1
2. Conjuntos Numéricos
2.1 Conjunto dos números naturais (N) N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O conjunto dos números naturais possui um importante subconjunto, o conjunto dos números Naturais não nulos, representado por N*:
N* = N – {0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...} = { x N / x 0}
Obs.: Toda vez que o *(asterisco) estiver a direita de um conjunto, isto representará a exclusão do elemento zero.
No conjunto dos números naturais estão definidas duas operações; a adição e a multiplicação. Note que, adicionando (ou multiplicando) dois elementos quaisquer de N, a soma (ou o produto) pertence igualmente a N.
O mesmo não ocorre com a subtração, em outras palavras o conjunto N não é fechado para a subtração. Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto N e surgiu o conjunto dos números inteiros.
2.2 Conjunto dos números inteiros (Z)
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
A representação geométrica do conjunto dos números inteiros é :
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos importantes:
1°) O conjunto dos números inteiros não nulos:
Z* = Z – {0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} = { x Z / x 0}
2°) O conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = { x Z / x 0}
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N, logo, N Z.
3°) O conjunto dos números inteiros positivos:
Z*+ = Z+ - {0} = {1, 2, 3, ...} = { x Z / x 0}
4°) O conjunto dos números inteiros não positivos:
Z - = {..., -3, -2, -1, 0} = { x Z / x 0}
5°) O conjunto dos números inteiros negativos:
0 +1 +2 +3
-2 -1 -3
2 Z*- = Z - - {0} = {..., -3, -2, -1} = { x Z / x 0}
O conjunto Z é fechado em relação às operações adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece em relação a divisão.
Por esse motivo, fez-se a ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais.
2.3 Conjunto dos números racionais (Q)
O conjunto dos números racionais possui alguns subconjuntos importantes:
1°) O conjunto dos números racionais não nulos:
Q* = Q – {0} = { x Q / x 0}
2°) O conjunto dos números racionais não negativos:
Q+ = { x Q / x 0}
3°) O conjunto dos números racionais positivos:
Q*+ = Q+ - {0} = { x Q / x 0}
4°) O conjunto dos números racionais não positivos:
Q - = { x Q / x 0}
5°) O conjunto dos números racionais negativos:
Q*- = Q - - {0} = { x Q / x 0}
Consideremos o conjunto Q’ formado pelos números racionais com denominador unitário:
Então podemos dizer que Q’ = Z, logo, Z Q.
N Z Q
Z*}
b e Z a b , {x / x a
Q
} Z a 1 a , x / {x
Q'
N Z Q
3 Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional, na forma fracionária, cujo numerador não é múltiplo do denominador. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nesta divisão, podem ocorrer dois casos:
1°) O número decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos (não nulos):
Tais números são chamados de decimais exatos.
2°) O número decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), que se repetem periodicamente:
Tais números são chamados de decimais periódicos ou dízimas periódicas; em cada um deles, os números que se repetem, formam a parte periódica, ou período da dízima.
Quando uma fração é equivalente a uma dízima periódica, a fração é chamada geratriz da dízima.
Para sabermos se uma fração – irredutível – equivale a um decimal exato ou uma dízima periódica ( sem efetuar a divisão do numerador pelo denominador), basta decompor o denominador em fatores primos. Nesse caso:
A fração equivale a um decimal exato se o denominador contiver apenas os fatores 2 ou 5;
A fração equivale a uma dízima periódica, se o denominador contiver algum fator primo diferente de 2 e de 5.
2
5 04 , ; 1 025 , ; 016 , ; 4 80
500 etc.
1
3 03333 0 3 2
7 0285714285714285714 0 285714 1
22 0045454545 0045
, ... , ;
, ... , ;
, ... , ;
etc.
25 161 100
44 644 , 6 ...
43999 ,
6
1 ...
9999 ,
0
4 2.4 Conjunto dos números irracionais (I)
Os números decimais que podem ser escritos como frações de numerador e denominadores inteiros – são denominados números racionais, mas há os que não admitem tal representação, que são os números decimais não exatos e não periódicos também conhecidos como irracionais.
Vejamos alguns exemplos:
2.5 Conjunto dos números reais (R)
O conjunto formado pelos números racionais e pelos números irracionais é chamado conjunto dos números reais e é representado por R. Assim temos:
R = Q I, sendo Q I =
Lembrando que N Z Q, podemos construir o diagrama:
N Z Q R
Além desses (N, Z, Q e I), o conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes de R:
0101001000100001 12345678910111213
2 14142136 3 17320508
3141592
, ...
