Departamento de Matem´atica
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ALGEBRA LINEAR - APRESENTAC¸ ˜AO
0. O que ´e a ´Algebra Linear? - I
A ´Algebra ´e a parte da Matem´atica que estuda a resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes (e estruturas relacionadas). O nome vem do ´arabe Al-Jabr - reuni˜ao de peda¸cos - que foi a express˜ao usada pelo matem´atico persa Al-Khwarizmi (no in´ıcio do s´eculo IX) para designar a pas-sagem de um termo numa equa¸c˜ao para o outro lado do sinal de igual. Foi o nome deste matem´atico (e portanto o nome de uma regi˜ao do atual Uzbequist˜ao!) que deu origem `as palavras algarismo e algoritmo.
O termo Al-Jabr aparecia no t´ıtulo de um famoso livro escrito por Al-Khwarizmi - O Compˆendio de c´alculo por Al-Jabr e Al-Muqabalah - que estabeleceu a ´Algebra como disciplina da Matem´atica e foi um dos principais livros de texto de Matem´atica nas uni-versidades europeias at´e ao s´eculo XVI!
A ´Algebra Linear ´e (numa primeira aproxima¸c˜ao) a parte da Matem´atica que estuda a resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes lineares. Os sistemas de equa¸c˜oes lineares devem j´a ser-vos familiares. Eis um exemplo:
(
2x + 3y − z + w = 4 −x + 2z − w = 1
Estamos interessados em saber se o sistema tem solu¸c˜ao e, se sim, em descrever as solu¸c˜oes de uma forma conveniente. Mesmo uma quest˜ao t˜ao simples pode ser encarada de v´arios pontos de vista, todos eles importantes:
(1) Tradicional: Pretende-se determinar as quantidades codificadas pelas vari´aveis que satisfazem as rela¸c˜oes dadas,
(2) Geom´etrica: Cada uma das equa¸c˜oes define um plano num espa¸co de dimens˜ao 4 e o sistema descreve a sua intersec¸c˜ao,
(3) Funcional: O sistema define a pr´e-imagem do ponto (4, 1) ∈ R2 pela fun¸c˜ao linear (x, y, z, w) 7→ (2x + 3y − z + w, −x + 2z − w).
A relevˆancia do primeiro ponto de vista ´e familiar. Iremos ver muitos exemplos de aplica¸c˜ao ao longo do curso incluindo o fundamento do algoritmo de busca do Google.
O segundo ponto de vista sugere que a ´Algebra Linear nos abre uma janela sobre a geometria dos espa¸cos de dimens˜ao arbitr´aria!
O terceiro ponto de vista alude a uma das raz˜oes pelas quais a ´Algebra Linear ´e funda-mental dentro da pr´opria Matem´atica e `a raz˜ao pr´atica pela qual a v˜ao estudar agora: a ideia fundamental do C´alculo ´e o estudo das fun¸c˜oes atrav´es das suas aproxima¸c˜oes lineares (ou derivadas). A ´Algebra Linear descreve o comportamento destas fun¸c˜oes lineares.
1. O que ´e a Matem´atica?
A Matem´atica ´e a poesia das ideias l´ogicas.
1.1. ´E um mundo alternativo povoado por objetos abstratos, cheio de beleza e mist´erio. H´a certos conceitos abstratos, como o de n´umeros naturais, que s˜ao utilizados por v´arios animais. `A medida que a civiliza¸c˜ao se foi desenvolvendo tornou-se necess´ario resolver certos problemas pr´aticos como o c´alculo de ´areas e a Matem´atica surgiu destas necessidades pr´aticas. Com o decorrer do tempo (notavelmente na Gr´ecia antiga) houve pessoas que se dedicaram a estudar os m´etodos de resolu¸c˜ao em si mesmos (desligados das suas aplica¸c˜oes) e come¸cou assim a Matem´atica ”pura”.
Foi tamb´em (tanto quanto se sabe) na Gr´ecia, no ˆambito da Geometria, que surgiu o conceito de demonstra¸c˜ao, isto ´e, de dedu¸c˜ao l´ogica de proposi¸c˜oes a partir de proposi¸c˜oes anteriormente estabelecidas, tomando como partida um conjunto de termos e suas pro-priedades tidas como evidentes - os axiomas.
