Incorporação de Restrições de Confiabilidade ao Problema de
Planejamento Ótimo da Expansão de Sistemas Elétricos
Luiz Carlos da Costa Júnior
PSR - Praia de Botafogo, 228 Ala B Sala 1705, CEP 22359-900, Rio de Janeiro luizcarlos@psr-inc.com
Mario Veiga Ferraz Pereira PSR - mario@psr-inc.com
Silvio Binato PSR - silvio@psr-inc.com
Nora Campodónico PSR - nora@psr-inc.com Márcia Helena Costa Fampa
Programa de Engenharia de Sistemas e Computação - COPPE/UFRJ Cidade Universitária, CT, Bloco H, CEP 21941-972, Rio de Janeiro
fampa@dcc.ufrj.br Fernanda Souza Thomé PSR - fernanda@psr-inc.com
RESUMO
Este trabalho descreve uma metodologia para incorporar restrições de confiabilidade no problema de planejamento ótimo da expansão de sistemas elétricos. Além da LOLP e EENS, tradicional-mente utilizados no setor elétrico, é proposta a utilização dos índices de risco VaR (Value-at-Risk) e CVaR (Conditional Value-at-Risk), vastamente utilizados na área financeira. A inclusão explícita de restrições de confiabilidade no problema de planejamento pode ser extremamente onerosa e, para minimizar o custo computacional, este trabalho faz uso da técnica de decomposição de Benders, decompondo o problema de planejamento em um problema de investimento e subproblemas para calcular a operação e confiabilidade do sistema. No caso específico dos índices de confiabilidade, utilizou-se o método de simulação Monte Carlo. A metodologia proposta é aplicada a um problema real de planejamento ótimo da expansão do sistema elétrico da Bolívia.
PALAVRAS-CHAVE. Planejamento da expansão, Confiabilidade de sistemas elétricos, De-composição de Benders
ABSTRACT
This work presents a methodology to incorporate reliability constraints in the optimal power sys-tems expansion planning problem. Besides LOLP and EENS, traditionally used in power syssys-tems, this work proposes the utilization of the risk measures VaR (Value-at-Risk) and CVaR (Condi-tional Value-at-Risk), widely used in financial markets. The explicit consideration of reliability constraints in the planning problem can be an extremely hard task and, in order to minimize compu-tational effort, this work applies the Benders’ decomposition technique decomposing the expansion planning problem it in an investment problem and subproblems to evaluate the system’s operation and reliability. Specifically for reliability indexes, the Monte Carlo method is used. The proposed methodology is applied to the real problem of optimal expansion planning of the Bolivian power system.
1 Introdução
O problema do planejamento da expansão de sistemas elétricos (PPE) origina-se das mu-danças necessárias no sistema devido ao crescimento da demanda de energia com o passar dos anos. Para tanto, novos geradores devem ser construídos com o objetivo de satisfazer as novas necessidades do sistema e as decisões do processo de planejamento estão associadas à seleção das melhores usinas geradoras. Este processo de decisão dá origem a um problema de otimização de grande porte, onde o objetivo é planejar o sistema elétrico futuro minimizando os custos de investi-mento e operação sujeito a critérios mínimos de segurança pré-estabelecidos.
Este processo de planejamento se constitui em um problema extremamente complexo que não pode ser solucionado sem que sejam feitas simplificações. Uma simplificação tipicamente realizada consiste em dividir o PPE em um procedimento hierárquico onde o plano de expansão é elaborado primeiramente sob o enfoque econômico (primeiro estágio), ou seja, com o objetivo de minimizar os custos de investimento e suprimento da demanda (operação) e, em seguida (segundo estágio), avaliam-se os investimentos adicionais necessários para a garantia dos critérios mínimos de segurança (reforços de confiabilidade).
Uma das primeiras metodologias para a solução do problema de planejamento com restri-ções de confiabilidade foi proposta por [Coté(1975)] onde eram obtidas aproximarestri-ções lineares da função confiabilidade ajustadas a partir de uma formulação não linear. Em seguida, [Bloom(1983)] apresentou um modelo similar, mas capaz de gerar cortes de Benders a partir de um modelo de simulação probabilística. Entretanto, sua modelagem era não convexa o que levava a problemas na convergência.
