2.2.1 Cálculo do m.d.c. à direita de matrizes polinomiais

2.2.1 C´alculo do m.d.c. `a direita de matrizes polinomiais

Teorema 2.1: Sejam N(s)∈IR^p×m[s] e D(s)∈IR^m×m[s] e assuma que det[D(s)]6≡ 0. Seja U(s) uma matriz unimodular tal que

U(s)

"

D(s) N(s)

#

=



 R(s)

− − − 0



, D(s)∈IR^m×m[s]

Ent˜ao R(s) ´e um m.d.c. `a direita deN(s) e D(s) (n˜ao singular) Prova:

(i) R(s) ´e um divisor comum `a direita deN(s) e D(s)

Como U(s) ´e unimodular, ent˜ao V(s) =U⁻¹(s) ´e uma matriz polinomial

"

D(s) N(s)

#

=V(s)

"

R(s) 0

#

=

"

V₁₁(s) V₁₂(s) V21(s) V22(s)

# "

R(s) 0

#

D(s) =V₁₁(s)R(s)

N(s) =V21(s)R(s), onde V11(s) e V21(s) s˜ao matrizes polinomiais.

(ii) Seja, agora, ¯R(s) um novo divisor comum de N(s) e D(s).

Portanto,

N(s) = ¯N(s) ¯R(s) e D(s) = ¯D(s) ¯R(s), ¯N(s) e ¯D(s) s˜ao matrizes polinomiais Note que

"

U11(s) U12(s) U₂₁(s) U₂₂(s)

# "

D(s) N(s)

#

=

"

R(s) 0

#

U11(s)D(s) +U12(s)N(s) =R(s)

U11(s) ¯D(s) ¯R(s) +U12(s) ¯N(s) ¯R(s) =R(s) R(s) =

U₁₁(s) ¯D(s) +U₁₂(s) ¯N(s)

| {z }

matriz polinomial

R(s)¯

⇒R(s) ´e um divisor de¯ R(s)

Obs. 1: M´aximos divisores comuns de matrizes polinomiais n˜ao s˜ao ´unicos

Proposi¸c˜ao 2.1: SejaR₁(s) um m.d.c. `a direita de N(s) e D(s) e U(s) uma matriz unimodular qualquer. Ent˜ao a matriz polinomial R<sub>2</sub>(s) = U(s)R<sub>1</sub>(s) tamb´em ´e um m.d.c. `a direita de N(s) e D(s).

Prova:

N(s) = ¯N₁(s)R₁(s) = ¯N₁(s)V(s)

| {z } N¯2(s)

R₂(s) ( ¯N₂(s) ´e uma matriz polinomial.)

D(s) = ¯D₁(s)R1(s) = ¯D₁(s)V(s)

| {z } D¯₂(s)

R₂(s) ( ¯D₂(s) ´e uma matriz polinomial.)

Logo, R2(s) tamb´em ´e um divisor comum `a direita de N(s) e D(s). Seja agora Q(s) um divisor comum `a direita qualquer de N(s) e D(s). Como R₁(s) ´e um m.d.c. `a direita, ent˜ao Q(s) divide R1(s)

R1(s) = ¯R1(s)Q(s) para alguma matriz polinomial ¯R1(s) qualquer R₂(s) =U(s)R₁(s) =U(s) ¯R₁(s)

| {z } R¯2(s)

Q(s) = ¯R₂(s)Q(s)

Logo, Q(s) tamb´em ser´a um divisor de R₂(s) e portanto, R₂(s) tamb´em ser´a um m.d.c. `a direita de N(s) e D(s).

Obs. 2: A matriz unimodularU(s) do Teorema 2.1 ´e formada pelo produto de matrizes elementares Matrizes elementares (3×3) - pr´e-multiplica¸c˜ao

(1) Troca de posi¸c˜ao entre duas linhas

E =







0 1 0 1 0 0 0 0 1





 (trocar linhas 1 e 2)

|E|=−1

(2) Multiplic¸c˜ao de uma linha por uma constante real c6= 0

E =







1 0 0 0 c 0 0 0 1





 (multiplicar a linha 2 por c∈IR^∗)

|E|=c∈ IR^∗

(3) Substituir uma linha pela soma desta linha com outra linha multiplicada por um polinˆomio p(s)

E =







1 0 0

0 1 0

0 p(s) 1







(nova linha 3 ´e igual a soma da linha 3 com a linha 2 multiplicada por p(s))

E =







1 0 0

0 1 p(s)