A ideia de demonstra¸c˜ao ´e central na Matem´atica. Uma demonstra¸c˜ao consiste numa explica¸c˜ao da validade de uma dada afirma¸c˜ao que n˜ao admite qualquer obje¸c˜ao. ´E a existˆencia das demonstra¸c˜oes que torna a Matem´atica o conhecimento humano mais seguro a que temos acesso.
A Matem´atica consiste no estudo de certos objetos abstratos (n´umeros, opera¸c˜oes en-tre estes, triˆangulos, fun¸c˜oes,...), na descoberta das suas propriedades, e na justifica¸c˜ao destas atrav´es de demonstra¸c˜oes. Este pr´oprio processo de estudo ou necessidades das aplica¸c˜oes (notavelmente `a F´ısica mas tamb´em a outros dom´ınios) conduzem frequente-mente `a descoberta (ou inven¸c˜ao) de novos objetos de estudo. Ao longo da Hist´oria foi sendo constru´ıdo um edif´ıcio gigante que hoje em dia cresce exponencialmente.
O crescimento exponencial da Matem´atica requer uma constante reavalia¸c˜ao, simpli-fica¸c˜ao e s´ıntese dos conhecimentos anteriores. E isso que permite que vo¸cˆ´ es tenham entendido com 12 anos factos que s´o estavam ao alcance dos mais destacados intelectuais de h´a algumas centenas de anos e que v´arios de v´os v˜ao, daqui a 4 ou 5 anos, perceber muito melhor a Relatividade Geral do que Einstein no final da sua vida.
A Matem´atica tem muitos paralelos com a Biologia. Em vez de estudar esquilos, estu-damos triˆangulos. Tal como na Biologia todos os objetos de estudo est˜ao relacionados, por muito diferentes que pare¸cam. Tal como a Biologia, a Matem´atica tem aplica¸c˜oes mas ´e independente delas.
1.2. ´E uma atividade humana e uma forma de pensar. O objetivo da Matem´atica ´
e o entendimento dos objetos matem´aticos, que ´e algo humano, psicol´ogico e progressivo. As defini¸c˜oes e as demonstra¸c˜oes s˜ao os mecanismos atrav´es do qual esse entendimento ´e transmitido. S˜ao mecanismos imperfeitos mas s˜ao os melhores de que dispomos (n˜ao ´e f´acil transmitir a intui¸c˜ao sobre objetos abstratos que se ganha depois de muitos anos a pensar neles).
A Matem´atica ´e uma atividade criativa em que temos uma enorme liberdade. A cria-tividade reside na identifica¸c˜ao de novos objetos, na descoberta das suas propriedades e na constru¸c˜ao dos argumentos que as justificam 1.
Da mesma forma que a criatividade nas artes n˜ao pode ser exercida se n˜ao estiver apoiada nalguma t´ecnica, a atividade matem´atica tamb´em tem o seu conjunto de t´ecnicas - certos h´abitos de racioc´ınio e modos de pensamento particular.
S˜ao estes modos de pensamento, que se ganham ao estudar matem´atica e que podem ser aplicados a outros dom´ınios, que constituem um dos principais valores sociais e econ´omicos da Matem´atica. ´E poss´ıvel argumentar que este valor ´e at´e superior ao valor das aplica¸c˜oes da Matem´atica que ´e normalmente usado para justificar o investimento de tempo e dinheiro em Matem´atica.
Escusado ser´a dizer que estes modos de pensamento n˜ao se adquirem com a aplica¸c˜ao cega de f´ormulas e m´etodos que n˜ao se entendem na resolu¸c˜ao de ”problemas-tipo”.
Finalmente, o estudo da Matem´atica tem um valor cultural an´alogo ao do estudo da m´usica por pessoas que n˜ao ir˜ao necessariamente ser m´usicos profissionais. Tal como a m´usica, a matem´atica ´e um dos pilares da civiliza¸c˜ao humana.
2. A necessidade do rigor
Durante quase toda a hist´oria da Matem´atica os objetos matem´aticos n˜ao tinham uma defini¸c˜ao rigorosa e eram manipulados intuitivamente. O ideal grego da demonstra¸c˜ao existia (pelo menos para alguns matem´aticos) mas era imposs´ıvel implement´a-lo comple-tamente.
