Tópicos de Ensino de Matemática, O Conceito de Fração, vol. 3, 1990.

VOLUMES DA SÉRIE

TÓPICOS DE ENSINO DE MATEMÁTICA

1

-

Números Naturais

2 -

Geometria

I

3

-

O Conceito

d e Fração

4 -

Operações c om Números Fracionários

6

-

O Problema da Medida

6 -

Números De cimais

7 -

Geometria"

8

-

Números Int eiros

9

-

Cálculo Lite ral

10 -

Equações d e 12

Grau

11

-

Sistemas de Equações de 12

Grau

12

-

Proporciona lidade

13

-

Geometria I

"

,

metros

,

14

-

Areas

e Pen

acionais

16 -

Números Irr

16

-

Equações d e 22 Grau

DELTA XIS

EDITORA L TOA

Ox

Rua: Maria Lu

13100

-iza Missio Mingone, 1

84

Campinas

-

SP.

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-MATEMATICA

3

-

O Conceito de Fração

Delta Xis Editara Ltda

ADAIR MENDES NACARATO ANTONIO MIGUEL

MANOEL AMARAL FUNCIA MARIA ÂNGELA MIORIM

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I

Desde 1982, um grupo de professores de Matemática de Campi-nas, insatisfeitos com os resultados obtidos na sua prática pedagógi

ca, vem se reunindo com o objetivo de elaborar projetos de ensino-a= prendizagem que possam, aos poucos, alterar a situação existente.

Esses projetos são aplicados em escolas das redes pública e

particular e avaliados periodicamente. A avaliacão dos resultados ob

tidos na prática levanta críticas e sugestões que impõem, frequente~ oente. aprofundamento teórico e reformulacões dos projetos já

produ-zidos, além da produção de novos projetos. Essa é a principal carac-terística desse material: o fato de estar sendo continuamente

refei-to. Outra característica dele ê que, embora englobe o conteúdo de S~

a 8~ séries, é apresentado em fasciculos, permitindo ao professor es colher o momento mais adequado para trabalhar um certo tema junto a seus alunos .

Contamos atualmente com 16 projetos que compõem os volumes1

da série "Tópicos de Ensino de Matemática". Esses fascíclJlos repre -sentam a mais recente versão do trabalho mas, certamente, não a últi ma.

Um trab~lho dessa natureza, só foi e continua sendo possi -~el, graças ã participação continua de professores que aplicam os

projeto~. Queremos registrar, portanto, o nosso agradecimento aos s~ guiDtes professores que, durante esses anos, têm contribuído na ela-boração e reformulação dos projetos, trazendo criticas e sugestões " participando de reuniões e encontros com o propósito de repensar e ~ profundar questões referentes ao ensino da Matemãtic8!

Ana Maria C.Coimbra, Ana Regina P.B.Angi, Aurora S. Santana, Beatriz

V.B.de Carvalho, Carmem Lúcia B.Passos, Cláudia V.C.Miguel,Divina A. de Aquino, Eliza A.Mukai, Elizabeth A.Carrara, Gelson J.Jacobucci,He 10i5a de Carvalho M.Debiazzi, Jane M.da Silva Vidal, José Amaury AI=

ves, Margali A.de Nadai, Maria Aparecida B.Pinheiro, Maria Clélia F. Jacobucci, Maria Lúcia Negri, Marília B.Pereira, Marisa S.Pinheiro ' Travaini, Marta 1. de Almeida, Neusa B.Ferraz~ Regina Celi Ayres, Ro naldo Nicolai, Rosana Fávero, Rosemeire M.R.Silva, Sandra T.Cardoso~ Suely M.Gimenis, Susy M.FadeI, Teresa Neide G.Guimarães, Vilma M. H. Silva, Yara P.P.Bueno e Zuleide G. Paulino.

..

•

•

•

•

•

_t

,

•

•

•

•

ÍNDICE

1 - O Conceito de Frações e sua representação 02

2 - Tipos de frações 06

3 - Equivalência de frações ... ... 13 4 - Reconhecimento de frações Equivalentes ... 14

5 - Uma propriedade importante das frações equiva

lên-tes 17

6 - Frações Irredutíveis e processos de simplifica

-çao ... ... 19

~

~

INTRODUÇÃO

~

~

Nesta

apostila retomaremos um assunto que você ja teve

. . -op?rtunidade de conhecer~ isto é, o conceito de fração.

L..

Alem do conceito de fraçao estudaremos um outro, intim~ ~ mente ligado a esse, que é o conceito de porcentagem . .-- Esses conceitos são muito importantes tanto para o de

-.-. senvolvimento de outros assuntos dentro da própria Mat~

.".mática, quanto para resolver situações que encontrare -mos no nosso dia-a-dia. Quais seriam essas situações ?

.".

. . . Você já deve ter ouvido falar que

"ij - o aumento salarial de uma certa categoria profissio

-.".

nal foi de 35% em um certo trimestre,

~ - a inflação de um certo mês foi de aproximadamente 18%,

"iI

_"JJ

_-

_{uma pessoa pagou uma certa conta com uma muI ta de 10%,}

"iI-

numa "liquidação" uma certa loja está vendendo seus ' ",. produtos com 20% de desconto,

",.

-".

...

que o INAMPS . um trabalhador paga 8% de seu salário bruto

para

",.Resolver situações desse tipo, através da utilização do - ,conceito de fração , é um dos objetivos do nosso estudo .

..

...

...

----..

--...

_...

...

"'1

'

ATIVIDADE: Utilizando 12 fichas e três pedaços de ~barbante de mesmo tamanho, faça o que se pede:

..

. . 1)

..

. . 2)

..

_{. 3)}

..

• 4)

,.

~

5)

,.

_,.

.... 6)

,.

,a

~

7)

"

.,

~ ... 8)

...

