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Unidade Operacional CFP/SAT ‘’Sílvio Assunção Teixeira”

Unidade Operacional CFP/SAT ‘’Sílvio Assunção Teixeira”

Presidente da FIEMG Presidente da FIEMG Robson Braga de Andrade Robson Braga de Andrade Gestor do SENAI

Gestor do SENAI Petrônio Machado Zica Petrônio Machado Zica

Diretor Regional do SENAI e Diretor Regional do SENAI e

Superintendente de Conhecimento e Tecnologia Superintendente de Conhecimento e Tecnologia Alexandre Magno Leão dos Santos

Alexandre Magno Leão dos Santos Gerente de Educação e Tecnologia Gerente de Educação e Tecnologia Edmar Fernando de Alcântara

Edmar Fernando de Alcântara

Elaboração Elaboração

Thulio Marcus Marcenes de Souza Thulio Marcus Marcenes de Souza Unidade Operacional

Unidade Operacional

CFP\SAT “Sílvio Assunção Teixeira” CFP\SAT “Sílvio Assunção Teixeira”

Presidente da FIEMG Presidente da FIEMG Robson Braga de Andrade Robson Braga de Andrade Gestor do SENAI

Gestor do SENAI Petrônio Machado Zica Petrônio Machado Zica

Diretor Regional do SENAI e Diretor Regional do SENAI e

Superintendente de Conhecimento e Tecnologia Superintendente de Conhecimento e Tecnologia Alexandre Magno Leão dos Santos

Alexandre Magno Leão dos Santos Gerente de Educação e Tecnologia Gerente de Educação e Tecnologia Edmar Fernando de Alcântara

Edmar Fernando de Alcântara

Elaboração Elaboração

Thulio Marcus Marcenes de Souza Thulio Marcus Marcenes de Souza Unidade Operacional

Unidade Operacional

CFP\SAT “Sílvio Assunção Teixeira” CFP\SAT “Sílvio Assunção Teixeira”

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N NÚMEROSÚMEROSNNATURAISATURAIS...5...5

O OPERAÇÕESPERAÇÕESFFUNDAMENTAISUNDAMENTAISCCOMOMNNÚMEROSÚMEROSNNATURAISATURAIS...5...5

Adiçã Adiçãoo ...5...5 Subtração...5 Subtração...5 Multip Multiplicaçãlicaçãoo ...6...6 Divisã Divisãoo ...6...6 Exercícios...6 Exercícios...6 Desenvolvimento...9 Desenvolvimento...9 2. 2. FRAÇÕESFRAÇÕES ... 1010 N NÚMEROSÚMEROSRRACIONAISACIONAIS...10...10

C CONCEITO DEONCEITO DEFFRAÇÃORAÇÃO:...:...10..10

LLEITURA EEITURA ECCLASSIFICAÇÕES DASLASSIFICAÇÕES DASFFRAÇÕESRAÇÕES...11...11

Frações Ordinárias e Frações Decimais...11

Frações Ordinárias e Frações Decimais...11

Frações Próprias...12

Frações Próprias...12

Frações Frações ImprópriasImpróprias ... 1212 Frações Aparentes...12

Frações Aparentes...12

Frações Equivalentes/Classe de Equivalência...13

Frações Equivalentes/Classe de Equivalência...13

Núme Números ros Mistos...Mistos...14.14 Extração Extração de de InteirosInteiros ... 1414 Transformação de Números Mistos em Frações Impróprias...14

Transformação de Números Mistos em Frações Impróprias...14

Simplificação Simplificação de de FraçõesFrações ...1515 Redução de Frações ao mesmo Denominador...15

Redução de Frações ao mesmo Denominador...15

C COMPARAÇÃO DEOMPARAÇÃO DEFFRAÇÕESRAÇÕES...1...166

Frações Frações com com o o mesmo mesmo DenominadorDenominador ... 1616 Frações com o Mesmo Numerador...17

Frações com o Mesmo Numerador...17

Frações Frações com com os os Numeradores Numeradores e e Denominadores Denominadores DiferentesDiferentes ... 1717 A ADIÇÃO EDIÇÃO ESSUBTRAÇÃO DEUBTRAÇÃO DEFFRAÇÕESRAÇÕES...18..18

M MULTIPLICAÇÃO DEULTIPLICAÇÃO DEFFRAÇÕESRAÇÕES...19...19

D DIVISÃO DEIVISÃO DEFFRAÇÕESRAÇÕESOORDINÁRIASRDINÁRIAS...19...19

P PARTESARTESFFRACIONÁRIAS DE UMRACIONÁRIAS DE UMNNÚMEROÚMERO...20...20

Exercícios...20

Exercícios...20

3. 3. NÚMEROS DECIMAIS...29NÚMEROS DECIMAIS...29

C CONCEITO EONCEITO ELLEITURAEITURA...29...29

Transformação Transformação de de Fração Fração Decimal Decimal em em Número Número DecimalDecimal ...3030 Transformação Transformação de de Número Número Decimal Decimal em em Fração Fração DecimalDecimal ...3030 O OPERAÇÕES COMPERAÇÕES COMNNÚMEROSÚMEROSDDECIMAISECIMAIS...31...31

