Cálculo Diferencial e Integral I

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C´

alculo Diferencial e Integral I

1 Os N´umeros reais e suas propriedades

O conjunto R dos números reais satisfaz algumas propriedades fundamentais: dados quaisquer x, y ∈ R, estão definidos a soma x + y e produto xy e tem-se 1 - x + y = y + x; x + (y + z) = (x + y) + z (a soma é comutativa e

associativa);

2 - xy = yx; x(yz) = (xy)z (o produto é comutativo e associativo); 3 - x(y + z) = xy + xz (o produto é distributivo em rela¸cão à soma); 4 - existe um elemento neutro para a soma (o zero 0) 0 + x = x, ∀x; 5 - todo o x tem um simétrico −x tal que x + (−x) = 0;

6 - existe um elemento neutro para o produto (o um 1) 1x = x, ∀x; 7 - todo o x 6= 0 tem um inverso, que se representa por x−1 ou por 1

x, tal que xx−1 = 1.

Como consequência destas propriedades deduzem-se todas as propriedades aritméticas dos números reais, incluindo as

”leis do corte”:

x + y = x + z ⇒ (−x) + (x + y) = (−x) + (x + z) ⇒ ⇒ ((−x) + x) + y = ((−x) + x) + z ⇒ y = z e

x 6= 0 ∧ xy = xz ⇒ y = z

que implicam por sua vez que o simétrico e o inverso de x são únicos; e as ”regras de sinais”: note-se primeiro que, por 5, se tem a + x = x ⇒ a = 0; portanto, usando 3 e 6,

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e ent˜ao

(−x)y + xy = ((−x) + x)y = 0y = 0

donde se conclui que (−x)y = −(xy), e portanto tamb´em (−x)(−y) = −(x(−y)) = xy.

Estas propriedades s˜ao constantemente aplicadas no c´alculo; por exemplo, na igualdade, v´_{alida para quaisquer a, b ∈ R,}

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

esto envolvidas a propriedade comutativa da soma e do produto bem como a distributividade do produto em rela¸c˜ao `a soma.

Um outro exemplo, em que se aplica esta f´ormula: Exemplo 1.1 4x2 + x − 3 = 0 ⇔ 4x2 + 21 42x + 1 16 − 1 16 − 3 = 0 ⇔ ⇔ 2x + 1 4 2 = 49 16 ⇔ 2x + 1 4 = 7 4 ∨ 2x + 1 4 = − 7 4 ⇔ ⇔ x = 3 4 ∨ x = −1

Este exemplo generaliza-se facilmente para a dedu¸cão da conhecida fórmula resolvente dos polinómios de segundo grau.

Além disso, est´_{a definida em R uma rela¸cão < satisfazendo as condi¸cões} seguintes:

8 - x < y ∧ y < z ⇒ x < z;

9 - ∀x, y verifica-se uma e uma s´o das condi¸c˜oes x < y, y < x, x = y; 10 - x < y ⇒ x + z < y + z;

11 - x < y ∧ 0 < z ⇒ xz < yz;

As propriedades 8 e 9 definem < como uma rela¸cão de ordem total, enquanto que 10 e 11 descrevem a rela¸cão entre a ordem e as opera¸cões aritméticas.

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Nota¸cão 1.2 Usamos igualmente a nota¸cão x ≤ y para a condi¸cão x < y ∨ x = y.

O conjunto dos n´umeros reais positivos, ou seja {x ∈ R : 0 < x}

designa-se R+.

Como consequˆencia destas propriedades: a) 0 < x < y ⇒ 0 < (y)−1 < x−1;

b) x < y ⇒ −y < −x;

c) ∀k ∈ N 0 < x < y ⇒ 0 < xk < yk; d) ∀x 6= 0 0 < x2.

Esta rela¸c˜ao de ordem traduz a ideia intuitiva de representar os n´umeros reais como pontos numa recta.

Defini¸cão 1.3 A fun¸cão módulo ou valor absoluto é definida por |x| =    x se x ≥ 0 −x sex < 0

e corresponde à no¸cão geométrica de distância: |x−y| é a distância entre os pontos correspondentes.

O m´odulo satisfaz as propriedades a) |x − a| < b ⇔ −b < x − a < b b) |x + y| ≤ |x| + |y|

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d) |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| e) ||x| − |y|| ≤ |x − y|

que se deduzem por aplica¸c˜ao directa da defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 1.4 Dados reais a < b, o intervalo aberto ]a, b[ ´_{e definido como sendo o conjunto {x ∈ R : a < x < b}, e o} intervalo fechado [a, b] ´_{e {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.}

Al´em disso

] − ∞, a[= {x ∈ R : x < a} ]a, +∞[= {x ∈ R : a < x} e de forma an´aloga para os intervalos fechados correspondentes.

Defini¸c˜_{ao 1.5 Um conjunto X ⊂ R diz-se limitado se existem} a, b ∈ R tais que X ⊂]a, b[.

Um conjunto X ⊂ R diz-se aberto se para todo o x ∈ X existe um intervalo ]a, b[ tal que x ∈]a, b[⊂ X. X diz-se fechado se o seu complementar R \ X ´e aberto.

