Codificação Convolucional

Codificação

Convolucional

Codificação Convolucional

• Palavra-código 𝑽 é dada pela convolução da sequência

de entrada 𝑼 com as respostas ao impulso do codificador

• Codificação (n,k,m)

– n = número de linhas multiplexadas na saída

– k = número de linhas demultiplexadas na entrada

– m = número de valores anteriores da entrada utilizados no

codificador

Demux Codificador Mux

U V

• Definições:

–

𝑼 = 𝑢

₀

, 𝑢

₁

, 𝑢

₂

, … = Sequência de informação

–

𝑽

(1)

= 𝑣

₀(1)

, 𝑣

₁(1)

, 𝑣

₂(1)

, … = Sequencia de saída 1

–

𝑽

(2)

= 𝑣

₀(2)

, 𝑣

₁(2)

, 𝑣

₂(2)

, … = Sequencia de saída 2

U V(2) V V(1) = Atraso (Z-1₎ = Somador módulo 2

Codificação Convolucional

Exemplo 1 (n,k,m) = (2,1,3)

• Sequencia de saída do codificador 𝑽

(1)

e 𝑽

(2)

:

convolução de 𝑼 com as respostas ao impulso do

codificador 𝒈

(1)

e 𝒈

(2)

• Para se obter as respostas ao impulso de um

codificador convolucional, faz-se 𝑼 = [1, 0,0,0, … ] e

colhe-se a saída

– Como o codificador tem 𝑚 estágios, a resposta ao impulso

consiste de 𝑚 + 1 amostras

𝒈

(1)

= 𝑔

₀(1)

, 𝑔

₁(1)

, 𝑔

₂(1)

, … , 𝑔

_𝑚(1)

= [1,0,1,1]

𝒈

(2)

= 𝑔

₀(2)

, 𝑔

₁(2)

, 𝑔

₂(2)

, … , 𝑔

_𝑚(2)

= [1,1,1,1]

Codificação Convolucional

Exemplo 1 (n,k,m) = (2,1,3)

• Equações da codificação:

𝑽

(1)

= 𝑼 ∗ 𝒈

(1)

𝑽

(2)

= 𝑼 ∗ 𝒈

2

• Cada elemento:

𝑣

_𝑙(𝑗)

= 𝑢

_𝑙−𝑖

𝑔

_𝑖(𝑗) 𝑚 𝑖=0

= 𝑢

_𝑙

𝑔

₀(𝑗)

+ 𝑢

_𝑙−1

𝑔

₁(𝑗)

+ … + 𝑢

_𝑙−𝑚

𝑔

_𝑚(𝑗)

• Para o exemplo:

𝑣

_𝑙(1)

= 𝑢

_𝑙

+ 𝑢

_𝑙−2

+ 𝑢

_𝑙−3

𝑣

_𝑙(2)

= 𝑢

_𝑙

+ 𝑢

_𝑙−1

+ 𝑢

_𝑙−2

+ 𝑢

_𝑙−3

Codificação Convolucional

Exemplo 1 (n,k,m) = (2,1,3)

• Multiplexação:

– Depois da codificação as duas sequências de saída são

multiplexadas, formando a palavra código:

𝑽 = [𝑣

₀ 1

𝑣

₀ 2

, 𝑣

₁ 1

𝑣

₁ 2

, 𝑣

₂ 1

𝑣

₂ 2

, … ]

Codificação Convolucional

Exemplo 1 (n,k,m) = (2,1,3)

• Exemplo 1a:

𝑼 = 1,0,1,1,1

𝒈

(1)

= [1,0,1,1]

𝒈

(2)

= [1,1,1,1]

𝑽

(1)

= 𝑼 ∗ 𝒈

(1)

𝑽

(2)

= 𝑼 ∗ 𝒈

2

𝑽

(1)

= 1,0,0,0,0,0,0,1

𝑽

(2)

= 1,1,0,1,1,1,0,1

𝑽 = [1 1,0 1, 0 0, 0 1, 0 1, 0 1, 0 0, 1 1]

Codificação Convolucional

Exemplo 1 (n,k,m) = (2,1,3)

