VESTIBULAR: RESUMOS PROFESSOR: WALTER TADEU
MATEMÁTICA I
Progressão Aritmética
Uma sucessão aritmética é também chamada de Progressão Aritmética se a diferença entre seus termos consecutivos for constante.
Termo Geral de uma Progressão Aritmética
Uma progressão aritmética genérica pode ser escrita da forma (a1, a2, a3, ... , an, ...) cuja a razão é r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a
2= a
1+ 1.r
a
3= a
2+ r = (a
1+ r) + r = a
1+ 2r a
4= a
3+ r = (a
1+ 2r) + r = a
1+ 3r
...Podemos deduzir das igualdades acima que:
a
n= a
1+ (n – 1).r
(denominada termo geral da PA).Dessa fórmula, temos que:
→ an é o termo de ordem n (n-ésimo termo);
→ r é a razão;
→ a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.
Propriedades de uma PA
- 1ª Propriedade: Em toda Progressão Aritmética (PA), um termo qualquer, excluindo-se os extremos, é média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente.
Desta forma na P.A. temos: (a1, a2, ...ak-1, ak, ak+1 ... an-1, an) =>
2 a a
k a
k1
k1 Exemplo: P.A = (1,3,5,7,9,11,...) =>2 7 5 3
;2 11 9 7
; etc.- 2ª Propriedade: Em toda P.A. limitada, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Na P.A. (a1, a2,..., an-1, an) temos
a
1 a
n a
2 a
n1 ... etc .
Exemplo: PA (1,2,3,...98, 99, 100) => Temos: 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 1 + 100.
- 3ª Propriedade: Em toda P.A. de número ímpar de termos, o termo central ou termo médio é a média aritmética dos termos equidistantes a ele..
Exemplo: PA (3, 5, 7, 9, 11) =>
2 9 5 2
11
7 3
.Soma dos termos uma Progressão Aritmética (P.A.): Soma dos termos de uma P.A. finita (ou limitada) é igual ao produto da semissoma dos extremos pelo número de termos.
Demonstração. Se fizermos a soma dos n termos de uma PA finita ordenando de forma crescente e decrescente os termos teremos:
Como há n termos de mesmo valor (a1 + an), pela propriedade 2, temos:
2 n ).
a a S (
1
nExemplo: Calcular a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. (2, 5, 8...).
Solução:
( 61 ).( 10 ) 610
2 20 ).
59 2 ( 2
n ).
a a S ( 59 57 2 a 3 ).
1 20 ( 2
a
20 20 1
n
.Interpolação de uma Progressão Aritmética (P.A.): Interpolar ou inserir “k” meios aritméticos entre dois extremos a1 e an, significa formar uma P.A. de n = k + 2 termos onde a1 e an são os extremos.
Como a1 e an são sempre dados, basta determinar a razão r.
Exemplo: Inserir 4 meios aritméticos entre 3 e 38.
Solução. 3, ____,____,____,_____,38 a1 = 3; an = 38; n = 6; r = ?
an = a1 + (n – 1)r => r = 7. Logo, PA (3, 10, 17, 24,31,38).
Progressão Aritmética de 2ª Ordem
A definição de progressão aritmética utilizada até agora, na verdade é um caso particular chamado progressão aritmética de 1ª ordem, onde a subtração dos termos consecutivos é constante. No caso da PA de 2ª ordem a segunda subtração de termos consecutivos e que será constante.
Exemplo 1: (
1, 3, 6, 10, ...)
1ª subtração: 3 – 1 = 2; 6 – 3 = 3; 10 – 6 = 4, .... Observe que as diferenças não são constantes, mas os resultados (2, 3, 4,...) formam um PA de razão constante igual a 1.
De forma geral, podemos escrever essa situação da seguinte forma:
i) a1, a2, a3, a4, ...., an representando a PA de 2ª ordem. ii) b1, b2, ...,bn-1 representando a PA de 1ª ordem.
a2 – a1 = b1
a3 – a2 = b2
a4 – a3 = b3
...
an – an -1 = bn-1
Adicionando os dois membros entre si, observamos que os termos simétricos do 1º membro se anulam sobrando (an – a1) e no 2º membro forma-se uma soma de PA. Escrevendo essa expressão, temos:
2
) 1 n ).(
b b a ( 2 a
) 1 n ).(
b b a (
a
n
1
1
n1
n
1
1
n1
.Exemplo 2. “Números triangulares” são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos equiláteros. E conveniente definir 1 como o primeiro
numero triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares. Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1, T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim por diante. O valor de T100 é igual a:
a) 5.050 b) 4.950 c) 2.187 d) 1.458 e) 729
5050 5049 1) 99).(
51(
1 a
2 99).
1 102(
2 99).
100 1 2(
a 100
98 21 ).1 99(
2 b
2 99).
1 b2(
2 )1 100 ).(
1 b2(
a
1
100 99
99 1
100 100
.
Questão da UERJ:
A soma de todos os números desta tabela até a vigésima linha é:
Solução. Cada coluna da esquerda para a direita é uma PA de razões respectivamente, 3, 4 e 5. Calculando as somas dos vinte termos de cada coluna, temos:
2520 1050 840 630:
Total
1050 )10).(
2 105(
20).
