Cap 5 - Transformada de Fourier - Atualizado.v03

Cap´ıtulo

5

Transformada de Fourier

Comodis utidono apítulo anterior,trabalharemos omaSériedeFourier apenaspararepresentarsinaisperiódi os. Pararepresentarmossinais aperiódi- os,utilizaremosaTransformadadeFourier

1 .

ATransformadadeFourierpreservatodoora io ínioespe tral adquirido omaSériedeFourier.Naverdade, omoserávisto,aTransformadanadamais édoqueaSérieavaliadanolimite dequandooperíodo

T

vaiparainnito.

5.1 Representação de Sinais Aperiódi os

Come emos omumexemplo,depoisgeneralizamos.

Exemplo5.2Seja

x(t)

osinalperiódi odeperíodo

T

tratadonoExemplo4.1.2:

ˆ

x(t) =



1,

|t| < T

1

0,

T

1

< |t| <

T

₂

SF

←→

a

k

=

2T

1

T

Sa

(kω

0

T

1

).

Façamosaanalisedequando

T → ∞

,ilustradonaFigura5.1.

Logo,

lim

T→∞

x(t) = lim

ˆ

T→∞



1,

|t| < T

1

0,

T

1

< |t| <

T

₂

,

período

T



= x(t) =



1,

|t| < T

1

0,

|t| > T

1

.

(5.1)

⋄

Podemos usar olimite des rito na Equação(5.1) para en ontrar um  on-teúdo'deFourierparaosinal

x(t)

. Vejamosoqueo orre:

lim

T →∞

x(t) = x(t)

ˆ

SF

←→

lim

T →∞

a

k

= a

(1)

k

.

1

Osexemplosreferen iados aolongodestetexto,os quaissãoapresentadosaseguir,são exemplosdolivro:OPPENHEIM,A.,WILLSKYA.Signal&Systems,2ndEd.,Prenti e-Hall,

Figura5.1: Sinal lo k, om

T

→ ∞

. emque,

a

k

=

2T

1

T

Sa

(kω

0

T

1

)

assim,

a

(1)

_k

= lim

T →∞

a

k

;

= lim

T →∞

 2T

1

T

Sa

(kω

0

T

1

)



;

= 0.

Esseresultadoéumproblema,porém,nemtudoestáperdido!

VamosimaginarumConteúdodeFourier(CF) dadopor

T a

k

. Neste aso, teríamosaseguinterelação:

ˆ

x(t) =



1,

|t| < T

1

0,

T

1

<

|t| <

T

2

CF

←→

X (kω

0

) = T a

k

= 2T

1

Sa

(kω

0

T

1

).

Agora,setomarmosolimite:

lim

T →∞

x(t) = x(t)

ˆ

CF

←→

lim

T →∞

X (kω

0

) ;

= lim

T →∞

T a

k

;

= lim

T →∞

[2T

1

Sa

(kω

0

T

1

)] .

Paravisualizarmosestelimite,vejamososgrá osde

X (kω

0

)

quando

T

→

∞

,demonstradonaFigura5.2.

Figura5.2: Sinal, om

T

→ ∞

.

Naverdade,nolimitedequando

T

→ ∞

,

ω

0

(queeadistân iaentreasraias) tende para umpasso diferen iale

kω

0

(queeo eixode referên ia)tende para uma variável ontínua, ou seja, o espaçamento entre as amostras de

X (kω

0

)

tendeazeroeo onjuntodeamostrastendeàenvoltória,assim:

T

→ ∞ =⇒



kω

0

= ω

ω

0

= dω

.

Con luímosquepodemosinterpretarumsinalnão-periódi o omolimitedeum periódi o. Nestepro essodelimite,os oe ientesdasériedeFourier multipli a-dospeloperíodotendemauma urva ontínua,aenvoltóriadestes oe ientes, aqualserádenida omo atransformadadeFourier. Assim,

lim

T →∞

x(t) = x(t)

ˆ

CF

←→

lim

T →∞

X (kω

0

) = lim

T →∞

T a

k

lim

T →∞

X (kω

0

) = lim

T →∞

[2T

1

Sa

(kω

0

T

1

)] = 2T

1

Sa

(ωT

1

) = X(ω);

x(t)

←→

CF

X(ω).

Assim onseguimosen ontrar um Conteúdo de Fourier para nosso sinal aper-iódi o. Naverdade,esse onteúdoqueen ontramosjáéaprópriaTransformada deFourierdosinal.

x(t) =



1,

|t| < T

1

0,

|t| > T

1

T F

←→

X(ω) = 2T

1

Sa

(ωT

1

).

