Tecnicas hibridas para analise de tensões combinando holografia eletronica e elementos finitos

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

TÉCNICAS HÍBRIDAS PARA ANÁLISE DE TENSÕES COMBINANDO HOLOGRAFIA ELETRÔNICA E ELEMENTOS FINITOS

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

GENISSON SILVA COUTINHO

ELEMENTOS FINITOS E HOLOGRAFIA ELETRÔNICA"

ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA ADEQUADA PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE

M ESTRE EM ENGENHARIA

ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA, ÁREA DE CONCENTRAÇÃO METROLOGIA E INSTRUMENTAÇÃO, APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA. GENISSON SILVA COUTINHO

Prof. Armando Albertazzi Gonçalves Jr., Dr. Eng. Orientador

Coordenador do Curso

BANCA EXAMINADORA

Prof. Armando Albertazzi Gonçalves Jr., Dr. Eng.

Prof. Nelson Back, PhD.

À mi nha famí1i a

Pelo carinho, apoio e incentivo

AGRADECIMENTOS

- À Universidade Federal de Santa Catarina;

- À Fundação Certi e Labmetro pela infraestrutura oferecida;

- À CAPES pelo apoio financeiro;

- Ao Professor Armando Albertazzi Gonçalves Jr pela orientação e

dedicação durante a realização deste trabalho;

- Ao Prof. Edison da Rosa pela colaboração durante o trabalho;

- À Danilo José dos Santos (Dadá) pelo auxílio durante os

experimentos;

- Aos colaboradores do CERTI que, direta ou indiretamente,

contribuiram para a conclusão deste trabalho;

- À todos os meus amigos pelo apoio e amizade durante todo o

SUMÁRIO

R E S U M O ... vi i i

A B S T R A C T ... i x

1. IN TR ODUÇÃO... .01

1.1 Objetivo do tr ab al ho ... .02

2. HOLOGRAFIA EL ETRÔ NICA... .04

2.1 Interferênccia entre Duas O n d a s ...04

2.2 O Sp e c k l e ... .06

2.3 A Variação de Fase do Sp ec kl e... .08

2.4 Holografia Eletrôni ca... .10

2.4.1 0 Mapa de Fran ja s... .11

2.4.2 Configurações Ut il izadas... .13

2.4.3 Iluminação M i s t a ...17

2.4.4 0 Método do Deslocamento de F a s e ... .18

2.5 A Estação Holográf ica... .20

3. O MÉTODO DE ELEMENTOS FI NI TO S... .23 3.1 As Aproximações do M é t o d o ... .23 3.2 A Equação B á s i c a ... .25 3.3 Aspectos de Mo de la ge m... .29 4. INTERAÇÃO NUMÉRICO-EXPERIMENTAL...33 4.1 Um Ex empl o...33

4.1.1 Dificuldades deste Exe mpl o... ..35

4.2 Porque Interagir... .38

4.2.1 Limitações das Técnicas Experimentais... .40

4.2.2 Limitações das Técnicas Nu méricas... .41

4.3 Superando as Limitações... .43

5. INTERAÇÃO ENTRE HOLOGRAFIA ELETRÔNICA E ELEMENTOS FINITOS. 46 5.1 Holografia Eletrônica... .46

5.1.1 Aspectos Po sitivos... .46

5.1.2 Li mitações... .47

5.1.3 Análise de Erros da Técnica ut il iz ad a.... .. 48

5.2 O Método de Elementos Finito s... 51

5.2.1 Aspectos Po sitivos... .51

5.2.2 Li mi tações... .52

5.3 A Interação Numérico-Experimental . . . . ... .53

5.3.1 Aplicações Tí pi ca s... .54

6. ESTUDO DE C A S O S ... ... ..69

6.1 Viga Biapoiada com Carregamento C e nt ra l ... .69

6.1.1 Análise das Teorias de Estado P l a n o... .70

6.1.2 Modelo Parcial com Condições de Contorno Experimentais . . 73

6.1.3 Modelo Parcial com Ajuste das Condições de Contorno no A p o i o .78 6.1.4 Modelo que Despreza a Região do A p o i o ...80

6.1.5 Modelo Pa rc ia l... .82

6.2 Viga em Ba l a n ç o ... .85

6.2.1 Determinação de Condições de Contorno mais R e a i s .. 86

7. C O N C LU SÕ ES... ... 100

7.1 Reco me nd aç ões... ... 101

7.2 Sugestões para Futuros Tr ab al ho s... 102

Neste trabalho é apresentada uma análise dos diversos

aspectos da análise híbrida de tensões combinando Holografia

Eletrônica e o Método de Elementos Finitos. Mostra-se que através

desta técnica é possível superar diversas limitações que técnicas

numéricas e experimentais apresentam isoladamente.

Discute-se a aplicabilidade da técnica para diferentes

situações, descrevendo-se vantagens e limitações. Diversos exemplos

envolvendo as técnicas de holografia eletrônica e elementos finitos

são apresentados e discutidos.

Os resultados apresentados mostram claramente algumas

vantagens da análise híbrida de tensões em problemas onde métodos

ABSTRACT

This work presents an analysis os several aspects of an Hybrid

Stress Analysis combining Electronic Holography and the Finite

Element Method. By using this technique it is possible to overcome

many limitations of numerical and experimental methods.

The use of this hybrid technique in different applications is

discussed. Its main advantages and limitations are also presented.

Several examples involving finite elements and electronic

holography are presented and discussed.

In order to test the use of the hybrid technique, two problems were

studied. In the first case a polycarbonate beam, subjected to a

central load, was analysed. In the second case an aluminum

cantilever beam was studied. In both problems different approaches

of the hybrid technique were tested. The results show that this

technique is well suited to solve several problems where numerical

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

A análise de tensões em componentes mecânicos pode ser

realizada, em geral, por três métodos básicos : analítico, experimental e numérico. Devido ao tempo consumido e limitações técnicas, o método analítico é utilizado quase que exclusivamente

em problemas de pequena complexidade. Na área numérica, o fortalecimento das bases matemáticas e os grandes avanços da

informática possibilitaram o surgimento de modernos algoritmos computacionais capazes de obterem soluções extremamente rápidas. No lado experimental o desenvolvimento também é bastante acelerado.

Um grande exemplo deste desenvolvimento é o surgimento da

holografia eletrônica, onde a medição de deslocamentos, deformações

e tensões é efetuada através dos modernos, flexíveis e extremamente rápidos sistemas de processamento de imagens.

