Cap.V-Tensões de Flexão em Vigas, Notas das Aulas de Mecânica dos Sólidos

CAPÍTULO V – Tensões de Flexão em Vigas

5.1. Introdução. Tipos de Solicitação duma Viga:

Esforço Normal N, pode ser tracção ou compressão
Momentos de Flexão Mz e My

Momento de Torção Mx

Esforços Transversos Vz e Vy

Eixos Oy e Oz são eixos principais de inércia da secção.
Solicitações simples e compostas.

Princípio da Sobreposição de esforços

5.2. Flexão Pura duma Viga

Solicitação única de Momento de Flexão constante.

Entre as duas secções A e B o esforço transverso é nulo. O momento flector é constante e igual a Fxa.

Adopta-se a convenção de que o momento flector é positivo sempre que provoca na viga uma concavidade voltada para cima.

Sendo constante o valor do momento de flexão, a deformação é a mesma em qualquer secção. Entre as secções A e B, o eixo da viga toma a forma de um arco de circunferência, com centro num ponto O do plano de solicitação. z y x O G My Mz Mx Vy Vz N A B F F a a

Diagrama dos Momentos Fletores

11ª AULA

M

M

M M

n n

O O’
As fibras longitudinais, inicialmente rectilíneas, acompanham a

curvatura do eixo, assumindo a forma de arcos de circunferência paralelos entre si.

O Momento Flector tem resultante nula, pelo que as fibras não podem ficar todas à tracção ou todas à compressão – Superfície Neutra da viga e Eixo Neutro (n-n) da secção recta.

O eixo neutro divide a secção em duas partes: uma em tração (σ > 0) e outra em compressão (σ < 0). Sobre o eixo neutro é σ = 0.

A superfície (s-s) de uma secção recta qualquer transforma-se, após a deformação nas superfícies (s_{’) e (s”), de cada uma das} partes (E) e (D), respectivamente. Porque os dois troços E e D são idênticos e sujeitos ao mesmo tipo de solicitação, as superfícies (s_’) e (s_{”) devem ser simétricas relativamente ao plano de corte (s-s). E} porque devem também ser sobreponíveis, as secções rectas têm de se manter planas. Por razões de simetria, esses planos devem passar todos pelo centro de curvatura do eixo da viga deformada.

HIPÓTESE DE BERNOULLI

Durante o processo de deformação, as secções rectas da viga permanecem planas e perpendiculares às fibras deformadas. Cada secção recta roda relativamente às secções vizinhas , em torno do eixo neutro (n-n), de tal modo que o seu plano passa pelo centro de curvatura O do eixo da viga.

M

M

E

_s

”

s

_’

D

s

s

Deformação de uma fibra longitudinal (c-d):

ab

ab

cd −

=

ε

R

y

R

y

R

−

=

−

−

=

1

ε

R

y

E

E

=

−

=

ε

σ

A posição do eixo neutro e a curvatura R da fibra neutra obtém-se a partir da condição:

0

=

∫

A

σ

dA

_R

∫

A

y

dA

=

0

E

- O eixo neutro passa pelo Centro de Gravidade da secção recta da viga, (conforme resulta da condição de ser nulo o integral.

- Além disso, a soma dos momentos das forças de tensão são iguais ao momento flector M:

M

dA

y

R

E

dA

y

A A

=

−

∫

=

−

∫

σ

2 z

EI

M

R

=

1

z

I

y

M

−

=

σ

_I

_v

M

z

/

max

=

−

σ

;

₌

∫

₌

₊

∫

_z

₌

₀

A A y

y

dA

R

E

dA

z

M

σ

_{Os eixo x e y devem ser eixos}

principais de inércia da secção!

Lei Hooke a b c d O G dx R y R-y y v y σ x σ z

0

=

∫

A

y

dA

(1)

(2)

n

_'

n

e

1

e

2

G

1

G

2

d

12

5.3. Vigas Compostas de Dois ou Mais Materiais Diferentes

Materiais (1) e (2), com módulos de Young E1 e E2.