5.1.1 Análise e Síntese de Fourier

Suponha

x(t)

umsinalaperiódi oe

x(t)

ˆ

umaversãoperiódi ade

x(t)

(vide Figura5.3).

Figura5.3: Sinal aperiódi o

x(t)

eumaversãoperiódi odosinal

x(t)

ˆ

.

•

Síntese:

x(t) =

ˆ

∞

X

k=−∞

a

k

e

jkω

0

t

,

∀t

;

•

Análise:

a

k

=

1

T

Z

T

ˆ

x(t)e

−jkω

0

t

_dt

. Análise

Antesdetomarmosolimite, onstatemososeguinte:

a

k

=

1

T

Z

T

ˆ

x(t)e

−jkω

0

t

dt;

=

1

T

Z

T /2

−T /2

ˆ

x(t)e

−jkω

0

t

dt.

Paraointervalodeintegraçãoa ima,

[−T /2, T /2]

podemosobservarque

x(t) =

ˆ

x(t)

. Assim,

a

k

=

1

T

Z

T

ˆ

x(t)e

−jkω

0

t

_{d; t}

=

1

T

Z

T /2

−T /2

x(t)e

−jkω

0

t

dt;

=

1

T

Z

∞

−∞

x(t)e

−jkω

0

t

dt.

Agoradeixamoso onteúdodeFourieremfunçãodosinalaperiódi o,oquenos levaabus arsuaTransformadadeFourier.

X(ω) = lim

T →∞

X(kω);

= lim

T →∞

[T a

k

] ;

= lim

T →∞

Z

∞

−∞

x(t)e

−jkω

0

t

_dt



.

Como,

T

→ ∞ =⇒



kω

0

= ω

ω

0

= dω

,

obtém-se,

X(ω) =

Z

∞

−∞

x(t)e

−jωt

dt.

(5.2)

Síntese

Antes detomarmosolimite, onstatemososeguinte:

ˆ

x(t) =

∞

X

k=−∞

a

k

e

jkω

0

t

;

=

∞

X

k=−∞

X (kω

0

)

T

e

jkω

0

t

_;

vistoque

X (kω

0

) = a

k

T

. Logo,

ˆ

x(t) =

∞

X

k=−∞

X (kω

0

)

2π/ω

0

e

jkω

0

t

_;

=

1

2π

∞

X

k=−∞

X (kω

0

) ω

0

e

jkω

0

t

;

Agora onsideremosolimite,elembrando

T

→ ∞ =⇒



kω

0

= ω

ω

0

= dω

;

e,alémdisso omoavariáveldereferên iaparaosomatóriotornou-se ontínua, elesetransformaemumaintegral,ouseja,quando

T

→ ∞ =⇒

P

∞

k=−∞

=

R

∞

−∞

. Assim,

lim

T →∞

x(t) = lim

ˆ

T →∞

"

_∞

X

k=−∞

X (kω

0

)

2π/ω

0

e

jkω

0

t

#

;

=

1

2π

∞

X

k=−∞

X (kω

0

) e

jkω

0

t

ω

0

;

m

x(t) =

1

2π

Z

∞

−∞

X (ω) e

jωt

_dω

(5.3)

Agora, para a Transformada de Fourier, o par de expressões de análise e síntesesão:

•

Síntese:

X(ω) =

Z

∞

−∞

x(t)e

−jωt

dt

-TransformadadeFourier(TF);

•

Análise:

x(t) =

1

2π

Z

∞

−∞

Exemplo5.3QualaTFdosinal

y(t) = δ(t)

?

Solução: Demonstra-se que este não é umsinal de energia. Apesar disto, podemos al ularsuatransformada.

Y (ω) =

Z

∞

−∞

δ(t)e

−jωt

dt;

Mas

y(t)δ(t) = y(0)δ(t)

. Logo,

F

_{{δ(t)} =}

Z

∞

−∞

δ(t)dt = 1.

Oespe trodefrequên iasé ompostoapenaspeloespe trodeamplitudeseé onstanteeigual

a

1

paratodasasfrequên ias.

⋄

Exemplo5.4QualaTFIdosinal

Y (ω) = δ(ω)

?

Solução: Vamos al ularosinalnotempo orrespondenteaestatransformada,usando aexpressãodatransformadainversa.

y(t) =

1

2π

Z

∞

−∞

δ(ω)e

jωt

dω;

Pelapropriedadedoprodutodefunçãoporimpulso,temos

y(t) =

1

2π

Z

∞

−∞

δ(ω)dω;

Assim,

F

−1

_{{δ(ω)} =}

1

2π

.

