Ártus Bolzanni. Limitação do Tempo Global de Disparo de. Uma Abordagem Utilizando Classes de Estados

(1)

´

Artus Bolzanni

Limita¸

c˜

ao do Tempo Global de Disparo de

Transi¸

c˜

oes em RPT

Uma Abordagem Utilizando Classes de

Estados

Salvador - BA - Brasil 20 de agosto de 2015

(2)

Limita¸

c˜

ao do Tempo Global de Disparo de

Transi¸

c˜

oes em RPT

Uma Abordagem Utilizando Classes de

Estados

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica da Universidade Federal da Bahia como requi-sito parcial para conclusão do Mestrado em Engenharia Elétrica.

´

Area de concentra¸c˜ao: Automa¸c˜ao Indus-trial.

Orientador:

Evangivaldo Lima

Universidade Federal da Bahia

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Salvador - BA - Brasil 20 de agosto de 2015

(3)

´

Artus Bolzanni

Limita¸

c˜

ao do Tempo Global de Disparo de Transi¸

c˜

oes em RPT

Uma Abordagem Utilizando Classes de Estados

Disserta¸cão de Mestrado apresentada como parte dos requisitos para a obten¸cão do grau de Mestre em Engenharia Elétrica do curso de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica da Universidade Federal da Bahia.

Trabalho aprovado. Salvador, 20 de agosto de 2015.

Banca Examinadora:

Prof. Evangivaldo Lima Orientador

UNEB

Prof. Paulo James de Oliveira UNEB

Prof. Tito Lu´ıs Maia Santos UFBA

(4)

1 Exemplo de rede de Petri. . . 8

2 Disparo de t0. . . 9

3 Conflito entre duas transi¸c˜oes. . . 10

4 Exemplo de transi¸c˜oes fontes e sorvedoras. . . 10

5 Exemplo conflito RPT. . . 12

6 Rede de Petri para exemplo do c´alculo de classes de estados. . . 13

7 RPT para exemplo do dom´ınio relativo. . . 15

8 Grafo de classe de estados. . . 17

9 Exemplo de rede de Petri temporal com transi¸c˜oes ajust´aveis. . . 19

10 Grafo de classe de estados do Exemplo 5. . . 22

11 Grafo de classe de estados do Exemplo 7. . . 24

12 Grafo de classe de estados do Exemplo 7 recalculado. . . 25

13 RPT do Exemplo 8 . . . 26

14 Grafo de classes de estados do Exemplo 10. . . 28

16 Fluxograma do algoritmo. . . 34

17 RPT do Exemplo 13. . . 34

19 Grafo de classes de estados do Exemplo 13 recalculado. . . 36

20 RPT do Exemplo 14 . . . 36

21 Grafo de classes de estados do Exemplo 14 ap´os uma itera¸c˜ao. . . 37

(5)

26 Grafo de classes de estados do Exemplo 16 recalculado. . . 40

27 RPT da aplica¸c˜ao 1. . . 45

28 RPT da aplica¸c˜ao 2. . . 48

29 Rede de Petri temporal a ser reduzida. . . 61

(6)

1 Casos de teste da implementa¸c˜ao. . . 43

(7)

Resumo

O objetivo desta disserta¸cão é estudar um novo modo de tratar a limita¸cão do tempo global de disparo de uma transi¸cão em uma rede de Petri temporal. As transi¸cões desta rede podem ter, ou não, seus limites superiores de sensibiliza¸cão reduzidos segundo um formalismo aqui proposto. Este novo formalismo surge do fato de que alguns eventos na rede podem ter seu tempo de execu¸cão limitado por alguma a¸cão externa, como um equi-pamento em que seu tempo de execu¸cão é dado arbitrariamente, por exemplo. Utilizando a abstra¸cão das classes de estados com tempo global para verificar poss´ıveis viola¸cões às restri¸cões temporais impostas. Esta ferramenta possibilita não só verificar os tempos globais, mas também calcular o impacto deste redu¸cão sobre os intervalos das transi¸cões sobre o espa¸co de estados. O cálculo do ajuste nos intervalos das transi¸cões é feito a partir de um algoritmo proposto neste trabalho que, usando os dados do grafo de classes de estados, o recalcula de acordo com os ajustes nos intervalos até então encontrados. Uma demonstra¸cão da aplica¸cão do algoritmo é realizado em duas redes de Petri tempo-rais com mais de 1000 classes de estados para verificar caracter´ısticas de funcionamento e performance.

Palavras-chave: Rede de Petri, Rede de Petri Temporal, Classes de Estados, ´Algebra Intervalar, Controle Supervis´orio, Sistemas a Eventos Discretos.

(8)

The objective of this thesis is to study a new way to deal the limitation of a transition’s firing global time in a time Petri net. The net’s transitions can, or cannot, have their late firing time reduced according to a formalism here proposed. That new formalism arises from the fact that some events on the net can have their execution time limited by some external action, like an equipment in which time is arbitrarily given, for example. To verify possible violations to the imposed restrictions the state classes formalism has been utilized. That tool make possible not just the global time verification but to calculate the impact of that reduction on the state class graph also. The control is an imposition of a reduction on late enabling time of the transitions by a firing sequence. The adjustment calculation is made by an algorithm proposed on this work that, utilizing the data from the state class graph, recalculates it according to the adjustments on the intervals found until then. A demonstration of the algorithm application is done on two time Petri nets with more than 1000 state classes to verify functioning and performance issues.

Keywords: Petri Net, Time Petri Net, State Classes, Intervalar Algebra, Supervisory Control, Discrete Event Systems.

(9)

Nota¸

c˜

ao

A Conjunto de arcos de uma rede de Petri.

Aj(S, t) Fun¸c˜ao que retorna o ajuste da transi¸c˜ao t na classe de estados S.

Ajmax Ajuste máximo que uma transi¸cão pode receber em uma classe de estados. B Vetor com os tempos parciais de sensibiliza¸cão das transi¸cões de uma RPT.

C Matriz de intervalos.

D Matriz de incidência de uma rede de Petri. D Conjunto das transi¸cões disparáveis.

E Estado de uma rede de Petri temporal. GC Rel´ogio global de uma classe de estados. H Conjunto das transi¸c˜oes habilitadas.

id_(t) _{Intervalo de disparo de uma transi¸c˜ao t em uma classe de estados.} I Vetor de intervalos dinˆamicos em uma classe de estados.

Is _{Fun¸cão que associa intervalos estáticos às transi¸cões de uma RPT.}

L(N, M) As sequências de disparos alcan¸cadas pela RP N a partir da marca¸cão M. M Marca¸cão de uma rede de Petri.

M0 Marca¸c˜ao inicial de uma rede de Petri.

MP Matriz parcial.

MT Matriz de transi¸c˜oes.

N Uma rede de Petri.

N Conjunto das transi¸c˜oes rec´em-habilitadas.

p Lugar de uma rede de Petri.

P Conjunto de lugares de uma rede de Petri. P Conjunto das transi¸c˜oes persistentes.

Pre Matriz de pré-condi¸cões de uma rede de Petri. Pos Matriz de pós-condi¸cões de uma rede de Petri. Q Conjunto dos números racionais.

R(N, Mk) Conjunto de marca¸cões alcan¸cáveis em N a partir da marca¸cão Mk. s Vetor de disparos de uma rede de Petri.

S Classe de estados.

(10)

T Conjunto de transi¸cões de uma rede de Petri. Tap Conjunto de transi¸cões ajustáveis precedentes.

Tasi Conjunto de transi¸cões ajustáveis sucessoras imediatas. Tp Conjunto de transi¸cões entre duas transi¸cões.

TA Conjunto de transi¸c˜oes ajust´aveis.

V(S, λ(t)) Tamanho da viola¸c˜ao da transi¸c˜ao t na classe S. x1 x2 x1 precede x2.

x1∨ x2 x1 e x2 s˜ao conflitantes. x1 k x2 x1 e x2 s˜ao concorrentes.

W Vetor de peso dos arcos de uma rede de Petri.

δ(t) Limite inferior de sensibiliza¸c˜ao de uma transi¸c˜ao t de uma RPT.

δs_(t) _{Limite inferior de sensibiliza¸cão estático de uma transi¸cão t de uma RPT.} δd_(t) _{Limite inferior de sensibiliza¸cão de disparo de uma transi¸cão t de uma RPT.} δ(GC) Limite inferior do relógio global de uma classe de estados.

∆(t) Limite superior de sensibiliza¸c˜ao de uma transi¸c˜ao t de uma RPT.

∆s_(t) _{Limite superior de sensibiliza¸cão estático de uma transi¸cão t de uma RPT.} ∆d_(t) _{Limite superior de sensibiliza¸cão de disparo de uma transi¸cão t de uma RPT.} ∆(GC) Limite superior do relógio global de uma classe de estados.

λ(t) Restri¸cão de máximo tempo global de disparo para transi¸cão t. σ Sequência de disparos de transi¸cões de uma rede de Petri. υ Tuplas armazenadas pela fun¸cão “ajustar nó”.

Υ Conjunto de tuplas armazenadas pela fun¸c˜ao “ajustar n´o”. ♯P N´umero de lugares de uma rede de Petri.

♯T N´umero de transi¸c˜oes de uma rede de Petri.

ψ(t) Classe de estados onde a transi¸cão t é originalmente habilitada. •p Conjunto de transi¸cões de entrada do lugar p.

