2011).

Já a curva VFP (do inglês, Vertical Flow Performance) relaciona qprod com as perdas de carga decorrentes do sistema de tubula¸cões do po¸co até o separador. A curva VFP também está representada na figura 6. Tipicamente, as perdas de carga mais importantes são a perda interna do reservatório (Pres− Pwf), a perda no po¸co (Pwf− Ptopo) e a perda de eleva¸cão (Ptopo− Psep). Dada uma vazão de produ¸cão, a curva VFP determina a pressão Pwf requerida pelo sistema.

O cruzamento entre as duas curvas é chamado de ponto de equil´ıbrio, pois é o lugar geométrico em que o par (qprod,Pwf) requi-sitado pelo sistema (VFP) é igual ao fornecido pelo reservatório (IPR). Na figura 6 este ponto está referenciado como A, logo, a vazão de equil´ıbrio é qA. Se o po¸co estivesse operando com uma vazão menor do que a vazão de equil´ıbrio, ele estaria com energia sobrando e a perda de carga do sistema seria suficiente para fornecer qA. Logo, o po¸co tende-ria a aumentar a vazão de produ¸cão até se igualar a qA. Por outro lado, se tentasse operar com uma vazão maior do que qA, a perda de carga do sistema impediria que o fluido chegasse à plataforma e tenderia a diminuir a vazão até se igualar a qA.

No caso de po¸cos não surgentes, as curvas IPR e VFP não se cru-zam, pois a pressão requerida pelo sistema é muito alta, se comparada

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42

ao que o reservatório pode fornecer. Nesses casos de não surgência, métodos de eleva¸cão artificial são utilizados para modificar a VFP do sistema.

O método de eleva¸cão artificial de gas lift cont´ınuo consiste em injetar o gás no fundo do po¸co para diminuir a densidade do fluido. Um fluido com menor densidade tem menos perdas com atrito durante o escoamento do óleo, diminuindo a perda de carga do sistema. Ou seja, ao injetar gas lift no fluido a curva VFP é transladada para uma região abaixo no gráfico, como pode ser visto na curva VFPGLda figura 7.

Pres qmáx VFP VFPGL A

P

wf

q

prod qA IPR

Figura 7 – Curva IPR para po¸co n˜ao surgente com e sem gas lift. Fonte: Adaptado de Rizzo Filho (2011).

A curva VFP sem utiliza¸cão de gas lift está acima da curva IPR sem ponto de equil´ıbrio, já a curva VFPGL com inje¸cão de gas lift cruza a curva IPR no ponto A. Assim, a otimiza¸cão de inje¸cão de gás consiste em identificar qual seria a vazão ideal a ser injetada em cada po¸co da plataforma, considerando as particularidades de cada um e a disponibilidade de gás e outros recursos.

A seguir s˜ao detalhadas as partes principais de um po¸co com eleva¸c˜ao artificial de gas lift. A figura 8 ilustra este po¸co detalhando as partes principais do sistema.

O petróleo flui do reservatório para o po¸co através dos canhoneios e chega ao come¸co da coluna de produ¸cão. O po¸co tem um revestimento de produ¸cão para evitar o desmoronamento das suas paredes, a fim de manter a integridade do mesmo. Dentro do revestimento existe uma coluna de produ¸cão por onde o petróleo é elevado à superf´ıcie e o espa¸co entre a coluna e o revestimento é chamado de espa¸co anular. O gas lift é injetado no espa¸co anular e penetra a coluna de produ¸cão pelos mandris de gas lift. O gás não chega até os canhoneios porque o packer

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Figura 8 – Esquema de um po¸co com inje¸c˜ao de gas lift. Fonte: Adap-tado de Souza (2009).

veda o anular e impede a perda excessiva e descontrolada de gás. O petróleo é elevado juntamente com o gas lift pela coluna de produ¸cão até o vaso separador na plataforma. O vaso separador é o primeiro elemento do processo primário de petróleo que tem como sa´ıda gás, ´

agua e óleo. O gás é tratado e volta a ser injetado nos po¸cos como gas lift, a água é utilizada em po¸cos de inje¸cão para controlar a pressão do reservatório e o óleo é exportado para terra. A localiza¸cão das válvulas que controlam a inje¸cão de gas lift e a produ¸cão de petróleo serão detalhadas no cap´ıtulo 4.