0 0 1







(nova linha 2 ´e igual a soma da linha 2 com a linha 3 multiplicada por p(s))

|E|= 1

Exemplo: N(s) =

s+1 s+2

e D(s) =

"

s+2 s+1

1 s

#







0 1 0 1 0 0 0 0 1







| {z } E₁(s)







s+2 s+1

1 s

s+1 s+2







| {z }

M(s)

=







1 s

s+2 s+1 s+1 s+2







| {z }

M1(s)

→







1 0 0

−(s+2) 1 0

−(s+1) 0 1







| {z }

E2(s)







1 s

s+2 s+1 s+1 s+2







| {z }

M1(s)

=







1 s

0 −s²−s+1 0 −s²+2







| {z }

M2(s)

→







1 0 0

0 1 0

0 −1 1







| {z }

E₃(s)







1 s

0 −s²−s+1 0 −s²+2







| {z }

M₂(s)

=







1 s

0 −s²−s+1

0 s+1







| {z }

M₃(s)

→







1 0 0 0 1 s 0 0 1







| {z } E4(s)







1 s

0 −s²−s+1

0 s+1







| {z }

M3(s)

=







1 s

0 1

0 s+1







| {z } M4(s)

→







1 0 0

0 1 0

0 −(s+ 1) 1







| {z }

E₅(s)







1 s

0 1

0 s+1







| {z } M4(s)

=





 1 s 0 1 0 0







| {z } M5(s)

U(s)

"

D(s) N(s)

#

=





R(s)

− − − 0



, ⇒ R(s) =

"

1 s 0 1

#

U(s) =E₅(s)E4(s)E3(s)E2(s)E1(s) ⇒ U(s) =







0 1 0

−s+1 −2 s s²−2 2s+3 −s²−s+1







V(s) =U⁻¹(s) ⇒ V(s) =







s+2 −s²−s+1 −s

1 0 0

s+1 −s²+2 −s+1







Note que:

D(s) =

"

s+2 s+1

1 s

#

=

"

s+2 −s²−s+1

1 0

# "

1 s 0 1

#

=V11(s)R(s)

N(s) =

s+1 s+2

=

s+1 −s²+2"

1 s 0 1

#

=V₂₁(s)R(s)

Obs. 3: Qualquer par de m.d.c. `a direita deve ser relacionado por R1(s) =W2(s)R2(s) e R2(s) =W1(s)R1(s)

onde W1(s) e W2(s) s˜ao matrizes polinomiais Como podemos escrever

R₁(s) =W₂(s)W₁(s)R₁(s) segue que:

1. Se R1(s) ´e n˜ao-singular, ent˜ao W1(s) e W2(s) devem ser unimodulares, e conseq¨uentemente R₂(s) tamb´em ´e n˜ao singular.

2. Se um m.d.c. `a direita ´e unimodular, ent˜ao todos os m.d.c.s `a direita tem que ser unimodu- lares.

2.3 DFMs irredut´ıveis

Defini¸c˜ao: Duas matrizes polinomiaisN(s) eD(s) com o mesmo n´umero de colunas s˜ao coprimas

`a direita se seus m.d.c.s s˜ao unimodulares.

Lema 2.1 (Identidade de Bezout): Duas matrizes polinomiais N(s) e D(s) com o mesmo n´umero de colunas s˜ao coprimas `a direita se e somente se existirem duas matrizes polinomiais X(s) e Y(s) tais que

X(s)D(s) +Y(s)N(s) =I Prova:

(⇒) p→q

SeN(s) eD(s) s˜ao coprimas `a direita, ent˜ao de acordo com o Teorema 2.1 existem matrizes polinomiais U11(s) eU12(s) tais que

U11(s)D(s) +U12(s)N(s) =R(s)

sendo que R(s) ´e uma matriz unimodular

⇒R⁻¹(s)U₁₁(s)

| {z }

X(s)

D(s) +R⁻¹(s)U₁₂(s)

| {z }

Y(s)

N(s) =I (X(s) e Y(s) s˜ao matrizes polinomiais.)

(⇐) q→p

Suponha que existem X(s) e Y(s) polinomiais tais que X(s)D(s) +Y(s)N(s) =I Seja R(s) um m.d.c. `a direita de N(s) eD(s), ent˜ao:

N(s) = ¯N(s)R(s) e D(s) = ¯D(s)R(s) X(s) ¯D(s)R(s) +Y(s) ¯N(s)R(s) =I X(s) ¯D(s) +Y(s) ¯N(s)

R(s) = I

⇒R⁻¹(s) =X(s) ¯D(s) +Y(s) ¯N(s) ´e uma matriz polinomial e, portanto,R(s) ´e unimodular.

