Função Quadrática: definição e fórmula quadrática, intersecções com os eixos coordenados

Função Quadrática: definição e fórmula quadrática, intersecções

com os eixos coordenados

Objetivos

Identificar a lei de formação de uma função quadrática. Reconhecer o aspecto gráfico, parabólico, de uma função quadrática. Saber calcular os pontos de interseção com os eixos coordenados e o que representam para a função.

Se liga

Uma das fórmulas mais populares da escola é necessária para esta aula. É a fórmula de Bhaskara! Para relembrá-la, clique aqui. Ou, caso não seja direcionado, procure na biblioteca pela aula “Equações e Inequações de 1º e 2º Grau”. Além disso, caso precise consultar os conceitos gerais de funções, acesse aqui. Ou, caso não seja direcionado, procure na biblioteca pela aula “Introdução ao estudo das funções”.

Curiosidade

Sabia que a fórmula de Bhaskara só é chamada dessa forma no Brasil? Após alguns autores utilizarem esse nome nos livros didáticos, a moda pegou! E mais: Bhaskara não foi quem descobriu essa fórmula! Ela já era conhecida por outros matemáticos, que a utilizavam a partir de uma sequência de procedimentos (como um algoritmo), visto que, naquela época, não existia o conceito de fórmula.

Teoria

Função Quadrática: lei de formação e coeficientes

Chama-se de função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, toda função 𝑓 de 𝐼𝑅 em 𝐼𝑅 dada pela lei de formação:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

2

_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐}

em que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais e 𝑎 ≠ 0.

Exemplo: Na função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 3, obtemos 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 e 𝑐 = 3.

Vejamos outros exemplos:

a) 𝑓(𝑥) = −3𝑥2₊5

6𝑥 + 1 {𝑎 = −3 𝑏 = 5 6 𝑐 = 1

Coeficientes numéricos

Os coeficientes numéricos da função quadrática dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 são os números reais 𝑎, 𝑏 e 𝑐,}

em que 𝑎 ≠ 0. Devemos prestar muita atenção na identificação dos coeficientes da função quadrática, pois o que determina seus valores são as potências de 𝑥 que os acompanham em um termo, e não suas posições na função.

Representação gráfica de uma função quadrática

Quando colocamos os pontos de uma função afim em um plano cartesiano, vimos que sua representação gráfica é uma reta. No caso da função do segundo grau, a representação gráfica é uma parábola. Vamos ver agora como cada coeficiente da parábola altera o desenho de seu gráfico.

Concavidade da parábola

→ Se 𝑎 > 0: concavidade voltada para cima.

→ Se 𝑎 < 0: concavidade voltada para baixo.

Interseção com o eixo 𝑦

O valor do coeficiente 𝑐 representa o ponto em que a parábola intersecta o eixo das ordenadas, ou seja, o eixo 0𝑦. Isso porque, quando calculamos 𝑓(0),

𝑓(0) = 𝑎(0)2_{+ 𝑏(0) + 𝑐 = 𝑐 → 𝑓(0) = 𝑐}

Mas e se a parábola passar pela origem? Não tem problema nenhum! Quer dizer, então, que o coeficiente 𝑐 da parábola é 0. Observe a representação gráfica da função 𝑓(𝑥) = 𝑥²:

Podemos reparar que a parábola da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² passa pela origem, o que já era esperado, uma vez que seu coeficiente 𝑐 é igual a 0.

Interseção com o eixo 𝑥

As raízes de uma função quadrática são os valores de 𝑥 encontrados ao resolver a equação 𝑓 (𝑥) = 0, ou seja, 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Para resolver essa equação, utilizamos a fórmula de Bhaskara ou as relações de}

soma e produto.

Estudo do discriminante:

Já se perguntou o porquê de, na fórmula de Bhaskara, chamarmos o termo 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 de ∆? É mais do que}

facilitar a memorização da fórmula! Na verdade, é porque o número de raízes depende do valor encontrado para o discriminante ∆. Temos que a quantidade de raízes de uma função quadrática é mostrada abaixo: Possibilidades para o valor de delta: {∆ > 0 ⇒ A função possui duas raízes reais distintas (x1≠ x2) ∆ = 0 ⇒

A função possui duas raízes reais idênticas (x1= x2) ∆ < 0 ⇒

A função não possui raízes reais

Obs.: o nome “raízes” também pode ser visto como “zeros da função” em algumas questões.

