CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA
Aula de Derivada
Definição da Primeira Derivada
Nesta seção, é definida a primeira derivada de uma função e são examinadas várias interpreta ções dela. A primeira derivada de uma função num ponto é a declividade da função neste ponto. A definição precisa deste conceito é a seguinte:
A declividade m de uma reta é definida como a tangente do seu ângulo de inclinação ou, de forma equivalente, como a taxa de variação da distância vertical (elevação) relativa
da distância horizontal (percurso), à medida que um ponto se move ao longo da reta, em qualquer sentido (veja a Figura 2.13).
A declividade de qualquer reta dada é uma constante isto é, a taxa de variação de
varia é constante ao longo da reta. Contudo, para outras curvas a declividade não é constante e deve ser determinada para cada ponto em particular.
Suponha que (x1, y1) e (x2, y2) sejam dois pontos quaisquer da curva
da reta (chamada secante) que liga (x
Suponha, agora, que o ponto (x
longo da curva y = f(x), em direção ao ponto (x geral, a declividade da reta que liga (x
acontece realmente para a maioria das curvas encontradas na prática
CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA
Nesta seção, é definida a primeira derivada de uma função e são examinadas várias interpreta ções dela. A primeira derivada de uma função num ponto é a declividade da função neste ponto. A
precisa deste conceito é a seguinte:
A declividade m de uma reta é definida como a tangente do seu ângulo de inclinação ou, de forma equivalente, como a taxa de variação da distância vertical (elevação) relativa
ercurso), à medida que um ponto se move ao longo da reta, em qualquer
݉ = ݐܽ݊ߠ = ݕݔଶ− ݕଵ
ଶ− ݔଵ=
∆ݕ ∆ݔ
A declividade de qualquer reta dada é uma constante isto é, a taxa de variação de
reta. Contudo, para outras curvas a declividade não é constante e deve ser determinada para cada ponto em particular.
) sejam dois pontos quaisquer da curva y = f(x). da reta (chamada secante) que liga (x1, y1) e (x2, y2) é dada por
݉௦= ݕݔଶ− ݕଵ ଶ− ݔଵ=
∆ݕ ∆ݔ
Suponha, agora, que o ponto (x1, y1) seja fixado, enquanto o ponto (x
em direção ao ponto (x1, y1 ). À medida que o ponto (x
geral, a declividade da reta que liga (x1, y1) e (x2, y2) variará. Entretanto, pode acontecer
acontece realmente para a maioria das curvas encontradas na prática — que à medida que o ponto CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA
Nesta seção, é definida a primeira derivada de uma função e são examinadas várias interpreta-ções dela. A primeira derivada de uma função num ponto é a declividade da função neste ponto. A
A declividade m de uma reta é definida como a tangente do seu ângulo de inclinação ou, de forma equivalente, como a taxa de variação da distância vertical (elevação) relativamente à variação ercurso), à medida que um ponto se move ao longo da reta, em qualquer
A declividade de qualquer reta dada é uma constante isto é, a taxa de variação de y quando x reta. Contudo, para outras curvas a declividade não é constante e deve
y = f(x). Então, a declividade
) seja fixado, enquanto o ponto (x2, y2) é movimentado ao
). À medida que o ponto (x2, y2) se move, em
) variará. Entretanto, pode acontecer — e que à medida que o ponto
(x2, y2) se aproxima cada vez mais do ponto (x
quantidades cada vez menores e, de fato, aproxi acontece, diz-se que o valor limite é a decli 2.14)].
De modo mais conciso, se, à medida que o ponto (x
curva y = f(x), a declividade da secante tende a um valor limite cons limite é a declividade da tangente à curva em (x
em (x1, y1) ou a declividade de f(x) em (x
lim
∆௫→݉௦=
A declividade de uma função num dado ponto é a Costuma-se definir a primeira derivada utilizando (x1, y1) e a notação (x +Δx, y + Δy) para o ponto m
݀ݕ ݀ݔ
é a primeira derivada em relação a x da função de x e deixar de existir para outros. Em cada ponto y = f(x) tem uma derivada ou é
simplesmente, a derivada de y = f(x).
