Eixo Temático: Resolução de Problemas e Investigação Matemática

Encontro Paulista de Educação Matemática: XI EPEM. São José do Rio Preto: SBEM/SBEM-SP, 2012, pp.1-10. (ISBN N. 978-85-98092-14-0)

Eixo Temático: Resolução de Problemas e Investigação Matemática

OS NÚMEROS DECIMAIS EM SEUS DIVERSOS SIGNIFICADOS: MOTIVANDO A EXPLORAÇÃO POR ALUNOS DO ENSINO

FUNDAMENTAL1

Caroline Miano Lima - Universidade Federal do ABC ([email protected]) Daniele Rocha - Escola Estadual Profª Esther Medina ([email protected])

Resumo

O presente relato tem por objetivo apresentar a análise e algumas conclusões de uma das atividades aplicadas aos sextos anos da Escola Estadual Professora Esther Medina, que participa do PIBID na área de Matemática da Universidade Federal do ABC, desde 2011. Após discutir com os alunos as profissões, situações e ambientes nos quais podemos encontrar os Números Decimais, apresentamos a impossibilidade de viver na sociedade moderna apenas com a utilização dos Números Inteiros. Diante dessas reflexões, os alunos mostraram bastante interesse ao começar a aprender as operações matemáticas básicas com a representação decimal dos números racionais. Em um primeiro momento, a proposta foi trabalhar com a soma e multiplicação, contando com o auxílio de uma calculadora. Depois, teriam de operar mentalmente, trabalhando com valores de moedas para compor valores em Reais. Os alunos mostraram um conhecimento prévio rico em informações quanto às situações do dia-a-dia em que podemos observar a utilização dos Números Decimais, de modo que, quando questionados, fizeram uma ponte entre o conceito e as profissões, explicando onde e como esses números aparecem. Todos operaram a calculadora de forma muito satisfatória, respeitando os pontos para separação dos números inteiros. Também conseguiram demonstrar com facilidade as diferentes maneiras de representar o mesmo número através da soma de parcelas. Por meio dessa abordagem diferenciada, pudemos atingir até os alunos mais dispersos e concluímos que, ao contextualizar os conceitos matemáticos nas situações vividas pelo aluno, ou presentes de alguma forma em seu cotidiano, houve um melhor entendimento, ampliação e aplicação dos diferentes significados de um mesmo conceito.

Palavras Chave: Números decimais; Esferas de Prática; Diálogo na sala de aula; Ensino fundamental.

1_{O presente relato de experiência é um dos resultados das ações que vêem sendo desenvolvidas pelos}

bolsistas do Programa PIBID, coordenado pelo Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro ([email protected]), na UFABC, junto ao Centro de Matemática, Computação e Cognição (CMCC).

Introdução

Vários pesquisadores, como Moura (1995), Bezerra (2002, 2009), Catalani (2002), Woerle (1999), Cunha (2002), Pérez (1997), Brousseau (1980, 1981), têm se dedicado ao estudo das frações, e em especial à medida. Esses estudos examinam as concepções, representações e significações dos alunos com relação a esses conceitos. Há consenso entre eles sobre a dificuldade de aprendizagem relativa aos conceitos matemáticos encontrar ênfase exagerada ao aspecto lógico-formal do ensino.

Concordamos com Pérez (1997) que toda pessoa com um pouco de instrução reconhece que esses números são signos de uma linguagem que permitem expressar, uma vez fixada a unidade, medidas de quantidades menores que ela. Diariamente medimos superfícies, volumes, tempo, fenômenos sociais, políticos e econômicos, e em todos os casos a vírgula separa as unidades inteiras das decimais. Porém sua compreensão por parte dos alunos não é fácil, uma vez que nestas atividades estão implícitos os conceitos de infinito e de contínuo. São as atividades propostas pelos professores que permitiram dar significado ao número decimal, permitindo também ao aluno uma aproximação maior ou menor deste objeto de saber, processo esse denominado transposição didática (Chevallard, 1985).

Parece-nos importante que o professor conheça o melhor possível do objeto matemático que irá ensinar, porque ele lhe permitirá adequar e avaliar qual deve ser o grau de dificuldade a ser abordado em cada etapa da aprendizagem.

