Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

(1)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados

Aula 08

Trigonometria.

8. Trigonometria ...2

8.1. Introdução ...2

8.2. Razões Trigonométricas em um Triângulo Retângulo ...8

8.2.1. Seno, Cosseno, Tangente e Cotangente...8

8.2.2. Teorema de Pitágoras ...11

Alguns triângulos retângulos clássicos que podem aparecer em prova: ...12

8.2.3. Outras Relações Importantes...12

8.2.3.1. Relação entre Cosseno e Tangente...12

8.2.3.2. Relação entre Seno e Tangente ...13

8.2.3.3. Secante e Cossecante ...14

8.3. Razões Trigonométricas Especiais...14

8.4. Relações entre Graus e Radianos ...16

8.5. Ciclo Trigonométrico ...17 8.6. Transformações ...22 8.6.1. Cosseno da Soma ...22 8.6.2. Cosseno da Diferença...22 8.6.3. Seno da Soma ...22 8.6.4. Seno da Diferença ...22

8.6.5. Tangente da Soma e da Diferença...23

8.6.6. Cotangente da Soma e da Diferença ...23

8.7. Lei dos Cossenos...24

8.8. Memorize para a prova...25

8.9. Exercícios de Fixação...32

8.10. Gabarito ...40

8.11. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos ...41

(2)

8. Trigonometria

Hoje, chegamos à aula de trigonometria, para muitos, considerada o “bicho-papão” da matemática. Vou procurar, nesta aula, ser o mais objetivo possível e mostrar aquilo que realmente você precisa saber para acertar as questões de trigonometria. Vamos lá!

8.1. Introdução

Para iniciarmos o estudo da trigonometria precisamos entender o que é ângulo. Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, mas não contidas na mesma reta.

Exemplo:

Semi-retas: OA e OB

Lados do ângulo: OA e OB. Vértice do ângulo: O

Ângulo: Ô ou AÔB ou BÔA ou β

Unidade de Medida: º (graus) ou radianos (rd)

Repare que, normalmente, medimos os ângulos em graus ou radianos, sendo que a relação entre os dois é:

360º (360 graus) = 2

π

radianos 1º (1 grau) =

2

360 π

radianos O símbolo

π

é chamado de PI.

Além disso, temos os conceitos de ângulos consecutivos e ângulos adjacentes. Ângulos consecutivos são ângulos que possuem um dos lados comuns, ou seja, um ângulo está contido em outro. Por outro lado, os ângulos adjacentes possuem um lado em comum, mas não têm pontos internos comuns, ou seja, um ângulo não está contido em outro. Vejamos:

Exemplo:

Os ângulos CÔA e CÔB são consecutivos. Os ângulos CÔA e BÔA são consecutivos. Os ângulos CÔB e BÔA são adjacentes.

β B A O B A O C

(3)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Memorize para a prova:

Mais definições importantes de ângulos: ângulos suplementares, ângulos complementares, ângulo reto, ângulo agudo, ângulo obtuso e triângulo.

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º

(cento e oitenta graus ou

π

radianos). Dizemos que um ângulo é o

suplemento do outro. Exemplo: β + θ = 180º

β e θ são ângulos suplementares.

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º (noventa graus ou

2 π

radianos). Dizemos que um ângulo é o complemento do outro.

Exemplo: β + θ = 90º

β e θ são ângulos complementares. β B A O θ β θ

Ângulo: é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, mas não contidas na mesma reta.

Ângulos consecutivos: são ângulos que possuem um dos lados comuns, ou seja, um ângulo está contido em outro.

Ângulos adjacentes: são ângulos que possuem um lado em comum, mas não têm pontos internos comuns, ou seja, um ângulo não está contido em outro.

(4)

Ângulo Reto é o ângulo cuja medida é igual a 90º (noventa graus ou

2 π

radianos).

Exemplo: β = 90º

β é um ângulo reto.

Ângulo Agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º (noventa graus ou

2 π

radianos).

Exemplo: β < 90º

β é um ângulo agudo.

Ângulo Obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º (noventa graus ou

2 π

radianos) e menor que 180º (cento e oitenta graus ou

π

radianos). Exemplo: 90º < β < 180º

β é um ângulo obtuso.

Triângulo é a reunião de três segmentos de retas não colineares. Exemplo: Triângulo ABC

β β β C B A θ β δ

(5)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Vértices: A, B e C

Lados: AB, BC e CA

Ângulos Internos: δ, β e θ

⇒

δ + β + θ = 180º

Esta relação é extremamente importante: as somas dos ângulos

internos do triângulo é igual a 180º (cento e oitenta graus ou

π

radianos).

Para encerrar a introdução, vamos ver mais dois conceitos: semelhança de triângulos e triângulo retângulo.

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos internos iguais (ou congruentes) e os lados homólogos proporcionais.

Nota: Dois lados são homólogos quando são opostos aos ângulos congruentes. Difícil? Então veja por meio de um exemplo:

Exemplo: Triângulos ABC e DEF

Os triângulos ABC e DEF serão semelhantes se: 1. Os ângulos internos são congruentes:

C

A

B

≡

F

D

E (o símbolo

≡

significa que os ângulos são congruentes); A

C

B

≡

D

F

E A

B

C = D

E

F C B A θ β δ F E D

ω

∂

µ

(6)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 2. Os lados homólogos são proporcionais:

AB

CB

AC

DE

=

FE

=

DF

A representação para triângulos semelhantes é o símbolo: ~.

Ou seja, no caso do exemplo:

∆

ABC

~

∆

DEF

, onde

∆

significa triângulo. Triângulo Retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto (= 90º ou

2 π

radianos).

Além disso, temos o conceito de hipotenusa e catetos (oposto e adjacente). A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, os catetos opostos são os lados opostos aos ângulos que não são retos e os catetos adjacentes correspondem a um dos lados dos ângulos que não são retos (o outro é hipotenusa). Vejamos um exemplo.

Exemplo: δ = 90º

Lado oposto ao ângulo reto δ: a = Hipotenusa

Considerando o ângulo β, teríamos:

b = Cateto oposto (lado oposto ao ângulo β).

c = Cateto adjacente (um dos lados adjacentes ao ângulo β – o outro lado adjacente é a hipotenusa)

Considerando o ângulo θ, teríamos:

b = Cateto adjacente (um dos lados adjacentes ao ângulo θ – o outro lado adjacente é a hipotenusa)

c = Cateto oposto (lado oposto ao ângulo θ).

c b a β θ δ

(7)

Ângulos Suplementares: a soma de suas medidas é 180º (cento e oitenta graus ou

π

radianos). Dizemos que um ângulo é o suplemento do outro. Ângulos Complementares: a soma de suas medidas é 90º (noventa graus ou

2 π

radianos). Dizemos que um ângulo é o complemento do outro. Ângulo Reto: é o ângulo cuja medida é igual a 90º (noventa graus ou

2 π

radianos).

2 π

radianos).

2 π

π

radianos). Triângulo é a reunião de três segmentos de retas não colineares.

Semelhança de Triângulos: dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos internos iguais (ou congruentes) e os lados homólogos proporcionais.

Triângulo Retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto (= 90º ou

2 π

radianos).

Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto, em um triângulo retângulo. Catetos Opostos: são os lados opostos aos ângulos que não são retos, em um triângulo retângulo.

Catetos Adjacentes: correspondem a um dos lados dos ângulos que não são retos (o outro é hipotenusa), em um triângulo retângulo.

(8)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 8.2. Razões Trigonométricas em um Triângulo Retângulo 8.2.1. Seno, Cosseno, Tangente e Cotangente

Vista a introdução, vamos começar a adentrar pela “aventura da

trigonometria”.