Apesar do avanço, técnicas numéricas e experimentais

apresentam limitações. Por exemplo, no método de elementos finitos os resultados são fortemente afetados pelas hipóteses e condições de contorno adotadas. 0 desconhecimento ou incerteza na prescrição destas condições limita em muito a confiabilidade dos resultados.

Métodos experimentais, como a holografia, possibilitam a completa determinação do campo de deslocamentos na superfície de uma peça, sem que sejam conhecidas as condições de contorno. Entretanto nenhuma informação pode ser obtida no interior da peça.

Visando reduzir, ou até mesmo eliminar, grande parte das limitações que técnicas numéricas e experimentais apresentam quando

onde, através de procedimentos interativos, são combinadas

informações experimentais com métodos numéricos. Esta nova

filosofia denomina-se análise integrada numérico-experimental ou análise híbrida. Ko bayashi[1], Wheathers[2] e Morton[3] apresentam diversos exemplos onde esta análise foi empregada com bastante êx i t o .

A técnica de holografia eletrônica(HE) e o método de elementos finitos(MEF) são, sob diversos aspectos, complementares.

A correta especificação das condições de contorno e a

confiabilidade do modelo numérico podem ser verificadas pela holografia eletrônica. A caracterização completa do estado de tensões nas peças, inclusive em regiões inacessíveis à holografia, pode ser muito bem cumprida pelo modelo numérico realimentado. Desta forma, através da combinação das técnicas citadas, é possível conferir uma maior confiabilidade e abrangência ao processo global de análise de tensões.

1.1 OBJETIVO DO TRABALHO

0 principal objetivo deste trabalho de dissertação é analisar os diversos aspectos inerentes da análise integrada numérico experimental envolvendo a técnica de holografia eletrônica e o método numérico de elementos finitos. Serão analisados aspectos como: a)viabi 1idade da interação; b)confiabi 1idade dos modelos numéricos, experimentais e híbridos; c) aplicações típicas e; d)implementação prática.

Para atingir tal meta, este trabalho foi organizado da seguinte forma:

a) Capítulos 2 e 3: estudo detalhado das técnicas utilizadas. Este

b) Capítulo 4: estudo genérico da análise numérico-experimental.

Neste capítulo o processo de análise integrada é analisado visando

identificar as características mais importantes do método e que são

relevantes ao trabalho em desenvolvimento;

c) Capítulo 5: Análise da viabilidade da interação entre as

técnicas e estudo de aplicações. Neste capítulo apresenta-se uma

análise de erros da técnica experimental, o que possibilitou um

estudo posterior da influência de tais erros sobre os resultados

da análise integrada. São analisadas as principais aplicações da

análise híbrida HE-MEF.

d) Capítulo 6: Desenvolvimento experimental. Neste capítulo são

apresentados alguns experimentos realizados, visando ilustrar e

avaliar alguns exemplos de aplicação da análise híbrida.

Convém ressaltar que este trabalho, sob certos aspectos,

apresenta um caráter inovador, tendo em vista que não foi obtida

nenhuma referência que aborde diretamente o assunto estudado. Este

fato, de uma certa forma, contribuiu para uma maior motivação no

Ca pí t ulo 2

Holografia Eletrônica

Neste capítulo são apresentados alguns princípios e conceitos

básicos diretamente relacionados com a técnica de holografia

eletrônica. Alguns aspectos referentes à terminologia adotada são

também apresentados e discutidos. Ao final é feita uma rápida

descrição do sistema de medição Estação Holográfica utilizado nas

análises experimentais.

2.1 INTERFERÊNCIA ENTRE DUAS ONDAS

0 fenômeno de interferência entre ondas é o elemento

fundamental para o desenvolvimento de todas as técnicas

interferométricas de medição. Por esta razão será apresentada a

seguir uma breve descrição deste fenômeno, com o conseqüente

equacionamento do mesmo.

0 princípio da superposição de ondas[4], válido para a óptica

linear, estabelece que quando duas ou mais frentes de onda se

interceptam em um ponto, a amplitude total naquele ponto será dada

pela soma das amplitudes complexas individuais.

Por simplicidade de equacionamento, considera-se que as

frentes de ondas mencionadas a seguir são polarizadas na mesma

direção. Em caso contrário, as somas envolvidas deveriam se dar de

forma v e to ri al.

Considerando duas frentes de onda(U1 e U2) incidindo em

U± = i^exp i {2nft + <DX) U2 = i^exp i (2nft + ® 2)

onde :

f = freqüência da onda luminosa

<t>1 e 02 - fases arbitrárias das frentes de onda

U! e u2 = amplitudes individuais

Pelo principio da superposição de ondas, a amplitude total no

ponto de intersecção será :

Ut = U± + U2 (2.3) Substituindo as expressões de U, e U2 na equação 2.3,

obtém-se :

U t = Ujexp +iijexp i(2icft + ® 2) (2.4)

Ut = (u,exp + u^exp i ® 2)exp i2%ft (2.5) A equação 2.5 expressa a amplitude total resultante da

superposição de duas ondas que se interceptam em um determinado

ponto. Quando neste ponto é colocado um fotodetetor, o sinal

captado é a intensidade luminosa(I) resultante da superposição das

ondas. Esta intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude Ut.

Tem-se portanto :

I « U t-Ut = uí + u| + i^Ujitexp - ® 2) + exp -i ( • 1 - <&2)] <2 -6 ) Como :

e x p i í ® ! - ®2) + e x p - i í ® ! -

92) =

(

)

A equação 2.6 resulta então em :

ü t' Ul = Ui + ui +2ulu2c o s ( ® 1 - ® 2) (2.8) A intensidade é proporcional ao produto UtUt* e pode ser

escrita como :

I = J-L + J2 + 2/rnÇcOS - 4>2) (2.9) Onde I, e I2 são as intensidades individuais das ondas

incidentes no fotodetetor.

Nota-se aqui que a intensidade resultante depende da

diferença de fase entre as ondas incidentes e, pode variar entre

um valor máximo dado por I Ii+I2+2( I-,I2)1/2 quando a diferença de

fase for um múltiplo de 2n, a um valor mínimo dado por

Imfn=Ii+I2-2(IiI2)1/2, quando a diferença de fase for it, 3it, ...,

(2n+1)it. Este fenômeno é conhecido como interferência entre ondas

luminosas e está diretamente relacionado com o processo de formação

do speckle que será descrito a seguir.