Con luí-sequeumsinal onstantenotempoapresentaumespe trodefrequên ias omapenas uma omponentenafrequên iazero.Alémdisto,esta omponenteédotipoimpulsivo,oque signi aqueasuaáreaédiferentedezero.

Comojá al ulado,usandoestesresultados,podemos al ularatransformadainversade

X(ω) = δ(ω − ω

0

)

,logo,

y(t) =

1

2π

Z

∞

−∞

δ(ω − ω

0

)e

jωt

dω;

=

1

2π

Z

∞

−∞

δ(ω − ω

0

)e

jω

0

t

_dω;

=

1

2π

e

jω

0

t

Z

∞

−∞

δ(ω − ω

0

)dω;

=

1

2π

e

jω

0

t

_.

Assim,

F

−1

_{{δ(ω − ω}

₀

_{)} =}

1

2π

e

jω

0

t

.

⋄

Exemplo5.5QualaTFdosinal

y(t) = e

−αt

_u(t)

Solução: Emprimeirolugar,observeque

y(t)

éumsinaldeenergia. Suatransformada deFourierser
adadapor

Y (ω) =

Z

∞

−∞

e

−αt

u(t)e

−jωt

dt;

=

Z

∞

0

e

−(αt+jωt)

dt;

= −

1

α + jω

e

−(α+jω)t









∞

0

;

=

1

α + jω

.

Logo,

F

e

−αt

_{u(t) =}

1

α + jω

.

Podemosaindaes rever,

|Y (ω)| =

√

1

α

2

_{+ ω}

2

;

φ(ω) = − arctan



ω

α



;

ouaindadaforma,

F

e

−αt

_{u(t) =}

1

√

α

2

_{+ ω}

2

e

jφ(ω)

AFigura5.4mostraosespe trosdeamplitudeedefaseasso iadosà

F

e

−αt

_u(t)

.

⋄

Figura5.4: Espe trosdefrequên iapara

y(t) = e

−αt

_u(t)

.

Exemplo5.6

Exemplo5.7

RefaçaoExemplo4.2dolivrotexto.

⋄

Exemplo5.8

RefaçaoExemplo4.3dolivrotexto.

⋄

Exemplo5.9

RefaçaoExemplo4.4dolivrotexto.

⋄

Exemplo5.10

RefaçaoExemplo4.5dolivrotexto.

⋄

5.2 Convergên ia da Transformada de Fourier

Embora neste urso,sóiremostrabalhar omsinais quetêmrepresentação em Série de Fourier, onvidamos o leitor mais interessado a onsultar olivro textoadotadono ursoparasaber omosedáa onvergên iadaSériedeFourier.

5.3 Transformada deFourier de Sinais Periodi os

Pelaprimeira ondiçãodeDiri hlet(vide onvergên iadaTrans. deFourier) sinais periódi os não teriam Transformada de Fourier denida. Todavia, um on eito maisamplo deTransformadade Fouriernospermiteen ontrar rep-resentaçõespara sinaisquenão sãoabsolutamente integráveis.

Para hegarmosaumaexpressãofe hadaparaaTransformardeFourierde sinaisperiódi os,devemos,primeiramente,en ontraraTransformadadeFourier Inversa(TFI)doseguintesinal:

X(ω) = 2πδ(ω

− ω

0

)

,logo,

x(t) =

1

2π

Z

∞

−∞

X (ω) e

jωt

dω;

=

1

2π

Z

∞

−∞

[2πδ(ω

− ω

0

)] e

jωt

dω;

=

Z

∞

−∞

δ(ω

− ω

0

)e

jωt

dω;

=

Z

∞

−∞

δ(ω

− ω

0

)e

jω

0

t

dω;

= e

jω

0

t

Z

∞

−∞

δ(ω

− ω

0

)dω;

= e

jω

0

t

_.

Agora, al ulemosaTFIdoseguintesinal:

X(ω) =

ˆ

P

∞

k=−∞

2πa

k

δ(ω

−kω

0

)

, logo,

ˆ

x(t) = F

−1

n ˆ

_X(ω)

o

_;

= F

−1

(

_∞

X

k=−∞

2πa

k

δ(ω

− kω

0

)

)

;

Como a TFI élinear ela pode entrar no somatório e a onstante

a

k

pode ser postaparaforadooperando,assim,tem-se,

ˆ

x(t) = F

−1

n ˆ

_X(ω)

o

_;

= a

k

∞

X

k=−∞

F

−1

{2πδ(ω − kω

0

)} .