conhecido como diferenciação. Vários tipos de notação, além de
primeira derivada de y = f(x) em relação a x. Os mais comuns entre estes são:
Deve ser observado que a primeira derivada de uma função em relação a x é, em geral, outra ) se aproxima cada vez mais do ponto (x1, y1), a declividade da reta secante varia em
quantidades cada vez menores e, de fato, aproxima-se de um valor limite constante. Quando isto se que o valor limite é a declividade da tangente à curva em (x
onciso, se, à medida que o ponto (x2, y2) se aproxima do ponto (x
a declividade da secante tende a um valor limite constante, então diz
limite é a declividade da tangente à curva em (x1, y1) ou, em poucas palavras, a declividade da curva
em (x1, y1). Isto é,
= lim∆௫→∆ݕ∆ݔ = ݈݀݁ܿ݅ݒ݂݅݀ܽ݀݁݀݁(ݔ)݁݉ (ݔଵ, ݕଵ
A declividade de uma função num dado ponto é a primeira derivada da função neste se definir a primeira derivada utilizando-se a notação (x, y)
Δy) para o ponto móvel (x2, y2). Então
݀ݕ ݀ݔ = lim∆௫→ ∆ݕ ∆ݔ = lim∆௫→ ݂(ݔ+ ∆ݔ) − ݂(ݔ) ∆ݔ
é a primeira derivada em relação a x da função y = f(x). Este limite pode existir para alguns valores de x e deixar de existir para outros. Em cada ponto (x, y) onde este limite existe, diz
tem uma derivada ou é diferenciável, e diz-se que dx dy
é a primeira derivada ou, y = f(x). O processo para se obter a primeira derivada de uma função é
Vários tipos de notação, além de dx dy
são utilizado em relação a x. Os mais comuns entre estes são:
y D x
f
y´ , ´( ) , x
Deve ser observado que a primeira derivada de uma função em relação a x é, em geral, outra declividade da reta secante varia em se de um valor limite constante. Quando isto vidade da tangente à curva em (x1, y1) [(veja a Figura
) se aproxima do ponto (x1, y1) ao longo da
tante, então diz-se que este valor as palavras, a declividade da curva
ݕଵ)
da função neste ponto. y) para o ponto estacionário
Este limite pode existir para alguns valores onde este limite existe, diz-se que a função é a primeira derivada ou, O processo para se obter a primeira derivada de uma função é são utilizados para denotar a em relação a x. Os mais comuns entre estes são:
função de x que deve ser calculada para
acima de que, exceto para retas, as curvas não têm em geral a mesma declivida pontos.
A partir da definição de derivada e das propriedades de limites, podem ser obtidas regras par se encontrar as derivadas de vários tipos de funções. Estas serã
fim de ilustrar este fato, as derivadas de várias funções relativamente simples são obtidas diretamente, em vez de se utilizar as fórmulas.
Exemplo: Ache a primeira derivada de y = 4x + 1.
4 4 lim 4 lim ) 1 4 ( 1 ) ( 4 lim ) ( ) ( lim 0 0 0 0 x x x x x x x x x x x x f x x f dx dy
Observe que y = 4x + 1 representa uma reta e, portanto,
Velocidade de um Corpo em Movimento
Considere um corpo (ou uma partícula) movendo t o tempo medido a partir de um determinado instante, e uma origem fixa na reta, onde s é positiva ou negativa, d
da origem. Suponha que a distância a partir da origem seja dada em termos do tempo pela função f(t) chamada lei do movimento. [Por exemplo, pense que o corpo ou a partícula é um automóvel que passa por uma estrada reta, de tal maneira que sua distância desde o ponto de partida é dada como uma função de t por s=f(t)]
Num determinado instante t1, suponha que a partícula esteja a uma distância
suponha que durante o intervalo de tempo Δt, ela s 2.15). Se a razão t S
for constante, de forma que distâncias iguais sejam sempre percorridas em intervalos iguais de tempo, o movimento é chamado
em qualquer instante. O termo velocidade é
que deve ser calculada para valores particulares. Isto corresponde ao fato estabelecido acima de que, exceto para retas, as curvas não têm em geral a mesma declivida
A partir da definição de derivada e das propriedades de limites, podem ser obtidas regras par se encontrar as derivadas de vários tipos de funções. Estas serão dadas numa seção posterior. A
de ilustrar este fato, as derivadas de várias funções relativamente simples são obtidas diretamente, em vez de se utilizar as fórmulas.
imeira derivada de y = 4x + 1.
Observe que y = 4x + 1 representa uma reta e, portanto, dx dy
é uma constante.
Velocidade de um Corpo em Movimento
Considere um corpo (ou uma partícula) movendo-se ao longo de uma trajetória em linha reta. Seja o tempo medido a partir de um determinado instante, e s a distância da partícula me
é positiva ou negativa, de acordo com o sentido do movimento a partir da origem. Suponha que a distância a partir da origem seja dada em termos do tempo pela função
[Por exemplo, pense que o corpo ou a partícula é um automóvel que strada reta, de tal maneira que sua distância desde o ponto de partida é dada como
suponha que a partícula esteja a uma distância
suponha que durante o intervalo de tempo Δt, ela se mova a uma distância Δs da origem (veja a Figura
for constante, de forma que distâncias iguais sejam sempre percorridas em intervalos iguais de tempo, o movimento é chamado uniforme e a razão
t S
velocidade é freqüentemente usado para deno
valores particulares. Isto corresponde ao fato estabelecido acima de que, exceto para retas, as curvas não têm em geral a mesma declividade em diferentes
A partir da definição de derivada e das propriedades de limites, podem ser obtidas regras para o dadas numa seção posterior. A de ilustrar este fato, as derivadas de várias funções relativamente simples são obtidas
é uma constante.
