Lista2deCálculoI Arquivos de Matemática Professor.Rodrigo.Neves Lista2deCálculoI

FIC/ Cu rs o d e Ma te m á tica 2 0 0 9 – 2 º

P ro fe s s o r: Ro d rigo N e ve s Figu e ire d o d o s S a n to s

Lis ta 2 d e Exe rcício s d e Cá lcu lo I

Resumão do Conteúdo:

Funções e Representação Gráfica Definição:

Dados dois conjuntos A e B não-vazios, onde B é um subconjunto numérico (B , uma função de A em B, f: A B, ou simplesmente f(x), é uma lei que associa a cada elemento x A, um único elemento de B, denotada lei de correspondência de f ou sentença.

Algumas notações mais comuns para uma função f: A B são as seguintes:

y f x , x y, f: x A y B ou f: A _{x f x}B

Como cada número real x leva em um único y, a função f(x) estabelece uma relação entre ambos os números formando um par. Este par é denotado par ordenado.

Assim como os números reais são representados por uma reta, os pares ordenados podem ser repre-sentados por um sistema plano. Quando os eixos desse sistema são perpendiculares na origem, essa cor-respondência determina um sistema cartesiano ortogonal , sistema de coordenadas retangulares ou plano cartesiano, simbolicamente representado por . Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, faz-se corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.

Definição:

O gráfico de uma função f: A B, com A, B é o subconjunto G(f) do plano cartesiano que con-tém todos os pares ordenados formados a partir da lei de correspondência de f.

Intuitivamente, estas características nos informam que uma função pode ser vista geometricamente como uma “linha” ou caminho contido no plano cartesiano, que só pode ser “cortado” uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta.

Exemplo 3:

a) Sendo A = B, um exemplo importante de função é f: A A tal que f(x) = x, para todos x em A. Esta função é chamada de função identidade, ou identidade de A, sendo usualmente denotada por I ou I .

b) Seja b uma constante real. A função f: dada por f(x) = b, para todo x real, é chamada de função constante. O gráfico de uma função constante é dado por uma reta horizontal que inter-cepta o eixo y em b.

c) Seja a uma constante real. A função f: dada por f(x) = ax, para todo x real, é chamada de função linear. O gráfico de uma função linear é dado por uma reta concorrente ao eixo x na ori-gem do plano cartesiano, formando um ângulo de inclinação θ, de forma que tg(θ) = a. Por isto, “a” é denominado coeficiente angular da função. A função identidade é um caso particular de linear onde a = 1.

d) Sejam a e b constantes reais. A função f: dada por f(x) = ax + b, para todo x real, é chama-da de função afim. A constante b é chamachama-da de coeficiente linear. Qualquer reta, a menos de vertical, pode ser representada por uma função afim. Observe que a função constante é um caso particular de afim para a = 0, a função linear é um caso particular da afim para b = 0.

e) A função modular f: dada por f(x) = |x|, para todo x real é a função que retorna a distância de cada real x para a origem 0.

Domínio, Imagem e Contradomínio Definição:

Seja f: A B uma função. Possuem notações especiais os seguintes conjuntos:

1) Domínio de f(x), indicado por D(f), o conjunto A.

2) Contradomínio de f(x), indicado por CD(f), o conjunto B.

3) Imagem de f(x), indicado por Im(f), o conjunto de todos os elementos y B tal que, existe x A de forma que y = f(x).

Uma função é dita ser bem definida quando se conhece D(f), Im(f) e CD(f), bem como a lei de corres-pondência y = f(x). É comum apresentarmos somente a lei y = f(x). Neste caso, deve-se ficar subentendido que o domínio de f é constituído por todos os números reais que admitam imagem por f(x). A menos de menção explícita em contrário, ficará sempre subentendido que o domínio é o maior subconjunto da reta onde a lei faz sentido, o contradomínio será sempre . Geometricamente, as afirmações são válidas:

1) Domínio de f(x) é o conjunto de todas primeiras coordenadas dos pontos do G(f). Em outras pa-lavras, é conjunto das abscissas dos pontos tais, que as retas verticais produzidas por eles inter-ceptam o gráfico de f(x).

2) Imagem de f(x) é o conjunto de todas segundas coordenadas dos pontos do G(f). Em outras palavras, é conjunto das ordenadas dos pontos tais, que as retas horizontais produzidas por eles interceptam o gráfico de f(x).