~

Separe todas as fichas em dois grupos, de maneira

que eles tenham a mesma quantidade de fichas .

Divida o barbante em duas partes iguais, ou seja,de

mesmo tamanho .

Existe alguma semelhança entre as ações executadas' nos itens 1) e 2) ? Se existe, diga qual

é

ela .

Existe alguma diferença entre as ações executadas '

nos itens 1) e 2) ?Se existe, diga qual

é

ela.

Separe todas as fichas em quatro grupos, de modo

que os quatro grupos tenham a mesma quantidade de

fichas .

Divida o barbante em quatro partes iguais, ou seja,

de mesmo tamanho.

~

De quantas maneiras ainda voce poderia separar es

-sas fichas, em grupos, de modo que todos eles tive~

sem a mesma quantidade de fichas ?Quais seriam es

-sas maneiras?

~

De quantas maneiras voce ainda poderia dividir o

barbante , de modo que as partes tivessem a mesma me

dida ?Dê alguns exemplos.

•

• 2' ATIVIDADE: Utilizando um punhado de feijões execute

fI,o

que se pede:

. 1) Separe 8 feijões em quatro grupos com a mesma quan

-~ tidade. Em seguida, pegue um dessas grupos .

• 2) Como você,usando simbolos matemáticos, representa

-• ria as duas ações executadas no item 1) , ou seja

... separar em quatro grupos com a mesma quantidade e

...

. 3)

..

..

pegar um desses grupos ?

Separe 9 feijões em três grupos com a mesma quanti-I

2

dade. Em seguida, pegue dois desses grupos.

4) Como você, usando simbolos matemáticos, representa-ria as duas ações executadas no item 3), ou seja,s~ parar em três grupos com a mesma quantidade e pegar dois desses grupos ?

3ª ATIVIDADE: Utilizando dois quadrados de papel sul fi te, execute o que se pede:

1) Divida um dos quadrados em duas partes iguais. Em seguida, pegue as duas partes.

2) Como você representaria, utilizando simbolos matemá ticos, as duas ações executadas no item 1) ?

3) Divida o outro quadrado em quatro partes iguais. Em seguida, pegue três dessas partes.

4) Represente as duas ações executadas no item 3) por meio de simbolos matemáticos.

TEXTO N" 1: O CONCEITO DE FRAÇÃO E SUA REPRESENTAÇÃO

Realizando as atividades anteriores, você percebeu que as duas ações executadas sobre um objeto ou um conjun-to de objetos da mesma espécie podem ser representadas matematicamente. O resultado das duas ações exerci-das sobre o todo recebe o nome de fração.

A primeira dessas ações (Separar em grupos com a mesma

quantidade de elementos ou dividir em partes iguais) é

chamada de denominador da fração. A segunda ação (pe -gar um certo nGmero de grupos ou uma certa quantidade' de partes) é chamada de numerador da fração. Dessa fo~ ma, teremos a seguinte representação para a fração:

-numerador 2ª açao

~

~ EXE·1PLOS: 1) As duas ações seguintes: ~ "Dividir um pedaço de arame em 10 partes ~ 7 e~sas partes" podem ser representadas

fraçao: iguais e pegar pela seguinte ' ~ ~ ~ ~ ~ 2)

,.

,.

.,.

..

_~

~

-2

ª

açao ₌ 7 (numerador)

-1ª açao 10 (denominador)

As duas ações: "Separar 250 alunos em 5 grupos com o

mesmo número de pessoas e selecionar 2 desses grupos

para participarem de uma excursão ao bosque" podem

ser representadas pela seguinte fração :

-2

ª

açao 2 (numerador)

-1ª açao 5 (denominador)

.a

4

ª

ATIVIDADE: Considerando os seguintes segmentos,

res-~ponda "J1; A, ,B G'~ __ ~ __ ~ __ -J.H IL' __ ~ ____ ~ __ ~ ________ ~ __ ~ ____ ~ __ -J.J LL, __ ~ ____ ~ __ ~ ____ ~ __ ~ __ ~ ____ ~ __ ~ __ ~·M , ₁ AB?

Qual e o segmento que representa ---do segmento

, ₁2

AB ? Qual e o segmento que representa

""3

do segmento

, ₁

CD ? Qual e o segmento que representa

2

-

do segmento

, ₃

? Qual e o segmento que representa

LI

do segmento

EF

, 2

AB ? Qual e o segmento que representa:3 do segmento

,

4

7) Qual e , o segmento que representa

3

3 do segmento AB ? 8) Qual e , o segmento que representa

3

4 do segmento CD ? 5' ATIVIDADE: Utilizando fichas , complete as tabelas a -baixo:

Quantidade Fração Quantidade de Quantidade fração Quantidade de

de Procu- Fichas corre§. de Procu- Fichas corres Fichas rada pondente fichas rada pondente

12 1 15 2 2 3 12 1 4 3 15 5 12 3 15 5 4 5 3 2-12 15 3 3 12 2. 4 15 ~ 15 . 3

6' ATIVIDADE: Pl.nte"4 dos quadradinhos em cada conjunto abaixo.

O

O

O

a)

O

O

b)

O

0 0 0

c)

O

O

O

_O

_O

O

O

O

0 0 0

O

_O

_O

O

el

E

e)

I

I

7' ATIVIDADE: Divida NCz$ 600,00 entre duas pessoas de'

modo que a primeira pessoa receba ~ dessa quantia e a segunda o restante. Responda: i'"

•

,.

,.

..

~

..

til

.-,.

!!iJ

•

_fi! ,til ~

..

~

"

..

_,.

..

,.

"

.,

..,

..

", ", ~ ",

"

.,

".

"

..

-..

~

"'" 1) Quanto recebeu cada uma das pessoas?

~ 2) Que fração de NCz$ 6.000,00 recebeu a segunda pessoa?