Convolução entre A e B: length(A) = M length(B) = N length(A*B) = M + N - 1 Convolução entre A e B: Inverte A e multiplica ponto a ponto com B, deslocando A de −∞ até

+ ∞

Notar que 𝑽 é o entrelaçamento de

• Equação da codificação na forma matricial:

𝑽 = 𝑼𝑮 • Com a matriz geradora (espaços vazios iguais a zero):

𝑮 =

𝑔₀(1)𝑔₀(2) 𝑔₁(1)𝑔₁(2) 𝑔₂(1)𝑔₂(2) ⋯ 𝑔_𝑚(1)𝑔_𝑚(2)

𝑔₀(1)𝑔₀(2) 𝑔₁(1)𝑔₁(2) ⋯ 𝑔_𝑚−1(1)𝑔_𝑚−1(2) 𝑔_𝑚(1)𝑔_𝑚(2)

𝑔₀(1)𝑔₀(2) ⋯ 𝑔_𝑚−2(1)𝑔_𝑚−2(2) 𝑔_𝑚−1(1)𝑔_𝑚−1(2) 𝑔_𝑚(1)𝑔_𝑚(2)

⋱ ⋱

• Se 𝑼 tem comprimento finito 𝐿, a matriz 𝑮 tem 𝐿 linhas e 2(𝑚 + 𝐿) colunas, e 𝑽 tem comprimento 2 𝑚 + 𝐿 • Para o exemplo: 𝑽 = 𝑼𝑮 = 1,0,1,1,1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 = [1 1,0 1,0 0,0 1,0 1, 0 1,0 0,1 1]

Codificação Convolucional

Exemplo 1 (n,k,m) = (2,1,3)

• Têm-se agora duas sequencias de informação, demultiplexadas da sequencia de informação de entrada: 𝑼(1) = 𝑢₀ 1 , 𝑢₁ 1 , 𝑢₂ 1 , … 𝑼(2) = 𝑢₀ 2 , 𝑢₁ 2 , 𝑢₂ 2 , … 𝑼 = [𝑢₀ 1 𝑢₀ 2 , 𝑢₁ 1 𝑢₁ 2 , 𝑢₂ 1 𝑢₂ 2 , … ]

Codificação Convolucional

Exemplo 2 (n,k,m) = (3,2,1)

V(1) U _V U(1) U(2) V(2) V(3)

• E também, três sequencias de saída, multiplexadas na

sequencia de saída:

𝑽

(1)

= 𝑣

₀ 1

, 𝑣

₁ 1

, 𝑣

₂ 1

, …

𝑽

(2)

= 𝑣

₀ 2

, 𝑣

₁ 2

, 𝑣

₂ 2

, …

𝑽

(3)

= 𝑣

₀ 3

, 𝑣

₁ 3

, 𝑣

₂ 3

, …

𝑽 = [𝑣

₀ 1

𝑣

₀ 2

𝑣

₀ 3

, 𝑣

₁ 1

𝑣

₁ 2

𝑣

₁ 3

, 𝑣

₂ 1

𝑣

₂ 2

𝑣

₂ 3

, … ]

Codificação Convolucional

Exemplo 2 (n,k,m) = (3,2,1)

• Respostas ao impulso:

𝒈

₁

(1)

= [1,1]

𝒈

₁

(2)

= [0,1]

𝒈

₁

(3)

= 1,1

𝒈

₂

(1)

= [0,1]

𝒈

₂

(2)

= [1,0]

𝒈

₂

(3)

= [1,0]

Codificação Convolucional

Exemplo 2 (n,k,m) = (3,2,1)