Funções Iguais Definição:

Conceito de Limite:

O conceito de limite está profundamente ligado a propriedade da densidade dos números reais. Esta propriedade afirma que, entre dois números reais diferentes, sempre existirá uma quantidade infinita de outros números reais: tanto racionais, quanto irracionais; não importando o quão próximo eles estejam um do outro sobre a reta.

Isto implica que podemos analisar características desejadas do comportamento de uma função quando ela se aproxima de um ponto, sem necessitar descobrir o que acontece “exatamente nele”, mas apenas analisando o que ocorre a sua volta, em outros pontos muito próximos: tão próximos quanto nós desejarmos ou quanto for necessário para obter precisão.

Definição Informal de Limite:

Se f(x) se aproxima de um único número L na imagem, à medida que x se próxima de um número c no domínio, tanto pela esquerda quanto pela direita na reta real, diz-se que o limite de f(x) quando x tende a c é L, e se escreve:

lim f x L

No que se referir a limites de funções reais, sempre que se escrever a definição simbólica de limite, serão assumidas como verdade duas afirmações: primeiro o limite existe; e segundo ele é L. Em outras palavras, pode até não existir o limite de uma função quando ela tende a um número, mas se existir, ele é único. Em muitos casos é possível se estimar o valor de um limite usando uma calculadora, como no caso dos exemplos a seguir.

Obs1: O limite pode ser calculado para qualquer ponto de uma função, sendo ele ponto de interrupção ou não. Caso a função seja bem comportada e o ponto esteja definido em seu domínio, o limite quando x c será a própria f(c), ou seja, a imagem de c por f(x). Porém a técnica de limite é muito mais útil no trata-mento dos pontos que são exceção a regra.

Obs2: A existência ou não-existência do limite de f(x) quando x tende a c, não tem nada a ver com a existência ou não da f(c), isto é, se c está ou não está no domínio de f(x).

Propriedades de Limites:

Considerando que freqüentemente uma função é construída a partir de funções mais simples, vale a pena aprender algumas propriedades de limites, com o objetivo de transformar limites, aparentemente um pouco mais complexos, em combinações de outros mais simples.

Sejam u(x) e v(x) funções reais, de forma que

L ) x ( u lim

a

x→ = e limx→av(x)=M,

e seja C uma constante real.

Então, são válidas as seguintes propriedades sobre limites:

1) limC C

a

x→ = ;

2) limx a

a

x→ =

3) lim

[

]

a x a

x a

x→ ± = → ± → = + ;

4) lim

[

]

a x a

x→ ⋅ = ⋅ → = ⋅ ;

5) lim

[

]

a x a x a

6) ,

M L ) x ( v lim ) x ( u lim ) x ( v ) x ( u lim a x a x a x = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ → →

→ desde que M ≠ 0 ;

7) ,

M 1 ) x ( v lim 1 ) x ( v 1 lim a x a x = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ →

→ desde que M ≠ 0 ;

8)

( )

[ ]

a x m a

x u(x) limu(x) L

lim = =

→ → ; 9) m m a x m a

x u(x) limu(x) L

lim = =

→

→ ;

10) lim

(

)

[ ]

(

)

a x a a

a

x→ = → = ;

11)

(

)

[ ]

a x ) x ( v a

x u(x) limu(x) L

lim = x→a =

→

→ .

Substituição Direta:

Como afirmado anteriormente, o limite de f(x) quando x tende a c não depende do valor de f(x) no ponto c. Entretanto, se o limite é precisamente f(c), diz-se que o limite pode ser calculado por substitui-ção direta, isto é, basta substituir x por c na funsubstitui-ção. Simbolicamente,

lim f x f c

Estas funções bem comportadas em c são ditas serem funções contínuas no ponto c. O conceito de continuidade será trabalhado com profundidade mais adiante em outra lista.

Obs3: Sempre que a substituição direta produzir um valor real como resposta, ou seja, um valor nu-mérico real qualquer, sendo positivo, negativo ou zero; esta será a resposta do problema.

Limites Indeterminados de Funções Algébricas:

Uma função algébrica é uma função que pode ser obtida através de um número finito de operações algébricas (adição, multiplicação, subtração, divisão e radiciação). Como exemplos, encontramos as funções polinomiais, racionais e radicais, ou suas combinações.

As funções restantes, ou seja, as que não são algébricas, são denominadas funções transcendentes. Por exemplo, são transcendentes as funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e hiperbólicas.