Adição e Subtração...31

Divisã

Divisãoo ...32...32

Exercícios...33

Exercícios...33

4. 4. GEOMETRIA PLANA...37GEOMETRIA PLANA...37

IINTRODUÇÃONTRODUÇÃO...37...37

A ALGUMAS DEFINIÇÕESLGUMAS DEFINIÇÕES...37...37

Polígono...37

Polígono...37

Polígono convexo...37

Polígono convexo...37

Polígono não convexo...37

Polígono não convexo...37

Segmentos Segmentos congruentescongruentes ...37..37

Paralelogramo...38 Paralelogramo...38 Losan Losangogo ...38.38 Retângulo...38 Retângulo...38 Quadrado Quadrado ... 3838 Trapé Trapéziozio ...38.38 Trapé Trapézio zio isósceisóscelesles ...38...38

Pipa Pipa ou ou papagaiopapagaio ...38..38

C CONHEÇA ONHEÇA A GEOA GEOMETRIA PLANMETRIA PLANAA...38...38

T TRIÂNGULOSRIÂNGULOS...39...39 Q QUADRILÁTEROSUADRILÁTEROS...3...399 Paralelogramos...40 Paralelogramos...40

Trapézios propriamente ditos...40

Trapézios propriamente ditos...40

Propriedades:...41 Propriedades:...41 P POLÍGONOSOLÍGONOS...41...41 Pentágonos...41 Pentágonos...41 Hexágonos...41 Hexágonos...41 Heptágonos...41 Heptágonos...41 Octógonos...41 Octógonos...41 C CIRCUNFERÊNCIAIRCUNFERÊNCIA(C(CÍRCULOÍRCULO)) ...42...42

Á ÁREA DO RETÂNGULOREA DO RETÂNGULO...43...43

Á ÁREA DO QUADRADOREA DO QUADRADO...44...44

Á ÁREA DE UMA REGIÃO TRIANGULARREA DE UMA REGIÃO TRIANGULAR((OU ÁREA DE UM TRIÂNGULOOU ÁREA DE UM TRIÂNGULO)...44)...44

Á ÁREA DE UM LOSANGOREA DE UM LOSANGO...45...45

Á ÁREA DE UM TRAPÉZIOREA DE UM TRAPÉZIO...45...45

Á ÁREA DE UM POLÍGONO REGULARREA DE UM POLÍGONO REGULAR...46...46

Á ÁREA DE UM CÍRCULOREA DE UM CÍRCULO...47...47

BIBLIOGRAFIA...49

Apresentação

Apresentação

“Muda a forma de trabalhar, agir, sentir, pensar na chamada sociedade do “Muda a forma de trabalhar, agir, sentir, pensar na chamada sociedade do conhecimento. “

conhecimento. “

Peter Drucker Peter Drucker

O ingresso na sociedade da informação exige mudanças profundas em todos os O ingresso na sociedade da informação exige mudanças profundas em todos os perfis profissionais, especialmente naqueles diretamente envolvidos na produção, perfis profissionais, especialmente naqueles diretamente envolvidos na produção, coleta, disseminação e uso da informação.

coleta, disseminação e uso da informação. O

O SENAISENAI, maior rede privada de educação profissional do país, sabe disso , e, maior rede privada de educação profissional do país, sabe disso , e ,consciente do seu papel formativo , educa o trabalhador sob a égide do conceito ,consciente do seu papel formativo , educa o trabalhador sob a égide do conceito da competência

da competência:” formar o profissional com responsabilidade no processo :” formar o profissional com responsabilidade no processo  produtivo, com iniciativa na resolução de problemas, com conhecimentos  produtivo, com iniciativa na resolução de problemas, com conhecimentos  técnicos aprofundados, flexibilidade e criatividade, empreendedorismo e  técnicos aprofundados, flexibilidade e criatividade, empreendedorismo e  consciência da necessidade de educação continuada 

consciência da necessidade de educação continuada .”.”

Vivemos numa sociedade da informação. O conhecimento , na sua área Vivemos numa sociedade da informação. O conhecimento , na sua área tecnológica, amplia-se e se

tecnológica, amplia-se e se multiplica a cada dia. multiplica a cada dia. Uma Uma constante atualização seconstante atualização se faz necessária. Para o

faz necessária. Para o SENAISENAI, cuidar do seu acervo bibliográfico, da sua infovia,, cuidar do seu acervo bibliográfico, da sua infovia, da conexão de

da conexão de suas escolas à suas escolas à rede mundial de informações rede mundial de informações – internet- – internet- é tãoé tão importante quanto zelar pela produção de material didático.

importante quanto zelar pela produção de material didático. Isto

Isto porque, porque, nos nos embates embates diários,instrutores diários,instrutores e e alunos alunos , , nas nas diversas diversas oficinas oficinas ee laboratórios do

laboratórios do SENAISENAI, , fazem cfazem com que om que as informações, as informações, contidas nos contidas nos materiaismateriais didáticos,

didáticos, tomem tomem sentido sentido e e se se concretizem concretizem em em múltiplos múltiplos conhecimentos.conhecimentos. O

O SENAISENAI deseja deseja , , por por meio meio dos dos diversos diversos materiais materiais didáticos, didáticos, aguçar aguçar a a suasua curiosidade, responder às suas demandas de informações e construir

curiosidade, responder às suas demandas de informações e construir links links entreentre

os

os diversos diversos conhecimentos, conhecimentos, tão tão importantes importantes para para sua sua formação formação continuada !continuada !