Assim, a forma genérica para a resposta ao impulso de um codificador convolucional é: 𝑔_{<𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎>}<𝑠𝑎𝑖𝑑𝑎> E o número de elementos do vetor é igual à 𝑚 + 1 Três sequências

geradoras para cada sequência de

• Equações da codificação: 𝑽(1) = 𝑼(1) ∗ 𝒈₁ 1 + 𝑼 2 ∗ 𝒈₂ 1 𝑽(2) = 𝑼(1) ∗ 𝒈₁ 2 + 𝑼 2 ∗ 𝒈₂ 2 𝑽(3) = 𝑼(1) ∗ 𝒈₁ 3 + 𝑼 2 ∗ 𝒈₂ 3 • Para o exemplo: 𝑣_𝑙(1) = 𝑢_𝑙(1) + 𝑢_𝑙−1(1) + 𝑢_𝑙−1(2) 𝑣_𝑙(2) = 𝑢_𝑙−1(1) + 𝑢_𝑙(2) 𝑣_𝑙(3) = 𝑢_𝑙(1) + 𝑢_𝑙−1(1) + 𝑢_𝑙(2) • Organizado de outra forma:

𝑣_𝑙(1) = 𝑢_𝑙(1) + 𝑢_𝑙−1(1) + 𝑢_𝑙−1(2) 𝑣_𝑙(2) = 𝑢_𝑙(2) + 𝑢_𝑙−1(1)

𝑣_𝑙(3) = 𝑢_𝑙(1) + 𝑢_𝑙(2) + 𝑢_𝑙−1(1)

Codificação Convolucional

Exemplo 2 (n,k,m) = (3,2,1)

Os elementos estão organizados pelos superíndices. Desta forma é

possível ver diretamente a contribuição de cada resposta ao

impulso. Por exemplo, tendo: 𝒈₁(1) = [1,1]

𝒈₂(1) = [0,1]

A saída 1 terá todos os valores da entrada 1 e somente o valor

𝑙 − 1 da entrada 2.

Agora os elementos estão organizados pela ordem dos subíndices. Assim fica mais visível a

contribuição temporal de cada entrada para cada saída. Por

exemplo, a saída (3) tem contribuição no instante 𝑙 das duas

entrradas, e no instante 𝑙 − 1 de somente a entrada 1.

• Exemplo 2a: 𝑼(1) = [1, 0, 1] 𝑼(2) = [1, 1, 0] 𝑽(1) = 𝑼(1) ∗ 𝒈₁ 1 + 𝑼 2 ∗ 𝒈₂ 1 𝑽(2) = 𝑼(1) ∗ 𝒈₁ 2 + 𝑼 2 ∗ 𝒈₂ 2 𝑽(3) = 𝑼(1) ∗ 𝒈₁ 3 + 𝑼 2 ∗ 𝒈₂ 3 𝑽(1) = 1, 0, 0, 1 𝑽(2) = 1, 0, 0, 1 𝑽(3) = 0, 0, 1, 1 𝑽 = [1 1 0, 0 0 0, 0 0 1, 1 1 1]

Codificação Convolucional

Exemplo 2 (n,k,m) = (3,2,1)

𝒈₂(1) = [0,1] 𝒈₂(2) = [1,0] 𝒈₂(3) = [1,0] 𝒈₁(1) = [1,1] 𝒈₁(2) = [0,1] 𝒈₁(3) = 1,1

• Equação da codificação na forma matricial:

𝑽 = 𝑼𝑮

• Com a matriz geradora (espaços vazios iguais a zero):

𝑮 = 𝑔_1,0(1)_𝑔 1,0(2)𝑔1,0(3) 𝑔1,1(1)𝑔1,1(2)𝑔1,1(3) … 𝑔1,𝑚(1)𝑔1,𝑚(2)𝑔1,𝑚(3) 𝑔_2,0(1)_𝑔 2,0(2)𝑔2,0(3) 𝑔2,1(1)𝑔2,1(2)𝑔2,1(3) … 𝑔2,𝑚(1)𝑔2,𝑚(2)𝑔2,𝑚(3) 𝑔_1,0(1)_𝑔 1,0(2)𝑔1,0(3) … 𝑔1,𝑚−1(1)𝑔1,𝑚−1(2)𝑔1,𝑚−1(3) 𝑔1,𝑚(1)𝑔1,𝑚(2)𝑔1,𝑚(3) 𝑔_2,0(1)𝑔_2,0(2)𝑔_2,0(3) … 𝑔_2,𝑚−1(1)𝑔_2,𝑚−1(2)𝑔_2,𝑚−1(3) 𝑔_2,𝑚(1)𝑔_2,𝑚(2)𝑔_2,𝑚(3) ⋱ ⋱ • Para o exemplo: 𝑽 = 𝑼𝑮 = 1 1, 0 1, 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 = [1 1 0, 0 0 0, 0 0 1, 1 1 1]