•t Conjunto de lugares de entrada da transi¸cão t. p• Conjunto de transi¸cões de sa´ıda do lugar p. t• Conjunto de lugares de sa´ıda da transi¸cão t.

(11)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Objetivos e Justificativas . . . 2

1.2 Estrutura do Trabalho . . . 3

2 Defini¸c˜oes e Conceitos 4 2.1 Algebra Intervalar . . . .´ 4

2.2 Redes de Petri . . . 6

2.3 Redes de Petri Temporais . . . 11

2.4 Classes de Estados . . . 12

2.4.1 Dom´ınio Relativo . . . 15

2.5 Transi¸c˜oes ajust´aveis . . . 17

2.6 Contribui¸c˜oes Apresentadas . . . 20

3 Controle de RPT com Restri¸c˜oes Temporais 21 3.1 Restri¸c˜oes de Tempo Limite . . . 21

3.1.1 Algoritmo de Busca de Classes de Estados que Violam uma Restri¸c˜ao 23 3.2 Algoritmo de C´alculo de Ajuste . . . 24

3.2.1 Classes de Estados Ajust´aveis Precedentes . . . 25

3.2.2 C´alculo do Ajuste . . . 29

3.2.3 Ajuste em Um N´o do Grafo de Classes de Estados . . . 30

3.2.4 C´alculo do Grafo Controlado . . . 32

(12)

4.1 Implementa¸cão . . . 41 4.1.1 Metodologia de desenvolvimento . . . 42 4.2 Materiais e Métodos . . . 43 4.3 Aplica¸cão 1 . . . 44 4.3.1 Resultados . . . 44 4.4 Aplica¸cão 2 . . . 47 4.4.1 Resultados . . . 47 4.5 Considera¸cões . . . 49 5 Conclusões 50 5.1 Trabalhos Futuros . . . 51 Referências 53 Apêndice A -- Redu¸cão de uma RPT 56 A.1 Redu¸cão de uma RPT via Rela¸cão de Ordem . . . 57

A.1.1 Algoritmo para Redu¸c˜ao via Matriz de Transi¸c˜oes . . . 59

A.1.2 Agrupamento de Transi¸cões em Série e Remo¸cão e Agrupamento de Lugares . . . 63

(13)

1 Introdu¸

c˜

ao

Devido a complexidade dos sistemas em geral, criou-se a necessidade de modelar os Sistemas a Eventos Discretos (SEDs) segundo algum formalismo. Para isto, existe na literatura o uso dos autˆomatos de estados finitos e das redes de Petri (RPs) (CASSANDRAS; LAFORTUNE, 2008). Estes formalismos permitem a an´alise dos SEDs tanto do ponto de

vista l´ogico como estrutural.

Nos sistemas reais, o tempo pode ser uma caracter´ıstica importante. Uma das propos-tas para modelagem temporal dos eventos foi uma extensão ao formalismo original das RPs chamada redes de Petri temporais (RPTs) em (MERLIN, 1974; MERLIN; FARBER, 1976). As RPTs tem como peculiaridade a associa¸cão de intervalos de tempo aos even-tos da rede, caracterizando os tempos m´ınimos e máximos que um evento pode levar a ocorrer após todas suas precondi¸cões serem satisfeitas. Este formalismo foi originalmente proposto para modelar protocolos de comunica¸cão, mas sua aplica¸cão não se restringiu a estes, tendo sido aplicada também em sistemas de manufatura, controle supervisório, robótica e outros (BONHOMME et al., 2002; SATHAYE; KROGH, 1998; MONTANO; IZQUI-ERDO; VILLARROEL, 2000).

Para representa¸c˜ao dos estados de uma RPT foi proposto em (BERTHOMIEU; MENAS-CHE, 1982) e estendido em (BERTHOMIEU; DIAZ, 1991), as classes de estados. Essa forma

de representa¸cão agrupa todos os estados resultantes de uma mesma sequência de disparo sob a forma de um conjunto de inequa¸cões que modelam todos os tempos de disparo poss´ıveis das transi¸cões habilitadas em uma dada classe de estados. Alternativamente à proposta original de classes de estados, onde os tempos das transi¸cões são vistos apenas de modo relativo, em (XU; HE; DENG, 2002;WANG; DENG, 2000;LILIUS, 1998;LIMA, 2007) é utilizado um relógio global que acumula o tempo desde o in´ıcio da execu¸cão da rede. A existência de um relógio global sobre o grafo de classes de estados permite que sejam observados os tempos em que determinadas tarefas são completadas pelo sistema.

Em (BUY; DARABI, 2003) ´e apresentado o problema de controle onde s˜ao estabelecidas

(14)

em seus trabalhos posteriores (BUY et al., 2005; WANG et al., 2007, 2011) s˜ao apresentados

algoritmos para calcular um controlador a partir do desdobramento (unfolding) da rede original. O controlador sintetizado por este método tem como objetivo desabilitar certas transi¸cões que levem a uma viola¸cão deste tempo máximo.

Baseado no uso da álgebra intervalar e tempo global para análise das RPTs proposto em (LIMA, 2007), neste trabalho é um formalismo para tratar o problema de restri¸cão

de tempo limite de disparo de uma transi¸cão. Aqui os intervalos estáticos de algumas transi¸cões da rede podem ser alterados de acordo com o fluxo de disparo de eventos na rede. Esta atualiza¸cão dos intervalos das transi¸cões é realizada de maneira similar, porém diferente, em (BERTHOMIEU et al., 2014), no qual o intervalo estático das transi¸cões pode

mudar de acordo com o estado da rede e n˜ao com as sequˆencias de disparos.

1.1 Objetivos e Justificativas

O objetivo geral desta disserta¸cão é tratar o problema do tempo global máximo de uma transi¸cão em uma RPT. Para isto, o formalismo sobre os intervalos estáticos das transi¸cões é relaxado de modo abrir uma nova perspectiva para solu¸cão do problema. Aqui são realizados os seguintes passos para atingir o objetivo geral:

• Defini¸cão das transi¸cões ajustáveis em uma RPT s.

• Análise do espa¸co das classes de estado com transi¸cões ajustáveis.

• Cria¸cão e implementa¸cão de um algoritmo que gera novo espa¸co de classes sob certa restri¸cão de tempo.

Os dois primeiros itens atualizam os formalismos já existentes de acordo com a pers-pectiva deste trabalho. A justificativa destes não está apenas em servir como base para o objetivo geral, mas também prover uma base formal para modelagem e análise de poss´ıveis sistemas reais que venham a ter eventos com intervalos de ocorrência ajustáveis.

O algoritmo no terceiro item tem como proposta estabelecer uma maneira de cálcular os ajustes nas transi¸cões utilizando a própria ferramenta de análise (classes de estados), dispensando modifica¸cões na estrutura da rede. O uso do grafo de classes de estados é justificado pelo fato de que como ele compreende os finitos estados da rede faz com que sua própria estrutura prove a corretude do controle estabelecido. Além disso, esta explora¸cão do espa¸co permite que sejam visualizadas pelo projetista as sequências de disparos que levam às viola¸cões das restri¸cões.

(15)

1.2 Estrutura do Trabalho 3

1.2 Estrutura do Trabalho

No Cap´ıtulo 2 são revisados os formalismos presentes na literatura que servirão tanto para realiza¸cão do trabalho quanto para uma melhor compreensão da proposta. Também são formalizadas as RPTs com intervalos estáticos ajustáveis segundo a sequência de disparos e a forma de cálculo das classes de estados das RPT s com intervalos ajustáveis.

O Cap´ıtulo 3 descreve os algoritmos para cálculo dos ajustes necessários sobre as transi¸cões.

Duas aplica¸c˜oes relacionadas aos temas discutidos nos cap´ıtulos anteriores s˜ao mos-tradas no Cap´ıtulo 4.

As conclus˜oes e os trabalhos futuros s˜ao dispostos no Cap´ıtulo 5.

(16)

Para realiza¸cão do trabalho proposto é necessária revisão da álgebra intervalar (Se¸cão 2.1), das redes de Petri (Se¸cão 2.2), das redes de Petri temporais e das classes de estados utilizando tempo global (Se¸cão 2.3). Também é formalizado o conceito de transi¸cões ajustáveis em uma RPT (Se¸cão 2.5).

2.1 Algebra Intervalar

´

Nesta se¸cão são definidos alguns conceitos da álgebra intervalar que servirão de base teórica para análise de redes de Petri temporais como proposto em (LIMA, 2007).

Intervalos

Defini¸c˜ao 1. (Intervalo) - Um intervalo ´e um conjunto

x= [x, x] = {x ∈ R | x ≤ x ≤ x},

onde x e x s˜ao os limites inferior e superior de x, respectivamente.

Defini¸c˜ao 2. (Espa¸co de intervalos) - Um espa¸co de intervalos ´e um conjunto de inter-valos

IR= {[x, x] | x ≤ x, x, x ∈ R}.

Opera¸

c˜

oes sobre Intervalos

Sejam x = [x, x], y =y, y e z = [z, z] intervalos.

Defini¸cão 3. (Interse¸cão) - A interse¸cão de dois intervalos é dada por

x∩ y = {k ∈ R | k ∈ x e k ∈ y}.