Utilizandooresultadoobtidoanteriormente,deduz-seque

F

−1

_{{2πδ(ω − kω}

0

)} =

e

jω

0

t

. Assim,

ˆ

x(t) =

∞

X

k=−∞

a

k

e

jω

0

t

T F

←→

X(ω) =

ˆ

∞

X

k=−∞

2πa

k

δ(ω

− kω

0

).

Aexpressãoquetemosa imaeexatamentearepresentaçãoemSeriedeFourier deum sinalperiódi o. Sendo estesinal opróprio

x(t)

ˆ

, suaTFé

X(ω)

ˆ

. Dessa forma,paradeterminarmosaTFdeumsinalperiódi odevemos:

1. Cal ularos oe ientes daSFdosinal

x(t)

ˆ

SF

←→ a

k

; 2. Apli á-losnaseguinteexpressão:

X(ω) =

ˆ

P

∞

k=−∞

2πa

k

δ(ω

− kω

0

)

.

Exemplo5.11

RefaçaoExemplo4.6dolivrotexto.

⋄

Exemplo5.12

RefaçaoExemplo4.7dolivrotexto.

⋄

Exemplo5.13

5.4 Propriedades da Transformada de Fourier

Nestaseção serãovistas algumasdaspropriedadesdaTF.Todaviaoleitor nãodevelimitar-seàspropriedadesvistasaqui,devendo onsultarolivrotexto adotadono urso.

Para as propriedades apresentadas a seguir, utilizaremos as seguintes no-tações:

•

1.

x(t)

T F

←→ X(ω)

e

X(ω)

T F I

←→ x(t)

;

•

2.

x(t)

F

←→ X(ω)

e

X(ω)

F

−1

←→ x(t)

;

•

3.

X(ω) = F

{x(t)}

e

x(t) = F

−1

_{X(ω)}

. 5.4.1 Linearidade Seja:

x(t)

←→ X(ω);

F

y(t)

←→ Y (ω);

F

logo,

z(t) = A

x

x(t) + A

y

y(t)

SF

←→ Z(ω) = A

x

X(ω) + A

y

Y (ω).

(5.4) Prova: Considere:

X(ω) =

Z

∞

−∞

x(t)e

−jωt

dt;

Y (ω) =

Z

∞

−∞

y(t)e

−jωt

dt;

assim,tem-se:

Z(ω) =

Z

∞

−∞

z(t)e

−jωt

dt;

=

Z

∞

−∞

[A

x

x(t) + A

y

y(t)] e

−jωt

dt;

=

Z

∞

−∞

A

x

x(t)e

−jωt

dt +

Z

∞

−∞

A

y

y(t)e

−jωt

dt;

= A

x

Z

∞

−∞

x(t)e

−jωt

dt



+ A

y

Z

∞

−∞

y(t)e

−jωt

dt



;

= A

x

X(ω) + A

y

Y (ω).

•

Exemplo5.14QualaTFdosinal

y(t) = cos (ω

0

t)

? Solução: Sabe-seque:

x(t) = e

jω

0

t

F

←→

X(ω) = 2πδ(ω − ω

0

).

e

cos (ω

0

t) =

e

jω

0

t

_{+ e}

−jω

0

t

2

=

1

2

e

jω

0

t

₊

1

2

e

−jω

0

t

=

1

2

e

j(ω

0

)t

₊

1

2

e

j(−ω

0

)t

UsandoapropriedadedaLinearidade,tem-se:

Y (ω) = πδ(ω − ω

0

) + πδ(ω + ω

0

)

= π [δ(ω − ω

0

) + δ(ω + ω

0

)] ;

logo,

cos (ω

0

t)

←→

F

π [δ(ω + ω

0

) + δ(ω − ω

0

)] .

AFigura5.5ilustraesteespe tromostrandoqueo onteúdoemfrequên iadafunção ossenose resumeaapenasduas omponentesem

ω

0

e

−ω

0

.Esteresultadoé oerente omofatodeque atransformadadeFourierexpressaumsinal omouma ombinação ontínuade ossenóides e omofatodequeoespe tromostraas omponentesqueestãopresentesnaexpansão.

⋄

Figura5.5: Espe trodefrequên iapara

y(t) = cos (ω

0

t)

.