2.3 PDG (PERMANENT DOWNHOLE GAUGE )

Além dos equipamentos que compõem um po¸co de petróleo off-shore já citados, existe o PDG, que fica localizado no fundo do po¸co e tem como fun¸cão medir pressão (Pwf) e temperatura. Este sensor

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está submetido a um ambiente hostil com altas pressões e tempera-turas, lama e rochas. A figura 9 mostra um PDG instalado em um po¸co de petróleo offshore logo acima do packer. No leito do fundo do mar é instalada uma Árvore de Natal Molhada (ANM), que faz a in-terface entre a coluna de produ¸cão do po¸co e o riser. A ANM contém conjuntos de válvulas para controlar a opera¸cão do po¸co e sensores de pressão e temperatura chamados de TPT (Transmissores de Pressão e Temperatura).

Figura 9 – Localiza¸c˜ao do PDG em um po¸co de petr´oleo offshore. Fonte: (PIRES, 2012).

A figura 10 mostra um PDG de um fabricante multinacional, que tipicamente tem 80 cent´ımetros de comprimento e quatro de diˆametro. J´a o elemento sensor do equipamento pode possuir diversas tecnologias, como o cristal de quartzo e o piezo-resistivo.

As informa¸cões que o PDG fornece são muito importantes para o desenvolvimento da produ¸cão de um campo de petróleo. Ouyang e Kikani (2002), Horne (2007) e Kragas, Turnbull e Francis (2004) dis-sertam sobre as principais utiliza¸cões dos dados provenientes do PDG, como:

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Figura 10 – Detalhe de um PDG real de um fabricante multinacional. Fonte: Manual do equipamento (2018).

• Identifica¸cão rápida de problemas no po¸co, como vazamentos; • Gestão da pressão de escoamento de fundo de po¸co;

• Obten¸cão de dados em tempo real de testes shut-in (build-up); • Avalia¸cão do desempenho de trabalhos de estimula¸cão da

produ-¸

c˜ao do po¸co;

• Redu¸c˜ao de interven¸c˜oes em po¸cos.

Além disso, a análise dos PDGs inseridos no reservatório também permite a gestão do reservatório como um todo. Dentre estas contri-bui¸cões se destacam:

• Monitora¸cão da pressão do reservatório de petróleo;

• Determina¸cão do fator de Skin, permeabilidade e redu¸cão de pressão do reservatório ao longo do tempo;

• Deteçcão das mudan¸cas nas propriedades de um reservatório; • Identifica¸cão da conectividade do reservatório;

• Melhoria do tempo de flowback de novos po¸cos; • Aux´ılio de simula¸c˜ao de reservat´orios.

No entanto, a interpreta¸cão dos dados não é uma tarefa simples, pois requer muito estudo por parte do corpo técnico envolvido. Os mai-ores desafios na utiliza¸cão dos dados do PDG, segundo Horne (2007), são:

• Manipular grande quantidade de dados;

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46

• Identificar pontos de transi¸c˜ao entre regimes permanente e tran-sit´orio.

As aplica¸cões mais recentes dos dados de PDGs utilizam apren-dizado de máquina para extrair informa¸cões, como na reconstru¸cão da vazão de produ¸cão e temperatura (CARPENTER, 2016; TIAN; HORNE, 2017), respectivamente. Campos et al. (2017) ampliam a aplica¸cão e utilizam valores de PDG para maximizar a produ¸cão de óleo em pla-taformas reais da Petrobras atingindo um ganho de 1% na produ¸cão. Ainda neste trabalho, os autores indicam que a nova versão do algo-ritmo pretende abordar plataformas com PDG atualmente inoperante, e esta situa¸cão não é rara na indústria de explora¸cão e produ¸cão de petróleo offshore.

No come¸co do século XXI foram realizados estudos de confia-bilidade dos PDGs por grandes per´ıodos de tempo (GISBERGEN; VAN-DEWEIJER, 2001; FROTA; DESTRO, 2006). De acordo com o estudo de Gisbergen e Vandeweijer (2001), os 952 PDGs estudados e instalados entre 1993 e 1998 tiveram uma taxa de falha de 31% em até cinco anos para po¸cos onshore e offshore. O estudo ainda concluiu que po¸cos onshore têm um ambiente menos hostil que os po¸cos offshore.