Gerência de Educação e Tecnologia  Gerência de Educação e Tecnologia 

1

1.. N

Nú

úm

meerro

oss IIn

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Números Naturais

Desde os tempos mais remotos, o homem sentiu a necessidade de verificar quantos elementos figuravam em um conjunto.

Antes que soubessem contar, os pastores verificavam se alguma ovelha de seus rebanhos se havia extraviado, fazendo corresponder a cada uma delas uma pedrinha que colocavam na bolsa. Na volta do rebanho, a última ovelha devia corresponder à última pedrinha. Tinham assim, a noção dos números naturais, embora não lhes dessem nomes nem os representassem por símbolos. Nos dias de hoje, em lugar das pedrinhas, utilizam-se, em todo o mundo, os símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

O conjunto dos números naturais é representado pela letra IN e escreve-se:

IN= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Operações Fundamentais Com Números Naturais

Adição 

É a operação que permite determinar o número de elementos da união de dois ou mais conjuntos:

Subtração 

Multiplicação 

A multiplicação é muitas vezes definida como uma adição de parcelas iguais: Exemplo: 2 + 2 + 2 = 3 x 2 (três parcelas iguais a 2)

Atenção:

Qualquer número natural multiplicado por zero é zero. Exemplo: 4 x 0 = 0

Divisão 

É a operação que permite determinar o quociente entre dois números. A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Exemplo: 18 x 4 = 72 .72 / 4 = 18

Termos Da Divisão:

Atenção:

Quando o dividendo é múltiplo do divisor, dizemos que a divisão é exata. Exemplo: 16 x 8 = 2

Quando o dividendo não é múltiplo do divisor, dizemos que a divisão é aproximada ou inexata.

Exemplo: 16 ÷5 = 3 (resto = 1)

Numa divisão, em números naturais, o divisor tem de ser sempre diferente de

zero, isto é, não existe divisão por zero no conjunto de números naturais (IN).

Exercícios 

1) Complete as sucessões numéricas seguintes: Exemplo: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35

a) 7, 14, 21, ..., ..., ..., ... b) 9, 18, 27, ..., ..., ..., ... c) 11, 22, 33, ..., ..., ..., ... d) 12, 24, 36, ..., ..., ..., ...

2) Resolva:

a) 4 + 577 + 12 + 1.004 =

b) 285 + 122 + 43 + 8 + 7.305 = c) 7.815 + 427 + 2.368 + 864 =

3) Escreva as denominações dos termos e do resultado da adição: 623 ...

+ 321 ... 944 ...

4) Complete as sucessões numéricas seguintes: Exemplo: 50, 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22... a) 50, 45, ..., ..., ..., ..., ... b) 50, 44, ..., ..., ..., ..., ... c) 80, 72, ..., ..., ..., ..., ... d) 108, 96, ..., ..., ..., ..., ... 5) Efetue as subtrações: a) 196 - 74 = b) 937 - 89 = c) 4.800 - 2.934 = d) 100.302 - 97.574 = e) 1.301.002 - 875.037 =

6) Em uma subtração, o subtraendo é 165 e o resto é 428. Qual é o minuendo?

 ___________ 

7) Qual é o número que somado a 647 é igual a 1.206?  ___________ 

8) De 94.278 subtraia 62.574. Tire a prova.

9) Complete:

a) Um produto é sempre uma adição de ... iguais.

b) O produto de vários fatores é zero, quando pelo menos um de seus fatores for ...

10) Complete: a) 4 x 5 x 0 = b) 6 x 0 x 9 =

e) 7 x 9 x... = 0 f) ...x 4 x 8 = 0 11) Efetue: a) 810 / 4 = b) 408 / 4 = c) 560/ 8 = d) 12.018 / 6 =

12) O número 9 está contido em 3.663 ... vezes.

13) Arme, efetue e verifique a exatidão das operações através de uma prova. a) 8.750 + 3 + 1.046 = b) 37.600 - 28.935 = c) 2.091 x 45 = d) 9.327 x 814 = e) 3.852 x 208 = f) 68.704 / 74 = g) 1.419/87 = h) 4.056/68 = 14) Resolva os problemas:

a) Um reservatório contém 400 litros de água e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operações: • retiramos 70 litros • colocamos 38 litros • retiramos 193 litros • colocamos 101 litros • colocamos 18 litros

Qual a quantidade de água que ficou no reservatório?

b) Em uma escola estudam 1.920 alunos distribuídos igualmente em 3 períodos: manhã, tarde e noite.

Pergunta-se:

• Quantos alunos estudam em cada período?