Exemplo5.15QualaTFdosinal

y(t) = sin (ω

0

t)

? Solução: Sabe-seque:

x(t) = e

jω

0

t

F

←→

X(ω) = 2πδ(ω − ω

0

).

e

sin (ω

0

t) =

e

jω

0

t

_{− e}

−jω

0

t

2

=

1

2j

e

jω

0

t

₊

1

2

e

−jω

0

t

=

1

2j

e

j(ω

0

)t

−

1

2j

e

j(−ω

0

)t

UsandoapropriedadedaLinearidade,tem-se:

Y (ω) =

π

j

δ(ω − ω

0

) −

π

j

δ(ω + ω

0

)

=

π

j

[δ(ω − ω

0

) − δ(ω + ω

0

)] ;

= jπ [δ(ω + ω

0

) − δ(ω − ω

0

)] ;

logo,

sin (ω

0

t)

←→

F

jπ [δ(ω + ω

0

) − δ(ω − ω

0

)] .

Comoadiferençaentreasfunções ossenoesenoseresumeaumadiferençadefasede

π/2

,este fatoapare enatransformada,pelapresençadofatorjnatransformadadoseno.AFigura5.6 ilustraesteespe tro,oqual,alémdas omponentesdoespe trodo osseno,apresentatambém umespe trodefaseparalevarem ontaosfatoresje-j.

⋄

Figura5.6: Espe trodefrequên iapara

y(t) = sin (ω

0

t)

.

5.4.2 Deslo amento Temporal Seja:

x(t)

←→ X(ω);

F

logo,

y(t) = x(t

− t

0

)

F

←→ Y (ω) = X(ω)e

−jωt

_.

(5.5) Prova: Considere:

X(ω) =

Z

∞

−∞

x(t)e

−jωt

dt;

e,

Y (ω) =

Z

∞

−∞

y(t)e

−jωt

dt;

=

Z

∞

−∞

[x(t − t

0

)] e

−jωt

dt.

Fazendoumasubstituiçãodevariável

t − t

0

= τ

;

Y (ω) =

Z

∞

−∞

[x(τ )] e

−jω(τ +t

0

)

_dτ

=

Z

∞

−∞

x(τ )e

−jωτ

dτ



e

−jω(t

0

)

= X(ω)e

−jωt

0

_.

•

Observação: Observa-sequeodeslo amentotemporalnãoalteraomódulo daTFdosinal,háapenasalteraçãonafase.



|Y (ω)| =





X(ω)e

−jωt

0





=

|X(ω)|





e

−jωt

0





=

|X(ω)| ;

∠Y (ω) = ∠

X(ω)e

−jωt

0

 = ∠X(ω) + ∠e

−jωt

0

= ∠X(ω) − ωt

0

.

Exemplo5.16QualaTFdosinal

y(t) = δ(t − t

0

)

? Solução: Sabe-seque:

δ(t)

←→

F

1.

Logo,

δ(t − t

0

)

←→

F

e

−jωt

0

;

ouseja,atransformadadeumimpulsoéumaexponen ial omplexaperiódi aemfrequên ia.

⋄

5.4.3 Es alonamento Temporal e Frequan ial

Seja:

x(t)

←→ X(ω);

F

logo,

y(t) = x(αt)

←→ Y (ω) =

F

1

|α|

X

 ω

|α|



.

(5.6) Prova: Considere:

X(ω) =

Z

∞

−∞

x(t)e

−jωt

dt;

e,

Y (ω) =

Z

∞

−∞

y(t)e

−jωt

dt;

=

Z

∞

−∞

[x(αt)] e

−jωt

_dt.

Fazendoumasubstituiçãodevariável:

αt = τ

,tem-se,

Y (ω) =

Z

sgn

(α)·∞

−

sgn

(α)·∞

x(τ )e

−jω

α

τ

dτ

α

;

=

Z

∞

−∞

x(τ )e

−jω

α

τ

dτ

|α|

;

=

1

|α|

Z

∞

−∞

x(τ )e

−j

(

ω

α

)

τ

dτ ;

logo,

Y (ω) =

1

|α|

X



ω

|α|



.

•

Observação:

•

1. Aparidadedosinaléamesmadesuatransformada:  Seosinalépar:

x(t) = x(−t)

F

←→ X(ω) = X(−ω)

;  Seosinalépar:

x(t) =

−x(−t)

F

←→ X(ω) = −X(−ω)

.