Neste trabalho procuramos valorizar os conhecimentos prévios de cada aluno, a participação em aula foi muito importante, assim como o compartilhamento do conhecimento específico de cada aluno que participou de nossa experiência. A atividade procurou auxiliar também na construção de um perfil conceitual dos números decimais, além de ensinar a utilizar um novo instrumento tecnológico – a calculadora – para introduzir as operações matemáticas com essa representação dos números racionais.

Mesmo com a heterogeneidade cultural presente em uma sala de aula, houve a preocupação em dar ênfase às esferas de prática, ao mesmo tempo próximas e ainda estranhas aos alunos. Procuramos trabalhar o cálculo mental por meio da soma de valores de moedas, de modo que as atividades feitas durante nossa experiência não se distanciassem tanto da realidade vivida por eles, mas que exigissem uma nova habilidade: a de trabalhar mentalmente com essa nova representação dos números.

Ao final da atividade, esperava-se que, além de ter em mente a importância que os Números Decimais apresentam nas diferentes esferas de prática apresentadas, os

alunos estivessem familiarizados com as operações que foram trabalhadas e que pudessem enxergar facilmente que uma mesma quantia que pode ser representada por somas de diferentes valores, com o objetivo de expandir esse conhecimento já sólido posteriormente.

Como nossa experiência foi desenvolvida

Desenvolvida ao longo de um mês e com o objetivo de apresentar as diferentes esferas de práticas2 que abrangem os números decimais, a atividade foi elaborada por uma das alunas bolsistas do PIBID de Matemática da Universidade Federal do ABC e sua Professora Supervisora – autoras deste relato de experiência. Foi aplicada nos sextos anos da Escola Estadual Professora Esther Medina, no município de Santo André/SP, região do Grande ABC, no dia 25 de junho de 2012. Nossa experiência contou com a participação de 23 alunos e foi realizada durante três aulas de 50 minutos cada.

Antes da aplicação da atividade, diferentes profissionais foram entrevistados para que pudéssemos obter, em termos técnicos de quem trabalha nas diferentes áreas, a importância da utilização dos números decimais nas profissões escolhidas. Foram entrevistados: uma acionista, um comerciante, um açougueiro, um pintor, uma gerente e uma caixa de banco, com as seguintes perguntas:

1. Como os números decimais são utilizados na sua profissão? Cite exemplos.

2. Seria possível não trabalhar com os números decimais? Por quê?

A maioria dos entrevistados, após exemplificar os usos em sua esfera de prática, mostrou que seria praticamente impossível trabalhar utilizando apenas números inteiros, ou que haveria um grande desperdício de mercadoria e dinheiro.

Passamos agora a apresentar como foi a aplicação de nossa atividade em sala de aula:

1ª PARTE – Perguntas e apresentação do tema:

Começamos a aula perguntando aos alunos se já haviam visto qualquer representação decimal em algum lugar no seu cotidiano. Após a participação e a interação da grande maioria dos alunos, introduzimos o tema utilizando uma

2 _{Esferas de práticas são ambientes e/ou contextos nos quais um determinado conceito assume um}

significado especifico. As entrevistas com diferentes profissionais foram necessárias para apresentar as diferentes esferas de prática aos alunos da visão de cada profissão, esperando obter termos próprios e conhecimentos específicos, às vezes desconhecidos para quem não atua na área.

apresentação de slides, nos quais foram colocadas fotos dos ambientes que eles provavelmente já tinham contato e nos quais a utilização de números decimais fosse “evidente”, como na televisão, no supermercado, na rua, na escola, nas bebidas, nos carros.

Depois de enfatizar os ambientes que muitos já conheciam, foi hora de colocar em discussão as profissões: após a explicação da função que cada um dos profissionais exerce na sociedade, mostramos aos alunos as respostas obtidas nas entrevistas.