2.2 O SPECKLE

A imagem de uma peça iluminada pela luz do laser aparenta ter

uma textura granular, contendo pontos claros e escuros. Estes

"grãos" aparentes são denominados speckle, que significa "mancha"

em inglês. 0 speckle pode ser visto tanto a olho nu quanto por

instrumentos ópticos. É uma conseqüência da interferência provocada

pela reflexão simultânea da luz do laser por diversos pontos da

S u p e r f íc ie Rugosa

Figura 2.1 O processo de formação do speckle

O processo de formação do speckle pode ser descrito com

auxílio da figura 2.1. A luz do laser ao incidir em uma superfície

rugosa é refletida de forma difusa em várias direções. Como

conseqüência desta difusão, ocorre a interferência entre os raios

provenientes dos diversos pontos da superfície iluminada. Esta

interferência, quando captada por um observador, dá origem a um

padrão granular aleatório denominado padrão de speckle (fig 2.2).

A natureza aleatória deste padrão de speckle é uma conseqüência da

rugosidade da superfície iluminada.

visualizar a superfície iluminada, cada speckle será formado pela

interferência dos raios difundidos por uma pequena região da

superfície associada ao mesmo. As dimensões de cada speckle e da

região de influência associada são dependentes das características

do sistema óptico utilizado. Por esta razão, estes speckles são

denominados de subjetivos. Quando não há um sistema óptico para

a visualização da superfície, os speckles se formam devido à

interferência generalizada que ocorre entre os raios luminosos

provenientes dos infinitos pontos da referida superfície.

Um estudo mais detalhado da teoria do speckle pode ser

encontrado na referência [6].

2.3 A VARIAÇÃO DA FASE DO SPECKLE

A medição do campo de deslocamentos na superfície de uma peça

torna-se possível graças à mudança na fase de cada speckle desta

superfície, em conseqüência do deslocamento sofrido pela mesma.

Este processo de mudança de fase pode ser facilmente descrito com

auxílio da figura 2.3.

Fonte

Um feixe de luz coerente partindo de uma fonte S, incidindo

na superfície no ponto P e dirigindo-se ao observador 0, descreve

o caminho óptico dado por SP+PO. A fase da luz que incide no

observador depende do número de comprimentos de onda percorridos

pela luz ao descrever a trajetória acima citada. Desta forma, a

fase final no ponto de observação será dada por :

Gjj = -

2

”

(s>Kí

+

PO-Kz) +9i

(

₂

.

₁₀

)

Onde :

X = comprimento de onda da luz incidente

<t> = fase arbitrária no ponto S

R, e i? 2 = vetores unitários

Ao sofrer um deslocamento d, o ponto P assume uma nova

posição P ’. A luz, após percorrer a nova trajetória S P ’0, atinge

o observador com uma fase dada por:

A mudança de fase, decorrente do deslocamento do ponto P, é

dada pela diferença entre as fases final(0f) e inicial (fy). Esta

diferença resulta em :

A4> = — Ojr ( 2 . 1 2 )

A < X > = - ^ ( S P - K j + ~FÒ-Ki - ~5P-Z± - T Õ - K J ( 2 . 1 3 )

Como os deslocamentos são muito pequenos comparados com as

distâncias envolvidas, pode-se considerar R, « Rs e R2 « R4 . tem-se

então:

Analisando a figura 2.3 verifica-se que :

sp» - sp

= a

p’o -

= -a

A equação 2.16 mostra que a variação da fase do speckle está

diretamente relacionada com a componente do deslocamento na direção

do vetor sensibilidade. Este vetor é definido pelas coordenadas da

peça, pontos de iluminação e observação. 0 vetor sensibilidade é

portanto, um parâmetro geométrico que define o quanto a fase do

speckle irá variar, em conseqüência do deslocamento sofrido pela

superfície iluminada.

2.4 HOLOGRAFIA ELETRÔNICA

Por ser bastante recente, não existe ainda, a nível

internacional, uma uniformidade quanto a denominação da técnica de

medição utilizada neste trabalho. Alguns autores[7 e 8] utilizam

a denominação Interferomet ria Eletrônica de Padrão de Speckle

(ESPI), outros autores [9] usam o termo Holografia de TV (TV Holo gr ap hy ). Há ainda autores que usam a denominação

Neste trabalho adota-se a denominação de Holografia Eletrônical^O e 11] para designar a técnica de medição que será

descrita nos itens a seguir.

2.4.1 0 MAPA DE FRANJAS

A holografia eletrônica é uma técnica onde o padrão de

speckle da superfície a ser medida interfere com uma onda luminosa

de referência, seja esta originada diretamente do laser ou

proveniente de um outro padrão de speckle. Esta interferência é

captada por uma câmera de TV dotada do chamado CCD (Charge Coupled

Device). 0 CCD[12] é um sensor formado por um conjunto de elementos

fotossensiveis que captam a intensidade luminosa que atinge a

câmera e a transformam em um sinal elétrico proporcional. Este

sinal elétrico proveniente do CCD é velozmente processado por um

sistema eletrônico de processamento de imagens que torna o processo

de medição bastante rápido e eficiente.

Duas imagens deste padrão de interferência são^ obtidas em

instantes diferentes e referentes às configurações indeformada e

deformada da superfície a medir. A equação 2.9 expressa as

intensidades luminosas de cada ponto associado ao padrão de

interferência captado nestas imagens.

Considerando-se, respectivamente, Ij e If as intensidades

luminosas associadas aos speckles das imagens das superfícies

indeformada e deformada, tem-se:

c o s ( A ® ) ( 2 . 1 7 )

Onde :

<t> = 0, - <t>2 = defasagem entre as ondas incidentes õ = mudança de fase devido ao deslocamento da superfície

Analisando a correlação entre Ij e If verifica-se q u e : [13] a) A correlação é máxima quando õ=2nn . Neste caso Ij = If.

b) A correlação é mínima quando õ=(2n+1)n. Neste caso Ij = -If.

Com base na constatação acima e verificando ainda que a

mudança de fase ocorre de forma contínua com o

de sl oc amento(eq.2.16), conclui-se que, ao se fazer a subtração das

imagens obtidas, as regiões onde a correlação for máxima (I| = If)

resultarão em diferença nula, enquanto que nas regiões onde a

correlação for mínima o módulo da diferença será máximo. Nas outras

regiões, onde a correlação não for nem máxima nem mínima, a

diferença assumirá valores intermediários. Em decorrência deste

processo, regiões claras(máxima diferença) e escuras(mínima

diferença) se formarão na imagem final. Estas regiões são

denominadas franjas de interferência e a imagem final é denominada

de mapa de franjas (fig.2.4).