Defini¸c˜ao: G(s) =N(s)D⁻¹(s) ´e uma DFM irredut´ıvel seN(s) e D(s) forem coprimas `a direita.

Lema 2.2SejaG(s) =N(s)D⁻¹(s) uma DFM `a direita e sejaR(s) um m.d.c. `a direita deN(s) e D(s). Se as matrizes polinomiais ¯N(s) e ¯D(s) s˜ao tais que N(s) = ¯N(s)R(s) e D(s) = ¯D(s)R(s), ent˜ao G(s) = ¯N(s) ¯D⁻¹(s) ´e uma DFM irredut´ıvel de G(s).

Prova:

(i) G(s) = ¯N(s) ¯D⁻¹(s)

G(s) = N(s)D⁻¹(s) = ¯N(s)R(s)D(s)R(s)¯ ⁻1

= ¯N(s)R(s)R⁻¹(s) ¯D⁻¹(s)

⇒G(s) = ¯N(s) ¯D⁻¹(s)

(ii) ¯N(s) e ¯D(s) s˜ao coprimas `a direita De acordo com o Teorema 2.1, tem-se

"

U11(s) U12(s) U₂₁(s) U₂₂(s)

# "

D(s) N(s)

#

=

"

R(s) 0

#

U11(s)D(s) +U12(s)N(s) =R(s)

U11(s) ¯D(s)R(s) +U12(s) ¯N(s)R(s) =R(s) U11(s) ¯D(s) +U12(s) ¯N(s) =I

Portanto, de acordo com o Lema 2.1, as matrizes ¯N(s) e ¯D(s) s˜ao coprimas `a direita.

Defini¸c˜ao: Uma matriz G(s)∈IR^p×m(s) ´e chamada de (i) impr´opria: quando lim_s→∞G(s) n˜ao existe

(ii) pr´opria: quando lim_s→∞G(s) =K 6= 0

(ii) estritamente pr´opria: quando lim_s→∞G(s) = 0

Exemplo: G(s) = 1

s+1

s+2 s+1

slim→∞G(s) =

0 1

⇒G(s) ´e uma matriz de transferˆencia pr´opria

G(s) = Gsp(s) +D= 1

s+1 1 s+1

| {z }

C(sI−A)⁻¹B +

0 1

| {z } D

Problema: Obter uma DFM irredut´ıvel para Gsp(s) =

1

s+1 1 s+1

Gsp(s) = N(s)D⁻¹(s) =

1 1

| {z } N(s)

"

s+1 0 0 s+1

#⁻¹

| {z }

D(s)

N(s) e D(s) s˜ao coprimas `a direita?







0 0 1 0 1 0 1 0 0













s+1 0

0 s+1

1 1





 →







1 0 0

0 1 0

−(s+1) 0 1













1 1

0 s+1 s+1 0





 →







1 0 0 0 1 0 0 1 1













1 1

0 s+1 0 −(s+1)





 →







1 1

0 s+1

0 0







⇒ R(s) =

"

1 1

0 s+ 1

#

⇒ |R(s)|=s+ 1

⇒R(s) n˜ao ´e unimodular ⇒N(s) e D(s) n˜ao s˜ao coprimas `a direita.

N(s) = ¯N(s)R(s) ∴ N¯(s) = N(s)R⁻¹(s).

R⁻¹(s) = 1 s+ 1

"

s+ 1 −1

0 1

#

N¯(s) = 1 s+ 1

1 1"

s+ 1 −1

0 1

#

=

1 0

D(s) = ¯D(s)R(s) ∴ D(s) =¯ D(s)R⁻¹(s).

D(s) =¯ 1 s+ 1

"

s+ 1 0 0 s+ 1

# "

s+ 1 −1

0 1

#

D(s) =¯

"

s+ 1 −1

0 1

#

⇒ D¯⁻¹(s)



 1 s+ 1

1 s+ 1

0 1





Note que ¯N(s) ¯D⁻¹(s) =Gsp(s)

2.4 Matrizes Polinomiais e Racionais

2.4.1 Forma de Smith

Para N(s)∈IR^p×m[s] existem matrizes unimodulares U(s)∈IR^p×p[s] e V(s)∈ IR^m×m[s] tais que U(s)N(s)V(s) = Σ(s)

onde

i) Σ(s) =



















σ₁(s)

σ2(s)

. ..