Para começar, temos que aprender o que é seno, o que é cosseno, o que é tangente e o que é cotangente.

O seno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pela hipotenusa e será representado por sen(x).

O cosseno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto adjacente pela hipotenusa e será representado por cos(x).

A tangente de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente e será representada por tg(x). A tangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do seno de x pelo cosseno de x.

A cotangente de um ângulo x é o inverso da tangente ou é o resultado da divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto e será representada por cotg(x). A cotangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do cosseno de x pelo seno de x.

Portanto, em fórmulas matemáticas, teríamos:

Considerando o ângulo β, teríamos:

cos

CatetoOposto

b

sen

Hipotenusa

a

CatetoAdjacente

c

Hipotenusa

a

β

=

c b a β θ δ

(9)

cos

cot

cos

cot

1

1 t

t

CatetoOposto

b

tg

CatetoAdjacente

c

b

sen

_a

b

tg

c

a

CatetoAdjacente

c

g

CatetoOposto

b

c

a

g

b

sen

b

a

cotg

tg

g

co g

β

_β

β

_β

⇒

β

_β

=

= =

=

= =

=

cos

CatetoOposto

c

sen

Hipotenusa

a

CatetoAdjacente

b

Hipotenusa

a

θ

=

cos

cot

cos

cot

1

1 t

t

CatetoOposto

c

tg

CatetoAdjacente

b

c

sen

_a

c

tg

b

a

CatetoAdjacente

b

g

CatetoOposto

c

b

a

g

c

sen

c

a

cotg

tg

g

co g

θ

_θ

θ

_θ

θ

_θ

⇒

θ

_θ

=

= =

=

= =

=

Repare ainda que, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º (cento e oitenta graus), temos que:

(10)

Além disso, como δ é um ângulo reto (90º), se substituirmos este valor na relação acima, teríamos:

β + δ + θ = 180º

⇒

β + 90º + θ = 180º

⇒

β + θ = 180º - 90º

⇒

β + θ = 90º

Portanto, como a soma de β e θ é igual a 90º (noventa graus), eles são ângulos complementares.

Repare agora, algumas relações importantes entre ângulos complementares: sen β = cos θ cos β = sen θ tg β = cotg θ cotg β = tg θ tg β x tg θ = 1 cotg β x cotg θ = 1

Beleza até aqui? Ressalto que estas relações de seno, cosseno, tangente e cotangente são a base da trigonometria e devem estar no seu “sangue” para a prova!

Memorize para a prova:

O seno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pela hipotenusa.

O cosseno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto adjacente pela hipotenusa.

A tangente de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente. A tangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do seno de x pelo cosseno de x.

A cotangente de um ângulo x é o inverso da tangente ou é o resultado da divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto. A cotangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do cosseno de x pelo seno de x.

Se o ângulo β e o ângulo θ são complementares (β + θ = 90º), então: sen β = cos θ cos β = sen θ tg β = cotg θ cotg β = tg θ tg β x tg θ = 1 cotg β x cotg θ = 1

(11)

Agora, dê uma relaxada e beba uma água, para que possamos continuar com os nossos conceitos.

Vamos retomar o estudo com mais conceitos IMPORTANTES para a prova. 8.2.2. Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras corresponde a seguinte relação: o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

a = hipotenusa b = cateto c = cateto

Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 (I)

Se dividirmos todos os termos da equação (I) por a2, teremos:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 a

b

c

a

b

c

a

=

+

⇒

⇒ =

+

⇒

2 2

1 b

c

a

 

⇒ =

_{ }

+

_{ }

 

(II) Já vimos que:

cos

b

sen

a

c

a

β

=

Substituindo o seno e o cosseno de β na equação (II), teríamos:

2 2 2 2

1

1 cos

b

c

a

sen

β

 

⇒ =

_{ }

+

_{ }

⇒

 

⇒ =

+

c b a β θ δ

(12)

Esta é outra relação importantíssima, também conhecida como relação fundamental: o quadrado do seno de um ângulo β qualquer somado ao quadrado do cosseno desse mesmo ângulo é igual a 1 (um).

sen2 β + cos2β = 1 Memorize para a prova:

Alguns triângulos retângulos clássicos que podem aparecer em prova: Lados: 3 (cateto), 4 (cateto) e 5 (hipotenusa)

Teorema de Pitágoras: 52 = 32 + 42

⇒

25 = 9 + 16

⇒

25 = 25 (ok)

Lados: 5 (cateto), 12 (cateto) e 13 (hipotenusa)

Teorema de Pitágoras: 132 = 52 + 122

⇒

169 = 25 + 144

⇒

169 = 169 (ok)

8.2.3. Outras Relações Importantes

8.2.3.1. Relação entre Cosseno e Tangente Considerando a relação anterior:

sen2 β + cos2β = 1 (III)

Se dividirmos (III) por cos2 β, teremos:

2 2

2 2 2

cos

1 cos

cos

sen

β

+

β

=

β

⇒

Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Relação fundamental: o quadrado do seno de um ângulo x qualquer somado ao quadrado do cosseno desse mesmo ângulo é igual a 1 (um).

sen2x + cos2 x = 1 3 4 5 5 12 13

(13)

⇒

2 2

1

1 cos

cos

sen

β









+ =

















Já sabemos que:

cos

sen

tg

β

=

⇒

2 2

1

1 cos

tg

β





+ = 







⇒

2 2

1

1 cos

tg

β

+ =

⇒

2 2

1 cos

1 tg

β

=

+

8.2.3.2. Relação entre Seno e Tangente Considerando a relação anterior:

sen2 β + cos2β = 1 (III)

Se dividirmos (III) por sen2 β, teremos:

2 2

2 2 2

cos

1 sen

sen

β

+

β

=

β

⇒

2 2

cos

1

1 sen

sen

β









+

_

_

=

_

_









Já sabemos que:

cos

sen

tg

β

=

⇒

1 cos

tg

sen

β

=

β

⇒

1

₂

1

₂

tg

β

sen

β

+

=

⇒

2 2 2

1

1 tg

tg

sen

β

+

=

⇒

2 2 2

1 tg

sen

tg

β

=

+

(14)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 8.2.3.3. Secante e Cossecante

Estas são duas relações pouco prováveis de aparecer em prova. Contudo, como o Sr. Seguro morreu de velho e o Sr. Prevenido está vivo até hoje, vamos conceituá-las.

A secante, representada por sec, é o inverso do cosseno e a cossecante, representada por cossec, é o inverso do seno.

1 sec

cos

1 cos sec

x

senx

=

8.3. Razões Trigonométricas Especiais

Neste item, apresentarei alguns valores importantes para a prova (podem ser necessários os valores do seno, cosseno, tangente e cotangente desses ângulos para resolver alguma questão):

Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º Seno 0 1 2 2 2 3 2 1 0 -1 0 Cosseno 1 ₃ 2 2 2 1 2 0 -1 0 1 Tangente 0 ₃ 3 1 3 ∞ 0 -∞ 0 Cotangente ∞ ₃ 1 3 3 0 -∞ 0 ∞ ∞ = infinito

Ou seja, se na questão aparecer o sen 30º, temos que saber que vale 1

2, e

assim por diante.

Relação entre Cosseno e Tangente: 2

2

1 cos

1 tg

β

=

+

Relação entre Seno e Tangente:

2 2 2

1 tg

sen

tg

β

=

+

(15)

Uma outra maneira é a questão fornecer o valor e termos que descobrir o ângulo. Nessa situação chamamos de arco. Por exemplo, se a questão deseja saber qual o ângulo cujo seno é igual a

1

2

, falaríamos da seguinte maneira:

Qual o arco seno de

1

2

? O arco seno de

1

2

é 30º (trinta graus).