Para um plano de solicitação vertical, a posição do eixo neutro n-n_{’ obtém-se a partir da condição:}

∫

_A

σ

dA

=

0

0

2 1 1 1 2 2

=

+

∫

∫

_A

σ

dA

_A

σ

dA

Donde, tendo em conta que

R

y

E

−

=

σ

(onde y é a distância ao eixo neutro): 0 2 1 2 2 1 1 _{+ =}

∫

∫

A A dA y R E dA y R E 0 2 1 2 2 1 1

∫

+

∫

= A A dA y E dA y E E₁A₁e₁ + E₂A₂e₂ = 0

Por outro lado,

) , , ( _{1 2} 12 2

1 e d distância navertical entreG eG

e − = 2 2 1 1 12 1 1 2 2 2 1 1 12 2 2 1 A E A E d A E e A E A E d A E e + − = + =

12ª AULA

Considerando agora a condição de equilíbrio entre o momento flector M aplicado e as tensões internas σ, obtém-se:

∫

∫

= −

∫

− − = 2 1 2 2 1 1 A A A dA y dA y dA y M

σ

σ

σ

Por outro lado, considerando que:

R

y

E

₁ 1

=

−

σ

e

R

y

E

₂ 2

=

−

σ

=

∫

+

∫

1 1 2 2 2 1 2 1 A A dA y R E dA y R E M ou seja, R I E I E M = 1 1 + 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1

I

E

I

E

y

ME

I

E

I

E

y

ME

+

−

=

+

−

=

σ

σ

onde y é a distância ao eixo neutro da viga composta, definido pelas cotas e1 e e2 calculados acima.

As expressões anteriores para a posição do eixo neutro e para o cálculo das tensões podem ser generalizadas a uma viga composta de n materiais diferentes, assumindo as formas seguintes:

∑

∑

= = = = = n j j j j n j j ij j j A E d A E e 1 2 1 e

∑

= = − = n j j j j i i I E y ME 1

σ

5.4. Flexão Desviada

Quando o plano de solicitação s-s contém o eixo da viga, mas não inclui nenhum dos eixos principais de inércia da secção recta, diz-se que estamos em presença duma flexão desviada.

Decompõe-se a solicitação segundo os dois eixos principais centrais de inércia: ) (

α

cos M M_z = M_z = M sen(

α

)

Aplicando o princípio da sobreposição:

) ( ) (         + − = + − = y z y y z z I sen z I cos y M I z M I y M

α

α

σ

A posição do eixo neutro n-n obtém-se a partir da condição σ = 0, isto é:

0 ) ( ) ( _{+ =} − y z I sen z I cos y

α

α

y z I I tg z y tg(

β

) = = (

α

)

As tensões máximas de flexão ocorrem nos pontos A e B, que são os pontos mais afastados do eixo neutro n-n.

Os ângulos de flexão entre duas secções afastadas dum comprimento l, provocadas pelos momentos Mz e My

são

φ

_{y e z}

φ

, dados respectivamente por:

y y y EI l M =

φ

, z z z EI l M =

φ

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) z y z y I cos I sen E Ml

α

α

φ

φ

+ = + = Φ 2 2 2 2 ) ( ) ( 1 z y I cos I sen E M R

α

α

+ =

onde R é o raio de curvatura da fibra neutra da viga em flexão desviada!... M My Mz β α A B s s n n y z G

5.5. Flexão Combinada com Esforço Normal

Força excêntrica paralela ao eixo da viga.

A tensão σ no ponto genérico de coordenadas P(y,z) obtém-se utilizando o princípio de sobreposição de esforços:

y z y z

I

z

b

N

I

y

a

N

A

N

I

z

M

I

y

M

A

N

_z y

x

x

+

+

=

+

−

=

σ

onde A á a área da secção recta da viga, N é a força axial excêntrica (excentricidades a e b) e

M_z = −Nxa e M _y = Nxb

Obviamente que quando a=0 ou b=0 está-se em presença de uma situação de flexão plana...

5.6. Flexão Combinada com Torção 5.6.1.Caso duma Secção Recta Circular

Momento de torção Mx e momentos de flexão

My e Mz. z z y I y M z M − =

σ

x x I r M =

τ

y y x N a b z y My=Nxb N Mz=-Nxa τ σ (c) (b) (a) z z y y H K H K Mz My Mx Mf FLEXÃO TORÇÃO

13ª AULA

O eixo neutro tem a direcção do momento flector resultante (Mf) e os pontos críticos são H e K, onde a

tensão de flexão atinge os valores máximos à tracção e à compressão:

z f I r M H) = − (

σ

z f I r M K) = + (

σ

Do ponto de vista da torção, a tensão máxima também ocorre à periferia (r=R), pelo que nos pontos H e K há a combinação de tensões máximas de fexão e de torção, conforme o esquema da figura ao lado.