De modo geral, o PPE pode ser formulado por uma função de mínimo custo total (inves-timento e operação) sujeito à restrições operativas e de confiabilidade que dependem diretamente das decisões de investimento. Esta formulação contém uma estrutura bastante oportuna para a apli-cação de técnicas de decomposição. A utilização de esquemas de decomposição para o problema de investimento e operação foi explorada por [Pereira(1985)]. Posteriormente, [Oliveira(1987)] apre-sentou um modelo para expansão de capacidade de ponta levando em consideração restrições de confiabilidade de EENS, porém se restringe à solução do problema do segundo estágio, ou seja, à avaliação de investimentos adicionais para atender os requisitos de confiabilidade.
Este trabalho é baseado na dissertação de Mestrado de [Costa Jr.(2008)] e, em linhas gerais, consiste em uma metodologia para a solução do PPE de maneira integrada, onde se considera em um único problema as análises econômica e de confiabilidade. Deste modo, é possível avaliar de forma correta a contribuição dos projetos, levando em conta tanto a contribuição para a redução do custo operativo como também para o aumento da confiabilidade do sistema. Com esta nova meto-dologia é possível questionar as premissas utilizadas para simplificar o problema de planejamento da expansão pelo processo de solução hierárquico.
A proposta para a obtenção da solução baseia-se na técnica de decomposição de Benders na qual o problema é subdivido nos módulos de investimento, operação e confiabilidade. Esta partição permite que cada subproblema seja solucionado por um algoritmo especializado, e.g., o subproblema de investimento (um problema de programação linear inteira mista) é solucionado por Branch-and-Bound(B&B), o subproblema de operação por programação dinâmica dual estocástica (PDDE) e o subproblema de confiabilidade pelo método de simulação Monte Carlo (SMC). Este trabalho propõe também a utilização das duas medidas de risco, utilizadas na área de finanças, VaRα
2 Planejamento da Expansão de Sistemas Elétricos
De modo geral, o PPE pode ser formulado como o seguinte problema de programação linear inteira mista:
Minimizar I(x) + O(x) (1a)
sujeito a R(x) ≤ ¯R (1b)
x ∈ X (1c)
onde x representa o vetor de decisões de investimento, I(x) a função custo de investimento, O(x) o custo de operação, R(x) o índice de risco, ¯R o critério de confiabilidade e X o conjunto de planos que atende às restrições de investimento.
2.1 Planejamento Econômico (PE)
A primeira etapa do processo de planejamento consiste em uma simplificação do problema (1), onde não são consideradas as restrições de risco:
Minimizar I(x) + O(x) (2a)
sujeito a x ∈ X (2b)
Note que o problema (2) não considera as restrições de confiabilidade (1b). Em geral, este aspecto é representado de forma simplificada, aplicando-se um fator de redução na capacidade de geração das usinas correspondente a sua taxa de disponibilidade média. De acordo com está simplificação, o problema de planejamento da expansão de sistemas de geração pode ser formulado da seguinte forma: Minimizar X j∈GC cjxj+ X j∈G djgj+ drr (3a) sujeito a X j∈G gj + r = D (3b) gj ≤ ˜gj j ∈ GE (3c) gj − ˜gjxj ≤ 0 j ∈ GC (3d) x ∈ X (3e)
onde G, GEe GCsão os conjuntos das centrais geradoras, centrais geradoras existentes e candidatas (projetos); cj representa o custo de investimento do projeto j; dk representa o custo variável de
operação da central k, D representa a demanda do sistema, r é uma variável que representa o corte de demanda, ˜gj é a capacidade disponível de cada central calculada em função da disponibilidade
média como ˜gj = (1 − pj) × ¯gj, pj corresponde a taxa média de falha e ¯gj a capacidade instalada
de j.
A função objetivo (3a) consiste na minimização do custo total (investimento e operação), sujeito ao atendimento da demanda em cada etapa (3b), limites de geração das usinas geradoras existentes (3c) e candidatas (3d), e restrições de investimento (3e).