Veja a tabela (partindo do valor para achar o ângulo):

Ângulo 0 1 2 2 2 3 2 1 Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º Ângulo ₃ 3 1 3 Arco Tangente 30º 45º 60º Arco Cotangente 60º 45º 30º Exemplos: Arco Seno 0 = 0º Arco Seno (

1

2

) = 30º Arco Cosseno (1) = 0º

De posse dos valores de seno, cosseno, tangente e cotangente dos diversos ângulos, também conseguimos definir os seus intervalos de valores. Vejamos: -1 ≤ seno x ≤ 1

⇒

o valor do seno pode variar entre -1 e 1.

-1 ≤ cosseno x ≤ 1

⇒

o valor do cosseno pode variar entre -1 e 1.

-∞ ≤ tangente x ≤ +∞

⇒

o valor da tangente pode variar entre -∞ e +∞. -∞ ≤ cotangente x ≤ +∞

⇒

o valor da cotangente pode variar entre -∞ e +∞.

(16)

8.4. Relações entre Graus e Radianos Vimos, no início da aula, que:

360º (360 graus) = 2

π

radianos 1º (1 grau) =

2

360 π

radianos

Vamos supor que você deseja saber qual é o valor em radianos correspondente a 30º (trinta graus). Basta fazer uma regra de três:

360º == 2

π

radianos

30º _{== Y radianos}

Multiplicando em cruz (lembra?): 360º x Y = 30º x 2

π

⇒

Y =

30

2

60

360

6

o o

x

π

=

Relações Trigonométricas Especiais:

Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º Seno 0 1 2 2 2 3 2 1 0 -1 0 Cosseno 1 ₃ 2 2 2 1 2 0 -1 0 1 Tangente 0 ₃ 3 1 3 ∞ 0 -∞ 0 Cotangente ∞ ₃ 1 ₃ 3 0 -∞ 0 ∞ ∞ = infinito Ângulo 0 1 2 2 2 3 2 1 Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º Intervalos:

-1 ≤ seno x ≤ 1

⇒

o valor da cotangente pode variar entre -∞ e +∞.

(17)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Portanto, pode-se deduzir (fazendo os cálculos) que:

180º

90º

2 60º

3 30º

6 π

π

=

e assim por diante.

8.5. Ciclo Trigonométrico

Também é possível utilizar o ciclo trigonométrico para calcular as relações de seno, cosseno, tangente e cotangente. Vejamos.

OA

⇒

eixo dos cossenos (sentido positivo

⇒

O -> A) OB

⇒

eixo dos senos (sentido positivo

⇒

O -> B)

C

⇒

eixo das tangentes (sentido positivo

⇒

o mesmo do eixo dos senos)

D

⇒

eixo das cotangentes (sentido positivo

⇒

o mesmo do eixo dos

cossenos) C π/2 π 3π/2 P P1 O P2 A B D

Relação entre graus e radianos: 360º (360 graus) = 2

π

radianos Para calcular dos demais ângulos (fazer uma regra de três): 360º == 2

π

radianos

Xº _{== Y radianos}

(18)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Cosseno P = OP1

Seno P = OP2

Se definirmos sen α, cos α, tg α e cotg α no ciclo trigonométrico: α está no intervalo de 0 a 2π radianos, ou seja, entre 0º e 360º. Ou seja, como o próprio nome sugere, é um ciclo (se repete). Repare:

n é um número inteiro. 0 = 2π (360º) = 4π (720º) = 6π (1.080º) = 2nπ π/2 (90º) = 2π + π/2 (450º) = 4π + π/2 (810º) = 6π + π/2 (1.170º) = = 2nπ + π/2 π (180º) = 3π (540º) = 5π (900º) = 2nπ + π 3π/2 (270º) = 2π + 3π/2 (630º) = 4π + 3π/2 (990º) = 6π + 3π/2 (1.350º) = = 2nπ + 3π/2

e assim por diante.

Também precisamos ter atenção aos quadrantes do ciclo trigonométrico, pois eles definirão se o seno, cosseno, tangente ou cotangente serão positivos ou negativos. 1Q = Primeiro Quadrante 2Q = Segundo Quadrante 3Q = Terceiro Quadrante 4Q = Quarto Quadrante Primeiro Quadrante: de 0 a π/2 Segundo Quadrante: de π/2 a π Terceiro Quadrante: de π a 3π/2 Quarto Quadrante: de 3π/2 a 2π

Quadrante Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x

1 positivo positivo positiva positiva

2 positivo negativo negativa negativa

3 negativo negativo positiva positiva

4 negativo positivo negativa negativa

1 Q 2 Q

(19)

Novamente, a tabela dos valores de seno e cosseno, agora mais completa. Repare que não é preciso memorizar os valores de tangente e cotangente, pois, nesses casos, você pode utilizar as fórmulas abaixo:

cos

cot

senx

tgx

x

gx

senx

=

Tabela de valores: X Seno x Cosseno X 0 = 0º 0 1 π/6 = 30º 1 2 3 2 π/4 = 45º ₂ 2 2 2 ππ/3 = 60º 3 2 1 2 π/2 = 90º 1 0 2π/3 = 120º ₃ 2 1 2 − 3π/4 = 135º ₂ 2 2 2 − 5ππ/6 = 150º 1 2 3 2 − ππ = 180º 0 -1 7π/6 = 210º 1 2 − 3 2 − 5π/4 = 225º ₂ 2 − 2 2 − 4π/3 = 240º ₃ 2 − 1 2 − 3π/2 = 270º -1 0 5π/3 = 300º ₃ 2 − 1 2 7π/4 = 315º ₂ 2 − 2 2 11π/6 = 330º 1 2 − 3 2 2π = 360º 0 1

(20)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Exemplos:

senα = 0

⇒

α = 0, π, 2π, 3π, ... = nπ, n inteiro qualquer

senα = 1

⇒

α = π/2, 2π + π/2, ... = 2nπ + π/2, n inteiro qualquer senα = -1

⇒

α = 3π/2, 2π+ 3π/2, ... = 2nπ+ 3π/2, n inteiro qualquer cos α = 0

⇒

α = π/2, 3π/2, 5π/2,... = nπ + π/2, n inteiro qualquer cos α = 1

⇒

α = 0, 2π, 4π, 6π, ... = 2nπ, n inteiro qualquer

cos α = -1

⇒

α = π, 3π, 5π, ... = 2nπ + π, n inteiro qualquer Em graus, teríamos:

senα = 0

⇒

α = 0, 180º, 360º, 540º, ... = 180º.n, n inteiro qualquer senα = 1

⇒

α = 90º, 360º + 90º, ... = 360º.n + 90º, n inteiro qualquer senα = -1

⇒

α = 270º, 360º + 270º, ... = 360º.n + 270º, n inteiro qualquer cos α = 0

⇒

α = 90º, 270º, 450º,... = 180º.n + 90º, n inteiro qualquer cos α = 1

⇒

α = 0, 360º, 720º, 1.080º, ... = 360º.n, n inteiro qualquer cos α = -1

⇒

α = 180º, 540º, 900º, ... = 360º.n + 180º, n inteiro qualquer Repare que o importante é conhecer os valores de seno e de cosseno até 360º, pois, como é um ciclo trigonomêtrico, os ângulos se repetem a partir de 360º. Por exemplo, no caso de 0º, temos:

(21)

Ciclo Trigonométrico - Quadrantes: Primeiro Quadrante: de 0 a π/2 Segundo Quadrante: de π/2 a π

Terceiro Quadrante: de π a 3π/2 Quarto Quadrante: de 3π/2 a 2π

1 positivo Positivo positiva positiva

2 positivo Negativo negativa negativa

3 negativo Negativo positiva positiva

4 negativo Positivo negativa negativa

Valores: X Seno x Cosseno X 0 = 0º 0 1 π/6 = 30º 1 2 3 2 π/4 = 45º ₂ 2 2 2 ππ/3 = 60º ₃ 2 1 2 ππ/2 = 90º 1 0 2ππ/3 = 120º ₃ 2 1 2 − 3ππ/4 = 135º ₂ 2 2 2 − 5ππ/6 = 150º 1 2 3 2 − π = 180º 0 -1 7ππ/6 = 210º 1 2 − 3 2 − 5ππ/4 = 225º ₂ 2 − 2 2 − 4ππ/3 = 240º ₃ 2 − 1 2 − 3ππ/2 = 270º -1 0 5ππ/3 = 300º ₃ 2 − 1 2 7ππ/4 = 315º ₂ 2 − 2 2 11ππ/6 = 330º 1 2 − 3 2 2ππππ= 360º 0 1

(22)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 8.6. Transformações

Neste item, veremos as transformações, que são cobradas com muita frequência em provas de concursos.

