Matemática financeira

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Ponto de

PARTIDA

Você sabe o que é ser empreendedor? Já ouviu falar sobre isso? Conhece alguém que já empreendeu?

Discuta o tema com seus colegas e refl ita.

Atividade

1

Em 2019 Maurício foi demitido da empresa que trabalhava e recebeu como indenização e FGTS¹ um valor total de 20 mil reais. Após procurar emprego depa- rou-se com difi culdades em encontrar uma nova oportunidade e então resolveu criar estratégias que fi zessem os seus recursos renderem algum dinheiro. Diante das difi culdades, resolveu também vender seu carro e conseguiu mais 30 mil reais, totalizando 50 mil reais em economias. Diante desse cenário, avaliou duas opções:

1- Investir o dinheiro em alguma aplicação bancária;

2- Empreender.

1Você sabe os direitos trabalhistas para admissão ou após uma demissão?

Veja 10 direitos dos trabalhadores em caso de demissão. Disponível em:

<www.iqe.org.br/

surl/?57dda6>. Acesso em jan. de 2020.

MAT Sequência Didática do Aluno

Ensino Médio

Números e álgebra

Matemática financeira

EM.12.MA.17.1.21.A-520

(2)

Opção 1 – As aplicações bancárias

Ao buscar investir o dinheiro em aplicação bancária, procurou dois bancos e negociou com o gerente na perspectiva de conseguir um melhor rendimento, bem como optou pelo investimento mais tradicional para o trabalhador brasileiro, a poupança.

Banco Enrolação

Aplicação com valores iguais ou superiores a 50 mil reais, aplicamos a uma taxa de

juro simples de 0,51% a.m.

Banco Tramoia

Aplicações iguais ou superiores a 50 mil reais, aplicamos a uma taxa de juro composto de

0,5% a.m.

Para entender qual banco oferecia melhor condição, Maurício construiu duas tabelas.

a) Ajude Maurício a preencher a primeira delas com os valores que ele pode obter se optar por investir no banco Enrolação.

Capital (C) Juros (J) Montante (C+J)

1º mês 50 000,00 255,00 50 255,00

2º mês 50 000,00 50 510,00

3º mês

4º mês 255,00

5º mês 6º mês

Total 51 530,00

a₁) Você observa alguma regularidade ao preencher a tabela? Em caso afi rmativo justifi que.

a₂) É possível representar com uma sentença matemática as operações realizadas em cada linha acima? Em Caso afi rmativo, represente-a abaixo, justifi cando.

a₃) É possível representar com uma sentença Matemática o cálculo geral dos juros? Caso afi rmativo, represente-a abaixo, justifi cando.

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b) Ajude Maurício a calcular os valores que ele pode obter se optar por investir no banco Tramoia, completando a tabela abaixo.

1º mês 50 000,00 250,00 50 250,00

2º mês 50 250,00

3º mês 252,51

4º mês 5º mês 6º mês Total

b₁) Como podemos representar com uma sentença matemática o montante do 1º mês, em função do capital e da taxa? E no segundo mês?

b₂) É possível escrever o montante do segundo mês utilizando uma fórmula? Se possível, tente fazer da mesma manei- ra também com o terceiro mês.

b₃) Como podemos generalizar essas observações com uma sentença Matemática para o cálculo geral do juro composto?

b₄) Para um tempo (t), como podemos generalizar essas observações com uma sentença Matemática para o cálculo geral do juro composto?

Para o cálculo do juro simples basta multiplicar o capital (C), pela taxa de juros (i) e pelo tempo decorrido (T). Portanto: J = C . i . T

No juro simples para calcular o montante, basta juntar o juro mensal (cumulativo de acordo com o tempo) com o capital que não se altera. M = J + C.

Para o cálculo do juro composto é preciso utilizar o cálculo do montante M = C (1 + i)^t. É importante observar que o capital a ser calculado a cada mês muda, sendo reportado ao montante do mês imediatamente anterior.