--.-

8'

ATIVIDADE: Uma certa quantidade de garrafas de refr~

__ gerante foi separada em 5 caixas iguai s. Sabendo que em

__ três dessas caixas foram colocadas 72 garrafas, diga

~ qual era a quantidade total de garrafas que havia ini -cialmente.

~

::

9

'

ATIVIDADE: Em uma festa de aniversário havia 51 cri

-o anças das quais

2

eram meninos. Calcule quantos meninos

ri:'

3

-e quantas meninas estavam na festa e diga qual a fraçao

~que representa a quantidade de meninas.

,i)

~

lOª

ATIVIDADE: Em uma sala de aula a professora resol

-.a

veu separar seus alunos em 7 grupos para realizar um ~certo trabalho. Sabendo que em 4 desses grupos havia 28

.aalunos e que os grupos foram formados com a mesma quan

-~tidade de alunos, diga quantos alunos existem nessa

- ,classe.

,;

~ 11' ATIVIDADE: Qual

é

o salário de uma pessoa que gasta . aCz$ 12.000,00 com aluguel, sabendo que i sso representa'

.-

2..

de seu salário?

.-

4

riI

_.

.a1~ª ATIVIDADE: Pinte as partes correspondentes as fra -. -çoes escritas ao lado de cada uma das barrinhas segui n-_ tes:

..

.

-..

1 3 2 3

I

I

I

I

I

·.1Jf -.li r 3 3 4 3 5 3 6 3 6

I I

,

13ª ATIVIDADE: Pinte as bolinhas correspondentes as fra

-çoes indicadas ao lado de cada grupo de bolinhas segui~

teso 1 4

0000

5 4

0000 0000

2

0000

6

0000 000 O

4 4 3

0000

7

0000 0000

4 4 4

0000

8

0000

0000

4 4

TEXTO NQ 2: TIPOS DE FRAÇÕES

Analisando as duas últimas atividades

é

possível perce-ber que existem 2 tipos de frações:

11

,

~ i

•

•

•

_~ t

•

j

,

,

•

•

,

•

,

,

•

•

f

f

t

•

_f

•

f

.f

f !

•

f -C C f

•

1º Tipo: Quando o numerador é menor que o denominador e portanto, representam uma parte menor que a unidade, Es

se tipo de fraçio é chamada Fraçio Pr6pria.

Na 12ª Atividade as frações pro

.

prias sa

-

o -1 _e 2

3 3

Na 13ª Atividade as frações proprias

.

sao

-

-1 - 2 _{e - -}3

4 4 4

.

2º Tipo: Quando o numerador e igual ou maior que o deno minador e, portanto , podem representar uma variedade ou

mais . Essas frações si o chamadas Frações Impr6prias.

Na Na 5 3 6 4 12ª e 13ª Atividade as 6 3 Atividade as 7 8 - e 4 4

frações improp

.

rias

frações improp

.

rias

-sao:

-sao: 3 3 4

4

4 3 5

4

Dentre as frações improprias, aquelas que possuem nu

me-rador múltiplo do denominador podem também ser chamadas de Frações Aparentes.

frações

-

3 6

12ª Atividade as aparentes sao: - e

3 3

Na

frações 4 8

13ª Ativi dade as aparentes sao:

- -

e

4 4

~

~N

a

--

~ Observe que as frações improprias por representarem uma

. . . ou mais __ seja:

--..,

.-..

unidades podem ser escritas de outra maneira,ou

---[1]

=

m=

w

w

=

w

=

GJ

=

w

=

3 3 4 4 2 3 4 4 3 3 4 4 4 4 + + + + + + + 1 3 1 4 2 3 2 4 3 3 3 4 4 4 8

=

0

=

11 +

!

I = 1 1 +

~

I 1 + 1

=

0

= 1 + 1

Existe uma meneira prática de obtermos esse resultado 3

Observe que se eu tenh0:3 isso significa que o inteiro

foi dividido em 3 partes iguais e eu peguei 3 dessas partes, portanto, peguei 1 inteiro. Uma outra interpre -tação para essas duas ações pode ser:

3 3 -}numero de partes que o inteiro foi dividi

-do.

o

1 -} inteiro

I

)não sobrou nenhuma parte do inteiro.

~

--...

.-.,11;

.-..;a

~ ~

""

,;

Portanto, 3 3 = 3 3 1

No caso de

~

isso significa que o inteiro foi dividido

em 3 partes iguais e queremos pegar 4 dessas partes. En

tretanto, isso não é possível utilizando apenas um úni~

co inteiro. É necessário então utilizarmos um outro

in-teiro, também dividido em três partes. Uesse segundo i~

teiro usaremos apenas uma dessas partes. Vejamos como '

podemos obter esse mesmo resultado usando a maneira pr~

tica .

r - - -- - - - 7 ) numero de partes que eu peguei .

4

I

@----}

núme ro de partes

foi dividido .

que o inteiro

[!]

~

inteiro

LI- - - ' l ) número de partes que

do segundo inteiro

4

eu peguei

wii'

Portan to, 3 =

G)

inteiro +

~

parte do outro

intei-ro que estava dividi-do em 3 partes .

wii'

...

".

..

4 3

..

,

_ A mane~ra pratica utilizada

; . Extracao de Inteiros de uma

acima e também chamada de '

fração impropria . • Analizemos agora

iif, tei ros da fração

: seguinte divisão:

..

~

..

iIi ₂

0

11

il

11

um outro exemplo: Seja extrair os in -17

5 . Para isso, basta efetuarmos a '

logo 17

W

- -

= 3 +

10

E se tivessemos uma adiçãodo tipo 2 + -3 - , como far:L

4

amos para encontrar a fração impr6pria que lhe ~ corre~

pondente? Observe que adição desse tipo, onde uma das '

parcelas

é

um número inteiro e a outra parcela uma

fra-ção pr6pria, correspondem a uma divisão onde a parte in

teira ~ o quociente, o numerador da fração e o resto e

o denominador da fração ~ o divisor.