Entretanto, a utilização da capacidade de geração média pode não ser suficiente para capturar a real exposição/risco do sistema a eventos de corte de carga, conforme ilustrado na figura 1. Note que, em termos médios, o sistema é capaz de atender a demanda, porém existem estados de capaci-dade insuficiente (regiões hachuradas). Por esta razão, se faz necessária a avaliação probabilística do sistema, que consiste na modelagem do estado operativo das usinas e, conseqüentemente, da capacidade total do sistema como uma variável aleatória (v.a.).
Figura 1: Comportamento aleatório da capacidade total do sistema
3 Análise de Confiabilidade de Sistemas Elétricos
Um sistema de potência é composto basicamente por elementos como geradores, linhas de transmissão, transformadores e demanda. Os elementos podem se encontrar em um determinado estado pertencente a um conjunto de possíveis estados. Por exemplo, o estado operativo de um gerador pode se encontrar em dois estados: (a) 0 se o equipamento não está funcionando; (b) 1 se está funcionando. Outros elementos, como patamar de demanda, podem necessitar de uma representação multi-estado.
O estado de um sistema de potência com J geradores é representado pelo vetor ξs =
[ξ1s, ξ2s, . . . , ξJ s] onde ξjs é o estado do j-ésimo gerador. O conjunto de todos os possíveis
ve-tores ξs dado pela combinação dos estados dos geradores, é denotado por S, espaço de estados1.
Para cada estado do gerador j existe uma probabilidade de ocorrência associada pj = P (ξj) e, dado
o estado de cada gerador para o cenário s, é possível calcular a probabilidade do estado do sistema ps= P (ξs).
A capacidade total do sistema é denotada pela v.a. ¯G =PJ
j=1ξjg¯j e o respectivo corte de
carga é dado pela v.a. R = max(D − ¯G, 0), que corresponde à insuficiência de capacidade do sistema. Como P (ξ) é uma distribuição de suporte finito, para cada realização do estado do sistema ξsestá associada uma capacidade total ¯Gse um respectivo corte de carga rs.
Para mensurar o desempenho de um dado plano de investimentos x, são necessários índices de risco, em geral, baseados na distribuição de probabilidade do corte de carga. Uma vez que o objetivo do PPE é determinar quais geradores devem ser construídos, a distribuição de probabilidade P (R) é uma função da decisão de investimentos x. Com isto, o objetivo do PPE com restrições de risco envolve o ajuste da função de distribuição através da obtenção de um plano de investimentos tal que o índice de risco de interesse atenda o critério pré-estabelecido.
A seguir, serão apresentados os índices de confiabilidade LOLP e EENS, tradicionalmente utilizados no setor elétrico e, em seguida, serão introduzidos no contexto da confiabilidade os índices VaRαe CVaRα, utilizados em finanças. Além disto, o cálculo destes índices será formulado
como um problema de otimização com a finalidade de incorporá-los no PPE. 3.1 Índices de Confiabilidade Tradicionais
3.1.1 LOLP
A abordagem mais direta ao medir o risco de falha no suprimento de um sistema de potência é avaliar a quantidade de estados insuficientes. A LOLP (Loss Of Load Probability) corresponde à
(a) (b)
Figura 2: Índices de Confiabilidade Tradicionais
probabilidade de perda de carga, conforme ilustrado na figura 2(a), e é dada por
LOLP = P (R > 0) =X
s∈Ω
ps (4)
onde Ω = {s ∈ S|rs> 0} é o conjunto dos estados com corte de carga.
O cálculo deste índice pode ser formulado como um problema de programação linear inteira mista, onde se utiliza uma variável inteira φs, para cada cenário s, com o objetivo de indicar se
houve corte de carga neste cenário. A LOLP, então, é calculada como a média destes indicadores ponderada pela probabilidade de ocorrência do respectivo cenário. Incorporando explicitamente esta formulação no PPE, o PPE com restrições de LOLP pode ser formulado como:
Minimizar X j∈GC cjxj+ O(x) (5a) sujeito a X s∈S psφs≤ LOLP (5b) rs+ X j∈GC ξjs¯gjxj ≥ D − X j∈GE ξjsg¯j ∀s ∈ S (5c) φs− 1 Drs≥ 0 ∀s ∈ S (5d) rs≥ 0 ∀s ∈ S (5e) φs∈ {0, 1} ∀s ∈ S (5f) x ∈ X (5g)
onde LOLP ∈ [0, 1] é um nível de confiabilidade aceitável correspondente ao critério de planeja-mento adotado. A restrição (5c) relaciona o corte de carga com a insuficiência de capacidade em cada cenário e a restrição (5d) assegura que a variável indicadora φsserá igual a 1 para os cenários
com corte de carga. Observe que a restrição (5b) limita a LOLP(x) e, conseqüentemente, restringe o conjunto de planos de investimentos. Entretanto, é possível notar que a LOLP é uma medida não sensível à profundidade do corte de carga, sendo esta uma crítica à utilização desta medida como critério de planejamento.