• Quantos alunos estudam em cada sala, por período, se há 16 salas de

2

2.. F

Frraaççõ

õeess

Números Racionais

Consideremos a operação 4 : 5 = ? onde o dividendo não é múltiplo do divisor. Vemos que não é possível determinar o quociente dessa divisão no conjunto dos números porque não há nenhum número que multiplicando por 5 seja igual a 4. A partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar um outro conjunto que permite efetuar a operação de divisão, quando o dividendo não fosse múltiplo do divisor. Criouse, então, o conjunto dos Números Racionais.

Número racional é todo aquele que é escrito na forma onde a e b são

números inteiros e b é diferente de zero. São exemplos de números racionais:

A seguir, estudaremos o conjunto dos números racionais fracionários, também chamados de frações.

Conceito de Fração:

Se dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas dessas partes, poderemos representar essa operação por uma fração.

Veja:

A figura foi dividida em três partes iguais. Tomamos duas partes. Representamos, então, assim: 2

3 E lemos: dois terços.

O número que fica embaixo e indica em quantas partes o inteiro foi dividido, chama-se DENOMINADOR.

O número que fica sobre o traço e indica quantas partes iguais foram consideradas do inteiro, chama-se NUMERADOR.

Leitura e Classificações das Frações

Numa fração, lê-se, em primeiro lugar, o numerador e, em seguida, o denominador.

a) Quando o denominador é um número natural entre 2 e 9, a sua leitura é feita do seguinte modo:

b) Quando o denominador é 10, 100 ou 1000, a sua leitura é feita usando-se as palavras décimo(s), centésimo(s) ou milésimo(s).

c) Quando o denominador é maior que 10 (e não é potência de 10), lê-se o número acompanhado da palavra "avos".

Frações Ordinárias e Frações Decimais 

As frações cujos denominadores são os números 10, 100, 1000 (potências de 10) são chamadas Frações Decimais. As outras são chamadas Frações Ordinárias. Exemplos:

Frações Próprias 

Essas frações são menores do que a unidade. São chamadas Frações Próprias. Nas frações próprias, o numerador é menor do que o denominador.

Frações Impróprias 

Observe as frações abaixo:

Essas frações são maiores que o inteiro, portanto são Frações Impróprias. Nas frações impróprias, o numerador é maior que o denominador.

Frações Aparentes 

As frações acima representam inteiros. Elas são chamadas Frações Aparentes. Nas frações aparentes, o numerador é sempre múltiplo do denominador, isto é, o numerador é divisível pelo denominador.

Uma fração aparente é também imprópria, mas nem toda fração imprópria é aparente.

Frações Equivalentes/Classe de Equivalência .

Observe as figuras:

As frações 2/3, 4/6 e 6/9 representam o mesmo valor, porém seus termos são números diferentes. Estas frações são denominadas Frações Equivalentes.

Para obtermos uma fração equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número (diferente de zero).

Exemplo

O conjunto de frações equivalentes a uma certa fração chama-se CLASSE DE EQUIVALÊNCIA.

Exemplo:

Números Mistos 

Os números mistos são formados por uma parte inteira e uma fração própria.

Extração de Inteiros 

É o processo de transformação de fração imprópria em número misto. Observe a figura:

Para transformar 5/4 em número misto, ou seja, para verificar quantas vezes 4/4 cabe em 5/4, procede-se assim:

É só dividir o numerador pelo denominador. O quociente será a parte inteira. O resto será o numerador e conserva-se o mesmo denominador.

Transformação de Números  Mistos em Frações Impróprias.

Observe o exemplo e a ilustração:

Transformar 1 1 em fração

imprópria

4

Solução: Consiste em transformar 1 em quartos e juntar com o outro

Resumidamente, procede-se assim:

Multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-se o numerador ao produto obtido, mantendo-se o denominador.

Simplificação de Frações 

Simplificar uma fração significa transformá-la numa fração equivalente com os termos respectivamente menores.

Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo número natural (diferente de 0 e de 1).

Exemplo:

Quando uma fração não pode mais ser simplificada, diz-se que ela é IRREDUTÍVEL ou que está na sua forma mais simples.

Nesse caso, o numerador e o denominador são primos entre si.

Redução de Frações ao mesmo Denominador 

Reduzir duas ou mais frações ao mesmo denominador significa obter frações equivalentes às apresentadas e que tenham todas o mesmo número para denominador.

Exemplo:

As frações 1/2, 2/3 e 3/4 são equivalentes a 6/12, 8/12 e 9/12 respectivamente. Para reduzirmos duas ou mais frações ao mesmo denominador, seguimos os seguintes passos:

1º - Calcula-se o m.m.c. dos denominadores das frações que será o menor denominador comum.

2º - Divide-se o m.m.c. encontrado pelos denominadores das frações dadas.

Exemplo:

Reduzir ao menor denominador comum as frações:

Solução:

Comparação de Frações

Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade ou desigualdade entre elas.

Frações com o mesmo Denominador 

Se duas ou mais frações tem o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador.