Para

LEMBRAR

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c) Pela análise dos dados, qual das opções de investimento e em qual banco acontece o melhor investimento durante os seis primeiros meses? E em um período de 9 meses?

d) Então, para um tempo maior, qual das opções parece mais sugestiva? Justifi que.

e) Aproveitando os itens “a” e “b”, construa os gráfi cos relativos aos investimentos em cada um dos casos e analise dentre elas qual a melhor opção ao fi nal de seis meses.

Juro Simples

1 2 3 4 5 6

Meses

Montante (C + J)

Investimento no Banco Enrolação (juro simples)

50 000,00 50 100,00 50 200,00 50 300,00 50 400,00 50 500,00 50 600,00 50 700,00 50 800,00 50 900,00 51 000,00 51 100,00 51 200,00 51 200,00 51 300,00 51 400,00 51 500,00 51 600,00 51 700,00 51 800,00 51 900,00 52 000,00

Juro Composto

Montante (C + J)

Investimento no Banco Tramoia (juro composto)

50 200,00 50 300,00 50 400,00 50 500,00 50 600,00 50 700,00 50 800,00 50 900,00 51 000,00 51 100,00 51 200,00 51 200,00 51 300,00 51 400,00 51 500,00 51 600,00 51 700,00 51 800,00 51 900,00 52 000,00

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f) Analisando os gráfi cos, você acha que por um período maior que seis meses deva ser escolhido a mesma opção do item “d”? Justifi que sua resposta.

g) É possível determinar o momento exato ou aproximado de tempo em que o juro composto passa a ser mais vantajoso?

A poupança é uma das formas mais segu- ras de investir dinheiro, mas também uma das menos rentáveis. Os bancos também oferecem outras opções de investimentos em aplicações como: Certifi cado de Depósito Bancário (CDB), fundo de investimentos, tesouro direto, Letra de Crédito Imobiliário (LCI), letras de câmbio, letra de crédito do agronegócio.

->

Fique sabendo

QUE...

Dicas para usar os recursos

do software Excel, como cálculo de juros, média de valores, construção de gráfi cos etc.

Disponível em:

<www.iqe.org.br/surl/?701136>.

Acesso em jan. de 2020.

Fora da Estante

Opção 2 – As franquias

Como segunda opção, Maurício avaliou utilizar seu dinheiro para empreender. Ele estudou três negócios distintos que são vendidos em modelo de franquias. As franquias são modelos de negócios estruturados que oferecem aos compradores uma gama de orientações que passam por estudo do mercado local, orientações sobre os custos, rentabilidade, receita, parte jurídica e burocrática. Ou seja, são modelos de lojas prontas para quem quer investir em negócios mais organizados.

Para adquirir as franquias que Maurício se interessou, ele precisa pagar o valor total da franquia na aquisição e mensal- mente um percentual ao franqueador, a título de direitos da marca e para que ele possa continuar investindo.

Veja as franquias que ele se interessou:

Lanchonete (fast food)

Investimento Lucro médio mensal

Percentagem a ser paga a franquia sobre

lucro médio mensal Valor R$ 70 000,00 R$ 6 000,00 3% a.m.

Loja de Cosméticos

lucro médio mensal Valor R$ 95 000,00 R$ 12 000,00 3% a.m.

Loja de calçados

lucro médio mensal Valor R$ 60 000,00 R$ 5 000,00 4,5% a.m.

(6)

Atividade

2

Analisando as propostas, Maurício optou pela franquia que oferece a menor cobrança percentual sobre o lucro médio mensal. Desta forma, faça os cálculos e descubra a franquia que ele optou.

Atividade

3

Como Maurício só possuí R$ 50 000, resolveu voltar aos bancos para procurar por empréstimos com taxa de juros que pudessem fi nanciar o seu negócio. Veja o que ele encontrou:

Banco Enrolação

Empréstimo a uma taxa de juro simples de 4% a.m.

Banco Tramoia

Empréstimo a uma taxa de juro composto de 3% a.m.

a) Ajude Maurício calculando as taxas dos empréstimos conforme os dados acima.