σr(s)

− − − − − − − − − − − −

0

|

|

|

|

|

− − −

|

|

0

− − −

0



















ii) σi(s), i= 1, . . . , r s˜ao polinˆomios mˆonicos e σi(s)|σi+1(s) (σi(s) divide σ_i+1(s), i.e. σ_i+1(s) =p(s)σi(s))

A Matriz Σ(s) ´e chamada de forma de Smith de N(s)

Observa¸c˜oes:

(i) Seja ∆i(s) o m.d.c. mˆonico de todos os menores de ordem ida matrizN(s). Pode-se mostrar que

σi(s) = ∆i(s)

∆i−1(s)

onde ∆0(s) = 1, por defini¸c˜ao. Os menores de ordemida matrizN(s) s˜ao os determinantes de todas as submatrizes quadradas i×i deN(s)

(ii) Os polinˆomios σi(s) s˜ao chamados de polinˆomios invariantes da matriz N(s).

(iii) r ´e denominado de posto normal de N(s)

(iv) Como U(s) e V(s) s˜ao unimodulares, ent˜ao ρ[N(s)] = ρ[Σ(s)],∀s. Portanto, N(s) perde posto para todos os valores de s =z tais que σi(z) = 0.

Exemplo: N(s) =







s+2 s+2

s²+3s+2 s²−1 s+1 s²+3s+2







C´alculo de Σ(s) 1)

∆0(s) = 1

∆₁(s) = 1 (menores de ordem 1 s˜ao os pr´oprios elementos de N(s))

Menores de ordem 2:

m12(s) =

s+2 s+2

(s+1)(s+2) (s−1)(s+1)

= (s−1)(s+1)(s+2)−(s+1)(s+2)² (s+1)(s+2)[6s−1− 6s−2] =−3(s+1)(s+2)

m₁₃(s) =

s+2 s+2 (s+1) (s+1)(s+2)

= (s+1)(s+2)²−(s+1)(s+2) (s+1)(s+2)[s+ 2−1] = (s+1)²(s+2)

m₂₃(s) =

(s+1)(s+2) (s−1)(s+1) (s+1) (s+1)(s+2)

= (s+1)²(s+2)²−(s+1)²(s−1)

(s+1)²[s²+4s+4−s+1] = (s+1)²(s²+3s+5)

∆2(s) = s+ 1 Portanto:

σ1(s) = ∆1(s)

∆0(s) = 1 σ₂(s) = ∆₂(s)

∆1(s) =s+ 1

⇒ Σ(s) =







1 0

0 s+1

0 0







2) 





1 0 0

−(s+1) 1 0

−1 0 1







| {z }

U1(s)







s+2 s+2

(s+1)(s+2) (s−1)(s+1) s+1 (s+1)(s+2)





 →







0 0 −1 0 1 0 1 0 0







| {z }

U2(s)







s+2 s+2 0 −3(s+1)

−1 s(s+2)





→







1 0 0

0 1 0

−(s+2) 0 1







| {z }

U3(s)







1 −s(s+2) 0 −3(s+1) s+2 s+2





 →







1 −s(s+2) 0 −3(s+1) 0 (s+1)²(s+2)







"

1 s(s+2)

0 1

#

| {z }

V1(s)

→









1 0 0

0 −1

3 0

0 −1

3(s+1)(s+2) 1









| {z }

U4(s)







1 0

0 −3(s+1) 0 (s+1)²(s+2)





 ⇒ Σ(s) =







1 0

0 s+1

0 0







U(s) =U₄(s)U3(s)U2(s)U1(s) ⇒ U(s) =









1 0 −1

1

3(s+1) −1

3 0

−1

3(s+1)(s²+3s+5) 1

3(s+1)(s+2) s+2









V(s) =V₁(s) =

"

1 s(s+2)

0 1

#

Note que N(−1) =





 1 1 0 0 0 0





⇒ρ[N(−1)] = 1

2.4.2 Forma de Smith-McMillan Seja G(s)∈IR^p×m(s) escrita como G(s) = 1

d(s)N(s), sendo d(s) o m´ınimo m´ultiplo comum (m.m.c.) mˆonico dos denominadores de G(s) e N(s)∈IR^p×m[s]. Ent˜ao, existem matrizes unimodulares U(s) e V(s) tais queU(s)N(s)V(s) = Σ(s) onde Σ(s) ´e a forma de Smith de N(s).