CAPÍ TULO 4 Est át ica
As Tr ês Leis ou Pr incípios Fundament ais da Mecânica Newt oniana discut idos no capít ulo ant er ior sust ent am t odo o est udo da Est át ica dos pont os mat er iais, cor pos r ígidos e conj unt os de cor pos r ígidos.
O est udo da est át ica do cor po r ígido baseia-se no est udo da est át ica do pont o mat er ial, por onde t er á início o nosso est udo. Ver emos como os r esult ados obt idos par a o pont o mat er ial podem ser ut ilizados dir ect ament e em gr ande númer o dos pr oblemas r ef er ent es a condições de r epouso de cor pos r eais.
Nest e capít ulo de est át ica ir emos est udar essencialment e o equilíbr io de cor pos r ígidos e as condições de equilíbr io de sist emas de f or ças nele aplicados.
4. 1. Equilíbrio est át ico de um pont o mat erial
Diz-se que um sist ema de f or ças aplicado a um cor po est á em equilíbr io se da sua aplicação não r esult ar nenhuma alt er ação no est ado de moviment o do cor po. Um caso par t icular de equilíbr io mecânico, o equilíbrio est át ico, ser á o est ado de repouso num
det er minado r ef er encial de inér cia, def inido pela velocidade nula de t odos os pont os do cor po.
Vamos est udar a est át ica em r ef er enciais de inér cia. Tr at ar emos em pr imeir o lugar de sist emas de f or ças aplicados a pont os mat er iais, i.e., cor pos de dimensões despr ezáveis, par a os quais não se consider a o moviment o de r ot ação.
A condição necessár ia e suf icient e de
equilíbr io dum sist ema de f or ças aplicado a um pont o mat er ial é que a r esult ant e desse sist ema sej a nula. Na r ealidade, por
def inição de equilíbr io, a aceler ação é nula, o que implica, pela lei f undament al da
dinâmica, que a f or ça t ambém sej a nula – condição necessár ia.
Por out r o lado,
∑
Fi = 0 implica, pela mesma lei de Newt on, que a aceler ação sej a nula, o que é equivalent e à velocidade ser const ant e.Logo,
∑
Fi =0 gar ant e-nos o equilíbr io – condição suf icient e.Sist emas equivalent es
A um mesmo pont o mat er ial podemos aplicar dif er ent es sist emas de f or ças. Se est es sist emas t iver em o mesmo ef eit o sobr e o est ado de moviment o do pont o mat er ial, eles dizem-se sist emas equivalent es.
Em par t icular , um sist ema de f or ças aplicado a um pont o mat er ial é sempr e equivalent e à r esult ant e desse sist ema aplicado ao mesmo pont o mat er ial, pela lei f undament al da dinâmica. Est e sist ema pode ser sempr e equilibr ado por uma f or ça Fe,
denominada equilibrant e do sist ema, e que é simét r ica da r esult ant e:
F
e= - R
.P .
L
m θ
Exemplos:
Caso bidimensional:
2 incógnit as, 2 equações
Caso t ridimensional:
3 incógnit as, 3 equações
Caso bidimensional, por exemplo:
3 incógnit as, apenas 2 equações ?
Tor na-se
necessár ia uma 3ª equação !
=0
=
∑
i
Fi
R
x x 0
R =
Â
F =y y 0
R =
Â
F ==0
=
∑
i
Fi
R
=0
=
∑
xx F
R
∑
== y 0
y F
R
∑
== z 0
z F
R
4. 2. Moment o de uma f orça em relação a um pont o
Começar emos por est udar sólidos livr es (não suj eit os a ligações), par a depois nos r ef er ir mos ao caso dos sólidos que t êm um pont o ou um eixo f ixos (suj eit os a ligações).
Ao cont r ár io do que se passa com um pont o mat er ial, a r esult ant e nula de um sist ema de f or ças aplicadas a um cor po r ígido não gar ant e que o cor po est ej a em equilíbr io. Cont udo, se o cor po est iver em equilíbr io, t em
aceler ação nula, o que implica que a r esult ant e do sist ema de f or ças t ambém sej a nula. Logo,
∑
Fi =0 é uma condição necessár ia, mas não é a condição suf icient e de equilíbr io dum sist ema de f or ças aplicado a um cor po r ígido.Est a condição gar ant e-nos o equilíbr io quant o ao moviment o de t r anslação, mas não gar ant e o equilíbr io quant o ao moviment o de r ot ação, pois o cor po pode r odar .