Assim, para respondermos

à

questão acima basta dispor

-mos seus elementos, em uma divisão , da seguinte maneira

[2]

4

3 2

Sabemos que a fração impropria correspondente e

4

Para obtermos

W

basta aplicarmos a propriedade

funda-mental da divisão que diz: "dividendo ; quociente x

di-visor + resto".

Logo,

G

;

2 x 4 + 3 ; 8 + 3

• 11

pria procurada e 4

11 e a fração impro

-14' ATIVIDADE : Considerando as seguintes frações respo~

da: 1 7 3 9 ' 3 ' 2 ' 5 3 4 9 -

-

- -4 ' 5 J 4 ' 7 ' 12 3

1) Quais as frações proprias ?

2) Quais as frações improprias ?

3) Quais as frações aparentes ?

8 3 O 16

, 8 ' 1 , 2 ' 4

4) Quais as fraçõ~s que representam uma unidade ?

11 5

- -

_{7 '2}

5) Quais as frações que representam mais de uma unidade

,-'"

•

•

..

•

•

..

•

..

•

_§

•

"

fi

•

•

«

•

«

•

ti

•

•

•

•

•

t

•

•

@

•

f

•

•

,;;;

.-

11

e menos que duas unidades ?

-

.-.., 6) Quais são as frações que representam

..

unidade ?

menos que uma

. . 7) Quais são as frações que representam mais que duas

... unidades?

-. -. 15ª ATIVIDADE: Extraia oS inteiros das seguintes fra

-. -. ções impróprias:

.. .. ..

.-rIi

.,

.-

..

-1 ) 3) 5) 7 3 18 = 5 39 9 2) 12 = 12 4) 27 = 4 6) 56 = 8

. . 16ª ATIVIDADE: Escreva a fração impropria corresponden -~ te a cada uma das adições abaixo:

.-.. .-..

_{.. ..}

1 ) 3) . . 5)

a

"

..

iit

íii

it

.,

3 7 1 1 + - = 5 2) 1 2 + = 3 4) 5 6) 1\ 9 + - - = 10 5 + -6 9 + 10 5 + ~ 8

12

17ª ATIVIDADE: Complete o quadro seguinte:

Fraçao dos NCz$ que NCz·$ correspondente a NCz$ se deve pegar. cada fração.

600,00

- -

1 2 600,00 2 4 600,00 -3 6 600,00 4 8 600,00

- -

5 lO 600,00

- -

6 12

18ª ATIVIDADE: Pinte as partes correspondentes as fra

-ções escritas ao lado de cada um dos segmentos seguin

-tes : (observe que os segmentos possuem a mesma medida)

1 3 2 6 3 9 4 12 5 15

,

li

~ ~ il ~

il

~

!t

f ~

a

•

_~

•

_à

~

t

i

,

•

•

•

•

13

19' ATIVIDADE: Complete o quadro seguinte:

bolinhas de Fração das bolinhas bolinhas gude que se deve pegar dentes a

ção. 180 2 -3 180 4 -6 180 _- 6 -9 180 8 -- -12 180 10 -15 180 _-12 -18

i TEXTO Nº 3: EQUIVALÊNCIA DE fRACÕES

correspo.Q cada

fra-~

Desenvolvendo as atividades anteriores podemos obser

-~

var a existência de frações que representam a mesma

i

parte de um inteiro. Essas frações recebem o nome de

i

frações equivalentes. Usaremos o sinal

"

=

"

para

repre-t

sentarmos frações equivalentes. Assim, na atividade

• 19º temos: ~ • 3 2

,

4 6 j ou ainda: 2 6 3 9 2 8 3 12

t

2 4 6 8 10 12

1 3

=6=

9=12

=

15 18 J j - -

-2 3 10 15 e 2 3 = 12 18

14

20ª ATIVIDADE: Considere os seguintes pares de frações

equivalentes obtidas na 17ª Atividade.

2 3 5 6

;

4 6 10 12

Para cada par de frações escritas acima faça o seguin

-te:

1) Multiplique o numerador da 1ª fração pelo

denomina-dor da 2ª fração.

2) Multiplique o denominador da lª fração pelo numera

-dor da 2ª fração.

3) Compare os resultados obtidos nos itens 1) e 2).

TEXTO NQ 4 : RECONHECIMENTO DE FRAÇÕES EQUIVALENTES

Você acabou de descobrir uma propriedade importante

das frações equivalentes que

é

a seguinte:

PROPRIEDADE 1: Duas frações são equivalentes quando o

produto do numerador da primeira pelo

PRINCíPIO DA EQUIVALENCIA

denominador da segunda for igual ao pr~

duto do numerador da segunda pelo

deno-minador da primeira.

Essa ~ropriedade

é

importante pois, com ela, você pode

distinguir quando duas frações são equivalentes.

21ª ATIVIDADE: Utilizando a RrOl2riedade 1, verifique I

seguintes de frações

-

-

equiv.§l:

se os pares sao ou nao sao

lentes: 1 ) 2 3 2) 3 6 3) 1 2 e - e e 3 5 5 7 10 20 4) 1 25 5) 50 1 6) 5 5 e e - e ₁₀₀ 4 100 100 2 10

22ª ATIVIDADE: Considerando as frações equivalentes ob

'j

tidas na 18ª Atividade, 1 3 1 ) O ~ que voce frações 1 -3 2) O que voce frações 1 3 . . 3) O que voce ~ .,;lI frações .,;lI 1 3 pode concluir e 2 ? 6 pode concluir e 3 ? 9

pode concluir

e 4 ? 12 2 3 4

-

6::::

9

== 12 comparando comparando comparando

~ 4) O que você pode concluir comparando

i j frações 1 e 5 ? 3 15 os os os os 5 15 ,responda: termos das termos das termos das termos das

i j 5) Que operação você deve efetuar sobre os termos da'

~ fração 1 para obter 2 ?