(17)

2.1 ´Algebra Intervalar 5

Defini¸cão 4. (União) - A união entre dois intervalos é dada por

x∪ y = [min{x, y}, max{x, y}].

Rela¸

c˜

ao de Ordem

Defini¸c˜ao 5. (Menor)

-x < y ⇐⇒ x < y.

A rela¸cão < é transitiva. Defini¸cão 6. (Igualdade)

-x = y ⇐⇒ x = y, x = y.

A rela¸cão de igualdade é reflexiva, simétrica e transitiva. Defini¸cão 7. (Menor ou igual)

-x ≤ y ⇐⇒ x ≤ y, x ≤ y.

A rela¸cão ≤ é reflexiva, antissimétrica fraca e transitiva. Defini¸cão 8. (Inclusão)

-x ⊆ y ⇐⇒ x ≥ y, x ≤ y.

A rela¸cão ⊆ é reflexiva, antissimétrica fraca e transitiva.

Opera¸

c˜

oes B´

asicas e Propriedades

1. Opera¸c˜oes b´asicas:

• x + y =x + y, x + y • x − y =x− y, x − y

• x · y =min{x y, x y, x y, x y}, max{x y, x y, x y, x y}

• x / y =min{x/ y, x/ y, x/ y, x/ y}, max{x/ y, x/ y, x/ y, x/ y}, y 6= 0

• x ⊖ y =max{0, x − y}, max{0, x − y}

2. Propriedades:

(18)

• Associativa : x + (y + z) = (x + y) + z • Elemento neutro da adi¸c˜ao : x + 0 = x

• Elemento neutro damultiplica¸c˜ao : 1 · x = x

• Distributiva : x (y + z) ⊆ x · y + x · z

2.2 Redes de Petri

As redes de Petri (RP s) são uma ferramenta gráfica e matemática usada na modela-gem de uma gama de sistemas como, por exemplo, sistemas a eventos discretos, sistemas tolerantes à falha, sistemas multiprocessados, entre outros (MURATA, 1989).

Uma RP é descrita como um grafo dirigido associado à uma marca¸cão. O grafo é composto por dois tipos de nós, os lugares e as transi¸cões (graficamente representados por c´ırculos e retângulos, respectivamente). Os primeiros estão aptos a receber um determi-nado número de marcas (ou fichas). Ambos são ligados por arcos que possuem um peso (valor) associado. Um arco só pode ligar um lugar à uma transi¸cão e vice-versa.

As transi¸cões podem ser interpretadas como eventos ou tarefas, enquanto os lugares como informa¸cões que podem ser tanto pré-condi¸cões quanto pós-condi¸cões da ocorrência dos eventos.

Formalmente uma rede de Petri pode ser definida por:

Defini¸c˜ao 9. (Rede de Petri) - Seja uma rede de Petri N = hP, T, A, W i, onde:

• P = {p0, p1, . . . , p♯P −1} ´e um conjunto finito de lugares de tamanho ♯P .

• T = {t0, t1, . . . , t♯T −1} ´e um conjunto finito de transi¸c˜oes de tamanho ♯T .

• A é o conjunto dos arcos que ligam transi¸cões a lugares (e vice-versa). Sendo A(p,t) o arco que liga um lugar p a uma transi¸cão t e A(t,p) o arco que liga uma transi¸cão t a um lugar p.

• W ´e o vetor de pesos associados aos arcos.

• P ∩ T = ∅.

A estrutura das redes de Petri podem ser representadas com o uso de matrizes (pré-condi¸cão, pós-condi¸cão e incidência).

(19)

2.2 Redes de Petri 7

Defini¸cão 10. (Representa¸cão matricial) - Uma rede de Petri N com p ∈ P e t ∈ T , pode ser representada matricialmente por três matrizes inteiras: pré-condi¸cão (Pre), pós-condi¸cão (Pos) e incidência (D).

• P re = [P re(pi, tj)]♯P ×♯T, onde P re(pi, tj) = A(pi, tj).

• P os = [P os(pi, tj)]♯P ×♯T, onde P os(pi, tj) = A(tj, pi).

• D = P os − P re.

i = 0, . . . , ♯P − 1 e j = 0, . . . , ♯T − 1.

Os vetores coluna (linha) das matrizes Pre, Pos e D ser˜ao denotados como:

• P re(t) = P re(i, t) (P re(p) = P re(p, j)).

• P os(t) = P os(i, t) (P os(p) = P os(p, j)).

• D(t) = D(i, t) (D(p) = D(p, j)).

Sendo i = 0, ..., ♯P − 1 e j = 0, ..., ♯T − 1.

Defini¸cão 11. (Conjunto de entrada e sa´ıda) - Os conjuntos de entrada e sa´ıda dos lugares p e transi¸cões t de uma rede de Petri são dados por:

• Conjunto de transi¸c˜oes de entrada de p: •p = {t ∈ T | P os(p, t) > 0}.

• Conjunto de transi¸c˜oes de sa´ıda de p: p• = {t ∈ T | P re(p, t) > 0}.

• Conjunto de transi¸c˜oes de entrada de t: •t = {p ∈ P | P re(p, t) > 0}.

• Conjunto de transi¸c˜oes de sa´ıda de t: t• = {p ∈ P | P os(p, t) > 0}.

Os lugares da rede de Petri podem receber marcas (ou fichas). O vetor contendo a marca¸cão de todos os lugares de uma rede é chamado de marca¸cão da rede. Pode-se interpretar a marca¸cão como o estado da rede e as marcas como a quantifica¸cão de recursos ou informa¸cão, a depender do sentido empregado ao lugar ao qual pertencem.

(20)

Defini¸cão 12. (Marca¸cão de uma rede de Petri) - A marca¸cão de uma rede de Petri denotado por M, é dado por:

M = [M (p)]1×♯P,

sendo M(p) a quantidade de marcas em p, tal que p ∈ P e M (p) ∈ N.

A marca¸c˜ao inicial da rede ´e dada pelo vetor M0.

p0 t0 p1 p2 t1 t2 p3 2 2

Figura 1: Exemplo de rede de Petri.

Exemplo 1. Na Figura 1 ´e mostrado um exemplo de uma rede de Petri. O lugar p0

possui duas marcas e o os arcos que ligam p0 a t0 e t0 a p1 possuem peso 2, enquanto os

outros arcos são de peso unitário. Sua matriz de incidência é:

D =        t0 t1 t2 p0 −2 0 0 p1 2 −1 0 p2 1 0 −1 p3 0 1 1       

E seu vetor de marca¸c˜ao inicial:

M0 = h

p0 p1 p2 p3

2 0 0 0

i

Defini¸cão 13. (Habilita¸cão de transi¸cão) - Uma transi¸cão t ∈ T de uma rede de Petri é dita habilitada se:

M ≥ P re(t)T.

O conjunto H(M ) é o conjunto de transi¸cões habilitadas por uma marca¸cão M . A rela¸cão “maior que” (≥) se dá elemento-a-elemento.

(21)

2.2 Redes de Petri 9

Defini¸cão 14. (Dinâmica de uma rede de Petri) - Seja uma rede de Petri com marca¸cão Mi, após o disparo de uma transi¸cão t ∈ H(Mi) a nova marca¸cão Mj é dada por:

Mj = Mi+ D(t)T.

A dinâmica de uma rede de Petri é dada pelo disparo de suas transi¸cões. O disparo de uma transi¸cão só é poss´ıvel caso esta esteja habilitada (defini¸cão 13). No disparo de uma transi¸cão t, são retirados dos lugares pide entrada de t (pi ∈ •t) o número de marcas igual aos respectivos arcos ligando os lugares de entrada à transi¸cão t (Pre(pi,t)), e adicionados o valor em marcas aos lugares pj de sa´ıda de t (pj ∈ t•) igual aos respectivos arcos ligando t aos lugares pj (Pos(pj,t)) (defini¸cão 14). Na Figura 2 tem-se como exemplo o disparo da transi¸cão t0.

Sobre o disparo das transi¸cões é necessário salientar que são:

• atômicos - os disparos são indivis´ıveis e instantâneos;

• ass´ıncronos - duas ou mais transi¸c˜oes habilitadas podem disparar sem ordem fixa entre seus disparos;

• não-determin´ısticos - quando duas ou mais transi¸cões estão habilitades, qualquer uma delas pode disparar;

• n˜ao h´a medida temporal - apenas ordem causal.

p0 t0 p1 p2 t1 t2 p3 2 2 Figura 2: Disparo de t0.

Defini¸cão 15. (Equa¸cão fundamental das redes de Petri) - Seja Mi a marca¸cão de uma

rede de Petri. Após o disparo de uma ou mais transi¸cões, s = [s(t)]♯T ×1 e s(t) é quantidade

de disparos de uma transi¸cão t, a marca¸cão resultante é dada pela equa¸cão fundamental das redes de Petri:

(22)

A Defini¸cão 14 pode ser estendida para o disparo de uma sequência de transi¸cões, levando à equa¸cão fundamental das redes de Petri (defini¸cão 15).

´

E necessário salientar que mesmo que a marca¸cão resultante da equa¸cão fundamental das redes de Petri seja válido, não há como garantir que a sequência de disparos de transi¸cão é poss´ıvel e que suas marca¸cões intermediárias sejam válidas.

