TRABALHO
DE
Introdução
O objectivo da Programação Linear é optimizar problemas de decisão, usando para isso modelos que caracterizem uma realidade. A Programação Linear tornou-se então como uma forma eficiente de resolver uma vasta variedade de problemas que estão associados a inúmeros domínios, dos quais: no planeamento da distribuição e produção de produtos, nas decisões ligadas às políticas micro-económicas e macro-económicas da governação de países (por exemplo situações militares), no planeamento de curto prazo em aproveitamento hidroeléctricos, na utilização como sub-rotinas para o suporte de tarefas específicas em códigos de programação linear. Desta forma a Programação Linear têm aplicabilidade na indústria, na agricultura, na economia, entre outras.
Notas históricas e definição
A Programação Linear é uma técnica da Matemática Aplicada que constitui um dos ramos da Investigação Operacional, em que “Programação” se refere à programação de tarefas ou planificação, não sendo programação no sentido da Informática; e “linear” advém do facto de as expressões que se utilizam serem lineares.
Um modelo de Programação Linear é constituído por variáveis de decisão, as quais pretendemos determinar, por objectivo, isto é o que se pretende optimizar e por restrições, que têm de ser satisfeitas.
Para se determinar a solução de forma a cumprir o objectivo são utilizadas diferentes procedimentos, dos quais o método Simplex, que é o mais antigo, e o método Primal-Dual.
O método Simplex baseia-se num algoritmo que permite resolver problemas de Programação Linear, enquanto que o método Primal-Dual se baseia na representação gráfica.
O problema de optimizar uma função linear começou em 1826 com os estudos de Fourier relativamente aos sistemas lineares de inequações, mas só em 1939 se revelou a importância prática destes problemas, quando Kantorovich criou um algoritmo para a sua solução.
George Dantzig e outros cientistas do Departamento da Força Aérea Americana apresentaram em 1947 um método denominado Simplex, de forma a
resolverem os problemas de Programação Linear, cujas primeiras grandes aplicações foram no domínio militar.
Ainda em 1947, Koopman demonstrou a aplicabilidade da Programação Linear para a análise da teoria económica clássica.
Entre 1950 e 1965 foram desenvolvidos os algoritmos para os modelos de Programação Linear em rede, que se podem classificar em:
• Especialização do método Simplex • Método Primal-Dual
A especialização do método começou com Dantzig mas só atingiu o seu máximo com Ellis Johnson, em relação ao método Primal-Dual, este teve origem no algoritmo de Harold Kulm e foi finalizado com o algoritmo da condição de Delbert Fulkerson em 1961.
Enunciado do problema e tabela de síntese de dados
Uma loja de artigos de desporto tem em stock 90 fatos de treino, 50 pares de sapatilhas, que pretende pôr a venda numa campanha de saldos.
Para o efeito, está prevista a constituição de dois tipos de lotes:
Lote A: 2 fatos de treino + 1 par de sapatilhas, com o preço de 30€. Lote B: 3 fatos de treino + 2 pares de sapatilhas, com o preço de 45€.
Quantos lotes de cada tipo deve o dono da loja constituir para que a receita da venda seja máxima?
Lotes Artigos A B Nº de peças Fatos de treino 2 3 90 Pares de sapatilhas 1 2 50 Preço 30€ 45€
Resolução do problema
• Método analítico
Equação da receita y x
R=30 +45 , pois a receita é igual à soma do número de lotes multiplicado pelo preço de cada um deles (tomando como variável “x” o lote A e como variável “y” o lote B). Limitações ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≥ ≤ + ≤ + 0 0 50 2 90 3 2 y x y x y x Resolução do problema ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 50 2 90 3 2 y x y x ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ − = = + y x y x 2 50 90 3 2 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ − = = + − y x y y 2 50 90 3 ) 2 50 ( 2 ⇔ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ − = = + − y x y y 2 50 90 3 4 100 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = = 30 10 x y
A solução do problema seria y=10 e x=30, ou seja, para se atingir a receita máxima teria que se vender 30 lotes do tipo A e 10 lotes do tipo B.
• A primeira equação (2x+ y3 ≤90) significa que a venda dos fatos de treino, seja qual for o lote, não poderia ultrapassar as 90 peças.
• A segunda equação (x+ y2 ≤50) significa que a venda de pares de sapatilhas, seja qual for o lote, não poderia ultrapassar os 50 pares.
• As equações x≥0 e y≥0 impõe que a venda de lotes não seja negativa.
•
Método gráfico
Limitações ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≥ ≤ + ≤ + 0 0 50 2 90 3 2 y x y x y xAo traçarmos a recta 2x+ y3 =90obteríamos o seguinte gráfico:
Logo, ao traçarmos ambas as rectas, com as devidas restrições, obteríamos o seguinte gráfico:
O gráfico terá três soluções, sendo: • (0,25)
• (45,0)
• Método da utilização de calculadora gráfica
1º- Ligar a máquina e escolher a opção “graph” no menu.
2º- Seleccionar a tecla “F3” (type no visor) e de seguida “F6” (seta) e a tecla “F4”. 3º- Inserir as inequações. (2x+ y3 ≤90 e x+ y2 ≤50).
4º- Seleccionar a tecla “F3” (type no visor) e de seguida “F6” (seta) e desta vez a tecla “F3”.
5º- Inserir a equação y≥0
6º- Seleccionar a tecla “EXE” para esboçar o gráfico.
7º- Seleccionar a tecla “shift” e de seguida “F3” para aceder a opção “v-window” para ajustar com as seguintes opções:
• Xmin:0 (para dar a ideia d x≥0 já que tal não é função). • Xmax:45
• Ymin:0 • Ymax35
8º- Seleccionar a tecla “shift” e de seguida “F5” para aceder à opção “G-Solv”, em que se seleccionará de seguida a tecla “F5” para aceder à opção “ISCT” que lhe dará as intercepções, sendo estas algumas das soluções possíveis, sendo elas (0,25), (45,0) e (30,10).
Conclusão
Lote A
Lote B
Receita (
R=30x+45y)
0 25
1125
45
0
1350
30
10
1350
De acordo com os resultados obtidos podemos concluir que vendendo 45 lotes do tipo A, ou 30 lotes do tipo A e 10 lotes do tipo B, a receita seria de 1350€, sendo ambas a solução ideal.
A Programação Linear apresenta uma grande aplicabilidade no quotidiano, estando presente em diversas áreas como indústria, situações militares, agricultura e apresentando o seu desenvolvimento máximo na área económica, como já foi referido anteriormente. Daí ser muito importante estarmos familiarizados com os problemas que a programação linear nos permite resolver. Relativamente ao nosso problema, a programação linear possibilitou-nos a tomada de decisão em termos de planeamento, com o intuito de maximizar a receita máxima de uma loja de artigos de desporto.
Este trabalho permitiu-nos pôr em prática os conhecimentos aprendidos na aula, aprofundando os mesmos e dando-nos uma perspectiva mais ampla das aplicabilidades e importância da Programação Linear.