Codificação Convolucional

Exemplo 2 (n,k,m) = (3,2,1)

Para um codificador genérico, com 𝑘 shift-registers distintos

(não há restrições para que o número de atrasos 𝑚 seja

igual para todas as entradas), define-se a ordem da

memória do codificador como:

𝑚 = max

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘

𝐾

𝑖

Onde 𝐾

_𝑖

é o número de atrasos do shift-register associado à

entrada 𝑖.

Ou seja, 𝑚 é igual ao maior comprimento dentre todos os 𝑘

shift-registers.

• Para um codificador genérico (n,k,m): 𝑽 = 𝑼𝑮 𝑈 = 𝑈₀, 𝑈₁, … = 𝑢₀ 1 _𝑢 0 2 … 𝑢0 𝑘 , 𝑢1 1 𝑢1 2 … 𝑢1 𝑘 , … 𝑉 = 𝑉0, 𝑉1, … = 𝑣0 1 𝑣0 2 … 𝑣0 𝑘 , 𝑣1 1 𝑣1 2 … 𝑣1 𝑘 , … • A matriz geradora: 𝐺 = 𝐺₀ 𝐺₁ 𝐺₂ … 𝐺_𝑚 𝐺₀ 𝐺₁ … 𝐺_𝑚−1 𝐺_𝑚 𝐺₀ … 𝐺_𝑚−2 𝐺_𝑚−1 𝐺_𝑚 ⋱ ⋱ • Onde: 𝐺_𝑙 = 𝑔_1,𝑙(1) _𝑔 1,𝑙(2) … 𝑔1,𝑙𝑛 𝑔_2,𝑙(1) _𝑔 2,𝑙(2) … 𝑔2,𝑙𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑔_𝑘,𝑙(1) _𝑔 𝑘,𝑙(2) … 𝑔𝑘,𝑙𝑛

• Um codificador convolucional gera 𝑛 bits para cada 𝑘 bits de informação, sendo 𝑅 = 𝑘 chamado de taxa 𝑛

do código.

• Para um código (𝑛, 𝑘, 𝑚), com 𝑘 > 1, cada shift-register tem 𝐾_𝑖 bits com informações de tempos anteriores.

• A memória total do codificador é:

𝐾 = 𝐾_𝑖

𝑘

𝑖=1

• Estado do codificador: conteúdo dos seus shift-registers

• O estado do codificador no tempo 𝑙 (quando 𝑢_𝑙(1), 𝑢_𝑙(2), … , 𝑢_𝑙(𝑘) estão na entrada do codificador) é:

𝑢_𝑙−1 1 𝑢_𝑙−2 1 … 𝑢_𝑙−𝐾1 1 ⋮ 𝑢_𝑙−1 2 𝑢_𝑙−2 2 … 𝑢_𝑙−𝐾2 2 ⋮ ⋯ ⋮ 𝑢_𝑙−1𝑘𝑢_𝑙−2𝑘 … 𝑢_{𝑙−𝐾𝑘}𝑘 e há 2𝐾 estados possíveis.

• Para um código (𝑛, 1, 𝑚), 𝐾 = 𝐾_𝑖 = 𝑚, e o estado do codificador é: [𝑢_𝑙−1 𝑢_𝑙−2… 𝑢_𝑙−𝑚]

• Cada bloco de 𝑘 entradas causam uma transição de um estado atual para

um outro [a].

• Há então 2

𝑘

ramos saindo de cada estado, cada um correspondendo a

cada bloco de entrada diferente [b].

• Para um código (𝑛, 1, 𝑚) há somente dois ramos deixando cada estado.