Um ponto chave da modelagem utilizando redes de Petri é a situa¸cão onde há conflito, ou seja, duas ou mais transi¸cões que disputam um mesmo recurso (marca). Como nas redes de Petri as transi¸cões são disparadas em sequência, o disparo de uma das transi¸cões em conflito pode desabilitar as outras conflitantes. Na Figura 3 há um exemplo de conflito entre duas transi¸cões. Dada a caracter´ıstica não deterministica das RPs, por defini¸cão, não há escolha prévia sobre qual das transi¸cões deverá disparar.

p0 t0

t1

Figura 3: Conflito entre duas transi¸c˜oes.

Há dois tipos de transi¸cões peculiares, as transi¸cões fontes (source) e as transi¸cões sorvedoras (sink ). As primeiras não possuem arcos de entrada, ou seja, estão sempre habilitadas, e as sorvedoras não possuem arcos de sa´ıda. Na figura 4 há exemplo desses dois tipos de transi¸cões (t0 é fonte e t1 é sorvedora).

t0 p₀ t1

Figura 4: Exemplo de transi¸c˜oes fontes e sorvedoras.

Defini¸c˜ao 16. (Rela¸c˜ao de ordem) - Seja N uma rede de Petri ac´ıclica e x1e x2 ∈ P ou T ,

onde P e T s˜ao os conjuntos de lugares e transi¸c˜oes da rede, respectivamente.

• x1 precede x2 (x1 x2) se existe um caminho entre x1 e x2. A rela¸c˜ao de precedˆencia

´e reflexiva, assim, ∀x : x x.

• x1 e x2 s˜ao conflitantes (x1 ∨ x2) se existe t1, t2 ∈ T, t1 6= t2, tal que P re(t1) ∩ P re(t2) 6= ∅, t1 x1 e t2 x2.

(23)

2.3 Redes de Petri Temporais 11

2.3 Redes de Petri Temporais

As redes de Petri temporais (RPT ), propostas em (MERLIN, 1974;MERLIN; FARBER,

1976) são uma extensão das redes de Petri que modifica a regra de disparo das transi¸cões pois associam um intervalo fechado de tempo para cada disparo.

Defini¸c˜ao 17. (Rede de Petri temporal) - Uma rede de Petri temporal ´e uma dupla RP T = hN, Is_{i, onde:}

N ´e uma rede de Petri.

Is_{é uma fun¸cão que associa intervalos fechados estáticos pertencentes a Q às transi¸cões}

de N.

O tempo transcorrido entre a habilita¸cão de uma transi¸cão e seu disparo é chamado tempo de sensibiliza¸cão. Caso a transi¸cão esteja habilitada porém ainda não disparada, chamamos aqui o tempo transcorrido desde a habilita¸cão até determinado momento é denominado tempo parcial de sensibiliza¸cão, visto que é apenas uma parcial do tempo de sensibiliza¸cão que terá a transi¸cão ao disparar.

O intervalo Is_{(t), sendo t é uma transi¸cão qualquer de uma RPT, é dado por [δ}s_{(t), ∆}s_(t)], onde δs_{(t) o limite inferior de sensibiliza¸cão e ∆}s_{(t) é o limite superior de sensibiliza¸cão} de t, respeitando as seguintes condi¸cões:

• 0 ≤ δs_{(t) ≤ ∆}s_{(t) ≤ ∞.}

• δs_{(t) < ∞.}

Defini¸c˜ao 18. (Regras de disparo das RPTs) - As RPTs possuem as seguintes regras de disparo de transi¸c˜ao:

• Uma transi¸cão habilitada pela marca¸cão da rede só será apta a disparar se, e somente se, seu tempo parcial de sensibiliza¸cão for maior ou igual ao seu tempo inferior de sensibiliza¸cão.

• Se o tempo parcial de sensibiliza¸cão se igualar ao tempo superior de sensibiliza¸cão associado, então a transi¸cão deve obrigatoriamente disparar, exceto caso seja desa-bilitada neste exato momento pelo disparo de uma transi¸cão conflitante.

(24)

Na figura 5 é mostrada uma situa¸cão de conflito de transi¸cões em uma RPT, onde t0 tem um intervalo de sensibiliza¸cão igual a [0,1] e t1 a [1,2]. Tenham sido habilitadas ambas as transi¸cões no instante Θ = 0, se a transi¸cão t0 não disparar em 0, ela e t1 estarão em conflito quando Θ = 1. p0 t0 [0, 1] t1 [1, 2]

Figura 5: Exemplo conflito RPT.

Defini¸c˜ao 19. (Estado de uma RPT) - O estado de uma RPT ´e uma dupla E = {M, B}, no qual:

M ´e a marca¸c˜ao da rede.

B é o vetor dos tempos parciais de sensibiliza¸cão das transi¸cões da rede, sendo B(t) = 0 se a transi¸cão t não está habilitada ou foi recém habilitada.

Devido ao fato de utilizar regras de disparo diferentes das redes de Petri, o estado de uma RPT é dado pela marca¸cão da rede e o tempo parcial de sensibiliza¸cão das transi¸cões habilitadas (defini¸cão 19). A mudan¸ca de estado em uma RPT ocorre nos caso de:

• Mudan¸ca do tempo sem disparo de transi¸c˜ao.

• Disparo de transi¸c˜ao.

2.4 Classes de Estados

Devido a mudan¸ca do tempo levar à mudan¸ca do estado da RPT, o espa¸co de estados pode se tornar grande demais. Uma das possibilidades a serem exploradas é o uso de classes de estados como abstra¸cão desse espa¸co de estados. Proposto em (BERTHOMIEU; MENASCHE, 1982) e estendido em (BERTHOMIEU; DIAZ, 1991), o formalismo das classes

de estados tem como principal caracter´ıstica considerar a mudan¸ca de estado apenas pelo disparo de transi¸c˜oes.

(25)

2.4 Classes de Estados 13

Antes de definir o conceito de classes de estados, é necessário definir como será tratado o tempo. Na abordagem clássica de (BERTHOMIEU; MENASCHE, 1982; BERTHOMIEU; DIAZ, 1991), o dom´ınio do tempo dentro de uma classe de estados é dado por um conjunto de inequa¸cões que representam a união de todos os intervalos pass´ıveis de disparo pelas transi¸cões habilitadas pela marca¸cão.

Outra abordagem utilizada na literatura é o tratamento do tempo de forma absoluta, nela cada classe de estados possui um relógio que é calculado pela soma dos intervalos da sequência de transi¸cões disparadas (WANG; DENG, 2000; XU; HE; DENG, 2002; LIMA, 2007). Neste trabalho, esta será a abordagem usada como base devido ao fato de agregar o tempo global de execu¸cão da rede.

Defini¸cão 20. (Classe de estados com relógio global) - A classe de estados de uma RPT é dada por S = hM, I, GCi, onde M é a marca¸cão da rede, I é o vetor dos intervalos de sensibiliza¸cão das transi¸cões habilitadas por M e GC é o relógio global para classe S. δ(t) e ∆(t) representam respectivamente os limites inferior e superior de I(t). δ(GC) e ∆(GC) representam respectivamente os limites inferior e superior de GC.

Um caso especial de classe de estados ´e a classe de estados inicial S0, onde GC = [0, 0].

p0 p1 t0 [1, 2] t1 [2, 4] p2 t2 [1, 2]

Figura 6: Rede de Petri para exemplo do c´alculo de classes de estados.

Exemplo 2. Na Figura 6 ´e mostrada uma rede de Petri com trˆes lugares (p0, p1 e p2) e

três transi¸cões (t0, t1 e t2). A marca¸cão inicial M0 é [1, 1, 0].

A classe de estados inicial ´e dada por:

S0 =                  M0 = [1, 1, 0] I(t0) = [1, 2] I(t1) = [2, 4] GC = [0, 0]

(26)

Defini¸cão 21. (Cálculo dos intervalos de sensibiliza¸cão) - Seja Sk uma classe de

esta-dos precedida por outra classe Sk−1, o intervalo de sensibiliza¸cão da transi¸cão t, I(t) é

calculado da seguinte forma:

I(t) =    GC + Is_(t) _{se t ∈ N} [max{δ(GC), δ(t)}, ∆(t)] se t ∈ P ,

onde N e P são respectivamente o conjunto de transi¸cões recém habilitadas em Sk e

transi¸c˜oes persistentes em Sk.

Pela observa¸cão da RPT, t0 pode disparar no intervalo [1,2] (levando à classe S1) e t1 pode disparar no intervalo [2,2] (levando à classe S2).

S1 =                  M1 = [0, 1, 1] I(t1) = [2, 4] I(t2) = [2, 4] GC = [1, 2] S2 =                  M2 = [1, 0, 1] I(t0) = [2, 2] I(t2) = [3, 6] GC = [2, 2]

Defini¸cão 22. (Rela¸cão de precedência entre classes de estados) - Seja Sx uma classe

de estados. Uma classe de estados Sy ´e precedente a Sx (Sy Sx) se, e somente se,

existe uma sequência de disparos de transi¸cões que leva a rede de Sy à Sx ou Sy e Sx são

alcan¸cadas pela mesma sequˆencia de disparos de transi¸c˜oes.

A partir da classe de estados S1 (σ1 = [t0]), ao ocorrer o disparo de t1 tem-se a classe S3 (σ3 = [t0, t1]). Deste modo, S1 S3 porque existe uma sequˆencia de disparos (σ = [t1]) que leva de S1 a S3.