Técnica do Cancelamento (Funções Racionais): Definição:

Uma função polinomial, ou polinômio com coeficientes reais na variável x, é uma função matemática p: definida por: p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn, onde a0, a1, a2,..., an são números reais

denominados coeficientes do polinômio.

O coeficiente a0 é o termo constante. Se an≠ 0, então é dito que o polinômio possui grau n e xn é

chamado de termo dominante. Caso os coeficientes sejam números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x. Observe ainda que, se p(a) = 0, o número a é chamado raiz ou zero de p(x). O valor numérico de um polinômio p = p(x) em x = a é obtido pela substituição da incógnita x pelo número real a, para obter p(a).

Uma das funções polinomiais mais importantes é f: definida por f(x) = ax2 _{+ bx + c, cujo}

gráfico é a curva denominada parábola, que possui características muito utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros.

Suas raízes r1 e r2 são dadas pela fórmula de Bhaskara:

r , b √b_a ac

1º) O polinômio do p(x) = 0 é denotado polinômio nulo, e não possui grau, uma vez que não tem um termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo.

2º) Se o coeficiente do termo dominante for igual a 1, o polinômio será chamado Mônico.

3º) Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências tanto em ordem crescente quanto em ordem decrescente.

4º) Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências desde o grau mais alto até o termo constante.

5º) Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamen-te n+1. No entanto, se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de exatamen-termos desexatamen-te polinômio será menor do que n+1.

Divisão de Polinômios:

Efetuar a divisão de um polinômio p(x), por outro polinômio d(x) não nulo, significa determinar um único par de polinômios q(x) e r(x) que satisfazem às condições:

1) p(x) = d(x). q(x) + r(x). (Analogia ao Algoritmo da Divisão Euclidiana)

2) Vale que grau r(x) < grau d(x).

Notas:

1º) Se r(x) = 0, então dizemos que p(x) é divisível por d(x).

2º) Se grau p(x) > grau d(x) então grau q(x) = grau p(x) – grau d(x).

3º) Se grau p(x) < grau d(x) então q(x) = 0 e r(x) = p(x).

4º) Não esquecer que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor.

Teorema de D`Alembert ou da Fatoração em Álgebra:

Seja p(x) um polinômio qualquer. Se p(a) = 0, então p(x) é divisível por x – a. Em outras palavras, se a é raiz de um polinômio p(x), então existe outro polinômio q(x) de tal maneira que, p(x) = q(x)·(x – a). Também vale a afirmação que (x – a) é fator do polinômio p(x).

Definição:

A função f definida pela equação f(x) = p(x)/q(x), onde p(x) e q(x) são funções polinomiais e q(x) não é uma função constante nula, é denominada função racional. Para a representação da função ra-cional, não é necessário efetuar a divisão de p(x) por q(x).

Obs1: As funções polinomiais são casos particulares de funções racionais, onde q(x) = 1. Logo, toda função polinomial é racional.

Limite de Funções Racionais:

Seja f(x) uma função racional dada por f(x) = p(x)/q(x). Se lim p x k e lim q x k , on-de k e k são constantes reais, então temos que lim f x é igual a:

i) , se k e k ;

ii) 0 se k e k ;

iii) ∞ se k e k e

iv) Indeterminado se k e k . (Neste caso deve ser usada alguma técnica de limite)

Técnica do Cancelamento:

Quando o limite de uma função racional é uma constante real, zero ou tende a infinito (neste caso o limite não existe), o problema já está resolvido. A única dificuldade é quando o limite gera uma indeter-minação, ou seja, zero dividido por zero.

A técnica do cancelamento é baseada nesta idéia, de buscar cancelar os fatores iguais antes de calcu-lar o limite, aplicando o limite em uma função igual a original:

1) Se lim ;

2) Pelo teorema de D`Ambert, p(x) = p1(x)·(x – c) e q(x) = q1(x)·(x – c), onde p1(x) e q1(x) são os

quocientes da divisão de p(x) e q(x) por (x – c), respectivamente.

3) Logo, podemos escrever lim lim ·

· lim

Obs2: Caso as raízes dos polinômios p(x) e q(x) sejam conhecidas, não é necessário efetuar a divisão de polinômios pelo fator comum, bastando usar a regra de decomposição de polinômios em fatores (gera-dos pelas raízes).