•

2. Se há uma expansão no tempo, há uma ompressão na frequên ia e visse-versa. Como exer í io ompare a transformada dos dois sinais abaixo: 

x

1

(t) =



1,

|t| < 2

0,

|t| > 2

; 

x

2

(t) = x

1

(2t)

. 5.4.4 Simetria do Conjugado Seja:

x(t)

←→ X(ω);

F

logo,

y(t) = x

∗

_(t)

F

←→ Y (ω) = X

∗

_{(−ω) .}

(5.7) Prova: Considere:

X(ω) =

Z

∞

−∞

x(t)e

−jωt

_dt;

e,

Y (ω) =

Z

∞

−∞

y(t)e

−jωt

dt;

=

Z

∞

−∞

[x

∗

_{(t)] e}

−jωt

_dt.

Logo,

Y

∗

(ω) =

Z

∞

−∞

x

∗

(t)e

−jωt

dt



∗

;

=

Z

∞

−∞

x

∗

_(t)e

−jωt



∗

dt;

=

Z

∞

−∞

x(t)e

jωt

_dt.

assim,

Y

∗

(ω) = X(−ω) ⇐⇒ Y (ω) = X

∗

(−ω).

•

Observação: Através desta propriedade, podemos extrair algumas on- lusõesparasinaisreais. Seosinalforreal:

x(t) = x

∗

(t)

←→ X(ω) = X

F

∗

_{(−ω) ,}

Agoraanalisemosaigualdadedastransformadas.

•

PartesRealeImaginária:

X(ω) = X

∗

(−ω) =⇒















Re

{X(ω)} =

Re

{X

∗

_{(−ω)} =}

Re

{X(−ω)}

=

⇒

Re

{X(ω)} =

Re

{X(−ω)};

Im

{X(ω)} =

Im

{X

∗

_{(−ω)} = −}

Im

{X(−ω)}

=

⇒

Im

{X(ω)} = −

Im

{X(−ω)}.

•

MóduloeFase:

X(ω) = X

∗

(−ω) =⇒















|X(ω)| = |X

∗

_{(−ω)| = |X(−ω)|}

=

⇒ |X(ω)| = |X(−ω)| ;

∠X(ω) = ∠X

∗

(−ω) = −∠X(ω)

=

⇒ ∠X(ω) = −∠X(ω).

•

Resumo:

X(ω) = X

∗

(−ω) =⇒

















Re

{X(ω)} =

Re

{X(−ω)};

Im

{X(ω)} = −

Im

{X(−ω)}.



|X(ω)| = |X(−ω)| ;

∠X(ω) = −∠X(−ω).

Observandoasigualdadesa ima,per ebe-sequeseosinalérealseus oe ientes têmasseguintessimetrias:

•

Parterealpar;

•

Parteimagináriaímpar;

•

Faseímpar.

Ainda,pode-sesuporquealémdosinalserrealelesejaparouímpar.

•

SeosinaléRealePar:

(

real:

x(t) = x

∗

_(t)

_{←→ X(ω) = X}

T F

∗

_(−ω);

par:

x(t) = x(−t)

T F

←→ X(ω) = X(−ω).

=

⇒



X(ω) = X

∗

_(ω)

(Real)

;

X(ω) = X(−ω)

(Par)

.

OstransformadasãoReaisetêmsimetriaPar;

•

SeosinaléRealeÍmpar:

(

real:

x(t) = x

∗

_(t)

_{←→ X(ω) = X}

T F

∗

_(−ω);

par:

x(t) =

−x(−t)

T F

←→ X(ω) = −X(−ω).

=

⇒



X(ω) =

−X

∗

_(ω)

(Puramente Imaginários)

;

X(ω) =

−X(−ω)

(Ímpar)

.

OstransformadasãoPuramenteImagináriosetêmsimetriaÍmpar

Porm, analisemosa de omposiçãode umsinal real qualquerem suaspartes pareímpar:

x(t) = x

E

(t) + x

O

(t)

T F

←→ a

k

=

Re

{X(ω)} +

Im

{X(ω)} .

•

Como

x

E

(t)

érealepar, então seustransformadaéreais etêm simetria par;

•

Como

x

O

(t)

éreal e ímpar, entãoseustransformada épuramente imag-ináriosetêmsimetriaímpar.

Diante das onsideraçõesa imaexpostas, on lui-seque,

(

x

E

(t)

←→

T F

Re

{X(ω)} ;

x

O

(t)

T F

←→

Re

{X(ω)} .

.

5.4.5 Dualidade Seja:

x(t)

←→ X(ω);

F

logo,

y(t) = X(t)

←→ Y (ω) = 2πx(−ω).