2.4.2 CONFIGURAÇÕES UTILIZADAS

Dois tipos de configuração podem ser utilizados para a

obtenção dos mapas de franja utilizados na holografia eletrônica:

a) Iluminação simples e; b) Iluminação dupla.

a) Iluminação simples : (Fig. 2.5)

Este tipo de configuração é utilizado, em geral, para a

medição de deslocamentos normais à superfície iluminada. Somente

um feixe de luz ilumina a peça a medir, enquanto que um outro

feixe, denominado de feixe de referência, formado por um outro

padrão de speckle ou frente de onda qualquer, ilumina um dos braços

do interferômetro(espelho parcial) onde ocorre a superposição entre

o feixe proveniente da peça com o feixe de referência.

a) Iluminação de superfície de referência b) Feixe de referência diretamente na câmera

A superfície ao se deslocar promove a variação da fase dos

speckles de acordo com equação 2.16 e, como o próprio nome já diz,

o feixe de referência permanece inalterado,ou seja, não sofre

variação de fase. As franjas que se formam na imagem final são, por

conseguinte, resultantes da mudança na fase dos speckles devido ao

deslocamento da superfície a medir e não sofrem influência do feixe

de referência. Esta mudança de fase é expressa pela equação 2.16.

Assim sendo, para as regiões escuras do mapa de franjas, onde

a correlação entre os speckles antes e após a deformação for

máxima, tem-se :

í £ - P - d = 2 n n (2.19)

P • ã = Xn (2.20)

O n d e :

P é o vetor sensibilidade dado por :

P = £„ + jcj_ ■ - (2.21)

R0 e R, são vetores unitários relativos às direções de observação e iluminação, respectivamente.

n é denominado ordem de franja, está associado à defasagem sofrida pelo speckle e pode ser determinado a partir da análise dos mapas de franja.

Usualmente o vetor sensibilidade é quase normal à superfície do objeto a medir. Por esta razão, a iluminação simples é mais

apropriada para medição da componente normal à superfície

considerada.

A equação 2.20 foi obtida considerando apenas os pontos da

apenas valores inteiros. Quando a correlação não é máxima a

equação 2.20 continua válida, porém a ordem de franja assume valores fracionários mais difíceis de serem obtidos.

Tipicamente o vetor deslocamento é completamente desconhecido

e apresenta componentes nas três direções ortogonais. Assim sendo,

com apenas um mapa de franjas não é possível a completa

determinação deste vetor deslocamento. São necessários, no mínimo, três diferentes mapas de franjas, associados a três vetores

sensibilidade diferentes e linearmente independentes. Isto

possibilita que seja obtido um sistema de equações que quando

resolvido resulte no vetor deslocamento medido. 0 sistema de equações resultante é dado por :

• 3 =

P, • 3 = kOF2 (2.22)

P3 • 3 = kOF%

Onde Pj e OFj são vetores sensibilidade e ordens de franja

associados ao i-ésimo ponto de iluminação.

b) Iluminação dupla: (fig. 2.6)

Esta configuração é utilizada, em geral, para possibilitar a

medição de deslocamento paralelos a superfície a medir. A

superfície a medir é iluminada por dois feixes de luz que geram,

cada um, um padrão de speckle. Estes padrões interferem entre si,

gerando um novo padrão de speckle que preserva as mesmas

características dos padrões originais.

Quando a superfície se move, os padrões de speckle, relativos

a cada feixe de iluminação, sofrem uma defasagem alterando assim

PONTO DE ILUMINAÇÃO1

CAMERA OCO

SUPERFÍCIE

A MEDIR PONTO DE ILUMINAÇÃO 2

Figura 2.6 Iluminação dupla

Para os feixes 1 e 2(fig.2.6) as defasagens são dadas por:

(2.23)

», - - ^ 4 • a (2.24)

Onde :

P-j — Ri - R3 e P2 - 1*2 “ ^ 3

A fase inicial do padrão de speckle é dada por:

- # 2 (2.25)

Após o deslocamento da superfície a fase final do padrão de

interferência será :

= (*, ♦ Ôx) - (®2 + Ô2)

Subtraindo os valores de <Df e <t>j , obtém-se a defasagem final:

A 4» = - ® i = Ôi - ô2 (2.27)

Substituindo as expressões de õ ^ e q . 2.23) e õ2 (eq.2.24) na

equação 2.27 obtém-se :

A G = [(Px - P2) •3] ( 2 . 2 8 )

A = 2 * p • d (2.29) Onde :

P = P, - P2 = R, - R2 (2.30)

Ao se analisar o mapa de franjas obtido com esta configuração

chega-se à equação 2.31, que é bastante similar à equação 2.20,

diferindo apenas na obtenção do vetor sensibilidade. Para a medição

de um vetor deslocamento com três componentes também é necessária

a obtenção de, no mínimo, três mapas de franja para se obter um

sistema equivalente ao apresentado na equação 2.22. A equação 2.31

é dada por :

P • B = X O F (2.31) Onde P é dado pela equação 2.30.

2.4.3 ILUMINAÇÃO MISTA

Em uma situação genérica, o campo de deslocamentos de uma superfície qualquer apresenta componentes nas três direções ortogonais. Isto significa que devem ser medidos deslocamentos tanto no plano quanto na direção normal à superfície considerada.

Nestes casos é recomendável o uso de uma i Tuminação mista[ 1 4], onde em uma só montagem experimental são combinadas iluminações simples e duplas. A iluminação mista é extremamente interessante pois

combina a maior sensibilidade a deslocamentos normais da iluminação simples, com a elevada sensibilidade que a iluminação dupla apresenta aos deslocamentos no plano da superfície a medir.

Combinando as equações obtidas para iluminação

s i mp le s( eq.2.20) e iluminação du pl a( eq.2.31), em um único sistema de equações, obtém-se :

= ÀÍOft (2.32)

Onde [P] é a matriz de sensibilidade combinada e é dada por:

« 3 p iy * 1 * II -■1 ? 2 x & 2 y P 3X P 3 y p 3 * . Onde :

p

j

+ £ ,

para iluminação simples

^

1

£ - JE,

paia iluminação dupla

2 . 4 . 4 O MÉTODO DO DESLOCAMENTO DE FASE (PHASE SHIFTING)

Os mapas de franjas descritos anteriormente apresentam duas

desvantagens: a) baixa visibilidade devido à superposição de

speckles aleatórios sobre a imagem final, reduzindo a relação

sinal/ruído e; b) dificuldade na determinação da ordem de franja

fracionária, pois é necessário obter os pontos de máxima e mínima

correlação entre os campos de speckle, além da necessidade de

Uma forma de eliminar as dificuldades acima e aumentar a

confiabilidade dos resultados experimentais é através do método do

deslocamento de fase( Phase Shifting ). Este método possibilita a

determinação da fase relativa, resultante da interferência entre

duas frentes de onda.