• Cada ramo é rotulado com:

– As 𝑘 entradas causadoras da transição (𝑢𝑙(1)𝑢𝑙(2)… 𝑢𝑙(𝑘)) [c]; e

– As 𝑛 saídas correspondentes (𝑣𝑙(1) 𝑣𝑙(2)… 𝑣𝑙(𝑛)) [d].

• Os estados são rotulados com 𝑆

₀

, 𝑆

₁

, … , 𝑆

₂𝐾−1

, onde por convenção, 𝑆

_𝑖

representa o estado cuja representação binária 𝑏

₀

, 𝑏

₁

, … , 𝑏

_𝐾−1

é

equivalente ao inteiro 𝑖 = 𝑏

₀

2

0

+ 𝑏

₁

2

1

+ … + 𝑏

_𝐾−1

2

𝐾−1

[e].

• Exemplo:

– Estado do codificador: 11010

– Representação decimal: 𝑖 = 1. 20 + 1. 21 + 0. 22 + 1. 23 + 0. 24 = 11 – Estado: 𝑆₁₁

Codificação Convolucional – Diagrama de estado

(n,k,m)=(3,1,2)

𝑆₀ 𝑆₂ 𝑆₁ 𝑆₃ 0/000 0/111 1/001 1/110 [e] 2𝐾 = 2𝐾1 = 2𝑚 = 22 estados diferentes: 𝑆₀ 𝑖 = 0 0 ; 𝑆₁ (i = [1 0]); 𝑆₂ (𝑖 = [0 1]); 𝑆₃ (𝑖 = [1 1]). [a] Transição de um estado (𝑆₂) para outro (𝑆₀) [b] 2𝑘 = 21 ramos saindo de cada estado [c] Sinal de

entrada (k bits) [d] Sinal de saída (n bits)

Codificador:

U V(2) V(1) V(3) 𝑆₀ 𝑆₂ 𝑆₁ 𝑆₃ 0/000 0/111 1/001 1/110

Diagrama de estado:

Codificação Convolucional – Diagrama de estado

(n,k,m)=(3,1,2)

Para encontrar o diagrama do codificador a partir do diagrama de estados, entrar com

Estudo:

• Número de bits de entrada: 𝑘 = 1

• Número de bits de saída: 𝑛 = 2

• Memória total do codificador: 𝐾 = 𝑚 = 3

• Estados possíveis 2𝐾 = 8:

• Número de ramos saindo de cada estado: 2𝑘 = 21, ou 1 ou 0

Codificador:

U V(1) V(2)

Codificação Convolucional – Diagrama de estado

(n,k,m)=(2,1,3)

000 100 001 101 010 110 011 111 • Estados: bo b1 b2 i Estado 0 0 0 0 𝑆₀ 0 0 1 4 𝑆₄ 0 1 0 2 𝑆₂ 0 1 1 6 𝑆₆ 1 0 0 1 𝑆₁ 1 0 1 5 𝑆₅ 1 1 0 3 𝑆₃ 1 1 1 7 𝑆₇

Codificação Convolucional – Diagrama de estado

(n,k,m)=(3,1,2)

𝑆₀ 𝑆₂ 𝑆₁ 𝑆₄ 𝑆₅ 𝑆₇ 𝑆₃ 𝑆₆ 1/10 0/00 1/10 0/10 0/00 1/00 1/00 0/10

• O diagrama de estados pode ser expandido no tempo

para representar cada unidade temporal em um

diagrama separado:

Codificação Convolucional – Diagrama de treliça

110 110 110 𝑆₀ 𝑆₁ 𝑆₂ 𝑆₃ 0 1 2 3 4 5 ... t 000 000 000 ₀₀₀ 000 Caminhos tracejados representam sinal de entrada igual a 0 Outros caminhos representam sinal de entrada igual a 1

• É feito com o algoritmo de Viterbi.

– Computa métricas para dois caminhos entrando em um

determinado estado

– Baseado nas métricas, o algoritmo elimina um dos dois

caminhos

– Assim, é encontrado ao longo da treliça, o caminho mais

provável em que o codificador seguiu

– A métrica utilizada no algoritmo de Viterbi é a distância entre

dois códigos (distância de Hamming)

– A soma de todas as distâncias de hamming ao longo do

percurso até o tempo 𝑡 é chamada de Métrica do caminho de

hamming cumulativa, ou somente, Distância cumulativa.