J´a o trabalho de Frota e Destro (2006), trata de um levantamento da confiabilidade dos PDGs instalados na Bacia de Campos. Esse ´e o ´

ultimo estudo de confiabilidade de PDGs publicado pela Petrobras. Fo-ram selecionados 223 PDGs instalados de 1995 a 2005. Nesse per´ıodo, comparou-se o desempenho de três gera¸cões de tecnologia de PDGs e percebeu-se uma melhoria no histórico de confiabilidade dos equipa-mentos. A gera¸cão mais antiga tinha uma confiabilidade de 42,72% em um intervalo de cinco anos, enquanto a mais recente tinha uma confi-abilidade de 68,11%. Apesar da melhoria, o resultado ainda está longe da meta para a indústria de óleo e gás, que é de 90% nessas condi¸cões. No próximo cap´ıtulo é feita a apresenta¸cão teórica dos algoritmos utilizados para realizar a estima¸cão da pressão do PDG, o SVR e o UKF.

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47

3 FUNDAMENTAÇ ÃO TE ÓRICA DE ESTIMADORES Estimar uma variável significa encontrar, a partir de um con-junto de observa¸cões reais ruidosas, alguma rela¸cão funcional dela com as demais observa¸cões. Se essas estima¸cões forem realizadas continua-mente, cria-se um modelo, chamado de soft sensor, conforme definido no cap´ıtulo 1.

Neste cap´ıtulo é apresentada a formula¸cão matemática dos al-goritmos utilizados nesta disserta¸cão para a estima¸cão da pressão de fundo de po¸co.

Um soft sensor pode ser model-driven, se for baseado no estudo fenomenológico do processo, ou data-driven, se for baseado no histórico de dados do processo. O algoritmo SVR é um modelo do tipo data-driven e é a base estrutural da modelagem utilizada nesta disserta¸cão. Os algoritmos SVR apresentados são utilizados para estima¸cões em malha aberta ou em malha fechada utilizando o algoritmo UKF.

A figura 11 apresenta o diagrama de blocos de um SVR em malha aberta. Com o algoritmo SVR já treinado, as entradas são utilizadas e o modelo calcula a estima¸cão da variável alvo.

SVR

Entradas

Estimação

Figura 11 – Diagrama de blocos de estima¸cão via SVR. Fonte: Ela-bora¸cão própria.

A figura 12 mostra o diagrama de blocos de um UKF com um modelo SVR para processo e outro para medi¸cão. Com os modelos SVRs já treinados, o vetor de entrada e o vetor de estado são utilizados no modelo SVR de processo para estima¸cão a priori da variável alvo. A partir do erro entre a medi¸cão de campo e a estimativa do modelo de medi¸cão, o algoritmo corrige a estima¸cão a priori utilizando o ganho do filtro de Kalman, K. A sa´ıda do algoritmo UKF é um vetor de estado estimado e dentre os elementos do vetor está a pressão de fundo de po¸co. O estado estimado retorna como entrada do modelo de processo na próxima itera¸cão do algoritmo.

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en-48

tradas e sa´ıdas dos algoritmos para o problema de estima¸c˜ao da press˜ao de fundo de po¸co.

SVR Processo Entradas SVR Medição Medição + – K Estimação UKF + + Atualização Estado

Figura 12 – Diagrama de blocos de estima¸cão via UKF com SVRs como modelos de processo e medi¸cão. Fonte: Elabora¸cão própria.

Este cap´ıtulo formula matematicamente o algoritmo SVR na se¸cão 3.1, que é um modelo data-driven. Já na se¸cão 3.2 explica-se um filtro de Kalman para sistemas não lineares, chamado UKF.

3.1 SUPPORT VECTOR REGRESSION (SVR)

O SVR, (VAPNIK; GOLOWICH; SMOLA, 1996), ´e um algoritmo

de regressão baseado no SVM (do inglês, Support Vector Machine), que é um algoritmo de aprendizado de máquinas para problemas de classifica¸cão (VAPNIK, 1995). O SVM implementa a minimiza¸cão do erro de ajuste e redu¸cão do limite superior do erro de generaliza¸cão ao mesmo tempo, fazendo com que aumente a habilidade de generaliza¸cão do modelo (KO; LEE, 2013).

