LISTA 2 DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA I
Prof. Rodrigo Neves
1) Determine os conjuntos domínio e imagem das seguintes relações:
a) R1 = {(1, a), (1, b), (3, c)}
D(R1) =
Im(R1) =
b) R2 = {(2, a), (2, b), (1, a), (1, b), (3, a), (3, b)}
D(R2) =
Im(R2) =
c) R3 = {(2, a), (2, b), (2, c), (1, c), (3, c)}
D(R3) =
Im(R3) =
d) R4 = {(a, a), (b, b), (c, c)}
D(R4) =
Im(R4) =
e) R5 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, a), (c, b), (c,
c)}
D(R5) =
Im(R5) =
2) Represente as relações no diagrama cartesiano
a) A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d} e R1 = {(1, a), (1, b),
(3, c)}
b) A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d} e R2 = {(2, a), (2, b),
(1, a), (1, b), (3, a), (3, b)}
3) Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {1, 2, 3, 4}. Determine o diagrama de Venn das seguintes relações:
a) R1= {(a,1), (b,2), (c,4)}
b) R2= {(a,1), (a,2), (a,4), (b,1), (c,3)}
c) R3= {(b,1), (c,1), (a,2), (a,1)}
d) R4= A x B
4) Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. Represente através de diagramas de flechas as seguintes relações de A em A:
a) R1= {(1,1), (1,2), (2,4)}
c) R3= {(2,1), (3,1), (1,2), (1,1), (1,3)}
As relações abaixo estão definidas no conjunto A = {1; 2; 3; 4}. Utilize-as pra resolver o que se pede nas questões 5, 6 e 7:
i. R1 = { (2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 2); (3; 3); (3; 4)}
ii. R2 = { (1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4)}
iii. R3 = { (1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4) }
iv. R4 = { (1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 4) }
5) Para cada relação da lista acima, monte a representação gráfica por Diagrama cartesiano, Tábua de relações, diagrama de Venn e Esquema de flechas.
6) Determine a relação dual para cada relação da lista acima.
7) Determine os conjuntos domínio e imagem para cada
relação da lista acima.
8) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e R = {(x,y) є AxB/ x + y é um número par e menor que 10}. Descreva os elementos de R.
9)Seja dado o conjunto X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} e a
relação R definida sobre X pelo diagrama abaixo. Determine os pares da relação R:
10) Seja ℤ o conjunto dos inteiros. Sejam ainda os conjuntos A = {x є ℤ / –1 < x 2} e B = {3, 4, 5}. Então, se D = {(x, y) є AxB; y x + 4}, tem que:
a) D = A x B
b) D tem um único elemento. c) D tem apenas três elementos. d) D tem apenas dois elementos.
11) Considere a relação R = {(a, b), onde a e b são naturais; a + 2b = 6}, então R é igual a:
a) {(0, 6), (1, 4), (6, 0)} b) {(2, 2), (3, 0)}
c) {(0, 3), (2, 2), (4, 1). (6, 0)}
d) {(0, 6), (1, 4), (3, 0)}
12) Sejam A = {-1, 0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4},
pergunta-se quantos são os ele-mentos da relação R = {(x, y) є AxB; x2 = y2}?
a) R tem 10 elementos. b) R tem 5 elementos. c) R tem 25 elementos. d) R tem 2 elementos.
13) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3},
os elementos dados pela relação R = {(x, y) є AxB; x < y} são:
a) {(3, 1); (2, 1)}
b) {(1, 1); (2, 2); (3, 3)}
c) {(1, 2); (2, 1); (3, 2); (4, 1)} d) {(1, 2); (1, 3); (2, 3)
14) Para calcular seu número da sorte, a astróloga Zora
Ionara ensinou o seguinte procedimento: primeiro deve-se substituir as letras do seu nome pelos respectivos números astrais que as representam, como mostra a tabela abaixo e somá-los; segundo, se o número obtido for maior que 9,
deve-se somar seus algarismos repetidamente, até que ele esteja entre 0 e 9.
Analisando o conjunto A a seguir, contendo os nomes de alguns alunos, imagine a relação: R = {(x, y) ⋴ AxA / os alunos x e y possuem o mesmo número astral da sorte}.
Número Nome do Número da
1 Alan 2 Suelen 3 Giana 4 Hélvio 5 Rodrigo 6 Rejane
a) Descreva os pares desta relação.
b) Descreva os pares da relação dual, bem como domínio e imagem.
c) Monte R em diagrama cartesiano, diagrama de Venn, tábua, matriz e esquema de flechas.