Vértice de uma parábola:

É o ponto de inflexão da parábola, isto é, o ponto que está bem no meio dela, no limite em que ela deixa de ser crescente para ser decrescente ou vice-versa. Assim, ele determina uma simetria entre os dois lados (o direito e o esquerdo) da parábola. Observe:

O ponto (0; −1) é o vértice da parábola.

Apesar de não ser uma propriedade muito utilizada, vale dizer que, se 𝑏 > 0, o vértice da parábola estará à esquerda do eixo 𝑦. Se 𝑏 < 0, estará à direita.

Exercícios de Fixação

1.

Determine os pontos de interseção entre o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{− 2𝑥 − 3 e os eixos}

coordenados.

2.

Para quais valores de 𝑚 a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{− 4𝑥 + 𝑚 intercepta o eixo das ordenadas uma única vez?}

3.

Considere a função 𝑔(𝑥) = 𝑥2₋7

2𝑥 − 2. Qual a distância entre os pontos dessa função que pertencem

ao eixo 𝑥?

4.

Determine a lei de formação da parábola que contém os pontos (0; 8), (1; 3) e (−1; 15).

5.

Sobre o gráfico da função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 abaixo, responda:

a) Sua constante “𝑎” é maior, igual ou menor que zero? b) Qual o valor de sua constante “𝑐”?

c) Sabendo que uma das raízes dessa função é 𝑥₁= −5,

determine sua outra raiz, 𝑥2.

d) Determine a lei de formação da função 𝑓.

Exercícios de vestibulares

1.

Assinale a alternativa que completa corretamente a frase: “A função real 𝑓(𝑥) = 𝑥2 _{– 4𝑥 + 5 …}

a) ... não admite zeros reais”.

b) ... tem um vértice com coordenada positiva”. c) ... tem como gráfico uma reta”.

d) ... admite dois zeros reais e diferentes”.

e) ... tem um vértice com coordenada 𝑦 igual a –1”.

2.

Existe, em um ponto privilegiado do museu, um jogo de vôlei virtual. Ao observar o jogo, percebemos que o trajeto percorrido pela bola, quando “rebatida”, pode ser determinado por uma função real representada geometricamente por uma parábola.

Dentre as expressões abaixo, aquela que representa uma parábola é

a) 𝑦 + 2 + 𝑥² = 0 b) 𝑦² = 4𝑥² – 2 𝑥 + 8 c) 𝑥2 _{– 𝑦² – 4 = 0}

d) 𝑦 = 2𝑥 – 5

e) 𝑦 = 𝑥 (𝑥² – 6 𝑥 + 5 )

3.

A temperatura 𝑇 de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (𝑡 = 0) e varia de acordo com a expressão 𝑇(𝑡) = −𝑡₄2+ 400, com t em minutos. Por motivos de de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°𝐶. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

e) 39,0

4.

O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 está representado na figura a seguir.

Sobre essa função, é correto afirmar que:

a) 𝑎 < 0 b) 𝑏 < 0 c) 𝑐 = 0 d) 𝑏2 _{– 4𝑎𝑐 = 0}

e) 𝑎 = 0

5.

Seja a função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 1. Se 𝑓(1) = 0 e 𝑓(−1) = 6, então o valor de 𝑎 é:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

6.

As raízes da função quadrática 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 são −1 e 3. Sabendo-se que o vértice é o ponto (1, −4), os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são respectivamente:

a) −1, −2 e −3. b) 1, −2 e −3. c) −1, 2 e 3. d) 1, 2 e 3. e) −1, −2 e 3.

7.

Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola de mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola: 𝑦 = 9 – 𝑥² , sendo 𝑥 e 𝑦 medidos em metros. Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2₃ da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel. Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?

e) 54

8.

Se 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 é tal que 𝑓(2) = 8, 𝑓(3) = 15 e 𝑓(4) = 26, então 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 é igual a:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 1 e) 6

9.

Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial 𝑓, de grau menor que 3, para alterar as notas 𝑥 da prova para notas 𝑦 = 𝑓(𝑥), da seguinte maneira:

● A nota zero permanece zero. ● A nota 10 permanece 10. ● A nota 5 passa a ser 6.