Com S2 (σ2 = [t0]), as rela¸cões S1 S2 e S2 S1 também são verdadeiras já que σ1 = σ2.

(27)

2.4 Classes de Estados 15

2.4.1 Dom´ınio Relativo

Uma das limita¸cões do uso das classes de estados com tempo absoluto é que o uso dos intervalos de sensibiliza¸cão para definir a possibilidade de disparo em uma classe de estados (disparabilidade) das transi¸cões habilitadas, pode levar a inclusão de transi¸cões não-disparáveis entre as disparáveis.

p0 t0 [1, 2] p1 p2 t1 [0, 2] t2 [3, 4] p4 t3 [3, 4] p3

Figura 7: RPT para exemplo do dom´ınio relativo.

Exemplo 3. Na Figura 7 ´e mostrada uma rede de Petri temporal com a seguinte classe de estados inicial: S0 =                  M0 = [1, 0, 0, 1, 0] I(t0) = [1, 2] I(t3) = [3, 4] GC = [0, 0]

Apesar de t0 e t3 estarem habilitadas, apenas t0 ´e pass´ıvel de disparo em S0 devido ao

fato que t3 nunca poder´a disparar antes de t0 j´a que δ(t3) > ∆(t0).

Ap´os o disparo de t0, tem-se a classe de estados S1:

S1 =                        M1 = [0, 1, 1, 1, 0] I(t1) = [1, 4] I(t2) = [4, 6] I(t3) = [3, 4] GC = [1, 2]

Numa observa¸cão dos intervalos de sensibiliza¸cão, pode-se chegar a falsa conclusão de que t2 é disparável já que δ(t2) ≤ ∆(t1). Porém, como t2 foi habilitada simultaneamente

(28)

a t1, pelos seus intervalos estáticos é poss´ıvel notar que t2 nunca poderá disparar antes de t1 (δs(t2) > ∆s(t1)).

Ao disparar t3, tem-se a classe S2:

S2 =                  M2 = [0, 1, 1, 0, 1] I(t1) = [3, 4] I(t2) = [4, 6] GC = [3, 4]

Em S2, t2, apesar de persistente, continua n˜ao pass´ıvel de disparo j´a que foi habilitada

na mesma classe que t1 e δs(t2) > ∆s(t1).

Defini¸cão 23. (Classe de habilita¸cão) - ψ(t) é uma fun¸cão que associa uma transi¸cão t habilitada em uma classe S (t ∈ H) à uma classe de estados Sk onde t é originalmente

habilitada.

Defini¸cão 24. (Precedência por habilita¸cão) - Sejam duas transi¸cões ti e tj ∈ H, se ψ(ti) ψ(tj), então é dito que ti precede tj por habilita¸cão.

A defini¸cão de precedência por habilita¸cão (Defini¸cão 24) torna poss´ıvel formalizar não só a não disparabilidade de t2 nas classes S1 e S2 no exemplo anterior, mas estabelecer uma regra geral para verifica¸cão da disparabilidade de transi¸cões.

Defini¸cão 25. (Transi¸cões disparáveis) - Seja D o conjunto de transi¸cões disparáveis e a transi¸cão tj habilitada em uma determinada classe de estados. tj ∈ D se, e somente se:

   δs_(t j) ≤ ∆s(t), se ψ(t) ψ(tj), ∀t ∈ H, e δ(tj) ≤ ∆(t), ∀t ∈ H.

Após a defini¸cão de transi¸cões disparáveis, é poss´ıvel definir o intervalo que uma transi¸cão pode disparar dentro de uma classe de estados.

Defini¸c˜ao 26. (C´alculo do intervalo de disparo) - Seja tj ∈ D em uma classe de estados

S. O intervalo de disparo id_(t

j) ´e dado por:

id_(t

j) = [δ(tj), min{∆(tj), min{∆(D)}}],

(29)

2.5 Transi¸c˜oes ajust´aveis 17

Na Figura 8 é mostrado o grafo de classes de estados com os tempos globais dinâmicos das transi¸cões habilitadas representados nos nós e o intervalo de disparo da transi¸cão disparada representados nos arcos.

t0 = [1, 2] t3 = [3, 4] t1 = [1, 4] t2 = [4, 6] t3 = [3, 4] t1 = [3, 4] t2 = [4, 6] t2 = [4, 6] t1 → [3, 4] t2 = [4, 6] t3 = [3, 4] t2 = [4, 6] t3 = [4, 4] t2 → [4, 4] t3 → [3, 4] t1 → [1, 4] t3 → [3, 4] t0 → [1, 2]

Figura 8: Grafo de classe de estados.

2.5 Transi¸

c˜

oes ajust´

aveis

O intervalo associado a uma transi¸cão de uma rede de Petri temporal corresponde à incerteza com rela¸cão ao instante de disparo da transi¸cão. A natureza desta incerteza é dada pelo dom´ınio do sistema modelado. Por exemplo, em uma rede de computadores esta incerteza pode corresponder a um atraso devido ao tráfego na rede ou no tempo de processamento de alguma máquina. Em sistemas de manufatura esta incerteza pode estar associada tanto ao desgaste de uma determinada máquina quanto à potência estabelecida pelo operador do sistema como, por exemplo, uma esteira, um carro ou uma esta¸cão de usinagem.

Como proposto na teoria das RPT s, toda incerteza tem um limite inferior e um limite superior. Assim, pode-se associar o limite superior ao disparo mais lento e o limite inferior ao disparo mais rápido de um evento. Uma das propostas apresentadas neste trabalho trata da possibilidade de que algumas (ou todas) as transi¸cões de uma RPT possam ter seu limite superior de sensibiliza¸cão reduzido de acordo com a dinâmica de execu¸cão da rede.

(30)

Defini¸cão 27. (Transi¸cões ajustáveis)

-• N ´e uma RPT.

• TA é um conjunto finito de transi¸cões ajustáveis. TA ⊆ T .

• Aj é uma fun¸cão de ajuste de uma classe de estados de N que associa um valor em Q à uma transi¸cão em Ta.

A fun¸cão de ajuste Aj(S, t), onde S é uma classe de estados e t ∈ D (e t ∈ TA), retorna um valor em Q. Este valor corresponde ao ajuste em t na classe S e deve atender a algumas restri¸cões inerentes à natureza própria das classes de estados, como mostrado na Defini¸cão 28.

Defini¸cão 28. (Ajuste máximo de uma transi¸cão em uma classe de estados) - O maior valor de ajuste que o limite superior de sensbiliza¸cão de uma transi¸cão t pode receber em uma classe de estados S é dada pela fun¸cão Ajmax, como abaixo:

Ajmax(S, t) = min{∆s(t) − δs(t), ∆(t) − max{δ(t), ∆(GC)}}

Defini¸cão 29. (Cálculo do intervalo dinâmico de um transi¸cão ajustada) - O intervalo dinâmico de uma transi¸cão t ∈ D (e t ∈ TA) em uma classe S é dado por:

I(t) =    [δ(GC) + δs_{(t), ∆(GC) + ∆}s_{(t) − Aj(S, t)] se t ∈ N} [max{δ(GC), δ(t)}, ∆(t) − Aj(S, t)] se t ∈ P

Defini¸c˜ao 30. (Semˆantica de ajuste em uma classe de estados) - Seja Aj(Sk−1, t) o ajuste

na transi¸c˜ao t na classe de estados Sk−1 e td a transi¸c˜ao que disparada em Sk−1 resulta

na classe Sk. Se t 6= td, ent˜ao Aj(Sk, t) = Aj(Sk−1, t).

A Defini¸cão 28 impede que o ajuste seja maior que os tamanhos dos intervalos estático e dinâmico da transi¸cão. Também impede que o intervalo dinâmico e, por conseguinte, o intervalo de disparo da transi¸cão ajustada tenham seus limites superiores menores que o relógio global da classe. Já na Defini¸cão 30 é disposto de maneira formal que se uma transi¸cão é ajustada em uma determinada classe de estados este ajuste persiste até que a mesma dispare.

Exemplo 4. Na Figura 9 é mostrada uma rede com três lugares marcados e três transi¸cões. A transi¸cão t0 é ajustável (é representada por um retângulo vazado). A classe de estados

(31)

2.5 Transi¸c˜oes ajust´aveis 19 p0 p1 p2 t0 [0,4] t1 [1,2] t2 [2,4]

Figura 9: Exemplo de rede de Petri temporal com transi¸c˜oes ajust´aveis.

S0 =                                            M0 = [1, 1, 1] I(t0) = [0, 4] I(t1) = [1, 2] I(t2) = [2, 4] id_(t 0) = [0, 2] id_(t 1) = [1, 2] id_(t 2) = [2, 2] GC = [0, 0]

Todas as transi¸cões são disparáveis, todavia se Aj(S, t0) = 3, então tem-se a classe S0−A abaixo. S0−A=                                      M0 = [1, 1, 1] I(t0) = [0, 1] I(t1) = [1, 2] I(t2) = [2, 4] id_(t 0) = [0, 1] id_(t 1) = [1, 1] GC = [0, 0]

Como o intervalo dinâmico de t0 agora é [0,1] (ver Defini¸cão 29) a transi¸cão t2 sai

(32)

o menor tempo máximo dinâmico das outras transi¸cões (ver Defini¸cão 25). Os intervalos de disparo de t0 e t1 também são atualizados de acordo com o novo intervalo de dinâmico

de t0.