Diversos tipos de deslocamento de fase são descritos na

literatura técnica[15]. Nos experimentos realizados durante este

trabalho utilizou-se o método de quatro passos descritos por [16].

Quando duas frentes de onda interferem, a intensidade final

é dada pela equação 2.9. Se uma das frentes de onda sofrer

variações de fase de 0, 90, 180, 270 graus, provocadas, por

exemplo, por um microdeslocamento de um espelho, as intensidades

resultantes tornam-se respectivamente:

I 0 = i , + i 2 + ( i , l 2) 1/5fcos(A<t>)

Ig0 = I, + I2 + (I, I2)1/ícos(A<t> + 90)

1,80=1! + I2 + (I, I2)1/SCOS(A<t> + 180) I270 =Ii + I2 + (I, I2)1/^cos(A4> + 270)

As equações acima podem ser combinadas de modo a resultar na tangente de Aí :

C g A $ = J 2 7 0 _ J a o •Tn 0 180An (2.34) e A © = ai ct g( ^? 2— " -*iAn (2.35)

Desta forma é possível calcular a fase de em padrão de speckle, simplesmente defasando um dos feixes de 0, 90, 180 e 270 graus e operando com as imagens resultantes de cada passo de

defasagem. Calculando a fase dos padrões de speckle nas configurações deformada e indeformada, e subtraindo estas duas quantidades obtém-se o chamado mapa de fase(fig.2.7) que representa a defasagem provocada pelo deslocamento da superfície medida. Este mapa de fase pode ser analisado e, em conjunto com as equações 2.32, resultar na determinação do campo deslocamentos da peça.

Figura 2.7 0 Mapa de Fase

2.5 A ESTAÇÃO HOLOGRÁFICA

Sintetizando o que foi descrito nos itens anteriores conclui-

se que para a medição de deslocamentos utilizando a holografia

eletrônica são necessários :

a) Iluminação da peça com luz coerente e a partir de ângulos

conheci d o s ;

b) Captar os padrões de speckle das superfícies medidas;

c) Calcular a fase dos speckles;

d) Subtrair imagens;

A estação holográfica (fig 2.8) é um sistema de medição que

integra todas as operações acima citadas, visando flexibilizar todo

o processo de montagem, execução, processamento e análise de

resultados[17].

Este sistema pode ser dividido em duas partes : a) hardware

e; b) software. 0 Hardware é composto por laser, fibras ópticas e

suportes fixadores, um espelho montado sobre um microdeslocador

tipo piezoelétrico (PZT), placas de processamento de imagens,

câmera CCD e monitor de TV, entre outros elementos.

0 software do sistema, intitulado SINTHE 3.0, é composto por

diversos módulos que possibilitam a realização de diversas

operações, tais como : a) visualização de franjas ao vivo; b)

obtenção de mapas de fase; c) cálculo de deslocamentos,

deformações e tensões; d) análise de resultados através de

gráfi c o s .

Na figura 2.9 apresenta-se um diagrama de blocos da estação

holográfica referentes a medições utilizando iluminações simples

Capítulo 3

O Método de Elementos Finitos

0 comportamento dos sistemas físicos comumente encontrados na

mecânica estrutural, termodinâmica, fluidos , entre outras áreas,

pode ser aproximadamente descrito através de equações diferenciais

parciais que relacionam as diversas grandezas e suas influências

sobre o sistema. Estas equações, em geral, são bastante complexas

e as soluções por meios puramente analíticos podem se tornar

difíceis, incompletas ou até mesmo impossíveis. Surge então a

necessidade da obtenção de soluções aproximadas que representem,

da melhor forma possível, o comportamento do sistema em estudo. 0

método de elementos finitos é um processo numérico que possibilita

a obtenção de tais soluções aproximadas[18].

Neste método as equações diferenciais que descrevem o problema são transformadas em um sistema de equações algébrico cujas incógnitas podem ser deslocamentos, tensões ou outras variáveis quaisquer, denominadas graus de liberdade.

3.1 AS APROXIMAÇÕES DO MÉTODO

Conforme descrito, o método de elementos finitos(MEF) visa a

obtenção de soluções aproximadas para um determinado sistema de

equações diferenciais. Estas equações devem ser satisfeitas no

domínio e também devem ser atendidas as condições de contorno do

problema. Tipicamente, necessita-se resolver um sistema de equações

A(u) + q = 0 no domínio ( fi ) (3.1 a)

B(u) + b = 0 no contorno (

r

Onde A e B são operadores apropriados, q e b são funções

vetoriais conhecidas e u uma função vetorial desconhecida, que se

pretende determinar.

No método de elementos finitos, o domínio do problema é

dividido em subdomínios menores( elementos finitos ), definidos por

meio de nós (fig. 3.1). Dentro destes elementos a função u

desconhecida é aproximada por uma combinação linear de funções de

interpolação(1ineares, quadráticas, etc), ponderadas por parâmetros

nodais (eq. 3.3). Assim, o valor da grandeza u em cada ponto é

aproximado pela soma :

_ (3.2)

Onde: N;= funções de interpolação

U; = parâmetros nodais

Existem diferentes possibilidades para a escolha das funções

de interpolação, entretanto algumas restrições são necessárias para

a obtenção de uma solução convergente e precisa[20].

A transformação do sistema de equações (3.1) em um sistema

algébrico de equações é possível através da utilização dos métodos

de resíduos ponderados ou de Rayleigh-Ritz[21], sendo este último,

o mais utilizado na área de análise estrutural.

0 método de Rayleigh-Ritz envolve a utilização de princípios

variacionais para possibilitar a obtenção das soluções aproximadas.

Os princípios variacionais usam os chamados "funcionais" que são

expressões integrais contendo implicitamente as equações

diferenciais do problema. Atualmente existe um grande número de

princípios variacionais que podem ser aplicados a uma grande

variedade de problemas. Dentro destes princípios pode-se citar os

da energia potencial estacionária, mínima energia complementar e

energia complementar modi ficado.

Um estudo mais detalhado sobre princípios variacionais pode ser

encontrado na referência [22].

Por ser um dos princípios variacionais mais utilizados no MEF,

o princípio da energia potencial estacionária será descrito,

visando ilustrar uma das mais conhecidas equações do método,

denominada aqui de equação básica para a análise estática de

estruturas.