Seguem-se dois exemplos de aplica¸c˜ao das propriedades enunciadas `

a resolu¸c˜ao de inequa¸c˜oes:

Exemplo 1.6 Determinar as solu¸c˜oes de x2 − 1

|x| − |x − 1| ≤ 0

Para x > 1, |x| = x e |x − 1| = x − 1, e a desigualdade fica equivalente a

x2 − 1

x − (x − 1) ≤ 0 ⇔ x

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Portanto não existem solu¸cões da inequa¸cão em ]1, +∞[.

Se 0 ≤ x ≤ 1, |x| = x mas |x − 1| = 1 − x, e portanto a desigualdade fica equivalente a

x2 − 1 2x − 1 ≤ 0

Como naquele intervalo x2 − 1 ≤ 0, a desigualdade verifica-se se o denominador for positivo ou se o numerador se anular, e obtemos o conjunto solu¸c˜ao ]1/2, 1].

Para x < 0, a desigualdade fica equivalente a x2 − 1

−x − (1 − x) ≤ 0 ⇔ −(x

2 _{− 1) ≤ 0 ⇔ x}2 _{− 1 ≥ 0}

que, naquele intervalo, ´e equivalente a x ≤ −1.

Portanto a inequa¸c˜ao inicial tem como conjunto solu¸c˜ao ] − ∞, −1]∪]1/2, 1]

Exemplo 1.7 Determinar as solu¸c˜oes de |2|x − 1| − 3| < 6

|2|x − 1| − 3| < 6 ⇔ −6 < 2|x − 1| − 3 < 6| ⇔ 3

2 < |x − 1| < 9 2 Como o módulo é sempre não negativo, estas desigualdades são equivalentes a |x − 1| < 9 2 ⇔ 9 2 < x − 1 < 9 2 ⇔ 7 2 < x − 1 < 11 2

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1.1 N´umeros racionais e irracionais. Princ´ıpio dos Intervalos En-caixados

Os números usados em muitas situa¸cões práticas elementares (e no cálculo numérico efectivo) são os números racionais, ou seja, os que se podem representar pela razão entre números inteiros

Q = {m

n : m ∈ Z, n ∈ N}

Quando efectuamos a divis˜ao de m por n, obtemos a representa¸c˜ao de m

n como uma d´ızima eventualmente peri´odica. Por exemplo 5

6 = 0.833... = 0.8(3)

Isso decorre de que os sucessivos restos na divisão tomam sempre valores inteiros entre 0 e n, pelo que o valor de algum desses restos tem que ser repetido, dando lugar a uma sucessão eventualmente periódica de d´ıgitos no quociente e de restos.

Reciprocamente, uma d´ızima eventualmente peri´odica representa um n´umero racional; seja por exemplo 3.14(15) = 3.14 + 0.00(15);

3.14 = 314 100

se x = 0.(15), tem-se 100x = 15 + x donde se conclui que x = 15 99 e portanto 3.14(15) = 314 100 + 15 9900 = 31101 9900

Observa¸cão 1.8 O significado preciso da representa¸cão de um número como d´ızima será esclarecido mais à frente.

O conjunto dos racionais satisfaz todas as propriedades 1 a 11 enunciadas mais acima.

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No entanto, mesmo problemas simples exigem a utiliza¸cão de números irracionais; o primeiro e mais elementar dos exemplos é-nos dados como consequência do Teorema de Pitágoras: o comprimento a da hipotenusa de um triângulo rectângulo com catetos de comprimento 1 tem que satisfazer a equa¸cão a2 = 2, ou seja a = √2.

Ora, se a = m

n com m, n primos entre si, somos conduzidos a uma contradi¸c˜ao:

m n

2

= a2 = 2

logo m2 = 2n2 e portanto m ´e par, digamos m = 2k; mas ent˜ao 2n2 = (2k)2 = 4k2

logo n2 = 2k2 e portanto n ´e par.

Assim, m e n são for¸cosamente ambos pares, contradizendo a hipótese de serem primos entre si. Conclui-se que a não pode ser racional. Racioc´ınios do mesmo tipo levam à conclusão de que muitas das solu¸cões de equa¸cões do tipo p(x) = 0, onde p(x) é um polinómio com coeficientes racionais, não podem ser racionais.

Se quisermos conhecer com maior precisão o valor de a, podemos proceder do seguinte modo: é óbvio que 1 < a < 2, isto é, a ∈ [1, 2]; como (3/2)2 = 9/4 > 2, verificamos que a ∈ [1, 1.5]; repetindo o cálculo com o ponto médio deste intervalo temos (5/4)2 = 25

16 < 2 e portanto a ∈ [1.25, 1.5].

Vamos determinando assim uma sucess˜ao de intervalos I0 ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · ·

de tal modo que o comprimento de In ´e

1

2n e a ∈ In ∀n; por exemplo,

para n = 25 obtemos

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e ´e intuitivamente claro que devemos ter {a} = \

n≥0

In

Nota: É claro que a condi¸cão necessária para que a interseçcão dos intervalos contenha um único elemento não é que o comprimento de In seja

1

2n, mas sim que esses comprimentos tomem valores

arbi-trariamente pequenos.