F

(5.8)

Prova: Considere:

x(t) =

1

2π

Z

∞

−∞

X(ω)e

jωt

_dω;

substituindo

t = −ω

′

e

ω = t

′

,tem-se:

x(−ω

′

_{) =}

1

2π

Z

∞

−∞

X(t

′

_)e

jt

′

_(−ω

′

₎

dt

′

_;

=

1

2π

Z

∞

−∞

X(t

′

_)e

−j−ω

′

_t

′

dt

′

_.

Voltandoasubstituir

t

′

_{= t}

e

ω

′

_{= ω}

,apenaspor onveniên ia,obtém-se:

x(−ω) =

1

2π

Z

∞

−∞

X(t)e

−j−ωt

dt ⇐⇒ 2πx(−ω) =

Z

∞

−∞

X(t)e

−j−ωt

dt

logo,

2πx(−ω)

←→ X(t).

F

•

Exemplo5.17QualaTFdosinal

y(t) = 2W

Sa

(tW )

? Solução:Sabe-seque:

x(t) =



1, |t| < W

0, |t| > W

F

←→

X(ω) = 2W

Sa

(ωW ).

Usandoapropriedadedadualidade,tem-se:

x(t) =



1, |t| < W

0, |t| > W

F

←→

X(ω) = 2W

Sa

(ωW );

=⇒ y(t) = X(t) = 2W

Sa

(tW )

F

←→

Y ((ω)) = 2πx(−ω);

logo,

Y ((ω)) = 2πx(−ω)

= 2π



1, | − ω| < W

0, | − ω| > W

=



2π, |ω| < W

0, |ω| > W

⋄

5.4.6 Diferen iação Seja:

x(t)

←→ X(ω);

F

logo,

y(t) =

d

dt

x(t)

F

←→ Y (ω) = jωX(ω).

(5.9)

Prova: Considere:

x(t) =

1

2π

Z

∞

−∞

X(ω)e

jωt

dω;

e

y(t) =

d

dt

x(t)

=

d

dt



1

2π

Z

∞

−∞

X(ω)e

jωt

_dω



;

=

1

2π

Z

∞

−∞

X(ω)

d

dt

e

jωt

_{ dω;}

=

1

2π

Z

∞

−∞

X(ω)

jωe

jωt

_{ dω;}

=

1

2π

Z

∞

−∞

[jωX(ω)] e

jωt

_dω;

logo,

y(t) =

d

dt

x(t)

F

←→ Y (ω) = jωX(ω).

•

5.4.7 Relação de Parseval

Esta propriedadeé muito importante,pois rela iona medidas de energiae potên ianosdoisdomínios. Seja:

x(t)

←→ X(ω);

T F

Z

∞

−∞

|x(t)|

2

dt =

1

2π

Z

∞

−∞

|X(ω)|

2

dω.

(5.10) Prova: Considere:

x(t) =

1

2π

Z

∞

−∞

X(ω)e

jωt

dω =⇒ x

∗

_(t)

₌

1

2π

Z

∞

−∞

X

∗

_(ω)e

−jωt

_dω.

Logo,

Z

∞

−∞

|x(t)|

2

_{dt =}

Z

∞

−∞

x(t)x

∗

(t)dt

=

Z

∞

−∞

x(t)



1

2π

Z

∞

−∞

X

∗

(ω)e

−jωt

dω



dt.

Tro ando-seasintegrais:

Z

∞

−∞

|x(t)|

2

_{dt =}

1

2π

Z

∞

−∞

X

∗

(ω)

Z

∞

−∞

x(t)e

−jωt

dt



dω;

=

1

2π

Z

∞

−∞

X

∗

_{(ω)X(ω)dω;}

=

1

2π

Z

∞

−∞

|X(ω)|

2

_dω.

•

Tabela5.1: PropriedadesdaTransformadadeFourier.

Propriedade SinalPeriódi o Coe iente

x(t)

y(t)



Periódo

T

efrequên iafundamental

ω

0

= 2π/T

X(ω)

Y (ω)

Linearidade

Ax(t) + By(t)

AX(ω) + BY (ω)

Deslo amentoTemporal

x(t − t

0

)

X(ω)e

−jkω

0

t

0

ReversãoTemporal

x(−t)

X(−ω)

Es alonamentoTemporal

x(αt)

1

|α|

X



ω

|α|



Diferen iação

d

dt

x(t)

jωX(ω)

Integração

R

T

−∞

x(t)dt



1

jkω

0



a

k

RelaçãodeParseval

R

∞

−∞

|x(t)|

2

_{dt =}

1

2π

R

∞

−∞

|X(ω)|

2

_dω

As demais propriedades en ontram-se na Tabela 4.1 do livro texto, bem omonaTabela5.1deformaresumida.