3.2 A EQUAÇÃO BÁSICA

A energia potencial total de um corpo linearmente elástico

compõe-se de duas parcelas: a) energia de deformação elástica e ;

b) energia potencial das cargas aplicadas ao corpo. Matematicamente

esta energia é expressa pela equação (3.3) abaixo,

Onde :

U é a energia de deformação elástica, dada por :

U = f (l{e}t [S\ íe} - (e}t [JS1 {e0} + feHco}) d Ü (3.4) vú £»

W é a energia potencial das cargas aplicada, dada por :

W = - firi Hâ dü - J íiifyJdT - {riHi* (3.5) e

{u} = vetor deslocamento

{e} = [ex ey ez Yxy Y yz Yxz] tensor deformação {e0} = vetor de deformações iniciais

{ct0 } = vetor de tensões iniciais CE3 = matriz constitutiva

{F } = [fx fy fz]t vetor de forças de corpo {$} = vetor de trações superficiais

{D} = graus de liberdade nodais

{P } = cargas externas aplicadas(concentradas) T, Q = superfície e volume do corpo

Como já visto, no MEF o campo de deslocamentos no interior de

um elemento é expresso por uma combinação linear das funções de

interpolação, ponderadas pelos parâmetros nodais, através da

equação (3.1). Esta equação pode ser escrita em forma matricial,

resultando em :

íii = [J\fl ídJ (3.6)

o n d e :

{u} = vetor deslocamento

[ N ] = matriz de funções de interpolaçõo

onde :

Derivando a equação (3.6) obtém-se as deformações:

íe} = [3] íuí (3.7)

[d] é um operador diferencial matricial e é dado por :

[d] = d dx 0 0 0 _d_ dy 0 0 0 _ a dz _ Õ _ n dy dx \J f i _d_ d U dz dy _ a n _d_ dz U dx ( 3 . 8 ) Substituindo ( 3.6 ) em ( 3.7 ) obtém-se lei = [B] Icff (3.9) onde :

[B]

Substituindo (3.6) e (3.10) nas expressões de energia (eq. 3.3, 3.4, 3.5) obtém-se a expressão aproximada para a energia

pot enci a l :

n. =

- £ « ‘„ir;, - w*w

(3.11)

n = 1, nS de elementos

{re}n = vetor tor de carga do elemento dado por:

A equação 3.11 pode ser reescrita na forma:

n_ =

_*

-

K

M

2 (3.1 2)

Onde :

[K] = I [k]n = matriz de rigidez global

[R] = I [fe]n + [P] = vetor força generalizado

Os somatórios acima descrevem a passagem dos vetores e da

matriz de rigidez do elemento para os vetores carga e matriz de

rigidez da estrutura global. Neste processo os graus de liberdade

do elemento {d} passam a fazer parte do vetor de graus de liberdade

global {D } e, as contribuições de cada elemento são levadas em

conta na montagem de matriz de rigidez global. A aplicação do

princípio da mínima energia potencial possibilita que a equação

seja transformada em um sistema de equações algébricas cujas

incógnitas são os graus de liberdade nodais. Este princípio

estabelece que [21]: " Entre todas as cofigurações admissíveis de

um sistema conservativo, aquela que satisfaz as equações de

equilíbrio torna mínima a energia potencial do sistema, com

respeito a pequenas variações admissíveis do deslocamento".

Matematicamente o princípio da energia potencial estacionária

resulta em :

Aplicando então o princípio da energia estacionária à equação

3.13, obtém-se :

o - ÍdKr}

= 0 (3.1 4)

ÕD

( 3 . 1 5 )

[jeitaJ - ütf = o

A equação (3.16) é a chamada equação básica do método de

elementos finitos.

3.3 ASPECTOS DE MODELAGEM

Rosa e Al be rt az zi[23] descrevem o processo de análise de

sistemas físicos por métodos numéricos, comentando as diversas

etapas decorrentes desse processo. Resumidamente estas etapas

envolvem ( Fig 3.2 ):

a) Geração de um modelo de referência :

Nesta etapa analisa-se o sistema de modo a captar todos os

fenômenos, variáveis e aspectos importantes que influenciam no

comportamento do mesmo. Gera-se assim um modelo inicial do sistema.

Ressalta-se aqui que nesta etapa não devem ser feitas

simplificações pois algumas variáveis importantes poderiam ser

desprezadas, o que levaria a resultados incorretos.

b) Geração de um modelo matemático :

Partindo-se do modelo de referência deve-se gerar o modelo

sistema estão interelacionadas e como influenciam no comportamento

do mesmo. Algumas simplificações podem ser feitas de modo a

facilitar a geração do modelo matemático. Nestas simplificações os

fenômenos que tem pouca ou nenhuma influência sobre o sistema são

desprezadas. Exige-se no entanto um grande senso crítico do

analista para que ele possa desprezar os fenômenos realmente

irrelevantes, sem introduzir erros cansideráveis. O modelo

matemático obtido, geralmente constitui-se de equações diferenciais

parciais ou ordinárias.

c) Geração de um modelo numérico :

Como já citado, as equações diferenciais do problema, em

geral são de difícil solução e por isso são necessários

procedimentos numéricos para a obtenção de solução aproximadas.

Neste processo gera-se um modelo numérico que deve se adequar da

melhor forma possível aos modelo de referência e matemático, dando

condições para que a solução do problema seja bastante próxima da

solução i d e a l .

d) Solução numérica :

Este processo envolve o processamento do modelo numérico de

modo a resultar na solução do sistema de equações envolvido.

e) Análise de resultados :

Nesta etapa os resultados devem ser analisados de forma

crítica, verificando se há coerência nos mesmos, através da

Isto possibilita ao analista verificar se o modelo é confiável para

que possa então analisar os resultados do ponto de vista de

engenharia, ou seja, tomar conclusões sobre o comportamento do

sistema a partir dos resultados obtidos.

Uma outra etapa seria, a partir dos resultados obtidos, fazer

uma realimentação com as etapas anteriores, buscando otimizar os

modelos de referência, matemático e numérico.

idealizações do sistema, retendo as

informações relevantes

equações que regem os fenômenos

descritos no modelo de referência

discretização do domínio para

viabilizar a solução numérica

apresentação de resultados

interpretação de resultados

Figura 3.2 Seqüência de modelos que levam a uma solução numérica [ref. 23]

Como foi visto, em cada uma das etapas anteriores são feitas

diversas aproximações e simplificações visando tornar o problema

mais fácil de ser analisado. Estas aproximações são, obviamente,

geradoras de erro nos resultados finais. É importante que o

analista tenha experiência suficiente para conhecer a influência

Capítulo 4

In tera ção Numérico-Experimen tal

diversos aspectos relativos a análise integrada numérico-

expe ri me nt al. Alguns exemplos ilustram certas limitações das

técnicas numéricas e experimentais quando utilizadas isoladamente.