8.6.1. Cosseno da Soma

Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b Como ficaria o cos 2a?

cos 2a = cos (a + a) = cos a . cos a – sen a . sen a = cos2 a – sen2 a (I) Como sen2 a + cos2 a = 1

⇒

sen2 a = 1 – cos2 a (II)

Substituindo (II) em (I):

cos 2a = cos2 a – (1 – cos2 a) = 2 . cos2 a – 1 ou

Como sen2 a + cos2 a = 1 cos 2a = cos2 a = 1 – sen2 a (III) Substituindo (III) em (I):

cos 2a = 1 – sen2 a – sen2 a = 1 – 2 . sen2a 8.6.2. Cosseno da Diferença

Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b 8.6.3. Seno da Soma

Seno da soma: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a Como ficaria o sen 2a?

sen 2a = sen (a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a = 2 . sen a . cos a 8.6.4. Seno da Diferença

Seno da diferença: sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a

Curiosidade: A fórmula do seno da soma me faz lembrar um professor meu do antigo “segundo grau” (é, estou ficando velho), que dizia (para memorizar a fórmula):

“Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá, seno a cosseno b, seno b cosseno a”. E aí, sentiu a sonoridade? Risos.

(23)

Estes são mais difíceis de aparecer em prova, mas, por via das dúvidas, vamos estudar.

8.6.5. Tangente da Soma e da Diferença

Tangente da soma: tg (a + b) =

1 .

tga tgb

+

−

Como ficaria a tg 2a? tg 2a = tg (a + a) =

1 .

tga tga

+

−

= 2

2.

1 tga

tg a

−

Tangente da diferença: tg (a - b) =

1 .

tga tgb

−

+

8.6.6. Cotangente da Soma e da Diferença

Cotangente da soma: cotg (a + b) =

.cot

1 cot

cot

cotga

gb

ga

gb

−

+

Cotangente da diferença: cotg (a - b) =

.cot

1 cot

cot

cotga

gb

ga

gb

+

−

Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b cos 2a = 2 . cos2 a – 1 = 1 – 2 . sen2 a

Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b Seno da soma: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

sen 2a = 2 . sen a . cos a

1 .

tga tgb

+

−

tg 2a = 2

2.

1 tga

tg a

−

1 .

tga tgb

−

+

(24)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 8.7. Lei dos Cossenos

De acordo com a Lei dos Cossenos, qualquer que seja o triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o resultado do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por esses lados. Difícil? Vejamos na figura:

a2= b2 + c2 – 2bc.cos

A

b2= a2 + c2 – 2ac.cos

B

c2= a2 + b2 – 2ac.cos

C

Memorize para a prova: Lei dos Cossenos:

De acordo com a Lei dos Cossenos, qualquer que seja o triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o resultado do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por esses lados. a2= b2+ c2 – 2bc.cos

A

b2= a2+ c2 – 2ac.cos

B

c2= a2+ b2 – 2ac.cos

C

A B C a c b

C

B

A

(25)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 8.8. Memorize para a prova

Ângulo: é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, mas não contidas na mesma reta.

Semi-retas: OA e OB

Lados do ângulo: OA e OB. Vértice do ângulo: O

Ângulo: Ô ou AÔB ou BÔA ou β

Unidade de Medida: º (graus) ou radianos (rd)

Ângulos consecutivos: são ângulos que possuem um dos lados comuns, ou seja, um ângulo está contido em outro.

Ângulos adjacentes: são ângulos que possuem um lado em comum, mas não têm pontos internos comuns, ou seja, um ângulo não está contido em outro.

Os ângulos CÔA e CÔB são consecutivos. Os ângulos CÔA e BÔA são consecutivos. Os ângulos CÔB e BÔA são adjacentes.

Ângulos Suplementares: a soma de suas medidas é 180º (cento e oitenta graus ou

π

radianos). Dizemos que um ângulo é o suplemento do outro.

Ângulos Complementares: a soma de suas medidas é 90º (noventa graus ou

2 π

radianos). Dizemos que um ângulo é o complemento do outro.

Ângulo Reto: é o ângulo cuja medida é igual a 90º (noventa graus ou

2 π

radianos).

2 π

radianos). β B O B A O C

(26)

2 π

π

radianos). Triângulo é a reunião de três segmentos de retas não colineares.

Semelhança de Triângulos: dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos internos iguais (ou congruentes) e os lados homólogos proporcionais.

Triângulo Retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto (= 90º ou

2 π

radianos).

Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto, em um triângulo retângulo.

Catetos Opostos: são os lados opostos aos ângulos que não são retos, em um triângulo retângulo.

Catetos Adjacentes: correspondem a um dos lados dos ângulos que não são retos (o outro é hipotenusa), em um triângulo retângulo.

Seno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pela hipotenusa e será representado por sen(x).

Cosseno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto adjacente pela hipotenusa e será representado por cos(x).

Tangente de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente e será representada por tg(x). A tangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do seno de x pelo cosseno de x.

Cotangente de um ângulo x é o inverso da tangente ou é o resultado da divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto e será representada por cotg(x). A cotangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do cosseno de x pelo seno de x.

c b a β θ δ

(27)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Considerando o ângulo β, teríamos:

cos

CatetoOposto

b

sen

Hipotenusa

a

CatetoAdjacente

c

Hipotenusa

a

β

=

cos

cot

cos

cot

1

1 t

t

CatetoOposto

b

tg

CatetoAdjacente

c

b

sen

_a

b

tg

c

a

CatetoAdjacente

c

g

CatetoOposto

b

c

a

g

b

sen

b

a

cotg

tg

g

co g

β

_β

β

_β

β

⇒

β

=

= =

=

= =

=

cos

CatetoOposto

c

sen

Hipotenusa

a

CatetoAdjacente

b

Hipotenusa

a

θ

=

cos

cot

cos

cot

1

1 t

t

CatetoOposto

c

tg

CatetoAdjacente

b

c

sen

_a

c

tg

b

a

CatetoAdjacente

b

g

CatetoOposto

c

b

a

g

c

sen

c

a

cotg

tg

g

co g

θ

_θ

θ

_θ

θ

_θ

⇒

θ

_θ

=

= =

=

= =

=

(28)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Relações importantes entre ângulos complementares:

sen β = cos θ cos β = sen θ tg β = cotg θ cotg β = tg θ tg β x tg θ = 1 cotg β x cotg θ = 1

Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 (I)

Relação fundamental: o quadrado do seno de um ângulo x qualquer somado ao quadrado do cosseno desse mesmo ângulo é igual a 1 (um).

sen2 x + cos2x = 1

Relação entre Cosseno e Tangente: 2

2

1 cos

1 tg

β

=

+

Relação entre Seno e Tangente:

2 2 2

1 tg

sen

tg

β

=

+

Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º Seno 0 1 2 2 2 3 2 1 0 -1 0 Cosseno 1 ₃ 2 2 2 1 2 0 -1 0 1 Tangente 0 ₃ 3 1 3 ∞ 0 -∞ 0 Cotangente ∞ ₃ 1 3 3 0 -∞ 0 ∞ ∞ = infinito Ângulo 0 1 2 2 2 3 2 1 Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º Ângulo ₃ 3 1 3 Arco Tangente 30º 45º 60º Arco Cotangente 60º 45º 30º

(29)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Intervalo:

-1 ≤ seno x ≤ 1

⇒

o valor da cotangente pode variar entre -∞ e +∞. Relação entre graus e radianos: 360º (360 graus) = 2

π

radianos

Para calcular dos demais ângulos (fazer uma regra de três): 360º == 2

π

radianos

Xº _{== Y radianos}

Multiplicando em cruz: 360º x Y = Xº x 2

π

Ciclo Trigonométrico

OA

⇒

eixo dos cossenos (sentido positivo

⇒

O -> A) OB

⇒

eixo dos senos (sentido positivo

⇒

O -> B)

C

⇒

eixo das tangentes (sentido positivo

⇒

o mesmo do eixo dos senos)

D

⇒

eixo das cotangentes (sentido positivo

⇒

o mesmo do eixo dos

cossenos) Cosseno P = OP1 Seno P = OP2 C π/2 π 3π/2 P P1 O P2 A B D 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q

(30)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1Q = Primeiro Quadrante 2Q = Segundo Quadrante 3Q = Terceiro Quadrante 4Q = Quarto Quadrante Primeiro Quadrante: de 0 a π/2 Segundo Quadrante: de π/2 a π Terceiro Quadrante: de π a 3π/2 Quarto Quadrante: de 3π/2 a 2π

4 negativo positivo negativa negativa

Tabela de valores: X Seno x Cosseno X 0 = 0º 0 1 π/6 = 30º 1 2 3 2 ππ/4 = 45º ₂ 2 2 2 π/3 = 60º ₃ 2 1 2 π/2 = 90º 1 0 2π/3 = 120º ₃ 2 1 2 − 3π/4 = 135º ₂ 2 2 2 − 5π/6 = 150º 1 2 3 2 − π = 180º 0 -1 7π/6 = 210º 1 2 − 3 2 − 5ππ/4 = 225º ₂ 2 − 2 2 − 4π/3 = 240º ₃ 2 − 1 2 − 3π/2 = 270º -1 0 5π/3 = 300º ₃ 2 − 1 2 7ππ/4 = 315º ₂ 2 − 2 2

(31)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 11π/6 = 330º 1 2 − 3 2 2π = 360º 0 1 Exemplos:

senα = 0

⇒

α = 0, π, 2π, 3π, ... = nπ, n inteiro qualquer

senα = 1

⇒

α = π/2, 2π + π/2, ... = 2nπ + π/2, n inteiro qualquer senα = -1

⇒

α = 3π/2, 2π+ 3π/2, ... = 2nπ+ 3π/2, n inteiro qualquer cos α = 0

⇒

α = π/2, 3π/2, 5π/2,... = nπ + π/2, n inteiro qualquer cos α = 1

⇒

α = 0, 2π, 4π, 6π, ... = 2nπ, n inteiro qualquer

cos α = -1

⇒

α = π, 3π, 5π, ... = 2nπ + π, n inteiro qualquer Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b cos 2a = 2 . cos2a – 1 = 1 – 2 . sen2 a

Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b Seno da soma: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

sen 2a = 2 . sen a . cos a

1 .

tga tgb

+

−

tg 2a = tg (a + a) =

1 .

tga tga

+

−

= 2

2.

1 tga

tg a

−

1 .

tga tgb

−

+

Lei dos Cossenos:

De acordo com a Lei dos Cossenos, qualquer que seja o triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o resultado do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por esses lados.

a2= b2 + c2 – 2bc.cos

A

b2= a2 + c2 – 2ac.cos

B

(32)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 8.9. Exercícios de Fixação

1.(AFRFB-2009-Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900 km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento? a) 0,333 km b) 0,625 km c) 0,5 km d) 1,3 km e) 1 km

2.(ATRFB-2009-Esaf) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90 graus uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do mesmo cruzamento? a) 5 km. b) 4 km. c) 4

2

km. d) 3 km. e) 5

2

km.

3.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Sabendo que

2 cos

2 x

=

arc

e que 1

2 y

=

arcsen

, então o valor da expressão cos(x - y) é igual a:

6

2 )

4

6

2 )

4

2 )

2

2 ) 3

2 ) 2

a

b

c

d

e

+

−

+

(33)

4.(Auditor-Fiscal do Trabalho-MTE-2006-Esaf) Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: a) -4/3

b) 4/3 c) 5/3 d) -5/3 e) 1/7

5.(Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) O sistema dado pelas equações

.

.cos

cos 2

.cos

.

2 x sena y

a

x

a

y sena

sen a

−

= −

+

=

possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a

a) 1 b) 2 c) 4 d) sen

π

e) cos

π

6.(Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) A expressão dada por y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é: a) -4 _{≤ y ≤ 8} b) 0 < y _{≤ 8} c) -_{∞ ≤ y ≤ ∞} d) 0 _{≤ y ≤ 4} e) 0 _{≤ y ≤ 8}

7.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Sabendo que x = 3 sen t e y = 4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por:

a) 16 y2 - 9 x2 = 144 b) 16 x2 - 9 y2 = 144 c) 16 y2 + 9 x2 = 144 d) 16 x2+ 9 y2 = 144 e) 9 y2 - 16 x2 = 144

(34)

8.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de duas funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) = sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a:

a) f (-1) b) f (2) c) g (0) d) g (2) e) f (1)

9.(Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A condição

necessária e suficiente para a identidade sen 2 α = 2 sen α ser verdadeira é que α seja, em radianos, igual a:

a) π/3 b) π/2

c) n π sendo n um número inteiro qualquer d) n π/2, sendo n um número inteiro qualquer e) n π/3 ,sendo n um número inteiro qualquer

10.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) A expressão dada por y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é a) -1 ≤ y ≤ 7 b) -7 < y < 1 c) -7 < y ≤ -1 d) 1 ≤ y < 7 e) 1 ≤ y ≤ 7

11.(AFTN-1998-Esaf) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é:

a) 2 b) 0 c) -1 d) -2 e) 1

(35)

12.(AFTN-1998-Esaf) Sejam três retas: a reta R1 que é a bissetriz do

primeiro quadrante; a reta R2 que é a bissetriz do quarto quadrante e a reta R3 que é dada pela equação x = 1. A área, em cm2, do triângulo cujos lados coincidem com essas três retas é:

a) 1,5 b) 2,5 c) 0,5 d) 2 e) 1

13.(Analista de Controle Interno-Secretaria de Administração-PE-FGV-2009) Se cos x = – 1/2, então cos 6x é igual a:

(A) 0. (B) 1. (C) 1/2. (D) 3/2 (E) –1.

14.(Inspetor-CVM-2008-NCE) Se x é um ângulo do quarto quadrante e seno x = -3/5, então o valor da cotangente de x é:

(A) 3/4 (B) -3/4 (C) 4/3 (D) 4/5 (E) -4/3

15.(Vunesp-SP) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções C(x) = 2 – cos (xπ/6) e V(x) = 3 . (2)1/2. sen xπ/12, 0 ≤ x ≤ 6. O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é:

a) 500 b) 750 c) 1.000 d) 2.000 e) 3.000

(36)

16.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-2009-FCC) Entre 110° e 170°, o ângulo que possui seno igual ao cosseno de 30° é

(A) 120° (B) 130° (C) 145° (D) 150° (E) 160°

17.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-2009-FCC) Uma torre vertical será fixada ao solo conforme indica a figura.