se ao longo de uma trajetória em linha reta. Seja a distância da partícula medida a partir de e acordo com o sentido do movimento a partir da origem. Suponha que a distância a partir da origem seja dada em termos do tempo pela função s = [Por exemplo, pense que o corpo ou a partícula é um automóvel que strada reta, de tal maneira que sua distância desde o ponto de partida é dada como
suponha que a partícula esteja a uma distância s1 da origem 0, e
Δs da origem (veja a Figura
for constante, de forma que distâncias iguais sejam sempre percorridas em é denominada velocidade freqüentemente usado para denotar a magnitude — isto é,
o valor absoluto — da velocidade.
Se, entretanto, o movimento não for uniforme, a razão t S
varia, à medida que Δt varia, e não representa mais a velocidade da partícula em qualquer instante. Em vez disso, representa a velocidade média da partícula durante um determinado intervalo de tempoΔt :
velocidade média durante o intervaloΔt = t S
À medida que o intervalo de tempo Δt tende a zero, esta velocidade média pode tender a um limite. Se isto ocorrer, diz-se que este limite é a velocidade instantânea no instante t1:
velocidade instantânea no instante t1=
t S t lim0
Mas, por definição,
t S
t
lim0 é a primeira derivada de f(t) no ponto t = t1. Portanto, num instante t1, a velocidade de uma partícula que se move numa reta, de acordo com a lei do movimento s = f(t), onde s é a distância orientada a partir de uma origem fixa e t é o tempo, é dada pelo valor da derivada de s em relação a t para t = t1.
Exemplo: A distância de um trem desde o seu ponto de partida, quando ele viaja ao longo de um trilho em linha reta, é dada pela equação ݏ= 16ݐଶ+ 2ݐ, onde s é a distância em quilômetros e t é o tempo em horas. Ache a distância percorrida e a velocidade após 2 horas.
Assim, após 2 horas, s = 64 + 4 = 68 quilômetros percorridos.
ݒ =݀ݏ݀ݐ= lim∆௧→݂(ݐ+ ∆ݐ) − ݂(ݐ)∆ݐ = lim∆௧→16(ݐ+ ∆ݐ)ଶ+ 2(ݐ+ ∆ݐ) − 16ݐ∆ݐ ଶ− 2ݐ = lim∆௧→16ݐଶ+ 32ݐ(∆ݐ) + 16(∆ݐ)∆ݐଶ+ 2ݐ+ 2∆ݐ− 16ݐଶ− 2ݐ= lim∆௧→32ݐ(∆ݐ) + 16(∆ݐ)∆ݐ ଶ+ 2(∆ݐ) = lim∆௧→[32ݐ+ 16(∆ݐ) + 2] = lim∆௧→(32ݐ+ 2) ݀ݏ ݀ݐฬ௧ୀଶ= 64 + 2 = 66 ݇݉ ℎ ܣ ݊ݐܽçã ݀ݏ݀ݐฬ ௧ୀଶ ݏ݂݅݃݊݅݅ܿܽ ݍݑ݁ܽ ݂ݑ݊çã ݀ݏ ݀ݐ é ܽݒ݈ܽ݅ܽ݀ܽ ܽݎܽݐ= 2
Taxa de Variação de uma Função
Sejam p e q as medidas de duas variáveis relacionadas e suponha que q seja uma função de p isto é, q = f(p). Se a razão
p q
das variações correspondentes nas duas variáveis tiver o mesmo valor para todos os valores de Δp, ela é chamada taxa de variação de q em relação a p e diz-se que q varia uniformemente em relação a p. Mas, se a razão
p q
não for constante, à medida que p varia, q não
varia uniformemente e p q
intervalo Δp. Se a razão p q
tende a um limite quando Δp tende a zero, diz-se, então, que este limite é a taxa de variação instantânea de q em relação a p.
A partir da definição da derivada, segue-se que a taxa de variação instantânea de uma quantidade variável q em relação a uma quantidade variável relacionada p é dada pela derivada de q em relação a p, isto é, p q .
Costuma-se utilizar a expressão "taxa de variação de uma função" como equivalente à derivada
da função.
Se a variável q puder ser expressa como uma função da variável tempo t, então a derivada p q
de q em relação a t dá a taxa de variação no tempo de q. Assim, a velocidade de uma partícula é a taxa de variação no tempo da sua distância a partir da origem.
A interpretação de uma derivada em termos da taxa de variação de uma função é freqüentemente aplicável na Economia, como é discutido a seguir.