Podemos ent˜ao enunciar a propriedade descrita da seguinte forma: 1.9 Princ´ıpio dos Intervalos Encaixados: Se

I₀ ⊃ I₁ ⊃ I₂ ⊃ · · · ⊃ I_n ⊃ · · ·

´e uma sucess˜ao de intervalos fechados encaixados com In =

[an, bn] ⊂ R, tal que

∀m ∈ N ∃n : bn − an <

1 m,

então existe um único s que pertence à interseçcão de todos os intervalos I_n:

{s} = \

n≥0

I_n

Aceitando a validade deste princ´ıpio, verificamos que no caso con-creto da sucessão de intervalos descrita atrás, o número s em questão tem que satisfazer de facto a equa¸cão s2 = 2: temos, para qualquer n,

|s2 − 2| = |s2 − x2_n + x_n2 − 2| ≤ |s2 − x2_n| + |x2_n − 2|;

ora, como para qualquer n, y_n − x_n = ₂1n e xn < yn ≤ y0 = 2, temos

y_n2 − x2_n = (yn − xn)(yn + xn) = yn + xn 2n < 2yn 2n ≤ 1 2n−2; portanto x2_n < 2 < y_n2 ⇒ 2 − x_n2 < y_n2 − x2_n < 1 2n−2

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e, do mesmo modo x2_n < s2 < y_n2 ⇒ s2 − x2_n < y_n2 − x2_n < 1 2n−2; portanto |s2 − 2| < 1 2n−2 + 1 2n−2 = 1 2n−1 ∀n.

Mas o próprio Princ´ıpio dos Intervalos Encaixados implica que então |s2−2| = 0 ou seja s2 = 2: de facto a desigualdade obtida diz-nos que |s2 _{− 2| está contido na interseçcão dos intervalos I}

n = [0, ₂1n]; esta

sucessão de intervalos está nas condi¸cões do enunciado e portanto a sua interseçcão contém um único número real que tem que ser o 0 (que pertence claramente a todos os In).

Observa¸cão 1.10 Este Princ´ıpio não é v´_{alido em Q, como} vi-mos atrás pelo exemplo das aproxima¸cões de √2; e por outro lado a sua validade em R não pode ser deduzida das outras proprie-dades fundamentais dos números reais, descritas anteriormente. Mas, juntamente com elas, ele permite caracterizar completa-mente o conjunto dos n´_{umeros reais: R é um corpo} (proprieda-des 1 a 7) ordenado (proprieda(proprieda-des 8 a 11) completo (validade do Princ´ıpio dos Intervalos Encaixados).

Estas propriedades podem ser tomadas como Axiomas, ou seja, proposi¸cões que se assumem como verdades básicas, e a partir das quais se podem demonstrar todas as outras propriedades dos números reais.

Note-se que quando representamos um número real como uma d´ızima infinita, estamos precisamente a definir uma sucessão de in-tervalos encaixados cuja interseçcão é esse número; por exemplo:

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quer dizer que 3 < π < 4 π ∈ I0 = [3, 4] 3.1 < π < 3.2 π ∈ I₁ = [3.1, 3.2] 3.14 < π < 3.15 π ∈ I₂ = [3.14, 3.15] · · · a < π < b π ∈ I18 = [a, b] · · · onde a = 3.141592653589793238 b = 3.141592653589793239. Os irracionais correspondem às d´ızimas infinitas não periódicas. Dados racionais a < b existem sempre irracionais no intervalo [a, b]; por exemplo, se m ∈ N é tal que 1

m < b − a, um desses irracionais ´e a +

√ 2 2m

Mas dados irracionais α < β também existem racionais no in-tervalo [α, β]: se as expansões decimais de α e β coincidem até ao n-ésimo d´ıgito (e portanto o (n+1)-ésimo d´ıgito de β é maior que o de α), basta considerar o racional representado pela d´ızima finita dada pela expansão decimal de β até ao (n+1)-ésimo d´ıgito, seguida de zeros.

No entanto, os racionais e os irracionais não estão em pé de igual-dade; considere-se, para simplificar, o intervalo [0, 1].

Q ∩ [0, 1] pode ser representado como o conjunto dos termos de uma sucess˜ao; dizemos que se trata de um conjunto numer´avel; por exem-plo

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x6 = 1/4; x7 = 3/4; x8 = 1/5; x9 = 2/5; · · ·

Mas o conjunto de todos os números reais do intervalo [0, 1] não é numerável; dada uma sucessão xn qualquer de termos em [0, 1],

mos-tramos que existe um real a que não pode ser termo dessa sucessão. A ideia é mostrar que existe uma sucessão In de intervalos

encaixa-dos tal que, para cada n ∈ N, xn n˜ao pertence a In; uma constru¸c˜ao

concreta de uma tal sucessão pode ser a seguinte: x₁ não pertence a pelo menos um dos intervalos [0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1]; escolhemos um desses para I₁; dividimos I₁ em três intervalos de comprimento

1

9; x2 n˜ao pertence a pelo menos um desses intervalos e escolhemos para I2 um deles.