Técnica da Racionalização (Funções com Radicais):

Uma outra forma de se determinar um limite de uma função, para qual a substituição direta leva a uma forma indeterminada 0/0, é usar a técnica de racionalização. Esta técnica pode ser usada tanto no numerador, quanto no denominador da função.

Como o objetivo aqui é trabalhar com radicais, a forma mais simples de “desfazer” uma raiz quadra-da é aplicando sua operação inversa, ou seja, elevando ao quadrado. Por isto esta técnica é baseaquadra-da na propriedade de produtos notáveis, dada por:

a b a – b a – b

Note que se algum dos termos a ou b for uma raiz quadrada, a2 _{ou b}2 _{não o será mais. Para tal basta}

multiplicar a expressão pelo fator com sinal trocado, mas sem se esquecer de dividir a expressão final pelo mesmo fator para não alterar o resultado inicial:

a b a b · a b a b_{a b} a b a b_{a b} a – b_{a b}

Logo a técnica de racionalização se baseia na multiplicação por 1, reescrito de forma conveniente para forçar aparecer um produto notável, .

Obs1: Algumas vezes, é necessário racionalizar uma função duas vezes, uma racionalização para o numerador e outra para o denominador, como na letra (d) do exercício 6.

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1) Indique o domínio, imagem e contradomínio das seguintes funções:

a) y=−3x+5

b) y=|x−2|

c) y=30

d) ₂

x 4

x 3 y

− =

e) y= 4−x2

f) _y=3 ₈₁−_x

g)

x 1

1 y

+

2) Indique se existe algum domínio em que os pares de funções a seguir são iguais:

a)

x x ) x ( g e x ) x ( f

2

= =

b) f(x)=x e g(x)= x2

c)

2 x

4 x ) x ( g e 2 x ) x ( f

2

−−

= +

=

d) f(x)=x e g(x)=3 x3

e)

x x ) x ( g e x ) x (

f = =

f)

3 15 x 3 ) x ( g e 5 x ) x (

f = + = +  

3) Calcule os limites abaixo passo a passo, usando as propriedades de limite, sem omitir nenhuma passagem do raciocínio.:

a) lim =

b) lim x x =

c) lim | x | =

d) lim =

e) lim |x | =

f) lim e =

g) lim √ x =

4) Calcule os limites abaixo através da substituição direta.

a) lim =

b) lim x x =

c) lim =

d) lim |x | =

e) lim =

f) lim |x | =

g) lim π ₌

a) f x x x

b) f x cos x x

c) f x √x

d) f x πe log x

e) f x x · √ x )

6) Calcule os seguintes limites e diga se eles são determinados ou indeterminados:

a) lim =

b) lim =

c) lim =

d) lim =

e) lim =

f) lim =

g) lim =

h) lim =

i) lim =

j) lim =

5. Calcule os seguintes limites pela técnica do cancelamento:

a) ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + −

→ _{x 3}

12 3 x x 4 lim 3 x b) 3 x x x 3 x lim ₂ 2 3

x − +

+ → c) 3 x x 4 lim 3

x→− +

d) 6 x 7 x ) 4 x 3 x ( lim ₂ 2 2 1

x − +

− + → e) 1 x 3 x x 2 x 3 x 6 x lim _{3 2}

2 3

1

x + − +

+ + −

→

f) _{3 3}

4 4

a

x _{x a}

  g) 3 x 3 x 2 x lim 2 3 x − − − → h) a x a x ) 1 a ( x lim 2 2 a x − − + − →

6. Calcule os seguintes limites pela técnica da racionalização:

a) lim √ =

b) lim √ √ =

c) lim =

d) lim √

√ √ = e) 1 x 2 x x lim ₃ 1 x − − + → f) x 1 1 x 1 lim 1 x − − → h) x 2 2 x lim 0 x − + → i) 14 7 x 7 x lim 7

x + −

− → j) 4 x x lim 2 2

x→ −

l) 4 x 2 x lim 2 2 x − − →

7. Caso o limite de f(x) seja um número real qualquer, inclusive o zero, ele é dito ser convergente e se afirma que o limite converge para este número. Por outro lado, se o limite de f(x) tende para +∞ ou para ∞, dizemos que o limite é divergente.

Observe que uma indeterminação (0/0) não é convergente nem divergente, pois a resposta final para o limite ainda não foi encontrada.