3.1.2 EENS
De maneira complementar à LOLP, a EENS (Expected Energy Not Supplied) corresponde ao valor esperado do corte de carga, conforme ilustrado na figura 2(b), e é definida como
EENS = E[R] =X
s∈S
psrs (6)
explicitamente no PPE, resultando no modelo de PPE com restrições de EENS (7). Minimizar X j∈GC cjxj+ O(x) (7a) sujeito a X s∈S psrs≤ EENS (7b) rs+ X j∈GC ξjs¯gjxj ≥ D − X j∈GE ξjsg¯j ∀s ∈ S (7c) rs≥ 0 ∀s ∈ S (7d) x ∈ X (7e)
onde EENS é o critério de planejamento pré-estabelecido para EENS.
Apesar de a EENS capturar em média a severidade do corte de carga, este índice também incorpora os cenários onde não ocorreu corte de carga e, com isto, esta medida acaba “diluída”, não refletindo o real risco do sistema.
3.2 Índices de Risco utilizados em Finanças
Como visto anteriormente, seria interessante se o índice de confiabilidade conseguisse cap-turar simultaneamente as características da LOLP e EENS, ou seja, a quantidade de cenários com corte de carga e a severidade destes cenários. Neste sentido, buscou-se novas medidas de risco uti-lizadas em finanças para o apoio à problemas de decisão de portfólio. A seguir, serão apresentadas as medidas de risco VaRαe CVaRα e introduzidas no contexto da análise da confiabilidade para o
planejamento da expansão de sistemas elétricos. 3.3 VaRα
O VaRα (Value-at-Risk) ([Jorion(1998)]) é um índice de risco que tem como objetivo medir
o menor corte de carga associado a um nível de confiança α ou, de maneira análoga, o máximo corte de carga previsto dentro de um nível de confiança 1 − α, conforme ilustrado na figura 3(a). Exemplificando, VaR5% responde à pergunta “qual é o máximo corte de carga possível com um
nível de confiança de 95%”?
Assim como definido para LOLP e EENS, é possível definir o problema de planejamento quando se utiliza R(x) = VaRα(x) como critério de confiabilidade. Para isto, incorpora-se
explici-tamente sua formulação no problema (3), como apresentado em (8).
Minimizar X j∈GC cjxj+ O(x) (8a) sujeito a rs− Dφs≤ VaR ∀s ∈ S (8b) X s∈S psφs≤ α (8c) rs+ X j∈GC ξjs¯gjxj ≥ D − X j∈GE ξjsg¯j ∀s ∈ S (8d) rs≥ 0 ∀s ∈ S (8e) φs∈ {0, 1} ∀s ∈ S (8f) x ∈ X (8g)
onde VaRαé o limite pré-estabelecido pelo planejador. Observe que, assim como a LOLP, também
são necessárias variáveis inteiras por cenário, dificultando sua representação.
Rearranjando a restrição (8b), tem-se que φs ≥ D−1 rs− VaR que indica que, quando
(a) (b)
Figura 3: Índices de Risco Financeiros
cenários que compõe a cauda da distribuição. Apesar de incorporar o parâmetro α que “seleciona” a cauda da distribuição, o VaRαcorresponde ao menor valor desta cauda e, por esta razão, também
não é sensível à severidade dos cenários de corte de carga superiores ao VaRα.
3.3.1 CVaRα
O CVaRα (Conditional Value-at-Risk) tem como objetivo medir o valor esperado dos α%
cenários mais severos, ou seja, a média dos cenários que compõem a cauda da distribuição do corte de carga e é definido como
CVaRα(R) = E[R : R ≥ VaRα(R)] (9)
Apesar de o CVaRα possuir diversas características interessantes
([Acerbi and Tasche(2001)]), em primeira análise sua utilização está condicionada ao cálculo do VaRα, herdando assim suas dificuldades de representação. Entretanto,
[Rockafellar and Uryasev(2000)] demostrou que é possível formular o CVaRα como um
pro-blema de programação linear independente do VaRα, o que impulsionou sua utilização.