Aplicando a construção do círculo de Mohr à situação em cada um daqueles pontos críticos, obtém-se, em ambos os casos:

τ

_max = (

σ

/2)2 +

τ

2 x G _H K Mx Mf x τ τ σ σ _K H Ponto H τ τ τ σ σ σ τ τmax σ A B B C O O C A τmax Ponto K

5.6.2. Caso duma Secção Recta Rectangular

No caso duma secção rectangular, os pontos críticos à flexão são os pontos C, mais afastados relativamente ao eixo neutro n-n.

No que diz respeito à torção, os pontos críticos da mesma secção são os pontos A, sendo nulas as tensões de corte em C.

Há ainda a considerar os pontos B da secção recta, onde existem simultâneamente tensões de flexão (σ) e tensões de corte (τ).

Assim, nos pontos A, tem-se:

h b M_y A ₂ 6 =

σ

e h b M_x A

α

₂

τ

= E nos pontos B: 2 6 bh M_z B =

σ

e h b M_x A

β

₂

τ

=

Nos pontos C a tensão tangencial é nula (por se tratar dum canto...), sendo a tensão de flexão dada por:

2 2 6 6 bh M h b M z y − =

σ

Finalmente, haverá que determinar em qual daqueles três pontos A, B ou C ocorre a combinaçäo de tensöes mais desfavorável, segundo um critério de resistência apropriado.

y C C A A B B z b h n n G

5.7. Flexão Combinada com Esforço de Corte

No caso duma viga sujeita à flexão pura, o esforço de corte é nulo. No caso geral tal não acontece, designadamente quando o momento de flexão varia ao longo do eixo da viga, havendo uma sobreposição de efeitos de flexão e efeitos de corte.

Admitindo a hipótese de Bernoulli que, neste caso á uma aproximação, as tensões normais associadas ao momento de flexão continuam a ser calculadas pela expressão:

z

I

My

=

σ

5.7.1. O Esforço Rasante

Para obter a distribuição das tensões de corte sobre a secção recta, considere-se o equilíbrio dos momentos num elemento de viga de comprimento dx:

Vdx

dM =− _dx

dM V = −

A variação do momento flector ao longo do eixo da viga implica necessáriamente a existência de Esforço de Corte.

Imagine-se agora o elemento dividido em duas partes (1) e (2), por um plano

Σ

paralelo à superfície neutra, à distância y do eixo neutro n-n.

M M+dM V V y y n n S’ S z x (1) (2) dx

Σ

14ª AULA

Representando isoladamente a parte (1), esta fica em equilíbrio sob a acção das forças que actuam nas duas faces verticais S e S’ e na face inferior

Σ

.

Na secção S, a força normal N correspondente à tensão de flexão

σ

é dada por:

= −

∫

=

∫

1 1 _z A A _I ydA M dA N

σ

e na secção S’, onde o momento é M+dM:

z I y dM M d ( ) ' =

σ

+

σ

= − +

σ

+ =

∫

+ = − +

∫

1 1 ) ( A z A _I y dA dM M dA d dN N

σ

σ

Na superfície

Σ

há a considerar as tensões τyx (=τyx), aqui designadas por tensões rasantes. Admitindo que

estas se distribuem uniformemente ao longo da espessura b da viga, temos:

dx b corte de Força =

τ

_yx ( ) 0 1 1 = + − +

∫

∫

dA b dx I y M dA I y dM M yx A z A z

τ

Donde: _{I b} ydA dx dM z A yx

∫

− = 1

τ

b I S V z xy yx =

τ

=

τ

_{(fórmula de Jouravski!...)} Onde _dx dM V = − _{é o esforço transverso e} =

∫

1 A ydA

S _{é o momento estático da área A}

1 relativamente ao

eixo neutro da secção.