E assim sucessivamente; o n´umero a que pertence a todos os inter-valos In n˜ao pode ser nenhum dos xn.

O facto de o conjunto dos racionais ser numerável tem aliás con-sequências interessantes e um pouco inesperadas: é poss´ıvel escolher para cada racional do intervalo [0, 1] um intervalo com ponto médio nesse racional, e mesmo assim não cobrir todo o intervalo; suponha-mos que, para cada racional m

n , com 0 ≤ m ≤ n, temos o intervalo ]m n − 1 4n2, m n + 1

4n2[; verificamos que, por exemplo, o real

√ 2 2 não está contido na união destes intervalos:

m n − √ 2 2 = 2m − n√2 2n = 4m2 − 2n2 2n(2m + n√2) = 2m2 − n2 n(2m + n√2) ≥ 1 n(2m + n√2) ≥ 1 n2_{(2 +} √₂₎ ≥ 1 4n2

(12)

1.2 O Axioma do supremo

Um conjunto X ⊂ R diz-se majorado se existe a ∈ R tal que X ⊂] − ∞, a[; qualquer a que satisfa¸ca esta condi¸c˜ao chama-se um majorante de X.

Analogamente, X diz-se minorado se existe a ∈ R tal que X ⊂ ]a, +∞[, e qualquer a que satisfa¸ca esta condi¸c˜ao chama-se um mi-norante de X.

De acordo com a defini¸c˜ao X ´e limitado se for majorado e mino-rado.

´

E claro que se a for majorante de X, qualquer real maior que a também o é: o conjunto dos majorantes de X não é ele próprio majorado; mas o princ´ıpio dos intervalos encaixados é equivalente ao

1.11 Axioma do supremo: Se X ⊂ R ´e um conjunto n˜ao vazio e majorado, o conjunto dos majorantes de X tem um elemento m´ınimo sup(X), que se designa o supremo de X.

Ou seja, sup(X) ´e um majorante de X e qualquer outro majorante b ´e maior que sup(X).

Esta proposi¸c˜ao ´e ainda equivalente a

Se X ⊂ R é um conjunto não vazio e minorado, o conjunto dos minorantes de X tem um elemento máximo inf (X), que se designa o ´ınfimo de X; ou seja, inf (X) é um minorante de X e qualquer outro minorante c é menor que inf (X).

De facto, dizer que o conjunto X tem ´ınfimo ´e equivalente a dizer que

−X = {y ∈ R : −y ∈ X} tem supremo, e vice-versa.

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i) ∀x ∈ X x ≤ sup(X)

ii) ∀δ > 0, ∃x ∈ X : sup(X) − δ < x

Ou seja, i) diz que sup(X) ´e majorante de X, e ii) diz que nenhum real menor que sup(X) ´e majorante de X.

Se sup(X) ∈ X então ele é o máximo de X.

Vamos verificar que de facto o Princ´ıpio dos Intervalos Encaixados e o Axioma do supremo s˜ao equivalentes.

Provamos primeiro que o Princ´ıpio dos Intervalos Encaixados im-plica o Axioma do supremo:

Seja X ⊂ R um conjunto n˜ao vazio e majorado; podemos esco-lher um majorante b0 e um a0 que n˜ao seja majorante, e definir

I₀ = [a₀, b₀]. Se a0 + b0

2 for majorante de X, definimos a1 = a0, b1 = a0 + b0 2 se n˜ao for a1 = a₀ + b₀ 2 , b1 = b0 e pomos I₁ = [a₁, b₁].

Continuamos do mesmo modo, o que implica que em cada intervalo In = [an, bn] obtido ao longo do processo de subdivisão, an não é

majorante de X enquanto que bn ´e.

Pelo Princ´ıpio dos Intervalos Encaixados, existe um (único) s na interseçcão de todos os In. s tem que ser majorante: caso contrário,

existiria x ∈ X tal que s < x; mas como os b_n s˜ao todos majorantes, ter´ıamos

a_n < s < x ≤ b_n∀n

ou seja, a intersec¸c˜ao dos In conteria mais do que um elemento.

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existiria um majorante s0 menor que s; mas como os an n˜ao s˜ao

ma-jorantes de X, ter´ıamos

an < s0 < s ≤ bn ∀n

e chegamos tamb´em a uma contradi¸c˜ao.

Tal como vimos com o Princ´ıpio dos Intervalos Encaixados, o Axi-oma do supremo implica a

Proposi¸c˜_{ao 1.12 : Se a > 0, para qualquer M ∈ R existe n ∈ N} tal que na > M .

Demonstra¸cão 1.13 De facto, se não fosse assim, o conjunto {na : n ∈ N} seria majorado e teria portanto supremo s; como este é o menor dos majorantes, existe n tal que s − a < na < s; mas então (n + 1)a = na + a > s − a + a = s contradizendo a hipótese de s ser o supremo daquele conjunto.