Exemplo 2.1. ´E f´acil cometer erros quando apelamos `a intui¸c˜ao mesmo em situa¸c˜oes muito simples: o gato e a corda.
No s´eculo XIX tornou-se claro que este estado das coisas era uma obstru¸c˜ao ao progresso - certas perguntas naturais n˜ao tinham resposta sem uma clarifica¸c˜ao dos objetos que estavam a ser estudados. Vocˆes j´a beneficiaram desta clarifica¸c˜ao quando estudaram o conceito abstrato de fun¸c˜ao que data do s´eculo XIX.
Isso levou `a cria¸c˜ao da Matem´atica tal como ela existe hoje: Partindo de um conjunto de axiomas que descrevem propriedades b´asicas dos conjuntos2, todos os objetos matem´aticos s˜ao definidos rigorosamente (come¸cando pelos n´umeros naturais, as opera¸c˜oes entre eles, etc.) e as suas propriedades s˜ao deduzidas dos axiomas da teoria dos conjuntos usando as regras da l´ogica.
O par´agrafo anterior descreve um ideal pouco pr´atico3- as demonstra¸c˜oes seriam gigantes e humanamente incompreens´ıveis! Na pr´atica, para abreviar, a Matem´atica usa linguagem corrente (embora com nota¸c˜ao especializada) de tal forma que, com paciˆencia suficiente, os argumentos numa demonstra¸c˜ao possam ser reduzidos a uma aplica¸c˜ao mecˆanica das regras da l´ogica.
3. A importˆancia das definic¸ ˜oes
As defini¸c˜oes desempenham um papel absolutamente essencial no entendimento e pro-gresso da Matem´atica. S˜ao, de alguns pontos de vista, principalmente quando a complex-idade dos objetos em quest˜ao ´e muito grande, o mais importante.
Uma defini¸c˜ao isola as propriedades centrais de um dado objeto (e nesse processo cria-o enquanto objeto matem´atico!). Geralmente estas propriedades s˜ao derivadas por abstra¸c˜ao a partir de v´arios exemplos concretos. Este processo de abstra¸c˜ao permite identificar rela¸c˜oes inesperadas entre objetos e situa¸c˜oes aparentemente muito diferentes, desempen-hando assim um papel fundamental na clarifica¸c˜ao, organiza¸c˜ao e s´ıntese da informa¸c˜ao em Matem´atica.
Este processo de isolar propriedades que constituem a essˆencia de um dado tipo de objeto e depois explorar as consequˆencia l´ogicas destas propriedades chama-se o m´etodo axiom´atico (as propriedades inclu´ıdas na defini¸c˜ao s˜ao tomadas como ponto de partida ou axiomas). Surpreendemente, ´e muitas vezes mais f´acil efetuar esta explora¸c˜ao em abstrato do que em casos concretos que tenham motivado a defini¸c˜ao.
Exemplo 3.1. A no¸c˜ao geral de fun¸c˜ao. Associatividade da composi¸c˜ao
A partir do s´eculo XIX o m´etodo axiom´atico revelou-se incrivelmente poderoso no estab-elecimento de novas verdades matem´aticas e de pontes entre as v´arias ´areas da Matem´atica. Tornou-se assim o ”m´etodo habitual” em Matem´atica.
Uma raz˜ao psicol´ogica para o sucesso deste m´etodo ´e que as defini¸c˜oes permitem encap-sular conceitos arbitrariamente complexos de forma a que possam ser manuseados mental-mente como blocos. A cria¸c˜ao destas ”caixas” na nossa mente, assim como de uma teia de liga¸c˜oes com outras caixas e procedimentos ´e um processo f´ısico no c´erebro, an´alogo ao treino desportivo, e como este, requer tempo, pr´atica, e envolve a supera¸c˜ao de frustra¸c˜ao.
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E a este m´etodo axiom´atico a que muitos de v´os ir˜ao agora come¸car a ser expostos e ´e de esperar que isso suscite algum choque. ´E necess´ario ultrapassar este choque para fazer progresso no vosso conhecimento e entendimento da Matem´atica.