Consider emos o sist ema de f or ças const it uído por duas f or ças simét r icas, com linhas de acção dist int as (binário), aplicado em dois pont os dist int os de um qualquer cor po r ígido. As f or ças são ant i-par alelas (mesma dir ecção mas sent idos opost os) e as suas int ensidades são iguais; são f or ças simét r icas. O sist ema das duas f or ças t em r esult ant e nula. O cor po não adquir e
moviment o de t r anslação.
2 0
1+ =
∑F = F F , mas a bar r a não est á em equilíbr io: RODA!
A capacidade de uma f or ça de pr oduzir r ot ação é medida por uma gr andeza
denominada moment o da f orça (ou t or que).
Cont udo, o cor po começa a r odar , except o quando as f or ças se encont r am sobr e a mesma r ect a (posição de equilíbr io). Ou sej a, o cor po só f ica em equilíbr io quando as r ect as supor t e dos vect or es f or ça coincidem, sendo o equilíbr io independent e do pont o de aplicação das f or ças, i.e., se na posição de equilíbr io mudar mos o pont o de
aplicação de uma das f or ças sobr e a r ect a supor t e comum, ver if ica-se que o equilíbr io se mant ém (vect or es deslizant es).
Moment o de uma f orça (moment o polar)
Como saber ent ão se dois sist emas de f or ças não concor r ent es aplicados a um sólido são ou não equivalent es? Ou se est ão em equilíbr io? A r esult ant e nula implica que não haj a alt er ação do moviment o de t r anslação de um cor po. E o moviment o de r ot ação?
Consider emos, agor a, uma f or ça F que act ua num cor po r ígido. O ef eit o dessa f or ça sobr e o cor po
r ígido depende, par a além do módulo, da dir ecção e do sent ido da f or ça, do seu pont o de aplicação, A.
A posição de A é def inida pelo vect or r , que une o pont o f ixo O com A (r é o vect or -posição de A).
Def ine-se moment o de uma f orça F em relação a um pont o O,
F,O
M , como sendo o pr odut o vect or ial
SI : o moment o de uma f or ça é expr esso em N.m F,O
M = ¥ r F
As car act er íst icas do vect or moment o, MF,O, são:
• Pont o de aplicação – pont o O
• Módulo - ,O sin
MF = r F q = F d^ (onde d⊥ r epr esent a a dist ância de O à linha de acção de F )
• Dir ecção – per pendicular ao plano def inido por r e F (not e que MF,O ⊥ F )
• Sent ido – sent ido dir ect o (dado at r avés de uma das r egr as do pr odut o vect or ial)
O moment o de uma f or ça em r elação a um pont o é um vect or aplicado. O moment o de uma f or ça é nulo em r elação ao r espect ivo pont o de aplicação, ou a qualquer pont o da sua r ect a supor t e (casos: θ = 0º ou θ = 180º). O módulo de MF,O dá-nos uma medida da t endência da f or ça F f azer o cor po r ígido r odar em t or no de um eixo f ixo, dir igido segundo MF,O.
Cont udo, o moment o MF,O de uma f or ça F em r elação a um pont o O não depende da posição do pont o de aplicação da f or ça, A, ao longo da linha de acção da f or ça F (ver f igur a ant er ior ).
Exemplo: Uma f or ça de 500 N act ua na ext r emidade de uma alavanca de 60 cm, de acor do com a f igur a. Det er mine o moment o da f or ça em r elação a O.
O sin
M = r F q = F d^
com d^ = rsinq =
(
0, 60m)
¥sin 30º( )
Ent ão MO =
(
500N 0,30m)( )
=150N.m,no sent ido hor ár io.
MO ⊥ par a f or a do papel Acção ant i-hor ár ia MO ⊥ par a dent r o do papel
Acção hor ár ia
Podemos agor a dizer que duas f or ças F e F' são equivalent es se, e só se, f or em iguais (mesmos módulo, dir ecção e sent ido) e t iver em moment os iguais em r elação a um pont o O.
F
=F ¢
MF,O = ¢MF¢,O (c.n.s.)O moment o r esult ant e de um sist ema de n f or ças Fi (i =1,...,n) em r elação a um pont o O é def inido pela soma dos moment os de cada uma das f or ças em r elação a esse pont o O.
O F,O i i
M = Â M = Â r ¥ F
Muit as das aplicações que ver emos r ef er em-se a est r ut ur as bidimensionais (i.e., est r ut ur as com compr iment o e lar gur a mas com espessur a
despr ezável), submet idas a f or ças cont idas no plano da est r ut ur a.