Será mostrado que através da análise híbrida é possível superar a

maioria destas limitações, obtendo subsídios para uma análise mais

confiável dos sistemas físicos ora estudados.

4.1- UM EXEMPLO: " ANÁLISE DE PLACAS FINAS APOIADAS EM BASE NÃO

ELÁSTICA E SUBMETIDAS A GRANDES DEFLEXÕES M

Na figura 4.1 são apresentadas várias tipos de placas

circulares sob diversas condições de carregamento. A análise destes

problemas torna-se bastante complicada quando as deflexões são

quase da ordem ou maiores do que a espessura das placas. 0 grau de dificuldade aumenta quando as forças de atrito na interface entre

a placa e a base devem ser consideradas no modelo do problema.

Nestes casos a teoria clássica de placas finas[24] não pode

ser empregada pois deve-se considerar as tensões de membrana

decorrentes das grandes deflexões a as forças de atrito, além da

não linearidade do material da base. Laermann [25], utilizando uma

teoria não linear de placas, chega a um sistema de equações

B W w

=

hL(w,F)

-

• §^

-d r 2

2 ar2

+

Pa - P

F = função tensão de Airy

= função associada às tensões de atrito(t)= ít(r)dr

Pa = tensão normal de contato

P = carregamento externo

E, v = módulos de elasticidade e Poisson

B = rigidez de flexão da placa

r = coordenada radial da placa

L { a ,b ) =

= &a

• 1

+ 1

da

.

cPb

d r 2

x dz

x d i

d i 2

'

f

F i g u r a 4 . 1 V á r i o s t i p o s de p l a c a s s u p o r t a d a s em b a s e s não e l á s t i c a s (d a r e f . [ 2 5 ] )

4.1.1- DIFICULDADES DESTE EXEMPLO

O modelo matemático da placa circular (Eq. 4.1 e 4.2)

considera internamente as influências das forças normal e de atrito

decorrentes da interação entre a placa e a base. Assim, torna-se

necessária a elaboração de um modelo matemático também para a base,

visando obter uma terceira equação que em conjunto com as equações

já obtidas, possibilite a solução do problema em questão.

Obviamente este modelo não é tão simples de se obter, além disso

as equações obtidas poderiam ser tão complexas que

impossibilitariam qualquer tentativa de solução sem que fòssem

feitas algumas simplificações e suposições sobre o comportamento

do sistema. Uma destas simplificações seria considerar que as

reações normais são proporcionais à deflexão w (Eq 4.4), ou seja,

despreza-se a não linearidade da base, supondo um comportamento

elástico para a mesma. Neste caso seria necessário conhecer a

constante de proporcionalidade k.

A equação 4.4 é dada por:

Pa=kw (4.4)

onde

w = deflexão da placa

k = constante de proporcional idade

Esta simplificação pode induzir a erros significativos,

principalmente quando a não linearidade da base for de grande

magnitude.

Resumidamente pode-se dizer que neste problema encontram-se

duas dificuldades fundamentais:

a) Necessita-se modelar a base e sua interação com a placa;

Não seria difícil pensar que sem um modelo para a base a

solução do problema seria impossível. A seguir será apresentado o

procedimento descrito por Laermann, onde, através da combinação de

técnicas numéricas com métodos experimentais, chega-se a solução

completa do problema em questão, sem a necessidade de modelagem da

b a s e .

4.1.2 A SOLUÇÃO

Aplicando o método das diferenças finitas às equações 4.1 e

4.2 foi obtido um sistema algébrico de equações dado por[25]:

B[D]{m) = - (P.) + (P) (4.5)

* r a

[D]({nr) + (n,)+ra [A](t)) = -Eh[w'] (w") ( [aj -v [ ^ ] ) (t) (4.6) onde :

[D] = matriz dos coeficientes de V 2

[A], [ A ■( ], [A2] = matrizes associadas a (<t>), ( $ ’) e (<t>"), respect ivãmente

(m) = vetor resultante de

fnrJ e fn,J = matrizes diagonais dos esforços de membrana Através da técnica de fotoelasticidade são obtidos os valores

de :

(r) = i^ (r) + O(r)

(

.

)

N^(r) = N 9 (r) + <& (x) (4.8) w ’ e w" podem ser obtidos a partir da técnica de Moi ré.

Substituindo estes valores na equação 4.6 obtém-se as tensões de

o n d e :

m = r a [ D ] U ) + - ^ ( [ ^ 1 - v U J ) ( 4 . 8 )

Após calcular (t), pode-se obter os valores de Nr e Nf através

das equações 4.7 e 4.8, respectivamente. Desta forma, todas as

variáveis da equação 4.5 são conhecidas, exceto as tensões normais

de contato que podem ser então determinadas :

(P) = (Pa)

- B

[D] (W' + w")

[njw"

w'

_{zx a}

0 procedimento descrito acima foi aplicado a uma placa de

material fotoelástico apoiada em uma base de borracha. Os

resultados obtidos são apresentados nas figuras 4.2 e 4.3.

(t) = (n; + n^) + Eh[w']-(w")} (4.7)

Fig. 4.2 Tensões de flexão(crB) e tensões de membrana (oM)

ref. [25]

Fig. 4.3 Tensões de contato p e t. (as linhas tracejadas

denotam as incertezas associadas ao experimento e ao cálculo numérico)

4.2- PORQUE INTERAGIR

Atualmente os métodos numéricos e experimentais são

largamente utilizados nas diversas áreas da ciência, possibilitando

a solução de um grande número de problemas. Entretanto,

isoladamente estas técnicas apresentam limitações que podem

dificultar, ou mesmo inviabilizar, a análise de problemas cujo grau

de complexidade é mais elevado. Ressalta-se que a complexidade dos

problemas pode se elevar por diversos fatores, tais como: a)modelo

matemático de difícil solução; b)desconhecimento das propriedades

dos materiais envolvidos; c)desconhecimento das condições de

contorno do problema ; d)geometrias complexas; e)dificuldade em

reproduzir experimentalmente o carregamento desejado;

f)dificuldades em analisar experimentalmente toda a peça de

interesse, entre outros.

