FÍSICA MODERNA I AULA 25 - REVISÃO

FÍSICA MODERNA I

AULA 25 - REVISÃO

Profa. Márcia de Almeida Rizzutto Pelletron – sala 220

[email protected]

1o. Semestre de 2015

Monitor: Gabriel M. de Souza Santos

Universidade de São Paulo

Instituto de Física

Página do curso:

Conteúdo P3

• Panorama da Física no final do século XIX

• Natureza Ondulatória da Radiação eletromagnética

• Radiação Térmica – Hipótese de Planck

• Dualidade onda – partícula: Radiação eletromagnética e as propriedades corpusculares

• Efeito fotoelétrico

• Efeito Compton

• Produção e aniquilação de pares

• Difração de raios-X

• Dualidade onda – partícula: Matéria e as propriedades corpusculares

• Natureza atômica da matéria

• Modelo de Thomson

• Modelo de Rutherford

• Modelo de Bohr

• Modelo de Sommerfeld –FranckHertz

• Dualidade onda – partícula: Matéria e as propriedades ondulatórias

• Postulado de de Broglie

• Difração de elétrons,

• Difração de Bragg

• Principios de incerteza

• Teoria de Schroedinger da Mecânica Quântica

• Equação de Schroedinger – equação de onda para o elétron

• Autofunções e autovalores

• Valores esperados

• Equanção de Schroedinger Depende e independente do tempo

• Potenciais nulo, degrau ,barreira , oscilador harmônico e poço quadrado

• Equação de Schroedinger 1,2 3 dimensões

BIBLIOGRAFIA

1) Física Quântica, Eisberg e Resnick (ER);

Capítulo 5, 6 e 7

2) Modern Physics for scientists and engineers, T. Thornton e Andrew Rex (TR);

Capítulo 6 e 7

3) Modern Physics de Serway, Moses e Moyer (SMM);

Capítulo 6, 7 e 8

4) Física Moderna, Paul A. Tipler e Ralph A. Liewellyn (TL);

Capítulo 6 e 7 (até 7.3)

5) Notas de aula do Professor Roberto V. Ribas (RR)

Capítulo 6 e 7

6) Física Moderna, Francisco Caruso e Vitor Oguri (FV)

5

7

Revisão :

9

11

Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger

“Partícula presa em um poço finito quadrado”

Comparando o primeiro estado do sistema do poço infinito com o poço finito

O fato da função de onda não ser zero nas paredes aumenta o comprimento de onda de de Broglie na parede (em comparação com o poço infinito), e isto torna menor a energia e o momento da partícula. Esta observação pode ser usada para aproximar as energias

permitidas para a partícula ligada. A função de onda penetra na região exterior, numa escala de comprimento definido peça profundidade de penetração d dado por:

)

(

2

1

0 1

m

V

E

k









d

A função de e onda no exterior é essencialmente zero além da distância d, em ambos os lados do poço de potencial 2 2 2 2 ) 2 ( 2 d    L m n E_n 

) ( 2 1 2 m Vo E k     d Penetração da barreira

Revisão : Potencial Degrau

 ) ( 2 ₀ 2 E V m k   0 ) ( ,    x x 

De pleno acordo com a mecânica clássica para x<0

1



R

0 2 2 *  k x  De D

13 Região 2



mE

k

₁



2

Região 1



)

(

2

₀ 2

V

E

m

k





“Potencial Degrau”

1 ₂ x ik x ik

Be

Ae

x

)

1 1

(

1 







x ik x ik

De

Ce

x

)

2 2

(

2 







0

)

(

,







x

x



1) Condição de finitude

x > 0 região 2

_{ik x}

D=0

Ce

x

)

2

(

2





A onda não volta

2 ) Caso E> Vo



)

(x





x ik x ik

e

k

k

k

k

A

Ae

1 1 2 1 2 1 



















Região 1 : x< 0 Região 2 : x> 0 x ik

e

k

k

k

A

2 2 1 1

2



2) Condição de continuidade

em x = 0

reflexão: transmissão: 2 2 1 2 1



















k

k

k

k

R

2 2 1 1 1 2 2         k k k k k T                    E V E V T R 0 0 1 1 1 1 1

Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger

“Barreira de Potencia”