Exemplo:
lâmina sob a acção de uma f or ça F :
F,O
M = ±F d
F,O
M ⊥ plano do papel e módulo
F,O
M = F d
CONVENÇÃO DE SI NAI S:
Teorema de Varignon
Se diver sas f orças
concorrent es F1,F2,..., est ão
aplicadas num mesmo pont o A e se denominar mos r o vect or posição de A, a pr opr iedade dist r ibut iva do pr odut o
vect or ial per mit e-nos escr ever
(
1 2)
1 1 2,O .... ... ,O ,O ... ,O
R F F Fi
M = ¥r F +F + = ¥ + ¥ + =r F r F M + M + =
Â
M i.e., o moment o em r elação a um pont o O da r esult ant e de diver sas f or ças concor r ent es é igual à soma vect or ial dos moment os das vár ias f or ças em r elação ao mesmo pont o O.Est e r esult ado per mit e subst it uir a det er minação dir ect a do moment o de uma f or ça pela det er minação dos moment os das suas component es car t esianas.
Se, em par t icular , t odas as f or ças f or em co-planar es e se O per t ence a esse
mesmo plano, t odos os moment os t êm a dir ecção per pendicular ao plano, e t em-se ,O ,O
R Fi
M =
Â
M Sist emas equivalent esA equação r×
(
F1+F2 +....)
=r×R per mit e concluir que um sist ema de f orças concorrent es pode ser subst it uído por uma única f or ça, a sua r esult ant e aplicada em A, que é sempr e equivalent e a esse sist ema de f or ças concor r ent es par a ef eit os de t r anslação e de r ot ação.
Not e que, em ger al, o moment o r esult ant e de um sist ema de f or ças,
1, 2,...
F F , em r elação a um pont o não coincide com o moment o da
x y
z
z x
y
y z
x
yF xF
M
xF zF
M
zF yF
M
−
=
−
=
−
=
Component es Cart esianas do Moment o de uma Força
Em ger al, a det er minação do moment o de uma f or ça no espaço ser á simplif icada se a f or ça e o vect or -posição do seu pont o de aplicação f or em decompost os nas suas component es car t esianas x, y e z:
Subst it uindo
ˆ ˆ ˆ r = xi + y j + zk
ˆ ˆ ˆ
x y z
F = F i + F j+ F k
em
F,O
M = ¥ r F
e calculando o pr odut o vect or ial dos dois vect or es, escr evemos o moment o MF,O de F em r elação a O na f or ma
,O
ˆ ˆ ˆ
x y z
MF = M i + M j +M k
onde as component es escalar es ou car t esianas Mx, My e Mz são def inidas pelas r elações
As component es escalar es Mx, My e Mz do moment o MF,O medem a
t endência da f or ça F pr oduzir no cor po r ígido um moviment o de r ot ação em t or no dos eixos Ox, Oy e Oz, r espect ivament e.
Ret omando o caso bidimensional, e supondo que a f or ça se sit ua no plano xy, t emos que z = 0 e Fz = 0 e por t ant o
( )
,O
ˆ ˆ
z y x
MF = M k = xF - yF k
z 0
M > MF,O apont a par a f or a do papel (a f or ça t ende a gir ar o cor po no sent ido ant i- hor ár io, em t or no de O)
4. 3. Moment o de uma f orça em relação a um eixo - moment o axial
Consider emos de novo uma f or ça F que act ua num cor po r ígido e o moment o MF,O, dessa f or ça em r elação a O. Sej a OL um eixo or ient ado que passa por O.
Def ine-se moment o MF,OL da f or ça
F em r elação a um eixo OL, como sendo a pr oj ecção vect or ial OC do moment o MF,O sobr e o eixo OL.
Sendo o eixo OL or ient ado, podemos def inir um vect or unit ár io λˆ na
dir ecção e sent ido do eixo. A pr oj ecção do moment o MF,O sobr e o eixo OL ser á ent ão dada pelo escalar r esult ant e do pr odut o mist o
( )
,OL ,O
ˆ ˆ
F F
M = l i M = l i r ¥ F
e o moment o da f or ça em r elação a um eixo é dado por
,OL ,OL
ˆ
F F
M = M l
Com est a def inição de moment o axial pode demonst r ar -se que a pr oj ecção do moment o da f or ça F sobr e o eixo OL ser á sempr e a mesma, qualquer que sej a o pont o consider ado sobr e o eixo OL.