2ª PARTE – Tabela 013:

Após dividir a sala em grupos de três alunos, foi entregue uma calculadora científica, uma Tabela 01 e um folheto de supermercado. A Tabela 01 consistia em uma lista de produtos que podem ser encontrados em supermercados e que os alunos poderiam encontrar no folheto. Nela, pedia-se o preço unitário de cada produto especificado, o preço de determinada quantidade do produto e o preço total dessa lista de compras.

3ª PARTE – Tabela 024:

A terceira parte da atividade consistia em entregar a cada dupla uma Tabela 02, na qual eles deveriam colocar a quantidade de moedas de diversos valores (R$1,00; R$0,50; R$0,25; R$0,10; R$0,05), as quais seriam usadas para totalizar cada valor dos produtos da primeira tabela. O desenvolvimento desta parte da atividade utilizou a situação-problema descrita abaixo:

“E se fôssemos ao mercado e precisássemos comprar (as quantidades dos produtos descritos na Tabela 1) ____________, sabendo que só podemos pagar com moedas, quantas moedas de cada valor usaríamos?”

4ª PARTE – Finalização:

Para cada aluno, uma terceira folha de atividade foi entregue, contendo duas perguntas:

1. Agora mostre três formas diferentes de pagar um pacote de balas de R$ 6,55; usando apenas moedas.

2. Qual é o modo em que utilizaremos menos moedas? É a melhor forma de pagar

3 _{Em anexo} 4 _{Em anexo}

o pacote que você comprou?

Algumas reflexões teóricas

Na dinâmica de uma atividade é comum que o professor se coloque como único possuidor de conhecimento diante de suas afirmações, onde só ele fala e espera que seus alunos alcancem os objetivos definidos por ele. Entretanto, segundo Mortimer & Scott (2002): “O que torna o discurso funcionalmente dialógico é o fato de que ele expressa mais de um ponto de vista, mais de uma ‘voz’ é ouvida e considerada” (p.287). Entender a enunciação de outra pessoa significa se orientar em relação a ela, encontrar seu lugar no contexto correspondente. É como se nós especificássemos, em resposta a cada palavra da enunciação, que estamos em processo de entendimento. Segundo Voloshinov (1973, p.102), qualquer entendimento verdadeiro é dialógico por natureza.

Na sala de aula, o professor é o mediador da relação entre o estudante e o conteúdo a ser pensado, e por meio de diversos processos, guiam as descobertas na aprendizagem, frente ao ensino na sala de aula. (KILPATRICK; HOYLES; SKOVSMOSE, 2005)

Quando pedimos para que os alunos expressassem suas opiniões, seus pontos de vista, seus conhecimentos sobre os números decimais, permitimos que a diversidade de ideias ligadas a contextos cotidianos contribuíssem para o processo de construção de significados. É possível encontrar nas diversas áreas do currículo situações que exijam para sua descrição a utilização dos números decimais. Nas ciências naturais, por exemplo, para classificar plantas pelo tamanho de suas folhas, analisar o crescimento de um vegetal, definir o peso e a estatura dos corpos, medir a temperatura, conhecer o tamanho dos micro-organismos, vírus, células, etc.

Segundo Cunha (2002), o conhecimento de uma grandeza está vinculado à sua medição, ao número a ela atribuído e a dificuldade da aprendizagem conceitual dos números tem consequência na matemática, cuja aprendizagem dos conceitos está vinculada à leitura e interpretação dessas medidas. O diálogo em sala de aula é a interação entre professor e aluno, e nós entendemos que o aluno por si só muitas vezes não consegue estabelecer ligações de seus conhecimentos com teorias ou conceitos, mas a intervenção do professor permite ao aluno construir uma ponte entre seu conhecimento e os significados de determinados conteúdos.

significado tanto pelo processo de aprendizagem que se dá na sala de aula de matemática como pelo conhecimento ganho fora dela: que é usualmente conhecido como conhecimento prévio do aluno. Tais reflexões vão ao encontro das idéias de Vygotsky (1987), que defendeu que a aprendizagem dos conceitos tem origem nas práticas sociais, nas quais o processo de apropriação do conhecimento se dá no decurso do desenvolvimento das relações reais e efetivas do sujeito com o mundo.

