38.8

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III SEGUNDA ETAPA LETIVA / 2010

PROVA DE MATEMÁTICA I – 3ª SÉRIE – TARDE COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: ___________________________ DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: _______

ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

QUESTÃO 1 (Valor: 1,0)

Considere o complexo 



 



 

 4

7 4

cos 7

8  

isen

z :

a) escreva z na forma algébrica;

Solução. Calculando os valores das funções trigonométricas indicadas, temos:

  ⁱ

i i

z sen





 





 

 





 



 







12 4 2 4 2 2 4

2 2 8 2

2 2 4 7

2 2 4 cos 7





b) calcule z

³ .

Solução. Aplicando a propriedade da potência de complexos na forma trigonométrica, temos:

     

 i 

i isen

z OBS

isen isen

isen z





 





 

  

 



 



 







 

 



 

 



 



 



 



 

 

 



 

 

 



 



1 2 2 256

2 2

512 2 4

5 4

cos 5 512

4 5 4 16 4 : 21

4 21 4

cos 21 4 8

. 7 4 3

. 7 3 cos 4 8

7 4

cos 7 8

3

3 3

3 3 3























QUESTÃO 2 (Valor: 1,0)

Considere o número complexo z   8  i . 8 3 .

a) Escreva a forma trigonométrica de z.

Solução. Calculando módulo e argumento, temos:

1

   

 

 













 

 

  









 





 







 

 

 



 



 



























3 2 3 cos 2 16

º120 º120 cos 16

3 º120 2

2 1 16 cos 8

2 3 16

38

16 256 192 64 38

8 ^{2 2}



 







isen z

ou

isen z

z a z sen b z

b) Encontre as raízes quartas de z.

Solução. Aplicando a fórmula de Moivre, temos:

 

3 2 1

3 2 2 1 3 5 3

cos 5 12 2

) 3 ( 6 2 12

) 3 ( 6 . 2 cos 2

2 3 1 2 2 3 6 7 6

cos 7 12 2

) 2 ( 6 2 12

) 2 ( 6 . 2 cos 2

3 2 1

3 2 2 1 3 2 3

cos 2 12 2

) 1 ( 6 2 12

) 1 ( 6 . 2 cos 2

2 3 1 2 2 3 6 cos 6

12 2 ) 0 ( 6 2 12

) 0 ( 6 . 2 cos 2

3 6 . 2 4 1 3

6 . 2 4 cos 1 2 3 2

2 2 3 cos 2 . 16

3 2 1 0

14 14

14

i i

isen isen

z

i i

isen isen

z

i i

isen isen

z

i i

isen isen

z

isen k k k

isen k

z z

_k



 



 



 

 

 

 

 



 



 



 



 

 



 



 







 



 



  

 

 

 

 



 



 



 



 

 



 



 







 



 



  

 

 

 

 



 



 



 



 

 



 



 





 



 



 

 

 

 

 



 



 



 



 

 



 



 



 

 



 



 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 



 



 

 



 



 



























































 

 



QUESTÃO 3 (Valor: 0,5)

Resolva a seguinte equação, sendo x є IR: x - 4i = (2 - i)

²

Solução. Desenvolvendo o segundo membro, temos:

3 4

3 4 1

4 4 4 4

4

4   

²

          

 i i i x i i x i i x

x

QUESTÃO 4 (Valor: 0,5)

Os polinômios P(x) = (a - 2)x

³

+ (1 - b)x + c – 3 e Q(x) = 2x

³

+ (3 + b)x - 1 são idênticos.

Calcule os valores de a, b e c.

Solução. Dois polinômios são idênticos se seus coeficientes de mesmo grau são iguais.

2

 

 



























 

 













213 13

1 22 31

42 2 22 )() 1) (

3(2 )(

3 )1(

)2(

)(

3 3

c c

b bb b

a a xQx xb P

xx Q

cxb xa xP

Resposta: a = 4, b = – 1 e c = 2

QUESTÃO 5 (Valor: 0,5)

Seja P(x) = x

³

+ 5x

²

+ ax + 3 um polinômio onde P(1) = 9.

Calcule o valor de a.

Solução. Substituindo o valor x = 1, temos:

0 9 9 9

)1(

9 3) 1(

)1(5 )1(

)1( ^{3 2}









 

 













 a a

P

a a P

3