Como foi visto no capítulo 3, para a análise de um sistema

físico qualquer, é necessária a elaboração de modelos físicos e

matemáticos que visam descrever o fenômenos associados àquele

sistema, de modo a possibilitar que seja determinada a resposta do

mesmo às diversas fontes de excitação existentes. Em geral, é

impossível modelar perfeitamente o sistema considerando todas

variáveis associadas ao evento físico real, seja por

desconhecimento de alguns fenômenos ou por dificuldades na

resolução das equações matemáticas resultantes deste modelo. Como

conseqüência deste fato, suposições e simplificações, de diversos

níveis, devem ser introduzidas de modo a tornar o modelo

operacional, ou seja, passível de solução. 0 modelo obtido é apenas

uma aproximação da realidade, não se tendo garantia alguma da

obtidos com uma análise matemática qualquer deste modelo são

completamente incertos, a despeito do uso de modernos métodos

numéricos e sofisticados computadores.

Na análise experimental são utilizados modelos físicos mais

realísticos dos sistemas estudados. Estes modelos físicos podem ser

o próprio sistema, parte dele, um modelo reduzido ou um outro

sistema físico análogo ao estudado. É interessante notar que

freqüentemente a informação obtida não corresponde diretamente à

variável desejada e, portanto, devem ser introduzidos modelos

matemáticos que correi acionam as informações medidas com as

grandezas desejadas. Estes modelos matemáticos também podem conter

algumas aproximações, como no caso da análise de tensões através

da extensômetri a, onde a determinação de tensões é féita com o uso

de equações constitutivas que, em muitos casos, apresentam

aproximações do comportamento do material em análise. Isto mostra

que apesar de utilizar modelos físicos mais realistas, as técnicas

experimentais também apresentam aproximações e incertezas

associadas, entretanto o nível destas incertezas é, em geral, bem

mais reduzido.

As considerações da análise acima mostram que, por mais

sofisticadas que possam ser, técnicas numéricas e experimentais

apresentam limitações e deficiências quando utilizadas de forma

independente. Deste fato, surge uma nova metodologia de análise,

denominada de Análise Numérico-Experimental, ou análise

híbrida[26], onde através da combinação de técnicas numéricas e

experimentais é possível aproveitar os aspectos positivos e

A seguir são apresentadas as principais limitações de cada

método e, posteriormente, discutidas as alternativas para

superá-1 a s .

4.2.1- LIMITAÇÕES DAS TÉCNICAS EXPERIMENTAIS

No problema ilustrado anteriormente as tensões e deflexões

envolvidas foram determinadas através das técnicas de

fotoelasticidade e Moiré. Estas técnicas, no entanto, não

possibilitaram a determinação direta das forças normais e de atrito

decorrentes da interação entre a placa e a base. Necessitou-se o

uso de um método numérico para que tais forças fossem determinadas.

Este fato ilustra uma das principais limitações das técnicas

experimentais: " Raramente um método experimental possibilita a

análise completa de um determinado problema " [27]. Em síntese,

isto significa que, em geral, são necessários mais de um método

experimental para possibilitar a solução completa de um dado

problema.

Outras limitações das técnicas experimentais são :

a) Necessidade do uso de instrumentos e equipamentos, em geral,

bastante caros e inacessíveis a muitos analistas;

b) As análises experimentais são mais caras e demoradas que as

análises numéricas. Os ensaios experimentais devem ser

cuidadosamente planejados e executados para que se possa garantir

a confiabilidade dos resultados obtidos. Este fato dificulta o processo de desenvolvimento e/ou otimização de uma determinada peça

ou produto, pois não é tão simples alterar o projeto e novamente

medir experimentalmente as conseqüências dessas alterações. Além

análises experimentais, o que aumenta bastante os custos finais do

p r o c e s s o ;

c) Tipicamente os resultados experimentais apresentam pequenos

erros sistemáticos e potencialmente grandes erros aleatórios. Estes

erros aleatórios podem vir a dificultar um processamento posterior

dos dados como, por exemplo, uma derivação numérica.

d) Quando é necessário o uso de modelos de peças surgem

dificuldades e erros adicionais, pois um modelo nunca consegue

representar perfeitamente a peça ou fenômeno em estudo. Este é o

caso da técnica de fotoelasticidade onde são necessários modelos

fot oe lásticos que, por não serem feitos do mesmo material das peças

em análise, não representam fielmente os fenômenos que ocorrem em

uma peça real. É também o caso quando modelos reduzidos da peça ou

sistema de interesse tem que ser usados.

e) Algumas técnicas experimentais apresentam valores localizados

para as grandezas medidas, como é o caso da extensômet ri a, que

apresenta resultados quantitativos excelentes. A determinação dos

pontos críticos de uma peça em análise pode ser muito penosa e

normalmente é efetuada por combinação com outras técnicas

experimentais quantitativamente deficientes mais qualitativamente

superiores à extensômetri a , o que pode tornar o processo caro e

demorado.

4.2.2- LIMITAÇÕES DAS TÉCNICAS NUMÉRICAS

Em síntese as principais limitações das técnicas numéricas

são:

a) A precisão dos resultados é fortemente afetada pelas hipóteses e condições de contorno adotadas durante o modelamento. Muitas

vezes, ao se elaborar um modelo numérico podem ser utilizadas hipóteses e/ou condições de contorno não condizentes com o modelo real. Pode-se, por exemplo, analisar uma placa sob grandes deflexões usando uma teoria linear. Resultados serão obtidos, porém a confiabilidade dos mesmos será muito baixa. Isto é, grandes erros sistemáticos podem estar presente porém apenas pequenos erros aleatórios são esperados;

b) Necessita-se um conhecimento prévio do comportamento, bem como das propriedades dos materiais envolvidos. A solução do problema apresentado ( 4 . 1 ) não seria possível sem que um modelo para a base fosse gerado considerando todas as suas influências sobre a p l a c a ;

c) Simplificações no modelo são muitas vezes necessárias para

possibilitar a solução numérica (vide 4.1 e 4.2). Estas

simplificações podem prejudicar seriamente os resultados, caso não sejam feitas de forma sensata, considerando-se suas influências sobre os resultados finais;

d) Não se conhece, a priori, o nível de erros nos resultados, pois este são dependentes do grau de refino das malhas adotadas, dos

elementos utilizados, e das teorias adotadas, entre outros

a s pe c t o s .

Ao analisar as limitações acima percebe-se que para se realizar uma análise numérica é necessário que o analista possua uma grande experiência para que possa ponderar os diversos parâmetros envolvidos (malha, elementos, tipo de análise, etc.) de modo a possibilitar uma solução condizente com o que se deseja, ou seja, obter uma solução com uma relação custo/benefício ótima. Vale ressaltar que quanto mais precisos os resultados mais alto será o custo da solução.