Propomos em nossa atividade resgatar ou incluir as aplicações de números decimais na sociedade e no cotidiano, a fim de que essa realidade, que pode ser vivida pelos alunos (diferentes esferas de prática), e a matemática não estejam distantes a ponto de não serem relacionadas por eles. Investigar relações entre esferas de prática distintas pode facilitar a pesquisa dos significados em Educação Matemática. Com nosso trabalho pretendíamos: (1) entender melhor a mediação de significado: (2) preencher lacunas de significado; (3) estimular a evolução de significados; (4) possibilitar a comunicação de significado; entre outras situações importantes e relevantes para a aprendizagem de conceitos matemáticos segundo seus diferentes significados. (KILPATRICK; HOYLES; SKOVSMOSE, 2005).

Análise dos Resultados

Na primeira parte da atividade, quando analisamos os conhecimentos prévios dos alunos sobre os diferentes ambientes nos quais podemos observar os números decimais, obtivemos diversas respostas por parte deles, dentre elas: os preços, as alturas dos indivíduos, as larguras de objetos, pesos, bebidas, estradas, notas nas provas, placas de trânsito; e nas profissões: motoristas, professores, engenheiros e químicos. Algumas respostas já eram esperadas por nós, mas outras nos chamaram bastante a atenção, principalmente o fato de que, quando questionados sobre as profissões que utilizavam os números decimais, eles conseguiram fazer uma relação entre o conceito e as profissões, explicando onde e como esses números aparecem.

Algumas dúvidas poderiam surgir quanto às diversas profissões abrangidas, como acionista e gerente de banco, mas vários alunos sabiam quais eram suas funções e até deram a definição de “ações”, o que nos deixou bastante impressionadas. Para resolver o possível problema da “falta” de conhecimentos prévios sobre os profissionais, antes de mostrar as respostas das entrevistas, cada profissão era explicada individualmente.

de uma calculadora, a multiplicação de números decimais por números inteiros (ao multiplicar o preço unitário de um produto pela quantidade que estava na lista) e trabalhar a soma desses valores na calculadora (ao pedir para calcularem o total da compra).

Durante o preenchimento da Tabela 01, dois itens foram colocados na lista propositalmente:

Quantidade Produto Preço Unitário Preço Total

8 Creme de Ricota Tirolez 3,95 31,60

5 Café Solúvel Nescafé 6,28 31,40

Como os alunos estavam fazendo a multiplicação em uma calculadora, o resultado do primeiro item sairia da seguinte forma: “31.6”. Algumas duplas vieram nos perguntar se este número significava “trinta e um reais e sessenta centavos” ou “trinta e um reais e seis centavos”. O que era uma dificuldade já esperada. O segundo item foi colocado para avaliar se as dúvidas estavam esclarecidas.

Quando entregamos a Tabela 02, algumas duplas fizeram individualmente, comparando os resultados e chegando sozinhos à conclusão de que todas as respostas estavam igualmente corretas independente de quantas moedas resultavam no total. Essa parte da atividade pretendia fazer com que eles relacionassem os números decimais com algo mais presente em seus cotidianos, como o uso do dinheiro. Dessa forma, pretendíamos trabalhar também o cálculo mental com números decimais.

O objetivo das questões presentes na quarta parte da atividade era verificar o entendimento individual e geral dos alunos sobre uma mesma quantia que pode ser representada por somas de diferentes valores. Quando todos responderam as duas questões de finalização, a grande maioria (78% dos alunos) mostrou duas ou mais formas de pagar os R$ 6,55. Além disso, percebemos que entenderam perfeitamente que a quantidade de moedas que possuímos não é proporcional ao valor que elas representam juntas, conseguindo, dessa forma, avaliar também o cálculo mental com números decimais.

Conclusões e Considerações Finais

Utilizando-se da dialética entre os processos de ensino e de aprendizagem, o nosso objetivo foi fazer com que os alunos criassem um entendimento individual sobre

os conceitos matemáticos inseridos na sala de aula (em nosso caso, os números racionais em sua representação decimal), entendimento este baseado em diferentes perspectivas sócio-culturais e de modo que seus conhecimentos prévios não fossem desvalorizados.