• Exemplo: dada a treliça do codificador abaixo:

Codificação Convolucional – Decodificação

10 10 10 𝑆₀ 𝑆₁ 𝑆₂ 𝑆₃ 0 1 2 3 4 5 ... t 00 00 00 ₀₀ 00 • A sequencia de entrada é: 𝑼 = 1 1 0 1 1 • Que resulta na palavra codificada:

𝑽 = [11 01 01 00 01] • No exemplo, a sequencia de chegada é:

Codificação Convolucional – Decodificação

𝑆₀ = 00 𝑆₁ = 10 𝑆₂ = 01 𝑆₃ = 11 0 1 2 3 4 5 6 ... t

• Estado inicial:

Codificação Convolucional – Decodificação

• Tempo 𝑡 = 1:

• Símbolos recebidos (azul): 𝒁 = [

11

01 01

10

01]

• Transições possíveis do estado atual:

–

00 → 00

Saída: 00

Métrica:

2

–

00 → 10

Saída: 11

Métrica:

0

0 1 2 3 4 5 6 ... t 𝑆₀ = 00 𝑆₁ = 10 𝑆₂ = 01 𝑆₃ = 11 00 - 2 Bit de saída do codificador Métrica

Codificação Convolucional – Decodificação

• Tempo 𝑡 = 2:

• Símbolos recebidos (azul): 𝒁 = [11 01 01 10 01] • Transições possíveis dos estados atuais:

– 00 → 00 Saída: 00 Métrica: 1 – 00 → 10 Saída: 11 Métrica: 1 – 10 → 01 Saída: 10 Métrica: 2 – 10 → 11 Saída: 01 Métrica: 0 0 1 2 3 4 5 6 ... t 𝑆₀ = 00 𝑆₁ = 10 𝑆₂ = 01 𝑆₃ = 11 3 00 - 1 3 2 0

Métrica total do caminho (Cumulativa):

Codificação Convolucional – Decodificação

• Tempo 𝑡 = 3:

• Símbolos recebidos (azul): 𝒁 = [11 01 0110 01] • Transições possíveis dos estados atuais:

– 00 → 00 Saída: 00 Métrica: 1 – 00 → 10 Saída: 11 Métrica: 1 – 10 → 01 Saída: 10 Métrica: 2 – 10 → 11 Saída: 01 Métrica: 0 – 01 → 00 Saída: 11 Métrica: 1 – 01 → 10 Saída: 00 Métrica: 1 – 11 → 01 Saída: 01 Métrica: 0 – 11 → 11 Saída: 10 Métrica: 2 0 1 2 3 4 5 6 ... t 𝑆₀ = 00 𝑆₁ = 10 𝑆₂ = 01 𝑆₃ = 11 3 4 00 - 1 3 4 0 5 2 3

Métrica total do caminho (Cumulativa): 00 - 2 00 - 1 10 - 2 Caminho superior Caminho inferior Números sublinhados indicam as menores métricas até o estado

Codificação Convolucional – Decodificação

• Tempo 𝑡 = 3:

• Símbolos recebidos (azul): 𝒁 = [11 01 0110 01] • Transições possíveis dos estados atuais:

– 00 → 00 Saída: 00 Métrica: 1 – 00 → 10 Saída: 11 Métrica: 1 – 10 → 01 Saída: 10 Métrica: 2 – 10 → 11 Saída: 01 Métrica: 0 – 01 → 00 Saída: 11 Métrica: 1 – 01 → 10 Saída: 00 Métrica: 1 – 11 → 01 Saída: 01 Métrica: 0 – 11 → 11 Saída: 10 Métrica: 2 0 1 2 3 4 5 6 ... t 𝑆₀ = 00 𝑆₁ = 10 𝑆₂ = 01 𝑆₃ = 11 3 3 0 2

Métrica total do caminho (Cumulativa):