Classifique os limites a seguir como convergentes ou divergentes:

a)

b)

c)

d)

√ =

f)

g)

h)

i)

j)

√ =

Texto Complementar: História dos Limites

Limites nos apresentam um grande paradoxo. Todos os conceitos principais do cálculo - derivada, continuidade, integral, convergência/divergência - são definidos em termos de limites. Limite é o conceito mais fundamental do Cálculo; de fato, limite é o que distingue, no nível mais básico, o cálculo de álgebra, geometria e o resto da matemática. Portanto, em termos do desenvolvimento ordenado e lógico do cálculo, limites devem vir primeiro. Porém, o registro histórico é justamente o oposto. Por vários séculos, as noções de limite eram confusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o infinito (números infi-nitamente grandes e infiinfi-nitamente pequenos e outras entidades matemáticas) e com intuição geométrica subjetiva e indefinida.

O termo limite em nosso sentido moderno é um produto do iluminismo na Europa no final do século 18 e início do século 19, e nossa definição moderna tem menos de 150 anos de idade. Até este período, existiram apenas raras ocasiões nas quais a idéia de limite foi usada rigorosamente e corretamente.

A primeira vez que limites foram necessários foi para a resolução dos quatro paradoxos de Zenão (cerca de 450 a.C.). Aristóteles (384--322 a.C.) tentou refutar os paradoxos de Zenão com argumentos filosóficos. Em matemática, uma aplicação cuidadosa do conceito de limite resolverá as questões levan-tadas pelos paradoxos de Zenão. Para suas demonstrações rigorosas das fórmulas para certas áreas e volumes, Arquimedes (287—212 a.C.) encontrou várias séries infinitas - somas que contêm um número infi-nito de termos. Não possuindo o conceito de limite propriamente dito, Arquimedes inventou argumentos muito engenhosos chamados de redução ao absurdo duplo, que, na verdade, incorporam alguns detalhes técnicos do que agora chamamos de limites.

Encontrar retas tangentes a curvas é um dos dois problemas mais fundamentais do cálculo. Proble-mas envolvendo tangentes são uma parte do que chamamos agora de estudo das derivadas. Durante o século 17, vários geômetras desenvolveram esquemas algébricos complicados para encontrar retas tangen-tes a certas curvas. Descartangen-tes tinha um processo que usava raízes duplas de uma equação auxiliar, e essa técnica foi melhorada pelo matemático Johan Hudde (1628--1704), que era também o prefeito de Amster-dã. René de Sluse (1622--1685) inventou um método ainda mais complicado para obter tangentes a curves. Em cada um desses cálculos, o limite deveria ter sido usado em alguma etapa crítica, mas não foi. Nenhum destes geômetras percebeu a necessidade da idéia de limite, e assim cada um encontrou uma maneira inte-ligente para alcançar seus resultados, os quais estavam corretos, mas com meios que, agora reconhe-cemos, faltam fundamentos rigorosos.

Determinar valores exatos para áreas de regiões limitadas, pelo menos em parte, por curvas é o segundo problema fundamental do cálculo. Estes são chamados freqüentemente de problemas de quadra-tura, e, intimamente relacionados a eles, estão os problemas de cubatura - encontrar volumes de sólidos limitados, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Eles nos levam a integrais. Johannes Kepler (1571--1630), o famoso astrônomo, foi um dos primeiros estudiosos dos problemas de cubatura. Bonaventura Cavalieri (1598--1647) desenvolveu uma teoria elaborada de quadraturas. Outros, tais como Evangelista Torricelli (1608--1647), Fermat, John Wallis (1616--1703), Gilles Personne de Roberval (1602--1675), e Gregory St. Vincent (1584--1667) inventaram técnicas de quadratura e/ou cubatura que se aplicam a curvas e sólidos específicos ou famílias de curvas. Mas nenhum deles usou limites! Seus resultados eram quase todos corretos, mas cada um dependia de um malabarismo algébrico ou apelavam para intuição geomé-trica ou filosófica questionável em algum ponto crítico.

cálculos era muito próximo do método de Fermat. Neste e na maioria dos outros trabalhos compará-veis, Newton negligenciou o limite.

Por outro lado, em seu Principia Mathematica (1687), talvez o maior trabalho em matemática e ciên-cia, Newton foi o primeiro a reconhecer que o limite deve ser o ponto de partida para problemas de tangência, quadratura e afins. No início do Livro I do Principia, Newton tentou dar uma formulação precisa do conceito de limite: Quantidades, e as razões de quantidades, as quais em qualquer tempo finito conver-gem continuamente para igualdade, e antes do final daquele tempo se aproximam entre si por qualquer dada diferença, tornam-se iguais no final.