A atividade descrita no presente relato proporcionou diversos aspectos positivos, como a participação do aluno em todas as etapas de sua aplicação, a aproximação dos conceitos abrangidos para os seus cotidianos e a introdução de uma “nova” tecnologia para o ensino (a calculadora). Além disso, houve a valorização de conhecimentos próprios, a facilidade da analogia com os cálculos mentais e a compreensão das diferentes esferas de prática que abrangem os Números Decimais.

Nesse sentido, entendemos que atingimos um objetivo de auxiliar os alunos na compreensão das diversas operações matemáticas com a representação decimal dos números racionais e de entrelaçar os diferentes significados que um mesmo conceito pode assumir. Por outro lado, é extremamente importante dar continuidade à temática abordada de modo que se possibilite ao aluno fazer os cálculos manualmente e exercitá-los mentalmente para que os conhecimentos construídos durante a atividade não sejam perdidos.

Pudemos perceber que, com uma abordagem diferenciada, até os alunos mais dispersos, os que não possuem tanto interesse e aqueles que possuem dificuldades na matemática escolar, conseguiram colocar foco na realização da atividade e compreender o conceito em discussão. Assim, foi possível trabalhar com a diversidade cultural presente nas salas de aula.

Entretanto, entendemos que é comum que a falta de tempo ou de envolvimento dos professores dificulte o preparo e a aplicação de aulas inovadoras no cronograma das escolas. O Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) permite que os estudantes da Graduação tenham diversas experiências e um maior preparo, bem como as Professoras Supervisoras – que já atuam nas salas de aula – tenham uma excelente oportunidade de formação continuada. Dessa forma, o entusiasmo de ensinar não será apenas inicial e teremos uma base consistente de referências teóricas e de experiências práticas para educar os alunos com diferentes perspectivas de ensino.

Referências Bibliográficas

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_______________ Problèmes de Didactique des décimaux. Recherches en Didactique des Mathematiques. Grenoble, vol. 2, nº 1. 1981.

CATALANI, É. O conceito de fração-razão - uma análise dos processos dos alunos em atividades fundamentadas no enfoque histórico-conceitual. Dissertação de Mestrado em Educação. Campinas (SP): UNICAMP, 2002.

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CUNHA, M. R. K. A quebra da unidade e o numero decimal. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática. São Paulo: PUC/SP, 2002.

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MORTIMER, E.F. e SCOTT, P. 2002. Atividade discursiva nas salas de aula de ciências: uma ferramenta sociocultural para analisar e planejar o Ensino. Investigações em Ensino de Ciências, 7 (3), pp. 283-306.

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PÉREZ, J. C. Números decimales. Por qué? Para qué? Madrid: Editorial Sintesis, São Paulo, 1997.

VOLOSHINOV, V.N. 1973. Marxism and the philosophy of language. Trans. L. Matejka and I.R. Titunik. New York: Seminar Press, 1973.

VYGOTSKY, L.S. (1987). Pensamento e Linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 1987. WOERLE, N. H. Números racionais no ensino fundamental: múltiplas representações. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de

São Paulo, 1999.

Anexos

- Tabela 1

Quantidade Produto Preço Unitário Preço Total

4 Azeite Carrefour

2 Queijo Ipanema

8 Creme de Ricota Tirolez 9 Macarrão com ovos Petybon 5 Café Solúvel Nescafé 6 Creme de Avelã Nutella 4 Mistura para bolo Sol

4 Mel Apis Vida

3 Amandita Lacta

7 Chocolate Kit Kat 2 Aquecedores de ar Britânia

TOTAL

- Tabela 2

“E se fôssemos ao mercado e precisássemos comprar ____________, sabendo que só podemos pagar com moedas, quantas moedas de cada valor usaríamos?”

Produto Preço Total

Número de moedas Total

de moedas R$ 1,00 R$ 0,50 R$ 0,25 R$ 0,10 R$ 0,05 R$ 0,01

4 Azeite Carrefour 2 Queijo Ipanema 8 Creme de Ricota Tirolez 9 Macarrão com ovos Petybon 5 Café Solúvel Nescafé 6 Creme de Avelã Nutella Toda a compra anterior