Assumindo agora a validade do Axioma do supremo, se I_n = [x_n, y_n] for uma sucess˜ao de intervalos encaixados tal que

∀m, ∃n : y_n − x_n < 1 m,

o conjunto {x_n _{: n ∈ N} é majorado (por exemplo, qualquer y}_n é um majorante) e portanto tem supremo s; temos então xn ≤ s ∀n, mas

também s ≤ yn∀n: caso contrário, isto é se existisse n tal que yn < s,

esse yn seria um majorante do conjunto {xn} menor que s,

contra-dizendo a defini¸c˜ao de supremo. Como s ≤ yn para todo o n, temos

ent˜ao s ≤ t = inf{yn}. E portanto temos xn ≤ s ≤ t ≤ yn∀n.

Mas pela proposi¸c˜ao anterior, se se tivesse s < t existiria um natural m tal que

m(t − s) > 1 ⇔ t − s > 1 m,

(15)

enquanto que por outro lado, de acordo com a hip´otese sobre os intervalos In, existe algum n tal que yn − xn <

1 m.

1.3 Potˆencias de expoente real

Nos par´agrafos seguintes aplicam-se as ideias desenvolvidas anterior-mente ao estudo das potˆencias ax _{com 0 < a e x ∈ R.}

A defini¸cão dessas potências e a dedu¸cão das suas propriedades pode ser feita de forma diferente, como veremos noutro cap´ıtulo. Estes parágrafos servem apenas para ilustrar o uso do axioma do supremo (ou do princ´ıpio dos intervalos encaixados) e para relembrar aquelas defini¸cões e propriedades.

Se a ∈ R e m ∈ N, am designa o produto de m factores todos iguais a a. As propriedades comutativa e associativa da multiplica¸c˜ao implicam as conhecidas igualdades

ambm = (ab)m, amn = (am)n, aman = am+n;

se quisermos estender esta propriedade a outros expoentes inteiros, temos

ama0 = am+0 = am

e portanto tem que ser a0 = 1; do mesmo modo, se ama−m = am+(−m) = a0 = 1, faz sentido definir, para a 6= 0,

a−m = 1 am,

como aliás fizémos logo de in´ıcio, ao usar a nota¸cão a−1 para o inverso de a.

Como se lembrou mais atrás, √2 designa o número real positivo tal que √2√2 = 2; é portanto também natural que se use a nota¸cão

(16)

√

2 = 21/2. E, tal como se fez para este caso, podemos demonstrar que, como consequência do Princ´ıpio dos Intervalos Encaixados (ou do Axioma do supremo), para qualquer a > 0 e qualquer natural n, existe um real positivo (único) que satisfaz a equa¸cão xn = a, e que designamos com uma das nota¸cões √n _{a ou a}1/n_.

E ficam portanto bem definidas, sempre para uma base positiva a, as potˆencias de expoente racional amn.

Estas potências têm as mesmas propriedades referidas acima. Ve-rificamos apenas, como exemplo, a última delas: como

amna p q nq = amn nq apq nq = (amn)n q (apq₎q n = = (am)q(ap)n = amqapn = amq+pn mas tamb´em amn+ p q nq = amq+pnnq nq = amq+pn, a unicidade da raiz implica que

amna p

q _{= a}mn+ p q_.

Dados reais 0 < a < b, tem-se am < bm para todo o natural m; isso pode verificar-se, por exemplo, usando a factoriza¸c˜ao

bm − am = (b − a)

m−1

X

k=1

bm−kak

que deduziremos mais adiante, e notando que ambos os factores no lado direito da igualdade s˜ao positivos.

Em consequˆencia, para todo o racional positivo 0 < m_n tem-se igual-mente amn < bmn, porque, se fosse amn ≥ b m n

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o mesmo racioc´ınio implicaria am = amn n ≥ bmn n = bm.

Por outro lado, se 1 < a, então am < am+1, para todo o natural m, enquanto que se 0 < a < 1 se tem am+1 < am. O mesmo racioc´ınio dos parágrafos anteriores mostra que se 1 < a e 0 < m_n < p_q então amn < a

p

q_{, enquanto que se 0 < a < 1 se tem a desigualdade contr´}_aria.

Estas observa¸cões conduzem à defini¸cão de potências com expoente real qualquer: dado um real x > 0 seja

In = [xn, yn]

uma sucess˜ao de intervalos encaixados, com extremos racionais e satisfazendo a condi¸c˜ao de os comprimentos dos intervalos tomarem valores arbitrariamente pequenos:

∀N ∃n : y_n − x_n < 1 N, tal que {x} = ∩_n≥0I_n; se 1 < a Jn = [axn, ayn]

é também uma sucessão de intervalos encaixados; além disso, dado N , podemos escolher n tal que ayn _{− a}xn _{= a}xn_(ayn−xn _{− 1) ≤}

ay0_(a1/N − 1); e como teremos ocasi˜ao de verificar mais adiante,

a1/N − 1 ≤ a−1_N ; conclu´ımos que a sucess˜ao de intervalos Jn est´a

nas condi¸c˜oes do Princ´ıpio dos Intervalos Encaixados e que existe portanto um ´unico real z tal que

axn _{< z < a}yn_{, ∀n;}

definimos ent˜ao

(18)

se 0 < a < 1, o racioc´ınio é idêntico, com a única altera¸cão de se definirem os intervalos Jn como Jn = [ayn, axn].