~ 3 6 ~ 6) Obtenha 3 it 9 4 e 5 a partir de 1 3 utilizan -12 15

do para isso a operaçao dada como resposta no

5) .

item

~ 7) Existem outras frações equivalentes a 1? Quantas?

I 3

I

8)

•

~ ~

Caso você tenha respondido afirmativamente no item ~

escreva pelo menos mais 4 frações equivalentes a 1.

3

• 23ª ATIVIDADE: Considerando as frações equivalentes

ob-• tidas na 19ª Atividade, I I 1 ) 12 10 = = 18 15 Que operaçao fração 12 18 8 6 12 9 ~ voce deve p.ara obter 4 2

-

responda: 6 3

efetuar sobre os termos da

2 ?

16 2) Obtenha 2 12 3 a partir de 18 2 3) Obtent1a 3 a partir de 10 15 4) Obtenha 2

3 a partir de cada uma das frações

8 6 4

-

e

-12 9 6

24' ATIVIDADE: Considere a fração 6

18 . Coloque S nos

parênteses toda vez que ao efetuar a

você obtiver uma fração equivalente a

operação indicada '

6 Coloque N

18

toda vez que ao efetuar a operação indicada você não ob

tiver uma fração equivalente a 6

1 ) 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ( 7) ( 8) ( 9) ( 10) ( 11) ( 18

Somar 2 ao numerador e ao denominador dessa fração.

) Somar 10 ao numerador e denominador da fração.

) Somar um mesmo número qualquer ao numerador e

denominador da fração.

Subtrair o número 1 do numerador e denominador

da fração.

Subtrair 6 do numerador e denominador da fra

-çao.

Subtrair um mesmo número menor ou igual a 6 do

numerador e denominador da fração.

Multiplicar o numerador e o denominador da fra

ção por 2.

Multiplicar o numerador e o denominador da fra

çao por 10.

Multiplicar o numerador e o denominador da fra ção por O.

) Multiplicar o numerador e o denominador da fra ,

çao por um mesmo numero diferente de zero.

Dividir o numerador e o denominador da fração'

por 3

.. .. ..

..

_..

.. ..

-..

..

.. .. ..

_..

..

..

_..

•

..

_...

..

..

(!li

•

~

.. 12) ( Dividir o numerador e o denominador da fração

por 6.

,. 13) (

,.

Dividir o numerador e o denominador por um mes

mo numero que seja divisor comum de ambos.

,.

.-..

,-TEXTO NQ 5 : UMA PROpRIEDADE IMPORTANTE DAS FRACÔES E

-QUIVALENTES .

Ao real izar as atividades anteriores você observou que

existem duas operações que podemos efetuar sobre os ter

mos de uma fração e encontrar outras frações que lhe são equivalentes. Essas duas operações são a multiplic~

ção e a divisão. Podemos, então, enunciar a seguinte propriedade:

PROPRIEDADE 2 " toda vez que multiplicamos ou divid!. mo, exatamente, ambos os termos de uma fração por um mesmo n~mero natural , diferente de zero , obtemos como

resul tado uma fração que lhe

é

equivalente "

25" ATIVIDADE: Encontre uma fração equivalente a fração

4 e tal forma que

8

1) O numerador seja igual a 8 •

2) O denominador seja igual a 4.

3) O denominador seja igual a 32.

4) O numerador seja igual a L

5) O denominador seja igual a 80.

26" ATIVIDADE: Para cada uma das frações seguintes ,

en-contre uma fração que lhe seja equivalente e que tenha' denominador igual a 100.

1 ) 1 2) 15 3) 8 4) 20

=

- -

-

=

2 300 5 200

5

)

7 6) 2 7) 100 8) 3

=

=

=

10 1 1000 2

18

27' ATIVIDADE: Encontre o valor que e desconhecido em'

cada um dos seguintes pares de frações equivalentes:

1 ) 2 16 2) 5 m 3) d 1 ; ; 9 x 13 169 200 100 4) 12 24 5) 80 t 6 ) 2 40 ; -P 2 600 15 v 200

28' ATIVIDADE: Responda as seguintes questões:

1 ) Qual e o , numerador da _fração equivalentes a _fração 3

7

,

cujo denominador e 28 ?

2) Qual e o , denominador da fração equivalente a fração'

58 cujo numerador e 29 ?

36

29' ATIVIDADE: Escreva 5 frações equivalentes a cada

u-ma das frações abaixo:

1) 1 2 2) 7 9 3) 6 1 4) 1 5) 8 6 16

30' ATIVIDADE: Divida os termos de cada fração abaixo ,

por um mesmo número natural, diferente de zero, até

ob-ter uma fração cujos termos sejam divisiveis apenas pe-lo número 1, 1) 16 20 2) 24 36 3) 45 90 4) 13 5) 19 39 49

31' ATIVIDADE: Considerando a seguinte sequência de frações equivalentes, 40 ; ~ _ 24 _ 16 _ ~ faça o '

35 28 - 21 - 14 - 7 ' seguint'e:

t

•

i ti

..

•

_ti

•

•

_ti

t

,

ti ti

•

_ti

•

,

,

@

•

•

•

•

,

•

•

_•

•

•

,

•

•

•

1) Encontre o mdc entre o numerador e o denominador de •

•

•

cada uma das frações dadas ;

Divida os termos de cada fraçio pelo mdc correspon

-J dente encontrado no item 1º.

3) A que conclusio voce chega observando os resultados'

~

•

•

obtidos no item 2º .