σ

+d

σ

y _n n S_’ S z x (1)

σ

τ

xy

τ

xy

τ

yx b y Equilíbrio FF Horizontais

É habitual pôr-se z yx I S V b

R =

τ

= _{Esforço Rasante (força de corte por unidade de comprimento!)}
Dividindo longitudinalmente a viga em duas partes (a), estas

tenderiam a deformar-se de acordo com o esquema (b), produzindo um deslizamento relativo entre ambas as partes. Para anular esse deslizamento relativo, há que aplicar as forças tangenciais indicadas, as quais traduzem a tensão ou esforço rasante!...

No caso duma secção arbitrária, simétrica relativamente ao eixo dos yy, a tensão de corte

τ

num ponto A qualquer sobre a horizontal C-C é, em geral, oblíqua relativamente ao eixo de simetria yy. A componente vertical τxy é dada por _{I b} S V z xy =

τ

Admitindo que a tensão τ no ponto A está também dirigida para o ponto B, definido a partir das tangentes em C, a componente τxz é dada por:

) (

φ

τ

τ

_xz = _xytg ) cos( ) cos( 2 2

φ

φ

τ

τ

τ

τ

b I S V z xy xz xy + = = =

A tensão de corte máxima ocorre nos pontos C da periferia:

τ

max =

τ

xy /cos(Φ) P P (a) (b) φ b y τxy G C A C B y z τxz τ Φ

5.7.1. Viga de Secção Recta Rectangular

As tensões τxy = τyx são dadas pela fórmula de Jouravski:

b I S V z xy yx =

τ

=

τ

=

τ

Para uma secção rectangular, momento estático S num plano à distância y do eixo neutro é:

_{2 2}( ₄ ) 2 / ) 2 (h _y h y b h2 _y2 b S = − + = − Donde,     − = _{1 (}2 ₎2 2 3 h y h b V

τ

h b V max 2 3 =

τ

A tensão de corte máxima ocorre ao nível do eixo neutro e é 50% superior àquela que seria obtida dividindo o esforço transverso (V) pela área da secção transversal da viga, isto é, se fosse admitida uma repartição uniforme das tensões de corte ao longo da secção!...

n S_’ S A A x M V V+dV M+dM τyx τxy y z h dx b n y

n

A

A

y

h

b

n

y

τ

max

τ

5.7.2. Viga de Secção Recta Circular

Para uma secção circular de raio R, a aplicação da fórmula de Jouravski num plano à distância y do eixo neutro conduz a:

= = =

∫

R y z xy yx ub du b I V '

τ

τ

τ

Da figura tira-se:

θ

θ

θ

α

θ

α

d cos R du n R u n R y cos R b cos R b ) ( ) ( se ) ( se ) ( 2 ) ( 2 ' = = = = = 3 ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 3 2 2 / 2 3 2 z z a z xy I cos VR cos cos I VR d sen cos R cos R I V α θ α θ θ θ α τ π α π =      ₋ = =

∫

Tendo em conta que, neste caso,

4 4 R I_z =

π

_e R y2 2_{( ) 1} cos

α

= − 3 ) ( ) ( 1 3 4 2 2 2 2 z xy I cos VR R y R V

α

π

τ

=     − =

A tensão tangencial resultante τ nos pontos A do contorno é: (variação parabólica!...)

₃ 3 1 ( )2 4 ) ( R y R V cos xy − = =

π

α

τ

τ

_{(variação elíptica!...)} 2 3 4 R V max

π

τ

=

A tensão de corte máxima ocorre também ao nível do eixo neutro e é 33% superior àquela que seria obtida dividindo o esforço transverso (V) pela área da secção transversal da viga, isto é, se fosse admitida uma repartição uniforme das tensões de corte ao longo da secção!...

θ α y τ du u O A A τ τxy τxz τxy τ τmax τ,τxy (a) b b’ (b) z

5.7.3. Vigas de Secção Tubular Aberta

A fórmula de Jouravski pode também ser aplicada a vigas de secção tubular aberta, como é o caso dos perfis laminados utilizados em construção mecânica e construção civil: z I S V R = _{, onde S} =

∫

so _{y s e s ds} 0 ( ) ( )

onde S é o momento estático da área a tracejado relativamente ao eixo neutro Gz e s representa o comprimento do arco corrente entre os pontos A e B.
Admitindo que as tensões τ que estão associadas ao

esforço rasante na secção BBB_{’B’ se distribuem} uniformemente através da espessura e:

z I e S V e R = =

τ

Em virtude do princípio da reciprocidade das tensões tangenciais, pode dizer-se que as tensões rasantes que actuam na face BB B_{’B’ são acompanhadas de tensões de corte} iguais, τ, que actuam no plano da secção recta, segundo a direcção da tangente à linha média da parede.