1 ₂ E < Vo



mE

k

₁



2

x ik x ik

Be

Ae

x

)

1 1

(

1 







Região 1 x<0

Solução da partícula livre

1 ) Caso E< Vo

 ) ( 2 ₀ 2 E V m k   E > Vo Vo 0<x >a 0 x <0, x>a



)

(x

V



)

(

2

)

(

2 2 2

x

E

m

dx

x

d



_







Região 2 0<x>a

)

(

)

(

2

)

(

0 2 2 2

x

V

E

m

dx

x

d



_









x k x k

De

Ce

x

)

2 2

(

2









3 1 2 3 3 1 2 x ik x ik

Ge

Fe

x

)

1 1

(

3 







Região 3 x>a

15

“Barreira de Potencia”

E < Vo



mE

k

₁



2

x ik x ik

Be

Ae

x

)

1 1

(

1 







Região 1 x<0  ) ( 2 ₀ 2 E V m k   Região 2 0<x>a (x) Ce k2x Dek2x 2   



3 1 2 ik x ik x

Ge

Fe

x

)

1 1

(

3 







Região 3 x>a

Não tem onda vinda da direita G =0

1) Condição de finitude

x ik

Ae

x

)

1

(

1





Se a partícula incide da esquerda Mas não podemos fazer D=0

x ik

Fe

x

)

1

(

3





B=0

2) Condição de continuidade da função e da derivada para x=0

A

A

B

B

R

_* *



A A F F T _* *  Vo 0<x >a 0 x <0, x>a



)

(x

V



A A B B R _* *  A A F F T _* *  1 0 2 2 2 0 ) ( 4 ) ( 1           E V E a k senh V T

Tunelamento

“Barreira de potencial”

2) Caso E> Vo



mE

k

₁



2

Região 1



)

(

2

₀ 2

V

E

m

k





x ik x ik

Be

Ae

x

)

1 1

(

1 







x ik

Fe

x

₎

1

(

3





_{Região 3} 1 2 3

A

A

B

B

R

_* *



T

F

_A

_*

F

_A

*



1 0 2 2 2 0

)

(

4

)

(

1





















V

E

E

a

k

sen

V

T

Região 2 x ik x ik

De

Ce

x

)

2 2

(

2









Onda incidente Onda refletida Onda transmitida

17

“Partícula sujeita ao potencial dos oscilador harmônico simples”

x

m

Kx

x

V

2 2

2

1

2

1

)

(







( ) ( ) 2 ) ( 2 2 2 2 2 x E x x C dx x d m       

0



E

Podemos escrever a solução da função de onda como:



h

n

E

_n



(



1

/

2

)

Onde H_n são polinômios de ordem n, com n>=0

As funções H_n são relacionadas aos polinômios de Hermite que são tabelados tabulado

2 ) ( 2

)]

(

[

)

(

x u n n

x

H

u

x

e







n=0,1,2,3.... 2 1 1 2 0 0 2 2 u u

ue

A

e

A

 









2 3 3 3 2 2 2 2 2 2

)

2

3

(

)

2

1

(

u u

e

u

u

A

e

u

A

 













Revisão

19

Equação de Schrödinger em três dimensões

Até o momento com consideramos apenas uma dimensão (x)

Na realidade para o sistema físico temos 3 dimensões

Partícula em uma caixa retangular

a

A

x

a

n

A

x

n

2

),

cos(

)

(









_n=1,3,5...

21

Partícula em uma caixa retangular

a

A

x

a

n

Asen

x

n

2

),

(

)

(









_n=2,4,6....

Partícula em uma caixa retangular

Degenerescência esta ligada a simetria do problema 3 2 1 n n n

E

E

E

E







Temos a quantização de energia 2

2 2 2

2

ma

n

E







23

A eq. de Schrödinger em coordenadas esféricas

2 2 2 2 2 2 2 2

sen

1

sen

sen

1

1

































































r

r

r

r

r

r

Podemos, então, escrever a eq. de Schrödinger como: Lembre-se que a dependência temporal é

parametrizada por um autovalor da energia,

E

.      E t i

























r

r

r

r

r

sen

sen

r

sen







V



E



























































2 _{2 2 2} 2 ₂ 2 2

1

1

1

2















V

r



E



(

)

2

2 2





Separação de variáveis

Resumo

A eq. de Schrödinger em coordenadas esféricas

























r

r

r

r

r

sen

sen

r

sen



_



V



E



























































2 _{2 2 2} 2 ₂ 2 2

1

1

1

2



Separação de variáveis:

2 2 2

1

m

d

d











, com

m

inteiro, positivo ou negativo





     cos cos 1 2 ) ( ) ( 2             m m m d d sen

Soluções: Funções de Legendre

com

São as funções denominadas polinômios de Laguerre

...