Assim como definido para as medidas apresentadas anteriormente, o PPE com restrições de CVaRαé apresentado em (10). Minimizar X j∈GC cjxj+ O(x) (10a) sujeito a y + α−1X s∈S pszs≤ CVaR ∀s ∈ S (10b) rs+ X j∈GC ξjs¯gjxj ≥ D − X j∈GE ξjsg¯j ∀s ∈ S (10c) zs− rs+ y ≥ 0 ∀s ∈ S (10d) rs≥ 0 ∀s ∈ S (10e) zs≥ 0 ∀s ∈ S (10f) x ∈ X (10g)
onde CVaR é um dado limite pré-estabelecido pelo planejador, y é a variável que representa o VaRα
calculado implicitamente e zs é a quantidade de corte de carga que excede o y, calculado pela
equação (10d). Deste modo, o CVaRα pode ser calculado como a soma de y e o valor esperado
condicionado aos cenários que excedem o VaRα, conforme o lado esquerdo da equação (10b).
4 Incorporação de Restrições de Risco em Esquemas de Decomposição
Como observado nas seções anteriores, o problema de planejamento da geração com res-trições de risco é um problema de otimização inteira mista de grande escala. A incorporação de restrições de confiabilidade requer a representação adicional de um conjunto de variáveis e restri-ções para cada estado do sistema e o número de estados cresce combinatorialmente com o número de geradores do sistema.
O principal objetivo da concepção de técnicas de decomposição matemática é conseguir solu-cionar problemas muito complexos, ou muito grandes, através da solução repetida de uma série de problemas mais fáceis, ou menores. A partir do modelo (1) é possível notar que o PPE com res-trições de confiabilidade tem uma estrutura em blocos e que o acoplamento entre os problemas se encontra no vetor de variáveis de decisão de investimento x, sendo a estrutura oportuna para aplicação de técnicas de decomposição.
Neste trabalho é utilizada a técnica de decomposição de Benders [Benders(1962)] e o pro-blema original é dividido em três subpropro-blemas, reproduzindo de maneira intuitiva o processo de um estudo de planejamento da expansão, que consiste nos seguintes passos:
• Primeiramente, soluciona-se o subproblema de investimento (denominado subproblema Mestre), que têm como objetivo obter uma proposta de plano de investimentos xµ, com base nas informações obtidas até iteração µ: uma aproximação da região viável e da função obje-tivo (custo de investimento mais custo de operação aproximado);
• Dado o plano proposto, xµ, soluciona-se o subproblema de operação (denominado
subpro-blema Escravo) e verifica-se se a aproximação da função custo representada no subprosubpro-blema de investimento é adequada. Caso esta função ainda não tenha a precisão adequada, é reali-zada uma análise de sensibilidade de modo construir um corte e melhorar a aproximação da função custo no problema Mestre.
• A partir do mesmo plano proposto xµ, soluciona-se o subproblema de confiabilidade
(tam-bém denominado subproblema Escravo) de modo a verificar se a solução proposta é viável. Caso a solução não seja viável, é realizada a análise de sensibilidade do problema de modo a construir um corte e melhorar a representação da região viável no problema Mestre;
Em outras palavras, a cada iteração, é obtida a solução do subproblema Mestre e enviada aos dois subproblemas Escravos, que avaliam a decisão xµe retornam cortes de Benders que melhoram a representação do problema. Este procedimento é repetido iterativamente até que seja encontrada uma solução viável e a função custo esteja aproximada satisfatoriamente.
4.1 Subproblema de Investimento
O subproblema de investimento pode ser formulado pelo seguinte problema de programação linear inteira mista:
Minimizar X j∈GC cjxj+ α (11a) sujeito a α − X j∈GC ∂O(xi) ∂xi j xj ≥ O(xi) − X j∈GC ∂O(xi) ∂xi j xij i ∈ A (11b) X j∈GC ∂R(xi) ∂xi j xj ≤ ¯R − R(xi) + X j∈GC ∂R(xi) ∂xi j xij i ∈ R (11c) x ∈ X (11d)
onde A e R são os conjuntos de iterações onde foram adicionados um corte de otimalidade e um corte de viabilidade, respectivamente. Além disto, xié o vetor de soluções obtido na iteração i.