A

A

_’

x

M

V

V

M+dM

τ

y

z

dx

y

B

_’

B

s

s

o

B

(a)

(b)

G

B

e

B

dx

e

B

_B

_’

B

_’

τ

τ

(i)-Caso de um Perfil em U

Nas abas superior e inferior, as tensões de corte são horizontais (τxz), dadas pela fórmula de Jouravski. Assim, no ponto genérico

B da aba superior, à distância u do bordo livre A, tem-se:

z z xz I Vuh I e S V 2 = =

τ

z max I Vbh 2 =

τ

Na aba inferior a distribuição das tensões τxz é análoga, havendo

apenas uma inversão do sentido, conforme indicado na figura
No ponto genérico C da alma, à distância y do eixo neutro, tem-se:

2 2 2 / ) 2 (h y h y beh a S = − + + _e

[

(

)

]

z z xy I a Vbeh h y I h V 2 / 2 1 8 2 2 + − =

τ

A tensão máxima na aba ocorre ao nível do eixo neutro (y=0):

A força resultantal (horizontal)em cada uma das abas é:

z max I h Veb b e F 4 2 2 = =

τ

E a força resultante (vertical) na aba é: _I V Vebh I Vah F z z = + = 2 12 2 3 (a) A y h b e a z y y G τxy u τxz τxz τxy G B C (b) b

tensão máxima na zona de ligação com a alma

' 2 8 2 h a V I a Vbeh I Vh z z max = + ≅

τ

a z d y F G b c _F F_’ h_'

(ii)-Caso de um Perfil em I

A solução para o perfil em I obtém-se directamente do caso anterior, considerando o perfil I composto através da junção de dois perfis U.

Também aqui a tensão máxima ocorre na aba, ao nível do eixo neutro (y=0) podendo ser calculada através da fórmula:

_' S h a V a I V z max = ≅

τ

5.7.4. Centro de Corte ou Centro de Torção

Quando a solicitaçäo de flexäo é acompanhada dum esforço de corte, a posiçäo do plano de solicitaçäo näo é indiferente, uma vez que o seu deslocamento faz variar a distância das forças exteriores ao eixo da viga, introduzindo deste modo um determinado momento de torçäo. τ z _G h_' τ τ τ a d Mt=Vxd V V s s s_' s' s' s_' s s

Se a secçäo recta da viga é simétrica relativamente a um dos eixos principais centrais de inércia, e se o plano de solicitaçäo contém esse eixo (a), por razöes de simetria, cada secçäo roda em torno do eixo neutro, perpendicular aquele eixo de simetria, e a viga deforma-se sem torçäo. Já no caso em que o eixo principal central de inércia ss näo é eixo de simetria (b), verifica-se um fenómeno secundário de torçäo da peça. Este fenómeno pode ser claramente posto em evidência através duma análise mais aprofundada do comportamento à flexäo duma viga de secçäo em U.

Considere-se uma viga de secção em U solicitada em flexão com esforço transverso. As resultantes das tensões de corte nas abas e na alma são, respectivamente, F, -F e V, em que a forças que actuam nas abas formam um binário de torsão cujo momento é dado por:

z t I h Veb h F M 4 x 2 2 = =

O sistema constituido pelas três forças F, -F e V é equivalente à resultante vertical V, deslocada para a esquerda de uma distância d, de tal modo que:

V x =d F x h z I e h b V h F d 4 x 2 2 = =

A intercepção da linha de acção dessa força resultante V com o eixo neutro define o ponto O que é o centro de corte ou centro de torção da secção .

Sempre que o plano de solicitação não passa pelo centro de torção, às tensões associadas ao esforço de corte, haverá que sobrepor as tensões de torção produzidas por um momento de torção igual ao produto do esforço transverso pela distância do plano de solicitação ao centro de torção.

z y F G V h F V d e O

s

s

s

G G

(a)

(b)