10 - 2

Caminhos que não foram eliminados são chamados de caminhos sobreviventes Como só existe um caminho entre 𝑡 = 0 e 𝑡 = 1, o decodificador pode decidir pela transição 00 → 10. Assim, o primeiro bit é decodificado (o bit que codificado gera 11)

Codificação Convolucional – Decodificação

• Tempo 𝑡 = 4:

• Símbolos recebidos (azul): 𝒁 = [11 01 01 10 01] • Transições possíveis dos estados atuais:

– 00 → 00 Saída: 00 Métrica: 1 – 00 → 10 Saída: 11 Métrica: 1 – 10 → 01 Saída: 10 Métrica: 0 – 10 → 11 Saída: 01 Métrica: 2 – 01 → 00 Saída: 11 Métrica: 1 – 01 → 10 Saída: 00 Métrica: 1 – 11 → 01 Saída: 01 Métrica: 2 – 11 → 11 Saída: 10 Métrica: 0 0 1 2 3 4 5 6 ... t 𝑆₀ = 00 𝑆₁ = 10 𝑆₂ = 01 𝑆₃ = 11 1 4 1 4 4 3 2 5

Métrica total do caminho (Cumulativa):

10 - 0

00 - 1

Codificação Convolucional – Decodificação

• Tempo 𝑡 = 4:

• Símbolos recebidos (azul): 𝒁 = [11 01 01 10 01] • Transições possíveis dos estados atuais:

– 00 → 00 Saída: 00 Métrica: 1 – 00 → 10 Saída: 11 Métrica: 1 – 10 → 01 Saída: 10 Métrica: 0 – 10 → 11 Saída: 01 Métrica: 2 – 01 → 00 Saída: 11 Métrica: 1 – 01 → 10 Saída: 00 Métrica: 1 – 11 → 01 Saída: 01 Métrica: 2 – 11 → 11 Saída: 10 Métrica: 0 0 1 2 3 4 5 6 ... t 𝑆₀ = 00 𝑆₁ = 10 𝑆₂ = 01 𝑆₃ = 11 1 1 3 2

Métrica total do caminho (Cumulativa):

10 - 0

10 - 2

Notar que o segundo bit não pode ser decodificado, pois ainda existem 2 caminhos entre 𝑡 = 1 e 𝑡 = 2

Codificação Convolucional – Decodificação

• Tempo 𝑡 = 5:

• Símbolos recebidos (azul): 𝒁 = [11 01 01 10 01] • Transições possíveis dos estados atuais:

– 00 → 00 Saída: 00 Métrica: 1 – 00 → 10 Saída: 11 Métrica: 1 – 10 → 01 Saída: 10 Métrica: 2 – 10 → 11 Saída: 01 Métrica: 0 – 01 → 00 Saída: 11 Métrica: 1 – 01 → 10 Saída: 00 Métrica: 1 – 11 → 01 Saída: 01 Métrica: 0 – 11 → 11 Saída: 10 Métrica: 2 0 1 2 3 4 5 6 ... t 𝑆₀ = 00 𝑆₁ = 10 𝑆₂ = 01 𝑆₃ = 11 4 2 4 2 2 3 4 1

Métrica total do caminho (Cumulativa):

10 - 2

10 - 2 10 - 0

Codificação Convolucional – Decodificação

• Tempo 𝑡 = 5:

• Símbolos recebidos (azul): 𝒁 = [11 01 01 10 01] • Transições possíveis dos estados atuais:

– 00 → 00 Saída: 00 Métrica: 1 – 00 → 10 Saída: 11 Métrica: 1 – 10 → 01 Saída: 10 Métrica: 2 – 10 → 11 Saída: 01 Métrica: 0 – 01 → 00 Saída: 11 Métrica: 1 – 01 → 10 Saída: 00 Métrica: 1 – 11 → 01 Saída: 01 Métrica: 0 – 11 → 11 Saída: 10 Métrica: 2 0 1 2 3 4 5 6 ... t 𝑆₀ = 00 𝑆₁ = 10 𝑆₂ = 01 𝑆₃ = 11 2 2 2 1

Métrica total do caminho (Cumulativa): 10 - 2 10 - 0 00 - 1 Agora sim, o segundo bit pôde ser decodificado