4.2 Subproblema de Operação
Dada um proposta de investimento xµ, o problema de operação é pode ser formulado como:
O(xµ) = Minimizar X j∈G djgj+ drr (12a) sujeito a X j∈G gj+ r = D (12b) gj ≤ ¯gj πgj¯ j ∈ GE (12c) gj ≤ ¯gjxjµ πgj¯ j ∈ GC (12d)
onde πgj¯corresponde a variável dual da restrição de capacidade máxima do gerador j.
A partir da teoria de programação linear, sabe-se que πgj¯ é a derivada da função objetivo O(xµ) com relação ao lado direito das restrições (12c) e (12d). Aplicando a regra da cadeia, tem-se: ∂O(xµ) ∂xjµ = ∂O(x µ) ∂(¯gjxjµ) ×∂(¯gjxj µ) ∂xjµ = πgj¯¯gj (13)
é a derivada do custo operativo com relação à decisão de investimento xµ, utilizada na construção dos cortes de Benders de otimalidade.
4.3 Subproblema de Confiabilidade
Dada uma solução de investimento xµ, é possível calcular o valor da medida de risco asso-ciada a este plano, assim como as derivadas da função confiabilidade R(xµ) com relação à decisão de investimento necessárias para a construção dos cortes de Benders que aproximam a região viável sob o ponto de vista do critério de confiabilidade no problema Mestre.
Os cortes de Benders de viabilidade consistem em planos cortantes tangentes à região de vi-abilidade segundo o critério de confivi-abilidade e, devido a isto, um dos requisitos para que o método de decomposição de Benders seja aplicado com sucesso é que os cortes gerados não eliminem soluções viáveis, o que não é possível garantir caso o subproblema seja não convexo.
Entretanto, foi visto que os modelos de planejamento com critério de confiabilidade LOLP e VaRαexigem a utilização de variáveis inteiras em sua formulação, caracterizando problemas não
convexos, o que impossibilita a aplicação deste esquema de decomposição. Por esta razão e pelo fato de o CVaRα ser um modelo mais geral, neste trabalho é considerada apenas a decomposição
de Benders dos problemas de planejamento da expansão utilizando os critérios de confiabilidade de EENS e CVaRα.
4.3.1 Critério de EENS
Para este subproblema faz-se R(x) = EENS(x) e para sua solução não é necessário repre-sentar explicitamente a variável corte de carga rspois, dada a solução do problema de investimento
xµ, é possível calcular a EENS de maneira equivalente como
EENS(xµ) =X s∈Ω ps D − X j∈GE ξjsg¯j − X j∈GC ξjsg¯jxjµ (14)
Derivando a equação (14) com relação à variável de investimento xiµ, tem-se
∂EENS(xµ) ∂xiµ
= −X
s∈Ω
psξis¯gi (15)
4.3.2 Critério de CVaRα
O subproblema para cálculo do CVaRαconsiste no seguinte problema de programação linear:
CVaRα(xµ) = Minimizar y + α−1 X s∈S pszs (16a) sujeito a zs≥ rs− y ws ∀s ∈ S (16b) rs ≥ D − X j∈GE ξjsg¯j− X j∈GC ξjs¯gjxjµ vs ∀s ∈ S (16c)
onde as variáveis de decisão y, rs e zs são não negativas e vs e ws são as variáveis duais das
restrições (16b) e (16c), respectivamente. Entretanto, é possível demonstrar ([Costa Jr.(2008)]) que tanto o CVaRαcomo sua derivada com relação a xjµpodem ser obtidos solucionando cada cenário
independentemente, o que permite a aplicação de SMC. 5 Estudo de Caso
O estudo de caso consiste no planejamento da expansão da geração do sistema da Bolívia (BO), para o horizonte 2004-2010. O sistema é composto por um parque gerador existente de 28 usinas hidroelétricas e 25 usinas térmicas e possui uma capacidade instalada de cerca de 850MW em 2004. Além disto, 30 projetos de usinas térmicas compõem a lista de alternativas de investi-mento para o plano de expansão. Observe que o número máximo de usinas que podem estar em operação no sistema é de 83 e, com isto, tem-se que o número máximo de estados do subproblema de confiabilidade é de 283, que é da ordem de 1025estados.