TEXTO Nº 6: FRAÇÕES IRREDUTÍVEIS E PROCESSOS DE

SIMPLI-• FICAÇÃO.

• Conforme você observou, ao resolver as atividades ante

-~ riores, existem frações cujos termos sio divisíveis ap~

~ nas pelo número 1, ou seja, o mdc entre o numerador e o

denominador dessas frações

é

1. Essas frações recebem o

~

..

nome de frações irredutíveis .

~ Se o mdc entre o numerador e o denominador de uma fra

-• çio nio for igual a 1, podemos encontrar uma fraçio que lhe

é

equivalente e que esteja na forma irredutível . Es

.,

se procedimento recebe o nome de simplificaçio de fra

-.,

_{çoes .}

~

Para simplificar uma fraçio podemos utilizar um dos

se-~

~ g intes processos descritos a seguir:

~ PRO E SO I : Simplificaçio pelo m.d.c .

•

.o

.o

•

..

.-.o

..

..

,.

.. ..

~

..

_~

Calcule o maior divisor comum (m.d.c . ) entre o numera

-dor e o denominador da fraçio. Se der 1, a fração já e~ tá na forma irredutível. Se nio der 1, divida o numera

-dor e o denominador da fração pelo m.d.c . achado. Dessa

maneira a fraçio fração dada .

se ~orna irredutível e equivalente Ex. : 18 48 m.d.c. (18,48) ; 6 entio 16:6 48:6 3 8

PROCESSO 11 : Simplificaçio por divisões sucessivas

,

a

Divida sucessivamente o numerador e o denominador das

f rações por divisores comuns (primos ou nio-primos) até que o único divisor comum seja 1 .

20 Ex. : 18 18 2 9 3 3 ; ; 48 48 2 24 3 8 ou '!> 18 18 3 6 2 3 ; ; ; 48 48 3 16 2 8

32ª ATIVIDADE: Simpli fique cada uma das frações abaixo '

ºelos dois Qrocessos vistos anteriormente:

1 ) 6 2) 9 3) 3 4) 12 ; ; ~- ; 8 12 9 28 5) 35 6) 33 7) 150 8) 169

-

-

; ; = 21 121 120 91

33ª ATIVIDADE: Simplifique cada uma das frações abaixo,

utilizando o processo que achar mais conveniente: 1 ) 16 2) 35 3) 27 4) 50 = = = 48 105 81 70 5) 25 6) 55 7) 12 8 ) 75

- -

}= = = 100 121 24 100 9) 98 10) 65 11) 30 12) 175 = = = 49 169 100 225

34ª ATIVIDADE : Um garoto possui bolinhas de gude e re

-solveu dividi-las com um amigo da seguinte maneira: "Para cada grupo de 100 bolinhas daria 20 para seu ami-go". Com base nisso responda:

1) Se o garoto possui 400 bolinhas, quantas bolinhas seu amigo receberá ?

2) Caso o número de bolinhas seja 300, quantas bolinhas

~

..

,

..

*

...

..

_...

...

..

_...

...

...,

o amigo receberá ? E com quantas o garoto ficará ? 3) Se o garoto possuir 200 bolinhas e di~idir com o seu

amigo, com quantas bolinhas cada um ficará ?

4) Caso o garoto possua apenas 100 bolinhas como sera a divisão ?

35' ATIVIDADE: Suponha que o garoto da atividade anter.!c or resolva fazer a divisão com seu amigo da seguinte ma neira:

11 Darei 20

100 de minhas bolinhas para meu amigo "

Com base nisso, responda às 4 questões da atividade an -terior e compare os resultados obtidos com os da 34' A-tividade. O que você observa?

36' ATIVIDADE: Todo trabalhador deve pagar uma certa quantia de seu salário para o INPS. Esta quantia ~ est! belecida da seguinte forma: " Para cada NCz$ 100,00 rec!,: bidos o trabalhador deve pagar NCz$ 8,00 para o INPS "

Basea o nessa informação, responda

1) Quanto pagará para o INPS um trabalhador que recebe NCz$ 5.000,00 por mês ?

2) Quanto pagará para o INPS um t rabalhador que recebe

NCz$ 8.300,00 por mês ?

371 _{ATIVIDADE: Uma pessoa recebe NCz$ 12.000,00 por mes}

e p;asta seu salário da se'·.LlL~lte rilaneira : li Para cada

NCz$ 100,00 ganhos, gasté~ NCz$ 5D,00 com alimentação, NCz$ 18 ,JO com condução e NCz$ 30,00 com aluguel ". Conside

-22

4) Quando sobra para essa pessoa gastar com outras des-pesas ?

38ª ATIVIDADE: Suponha que a pessoa da atividade ante

-rior gaste seu salário da seguinte maneira : " 50 com 100

alimentação, ~ 100

com condução e 30 com aluguel "

100

Baseado nisso responda as 4 questões da atividade ante -rior e compare os resultados obtidos com os da 37ª

Ati-vidade. O que você observa?

TEXTO H\'7

o

CONCEITO DA PORCENTAGEM

Observe que a meneira utilizada pelo garoto da 34ª Ati-vidade para dividir suas bolinhas com seu amigo, i sto é

" Para cada grupo de 100 bolinhas daria 20 para seu ami

gQ ". Significa o mesmo que dar vinte por cento de suas bolinhas para seu amigo e pode ser representada por 20%

(lê-se: vinte por cento).

Você também pode observar que ao calcular 20

100 das bo

-linhas o garoto obteve quantidades iguais àquelas enco~

tradas ao calcular 20% das bolinhas. Assim, podemos fa -zer a identificação entre 20 e 20% escrevendo :

100

20

20% 100

Dessa forma podemos dizer que a pessoa da 37ª Atividade

gasta 50% ou 50 do seu salário com alimentação, 10%

100

ou 10 100

com condução e 30% ou 30

100

com aluguel . De um modo geral, toda fração com denominador igual a '

100 e chamada de fração porcentual ou porcentagem. 39' ATIVIDADE: Responda as questões seguintes

"

..