Banco Enrolação

1º mês 20 000,00 800,00 20 800,00

2º mês

3º mês 22 400,00

4º mês

5º mês 800,00

(7)

Banco Tramoia

1º mês 20 000,00 20 600,00

2º mês 20 600,00 618,00 21 218,00

3º mês

4º mês 655,63

5º mês 22 510,00 23 185,47

6º mês 23 881,03

b) É possível escolher a melhor opção calculando as taxas de apenas um mês?

c) Qual banco oferece a melhor opção, considerando um empréstimo por seis meses?

d) Vamos construir os gráfi cos para cada um dos bancos? Ajude Maurício calculando os pontos para períodos mais longos de empréstimo já sugeridos no eixo horizontal abaixo.

Banco Enrolação

12 24 36 48 60

Meses

Montante (C + J)

Empréstimo no Banco Enrolação (juro simples)

20 000,00 25 000,00 30 000,00 35 000,00 40 000,00 45 000,00 50 000,00 55 000,00 60 000,00 65 000,00 70 000,00 75 000,00 80 000,00 85 000,00 90 000,00 95 000,00 100 000,00 105 000,00 110 000,00 115 000,00 120 000,00

(8)

Banco Tramoia

12 24 36 48 60

Meses

Montante (C + J)

Empréstimo no Banco Tramoia (juro composto)

20 000,00 25 000,00 30 000,00 35 000,00 40 000,00 45 000,00 50 000,00 55 000,00 60 000,00 65 000,00 70 000,00 75 000,00 80 000,00 85 000,00 90 000,00 95 000,00 100 000,00 105 000,00 110 000,00 115 000,00 120 000,00

e) Os gráfi cos e as tabelas construídas ajudam a tomar uma decisão fundamentada no aspecto matemático?

Atividade

4

Maurício escolheu o banco que oferece melhor taxa a longo prazo (não apenas em seis meses), para pagar após uma carência de 30 meses. Depois de escolhida a franquia ele vai ter disponível um quarto do lucro mensal para reservar com o propósito de pagar ao banco. Ajude-o calculando se será possível honrar com a dívida.

No lugar de Maurício, você teria tomado a mesma decisão? Justifi que sua resposta nas próximas linhas utilizando argumentos baseados nos cálculos já feitos, além de outros fatores que julgar necessário.

Maurício escolheu investir na franquia e vai tomar dinheiro emprestado ao banco!!!

Cá entre

NÓS

(9)

Atividade

5

Em grupo...

Junte-se a outros 4 colegas e elabore um projeto de empreendedorismo, em que vocês escolhem um produto (ou marca) e desenvolvem um plano estratégico para colocar à venda. Detalhe, é preciso se limitar ao dinheiro que Maurício possuía R$ 50 000,00.

Nesse projeto vocês podem fazer pesquisas de mercado via internet, pensar em locar espaço, ir pesquisar no seu bairro um ponto e seu valor...

Ao fi nal, além do produto, é preciso descrever toda a pesquisa e apresentar em sala.

Atividade

6

O que é mais vantajoso? Adquirir um fi nanciamento ou poupar para comprar à vista? Utilize e apresente para sua turma uma análise crítica das vantagens e desvantagens em cada caso.

Luciano resolveu fazer economia guardando dinheiro num cofre. Iniciou com R$ 30,00 e, de mês em mês, ele coloca R$ 5,00 no cofre. Considere que a_n=a₁+ (n - 1) . r, em que an é a quantia poupada; a₁, a quantia inicial; n, o número de meses; e r, a quantia depositada a cada mês. Após 12 meses o cofre conterá:

a) R$ 41,00 b) R$ 42,00 c) R$ 55,00 d) R$ 65,00 e) R$ 85,00

#

Ligado no

SAEB

(ENEM 2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno fi nanceiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos:

poupança e CDB (certifi cado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:

Renda mensal (%) IR (Imposto de renda)

POUPANÇA 0,560 ISENTO

CDB 0,876 4% (sobre o ganho)

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Ligado no

ENEM

Para o jovem investidor, ao fi nal de um mês, a aplicação mais vantajosa é:

a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.

b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.

c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.

d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.