Inicialmente, é realizada uma análise comparativa dos planos de expansão obtidos quando da utilização de uma metodologia de planejamento hierárquico e a metodologia de planejamento integrado. Adicionalmente, é realizada uma comparação entre os resultados obtidos a partir do critério de confiabilidade de EENS e CVaRα.
Foi adotado com critério de confiabilidade um limite para a EENS igual a 1% da demanda para cada etapa (mensal) ao longo do horizonte de estudo. O subproblema de confiabilidade é solucionado por SMC e foi utilizado como critério de convergência um máximo coeficiente de variação para o estimador da EENS igual a 5% ([Pereira et al.(1992)]).
5.1 Planejamento Hierárquico EENS (PHE)
A abordagem do planejamento hierárquico consiste em obter um plano de investimento ini-cial (primeiro estágio) considerando apenas a análise dos investimentos que contemplam a mini-mização do custos operativos (PE), como apresentado na seção 2.1. A tabela 1 mostra a capacidade adicionada em cada ano do horizonte de planejamento e a tabela 2 o custo total obtidos com a apli-cação desta metodologia. É possível observar na figura 4(a) que a EENS resultante não é viável segundo o critério de confiabilidade estabelecido.
O segundo estágio do PHE é realizado fixando a solução do primeiro estágio e solucionando novamente o problema para a obtenção de reforços de confiabilidade. Observe na tabela 1 que foi necessário o investimento em 44.1MW adicionais no ano de 2005 (ano que ocorre a primeira violação de EENS) para garantir o atendimento dos critérios de confiabilidade e, com isto, houve um aumento no custo total deste plano de investimentos, também ilustrado na tabela 2.
5.2 Planejamento Integrado com critério de EENS (PIE)
A metodologia de planejamento integrado consiste na consideração dos problemas de opera-ção e confiabilidade em um único problema de investimento. Uma vez que a soluopera-ção não se fixa a solução como no PHE, é possível considerar os benefícios econômicos de modo integrado aos benefícios em termos de garantia do atendimento do critério de confiabilidade e reavaliar a solução. A tabela 1 ilustra que, mantendo o investimento em 44.1MW em 2005, é possível reduzir os
Tabela 1: Planejamento Hierárquico x Integrado: Capacidade Adicional [MW] Metodologia 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 PE 0 0 65.8 44.1 285.6 44.1 44.1 PHE 0 44.1 65.8 44.1 285.6 44.1 44.1 PIE 0 44.1 44.1 44.1 285.6 44.1 44.1 PIC 0 44.1 44.1 44.1 285.6 44.1 0
Tabela 2: Planejamento Hierárquico x Integrado: Custos
Metodologia Custo de Custo de Custo # de etapas Investimento Operação Total violadas PE 98.42 M$ 146.66 M$ 245.08 M$ 22 PHE 117.80 M$ 145.02 M$ 262.82 M$ 0
PIE 100.06 M$ 152.17 M$ 252.23 M$ 0 PIC 98.05 M$ 153.66 M$ 251.71 M$ 0
investimentos no ano de 2006 também para 44.1MW e ainda assim obter um plano viável. Note que, comparado à metodologia PHE, a metodologia PIE obtém um plano de investimentos de custo menor e maior custo de operação, ilustrando que há um benefício em investir em uma usina de custo de construção inferior e maior custo operativo, mas que ainda garante o critério de confiabilidade e um menor custo total, conforme mostrado na tabela 2.
5.3 Planejamento Integrado com critério de CVaRα(PIC)
Com o objetivo de comparar os índices de risco EENS e CVaRα, foi calculado o CVaR5%para
o plano de investimentos ótimo obtido com o PIE e o máximo valor obtido (aproximadamente 10% da demanda) foi utilizado como limite para o CVaR5% para a obtenção de um plano considerando
restrições de confiabilidade de CVaR5%≤ 10%.