.. .. ..

_,{jI

.-{jI {jI

..

íiII

..

_íiII

..-.. ..-..

_.,..

..

_.,.

_..

~

..

_..-

_..

..

-.,.

--

~

-- 1 )

...

...

;íj 2)

..

..

_{• 3)}

•

. 4 ) íit

íit

5)

..

.. 6)

..

•

. 7)

..

~ :. 8)

•

iI 9) ;I ;I 23

o

que significa di zer que uma pessoa gasta "25% de

seu salário com aluguel ?

Quanto paga de aluguel uma pessoa que recebe Cz $

20.000,00 por mês sabendo que esse aluguel correspo~ de a 25% de seu salário ?

o

que significa dizer que uma pessoa passa aproxim

a-damente 33% de sua vida dormindo ?

Num periodo de 300 dias, quantos dias a pessoa do

e-xercicio 3) passou dormindo ?

O que significa dizer que um trabalhador terá 70 %

de aumento ?

Quanto passara a ser o salário de um trabalhador que

recebe Cz$ 10.000,00 por mês e receberá 70% de aumen

to ?

o

que significa dizer que uma certa mercadoria está ' sendo vendida com 15% de desconto ?

Quanto você

4.000,00 se

.

pagara por uma mercadoria que custa Cz $

você tiver 15% de desconto ?

o

que significa dizer que aproximadamente 13% dos a

-lunos matriculados na 1ª série do 1º grau iniciam os

seus estudos no 2' grau?

;I 10)Sabendo que em 1986 aproximadamente 4.000.000 de alu

nos se matricularam na 1ª série do l ' grau e que ap~

nas 13% desses alunos fizeram sua matricula na l ' s!

rie do 2º grau, qual o número de alunos matriculados na 1ª série do 2º grau em 1986 ?

•

•

•

~ 40ª ATIVIDADE: Escreva a fração irredutível correspon

-• dente a cada uma das seguintes porcentagens

• 1) 20% - 2) 30% ~ 3) 75% ~ 4) 100% ~

•

la • 5) 150% ~ ~ 6) 65% 7) 73% ~ 8) 200%

24

41' ATIVIDADE: Escreva a porcentagem correspondente

cada uma das seguintes frações:

1 ) 1 2) 1 3) 4 4) = 4 5 10 5 ) 4 6) 12 7) 3 8) = 4 20 4

42' ATIVIDADE: Resolva os problemas abaixo:

1" Problema: Numa urna há 20 fichas. Retirou-se fichas da urna. Pergunta-se:

a) Quantas fichas foram retiradas da urna ?

b) Quantas fichas sobraram na urna?

1 2 1 10 4

5"

a = = das

c) Qual é a fração que representa o total de fichas da urna ?

d) Que fração das fichas sobrou na urna?

e) Qual foi a porcentagem de fichas que foram retiradas da urna ?

2" Problema: Num certo dia, numa classe de 50 alunos,

quatro décimos faltaram.

a) Quantos alunos faltaram?

b) Qual foi a porcentagem de alunos que faltaram?

c) Qual é a fração que representa o total de alunos da classe ?

d) Qual foi a fração de alunos que compareceram?

e) Qual foi a porcentagem de alunos que compareceram? 3" Problema: Um operário ganha mensalmente a quantia de NCz$ 7.000,00. De seu salário é descontado 8% para o

IllA!olPS e com 60% de seu salário ele paga aluguel.

a) Qual é a quantia em dinheiro que o operáriO paga ao

INAMPS ?

b) Qual é a quantia em dinheiro que o operário paga de aluguel ?

..

25

c ) Qual é a fração que representa a quantia paga

INAMPS?

ao

. . d) Qual é a fração que representa a quantia paga de alu

guel ?

..

...

...

...

...

..-...

42 _{Problema: Em janeiro de um certo ano, o salário de '}

operário era de NCz$ 5.500,00. Em abril do mesmo ano ele

passou a ganhar 56% 8. mais do que em janeiro e, três m~

ses após, passou a ganhar 72% a mai s do que em abril .

a ) Qual era o salário desse operário a partir de abril?

... b) qual era o salário desse operário a partir de julho?

...

... 43' ATIVIDADE: Utilizando fichas, complete as t abelas I

. . abaixo :

--...

...

...

...

..

...

..-

--Quanti -dade i -nicial de fi -has 20 20 20 20 20 20 20 20 Qua nti-dade de fichas retira-das 1 2 3 4 7 12 16 20

Fração corres- Porcentagem corres

-pondente a pondente a quanti -quantidade de dade de fichas re -fichas retira- tiradas

26

44' ATIVIDADE: Para cada figura abaixo diga que fração'

de cada uma foi pintada, expressando essa fração na for

ma irredutível e na forma percentual

a) e)

45' ATIVIDADE: Resolva os problemas:

l ' Problema: Numa classe de 40 alunos, 20 votaram em Ro

berto para representante de classe.

a) Que fração de alunos votou em Roberto ?

b) Que porcentagem de alunos votou em Roberto?

2' Problema: Paulo comprou um terreno por NCz$ 200.000,00

e o vendeu por NCz$ 240.000,00 .

a) Qual foi o lucro em cruzados, que Paulo teve na ven

-da do terreno ?

b) Qual foi a porcentagem de lucro que Paulo teve na

venda do terreno ?

3' Problema: Em 1988, na cidade de Campinas, o preço de

passagem de ônibus subiu de Cz$ 17,00 para Cz$ 20,00.

a) Qual foi o acréscimo em dinheiro da passagem de ôn

i-bus?

b) Qual é a fração irredutível que corresponde ao

cimo da passagem de ônibus em relação ao preço

, acres an.te

-•

..