Existiram críticas sobre esta afirmação e sobre a discussão que a seguiu, notadamente por George Berkeley (1685--1753). Mas a genialidade de Newton tinha descoberto o papel fundamental que o limite tinha que desempenhar no desenvolvimento lógico do cálculo. E, apesar de sua linguagem rebuscada, a semente da definição moderna de limite estava presente em suas afirmações. Infelizmente, para a fundamentação rigorosa do cálculo, por muitas décadas, ninguém observou estas dicas que Newton tinha fornecido. As principais contribuições ao cálculo de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716) foram as notações e as fórmulas básicas para as derivadas e integrais (as quais usamos desde então) e o Teorema Fundamental do Cálculo. Com estas ferramentas poderosas, o número de curvas e sólidos para os quais derivadas e integrais podiam ser facilmente calculadas se expandiram rapidamente. Problemas desafia-dores de geometria foram resolvidos; mais e mais aplicações do cálculo à ciência, principalmente física e astronomia, foram descobertas; e novos campos da matemática, especialmente equações diferenciais e o cálculo de variações, foram criados.

O cálculo se desenvolveu rapidamente pelos seus vários sucessos no século 18, e pouca atenção foi dada aos seus fundamentos, muito menos ao limite e seus detalhes. Jean Le Rond d'Alembert (1717--1783) foi o único cientista daquele tempo que reconheceu explicitamente a importância central do limite no cal-culo. Na famosa Encyclopédie (1751--1776), d'Alembert afirmou que a definição apropriada da derivada ne-cessitava um entendimento do limite primeiro e então, deu a definição explícita: Uma quantidade é o limite de uma outra quantidade quando a segunda puder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisão dada, não importa quão pequena, apesar da segunda quantidade nunca exceder a quantidade que ela aproxima. Em termos gerais, d'Alembert percebeu que, "a teoria de limites era a verdadeira metafísica do cálculo".

No final do século 18, um dos grande matemático da época, Joseph-Louis Lagrange (1736--1813), conseguiu reformular toda a mecânica em termos de cálculo. Nos anos que seguiram a Revolução Francesa, Lagrange concentrou sua atenção nos problemas da fundamentação do cálculo. Sua solução, Funções Analíticas (1797), desligou o cálculo de "qualquer consideração do infinitamente pequeno ou quantidades imperceptíveis, de limites ou de flúxions." Renomado por suas outras contribuições ao cálculo, Lagrange fez um esforço heróico (como sabemos agora, com um falha fatal) para tornar o cálculo puramente algébrico eliminando limites inteiramente.

Ao longo do século 18, havia pouca preocupação com convergência ou divergência de seqüências e séries infinitas; hoje, entendemos que tais problemas requerem o uso de limites. Em 1812, Carl Friedrich Gauss (1777--1855) produziu o primeiro tratamento estritamente rigoroso da convergência de seqüências e séries, embora ele não tenha usado a terminologia de limites. Na sua famosa Teoria Analítica do Calor, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768--1830) tentou definir a convergência de uma série infinita, novamente sem usar limites, mas então ele afirmou que qualquer função poderia ser escrita como uma de suas séries, e não mencionou a convergência ou divergência desta série.

No primeiro estudo cuidadoso e rigoroso das diferenças entre curvas contínuas e descontínuas e funções, Bernhard Bolzano (1781--1848) olhou além da noção intuitiva da ausência de buracos e quebras e encontrou os conceitos mais fundamentais os quais expressamos hoje em termos de limites. No começo do século 18, as idéias sobre limites eram com certeza confusas. Enquanto Augustin Louis Cauchy (1789-1857) estava procurando por uma exposição clara e rigorosamente correta do cálculo para apresentar aos seus estudantes de engenharia na École polytechnique em Paris, ele encontrou erros no programa estabelecido por Lagrange. Então, Cauchy começou o seu curso de cálculo do nada; ele começou com uma definição moderna de limite. Começando em 1821, ele escreveu as suas próprias notas de aula, essencialmente seus próprios livros, o primeiro chamado de Cours d’analyse (Curso de Análise). Nas suas classes e nestes livros-texto clássicos, Cauchy usou o princípio de limite como a base para introduções precisas à continuidade e convergência, a derivada, a integral, e o resto do cálculo.