3

,

2

,

1

,

0



m

25

São normalizados de acordo com a relação:

com

 





_lm

   



_m



momento angular orbital, associada a R(r), e ao módulo de L

número quântico magnético, associado a componente z do momento angular

) (









l z

m

L

l

l

L







(

1

)

Isso mostra que os valores possíveis de

L

2 _{e de}

_L

z são discretos

(quantizados), evidenciando a quantização do momento angular e da

componente z do momento angular.

)

,

,

(

)

1

(

)

,

,

(

2 2













r

l

l

r

L

_op







)

,

,

(

)

,

,

(













r

m

r

L

_z











m

m





m



L

_z

são

iguais

a

,

sendo

um

inteiro

tal

que

:

de

s

autovalore

os

2.

negativo

não

inteiro

um

sendo

),

1

(

a

iguais

são

de

s

autovalore

os

L

2



2









1. ,..., 3 , 2 , 1 , 0     m

São chamados de harmônicos esféricos

l l l l m l l , 1,...,0,1,... 1, ,... 3 , 2 , 1 , 0      

 





_lm

   



_m



Y

,







27

Assim, as funções são definidas por: com

Alguns exemplos de funções radiais normalizadas:

O problema 3D requer, como esperado, o aparecimento de 3 números

quânticos. Como vimos,

ℓ

e

m

estão associados à parte angular da função de onda e para cada valor de

E

_nℓ existem 2

ℓ

+ 1 funções de onda

diferentes, uma para cada possível valor de

m

. Dessa forma, a degenerescência do nível

n

, será: .

 / ) , ( ) ( ) , , , ( _{nl lm} E t nlm nl e Y r R t r















0 , 0 , 1    l m n

degenerescência

 / 00 10 100 1t E e Y R   

0

,

0

,

2







l

m

n

1

,

0

,

1

;

1







m

l

 / 00 20 200 2t E

e

Y

R







 / 1 21 21 2t E m m

R

Y

e









4 estados degenerados



29

Os valores permitidos para os números quânticos n, ,m associados as variáveis r,  e  são: l l l l m n l n l , 1,...,0,1,... 1, 1 ,..., 3 , 2 , 1 , 0 ... 3 , 2 , 1         l m n l n l    0





l z

m

L

l

l

L







(

1

)

Para qualquer potencial V= V(r) o momento angular é quantizado, e seus módulos permitidos (autovalores) são dados por:

  0,1,2,3,..., m ,..., 3 , 2 , 1 , 0 

l , l é chamado número quântico

momento angular

A componente z do momento angular também é quantizada,

Camada K, 1 estado Camada L, 4 estados Camada M, 9 estados Camada N, 16 estados

há n

2

estados distintos

notação espectroscópica spdfgh.... Valores de l 0 1 2 3 4 5.... os níveis de energia do elétron simples são

chamados camadas K L M N... com valores de n 1 2 3 4 ...





















,....,

)

1

,...(

3

,

2

,

1

,

0

....

3

,

2

,

1

m

n

n

31

Átomos com 1 elétron

Parte radial da eq. de Schrödinger, com autovalor de energia

E

:

Vamos inicialmente nos concentrar nos casos em que

ℓ = m = 0

, o que nos restringe aos harmônicos esféricos

Y

₀₀ (que são constantes): (isto seria o estado fundamental n=1)

Como a solução deve tender a 0, quando r tende a infinito, podemos tentar uma função que decaia exponencialmente:

Potencial Coulomb

ER

R

Ze

dr

R

d

dr

dR

r

































0 2 2 2 2

4

2

.