Frações com o Mesmo Numerador 

Observe:

Então:

Se duas ou mais frações tem o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador.

Frações com os Numeradores e Denominadores Diferentes 

Observe:

Para fazer a comparação de frações com numeradores e denominadores diferentes, reduzem-se as frações ao mesmo denominador.

Exemplo:

Já aprendemos que comparando frações com denominadores iguais a maior fração é a que tem o maior numerador.

Adição e Subtração de Frações

A soma ou diferença de duas frações é uma outra fração, obtida a partir do estudo dos seguintes "casos":

1º As Frações tem o mesmo Denominador.

Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o denominador. Exemplo:

2º As Frações tem Denominadores diferentes.

Reduzem-se as frações ao mesmo denominador e procedese como no 1º caso. Exemplo:

3º Números Mistos.

Transformam-se os números mistos em frações impróprias e procede-se como nos 1º e 2º casos.

Exemplo:

Atenção:

Nas operações com frações, é conveniente simplificar e extrair os inteiros do resultado sempre que possível.

Multiplicação de Frações

A multiplicação de duas ou mais frações é igual a uma outra fração, obtida da seguinte forma:

O numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. Numa multiplicação de frações, costuma-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador antes de efetuá-la.

Exemplo:

Divisão de Frações Ordinárias

O quociente da divisão de duas frações é uma outra fração obtida da seguinte forma:

Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda. Para isso, exige-se:

5º - Simplificar.

6º - Multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si. 7º - Extrair os inteiros.

Exemplo:

Atenção:

Quando houver símbolo de polegada ou de outra unidade em ambos os termos da fração, esse símbolo deve ser cancelado.

Exemplo:

Partes Fracionárias de um Número

Para determinar partes fracionárias de um número, devemos multiplicar a parte fracionária pelo número dado.

Exercícios 

1) Observando o desenho, escreva o que se pede: 2)

a) O inteiro foi dividido em ... partes iguais.

b) As partes sombreadas representam ... partes desse inteiro. c) A fração representada é: ...

d) O termo da fração que indica em quantas partes o inteiro foi dividido é o ...

e) O termo da fração que indica quantas dessas partes foram tomadas é o ...

2) Escreva as frações representadas pelos desenhos:

3) Represente com desenho as seguintes frações:

4) Complete com a palavra correta:

a) Frações próprias são frações cujo numerador é ... que o denominador.

b) Frações próprias representam quantidades ... que a unidade.

c) Frações impróprias são frações cujo numerador é ... que o denominador.

d) Frações impróprias representam quantidades ... que a unidade. 5) Numa pizzaria, Luís comeu ½ de uma pizza e Camila comeu 2/4 da mesma pizza.

a) Quem comeu mais?... b) Quanto sobrou da pizza? ... 6) Assinale V (VERDADEIRO) ou F (FALSO):

a) ( ) Toda fração imprópria é maior do que 1.

b) ( ) Toda fração imprópria pode ser representada por um número misto. c) ( ) 1/3 é uma fração.

7) Faça a leitura de cada uma das frações seguintes:

8) Classificar as frações seguintes em própria, imprópria ou aparente:

9) Circule as frações equivalentes a:

11) Transforme os números mistos em frações impróprias:

12) Extraia os inteiros das frações:

13) Simplifique as frações, tornando-as irredutíveis:

15) Compare as frações, escrevendo-as em ordem crescente:

16) Compare as frações apresentadas em cada item, escrevendo, entre elas, os sinais

<

>

=

17) Circule a maior fração:

19) Observe as figuras e escreva as frações representadas:

Complete:

Essas frações representam o mesmo valor, porém seus termos são números diferentes.

Essas frações são denominadas ...

20) Numere a 2acoluna de acordo com a fração equivalente na 1a:

22) Circule as frações irredutíveis:

23) Determine a soma:

24) Efetue as adições e simplifique o resultado quando possível:

25) Quanto falta a cada fração para completar a unidade? Exemplo:

27) Resolva:

28) Qual o comprimento resultante da emenda de 16 barras em sentido longitudinal medindo cada uma 5 ¾” ?

30) Leia com atenção os problemas e resolva:

a) Um carro percorre 8 Km com 1 litro de gasolina. Quantos quilômetros percorrerá com 10 1/2 litros?

b) Um vendedor tinha 4.850 parafusos e vendeu 3/5 deles. Ele quer colocar o restante, igualmente em 10 caixas. Quanto deve colocar em cada caixa?

c) Coloquei 6/12 de minhas ferramentas em uma caixa, 2/4 em outra caixa e o restante deixei fora das caixas.

Pergunta-se: Que parte de ferramentas ficou fora das caixas?

d) João encheu o tanque do seu carro. Gastou 2/5 da gasolina para trabalhar e 1/5 para passear no final de semana. Quanto sobrou de gasolina no tanque?

e) Numa oficina havia 420 veículos, ¼ eram caminhões. Quantos caminhões havia na oficina?

f) Em uma caixa, os lápis estão assim distribuídos: ½ correspondem aos lápis vermelhos, 1/5 são lápis azuis e ¼ são pretos. Que fração corresponde ao total de lápis na caixa?