O algoritmo SVR utiliza um kernel n˜ao linear e vetores-suporte dos dados de entrada selecionados a partir da etapa de treinamento do algoritmo. Dessa forma, o SVR combina as entradas atuais do algo-ritmo com os vetores-suporte e o kernel n˜ao linear para poder encontrar

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a estima¸cão atual da variável de sa´ıda. A formula¸cão matemática será abordada à frente.

A biblioteca LIBSVM implementa o algoritmo SVR em C e em MATLAB e est´a em desenvolvimento desde o ano 2000. A LIBSVM ´

e um dos pacotes de SVM mais utilizados na literatura (CHANG; LIN, 2011), pois já foi baixada mais de 250 mil vezes e tiveram mais de 10 mil e-mails respondidos pela equipe desenvolvedora. A ferramenta já foi aplicada nas áreas de visão computacional, processamento de linguagem natural, neuroimagem e bioinformática.

Nesta disserta¸cão, os algoritmos foram desenvolvidos utilizando o software MATLAB, assim como os algoritmos da LIBSVM. Por re-comenda¸cão dos desenvolvedores, os dados de entrada e sa´ıda sempre foram normalizados com média um e variância zero.

A seguir, destaca-se a formula¸cão matemática do algoritmo SVR. Considere um conjunto de dados de treinamento dado pela expressão 3.1.

{(x1, y1) , . . . , (xl, yl)} ⊂ X × R , (3.1) em que xi são as entradas do sistema, yi os alvos e X representa o espa¸co de entradas. Vapnik (1995) propõe um algoritmo de vetores suportes para regressão conhecido como ε-SV Regression. O objetivo ´

e encontrar uma fun¸cão F (x) que tenha no máximo um desvio de ε em rela¸cão aos alvos para todos os dados de treinamento. Ao mesmo tempo, a fun¸cão deve ser a mais plana poss´ıvel.

Smola e Scholkopf (2004) consideram uma fun¸c˜ao linear F se-gundo a equa¸c˜ao 3.2.

F (x) = hw, xi + b, com w ∈ X , b ∈ R, (3.2) em que w é o vetor de pesos do vetor de entrada x, b é o bias da fun¸cão e h·, ·i é o produto escalar em X . A planicidade, de acordo com a equa¸cão 3.2, significa que procura-se por w pequeno. Ou seja, deseja-se minimizar a norma Euclidiana kwk2. Formalmente pode-se escrever o problema como um problema de otimiza¸cão convexa descrito pelo sistema 3.3. min 1 2kwk 2 sujeito a: yi− hw, xii − b ≤ ε, hw, xii + b − yi ≤ ε. (3.3)

O problema de otimiza¸cão dado pelo sistema 3.3 pressupõe que existe uma fun¸cão F que aproxima todos os pares (xi, yi) com precisão

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de ε, ou seja, o problema de otimiza¸cão convexa é fact´ıvel. No entanto, pode ser que não exista solu¸cão para este problema de otimiza¸cão, então são adicionadas duas variáveis de folga ξi, ξ∗i para cobrir restri¸cões infact´ıveis. Dessa maneira, enuncia-se o sistema 3.4 em substitui¸cão ao 3.3, (VAPNIK, 1995). min 1 2kwk 2_{+ C}Pl i=1 (ξi+ ξ∗i) sujeito a    yi− hw, xii − b ≤ ε + ξi hw, xii + b − yi ≤ ε + ξ∗i ξi, ξ∗i ≥ 0, (3.4) em que C > 0.

A constante C determina o balan¸co entre a planicidade de F e a quantidade de desvios maiores que ε que são tolerados. A formula¸cão do sistema 3.4 corresponde à fun¸cão de perda ε-insensitiva definida pela equa¸cão 3.5.

|ξ|ε:=

0 se |ξ| ≤ ε,

|ξ| − ε caso contrário. (3.5) A figura 13 mostra o gráfico da fun¸cão de perda. É importante notar que amostras dentro da região F (x) ± ε tem valor igual a zero e fora dessa região a fun¸cão segue um perfil linear.

x y

Figura 13 – Gr´afico da fun¸c˜ao de perda, |ξ|ε. Fonte: Smola e Scholkopf (2004).