Adotando tg 27° = 0,5, conclui-se que a medida do ângulo formado entre os dois cabos de menor comprimento, ambos do mesmo lado da torre, indicada na figura por x, é igual a

(A) 18° (B) 21° (C) 23° (D) 26° (E) 29°

18.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP-2010-FCC) Qualquer que seja o número real x, a expressão sen4x − cos4x é equivalente a (A) 2cos2 x − 1 (B) 1 − sen2x (C) cos2x (D) −2cos2 x + 1 (E) sen2x

(37)

19.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP-2010-FCC) Tomando como base as informações indicadas nas três figuras abaixo, é correto afirmar que a área sombreada na figura da direita, em cm2, é

(A) −36(cos2

α

− cos

α

− 1) (B) 36(2cos2

α

− cos

α

− 1) (C) −36(2cos2

α

− cos

α

− 1) (D) 72(2cos2

α

− cos

α

− 1) (E) −72(2cos2

α

− cos

α

− 1)

20.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-MA-2005-FCC) O número de arcos no intervalo

11 0,

3 π













que são soluções para a equação – 2 sen

2_{x – cosx + 1 = 0 é igual a} (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (E) 3

(38)

21.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-MA-2005-FCC) A figura, fora de escala, representa um veículo subindo uma rua inclinada de um ângulo

β

em relação à horizontal.

O comprimento do veículo, em metros, é igual a (A) 3,6

(B) 4,0 (C) 4,2 (D) 4,5 (E) 5,0

22.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-MA-2005-FCC) O número de vezes que os gráficos das funções y = 3 sen

6 x

e y = - 3 cos

3 x

se cruzam no intervalo [0, 6

π

] é igual a (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 (E) 0

(39)

23.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão-MA-2005-FCC) A expressão:

onde k é um número inteiro qualquer, é idêntica a: (A) - senx

(B) - cosx (C) cosx (D) senx (E) 1

(40)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 8.10. Gabarito 1. B 2. A 3. A 4. A 5. A 6. E 7. D 8. E 9. C 10. E 11. D 12. E 13. B 14. E 15. C 16. A 17. C 18. D 19. E 20. B 21. B 22. D 23. A

(41)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 8.11. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos

1.(AFRFB-2009-Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900 km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento? a) 0,333 km b) 0,625 km c) 0,5 km d) 1,3 km e) 1 km Resolução

Esta é uma questão de aplicação prática do triângulo retângulo e suas relações. A questão estabelece que a trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta. Portanto, inicialmente, vamos determinar quanto que o projétil percorreu em 5 segundos:

Velocidade Média = 900 km/h, ou seja, o projétil é capaz de percorrer 900 km em 1 hora.

Fazendo uma regra de três:

900 km ===== 1 hora = 60 minutos = 60 x 60 = 3.600 segundos

Distância ===== 5 segundos Multiplicando em cruz: Distância x 3.600 = 900 x 5

⇒

Distância =

900 5

3.600 ×

= 1,25 km

Contudo, a trajetória do projétil forma um ângulo de 30º em relação ao plano horizontal. Portanto, temos o triângulo retângulo abaixo, onde a hipotenusa é distância percorrida e a altura do projétil após 5 segundos será um dos catetos:

A questão pede a altura (h) que o projétil estará a 5 segundos do lançamento. 30º

1,25

(42)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Das relações trigonométricas, temos:

Seno 30º =

cateto oposto

_

hipotenusa

=

1, 25

h

(I)

Também sabemos, da teoria, que:

Seno 30º =

1

2

(II) Portanto, temos:

1, 25

h

=

1

2 ⇒

h =

1, 25

2 ⇒

h = 0,625 km GABARITO: B

2.(ATRFB-2009-Esaf) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90 graus uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do mesmo cruzamento? a) 5 km. b) 4 km. c) 4

2

km. d) 3 km. e) 5

2

km. Resolução

Questão de triângulo retângulo clássico: 3, 4 e 5.

Teorema de Pitágoras: d2 = 32 + 42

⇒

d2 = 9 + 16 = 25

⇒

d = 5 km GABARITO: A

3.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Sabendo que

2 cos

2 x

=

arc

e que 1

2 y

=

arcsen

, então o valor da expressão cos(x - y) é igual a:

3 km

4 km d

(43)

6

2 )

4

6

2 )

4

2 )

2

2 ) 3

2 ) 2

a

b

c

d

e

+

−

+

Resolução

Vamos relembrar algumas relações:

Partindo do valor para achar o ângulo (a questão não irá informar

estes valores

⇒

temos que saber para a prova):

Partindo do valor para achar o ângulo:

Ângulo 0 1 2 2 2 3 2 1 Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º

2 cos

45

2

o

x arc

=

=> =

x

1

30

2

o

y

=

arcsen

=> =

y

cos (x – y) = cos (45º - 30º)

⇒

aqui, temos que utilizar a equação de

diferença de ângulos para o cosseno, tendo em vista que não conhecemos o valor de cos 15º, que é 45º - 30º.

Relembrando:

Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º =>

2

3 2 1

2 3

2

6

2 cos(45

30 )

2

4

o o

×

+

⇒

−

=

×

+

× =

+

=

GABARITO: A

(44)

4.(Auditor-Fiscal do Trabalho-MTE-2006-Esaf) Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: a) -4/3 b) 4/3 c) 5/3 d) -5/3 e) 1/7 Resolução

3 cos x + sen x = -1 (I)

A questão só fornece uma equação, mas temos que conhecer a equação oriunda do Teorema de Pitágoras (equação fundamental):

sen2 x + cos2x = 1 (II) Portanto, temos um sistema: 3 cos x + sen x = -1 (I) sen2 x + cos2 x = 1 (II)

De (I), temos: sen x = -1 – 3 cos x (III) Substituindo (III) em (II):

(-1 – 3 cos x)2 + cos2 x = 1

⇒

1 + 6 cos x + 9 cos2 x + cos2 x = 1

⇒

10 cos2 x + 6 cos x = 0

⇒

cos x . (10 cos x + 6) = 0

Nota: Lembra? (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(-1 – 3 cos x)2=(-1)2+ 2.(-1).(-3 cos x) + (-3cos x)2 = 1 + 6cos x + 9cos2 x Soluções da equação: cos x . (10 cos x + 6) = 0

cos x = 0

10 cos x + 6 = 0

⇒

cos x = - 6/10 = -3/5

Nota: Se A x B = 0, ou A = 0 ou B = 0 ou A e B = 0. Quando cos x = 0

⇒

sen x = -1 – 3 cos x = -1 – 3 x 0 =-1

Quando cos x = -3/5

⇒

sen x = -1 – 3 . (-3/5) = -1 + 9/5 = 4/5 Solução 1: cos x = 0; sen x = -1

⇒

tg x = sen x/cos x = -1/0 = -∞

Solução 2: cos x = -3/5; sen x = 4/5

⇒

tg x = sen x/cos x = (4/5)/(-3/5) = -4/3

(45)

5.(Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) O sistema dado pelas equações

.

.cos

cos 2

.cos

.