É possível observar os resultados obtidos com este plano na tabela 2 e a capacidade instalada adicional na tabela 1. A diferença para o PIE consiste que a metodologia PIC não considerou necessária o investimento em 44.1MW no último ano, obtendo um plano de investimentos de menor custo. Além disto, observando a EENS para este plano na figura 4(b), nota-se que, como o critério da metodologia PIC diz respeito à média dos 5% cenários mais severos e não à média de todos os cenários (EENS), foi possível encontrar um plano mais econômico às custas de uma EENS superior a 1% da demanda no último ano (mas que respeita o critério de CVaR5%).
6 Conclusões
Este trabalho apresentou uma metodologia para incorporar restrições de confiabilidade no problema de planejamento ótimo da expansão de sistemas elétricos. Através de um exemplo real, mostrou-se que somente a aplicação de critérios de planejamento econômico não é suficiente para garantir o atendimento dos critérios de confiabilidade. Também mostrou-se que a aplicação de um procedimento hierárquico de dois estágios para resolver o problema de planejamento com critérios de confiabilidade não leva à solução de menor custo.
Em contrapartida, mostrou-se que é possível a obtenção da solução ótima com a aplicação de uma metodologia integrada que considera critérios econômicos e de confiabilidade simultanea-mente. A vantagem da utilização de uma metodologia integrada consiste na possibilidade de iden-tificar projetos que contribuem tanto em termos econômicos quanto em termos de melhoria da
(a) EENS resultante para o plano obtido com o PE (b) EENS resultante para o plano obtido com o PIC
Figura 4: EENS mensal
confiabilidade do sistema, o que não é possível com a utilização de um procedimento hierárquico. Além das medidas tradicionais de confiabilidade em sistemas elétricos, LOLP e EENS, este trabalho ilustrou também como incorporar no planejamento da expansão de sistemas elétricos as medidas de risco VaRαe CVaRα, vastamente utilizadas na área financeira. Em especial, mostrou-se
que a utilização do critério do CVaRαpermite controlar a profundidade da função de distribuição de
probabilidade do corte de carga. Com isto, torna-se possível a prevenção contra eventos desastrosos com o nível de confiabilidade desejado, estimulando a diversificação do “portfólio” de usinas. Referências Bibliográficas
[Acerbi and Tasche(2001)] Acerbi, C. and Tasche, D. (2001). Expected shortfall: A natural co-herent alternative to value at risk. Economic Notes 31, 379–388.
[Benders(1962)] Benders, J. F. (1962). Partitioning procedures for solving mixed-variables pro-gramming problems. Numerische Mathematik 4, 238–252.
[Bloom(1983)] Bloom, J. (1983). Solving an electricity generating capacity expansion planning problem by generalized Benders’ decomposition. Operations Research 31, 84–100.
[Costa Jr.(2008)] Costa Jr., L. C. (2008). Incorporação de Restrições de Confiabilidade ao Problema de Planejamento Ótimo da Expansão de Sistemas Elétricos. Tese de Mestrado, COPPE/UFRJ.
[Coté(1975)] Coté, G. (1975). Reliability aspects of optimal generation planning models for power systems. Tese de Doutorado, University of London.
[Jorion(1998)] Jorion, P. (1998). Value at risk: A nova fonte de referência para o controle do risco de mercado. Bolsa de Mercadorias e Futuros-São Paulo .
[Oliveira(1987)] Oliveira, G. C. (1987). Metodologia de Expansão da Capacidade de Ponta em Sistemas Interligados de Geração Hidrotermoelétrica. Tese de Doutorado, COPPE/UFRJ.
[Pereira(1985)] Pereira, M. V. F. (1985). Aplicação de Análise de Sensibilidade no Planejamento da Expansão de Geração/Transmissão. Tese de Doutorado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro.
[Pereira et al.(1992)] Pereira, M. V. F., Maceira, M. E. P., Oliveira, G. C. and Pinto, L. M. V. G. (1992). Combining analytical models and monte-carlo techniques in probabilistic power system analysis. IEEE Transactions on Power Systems 7, 265–272. ISSN 0885-8950.
[Rockafellar and Uryasev(2000)] Rockafellar, R. T. and Uryasev, S. (2000). Optimization of conditional value at risk. The Journal of Risk 2, 21–41.