Note-se que esta defini¸c˜ao se pode enunciar igualmente (no caso 1 < a) como ax = sup{amn : m n ≤ x} = inf{a p q _: p q ≥ x}.

As potˆencias de expoente negativo ficam tamb´em definidas: dado x > 0, a−x = (_a1)x.

Se 0 < x < y existe um racional m_n tal que x < m_n < y. Portanto, se 1 < a ax = inf{ap/q : x < p q} < a m/n _{< sup{a}p/q _: p q < y} = a y

e conclu´ımos que as potˆencias de expoente real satisfazem a mesma propriedade de ordem.

Terminamos mostrando que com esta defini¸c˜ao se tem tamb´em axay = ax+y, axbx = (ab)x.

Consideramos apenas o caso em que a e b são maiores que 1, já que os outros casos são semelhantes.

Para isso come¸camos por observar os seguintes factos:

Proposi¸c˜_{ao 1.14 Se X ⊂ Y ⊂ R são não vazios, tem-se sup(X) ≤} sup(Y ). Se, além disso, para todo o y ∈ Y existe x ∈ X tal que y ≤ x então sup(X) = sup(Y ).

Proposi¸cão 1.15 Se X e Y são subconjuntos n˜_{a vazios de R}+ e XY = {xy : x ∈ X, y ∈ Y }, então

sup(XY ) = sup(X) sup(Y ). Demonstramos a segunda destas proposi¸c˜oes:

(19)

Demonstra¸cão 1.16 Como para todos os x ∈ x e y ∈ Y , se tem xy ≤ sup(X) sup(Y ) é óbvio que sup(XY ) ≤ sup(X) sup(Y ). Dado um y ∈ Y , como para todo o x ∈ X se tem xy ≤ sup(XY ) temos x ≤ sup(XY ) y , ∀x ∈ X =⇒ sup(X) ≤ sup(XY ) y =⇒ y ≤ sup(XY ) sup(X) mas como isto é verdade para qualquer y ∈ Y , temos

sup(Y ) ≤ sup(XY )

sup(X) =⇒ sup(X) sup(Y ) ≤ sup(XY ). Sejam ent˜ao x e y positivos. Como

ax = sup{amn : m

n ≤ x}, a

y _{= sup{a}p_q _: p

q ≤ y} o resultado anterior diz-nos que

axay = sup{amna p q _: m n ≤ x ∧ p q ≤ y}. Mas este conjunto ´e igual a

{ast : t

s ≤ x + y},

porque qualquer _st ≤ x + y se pode escrever como soma de dois racionais, um menor que x e o outro menor que y.

Portanto axay = ax+y. Do mesmo modo ax = sup{amn : m n ≤ x}, b x _{= sup{b}p_q _: p q ≤ x} implica que axbx = sup{am/nbp/q : m n ≤ x ∧ p q ≤ x}; ora se, por exemplo, m_n ≤ p_q, ent˜ao

(20)

usando a primeira proposi¸c˜ao deduz-se que axay = sup{am/nbp/q : m n ≤ x∧ p q ≤ x} = sup{(ab) t/s _: t s ≤ x} = (ab) x_. Resumindo: • Para todo o a ∈ R+

e todo o x ∈ R, está definido o número real positivo ax. • a−x = (1/a)x. • ax_bx _{= (ab)}x_. • ax_ay _{= a}x+y_. • (ax)y = axy. • Se x > 0 e 0 < a < b, então ax _{< b}x_{; se x < 0 e 0 < a < b,} então ax > bx. • Se a > 1 e x < y então ax < ay; se 0 < a < 1 e x < y, então ax > ay.

1.4 Princ´ıpio de Indu¸c˜ao finita

.

Come¸camos com um exemplo: a soma dos ângulos internos de um triângulo (no plano) é igual a π; e no caso de um quadrilátero con-vexo, é igual a 2π; este facto podia ser verificado do seguinte modo:

(21)

se tra¸carmos uma diagonal do quadrilátero, unindo dois vértices não adjacentes, ficamos com dois triângulos e a soma dos ângulos in-ternos do quadrilátero é igual à soma dos ângulos internos dos dois triângulos.

Podemos ent˜ao tentar generalizar esta propriedade e enunciar a pro-posi¸c˜ao:

Proposi¸cão 1.17 Para todo o n ≥ 3, a soma dos ângulos inter-nos de um pol´ıgono plano convexo com n lados é igual a (n−2)π. Note-se que esta proposi¸cão equivale à conjun¸cão de infinitas pro-posi¸cões (uma para cada n ≥ 3) e que verificámos os casos n = 3 e n = 4.

Mas, inspirados pelo método de prova descrito acima para os qua-driláteros, suponhamos que a propriedade se verifica para pol´ıgonos de n lados, em que n é um natural não especificado; então, se tiver-mos um pol´ıgono com n + 1 lados, podetiver-mos escolher dois vértices separados por duas arestas e um vértice intermédio e uni-los com um segmento; o pol´ıgono inicial ficou subdividido em um pol´ıgono com n lados e um triângulo, e a soma dos seus ângulos internos é igual `

a soma dos ângulos internos destes dois. Ora esta soma é π para o triângulo e a hipótese que fizémos diz que para o pol´ıgono com n lados ela é (n − 2)π.