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re-51

solvido na sua forma dual dada pelo sistema 3.6.

max        −1 2 l P i,j=1 (αi− α∗i)(αj− α∗j)hxi, xji −ε l P i=1 (αi+ α∗i) + l P i=1 yi(αi− αi∗) sujeito a:    l P i=1 (αi− α∗i) = 0, αi, α∗i ∈ [0, C], (3.6)

em que αi e α∗i são multiplicadores de Lagrange. De acordo com o sistema 3.6, w e F (x) são definidos conforme as equa¸cões 3.7 e 3.8.

w = l X i=1 (αi− α∗i)xi (3.7) F (x) = l X i=1 (αi− α∗i)hxi, xi + b. (3.8)

O algoritmo apresentado até o momento encontra uma fun¸cão F linear, porém é poss´ıvel tornar F não linear utilizando o conceito de kernel. Um kernel, Φ, mapeia os dados xi do espa¸co de treinamento Xtr _{para um espa¸}_{co de caracter´ıstica, conforme a express˜}_{ao 3.9.}

Φ : Xtr→ F . (3.9)

Ou seja, o produto escalar hxi, xji passa a ser definido por k(xi, xj) = hΦ(xi), Φ(xj)i. (3.10) Em seguida, é aplicado o algoritmo padrão de vetores-suporte e o pro-blema de otimiza¸cão 3.6 passa a ser dado pelo sistema 3.11.

max        −1 2 l P i,j=1 (αi− α∗i)(αj− α∗j)hΦ(xi), Φ(xj)i −ε l P i=1 (αi+ α∗i) + l P i=1 yi(αi− α∗i) sujeito a    l P i=1 (αi− α∗i) = 0, αi, α∗i ∈ [0, C]. (3.11)

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52

Dessa forma, w e F (x) das equa¸cões 3.7 e 3.8 são redefinidos pelas equa¸cões 3.12 e 3.13. O modelo SVR nada mais é do que a sele¸cão de vetores suporte w. w = l X i=1 (αi− α∗i)Φ(xi) (3.12) F (x) = l X i=1 (αi− α∗i)k(xi, x) + b. (3.13) Neste trabalho foi utilizado o kernel de fun¸cão de base radial dado pela equa¸cão 3.14.

k(xi, x) = exp−γ|xi− x|2 , (3.14) em que γ é um parâmetro de ajuste da fun¸cão.

3.2 FILTRO DE KALMAN PARA ESTIMAC¸ ˜AO

Esta se¸cão tem o objetivo de expor o equacionamento Unscented Kalman Filter (UKF). A fim de explicar melhor o conteúdo, a se¸cão 3.2.1 aborda o filtro de Kalman clássico resumidamente para, então, explicar o UKF na se¸cão 3.2.2.

3.2.1 Filtro de Kalman cl´assico

O filtro de Kalman é uma solu¸cão linear e recursiva para o problema de filtragem em tempo discreto (KALMAN, 1960). Welch e Bishop (1995) definem o filtro de Kalman como um estimador corretor-preditivo ótimo para o problema de minimiza¸cão da covariância do erro estimado com ru´ıdos gaussianos.

O filtro de Kalman é dividido em duas etapas diferentes: a predi¸cão e a corre¸cão. A predi¸cão é a etapa na qual se utiliza um mo-delo, f , para predizer o estado atual e a matriz de covariância do erro. São utilizados na predi¸cão o estado no instante anterior e a entrada do sistema. A etapa de corre¸cão utiliza medi¸cões do sistema para corrigir as predi¸cões da etapa anterior, portanto é necessário ter um modelo, h, que correlacione o estado com as medi¸cões. Então, as sa´ıdas do filtro de Kalman são a estima¸cão do estado atual e a matriz de covariância do erro.

(55)

53

Considere o sistema linear 3.15 apresentado a seguir, (

xk = Fkxk−1+ Bkuk−1+ wk−1, y_k−1= Hkxk−1+ vk−1

(3.15)

em que o sub´ındice k é a unidade de tempo discreto; Fk é o modelo linear de processo; Hk é o modelo linear de medi¸cão; xk é o vetor de estados; y_k é o vetor de medi¸cões; uk são os vetores de entradas dos modelos; wk−1é um ru´ıdo gaussiano de média zero e covariância dada pela matriz Q; vk é um ru´ıdo gaussiano de média zero; e covariância dada pela matriz R.