A expressão da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) a ser utilizada pelo professor é

a) 𝑦 = −₂₅1 𝑥2₊7 5𝑥 b) 𝑦 = −₁₀1 𝑥2_{+ 2𝑥} c) 𝑦 =₂₄1𝑥2₊ 7 12𝑥 d) 𝑦 =4₅𝑥 + 2 e) 𝑦 = 𝑥

Gabaritos

Exercícios de Fixação

1. (3; 0), (−1; 0) e (0; −3).

Interseções com o eixo 𝑥: 𝑦 = 0 → 𝑥2_{− 2𝑥 − 3 = 0 → 𝑥}′_{= 3; 𝑥" = −1. Logo, são nos pontos (3; 0) e}

(−1; 0).

Interseção com o eixo 𝑦: 𝑥 = 0 → 02_{− 2(0) − 3 = −3. Logo, é no ponto (0; −3).}

2. 𝑚 = 4

Se intercepta o eixo 𝑥 uma única vez, temos duas raízes reais idênticas e ∆= 0. Assim, ∆= 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 = 0 → (−4)}2_{− 4 ∙ 1 ∙ 𝑚 = 0 → 16 − 4𝑚 = 0 → −4𝑚 = −16 → 𝑚 = 4}

3. A distância é 9₂.

Os pontos que pertencem ao eixo 𝑥 são tais que 𝑦 = 0. Logo, 𝑥2₋7

2𝑥 − 2 = 0. Por Bhaskara, 𝑥

′_{= 4 e}

𝑥′′_{= −}1

2. Logo, a distância entre esses valores é 4 − (− 1 2) =

9 2.

4. 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{− 6𝑥 + 8}

Faremos um sistema substituindo os três pontos na lei de formação da função: (0; 8) → 𝑎(0)2_{+ 𝑏(0) + 𝑐 = 8 → 𝑐 = 8}

(1; 3) → 𝑎(1)2_{+ 𝑏(1) + 𝑐 = 3 → 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3 → 𝑎 + 𝑏 + 8 = 3 → 𝑎 + 𝑏 = −5}

(−1; 15) → 𝑎(−1)2_{+ 𝑏(−1) + 𝑐 = 15 → 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 15 → 𝑎 − 𝑏 + 8 = 15 → 𝑎 − 𝑏 = 7}

Resolvendo {𝑎 + 𝑏 = −5 𝑎 − 𝑏 = 7 , temos que 𝑎 = 1 e 𝑏 = −6. Logo, a função é 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{− 6𝑥 + 8.}

5.

a) Como a concavidade da parábola está pra cima, 𝑎 > 0.

b) Como o gráfico intercepta o eixo 𝑦 na altura igual a −5, 𝑐 = −5.

c) Note que uma raiz é −5, e o vértice tem coordenada 𝑥 = −1,5. Esses pontos distam um do outro

5 − 1,5 = 3,5 unidades. Como o vértice está no “meio” da parábola, a outra raiz está 3,5 unidade à direita do vértice. Logo, ela vale −1,5 + 3,5 = 2.

d) Faremos um sistema com os pontos (0, −5), (−5,0) e (2,0), substituindo na lei de formação da

função:

(0, −5) → 𝑎(0)2_{+ 𝑏(0) + 𝑐 = −5 → 𝑐 = −5}

(−5,0) → 𝑎(−5)2_{+ 𝑏(−5) + 𝑐 = 0 → 25𝑎 − 5𝑏 − 5 = 0 → 25𝑎 − 5𝑏 = 5 → 5𝑎 − 𝑏 = 1}

(2,0) → 𝑎(2)2_{+ 𝑏(2) + 𝑐 = 0 → 4𝑎 + 2𝑏 − 5 = 0 → 4𝑎 + 2𝑏 = 5}

Logo, a função tem lei 𝑓(𝑥) =𝑥₂2+3

2𝑥 − 5.

e) Se um ponto pertence à função e ao seu gráfico, ele satisfaz sua lei de formação. Como substituindo

o ponto (3,1), encontramos 3₂2+3

2∙ 3 − 5 = 1 → 9 2+

9

2− 5 = 1 → 9 − 5 = 1 → 4 = 1, temos que ele não

pertence à função, já que a afirmação 4 = 1 é falsa.