Portanto a soma dos ângulos internos do pol´ıgono com n + 1 lados será π + (n − 2)π = (n + 1 − 2)π e conclu´ımos que a propriedade também se verifica para n + 1.

Nota: de facto esta propriedade verifica-se para pol´ıgonos planos quaisquer e n˜ao s´o para os convexos.

(22)

Teorema 1.18 Princ´ıpio de Indu¸cão Finita: Se, para cada n ≥ n0, se tem uma proposi¸cão P (n) e se verificam as condi¸cões:

1- P (n0) ´e verdadeira;

2- ∀n ≥ n₀, P (n) ⇒ P (n + 1)

ent˜ao P (n) ´e verdadeira para todo o n ≥ n0.

Demonstra¸cão 1.19 Se a conclusão não fosse verdadeira, exis-tiria um m ≥ n0 para o qual a propriedade P (m) não se

verifi-caria; sendo m o menor natural nessas condi¸cões (tem que ser m > n₀ por causa da condi¸cão 1), a propriedade seria válida para m − 1. Mas a condi¸cão 2 levaria à conclusão de que a propriedade também se verificaria para m, o que é um absurdo. Observa¸cão 1.20 Esta demonstra¸cão assenta no facto evidente que um conjunto não vazio de números naturais tem m´ınimo. Este facto é de facto consequência do Axioma do supremo.

Aplicamos o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Finita para demonstrar algumas igualdades e desigualdades relevantes.

A primeira é a fórmula da soma de uma progressão geométrica: Proposi¸cão 1.21 dado a 6= 1, tem-se para qualquer inteiro n ≥ 0 n X k=0 ak = 1 − a n+1 1 − a .

Demonstra¸cão 1.22 O caso n = 0 é evidente; suponhamos então que a fórmula se verifica para um certo n. Então

n+1 X k=0 ak = n X k=0 ak ! + an+1 = 1 − a n+1 1 − a + a n+1 ₌ 1 − an+2 1 − a

e obtemos a igualdade para n + 1. Note-se que na segunda igual-dade usámos a hipótese de que a fórmula se verifica para n.

(23)

Observa¸cão 1.23 É importante perceber que o que se prova neste passo não é a propriedade P (n) (neste exemplo, a fórmula da soma da progressão geométrica até ao termo de ordem n) nem a propriedade P (n+1), mas sim a implica¸cão P (n) =⇒ P (n+1).

Como consequência deste resultado, podemos deduzir a seguinte factoriza¸cão, que já referimos:

Proposi¸c˜ao 1.24 dados reais positivos x e y e um natural n tem-se xn − yn = (x − y) n−1 X k=0 xn−1−kyk.

De facto, pondo em evidˆencia xn (e assumindo que x 6= y) obtemos

xn − yn = xn(1 − y x n ) = xn(1 − y x) n−1 X k=0 y x k = = (x − y) n−1 X k=0 xn−1 y x k = (x − y) n−1 X k=0 xn−1−kyk

Para o pr´oximo exemplo recorda-se que n! (n factorial) designa o produto dos inteiros positivos entre 1 e n: n! = n(n − 1) · · · 1. Convenciona-se que 0! = 1.

Defini¸cão 1.25 Os números binomiais são definidos, para n, k naturais, por n k =        n! k!(n − k)! se 0 ≤ k ≤ n 0 se k < 0 ∨ n < k

(24)

Proposi¸cão 1.26 Fórmula do Binómio de Newton: Sejam a, b ∈ R. Então ∀n ≥ 1, (a + b)n = n X k=0 n k an−kbk.

Demonstra¸cão 1.27 Demonstramos a fórmula por indu¸cão em n: para n = 1 a fórmula é verdadeira, como se verifica directa-mente.

Provamos em seguida que se for verdadeira para um certo n também o será para n + 1. Da hipótese de indu¸cão

(a + b)n = n X k=0 n k an−kbk deduz-se

(a+b)n+1 = (a+b)(a+b)n = (a+b)

n X k=0 n k an−kbk = n X k=0 n k an+1−kbk+ n X k=0 n k an−kbk+1

mas se no segundo somat´orio fizermos j = k + 1, j varia entre 1 e n + 1 e o termo geral fica

n j − 1

an−(j−1)bj;

usando j como ´ındice (mas voltando a chamar-lhe k) ficamos com = n X k=0 n k an+1−kbk + n+1 X k=1 n k − 1 an+1−kbk

que, isolando o termo com k = 0 no primeiro somat´orio e o termo com k = n + 1 no segundo e juntando os termos seme-lhantes dos dois somat´orios, fica

an+1 + n X k=1 n k + n k − 1 an+1−kbk + bn+1.