O objetivo do filtro de Kalman ´e obter uma estimativa de estados ˆ

xk e matriz de covariância Pk tal que minimize o erro de estima¸cão. Um filtro de Kalman é definido pela equa¸cão recursiva. 3.16

ˆ

xk = (estimativa de xk)_priori+ Kk[yk− (estimativa de yk)] , (3.16) em que ˆxk é a estimativa a posteriori de x e Kk é a matriz de ganho de Kalman. As estimativas de xk e yk são feitas utilizando modelos lineares F e H, respectivamente.

O algoritmo do filtro de Kalman é composto por duas etapas: predi¸cão e corre¸cão. A etapa da predi¸cão é responsável por produzir as estimativas a priori do estado e da matriz de covariância, respecti-vamente de acordo com as equa¸cões 3.17 e 3.18.

• C´alculo da estimativa a priori do estado: ˆ

x−_k = Fk+ xk−1+ Bkuk−1. (3.17) • C´alculo da estimativa a priori da matriz de covariˆancia:

P−_k = FkPk−1FTk + Qk. (3.18) em que ˆx−_k é a estimativa de estados a priori de xk e P−k é a matriz de covariância a priori.

Em seguida, a etapa de corre¸cão é responsável por atualizar as estimativas a priori a partir do vetor de medi¸cões y_k. Os itens a seguir definem a etapa mencionada:

• C´alculo do ganho do filtro de Kalman: Kk = P−kH T k HkP−kH T k + Rk −1 . (3.19)

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ˆ

xk = ˆx−k + Kk yk− Hkxˆ−k . (3.20) • C´alculo da estimativa a posteriori da matriz de covariˆancia:

Pk= (I − KkHk) P−k. (3.21) Por fim, ocorre a atualiza¸cão do estado e da matriz de covariância para a próxima itera¸cão do algoritmo. A seguir, a se¸cão 3.2.2 formula o UKF utilizando a mesma estrutura do filtro de Kalman exposto nesta se¸cão.

3.2.2 Unscented Kalman Filter (UKF)

Desenvolvido por Julier e Uhlmann (1999) e aprimorado por Wan e Merwe (2000), o UKF é uma extensão do filtro de Kalman para sistemas não lineares. Enquanto o EKF lineariza o sistema não linear, o UKF traz uma abordagem estat´ıstica para a aplica¸cão do filtro. O UKF utiliza o princ´ıpio de que um conjunto discreto de amostras de um ponto pode ser usado para parametrizar a média e a matriz de covariância após a aplica¸cão de uma fun¸cão não linear.

Haykin (2001) faz a compara¸cão entre o EKF e o UKF: ao cal-cular a média e covariância de variáveis aleatórias gaussianas o EKF atinge uma acurácia de primeira ordem, enquanto o UKF tem uma acurácia de segunda ordem (em uma expansão de série de Taylor) para qualquer fun¸cão não linear. Esse fato faz com que o EKF possa ter grandes erros no cálculo da média e covariância a posteriori e levando a resultados subótimos. É importante notar que os algoritmos têm a mesma complexidade computacional.

Baseada na nota¸cão e formula¸cão utilizada por Haykin (2001), a se¸cão 3.2.2.1 aborda a defini¸cão da transformada unscented e a se¸cão 3.2.2.2 aplica a transformada unscented ao filtro de Kalman clássico abordado na se¸cão 3.2.1.

3.2.2.1 Transformada unscented

A transformada unscented é um método para calcular estat´ısticas de uma variável aleatória após uma transforma¸cão não linear.

Considere um vetor de variáveis aleatórias xu _{com dimens˜}_{ao L,} como entrada em uma fun¸cão não linear fu_{, x}u _{a m´}_{edia de x}u _{e P}u x a sua matriz de covariância. É necessário formar uma matriz Xu de

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2L + 1 vetores sigma, X_iu, pelas equa¸c˜oes 3.22.