Caso t1 dispare no intervalo [1,1], tem-se a classe de estados S1−A como abaixo.

S1−A=                        M0 = [1, 0, 1] I(t0) = [1, 1] I(t2) = [2, 4] id_(t 0) = [1, 1] GC = [1, 1]

Conforme a Defini¸c˜ao 30 o ajuste em t0 na classe precedente persiste em S1−A j´a que

não foi esta a transi¸cão disparada de S0−Apara S1−A. A transi¸cão t2, apesar de habilitada,

ainda é não disparável na classe.

2.6 Contribui¸

c˜

oes Apresentadas

Além de uma breve revisão de álgebra intervalar, das redes de Petri e das redes de Petri temporais, as primeiras contribui¸cões deste trabalho foram apresentadas neste cap´ıtulo.

A contribui¸cão mais destacada aqui é a introdu¸cão das transi¸cões ajustáveis às RPT s. Modificar o limite superior de sensibiliza¸cão das transi¸cões cria a possibilidade de antecipar a conclusão de tarefas e, por consequência, limitar o tempo máximo que um determinado evento pode levar para ocorrer.

Outra contribui¸cão significativa foi atualizar o formalismo das classes de estados, segundo o proposto em (LIMA, 2007), de acordo com o uso das transi¸cões ajustáveis. O

(33)

3 Controle de RPT com

Restri¸

c˜

oes Temporais

Para realiza¸cão da proposta desse trabalho é necessário definir formalmente o que é uma restri¸cão de tempo limite e desenvolver um algoritmo para calcular o quanto (e quando) as transi¸cões de uma RPT com intervalos ajustáveis deverão ter seus intervalos estáticos modificados. Assim, neste cap´ıtulo, são definidas as restri¸cões temporais a serem tratadas pelo algoritmo (Se¸cão 3.1) e, por fim, na Se¸cão 3.2 é mostrado o algoritmo proposto.

3.1 Restri¸

c˜

oes de Tempo Limite

O controle aplicado aos sistemas com tempo baseia-se em sintetizar um controlador que, a partir da controlabilidade total ou parcial do sistema, busca evitar que este atinja um estado proibido ou for¸car o sistema a chegar em um estado desejado (BRANDIN; WONHAM, 1993).

Nesta classe de sistemas, o tempo, assim como os recursos, é componente do estado do sistema. Deste modo, o uso do escalonamento de eventos surge como uma alternativa válida tanto na análise quanto na s´ıntese de controle.

O problema de escalonamento em sistemas com tempo pode ser: encontrar uma (ou mais) sequência(s) de ocorrência de eventos que maximize ou minimize o tempo total do ciclo de opera¸cão do sistema (SHEN; WANG; HAO, 2006; BONHOMME, 2013).

Outra abordagem, presente em (WANG et al., 2011), é garantir que um determinado evento ocorra em até cada λ unidades de tempo. Aqui neste trabalho, o problema tratado será uma especializa¸cão deste, onde λ é contado apenas desde o in´ıcio da opera¸cão do sistema e não a cada ocorrência do evento.

(34)

Defini¸cão 31. (Restri¸cão de tempo global máximo de disparo) - A restri¸cão λ(t) ∈ Q+

´e um valor m´aximo desejado de ∆d_{(t) em qualquer classe de estados de uma RPT.}

A partir da Defini¸cão 31 é poss´ıvel definir as classes de estados de uma RPT que violam uma restri¸cão.

Defini¸cão 32. (Classes de estados que violam uma restri¸cão) - Seja S uma classe de estados, S viola uma restri¸cão) se, e somente se, ∃t ∈ D|∆d_{(t) > λ(t). Onde λ(t) é uma}

restri¸c˜ao temporal em t.

O tamanho da viola¸cão de uma classe de estados em rela¸cão a uma restri¸cão será dado pela fun¸cão V (S, λ(t)), onde S é uma classe de estados e λ(t) é uma restri¸cão sobre a transi¸cão t.

Exemplo 5. Seja o grafo de classe de estados mostrado na Figura 10 e λ(t2) = 70. Pela

observa¸cão do grafo é poss´ıvel perceber que as classes de estados resultantes das sequências de disparo t0− t1− t3 e t1− t0− t3 violam a restri¸cão de 70 unidades de tempo em t2.

t0= [20, 30] t1= [15, 40] t0= [20, 30] t4= [75, 90] t2= [25, 75] t3= [50, 60] t4= [75, 90] t2= [25, 75] t4= [75, 90] t4= [75, 90] t2→ [25, 75] t3= [50, 60] t4= [75, 90] t4= [75, 90] t3→ [50, 60] t2→ [25, 60] t3→ [50, 60] t0→ [20, 30] t1= [20, 40] t2= [25, 75] t3= [50, 60] t1= [25, 40] t3= [50, 60] t3= [50, 60] t4= [85, 100] t4= [85, 100] t3→ [50, 60] t1→ [25, 40] t2= [25, 75] t3= [50, 60] t4= [80, 100] t2= [50, 75] t4= [80, 100] t4= [80, 100] t2→ [50, 75] t3= [50, 60] t4= [80, 100] t4= [80, 100] t3→ [50, 60] t2→ [25, 60] t3→ [50, 60] t1→ [20, 40] t2→ [25, 40] t0→ [20, 30] t1→ [15, 30]

Figura 10: Grafo de classe de estados do Exemplo 5.

As classes de estados ’t0−’, ’t0− t1’ e ’t1− t0’ (daqui em diante as classes de estados serão referenciadas pela sequência de disparos da qual resultam, exceto a classe inicial S0) não violam a restri¸cão pois mesmo que ∆(t2) > λ(t2), ∆d(t2) ≤ λ(t2).

(35)

3.1 Restri¸c˜oes de Tempo Limite 23

3.1.1 Algoritmo de Busca de Classes de Estados que Violam

uma Restri¸

c˜

ao

A estratégia da proposta aqui apresentada se baseia em encontrar primeiramente as classes de estados que violam a restri¸cão. Esta abordagem é mais próxima da utilizada em (WANG et al., 2011) em contraste a outras como (BONHOMME, 2013), por exemplo,

onde o foco é encontrar a sequência de disparos que atenda a restri¸cão.

No Algoritmo 1 é descrita a fun¸cão de busca de classes de estados onde ao menos uma das transi¸cões disparáveis viola uma restri¸cão temporal imposta.

1 Fun¸cãorecuperar classes que violam restri¸cão(transi¸cão, restri¸cão, classe) 2 se transi¸cão é disparável em classe ent˜ao

3 se ∆d(transi¸cão) > restri¸cão então

4 retorna classe;

5 classes que violam restri¸c˜ao := [ ]; 6 para cada classe filha de classe fa¸ca 7 classes que violam restri¸c˜ao +=

recuperar classes que violam restri¸cão(transi¸cão, restri¸cão, classe filha); 8 retorna classes que violam restri¸cão

Algoritmo 1: Fun¸c˜ao recuperar classes que violam restri¸c˜ao.

A fun¸cão descrita realiza a busca de maneira recursiva. A busca no espa¸co de estados se justifica por apresentar uma estratégia automática para verifica¸cão de sistemas com estados finitos (GODEFROID, 1996;FREITAS; BARRETO; MACIEL, 2013).

A fun¸cão recebe o ´ındice (ou rótulo) da transi¸cão alvo da restri¸cão, o valor da restri¸cão (λ) e a classe de estados para busca (durante o trabalho a classe de estados também poderá ser chamada de nó quando no contexto de grafo). Se a transi¸cão passada como parâmetro for disparável na classe de estados (transi¸cão ∈ D) e ∆d_{(transi¸cão) > λ(transi¸cão) então a} fun¸cão retorna a classe. Caso contrário, para cada classe filha desta, a fun¸cão é chamada novamente porém passando a classe filha como parâmetro no lugar da classe original. Ao fim, são retornadas as classes que violam a restri¸cão. ´E importante notar que a busca em cada sequência de disparos não vai além da classe de estados que viola a restri¸cão porque a viola¸cão será, em boa parte dos casos, herdada por alguma das classes filhas, então se o controlador impedir que a classe mãe viole a restri¸cão, impedirá automaticamente que as classes filhas também a violem, retirando a necessidade de continuar a busca nesta sub-árvore.

Exemplo 6. Tenha-se novamente o grafo de classes de estados da Figura 10, a fun¸c˜ao “recuperar classes que violam restri¸c˜ao” descrita no Algoritmo 1.

(36)

Inicialmente são passados como parâmetros t2 (transi¸cão), 70 (restri¸cão) e a classe S0. Como t2 não é disparável em S0, então a busca prossegue nas classes filhas. Apesar de t2 ser disparável em ’t0−’, o valor de ∆d(t2) é menor que a restri¸cão, assim, o algoritmo

prossegue. A mesma coisa acontece em ’t0 − t1’, porém em ’t0 − t1 − t3’ a condi¸cão é

satisfeita e a fun¸cão retorna recursivamente este nó. A mesma coisa acontece com o restante da árvore, onde t2 é disparável em ’t1 − t0’ e ’t1 − t0 − t3’, porém apenas o

´

ultimo é retornado. Ao fim, a fun¸cão, partindo de S0 retornará as classes ’t0− t1− t3’ e

’t1− t0− t3’.

