Lista 1 de Microeconomia I Professor: Carlos E.L. da Costa
Monitor: Vitor Farinha
Algumas Preliminares Matemáticas
Nas próximas páginas apresentam-se alguns conceitos matemáticos e teoremas que serão úteis ao curso de Micro I. Como o objetivo aqui é apresentar rapidamente alguns instrumentos que serão estudados mais profundamente nos cursos de Análise, omitem-se as principais provas. Algumas boas referências sobre os assuntos aqui abordados são:
1. MWG, Apêndice Matemático. 2. Lima, Elon. Análise Real, vols. 1 e 2.
3. Simon e Blume. Matemática para economistas. 4. http://mathworld.wolfram.com/
5. Sundaram, Rangarajan. A First Course in Optimization Theory. 6. Cysne e Moreira. Matemática para economistas.
Norma Euclidiana
Tipicamente estaremos trabalhando no espaço euclidiano Rn, munido da norma euclidiana usual De…nição 1 Seja x = (x1; :::; xn) Rn, a norma euclidiana é a função k:k : Rn! R dada por
kxk = n X i=1 x2i !1=2
Que de…ne também a noção de distância (métrica) usual desse espaço, sendo a distância entre os pontos x e y dada por d(x; y) = kx yk. Que atende a conhecida "desigualdade triangular" (essa desigualdade é, na verdade, parte da própria de…nição de norma),
kx yk + ky zk kx zk :
Bolas Abertas, Conjuntos Abertos e Conjuntos Fechados
De…nição 2 Uma bola aberta com centro no ponto x e raio r é dada por B(x; r) = fy 2 Rnjd(x; y) < rg:
Ou seja, B(x,r) é o conjunto de todos os pontos do Rn que distam de x em estritamente menos que r. Se substituímos a desiguldade estrita(<) pela desigualdade fraca( );então temos a bola fechada B(x,r)
De…nição 3 O conjunto S no Rn é dito aberto se, para todo ponto x 2 S; existe r tal que B(x; r)
S:Intuitivamente, todo o ponto de um conjunto aberto está em seu interior, sendo possível deslocar-se pequenas distâncias em qualquer direção sem que deixemos o conjunto S.
De…nição 4 O conjunto S no Rn é dito fechado se seu complementar é aberto. O teorema abaixo torna
possível uma de…nição alternativa, possivelmente mais clara, usando a noção de seqüências convergentes. Teorema 1 Um conjunto S Rn é fechado se, e somente se, para toda seqüência {x
kg tal que xk 2 S para
todo k e xk! x, tem se que x 2 S:
Conjuntos limitados e conjuntos compactos
De…nição 5 Um conjunto S Rn é dito limitado se existe r>0 tal que S B(0; r):
De…nição 6 Um conjunto S Rn é dito compacto se é limitado e fechado.
Combinações Convexas e Conjuntos Convexos
Dada qualquer coleção …nita de pontos x1; x2; :::; xm2 Rn; um ponto z 2 Rn é dito uma combinação convexa
dos pontos (x1; :::; xm) se existe 2 Rm satisfazendo (i) i 0; i = 1; 2; :::; m e (ii)Pmi=1 i = 1; tal que
z=Pmi=1 ixi:
De…nição 7 Um conjunto S Rn é dito convexo se qualquer combinação convexa de quaisquer dois pontos
de S também está em S. Ou seja, se qualquer linha reta que liga dois pontos de S estiver completamente contida nele.
Continuidade
De…nição 8 Tome f : S ! T; em que S Rn e T Rl:Então, f é dita contínua em x2 Rn se para
todo " > 0; existe > 0 tal que ao tomar-se y 2 S com d(x; y) < , valerá d(f(x); f(y)) < ": Em termos de seqüências, f : S ! T é contínua em x se para todas as seqüências fxkg com xk 2 S para todo k e
limk!1xk = x tem-se limk!1f (xk) = f (x):
Intuitivamente, f é contínua em x se, ao nos aproximarmos deste ponto, obtivermos aproximações suces-sivamente melhores para o valor de f(x).
Uma função é dita contínua se é contínua em todos os pontos de seu domínio.