X0u= xu (3.22a) Xu i = xu+ θ ·pPu_x i , i = 1, 2, ..., L (3.22b) Xu i = xu− θ ·pPux i−L, i = L + 1, 2, ..., 2L, (3.22c) em que o sub´ındice i ´e a i-´esima coluna da matriz correspondente.

As constantes θ e λ s˜ao dadas pelas equa¸c˜oes 3.23 e 3.24.

θ =p(L + λ) (3.23)

λ = (αu)2(L + K) − L, (3.24) em que o parâmetro αu _{determina qu˜}_{ao espalhados os pontos sigma} estão de xu_{. Normalmente α}u _´_{e igual a um n´}_{umero positivo pequeno,} da ordem de 10−3, e o parâmetro K igual a 0 ou 3 − L (WAN; MERWE, 2000). Já o termo √Px

i ´e a i-´esima coluna da matriz √

Px.

Os vetores sigma são propagados através da fun¸cão não linear fu_{, como apresenta a equa¸}_c˜_{ao 3.25.}

Yu i = f

u_(Xu

i ) , i = 0, 1, ..., 2L. (3.25) Para aproximar a média e a matriz de covariância de yu_, utiliza-se uma média ponderada dos vetores Yu

i, de acordo com as equa¸c˜oes 3.26 e 3.27. yu_≈ 2L X i=0 W_i(m)Yiu (3.26) Pu_y ≈ 2L X i=0 W_i(c){Yu i − yu}{Y u i − yu} T_. _(3.27)

Os pesos Wi s˜ao definidos pelo conjunto de equa¸c˜oes 3.28.      W₀(m) = λ/(L + λ) W₀(c) = λ/(L + λ) +h1 − (αu₎2 + βi W_i(m) = W_i(c)= 1/{2(L + λ)}, i = 1, 2, ..., 2L, (3.28)

em que β ´e usado para inserir conhecimento a priori da distribui¸c˜ao de xu _{(em uma distribui¸}_c˜_{ao gaussiana ´}_{e igual a 2).}

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e a covariância de uma fun¸cão não linear sem linearizá-la, apenas uti-lizando a transformada unscented. Dessa maneira, ao utilizarmos um filtro de Kalman em um sistema não linear, a transformada unscen-ted provê as informa¸cões necessárias para o cálculo das estimativas do filtro.

3.2.2.2 Equacionamento do UKF

Considere o sistema n˜ao linear 3.29 a seguir, ( xk = f (xk−1, u f k−1) + wk−1, y_k−1= h(xk−1, uhk−1) + vk−1 (3.29)

em que o sub´ındice k é a unidade de tempo discreto; f é o modelo de processo; h é o modelo de medi¸cão; xké o vetor de estados; yké o vetor de medi¸cões; uf_k e uh_k são os vetores de entradas dos modelos; wk−1 é um ru´ıdo gaussiano de média zero e covariância dada pela matriz Q; vké um ru´ıdo gaussiano de média zero; e covariância dada pela matriz R.

O objetivo do UKF é obter uma estimativa de estados ˆxk e ma-triz de covariância Pk tal que minimize o erro de estima¸cão. Como explicado na se¸cão 3.2.1, o filtro de Kalman é formulado pela equa¸cão recursiva 3.16. Enquanto o filtro de Kalman clássico utiliza equa¸cões lineares para encontrar a estimativa a posteriori, xk, o UKF utiliza a transformada unscented, respectivamente nas equa¸cões 3.26 e 3.27.

Nesta disserta¸cão, o vetor de estado xk dos algoritmos UKF im-plementados está definido na equa¸cão 3.30. Dessa maneira, a estima¸cão de PT1 no instante k será o primeiro elemento do vetor de estado.

xk = [P T 1kP T 1k−2 · · · P T 1k−10] T

. (3.30)

O UKF é inicializado com as condi¸cões descritas no conjunto de equa¸cões 3.31. ( ˆ x0 = E [x0] P0 = E h (x0− ˆx0) (x0− ˆx0)T i . (3.31)

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equa¸cões 3.22 e considerando xk−1= xu e Pk−1= Pux. Xk−1= h xk−1 xk−1+ θ p Pk−1 xk−1− θ p Pk−1 i , (3.32) em que Pk−1é a matriz de covariância de xk−1.