Algumas defini¸c˜oes resultam de um esfor¸co de s´ıntese de muitas pessoas ao longo de s´eculos e tˆem muito pouco de intuitivo quando as vemos pela primeira vez. A sua justi-fica¸c˜ao ´e a utilidade que tˆem na promo¸c˜ao do entendimento da Matem´atica
Quando confrontados com uma nova defini¸c˜ao temos que a tornar familiar, pensando em exemplos e n˜ao exemplos, no que aconteceria se alguma condi¸c˜ao da defini¸c˜ao fosse alterada e tamb´em na maneira como a defini¸c˜ao ´e utilizada na demonstra¸c˜ao de propriedades do objeto que est´a a ser definido. ´E este processo que nos permite ganhar familiariedade com uma defini¸c˜ao e adquirir assim um novo conceito.
4. O que ´e a ´Algebra Linear? - II
Cada ´area da matem´atica tem os seus objetos de estudo espec´ıficos. Na ´Algebra Linear os objetos que s˜ao estudados (os esquilos por assim dizer) s˜ao os espa¸cos vetoriais e as rela¸c˜oes entre eles que se manifestam atrav´es de transforma¸c˜oes lineares. Seguindo a l´ogica descrita acima, a cadeira de ´Algebra Linear devia iniciar-se com a apresenta¸c˜ao da defini¸c˜ao de um espa¸co vetorial (ou equivalentemente dos axiomas para um espa¸co vetorial) e a dedu¸c˜ao l´ogica das suas propriedades. ´E essa a abordagem em [Ax] e [FIS].
N˜ao ´e isso que vou fazer para vos dar algum tempo de adapta¸c˜ao ao ritmo de trabalho mais elevado e `a novidade do ambiente. Vamos come¸car nas primeiras aulas por aprender a fazer algumas contas que est˜ao mais pr´oximas da vossa experiˆencia matem´atica anterior e que de qualquer forma teriam que ser estudadas um pouco mais `a frente. ´E tamb´em nesse contexto que vamos introduzir os argumentos formais - as demonstra¸c˜oes. Iremos dar como adquirido (como axiomas se quiserem) v´arias propriedades dos sistemas de n´umeros (reais, complexos) e constru¸c˜oes com conjuntos que aprenderam no vosso estudo pr´evio da Matem´atica. Esta ´e a abordagem seguida em [HK].
5. Funcionamento da cadeira
Na p´agina da cadeira estar˜ao dispon´ıveis, no in´ıcio de cada semana, leituras que devem fazer antes da aula indicada em prepara¸c˜ao para esta. Estas leituras poder˜ao `as vezes ser complementadas por pequenos videos explicativos.
As aulas ter˜ao um segmento inicial de discuss˜ao da nova mat´eria durante o qual ser˜ao tamb´em discutidos exemplos e resolvidos exerc´ıcios.
Ser˜ao disponibilizadas listas de exerc´ıcios sobre cada parte da mat´eria que devem ten-tar resolver quando essa parte da mat´eria acabar de ser coberta nas aulas. Os exerc´ıcios destinam-se a consolidar os conceitos e m´etodos aprendidos, aprender a aplicar os resulta-dos em casos concretos e tamb´em `a demonstra¸c˜ao de novos resultados. Escusado ser´a dizer que a realiza¸c˜ao destes exerc´ıcios ´e uma parte essencial do estudo. Estes exerc´ıcios ser˜ao geralmente discutidos nas aulas da semana seguinte `aquela em que a mat´eria for coberta.
A partir da segunda semana, realizar-se-´a, normalmente no final da segunda aula da semana, um mini-teste de 15 minutos versando sobre parte da mat´eria coberta na semana anterior. Este mini-teste realiza-se utilizando a plataforma ExOnlineX e requer a utiliza¸c˜ao de um equipamento com acesso `a rede (computador, tablet ou telem´ovel) durante a aula (preferivelmente com a bateria carregada). Tamb´em requer o registo nesta plataforma. Sigam as instru¸c˜oes dispon´ıveis na p´agina da cadeira.