Teorema 2 (Weierstrass) Tome D Rn compacto e f : D ! R uma função contínua em D. Então f atinge
um máximo e um mínimo em D, i.e., exitem pontos z1; z22 D; tais que
f (z1) f (x) f (z2) 8x 2 D
Convexidade e Quase-Convexidade
De…nição 9 Seja X Rn um conjunto convexo. Uma função f : X ! R é convexa se para todo 2 [0; 1]
e x,y 2 X tivermos
f ( x + (1 )y) f (x) + (1 )f (y):
Analogamente, é dita estritemente convexa se o sinal da desigualdade for estrito (< ao invés de ). De…nição 10 Seja X Rn um conjunto convexo. Uma função f:X! R é côncava se -f é convexa. Ou seja,f : X ! Ré côncava se para todo 2 [0; 1] e x,y 2 X tivermos f( x + (1 )y) f (x) + (1
)f (y):Analogamente, é dita estritemente côncava se o sinal da desigualdade for estrito.
De…nição 11 Sejam D Rn um conjunto convexo e f : D ! R:O conjunto de contorno superior de f
em a, denotado por C+
a ou Uf(a); é de…nido como
Uf(a) = fx 2 Djf(x) ag:
O conjunto de contorno inferior de f em a, por sua vez, denotado por Ca ou Lf(a);é de…nido como
Lf(a) = fx 2 Djf(x) ag:
A função f é dita quase-côncava se Uf(a) é convexo para todo a. Analogamente, é dita quase-convexa se
Figure 1: Curvas de nível e conjuntos de contorno de uma função quase-côncava, porém não côncava.
Figure 2: Uma função côncava, uma apenas quase-côncava e uma que não apresenta globalmente nenhum dos comportamentos citados.
Teorema 3 A função f:D! R é quase-côncava em D se, e somente se, para todo x,y2 D e para todo 2 (0; 1); vale
f [ x + (1 )y] minff(x); f(y)g:
A função f é quase-convexa em D se, e somente se, para todo x,y 2 D e para todo 2 (0; 1); vale f [ x + (1 )y] maxff(x); f(y)g:
Os grá…cos a seguir, retirados de http://are.berkeley.edu/courses/ARE211/currentYear/lecture_notes/mathGraphical3-05.pdf, ajudam a melhor compreender os conceitos de concavidade e quase-concavidade.
Homogeneidade e Homoteticidade
De…nição 12 Uma função é dita homogênea de grau k se: f (tx) = tkf (x) para todo t>0.
Teorema 4 Seja f:D! R uma função C1de…nida em um cone aberto do Rn: Se f é homogênea de grau k,
Proof. Por hipótese temos:
f (tx) = tkf (x): Diferenciando em relação a x obtemos:
rf(tx)t = tkrf(x) ) rf(tx) = tk 1rf(x) Homogeneidade de grau 1
Teorema 5 (Fórmula de Euler) Suponha f(x) homogênea de grau k e diferenciável. Então, para qualquer x, temos X n @f (x) @xn :xn = kf (x)
ou, em notação matricial,
rf(x):x = k:f(x)
Proof. De maneira semelhante à prova anterior, agora diferenciamos a de…nição, f (tx) = tkf (x) em relação
a t, obtendo
rf(tx) x = ktk 1f (x) Avaliando em t=1, tem-se:
rf(x) x = kf(x)
Se uma função f (:) homogênea é transformada por uma função crescente de uma única variável L(:), a resultante L(f (x)) é dita homotética. Note que a família das curvas de nível de L(f (:)) é a mesma que a família das curvas de nível de f (:).
Matrizes Semi-De…nidas e De…nidas
De…nição 13 A matriz MnXn é dita negativa semi-de…nida se z0Mz 0; para todo z 2 Rn:Se a
de-sigualdade é estrita para todo z 6= 0, então M é negativa de…nida(inverterndo as dede-sigualdades, obtemos os conceitos de matriz positiva semi-de…nida e de…nida).
Teorema 6 A função f : D ! R de classe C2 é côncava se e somente se a hessiana de f(.) (matriz de segundas derivadas) é negativa semi-de…nida para todo x 2 D. Se a hessiana é negativa de…nida para todo x 2 D; então a função é estritamente côncava (observe que a volta não vale).