(25)

Para chegarmos à fórmula do binómio para o expoente n+1 resta notar que n + 1 0 = n + 1 n + 1 = 1 e que n k + n k − 1 = n + 1 k , ∀1 ≤ k ≤ n Esta última igualdade deduz-se directamente:

n k + n k − 1 = n! k!(n − k)! + n! (k − 1)!(n + 1 − k)! = n!((n + 1 − k) + k) k!(n + 1 − k)! = = (n + 1)! k!(n + 1 − k)! = n + 1 k

Proposi¸c˜ao 1.28 Desigualdade de Bernoulli: Dado x > −1

∀n ≥ 1, (1 + x)n ≥ 1 + nx

Demonstra¸cão 1.29 Mais uma vez, o caso n = 1 é óbvio. (1 + x)n ≥ 1 + nx ⇒ (1 + x)(1 + x)n ≥ (1 + x)(1 + nx) porque 1 + x > 0, e portanto

(1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x

Observa¸cão 1.30 Para x ≥ 0 a desigualdade de Bernoulli é uma consequência imediata da fórmula do Binómio.

(26)

Proposi¸cão 1.31 Se b1, · · · , bn são números reais positivos então n Y k=1 b_k = 1 =⇒ n X k=1 ≥ n. Recorde-se que Qn

k=1 bk designa o produto dos bk.

Demonstra¸cão 1.32 No caso n = 1 não há nada a provar; antes de passar ao passo de indu¸cão (provar que se a proposi¸cão se verifica para n ent ao também se verifica para n + 1) vamos ver o caso n = 2: se b1 e b2 são positivos e b1b2 = 1 então ou

b1 = b2 = 1 e então temos b1 + b2 = 2, ou então podemos supõr

que b1 < 1 < b2; nesse caso verificamos que

0 < (b2 − 1)(1 − b1) = b1 + b2 − b1b2 − 1

e portanto

1 + b1b2 < b1 + b2;

mas b1b2 = 1 e portanto conclu´ımos que b1 + b2 > 2. Esta ideia

vai ajudar-nos no caso geral.

Vamos então assumir como hipótese de indu¸cão que a proprie-dade se verifica para um certo n e sejam b1, b2, · · · , bn+1 números

reais positivos tais que Qn+1_k=1 bk = 1.

Para usarmos a hipótese de indu¸cão temos que ter n números satisfazendo as mesmas condi¸cões e não podemos simplesmente excluir um dos b_k porque o produto dos restantes já poderia não ser 1. Se todos os b_k fossem 1 a propriedade verifica-se (nesse caso temos Pn+1

k=1 bk = n + 1); se n˜ao, uma vez que a ordem dos

bk ´e irrelevante, podemos mudar os ´ındices se necess´ario para,

mais uma vez, termos b1 < 1 < b2. Se considerarmos o

pro-duto b1b2 como um único número, temos então n reais positivos

(b1b2), b3, · · · , bn+1 cujo produto é 1 e, por hipótese de indu¸cão,

podemos concluir que

(27)

Mas, quando vimos o caso n = 2, verific´amos que, se b1 < 1 < b2

ent˜ao

b1b2 < b1 + b2 − 1;

substituindo na igualdade anterior, ficamos com

b₁ + b₂ − 1 + b₃ + · · · + b_n+1 ≥ n ⇔

n+1

X

k=1

≥ n + 1

como quer´ıamos demonstrar.

Esta proposi¸c˜ao permite deduzir as desigualdades seguintes:

Proposi¸cão 1.33 se a1, · · · , an são números reais positivos então

Pn k=1ak n ≥ n v u u t n Y k=1 ak ≥ n Pn k=1 1 a_k .

Estas três expressões são respectivamente a média aritmética, geométrica e harmónica dos reais a1, · · · , an.

Para deduzir a primeira desigualdade a partir do resultado ante-rior, definimos, para cada 1 ≤ k ≤ n,

bk = ak n pQn k=1ak e verificamos que Qn k=1bk = 1 e portanto Pn k=1 ≥ n. Mas isso significa que n X k=1 ak n pQn k=1 ak ≥ n ⇔ _Q_n1 k=1ak n X k=1 ak ≥ n ⇔ Pn k=1ak n ≥ n v u u t n Y k=1 ak.

A outra desigualdade deduz-se de modo semelhante, substituindo no racioc´ınio anterior ak por _a1

(28)

Observa¸cão 1.34 A verifica¸cão do caso inicial, embora seja em muitos exemplos muito simples ou até trivial, é absolutamente necessária, já que sem ela todo o racioc´ınio em que se baseia o Princ´ıpio de Indu¸cão cai por terra.

Suponha-se por exemplo que, devido a uma gralha, se pede para demonstrar a seguinte f´ormula:

∀n ∈ N : n X k=1 k = n 2 _{+ n + 1} 2 ;

se a igualdade se verificasse para um certo n ent˜ao ter´ıamos

n+1 X k=1 k = n X k=1 k !

+ (n + 1) = por hip´otese de indu¸c˜ao

= n 2 _{+ n + 1} 2 + (n + 1) = n2 + 3n + 3 2 = (n + 1)2 + (n + 1) + 1 2

ou seja a igualdade seria também verdadeira para n + 1. No entanto a fórmula enunciada é falsa, como facilmente se verifica. A proposi¸cão verdadeira é ∀n ∈ N : n X k=1 k = n 2 _{+ n} 2 que pode de facto ser provada por indu¸cão.