Haver´a um ensaio da plataforma ExOnlineX na segunda aula desta semana pelo que tˆem que se registar antes disso.
cont´ınua. Uma nota nos minitestes e exames superior a 17 d´a acesso a uma prova oral da qual resulta uma nota entre 17 e 20.
N˜ao ser´a permitida a utiliza¸c˜ao de quaisquer elementos de consulta ou auxiliares de c´alculo durante as avalia¸c˜oes.
5.1. Conselhos pr´aticos. O ritmo de avan¸co na mat´eria ser´a muito mais r´apido do que aquele a que provavelmente est˜ao habituados. O n´umero de horas m´edio de estudo que se calcula necess´ario para seguirem a mat´eria ´e de 8h por semana al´em das aulas. Mesmo que deixem dois dias inteiros de estudo para a ´epoca de exames continua a ser de 7h por semana de estudo concentrado. Comecem imediatamente a trabalhar. Se se atrasarem ser´a muito mais dif´ıcil recuperar.
Eu e os restantes professores estamos aqui para vos ajudar a aprender. A aprendizagem ´
e um trabalho de constru¸c˜ao interior que cada um de v´os ter´a de realizar mas n´os podemos ajudar a superar bloqueios e sugerir estrat´egias ´uteis. A discuss˜ao com os vossos colegas tamb´em ajuda (e a partilha da frustra¸c˜ao ´e terapˆeutica).
(1) Aproveitem as v´arias formas de contacto comigo e com os vossos colegas: o di´alogo nas aulas, as aulas de d´uvidas no Zoom, a plataforma de discuss˜ao Zulip (ver p´agina para detalhes).
(2) Fa¸cam perguntas sem medo de que possam ser tontas! O medo a errar ou a fazer m´a figura ´e um dos principais obst´aculos `a aprendizagem. Posso garantir-vos por experiˆencia pr´opria que at´e os melhores matem´aticos do mundo fazem de vez em quando perguntas tontas.
(3) Explorem a bibliografia recomendada (aconselho principalmente os trˆes livros lista-dos abaixo) que contˆem mais exemplos, exerc´ıcios e pontos de vista. A quantidade de recursos online, desde videos a listas de exerc´ıcios e exerc´ıcios resolvidos ´e prati-camente ilimitada mas ´e fundamental passar uma boa parte do tempo de estudo a ler e refletir sobre a mat´eria e a tentar resolver exerc´ıcios sozinhos.
(4) O guia de apoio ao estudante do T´ecnico tem bons conselhos sobre a organiza¸c˜ao do estudo. Em particular ´e muito importante tomar conta da vossa sa´ude f´ısica e mental.
Uma nota final. Tentem n˜ao se preocupar demasiado com as classifica¸c˜oes que v˜ao obter nas cadeiras. Para entrarem no T´ecnico tiveram provavelmente que se preocupar bastante com as notas at´e ao momento, mas a partir de agora as notas n˜ao s˜ao verdadeiramente importantes. Elas medem o vosso desempenho durante a avalia¸c˜ao, mas o verdadeiro objetivo do estudo universit´ario ´e o vosso desenvolvimento intelectual e este est´a apenas fracamente correlacionado com o resultado da avalia¸c˜ao. Por exemplo, ´e mais proveitoso dedicar tempo a lutar com exerc´ıcios com os quais sintam dificuldade do que a fazer muitos exerc´ıcios de um certo tipo para aumentar a rapidez de resolu¸c˜ao. Isto independentemente de a segunda estrat´egia poder resultar numa melhor classifica¸c˜ao final.
Posso garantir-vos com base na experiˆencia de muitos anos que:
(2) A correla¸c˜ao entre a m´edia de curso e o desempenho profissional posterior (mesmo na academia) n˜ao ´e muito elevada.
N˜ao quero com isto encorajar-vos a ter m´as notas! S´o vos quero pedir encarecidamente que n˜ao fiquem obcecados com estas, nem que as usem como ´unico instrumento de medida do vosso desenvolvimento intelectual (e ainda menos como um julgamento pessoal).
References
[Ax] S. Axler, Linear Algebra Done Right, Springer UTM (1997). [HK] K. Hoffman and R. Kunze, Linear Algebra, Prentice-Hall (1961).