15) Seja A o conjunto das seguintes pessoas:
Inici
al Nome AnoNascimento
Letra s Núme ro Letr as Númer o a, i, q,
z
1 e, m, u
5
b, j, r, w
2 f, n, v
6
c, k, s 3 g, o, x
7
d, l, t 4 h, p, y
8
Exemplo: Rodrigo
r + o + d + r + i + g + o
2 + 7 + 4 + 2 +1 + 7 + 7 = 30
R Rosan
a 1992
D Diego 1980
W Willia
m 1980
S Robso
n 1990
M Marco
s 1992
T Thiag
o 1992
Criamos uma relação R tal que R = {(x,y) ⋴ AxA/ x tem a mesma idade que y}.
a) Descreva todos os pares desta relação R.
b) Descreva os pares da relação dual ou relação inversa R-1.
c) Descreva os conjuntos domínio e imagem da relação R.
d) Monte R em diagrama cartesiano. e) Monte R em diagrama de Venn. f) Monte R em tábua das relações. g) Monte R em esquema de flechas.
16) No Rio de Janeiro, é possível se estabelecer o operadora de um celular pelos 2 primeiros números XX de sua seqüência numérica.
Por Exemplo:
Claro: 91-94 Vivo: 95-99 (21) XXNN-NNNN Tim: 81-83
Oi: 86-89
Nextel: 7X
Dado o conjunto A = {x, y, z, t, w, u, v} das pessoas abaixo, montamos a relação R = {(a,b) em AxA / as
pes-soas a e b pertencem a mesma operadora}.(4,0 pontos)
Nome Sigl
a Número deCelular
Felipe x 9780-1389
Guilher
me y 8223-9980
Naiguel z 8390-7553
Renato t 9998-0035
Walace w 7689-0001
Ronaldo u 9602-3231
Hudson v 8717-5329
a) Monte os pares da relação R e os conte. b) Encontre o domínio e a imagem da relação R c) Determine a relação dual (inversa) de R.
d) Faça “todas” as representações gráficas possíveis para esta relação.
e) Classifique a relação R.
17) Seja X o conjunto formado pelas seguintes pessoas da
turma do sexto período da manhã, de Matemática Aplicada:
Iniciais Nome Bairro que
Mora
J Jairo Santa Cruz
R Ronaldo Campo Grande
T Thallys Santa Cruz
E Eduardo Campo Grande
P Paulo Bangu
S Sérgio Santa Cruz
Criamos uma relação R tal que R = {(x,y) em X2 /
o aluno x mora em um mesmo bairro que o aluno y}. Isto significa que se duas pessoas moram na mesma zona (Oeste, Norte ou Sul), forma-se um par com as suas iniciais.
a) Descreva todos os pares desta relação R. b) Descreva os pares da relação relação inversa R-1.
c) Descreva o conjunto domínio e imagem da relação R.
d) Faça todas as representações gráficas
e) Determine se é uma equivalênciae apresente as classes.
18) Classifique as relações de A = {a, b, c, d} em A, usando a interpretação por esquema de flechas
a) R1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (d, d)}
b) R2 = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (c, d), (d, c)}
c) R3 = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (b, c), (a, c)}
d) R4 = {(a, a), (b, b), (c, c) (a, b), (b, a), (b, c), (d,
d)}
19) Seja A o conjunto dos carros que possuem as seguintes
placas:
Carr
o Placa
1 ADQ
9370
2 PTR
5441
3 JYZ 3821
4 ABC
0127
5 JQR
1990
6 LKM
3740
Determine o que se pede para as relações definidas:
a) R1 = {(x, y) em A2 / o carro x e o carro y
possuem a placa do carro terminan-do com o mesmo algarismo}.
Classificação Reflexiva:
Simétrica: Transitiva:
Relação de Equivalência?
Pares da Relação R =
b) R2 = {(x, y) em AxA / o carro x e o carro y
possuem a placa do carro com a mesma soma da parte numérica}.
Classificação Reflexiva:
Simétrica: Transitiva:
Relação de Equivalência?
Pares da Relação R =
Esquema de Flechas
c) R3 = {(x, y) em AxA / o carro x e o carro y
possuem a placa do carro come-çando com o mesmo algarismo alfanumérico}.
Classificação Reflexiva:
Simétrica: Transitiva:
Relação de Equivalência?
Pares da Relação R =
Esquema de Flechas
20) Classifique as seguintes relações:
a)
c)
d)
e)
21) Determine quais das propriedades: reflexiva, simétrica, transitiva, anti-simétrica são satisfeitas por cada uma das
seguintes relações sobre o conjunto A ={-4, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} dos números reais:
a) R = {(x, y); y = 1 - x} b) R = {(x, y); y2 = x2}
c) R = {(x, y); x = 2y}
22) Dê um exemplo de uma relação R sobre um conjunto
A a sua escolha que seja simétrica e transitiva e não seja reflexiva.
23) Dê dois exemplos, um listando os pares ordenados e
o outro descrevendo-os através de uma regra, de relações que tenham as propriedades reflexiva e simétrica e não tenham a transitiva.
24) Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, descreva os
pares e monte o esquema de flechas de alguma relação R sobre A que seja
a. Transitiva e Reflexiva, porém não simétrica nem anti-simétrica. A relação deve possuir pelo menos 12 pares.