, ...
, ...
, ...
, ...
.
etc
N Z Q R
5 1°) O conjunto dos números reais não nulos:
R* = R – {0} = { x R / x 0} ={ x R / x > 0 ou x <
0}
2°) O conjunto dos números reais não negativos:
R+ = { x R / x 0}
3°) O conjunto dos números reais positivos:
R*+ = R+ - {0} = { x R / x 0}
4°) O conjunto dos números reais não positivos:
R - = { x R / x 0}
5°) O conjunto dos números reais negativos:
R*- = R - - {0} = { x R / x 0}
2. 5.1 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DOS NÚMEROS REAIS
A representação geométrica do conjunto dos números Inteiros é :
2.5.2 INTERVALOS REAIS
Dados dois números reais a e b, com a b, definimos:
(a) Intervalo totalmente aberto de extremos a e b é o conjunto:
]a,b[ = {x R/ a x b}
(b) Intervalo totalmente fechado de extremos a e b é o conjunto:
[a,b] = {x R/ a x b}
(c) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de extremos a e b é o conjunto:
[a,b[ = {x R/ a x b}
(d) Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda de extremos a e b é o conjunto:
]a,b] = {x R/ a x b}
Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo.
0 +1 +2 +3
-2 -1
-3
5
2 25 , 5
2 25 ,
3 173205 , ...
1
3 0333 , ... 1
3 0333 , ...
3 173205 , ...
6 Também consideramos os intervalos infinitos assim definidos:
(a) ]-,a[ = {x R/ x a}
(b) ]-,a] = {x R/ x a}
(c) ]a,+[ = {x R/ x a}
(d) [a,+[ = {x R/ x a}
(e) ]-,+[ = R
2.5.3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS INTERVALOS REAIS
2.5.4 Representação dos subconjuntos importantes de R
Assim os subconjuntos importantes de R podem ser expressos conforme tabela abaixo:
Subconjuntos
reais Notação da Teoria
de conjuntos Representação na reta
numérica Notação de intervalo R* {x R / x 0} =
{x R / x < 0 ou
x > 0} 0
]- , 0[ ]0,+[
R+ { x R / x 0}
0
[0,+[
R+* { x R / x 0}
0
]0, +[
]a,b[
[a,b]
[a,b[
]a,b]
]-,a]
]a, +[
a b
a b
a b
a b
a
a
7 R- { x R / x 0}
0
]-,0]
R -* { x R / x 0}
0
]-,0[
2.6 Exercícios Resolvidos
1. Assinale a alternativa INCORRETA:
a) + = b) +* * = c) * = d) +* = Solução: alternativa b
a) V, pois {0, 1, 2, 3, ...} {0, -1, -2, -3, ...} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} = Z
b) F, pois {1, 2, 3, ...} {-1, -2, -3, ...} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
= Z*
c) V , pois {0, 1, 2, 3, ...} {-1, -2, -3, ...} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} = Z
d) V, pois {1, 2, 3, ...} {0, -1, -2, -3, ...} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} = Z
2. Coloque V ou F:
a) 3 R ( ) e)
2
1
R – Q ( )b) N R ( ) g)
4
R – Q ( )c) Z R ( ) h)
5 2
3
R – Q ( )d) R - Q ( ) i)
2 5
2
3
Q ( )Solução:
a) V, pois 3 é um numero real.
b) V , pois todos os elemento do conjunto N são também elementos de R.
c) V , pois todos os elemento do conjunto Zsão também elementos de R.
d) V, pois como R – Q = I então I, ou seja é um número irracional.
e) F, pois
2
1
não é irracional.f) F, pois
4
= 2 não é irracional.8 g) V, pois
5 10 3 5 5
5 2 3 5
2
3
é irracional.h) V, pois
5 3 2 5
2
3
é racional.3. Relacione as colunas:
(A) R* ( ) [0,+[
(B) R- ( ) ]- ,+[
(C) R+* ( ) ]- ,0]
(D) R -* ( ) ]0,+[
(E) R+ ( ) ]- , 0[ ]0,+[
(F) R ( ) ]- ,0[
Solução:
Conforme tabela da seção 1.5.3, temos:
(A) R* ( E ) [0,+[
(B) R- ( F ) ]- ,+[
(C) R+* ( B ) ]- ,0]
(D) R -* ( C ) ]0,+[
(E) R+ ( A ) ]- , 0[ ]0,+[
(F) R ( D ) ]- ,0[