A seguir, propaga-se os pontos sigmas pela fun¸cão não linear f utilizando a equa¸cão 3.25 e considerando Xk|k−1,i= Yiue Xk−1,i= Xiu.

Xk|k−1,i= f Xk−1,i, u f k−1 . (3.33) ´

E importante notar que existe um vetor de entrada uf_k−1, que corresponde às entradas do modelo f , que não estão no vetor de estado. A partir dos pontos sigmas, calcula-se a estimativa a priori da equa¸cão 3.16 utilizando-se a equa¸cão 3.26. Considera-se ˆx−_k = yu _{e X}

k|k−1,i= Yu i. ˆ x−_k = 2L X i=0 W_i(m)Xk|k−1,i, (3.34)

em que ˆx−_k ´e a estimativa a priori de xk.

De maneira similar, a equa¸cão 3.35 calcula a matriz de covariˆ an-cia a priori P−_k utilizando a equa¸cão 3.27 e adicionando a matriz de covariância do ru´ıdo de processo, Q.

P−_k = 2L X i=0 W_i(m)Xk|k−1,i− ˆx − k Xk|k−1,i− ˆx − k T + Q, (3.35) sendo P−_k = Pu_y.

A seguir, propaga-se os pontos sigmas pela fun¸cão não linear h utilizando a equa¸cão 3.26, considerando ˆy−_k = yu _{e Y}

i= Yiu. Yk|k−1= h Xk|k−1, uhk−1 (3.36) ˆ y−_k = 2L X i=0 W_i(m)Yk|k−1,i. (3.37)

Nota-se que foi adicionado um vetor de entrada, uh_k−1, que cor-responde às entradas do modelo h que não estão no vetor de estado.

(60)

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3.40 a partir das equa¸c˜oes 3.38 e 3.39.

Pyy = 2L X i=0 W_i(c)Yk|k−1,i− ˆy−k Yk|k−1,i− ˆy−k T + R (3.38) Pxy= 2L X i=0 W_i(c)Xk|k−1,i− ˆx−k Yk|k−1,i− ˆy−k T (3.39) Kk= PxyP−1yy, (3.40) em que R é a matriz de covariância do ru´ıdo de medi¸cão, Wi são os pesos da transformada unscented, Pyy é a matriz de covariância de y e Pxyé a matriz de correla¸cão cruzada de ˆx−k e ˆy

− k.

Por fim, atualiza-se a estimativa a posteriori, ˆxk, e a matriz de covariˆancia a posteriori, Pk, respectivamente nas equa¸c˜oes 3.41 e 3.42.

ˆ xk = ˆx−k + Kk yk− ˆy − k (3.41) Pk= P−_k − KkPyyKTk. (3.42) A equa¸cão 3.41 é a estimativa de estado do UKF e é equivalente `

a equa¸c˜ao geral do filtro de Kalman, descrita na equa¸c˜ao 3.16.

A figura 14 apresenta o equacionamento do UKF através de um diagrama de blocos. Considerando um vetor de estado, xk−1, são ge-rados os pontos sigma Xk−1usando a equa¸cão 3.32, representados por uma seta cheia.

Os pontos sigmas Xk−1são propagados através da fun¸cão f ge-rando pontos sigmas das estimativas a priori, Xk|k−1 da equa¸cão 3.33. Então, a partir de Xk|k−1 gera-se a matriz Yk|k−1 de sa´ıda do modelo de medi¸cão h através da equa¸cão 3.36.

A média ponderada de Xk|k−1 permite a estimativa a priori do estado ˆx−_k e, similarmente, a média ponderada de Yk|k−1 permite a estimativa de ˆy−_k. A defini¸cão dessas variáveis estão nas equa¸cões 3.34 e 3.37.

´

E importante notar que as entradas dos modelos f e h s˜ao tanto o vetor de estado, xk, quanto o vetor u

f

k−1 ou u h

k−1. A sa´ıda de fSVR ´e ˆx−_k e a de hSVR ´e ˆy−_k.

O algoritmo continua como um filtro de Kalman clássico so-mando a estimativa a priori dos estados à inova¸cão, como mostra a equa¸cão 3.41. A inova¸cão é definida pela multiplica¸cão do ganho de Kalman Kk, definido pela equa¸cão 3.40, com o erro de estima¸cão de