3.2 Algoritmo de C´

alculo de Ajuste

A partir do problema de tempo global de disparo máximo de uma transi¸cão (Defini¸cão 31), nesta Se¸cão é apresentado um algoritmo para calcular os ajustes necessários em uma RPT com transi¸cões ajustáveis para que esta atenda a uma ou mais restri¸cões de tempo limite.

O algoritmo em quest˜ao funciona de maneira iterativa, explorando o grafo de classes de estados a cada itera¸c˜ao, recalculando o mesmo segundo os ajustes encontrados.

t0= [10, 20] t1= [15, 25] t0 = [15, 20] t3 = [30, 40] t2 = [25, 30] t3 = [30, 40] t2= [30, 30] t3= [30, 40] t2 → [25, 30] t3→ [30, 30] t0→ [15, 20] t1 = [15, 25] t2 = [20, 30] t1 = [20, 25] t3 = [35, 45] t1→ [20, 25] t2= [20, 30] t3= [30, 45] t3= [30, 45] t2 → [20, 30] t1→ [15, 25] t2→ [20, 25] t0→ [10, 20] t1→ [15, 20]

Figura 11: Grafo de classe de estados do Exemplo 7.

Exemplo 7. Dado o grafo de classes de estados ajustáveis na Figura 11, com t0 ajustável, t0 t2 e λ(t2) = 25. Os nós ’t0 − t1’ e ’t1 − t0’ representam as classes de estados que

violam a restri¸cão. Em ambas as classes a viola¸cão é igual a 5 unidades de tempo. Como t0 é a única transi¸cão precedente ajustável de t2, então o algoritmo deverá,

(37)

ob-3.2 Algoritmo de C´alculo de Ajuste 25

servando o formalismo das classes de estados ajustáveis (Se¸cão 2.5), calcular em qual(is) nó(s) e em quanto t0 será ajustada.

Neste exemplo, o ajuste ser´a de 5 unidades de tempo em S0, como mostrado na Figura

12. t0 = [10, 15] t1 = [15, 25] t0 = [15, 15] t3 = [30, 40] t2 = [25, 25] t3 = [30, 40] t3 = [30, 40] t2 → [25, 25] t0 → [15, 15] t1 = [15, 25] t2 = [20, 25] t1 = [20, 25] t3 = [35, 45] t1 → [20, 25] t2 = [20, 25] t3 = [30, 45] t3 = [30, 45] t2 → [20, 25] t1 → [15, 25] t2 → [20, 25] t0 → [10, 15] t1 → [15, 15]

Figura 12: Grafo de classe de estados do Exemplo 7 recalculado.

Um ponto em especial a ser notado é que o nó ’t1−’ não pode ser candidato ao ajuste já que ∆(t0) − ∆(GC) < V (t1− t0, λ(t2)).

Nas próximas subse¸cões serão descritas algumas fun¸cões e defini¸cões necessárias para o melhor entendimento do algoritmo proposto e na subse¸cão 3.2.4 será mostrado definitiva-mente o algoritmo juntadefinitiva-mente com alguns exemplos para demonstrar seu funcionamento.

3.2.1 Classes de Estados Ajust´

aveis Precedentes

Um dos conceitos necessários ao algoritmo proposto neste trabalho (Se¸cão 3.2.4) é o de classes de estados ajustáveis precedentes. Porém, antes de defini-las, é necessário descrever o conceito de transi¸cões ajustáveis precedentes. Este último deriva dos conjuntos de transi¸cões propostos em (LIMA, 2007) e atualizados em (BOLZANNI; LIMA, 2014), porém

mais simples.

Defini¸cão 33. (Conjunto de transi¸cões ajustáveis precedentes) - Seja t uma transi¸cão, S uma classe de estados onde t ∈ D e σ uma sequência de disparos que leva de S0 à S (se

(38)

S = S0, σ é vazia). O conjunto de transi¸cões ajustáveis precedentes de t em S é definido

por:

Tap(t, S) = {∀ta∈ Ta|ta · · · t e ta∈ σ ∪ {t}}

Esta defini¸cão é reflexiva, ou seja, se t ∈ Ta, então t ∈ Tap(t, S).

Informalmente, o conjunto de transi¸cões ajustáveis precedentes é composto por todas as transi¸cões com intervalo ajustável que compõem um caminho direto à t incluindo t, se t ∈ Ta.

Outro conceito que será bastante importante é o conjunto de transi¸cões ajustáveis sucessoras imediatas.

Defini¸cão 34. (Conjunto de transi¸cões ajustáveis sucessoras imediatas) - Seja t uma transi¸cão e Si uma classe de estados onde t ∈ D. Sj é uma classe de estados atingida a

partir de Si pela sequência de disparos σ. O conjunto de transi¸cões ajustáveis sucessoras

imediatas de t em S ´e definido por:

Tasi(t, Si) = {∀ta∈ Ta|t Tp(t, ta) ∩ σ ta, Tp(t, ta) ∩ Ta= ∅, ta ∈ DS_j},

onde Tp(t, ta) é o conjunto de todas as transi¸cões que estão em alguma sequência de

disparos ap´os o disparo de t e antes do disparo de ta.

De maneira resumida, o conjunto Tasi(t, Si) é o conjunto das transi¸cões ajustáveis que estruturalmente entre elas e t não há uma transi¸cão com intervalo ajustável.

p0 t0 [0,1] p1 p2 t1 [1,2] t2 [2,4] p3 p4 p5 t3 [0,4] t4 [1,1] t5 [0,2] Figura 13: RPT do Exemplo 8

(39)

3.2 Algoritmo de C´alculo de Ajuste 27

Exemplo 8. Na Figura 13 é mostrada uma RPT com transi¸cões ajustáveis (t0, t1 e t5).

Seja S uma classe de estados atingida pela sequˆencia de disparos t0− t1− t2, onde t5 ∈ D.

Pela Defini¸c˜ao 33, Tap(t5) = {t0, t5}. J´a Tasi(t0, S0) = {t1, t5}.

Apesar de t1 ter intervalo ajustável e fazer parte da sequência de disparo à S, não faz parte de um caminho direto à t5. Além disso, t5 é uma transi¸cão ajustável sucessora imediata de t0 na classe S0 já que a transi¸cão que há entre t0 e t5 (t2) não é ajustável.

A partir dos conjuntos de transi¸cões ajustáveis precedentes, são descritas as fun¸cões “recuperar nó disparável precedente” (Algoritmo 2) e “recuperar nós precedentes” (Al-goritmo 3).

A fun¸cão “recuperar nó disparável precedente” recebe como parâmetros um nó de um grafo de classes de estados e um conjunto de transi¸cões ajustáveis precedentes. Ela percorre a árvore recursivamente em dire¸cão à ra´ız da mesma, retornando uma tupla (transi¸cão, nó) quando encontra um nó em que uma transi¸cão pertencente ao conjunto passado como parâmetro é disparável.

1 Fun¸cãorecuperar nó disparável precedente(nó, transi¸cões) 2 para cada transi¸cão em transi¸cões fa¸ca

3 se transi¸c˜ao ∈ D ent˜ao

4 retorna (transi¸c˜ao, n´o);

5 retorna recuperar nó disparável precedente(nó→pai, transi¸cões) Algoritmo 2: Fun¸cão “recuperar nó disparável precedente”.

Exemplo 9. Na Figura 14 é mostrado um grafo de classes de estados onde em cada nó são dispostas as transi¸cões disparáveis nas respectivas classes de estados. Sejam o nó ’t0−t1−t3’ e um conjunto formado pelas transi¸cões t0 e t1 passados como parâmetros para

a fun¸cão “recuperar nó disparável precedente”, esta percorrerá o grafo recursivamente em dire¸cão à raiz e ao encontrar o nó ’t0−’, retornará a tupla (t1, ’t0−’) porque t1é disparável

nesta classe de estados.

A fun¸cão “recuperar nós precedentes” recebe como parâmetros um nó de um grafo de classes de estados e um conjunto de transi¸cões ajustáveis precedentes. Seu objetivo é retornar um conjunto de tuplas h transi¸cão, nós i com todos os nós onde cada transi¸cão do conjunto é disparável. Esta busca é feita no grafo a partir do nó passado como parâmetro em dire¸cão à ra´ız. Como mostrado na linha 7 no Algoritmo 3, a fun¸cão coloca na variável de retorno (“nós”) todas as tuplas com nós em que uma dada transi¸cão seja disparável até que encontre um nó em que outra transi¸cão do conjunto passado como parâmetro

(40)

D = {t0, t1} ... D = {t1, t2} ... D = {t2, t3} D = {t2} D = {t4} t2 ... t2 t3 t1 t2 t0 t1

Figura 14: Grafo de classes de estados do Exemplo 10.

seja disparada. As itera¸cões continuam até que ou a ra´ız seja atingida ou não haja mais transi¸cões no conjunto a serem verificadas.

1 Fun¸cãorecuperar nós precedentes(nó inicial, transi¸cões) 2 nó := nó inicial;

3 n´os := [ ];

4 repita

5 (transi¸cão, nó) := recuperar nó disparável precedente(nó, transi¸cões); 6 retirar transi¸cão de transi¸cões;

7 adicionar a nós (transi¸cão, [nó, todos os nós entre nó e outro nó onde é disparada outro elemento de transi¸cões]);

8 até transi¸cões ser vazio; 9 retorna nós;

Algoritmo 3: Fun¸c˜ao “recuperar n´os precedentes”.