3

3.. N

Nú

úm

meerro

oss D

Deecciim

maaiiss

Conceito e Leitura

Já estudamos que uma fração é decimal, quando o seu denominador é o número 10 ou potência de 10.

Exemplos:

As frações decimais podem ser representadas através de uma notação decimal que é mais conhecida por "número decimal".

Essa representação decimal de um número fracionário obedece ao princípio da numeração decimal que diz: "Um algarismo escrito à direita de outro representa unidades dez vezes menores que as desse outro.”

Em um número decimal:

• Os algarismos escritos à esquerda da vírgula constituem a parte inteira.

• Os algarismos que ficam à direita da vírgula constituem a parte decimal.

Exemplo:

2- Enuncia-se o número formado pelos algarismos da parte decimal, acrescentando o nome da ordem do último algarismo.

Exemplos:

a) 0,438 - Lê-se: quatrocentos e trinta e oito milésimos. b) 3,25 - Lê-se: três inteiros e vinte cinco centésimos. c) 47,3 - Lê-se: quarenta e sete inteiros e três décimos. Observações:

1- O número decimal não muda de valor se acrescentarmos ou suprimirmos zeros à direita do último algarismo.

Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500

2- Todo número natural pode ser escrito na forma de número decimal, colocando-se a vírgula após o último algarismo e zero (s) a sua direita.

Exemplo: 34 = 34,000 1512 = 1512,00

Transformação de Fração Decimal em Número Decimal 

Para escrever qualquer número fracionário decimal, na forma de "Número Decimal", escreve-se o numerador da fração com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.

Exemplos:

Transformação de Número Decimal em Fração Decimal 

Para se transformar um número decimal numa fração decimal, escrevem-se no numerador os algarismos desse número e no denominador a potência de 10 correspondente à quantidade de ordens (casas) decimais.

Operações com Números Decimais

Adição e Subtração 

Para adicionar ou subtrair dois números decimais, escreve-se um abaixo do outro, de tal modo que as vírgulas se correspondam (numa mesma coluna) e adicionam-se ou subtraem-adicionam-se como adicionam-se fos adicionam-sem números naturais.

Observações:

Costuma-se completar as ordens decimais com zeros à direita do último algarismo.

Exemplos:

No caso de adição de três ou mais parcelas, procede-se da mesma forma que na de duas parcelas.

Exemplos:

Multiplicação 

Para multiplicar números decimais, procede-se da seguinte forma: 1º Multiplicam-se os números decimais, como se fossem naturais;

2º No produto, coloca-se a vírgula contando-se da direita para a esquerda, um número de ordens decimais igual à soma das ordens decimais dos fatores.

Exemplos:

Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000 ..., desloca-se a vírgula para a direita tantas ordens quantos forem os zeros do multiplicador.

Exemplos:

Para multiplicar três ou mais fatores, multiplicam-se os dois primeiros; o resultado obtido multiplica-se pelo terceiro e assim por diante até o último fator.

Exemplo:

0,2 x 0,51 x 0,12 = 0,01224

Divisão 

Para efetuarmos a divisão entre números decimais procedemos do seguinte modo:

1) igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor acrescentando zeros;

2) eliminamos as vírgulas;

3) efetuamos a divisão entre os números naturais obtidos. Atenção:

Se a divisão não for exata, para continua-la colocamos um zero à direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vírgula no quociente.

Para dividir um número decimal por 10, 100 ou 1000 ..., desloca-se a vírgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos forem os zeros do divisor.

Exemplos:

a) Dividir 47,235 por 10, basta deslocar a vírgula uma ordem para esquerda. 47,235 /10 = 4,7235

b) Dividir 58,4 por 100, basta deslocar a vírgula duas ordens para a esquerda. 58,4 /100 = 0,584

Quando a divisão de dois números decimais não é exata, o resto é da mesma ordem decimal do dividendo original.

Exemplo:

Exercícios 

1) Escreva com algarismos, os seguintes números decimais: a) Um inteiro e três décimos... b) Oito milésimos... c) Quatrocentos e cinqüenta e nove milésimos ... d) Dezoito inteiros e cinco milésimos... e) Vinte cinco inteiros e trinta e sete milésimos ... 2) Represente em forma de números decimais:

a) 97 centésimos =

b) 8 inteiros e 5 milésimos = c) 2 inteiros e 31 centésimos = d) 475 milésimos =

3) Observe os números decimais e complete com os sinais:

a) 1,789 ... 2,1 b) 3,78 ... 3,780 c) 4,317 ... 43,27 d) 42,05 ... 42,092 e) 8,7 ... 8,512

4) Escreva em forma de número decimal as seguintes frações decimais:

5) Escreva na forma de fração decimal: a) 0,5 = ... f) 8,71 = ... b) 0,072 = ... g) 64,01 = ... c) 0,08 = ... h) 347,28 = ... d) 0,481 = ... i) 0,12 = ... e) 1,3 = ... j) 0,201 = ... 6) Arme e efetue as adições:

a) 0,8 + 6,24 = b) 2,9 + 4 + 5,432 = c) 6 + 0,68 + 1,53 = d) 19,2 + 2,68 + 3,062 =