100 S 5(
100 95 55 ).19(
5 5).1 20(
5 a :ª3)iii
840 )10).(
2 84(
20).
80 S 4(
80 76 44 ).19(
4 4).1 20(
4 a :ª2)ii
630 ; )10).(
2 63(
20).
60 S 3(
60 57 33 ).19(
3 3).1 20(
3 a :ª1)i
20 20 20 20 20 20
.
C n B n A a ii
b r a r n
n b r r n r n r b n a b
a
n r n a b
a r n b r n
b b
n b a b
i a
Quadrática Forma
Método
n n
n n
n n
. . )
2 . 3 . 2
2 2
2 ..
3 . 2 . 2
2
)1 .(
).
2 ( 2 ).
2 ( .1
)1 (
2
)1 ).(
( )
:2
2
1 1 1
2 2
1 1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
Exemplo: Qual o 23º termo da sequência {3, 5, 8, 12, 17, 23,...}?
Solução 1. Utilizando a fórmula.
278 2 3
) 22 ).(
25 3 ( )
23 21 2 1).
1 22 ( 2
2 ) 22 ).(
3 2(
)
1 ..
,...}
4, 3, 2{
...
4 8 12
3 5 8
2 3 5 )
23 22
22 23
a iii
b a b ii
r com A P i
Solução 2. Utilizando a forma quadrática.
2782 2 2762 2 552 2 23 2 2)23.( 529 2 )23( 1 2 ) 1
2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 12
32 4
)2(1 522 4 2 32 8 39
)3(2 3
8 39
5 24
)1(3 )3.()
3.(
)2.() 2.(
)1.()1 .(
..
)
2 23
2 2 3
2 2
2 1 2
aii
nn a B A A
BA BA BA C BA CB A
BA
CB A
CB A
CBA CB Aa
CB Aa
CB Aa CnB nAa i
n
n
r ).
C ...
10 6 3 1 ( b ) 1 n ( a b a a ...
r 15 b 6 a r 5 b r 10 b 5 a b r 10 b 5 a b a a
r 10 b 5 a r 4 b r 6 b 4 a b r 6 b 4 a b a a
r 6 b 4 a r 3 b r 3 b 3 a b r 3 b 3 a b a a
r 3 b 3 a r 2 b r b 2 a b r b 2 a b a a
r b 2 a r b b a b b a b a a
b a a
a a
1 1
1 n 1 n n
1 1 1
1 1 6 1
1 6 6 7
1 1 1
1 1 5 1
1 5 5 6
1 1 1
1 1 4 1
1 4 4 5
1 1 1
1 1 3 1
1 3 3 4
1 1 1
1 1 2 1 1 2 2 3
1 1 2
1 1
Somando os termos do 1º e igualando à soma dos termos (a1), (b1) e (r), temos:
r ) C ...
10 6 3 1 2 (
) 1 n .(
. n b a . n a ...
a a a
r ) C ...
10 6 3 1 ( b ).
1 n ( ...
2 1 ( a . n a ...
a a a
1 1 n 3
2 1
1 1
n 3
2 1
O coeficiente da terceira parcela do 2º membro pode ser escrito da seguinte forma:
) k ...
4 3 2 1 ( ...
) 4 3 2 1 ( ) 3 2 1 ( ) 2 1 (
1 -> (*)
Essa expressão representa a soma de soma de progressões aritméticas de razão 1. Temos:
4 ) 1 k ( k 2
) 1 k ( . k 2 k 1 2 . 1 2 : k OBS
2 k 2
k 2
) 1 k ( ) k k ...
4 3 2 1 ( ...
) 4 3 2 1 ( ) 3 2 1 ( ) 2 1 ( 1
2
Observação: Calculando
k2 , temos:
6 ) 1 k 2 ).(
1 k .(
k k 6
. k k 2 ) 1 k k ( 6
2 . k 3 2 k 4 k 2 ) 1 k k (
6
2 . k 3 ) 1 k ( 2 ) 1 k k ( 2
1 k 2 ) 1 k .(
k 3 ) 1 k ( k 2 . 3
1 2 k
) 1 k .(
k ) 3 1 k ( k . 3 1 2 k
) 1 k .(
k k 3 . 3 ) 1 k (
1 k k . 3 k . 3 k ...
3 2 1 ) 1 k ( k ...
3 2 1
1 1 . 3 . 3 1 k . 3 k ) 1 k ( ...
1 1 . 3 . 3 3 . 3 3 ) 1 3 (
1 1 . 2 . 3 2 . 3 2 ) 1 2 (
1 1 . 1 . 3 1 . 3 1 ) 1 1 (
1 1 . 0 . 3 0 . 3 0 ) 1 0 (
2 2 2 2
2
2 2 2 3
3 2
2 3
2 3
3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 3 3
2 3 3
2 3 3
2 3 3
2 3 3
No caso da soma dos termos da PA de segunda ordem, k = (n – 2).