Exemplo 10. Dado o grafo da Figura 14, sejam o n´o ’t0 − t1 − t3 − t2’ e o conjunto

formado por t1 e t2 os parâmetros da fun¸cão “recuperar nós precedentes”.

Partindo do nó ’t0−t1−t3−t2’, a fun¸cão adicionará à lista de retorno (t2, [’t0−t1−t3’,

’t0−t1’]) já que t2é disparável em ambas classes de estados. Entretanto, não é adicionada

a classe ’t0−’ porque mesmo que t2 seja dispar´avel nela, ´e nesta classe em que t1 dispara.

Assim, t2 é retirada do conjunto, uma nova itera¸cão é iniciada, a tupla (t1, [’t0−’, S0])

são adicionadas à “nós” e t1 é retirada do conjunto, tornando este vazio e a condi¸cão

(41)

3.2.2 C´

alculo do Ajuste

O cálculo do ajuste para uma transi¸cão é feito por “calcular ajuste para transi¸cão” (Algoritmo 4), que recebe uma lista de nós ordenados do menos precedente ao mais precedente (do mais próximo da folha ao mais próximo da raiz), uma transi¸cão e um valor de ajuste requerido ∈ Q+

. A fun¸cão itera sobre a lista de nós e retorna uma tupla (nó, ajuste no intervalo estático da transi¸cão, ajuste no intervalo de disparo da classe), que corresponde ao maior ajuste no intervalo de disparo poss´ıvel e que seja menor ou igual ao ajuste passado como parâmetro. Caso duas classes possam ter o intervalo de disparo ajustado em igual valor, é dada preferência à classe menos precedente. Isto tem como objetivo, como ficará mais claro nas próximas se¸cões, realizar os ajustes o mais próximo poss´ıvel dos nós que violam as restri¸cões, modificando o m´ınimo poss´ıvel o grafo de classes de estados. Se um nó que foi alvo original de um ajuste, ou seja, nunca foi passado como parâmetro da fun¸cão “ajustar nó” (ver Se¸cão 3.2.3), estiver para ser verificado pela fun¸cão, esta interrompe a itera¸cão imediatamente e retorna o melhor ajuste calculado até então. Este retorno prematuro da fun¸cão tornar-se-á mais claro nas Se¸cões 3.2.3 e 3.2.4.

1 Fun¸cãocalcular ajuste para transi¸cão(nós, transi¸cão, ajuste necessário) 2 ajuste := Nulo;

3 para cada n´o em n´os fa¸ca

4 se n´o foi alvo original de ajuste ent˜ao

5 retorna ajuste;

6 ajuste no intervalo disparo := ∆d(transi¸cão)−(∆(transi¸cão)−Aj_max(nó, transi¸cão));

7 se ajuste no intervalo disparo > ajuste necess´ario ent˜ao

8 retorna (nó, ∆(transi¸cão) − (∆d(transi¸cão)− ajuste requerido,

ajuste necess´ario));

9 se ajuste no intervalo disparo > ajuste ent˜ao

10 ajuste := ((nó, Aj_max(nó, transi¸cão), ajuste no intervalo disparo)); 11 retorna ajuste;

Algoritmo 4: Fun¸c˜ao “calcular ajuste para transi¸c˜ao”.

Exemplo 11. Tendo como base o grafo de classes de estados da Figura 15 e aplicando a fun¸cão “calcular ajuste para transi¸cão” com os nós ’t0 − t2’ e ’t0−’ como parâmetro,

além da transi¸cão t1 e o ajuste requerido igual a 50, o algoritmo é executado da seguinte

maneira:

Na primeira itera¸cão o nó ’t0− t2’ é escolhido e como Ajmax(′t0− t ′

2, t1) < 50, a tupla

(’t0 − t2, Ajmax(′t0 − t′2, t1), 10) é colocada como melhor ajuste até então. Na itera¸cão

posterior é escolhido o nó ’t0−’. Assim como no nó anterior, Ajmax(′t0−′, t1) < 50 e,

(42)

t0 = [5, 20] t1 = [10, 60] t2 = [35, 50] t1 = [10, 60] t3 = [35, 80] t1 → [35, 60] ... t1 → [10, 50] t2 → [35, 50] t0 → [5, 20]

Figura 15: Grafo de classes de estados do Exemplo 11.

contra 10), ´e escolhida a tupla (’t0−, Ajmax(′t0− ′

, t1), 40). Como não há mais itera¸cões

poss´ıveis, ela ´e retornada pela fun¸c˜ao.

Caso o valor do ajuste requerido no Exemplo 11 fosse de 10 unidades o retorno da fun¸cão aconteria logo na primeira itera¸cão, já que o ajuste poss´ıvel no intervalo de disparo seria maior que 20, retornando a tupla (’t0− t2, 10, 10).

3.2.3 Ajuste em Um N´

o do Grafo de

Classes de Estados

Na Se¸cão 3.2.2 foi definido de maneira informal o que caracteriza uma classe de estados como alvo original de um ajuste. Nesta se¸cão, a partir da fun¸cão “ajustar nó” (Algoritmo 5) este conceito será definido formalmente. Esta é responsável por estabelecer o ajuste em uma transi¸cão, recalculando todos os elementos inerentes como o intervalo dinâmico da transi¸cão ajustada, os intervalos de disparo da classe e todas as classes que fazem parte da sub-árvore com ra´ız na classe ajustada.

1 Fun¸cãoajustar nó(nó, transi¸cão, ajuste) 2 ∆(transi¸cão) := ∆(transi¸cão) - ajuste; 3 guardar tupla (nó, transi¸cão, ajuste); 4 recalcular intervalos de disparo; 5 recalcular nós filhos de nó;

(43)

Exemplo 12. Seja Sk uma classe de estados e Sk+1 e Sk+2 suas classes sucessoras pelo

disparo de t0 e t1 respectivamente. Sk=                        GC = [0, 0] I(t0) = [1, 15] I(t1) = [5, 10] id_(t 0) = [1, 10] id_(t 1) = [5, 10] Sk+1=                        GC = [1, 10] I(t1) = [5, 10] I(t2) = [6, 20] id_(t 1) = [5, 10] id_(t 2) = [6, 10] Sk+2 =                        GC = [5, 10] I(t0) = [5, 15] I(t3) = [10, 20] id_(t 0) = [5, 15] id_(t 3) = [10, 15]

Executando a fun¸cão “ajustar nó” passando como parâmetros Sk, t0 e o ajuste igual

a 10, ∆(t0) é reduzido em 10. A tupla (Sk, transi¸cão, ajuste) é guardada (isto tornará

poss´ıvel à fun¸cão “calcular ajuste para transi¸cão” (Algoritmo 4) verificar se uma classe for alvo original de ajuste). O valor dos intervalos de disparo de Sk são recalculados como

mostrado na classe SkA, onde i

d_(t

1) é também modificado já que min{∆(t)} = 5, ∀t ∈ H.

SkA =                        GC = [0, 0] I(t0) = [1, 5] I(t1) = [5, 10] id_(t 0) = [1, 5] id_(t 1) = [5, 5]

(44)

As classes filhas tamb´em s˜ao recalculadas segundo o ajuste em t0 em SkA. SkA+1 =                        GC = [1, 5] I(t1) = [5, 10] I(t2) = [6, 15] id_(t 1) = [5, 10] id_(t 2) = [6, 10] SkA+2 =                  GC = [5, 5] I(t0) = [5, 5] I(t3) = [10, 15] id_(t 0) = [10, 15]

Em SkA+1 a única mudan¸ca efetiva em rela¸cão à Sk+1é no relógio global (GC). Porém,

devido à semântica das classes de estados ajustáveis (Defini¸cão 30), o ajuste em t0 é

herdado por SkA+2, fazendo com que o novo i

d_(t

0) retire t3 do conjunto de transi¸c˜oes

dispar´aveis j´a que δ(t3) > ∆(t0).

No Exemplo 12 a classe Ské passada como parâmetro para fun¸cão “ajustar nó”, assim ela é o alvo original do ajuste a ser implementado. Deste modo, tem-se a Defini¸cão 35.

Defini¸cão 35. (Classe de estados alvo original do ajuste) - Seja υ uma tupla armazenada pela fun¸cão “ajustar nó” e Υ o conjunto de tuplas υ. A classe de estados S é alvo original de um ajuste se, e somente se, S ∈ υ, υ ∈ Υ.

3.2.4 C´

alculo do Grafo Controlado

Nas subse¸cões anteriores foram descritas algumas fun¸cões que realizam etapas inter-mediárias do cálculo dos ajustes para que uma (ou mais) transi¸cão(ões) satisfa¸cam uma (ou mais) restri¸cão(ões) de tempo limite. Nesta subse¸cão é mostrado o algoritmo de cálculo, que ordena a execu¸cão das fun¸cões anteriores. Na Figura 16 é mostrado o flu-xograma simplificado do algoritmo e no Algoritmo 6 é descrito seu pseudocódigo (fun¸cão “calcular grafo controlado”).

A fun¸cão “calcular grafo controlado” tem como parâmetro uma lista de restri¸cões em forma de tupla (transi¸cão, tempo limite). Ela é executada de maneira iterativa até que