25) Para o conjunto A = {, , , , }, monte esquemas de flechas de relações, que satisfaçam:
a. Ser reflexiva e anti-simétrica, mas não transitiva. b. Ser transitiva e simétrica, mas não reflexiva e
com pelo menos 14 pares.
27) Considere o conjunto dos automóveis da cidade do Recife. Dizemos que o automóvel a será rela-cionado com o automóvel b, isto é, aRb, se o último algarismo de suas respectivas placas forem iguais. Assinale a alternativa certa:
a) R é uma relação somente reflexiva. b) R é uma relação somente simétrica.
d) R é uma relação simétrica, mas não transitiva. c) R é uma relação reflexiva, mas não simétrica. e) R é uma relação transitiva, reflexiva e simétrica.
28) Dada a relação binária R = {(x, y) є IN x IN / x + y = 10}. Assinale, entre as alternativas abaixo, a única correta.
a) R é reflexiva b) R é simétrica c) R é anti-simétrica d) R é transitiva
29) Dado o conjunto A = {a, b, c, d, e}, descreva e monte o esquema de flechas de alguma relação R sobre A que seja
a) Simétrica, mas não seja transitiva. b) Reflexiva, mas não simétrica.
c) Transitiva, porém não simétrica nem anti-simétrica.
d) Anti-simétrica, mas não transitiva nem reflexiva.
30) Dado o conjunto A = {a, b, c, d, e}, descreva os pares e monte o esquema de flechas de alguma relação R sobre A que seja
a) Transitiva e Anti-simétrica, porém não simétrica nem reflexiva. A relação deve possuir ao menos 10 pares.
b) Equivalência. A relação deve possuir ao menos 12 pares.
31) Determine se as relações R abaixo são de equivalência
ou não, sobre os respectivos conjuntos A, e descreva seu conjunto quociente A/R caso seja (para isto é necessário antes determinar suas classes de equivalência):
a) A = ℝ – {0}, R={(x,y) ⋴ AxA / x possui o mesmo sinal de y, ou seja, xy > 0}
b) A = {1,2,3,4,5}, R = {(x,y) ⋴ AxA / x + y é um número par e menor que 6}.
c) A = ℤ, R={(x,y) ⋴ AxA / x y (mod 3)}
d) A = ℤ, R={(x,y) ⋴ AxA / 3 é divisor de x – y}
e) A = ℤ, R={(x,y) ⋴ AxA / nx = my + 3, para alguns m e n inteiros}
f) A = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, R = {(x,y) ⋴ AxA / x+|x| = y+|y|}.
g) A = ℚ, R={(x,y) ⋴ AxA / x – y é inteiro}. Descreva a classe .
h) A = ℝ, R = {(x,y) є AxA / x – y é racional}.
i) A = conjunto das retas no plano, R = relação de paralelismo.
j) A = conjunto das retas no plano, R = relação de perpendicularidade.
k) A = conjunto dos triângulos no plano, R = relação de congruência de triângulos.
l) F = conjunto das funções reais em x, R = {(f(x),g(x)) ⋴ FxF / f ’(x) = g’(x)} .
m) A = ℚ, R={( ) com a, c, b 0 e d 0 inteiros / ad =
cb} (Proporção entre frações)
32) Dado o conjunto A = {a, b, c, d, e}, descreva e monte
o esquema de flechas de alguma relação R sobre A que seja
a) Simétrica, mas não seja transitiva. b) Reflexiva, mas não simétrica.
c) Transitiva, porém não simétrica nem anti-simétrica. d) Anti-simétrica, mas não transitiva nem reflexiva. e) Relação de equivalência (Neste caso descreva o
conjunto quociente). f) Relação de ordem parcial.
g) Relação de ordem total (Neste caso aponte o máximo e o mínimo do conjunto).
33) Determine se as relações R descritas abaixo, para seus respectivos conjuntos A, podem ser defi-nidas como relações de ordem parcial ou total:
a) A = {, IN *, ℤ
+, ℤ, ℚ, ℝ}, R={(X,Y) ⋴ AxA / X Y}
Quem é máximo e mínimo?
b) A = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}, R={(x,y) ⋴ AxA / x divide y}. Quem é o máximo?
c) A = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}, R={(x,y) ⋴ AxA / x é divisível por y}. Quem é o máximo?
d) A = conjunto dos triângulos T, R={(T1,T2) ⋴ AxA /
se T1 e T2 são congruentes e a área de T1 é menor
que a área de T2}
e) A = {An= , n natural}, R={(An, Am) AxA / An
Am} Quem é máximo, mínimo, supremo e ínfimo?
f) A = ]-1,1], R = ordem habitual. Quem é máximo, mínimo, ínfimo e supremo?
g) A = (0,1) [2,3), R = ordem habitual. Quem é máximo, mínimo, ínfimo e supremo?
h) A = ℚ [ ], R = ordem habitual. Quem é
máximo, mínimo, ínfimo e supremo?
i) A = {1, 2, 3, 6, 8, 12, 16, 20, 24}, R={(x,y) ⋴ AxA / x divide y}.