2 x sena y

a

x

a

y sena

sen a

−

= −

+

=

possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a

a) 1 b) 2 c) 4 d) sen

π

e) cos

π

Resolução

Dica: em questões deste tipo, tente sempre obter os quadrados dos senos e cossenos para tentar substituir pela equação abaixo:

sen2 x + cos2x = 1

x.sen a – y.cos a = - cos 2a (I)

Elevando (I) ao quadrado: (x.sen a – y.cos a)2 = (- cos 2a)2

⇒

x2. sen2 a – 2xy sen a.cos a + y2.cos2 a = cos2 2a (I´) x.cos a + y.sen a = sen 2a

Elevando (II) ao quadrado: (x.cos a + y.sen a)2 = (sen 2a)2

⇒

x2. cos2 a + 2xy sen a.cos a + y2.sen2 a = sen2 2a (II´) Somando (I´) com (II´):

⇒

x2. sen2 a – 2xy sen a.cos a + y2.cos2 a + x2. cos2 a + 2xy sen a.cos a + + y2.sen2 a = cos2 2a + sen2 2a

⇒

Repare que “– 2xy sen a.cos a” vai compensar com “+ 2xy sen a.cos a”

⇒

x2

.(

sen2 a + cos2 a) + y2

.(

sen2 a + cos2 a) = cos2 2a + sen2 2a

Lembrando da equação: sen2 _{x + cos}2 _{x = 1 (esta fórmula tem que estar “no} sangue”. Você precisa comer a fórmula com “arroz e feijão”), temos:

sen2 a + cos2 a = 1 cos2 2a + sen2 2a = 1

Logo, a fórmula fica: x2 + y2= 1 (que é a resposta da questão: soma

dos quadrados das raízes) GABARITO: A

(46)

6.(Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) A expressão dada por y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é: a) -4 _{≤ y ≤ 8} b) 0 < y _{≤ 8} c) -_{∞ ≤ y ≤ ∞} d) 0 _{≤ y ≤ 4} e) 0 _{≤ y ≤ 8} Resolução y = 4 (cosseno x) + 4

Sabemos que –1 ≤ cosseno x ≤ 1

Portanto, calculando y para os limites do intervalo do cosseno, temos: cosseno x = -1

⇒

y = 4 x (-1) + 4 = 0

cosseno x = 1

⇒

y = 4 x 1 + 4 = 8 Logo, 0 ≤ y ≤ 8

GABARITO: E

7.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Sabendo que x = 3 sen t e y = 4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por:

a) 16 y2 - 9 x2 = 144 b) 16 x2 - 9 y2 = 144 c) 16 y2 + 9 x2 = 144 d) 16 x2+ 9 y2 = 144 e) 9 y2 - 16 x2 = 144 Resolução

Observe que, nesta questão, novamente, temos que tentar obter: sen2 x + cos2x = 1

x = 3 sen t (I) y = 4 cos t (II)

Multiplicando (I) por 4: 4x = 12 sen t (I´) Multiplicando (II) por 3: 3y = 12 cos t (II´)

Elevando (I´) ao quadrado: (4x)2 = (12 sen t)2

⇒

16x2 = 144 sen2 t (I´´) Elevando (II´) ao quadrado: (3y)2 = (12 cos t)2

⇒

9y2 = 144 cos2 t (II´´)

(47)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Somando (I´´) com (II´´):

16x2 + 9y2 = 144 sen2 t + 144 cos2 t = 144 . (sen2 t + cos2 t) Como: sen2 t + cos2 t = 1

⇒

16x2 + 9y2 = 144

GABARITO: D

8.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de duas funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) = sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a:

a) f (-1) b) f (2) c) g (0) d) g (2) e) f (1) Resolução Temos que: (g o f) (x) = g[f(x)] f(x) = sen2 (x -1) g(x) = x – 1

Cuidado! Repare que a questão explica a função (g o f) (x) = g[f(x)], mas pede a função (f o g) (inverteu o f com o g).

(f o g) (2) = f[g(2)] g(2) = 2 – 1 = 1

f[g(2)] = sen2 (g(2) – 1) = sen2 (1 – 1) = sen20 = 0

Como f[g(2)] = f(1), pois g(2) = 1, temos: (f o g) (2) = f(1) GABARITO: E

9.(Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A condição

necessária e suficiente para a identidade sen 2 αα = 2 sen αα ser verdadeira é que α seja, em radianos, igual a:

a) π/3 b) π/2

c) n π sendo n um número inteiro qualquer d) n π/2, sendo n um número inteiro qualquer e) n π/3 ,sendo n um número inteiro qualquer

(48)

Resolução

Relembrando:

sen (a + a) = sen 2a = sen a . cos a + sen a . cos a = 2 . sen a . cos a sen 2 α = 2 sen α

⇒

2 sen α.cos α - 2 sen α = 0

⇒

2senα .(cos α - 1) = 0 Logo, temos duas possibilidades:

2senα = 0

⇒

senα = 0 => α = 0, π, 2π, 3π, ... = nπ, n inteiro qualquer ou

cos α - 1 = 0

⇒

cos α = 1 => α = 0, 2π, 4π, 6π, ... = 2nπ, n inteiro qualquer Logo, a solução, considerando as duas possibilidades é: nππ sendo n um número inteiro qualquer.

GABARITO: C

10.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) A expressão dada por y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é a) -1 ≤ y ≤ 7 b) -7 < y < 1 c) -7 < y ≤ -1 d) 1 ≤ y < 7 e) 1 ≤ y ≤ 7 Resolução y = 3 sen x + 4

Sabemos que –1 ≤ seno x ≤ 1

Portanto, calculando y para os limites do intervalo do seno, temos: seno x = -1

⇒

y = 3 x (-1) + 4 = 1

seno x = 1

⇒

y = 3 x 1 + 4 = 7 Logo, 1 ≤ y ≤ 7

(49)

11.(AFTN-1998-Esaf) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é:

a) 2 b) 0 c) -1 d) -2 e) 1 Resolução

(cos x + sen x)2 + y sen x cos x - 1 = 0

⇒

cos2x + 2.sen x.cos x + sen2x + y.sen x.cos x – 1 = 0

⇒

sen2x + cos2x + 2.sen x.cos x + y.sen x.cos x – 1 = 0

⇒

sen2x + cos2x + (2 + y) sen x.cos x – 1 = 0 (I)

Sabemos que (temos que saber): sen2 x + cos2 x = 1 (II) Substituindo (II) em (I): 1 + (2 + y) sen x.cos x – 1 = 0

⇒

(2 + y).sen x.cos x = 0

Para que a identidade seja satisfeita, pelo menos um dos termos deve ser zero (raízes da equação).

Logo, temos:

I) 2 + y = 0

⇒

y = -2;

II) sen x = 0

⇒

x = 0º. Conseqüentemente, cos x = cos 0º = 1 ou

III) cos x = 0

⇒

x = 90º. Conseqüentemente, sen x = sen 90º = 1 GABARITO: D

12.(AFTN-1998-Esaf) Sejam três retas: a reta R1 que é a bissetriz do

primeiro quadrante; a reta R2 que é a bissetriz do quarto quadrante e a reta R3 que é dada pela equação x = 1. A área, em cm2, do triângulo cujos lados coincidem com essas três retas é:

a) 1,5 b) 2,5 c) 0,5 d) 2 e) 1

(50)

Resolução

Bissetriz

⇒

divide o ângulo em dois ângulos iguais. Ciclo Trigonométrico

⇒

possui raio igual 1.