Exemplo5.18

RefaçaoExemplo4.9dolivrotexto.

⋄

Exemplo5.19

RefaçaoExemplo4.10dolivrotexto.

⋄

Exemplo5.20

RefaçaoExemplo4.11dolivrotexto.

⋄

Exemplo5.21

RefaçaoExemplo4.12dolivrotexto.

⋄

Exemplo5.22

RefaçaoExemplo4.13dolivrotexto.

⋄

Exemplo5.23

Lista de Exer í io - Transformada de Fourier

QuestõesreferentesaoCapítulo5.

Exer í io 5.1 Refaça osExemplos do LivroTexto itados ao longodo texto.

Exer í io 5.2 Cal uleaTransformada de Fourierdos seguintesinais: a.

x(t) = e

−α|t|

,

α > 0

; b.

x(t) = e

−2|t−1|

,

α > 0

; .

x(t) =

1

RC

e

−

t1

RC

u(t)

; d. Umpulso retangular:

x(t) =



1,

|t| < τ /2

0,

. . ;g.ListaExSinal.5.1

e.

x(t)

estádes ritonaFigura5.7.

Figura5.7:

f.

x(t) = cos (2π1000t) + cos (2π2000t) + cos (2π5000t) + cos (2π10000t)

; g.

x(t)

estádes ritonaFigura5.8.

Figura5.8: Sinal ompostoporpulsosretangulares.

h.

x(t) =

R

∞

−∞

Sa

(t)dt

; i.

x(t) = 1 + cos (6πt +

π

8

)

; j.

x(t) =

|cos (ω

c

t)|

;

Figura5.9:

Figura5.10: Pulsotriangularesuaderivada.

l.

x(t)

estádes rito naFigura5.9. m.

x(t)

estádes rito naFigura5.10.

n.

x(t) = δ(t + 2)

−

1

2

δ(t + 1)

−

1

2

δ(t

− 1) + δ(t − 2)

; o.

x(t)

estádes rito naFigura5.11.

Figura5.11:

p.

x(t) = cos (ω

c

t) [u(t + 100π)

− u(t − 100π)]

;

Exer í io5.3 Cal ularatransformadainversadeFourierdosseguintes espe -tro:

a.

X(ω) = 5π

{δ(ω + 2ω

0

) + δ(ω

− 2ω

0

)} + jπ {δ(ω + 3ω

0

)

− δ(ω − 3ω

0

)}

; b. umespe tro omoformatodepulsoretangular:

X(ω) =



1,

|ω| < W/2

0,

. .

. umespe tro omoformatodepulsoretangular:

X(ω) =







−2,

−2 ≤ ω ≤ 0;

2,

0

≤ ω ≤ 2;

0,

|ω| > 2.

;

Exer í io 5.4 Sobreosinal aperiódi ox(t) mostradona Figura 5.12: a. Cal ulesuaTransformada de Fourier

X(ω)

.

b.

X(ω)

é par? E ímpar? E real? É puramente imaginário? É possível responderessasperguntas,sem al ular

X(ω)

? Justique.

Figura5.12:

Exer í io 5.5 Seja

X(ω)

atransformadadeFourierdosinal

x(t)

mostradona Figura5.13 a. Cal ule

∠X(ω)

e

X(0)

; b. Cal ule

R

∞

−∞

X(ω)dω

e

R

∞

−∞

|X(ω)|

2

dω

;

. Esbo e a transformada inversa de Fourier de Re

{X(ω)}

, em que

ℜ{·}

indi aapartereal;

d. Esbo e a transformada inversa Fourier de

j

Im

X(ω)e

jω

, em que

ℑ{·}

indi aaparteimaginária;

e. Esbo e a transformada inversa Fourierde Re

X(ω)e

−jω

, em que

ℜ{·}

indi aapartereal;

f. Esbo eatransformada inversade Fourierde

jωX(ω)e

j2ω

; g. Esbo eaTransformadaInversadeFourierdeRe



1

2

X

ω

2

e

−jω

_·)

eIm



1

2

X

ω

2

e

−jω

_·)

, emqueRe

{·}

indi aaparterealeemqueIm

{·}

indi aaparteimaginária.

Obs.: Resolvaaquestãoapenasutilizandoaspropriedadesda Transformadade Fourier.