2







Temos, então, que:

e Substituindo na equação:

Essa igualdade vale para qualquer

r

,

O que fornece um valor para o parâmetro

a

:

Que é o raio de Bohr: autovalores da energia:

Coincide com a

expressão de Bohr para o estado fundamental do H. 0 1 2 4 2 2 1 2 2 2 2                _ r a Ze E a  _o  

0

2

1

2 2















_



E

a



2 2

2 a

E









2 2 4 2 2 2 2 2 2

2

)

4

(

)

4

(

)

(

2







o o

e

Z

Ze

E



















2 2 2 4 2 2 ) 4 ( n e Z E o n 





  0 2 4 2 2 2         a Ze o  

n=4 -0,8 4s 4p 4d 4f n=3 -1,5 3s 3p 3d n=2 -3,4 2s 2p n=1 -13,6 1s 33 permitido não permitido

Diagrama de níveis de energia do H

Cada transição representa a mudança de energia do átomo e deve ser compensada por emissão (ou absorção) e energia de outra forma.

Para conservar o momento angular total (átomo+ fóton) em uma transição óptica, o momento angular do elétron de um estado inicial e

um estado final deve diferenciar de uma unidade isto é:

1 1         _{f i} l= 0 1 2 3 4 5 .... . letra s p d f g h ... ....

SHARP PRINCIPAL DIFUSE FUNDAMEN TAL







r



d



r

_nlm* _nlm

A distância média entre o elétron e o núcleo é dado pelo valor esperado:

Para o estado estacionário:

0 ,

1 

 l

n

Para o estado fundamental:

a r a r 2 3 2 1 1         

A função de onda para o estado

fundamental do átomo de H

/ 3 / 100 1 t iE a r Bohr

e

a

e

 _







3 / 2 2 100

a

e

r a









Um elétron descrito pela função de onda acima é encontrado com probabilidade por unidade de volume dada por:

Não depende do ângulo, todo l=0 (estado s) são esfericamente simétricos A “posição” do e- agora é diluída no espaço não é mais bem determinada • DENSIDADE DE PROBABILIDADE •a probabilidade tem simetria esférica •é máxima na origem

• diminui exponencialmente com r

*

Observáveis

Determinação de probabilidades: medidas de

|



(r,



,



,t)|

2 _num

_d



_em

torno de uma certa orientação



, em um número grande de sistemas. Mas o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Pela condição de normalização, temos que:

Portanto:

espaço

espaço

E pela propriedade de normalização dos harmônicos esféricos

O que nos permite introduzir uma densidade de probabilidade radial, dada por:

sujeita à condição de normalização:

P

_nℓ é interpretada como a probabilidade da partícula ser encontrada em uma casca esférica de espessura

dr

a uma distância

r

da origem. Notem o aparecimento do fator

r

2 _{na definição de}

_P

nℓ, que faz com que a densidade

de probabilidade radial tenda a zero quando

r

o faz. Isso se deve ao fato de que o volume da casca esférica tende a zero com

r

2.

com temos que:

P

_nℓ nos dá a densidade de probabilidade radial para qualquer estado, para o estado s de simetria esférica é o mesmo que

Já que

(

)

4

1

)

(

r



R

r

















2 2

4



r



Observáveis

A probabilidade de encontrar um elétron em uma casca esférica entre r e r+dr P(r) dr = densidade de probabilidade radial

a distância mais provável é igual ao raio de Bohr =a= a₀

dr

r

e

C

dr

r

P

dr

r

R

R

dr

r

P

a r nl nl nl 2 / 2 2 2 *

)

(

)

(











2 2 ) (r R r P  _nl 

Notem o aparecimento do fator

r

2 _{na definição}

de

P(r)

, que faz com que a densidade de probabilidade radial tenda a zero quando

r

o faz. Isso se deve ao fato de que o volume da casca esférica tende a zero com

r

2.

Densidades de probabilidade

Apresentam simetria

esférica =0



Dependem de

_

_

 (cos

2₎ 1, m=0 Dependem de  (sen2_{) quando} 1, m=1 ou m= -1





2s 2p _2p





*

Distribuições angulares da

densidade de carga do elétron dependem do valor de l  / 2 / 1 21 1 21 1 t iE i a r Bohr e e sen e a r C _            / 2 / 210 210 1 cos 2 t iE a r Bohr e e a r C       

Representação da densidade de probabilidade

2

nlm