.. ..

,

..

.. .. ..

.. .. ..

..

_{.. ..}

.. ..

..

•

•

..

..

_..

..

_..

.. ..

..

..

_...

..

•

..

rior ? ,.

c) Qual foi o acréscimo percentual no preço da passagem? ..

..

,f/1

..

•

~

27

I Iº Problema: Um trabalhador ganha NCz$ 7.350,00 mensais'

e paga ao INAMPS NCz$ 588,00 •

..

I a) Que fraçió irredutível de seu sal~rio representa a

.. quantia paga ao INAMPS ?

a

b) Que porcentagem de seu sal~rio, o oper~rio paga ao

INAMPS ?

•

I 5º Problema: Em 1987 o sal~rio de um trabalhador que e

-I ra NCz$ 10.000,00 passou a ser NCz$ 17.500,00.

~

a) Qual foi o acrescimo em cruzados sofrido pelo

sal~

-a

I b)

I

•

rio minimo Qual foi o nesse período ? acrescimo percentual

mínimo nesse periodo ?

sofrido pelo sal~rio

• 6º Problema: Uma dona de casa foi ao açougue para com

-•

prar carne. O preço do quilo de carne que queria C~jl

prar era NCz$ 50,00 . Entretanto, ela só possuia NCz$

•

30,00 . Que quantidade de carne ela levou com eSSél 'lua!:'.

~

•

•

tia ?

46' ATIVIDADE: 1) Pinte as partes correspondentes a

Cél-l da uma das frações abaixo:

•

•

•

I 1 2 1 3

2) Comparando as partes correspondentes a cada uma das

I frações do item 1), diga qual das fraç~es e a maior.

28

47' ATIVIDADE: Manoel e Maria sao funcion~rios de uma'

certa fábrica e recebem, cada um, o salário de NCz$

8.000,00 Sabendo que Manoel gasta

l

do seu salário '

2 d .5

em aluguel e Maria , qual dos 01S gasta mais ?

5

48' ATIVIDADE: João percorreu 2

3 de uma estrada de 600 km e Mário percorreu o maior percurso? 49' ATIVIDADE: Numa jogar futebol e 1 8

dessa mesma estrada. Quem fez

classe de 40 alunos, 35% gostam de

preferem jogar volei. Existem mais

4

alunos que preferem volei ou futebol ?

50' ATIVIDADE : Complete a tabela seguinte e , em seguida coloque as frações e as porcentagens dadas em ordem

crescente.

Total de Fichas Frações Fichas Correspondentes

3 60 -4 1 60

-

-6 2 60 3 60 20% 60 5 -6

51' ATIVIDADE: Pinte as partes correspondentes a cada ~

i~a das frações ou porcentagens abaixo e, em seguida, co

loque- as em ordem decrescente. 5

~ 25% 3 6 100% 1 3

., 52" ATIVIDADE: Benedito ganha por mês NCz$ 12.000,00 e

a

gasta seu salário da seguinte maneira:

li

li

.-..

2 16 2 6 com com a escola do seu aluguel, 1 12 com 5

filho, -.c.../. _{com supermercado,}

12

transporte e - -5

120 com despe-• sas gerais. Baseado nestas informações , coloque as

fra-• çoes correspondentes aos gastos em ordem crescente.

,.

.. 53" ATIVIDADE: Através da representação de barrinhas

• segmentos de reta, uma certa quantidade de f ichas ou da

• escolha de uma certa importincia em dinheiro, etc ,

com-• pare as seguintes frações e/ou porcentagens:

•

• 1)

•

li

3) 2 e 5 3 6 1 e 3 .. 2 4 .. 5) 110 e 150 jj • 7)

•

"

la 9)

•

@ 200 200 35% e 60% 3 e 19% 5 2) 50% e 3 4 4) 2 e 4 5 10 6) 500 1000 e 500 2000 8) 10) 20% e 1 6 1 e 35 100

30

54~ ATIVIDADE: João, Maria e Francisca foram a um açou -gue comprar carne. João comprou 1 kg , Mari a comprou'

2

1 de kg e Francisca 3 Sabendo que a carne que e

-4 4

les compraram era do mesmo preço, pergunta-se:

Quem comprou mais carne ?

- Quem gastou menos, João ou Francisca? 1

55~ ATIVIDADE: Em uma coleção de selos, do total

3

de paises da Ásia,

~

é de paises das Amé -dos selos é

. 1

rlcas e

""6

é de paises da Europa.

1 ) Nessa coleção, qual o continente que tem a maior par.

te de selos ?

2 ) Nessa coleção, qual o continente que tem a menor par.

te de selos ?

56~ ATIVIDADE: Uma divida foi paga em tr~s prestaç~es A primeira prestação foi de 1 , a segunda de 5 e a

1 2 14

terceira de -::;- . Pergunta-se:

1) Qual é a fração que representa a maior prestação?

2) Qual é a fração que representa a menor prestação?

5N ATIVIDADE: No campeonato paulista de um certo ano, a Ponte Preta ganhou 36% do

enquanto o Guarani ganhou

total dos pontos que disputou, 9 . Qual dos dois times 25

f~z o maior número de pontos nesse campeonato ?

59" ATivIDADE: Num teste de economia de combustivel ve rificou-se que o carro A com 1 litro de gasolina perc0r.

re 2 de uma certa distância e o carro B com 1 l itro

3

,

til'

...

.. ..

...

..

_..

.. ..

₆₁₁₁

..

_fiM

tiII

..

_..

...

,

,,.

5

6 dessa mesma distância. Qual dos carrqs tes tados ~ mais econ5mico ?

59' ATIVIDADE: Qual fraçio e maior 1

2 ou 30% ?

ATIVIDADE: Qual das seguintes fraç~es ~ menor ?

5 3 3 5 8 4