Exemplo: Cosseno 0º = 1

1Q = Primeiro Quadrante 2Q = Segundo Quadrante 3Q = Terceiro Quadrante 4Q = Quarto Quadrante

A questão pede área do triângulo formado pelas retas acima (Triângulo ABC). Repare que a distância AH é igual a 1 (raio do ciclo trigonométrico). Com isso, conseguimos obter os outros lados do triângulo, pois:

Lembrando a tabela: Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º Seno 0 1 2 2 2 3 2 1 0 -1 0 Cosseno 1 ₃ 2 2 2 1 2 0 -1 0 1 Tangente 0 ₃ 3 1 3 ∞ 0 -∞ 0 Cotangente ∞ ₃ 1 3 3 0 -∞ 0 ∞ ∞ = infinito 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q R1

⇒

divide o primeiro quadrante (90º) em dois ângulos de 45º R4

⇒

divide o quarto quadrante (90º) em dois ângulos de 45º X Y x = 1 (tangente ao ciclo trigonométrico) 45º 45º B C A H

(51)

Considerando o triângulo retângulo ACH (ângulo reto = 90º em H):

Tangente 45º =

1 _

1 cateto oposto

CH

cateto adjacente

AH

=

⇒

=

Considerando o triângulo retângulo ABH (ângulo reto = 90º em H):

Tangente 45º =

1 _

1 cateto oposto

BH

cateto adjacente

AH

=

⇒

=

Área do Triângulo ABC = (Base x Altura)/2

Podemos considerar como base o lado BC e a altura seria AH: BC = BH + CH = 1 + 1 = 2

AH = 1 (raio do ciclo trigonométrico)

Área do Triângulo ABC = 2 x 1/2 = 1 cm2

GABARITO: E

Vou colocar mais três questões de outras bancas, que achei interessantes: 13.(Analista de Controle Interno-Secretaria de Administração-PE-FGV-2009) Se cos x = – 1/2, então cos 6x é igual a:

(A) 0. (B) 1. (C) 1/2. (D) 3/2 (E) –1. Resolução Cos x = -1/2

⇒

x = 120º Tabela de valores: X Seno x Cosseno X 0 = 0º 0 1 π/6 = 30º 1 2 3 2 ππ/4 = 45º ₂ 2 2 2 π/3 = 60º ₃ 2 1 2 π/2 = 90º 1 0 2π/3 = 120º ₃ 2 1 2 −

(52)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 3π/4 = 135º ₂ 2 2 2 − 5π/6 = 150º 1 2 3 2 − π = 180º 0 -1 7ππ/6 = 210º 1 2 − 3 2 − 5π/4 = 225º ₂ 2 − 2 2 − 4π/3 = 240º ₃ 2 − 1 2 − 3π/2 = 270º -1 0 5ππ/3 = 300º ₃ 2 − 1 2 7π/4 = 315º ₂ 2 − 2 2 11π/6 = 330º 1 2 − 3 2 2π = 360º 0 1

6 x = 6 . 120º = 720º. Como o ciclo trigonométrico possui 360º, a partir daí os valores começam a se repetir. Portanto:

cos (720º) = cos (2.360º) = cos (360º) = 1 GABARITO: B

14.(Inspetor-CVM-2008-NCE) Se x é um ângulo do quarto quadrante e seno x = -3/5, então o valor da cotangente de x é:

(A) 3/4 (B) -3/4 (C) 4/3 (D) 4/5 (E) -4/3 Resolução

x é um ângulo do quarto quadrante

⇒

no quarto quadrante, seno x é negativo e cosseno x é positivo, lembra?

(53)

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior sen x = -3/5

Sabemos que: cos2 x + sen2 x = 1

⇒

cos2 x = 1 – sen2 x = 1 – (-3/5)2

⇒

cos2 x = 1 – 9/25 = 16/25

⇒

cos x (positivo) = 4/5

cotangente x = cos x/sen x = (4/5)/(-3/5) = -4/3 GABARITO: E

15.(Vunesp-SP) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções C(x) = 2 – cos (xπ/6) e V(x) = 3 . (2)1/2. sen xπ/12, 0 ≤ x ≤ 6. O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é:

a) 500 b) 750 c) 1.000 d) 2.000 e) 3.000 Resolução x = 3

C(3) = = 2 – cos (3π/6) = 2 – cos (π/2) = 2 – 0 = 2 (em milhares de reais) V(3) = 3 . (2)1/2 . sen (3π/12) = 3 . (2)1/2 . sen (π/4) = 3 . (2)1/2. (2)1/2/2

⇒

V(3) = 3 (em milhares de reais)

Lucro (em reais) = [V(3) – C(3)] . 1.000 = (3 – 2). 1.000 = 1.000 GABARITO: C

16.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-2009-FCC) Entre 110° e 170°, o ângulo que possui seno igual ao cosseno de 30° é

(A) 120° (B) 130° (C) 145° (D) 150° (E) 160°

(54)

Resolução

Pela nossa tabela de valores:

X Seno x Cosseno X 0 = 0º 0 1 π/6 = 30º 1 2 3 2 π/4 = 45º ₂ 2 2 2 π/3 = 60º ₃ 2 1 2 ππ/2 = 90º 1 0 2π/3 = 120º ₃ 2 1 2 − 3π/4 = 135º ₂ 2 2 2 − 5π/6 = 150º 1 2 3 2 − ππ = 180º 0 -1 7π/6 = 210º 1 2 − 3 2 − 5π/4 = 225º ₂ 2 − 2 2 − 4π/3 = 240º ₃ 2 − 1 2 − 3ππ/2 = 270º -1 0 5π/3 = 300º ₃ 2 − 1 2 7π/4 = 315º ₂ 2 − 2 2 11π/6 = 330º 1 2 − 3 2 2ππ = 360º 0 1

Portanto, o cosseno de 30º é igual ao seno de 120º. GABARITO: A

(55)

17.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-2009-FCC) Uma torre vertical será fixada ao solo conforme indica a figura.

Adotando tg 27° = 0,5, conclui-se que a medida do ângulo formado entre os dois cabos de menor comprimento, ambos do mesmo lado da torre, indicada na figura por x, é igual a

(A) 18° (B) 21° (C) 23° (D) 26° (E) 29° Resolução

Repare que temos os seguintes triângulos retângulos: o menor, que possui o ângulo y, e o maior, que possui o ângulo x + y.

Repare que, se fôssemos calcular a tangente de y, no triângulo menor, teríamos: tg y =

_

cateto oposto

cateto adjacente

=

6

12

= 0,5 12 6 6 x y

(56)

É dado da questão, por não ser um ângulo conhecido, que tg 27° = 0,5. Portanto, temos que y é igual a 27º.

No triângulo maior, temos:

tg (x + y) =

_

cateto oposto

cateto adjacente

=

6 6

12

12 +

=

= 1

Este ângulo, temos que saber. Da nossa tabela, tg 45º = 1. Portanto, temos:

x + y = 45º

⇒

x + 27º = 45º

⇒

x = 45º - 27º

⇒

x = 23º

GABARITO: C

18.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP-2010-FCC) Qualquer que seja o número real x, a expressão sen4x − cos4x é equivalente a (A) 2cos2 x − 1 (B) 1 − sen2x (C) cos2x (D) −2cos2 x + 1 (E) sen2x Resolução

Temos que lembrar da nossa aula de equações. Sabemos que: a2 – b2 = (a + b).(a – b)

Se consideramos que: a = sen2 x

b = cos2 x

a2 – b2 = (sen2 x)2 – (cos2 x)2 = sen4 x – cos4 x

Repare que é justamente a equação que queremos calcular. Utilizando a relação aprendida na aula de equações:

(sen2 x)2 – (cos2 x)2 = (sen2 x + cos2 x).(sen2 x – cos2 x) Sabemos que: sen2 x + cos2 x = 1 (relação fundamental). Portanto:

sen4 x – cos4 x = (sen2 x)2 – (cos2 x)2 = 1.(sen2 x – cos2 x)

⇒

sen4 x – cos4 x = sen2 x – cos2 x (I)

Ainda não temos resposta nas alternativas, mas, utilizando novamente a equação fundamental: sen2 x + cos2 x = 1

⇒

sen2 x = 1 – cos2 x (II)