Otimização com restrições de igualdade
Considere o seguinte problema:
max
x2Rn f (x)
sa gk(x; ) = bk k=1,...,K
No estudo de problemas como este, são relevantes dois objetos: 1. O conjunto solução
x ( ) = arg max
sarestriçõesf (x; )
que dá a(s) solução(ões) para cada parâmetro 2 (se o problema tem múltiplas soluções, então x ( ) é um conjunto com diversos elementos).
2. A função valor
V ( ) = max
sarestriçõesf (x; )
Teorema 7 (Teorema de Lagrange) Sejam f : Rn ! R e gk : Rn ! R funções de classe C1; k =
1; :::; K:Suponha que x seja um máximo ou mínimo local de f no conjunto D = U \ fxjgk(x) = bk; k = 1; :::; Kg
em que U Rn é aberto. Suponha também que (Dg(x )) = K: Então, existe um vetor = (
1; :::; K) 2 RK tal que Df (x ) + K X k=1 kDgk(x ) = 0:
Teorema 8 (Teorema do Envelope) Considere o problema de maximização proposto no início desta seção e suponha que (i) f(),g1(); :::; gK() são continuamente diferenciáveis em (x, ) e (ii)x é diferenciável em uma
vizinhança A de ^:Então, 1. V(.) é diferenciável em A. 2. Para i=1,...,s @V (^)@ i = f (x (^);^) i PK k=1 k g(x (^);^)
i ; em que é o multiplicador de Lagrange
asso-ciado a x (^):
Simpli…cando, este teorema nos diz que não é necessário observar os efeitos indiretos da variação dos parâmetros sobre a variação da função valor, podendo-se derivá-la diretamente no ótimo.
Exercícios da Lista 1
Exercício 1 Responda verdadeiro ou falso, justi…cando: a) Toda função côncava é quase-côncava.
b) Toda função quase-côncava é côncava. c) A soma de duas funções côncavas é côncava.
d) A união de 2 conjuntos convexos é um conjunto convexo. e) A interseção de 2 conjuntos convexos é um conjunto convexo.
f) Seja f : R ! R diferenciável e estritamente crescente; então f0(x) > 0 para todo x 2 R:
g) A união de 2 conjuntos abertos é um conjunto aberto. h)A interseção de 2 conjuntos abertos é um conjunto aberto. i) O conjunto A f(x; y) : x2+ y2= 1gé um conjunto convexo.
j)O conjunto A f(x; y) : x2+ y2 1gé um conjunto convexo.
Exercício 2 Mostre a equivalência das duas de…nições de quase-concavidade.
Exercício 3 Mostre que a função f(x,y)=min{ax,by} é quase-côncava se a,b>0
Exercício 4 Seja f : Rn
+ ! R uma função côncava. Seja g : R ! R estritamente crescente. Mostre que
h(x) = g(f (x)) é uma função quase-côncava.
Exercício 5 Mostre que a inclinação das curvas de nível de uma função homotética não muda ao longo de um raio que parte da origem.
Exercício 6 Considere um problema de…nido por:
V (p; y) = maxU (x) sa y = p x
Mostre que @V =@y = ; em que é o multiplicador de Lagrange associado ao problema de maximização. Exercício 7 Considere as relações de preferências racional sobre X. Mostre que as relações binárias ~ e são transitivas, mas não são necessariamente completas.
Exercício 8 Mostre que se uma relação de preferências satisfaz a propriedade de monotonicidade, então também satisfaz a propriedade de não-saciedade local. Pode-se a…rmar que não saciedade local implica monotonicidade estrita? Justi…que.
Exercício 9 A ordenação lexicográ…ca para X = R2
+ é de…nida por: x; y 2 R2+; x y se x1 > y1 ou se
x1= y1 e x2 y2:
a) Mostre que a relação binária acima é uma relação de preferências racional. b)Mostre que as preferências lexicográ…cas são monótonas estritas.
c) Mostre que as preferências lexicográ…cas não são contínuas.
d) Por que esta relação de preferências não é muito interessante do ponto de vista econômico?
Exercício 10 Seja a relação de…nida a partir de % por ~ (x y) , y % x. Então prove que é as-simétrica se, e somente se,% é completa.
Obs.: é assimétrica se 8x; y 2 X temos que ~ (x y) ou ~ (y x) :
Exercício 11 Prove que, se % é racional e estritamente convexa, para qualquer cojunto C X convexo, o conjunto C0= fx 2 Cjx % y; 8y 2 Cg é vazio ou unitário.