7) Arme e efetue as subtrações: a) 36,45 - 1,2 =

b) 4,8 - 1,49 = c) 9 - 2,685 = d) 76,3 - 2,546 =

8) Arme, efetue e tire a prova: a) 650,25 x 3,8 = b) 48 / ,4 = c) 0,60 / 0,12 = d) 6,433 + 2 + 1,6 = e) 9 - 2,5 = 9) Resolva: a) 36,4 + 16,83 + 2,308 = b) 93,250 - 1,063 = c) 67403 x 6,9 = d) 204,35 / 8 =

10) Atenção! Efetue sempre antes o que estiver dentro dos parênteses: a) (0,8 - 0,3) + 0,5 = b) (1,86 - 1) + 0,9 = c) (5 - 1,46) + 2,68 = d) (1,68 + 3,2) - 2,03 = e) (0,8 - 0,5) + (6,5 x 3) = f) 0,4 - (0,2 x 0,35) =

11) Arme e efetue as operações: a) 0,471 + 5,9 + 482,23 = b) 6,68 x 5,986 = c) 5,73 x 6,8 = d) 24,8 / ,2 = 12) Calcule: a) 0,0789 x 100 = b) 0,71 / 10 = c) 0,6 / 100 = d) 8,9741 x 1000 = 13) Torne:

a) 3,85 dez vezes maior = b) 42,6 dez vezes menor = c) 0,153 dez vezes maior = d) 149,2 cem vezes menor = e) 1,275 mil vezes maior = 14) Resolva o problema:

Jorge pintou um carro em 2 dias. Sabendo-se que ele pintou 0,4 do carro no 1º dia, quanto ele pintou no 2º dia?

15) Relacione os elementos por igualdade:

Observe os elementos dos conjuntos acima e marque as sentenças que são verdadeiras:

a) Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1. b) Todos os elementos de A são maiores que zero. c) Nenhum elemento de B é menor que 1.

a) Relacione os elementos dos conjuntos A e B e escreva verdadeiro ou falso. ( ) 1 - Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1.

( ) 2 - Todos os elementos de B são maiores que zero. ( ) 3 - Nenhum elemento de B é menor do que 1.

( ) 4 - Todos os elementos de A são maiores que 10. 17) Arme e efetue as operações abaixo:

a) 3/ 0,05 = b) 6,52 x 38 =

c) 26,38 + 2,953 + 15,08 = d) 7,308 - 4,629 =

e) 63,50 / ,9 =

18) Calcule os quocientes abaixo com duas casas decimais: a) 2,4 / ,12 =

b) 5,85 / 0,003 = c) 0,3 / ,008 = d) 48,6 / ,16 =

4

4.. G

Geeo

om

meettrriiaa p

pllaan

naa

Introdução

A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.

Algumas definições

Polígono : É uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados

lados de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono

Polígono convexo : É um polígono construído de modo que os prolongamentos

dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.

Polígono No. de lados Polígono No. de lados

Triângulo 3 Quadrilátero 4

Pentágono 5 Hexágono 6

Heptágono 7 Octógono 8

Eneágono 9 Decágono 10

Undecágono 11 Dodecágono 12

Polígono não convexo : Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do

polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.

Segmentos congruentes : Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando

Paralelogramo : É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se

mostrar que num paralelogramo: Os lados opostos são congruentes; Os ângulos opostos são congruentes;

A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o; As diagonais cortam-se ao meio.

Losango : Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As

diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.

Retângulo : É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados

paralelos.

Quadrado : É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um

retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.

Trapézio : Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com

comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.

Trapézio isósceles : Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste

caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.

Pipa ou papagaio : É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos

congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes. Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.

Conheça a geometria plana

Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da forma como é usual na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também isósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunos compreenderão as vantagens de optar por uma classificação.

Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por uma razão de "arrumação".

Triângulos

Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos.

Quanto aos lados:

Equilátero Isósceles Escaleno

todos os lados iguais dois lados iguais todos os lados diferentes

Quanto aos ângulos:

Acutângulo Obtusângulo Retângulo

Um ângulo agudo Um ângulo obtuso Um ângulo reto

Algumas propriedades:

- Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são iguais.

- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.

- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.

- Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo.

Quadriláteros

- Os quadriláteros podem ser trapézios (com dois lados paralelos) e não trapézios (quando não tem lados paralelos).

- Os trapézios podem ser paralelogramos (com lados opostos paralelos) e trapézios propriamente ditos (apenas com dois lados paralelos).