Exercícios de Vestibular

1. A

Como ∆= (−4)2_{− 4 ∙ 1 ∙ 5 = 16 − 20 = −4 < 0, a função não admite zeros, raízes, reais.}

2. A

Como 𝑦 + 2 + 𝑥2_{= 0 → 𝑦 = −𝑥}2_{− 2, temos que é uma função do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥}2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 e representa,}

no plano cartesiano, uma parábola.

3. D

Queremos calcular o valor de 𝑡 para qual se tem 𝑇(𝑡) = 39. Desse modo,

39 = −𝑡 2 4 + 400 → 𝑡2 4 = 361 → 𝑡 = √4 ∙ 361 → 𝑡 = 38 𝑚𝑖𝑛 4. B

A parábola tem concavidade para cima. Logo, 𝑎 > 0 e não pode ser a letra A. O vértice está à esquerda do eixo 𝑦 e, por isso, podemos afirmar que 𝑏 < 0. Correto. A parábola corta o eixo 𝑦 numa altura positiva. Logo, 𝑐 > 0 e não pode ser a letra C. A parábola corta o eixo 𝑥 em dois pontos. Logo, ∆ > 0 e não pode ser a letra D. Por termos uma parábola, 𝑎 ≠ 0 e temos que não pode ser a letra E.

5. D

Do enunciado, temos:

{0 = 𝑎 ∙ 12_{+ 𝑏 ∙ 1 + 1 6 = 𝑎 ∙ (−1)}2_{+ 𝑏 ∙ (−1) + 1 → {𝑎 + 𝑏 = −1 𝑎 − 𝑏 = 5 → 2𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = −1 + 5}

→ 2𝑎 = 4 → 𝑎 = 2

6. B

Considerando que −1 e 3 são raízes desta função e a função passa pelo ponto (1, −4), temos: 𝑓(−1) = 0 → 𝑎(−1)2_{+ 𝑏(−1) + 𝑐 = 0 → 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0}

𝑓(3) = 0 → 𝑎(3)2_{+ 𝑏(3) + 𝑐 = 0 → 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0}

𝑓(1) = −4 → 𝑎(1)2_{+ 𝑏(1) + 𝑐 = −4 → 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −4}

As interseções com o eixo 𝑥 são 9 − 𝑥2_{= 0 → 𝑥}2_{= 9 → 𝑥}′_{= 3; 𝑥}′′_{= −3. Ou seja, os pontos (3,0) e}

(−3,0).

A interseção com o eixo 𝑦 é na altura de 𝑐 = 9. Observe:

Temos formado um retângulo de altura 9 e base 6, cuja área é 9 ∙ 6 = 54. Como 2₃∙ 54 = 36, essa é a área do túnel. 8. A 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐} 𝑓(2) = 8 → 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 8 (𝐼) 𝑓(3) = 15 → 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 15 (𝐼𝐼) 𝑓(4) = 26 → 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = 26 (𝐼𝐼𝐼) Fazendo (𝐼𝐼) − (𝐼), obtemos: 5𝑎 + 𝑏 = 7 (𝐼𝑉) Fazendo (𝐼𝐼𝐼) − (𝐼), obtemos: 6𝑎 + 𝑏 = 9 (𝑉) Fazendo (𝑉) − (𝐼𝑉), obtemos 𝑎 = 2. Substituindo 𝑎 = 2 em (𝑉), obtemos 𝑏 = −3. Subtituindo 𝑎 = 2, 𝑏 = −3 em (𝐼), temos 𝑐 = 6. Logo, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2 + (−3) + 6 = 5. 9. A

Seja 𝑓: [0,10] → [0,10], com 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐. Desse modo, temos:}

{𝑓(0) = 0 𝑓(5) = 6 𝑓(10) = 10 ⟶ {𝑎(0)2 _{+ 𝑏(0) + 𝑐 = 0 𝑎(5)}2 _{+ 𝑏(5) + 𝑐}

= 6 𝑎(10)2 _{+ 𝑏(10) + 𝑐 = 10 ⟶ {𝑐 = 0 25𝑎 + 5𝑏 + 𝑐 = 6 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 = 10}

Resolvendo o sistema, encontramos 𝑎 = − 1

25, 𝑏 = 7 5, 𝑐 = 0 e 𝑓(𝑥) = − 𝑥2 25+ 7 5𝑥. 10. E

𝑥 pessoas não compareceram à excursão.

Pagamento pelos lugares ocupados: 60(15 – 𝑥) = 900 – 60𝑥.