Paralelogramos 

Retângulo Losango Quadrado Paralelogramo

Propriedades:

Retângulo: - lados opostos iguais - quatro ângulos retos

- diagonais iguais que se bissetam - dois eixos de simetria

Losango: - quatro lados iguais - ângulos opostos iguais

- diagonais perpendiculares que se bissetam - dois eixos de simetria

Quadrado: - quatro lados iguais - quatro ângulos retos

- diagonais perpendiculares - quatro eixos de simetria

Paralelogramo obliquângulo: - lados opostos iguais - ângulos opostos iguais - diagonais que se bissetam - não tem eixos de simetria

Trapézios propriamente ditos 

Propriedades: 

Isósceles: - dois lados iguais - um eixo de simetria Retângular: - um ângulo reto

- não tem eixos de simetria Escaleno: - quatro lados diferentes

- não tem eixos de simetria

Polígonos

Pentágonos - São polígonos com cinco lados e cinco ângulos. Por exemplo:

Hexágonos - São polígonos de seis lados e seis ângulos. Por exemplo:

Heptágonos - São polígonos de sete lados e sete ângulos. Por exemplo:

Os polígonos podem ser côncavos ou convexos.

Um polígono diz-se côncavo quando o prolongamento de pelo menos um dos seus lados corta o polígono em duas partes.

Exemplo:

Um polígono diz-se convexo quando o prolongamento de qualquer dos segmentos que o determina deixa o polígono de um só lado.

Exemplo:

Os polígonos podem ser regulares ou não regulares.

Um polígono é regular se tem todos os lados e todos os ângulos iguais, caso contrário, diz-se não regular.

Exemplo de polígonos regulares:

Circunferência (Círculo)

Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo.

Esse ponto fixo é denominamos de CENTRO da circunferência (ponto O). A

Por exemplo:

Vejamos alguns elementos da circunferência:

* Qualquer segmento que une o Centro a qualquer ponto da circunferência chama-se raio (r).

* Qualquer segmento que une dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência chama-se CORDA.

* A corda que passa pelo centro da circunferência chama-se DIÂMETRO. Assim, o diâmetro é a maior corda da circunferência e seu comprimento é igual ao dobro do comprimento do raio. Vamos indicar o diâmetro por d, logo d=2r.

Área do retângulo

* a = medida do comprimento ou base * b = medida da largura ou altura * s = área total

temos que:

área do retângulo = b.h

Área do quadrado

Considerando que o quadrado é um caso particular do retângulo, onde todos os lados são iguais, figura abaixo:

* l = medida do comprimento ou base * l = medida da largura ou altura * s = área total

temos que:

área do quadrado = l.l

Área de uma região triangular (ou área de um triângulo)

Observe que, em qualquer uma das três figuras, a área do triângulo destacada é

igual à metade da área do retângulo ABCD.

Assim, de modo geral, temos:

área do triângulo = (b.h)/2

Neste caso, podemos considerar qualquer lado do triângulo como base. A altura a ser considerada é a relativa a esse lado.

Área de um losango

O quadrilátero abaixo é um losango onde vamos considerar:

* O segmento PR representa a Diagonal Maior, cuja medida vamos indicar por D.

* O segmento QS representa a Diagonal Menor, cuja medida vamos indicar por d.

Você nota que a área do losango PQRS é igual à metade da área do losango cujas dimensões são as medidas D e d das diagonais do losango, então:

área do losango = (D.d)/2

Área de um trapézio

* MN é a base maior, cuja medida vamos representar por B. * PQ é a base menor, cuja medida vamos representar por b.

* A distância entre as bases é a altura do trapézio, cuja medida indicaremos por h.

Se traçarmos a diagonal QN, por exemplo, obteremos dois triângulos, QPN e QMN, que têm a mesma altura de medida h.

Da figura temos:

- área do trapézio MNPQ=área do triângulo QPN + área do triângulo QMN - área do trapézio = (B.h)/2 + (b.h)/2

- área do trapézio = (B.h+b.h)/2

área do trapézio = (B + b).h/2

Área de um polígono regular

Considerando o polígono regular da figura abaixo, que é um pentágono.

A partir do centro vamos decompor esse pentágono em triângulos que são isósceles e congruentes, em cada um desse triângulos temos.

* base do triângulo, que corresponde ao lado do polígono e cuja a medida vamos indicar por l.

* altura relativa à base do triângulo, que corresponde ao apótema do polígono e cuja medida vamos indicar por a.

A área de cada triângulo é dada por (l.a)/2.

Como são cinco triângulos, a área do polígono seria dada por: 5.(l.a)/2

Logo, a área de um polígono regular, é dada por n.(l.a)/2, onde n = nº de lados do polígono.

área de um polígono regular = n.(l.a)/2

Sabendo, que 5.l representa o perímetro (2p) do pentágono regular considerado , a expressão 5.l/2 representa a metade do perímetro ou o semiperímetro (p) do pentágono.

Assim temos: área do pentágono = 5.l/2

Generalizando para todos os polígonos regulares, podemos escrever:

área de um polígono regular = p.a

Área de um círculo

Observe a seqüência de polígonos regulares inscritos numa Circunferência.

Repare que a medida que o número de lados aumenta, o polígono regular tende a se confundir com a região limitada pela CINCUNFERÊNCIA, ou seja, o CÍRCULO.

CINCUNFERÊNCIA (C=2.pi.r).

* o semiperímetro do polígono tende ao valor 2.pi.r/2 = pi.r.

* o apótema do polígono tende a coincidir com a altura o raio do círculo, então: