UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB ´

A

PROVA DE C ´

ALCULO 1 e 2

PROVA DE TRANSFERˆ

ENCIA INTERNA, EXTERNA E PARA

PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 16/10/2016

CANDIDATO:

CURSO PRETENDIDO:

OBSERVAC

¸ ˜

OES:

1. Prova SEM consulta;

2. A prova PODE ser feita a l´apis;

3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares; 4. Dura¸c˜ao: 2 HORAS.

5. Nas quest˜oes discursivas EXPLICITAR os c´alculos.

Quest˜ao 1 (10 pontos). Avalie: lim x→0 |x − 1| x − 1 a) 0 b) −1 c) ∄ d) 1 Resposta: b)

Usando a defini¸c˜ao do valor absoluto, para valores pr´oximos ao zero temos, lim

x→0

|x − 1|

x − 1 =x→0lim−1 = −1

Quest˜ao 2 (10 pontos). Considere a sequˆencia an = n(1 + n2)p. Para quais valores

de p a s´erie ∞ X n=0 an ´e convergente? a) p ∈ (−∞, −1) b) p ∈ (−∞, −1] c) p ∈ (−∞, 0) d) p ∈ (−1, 0) Resposta: a)

a qual ´e finita quando p < −1.

Quest˜ao 3 (10 pontos). Encontre o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao em torno do eixo x da regi˜ao x2

≤ y ≤ x com x ∈ [0.2].

a) 4π b) 2π c) 3π d) 8π

Resposta: a)

Note que as fun¸c˜oes x2 _{e x se cruzam em x = 1, assim o volume ´e dado pelas integrais}

V = π Z1 0 (x2− x4)dx + π Z2 1 (x4− x2)dx = 4π.

Quest˜ao 4 (10 pontos). Considere fun¸c˜ao f(x, y) = x2_{− xy}3_{, se x = u}2_{v + w}3 _e

y = v + ucos(w), calcule ∂f ∂w para u = 0, v = 1 e w = 1. a) −3 b) 3 c) 0 d) 2 Resposta: b)

Usando a regra da cadeia obtemos ∂f

∂w = 6 u

2_{v + w}3
_w2

− 3 w2(v + ucos (w))3+ 3 u2v + w3
(v + u cos (w))2

usin (w) avaliando nos valores dados temos

∂f ∂w = 3

Vamos calcular a integral Zπ/2 0 cos(x)sen (2x)dx = 2 Zπ/2 0 cos2(x)sen (x)dx = 2 3.

Quest˜ao 6 (10 pontos). Avalie

Z _xdx x4_{− 1}

Resposta:

Calculando via fra¸c˜oes parciais temos Z xdx x4_{− 1} = 1 4ln (x − 1) + 1 4ln (x + 1) − 1 4ln x 2<sub>+ 1
+ C</sub>

onde C ´e uma constante arbitr´aria.

Quest˜ao 7 (10 pontos). Avalie lim

(x,y)→(0,0)

ex2_+y2

px2_{+ y}2

Resposta:

Por qualquer caminho o denominador vai a zero por valores positivos, enquanto o numer-ador tende a 1, logo a fun¸c˜ao tende a +∞.

Quest˜ao 8 (10 pontos). Sabendo que

e ainda, ∞ X n=3 1 (2n)2 = ∞ X n=1 1 (2n)2 − 1 4− 1 16 = π2 24− 5 16.

Quest˜ao 9 (10 pontos). _{Para x ∈ [0, π], determine o ponto de m´ınimo da fun¸c˜ao} f(x) =sen (x) + cos(x).

Resposta:

A derivada ´e dada por

f′_{(x) =cos(x) − sen (x)}

e est´a definida para todo valor de x, se anulando, no intervalo do enunciado, quando x = π₄, logo este valor de x ´e ponto cr´ıtico de f. Avaliando, a fun¸c˜ao no ponto cr´ıtico e nas extremidades do intervalo temos

f(0) = 1, fπ 4



=√2, f(π) = −1. Logo, o ponto de m´ınimo ´e x = π.

Quest˜ao 10 (10 pontos). Avalie Z√ π 0 2x3cos(x2 )dx. Resposta:

Resolvendo a integral indefinida obtemos, Z

2x3cos(x2_{)dx =cos(x}2_{) + x}2_{sen (x}2_{) + C,}

logo,

Z√π 0

2x3cos(x2)dx = −2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

FÍSICA – PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 16/10/2016

CANDIDATO: _______________________________________________________ CURSO PRETENDIDO: _______________________________________________ OBSERVAÇÕES: 01 – Prova sem consulta.

02 – Duração: 2 HORAS

1) Uma partícula descreve um movimento unidimensional ao longo do eixo x. A força resultante sobre essa partícula é dada por F = – k x. Supondo que o valor da constante

k seja 3,0 N/m, o trabalho realizado por essa força quando a partícula vai da posição

x = 0,20 m até a posição x = 0,40 m é: a) – 0,60 J. b) – 0,18 J. c) zero. d) 0,18 J. e) 0,60 J. Solução: Alternativa (b).

2) Um pêndulo simples é constituído por uma esfera de massa M presa a um fio inextensível de comprimento L, como mostra a figura ao lado. O pêndulo é solto a partir do repouso quando o fio faz um ângulo  com a vertical e passa a oscilar livremente sem atrito, descrevendo um movimento circular cujo centro é o ponto O. Quando a esfera passa pelo ponto mais baixo da trajetória, movendo-se da direita para a esquerda, movendo-seu momento angular em relação ao ponto O é:

a) horizontal e aponta para a esquerda da figura;

b) horizontal e aponta para a direita da figura; c) vertical e aponta para a parte de cima da

figura;

d) perpendicular ao plano do papel; e) nulo.

O

Solução: Alternativa (d).

3) A figura abaixo mostra seis imagens sucessivas que registram a posição de um cubo que se desloca da esquerda para a direita ao longo de uma superfície horizontal plana. Considerando que o tempo decorrido entre uma imagem e a seguinte seja o mesmo, que a força resultante sobre o cubo seja constante e que o eixo x esteja orientado para a direita, é correto afirmar que:

a) A velocidade inicial do cubo e sua aceleração são positivas. b) A velocidade inicial do cubo e sua aceleração são negativas.

c) A velocidade inicial do cubo é positiva e sua aceleração é negativa. d) A velocidade inicial do cubo é negativa e sua aceleração é positiva. e) A velocidade inicial do cubo é positiva e sua aceleração é nula. Solução: Alternativa (c).

À medida em que o tempo passa, o cubo se desloca para a direita e a distância entre duas posições sucessivas é cada vez menor. Logo, a aceleração é negativa e a velocidade inicial é positiva.

4) A figura ao lado mostra o movimento de um projétil. Supondo que seja possível desprezar o efeito da resistência do ar, é correto afirmar que no ponto mais alto da trajetória:

a) A aceleração e a velocidade são nulas.

b) A aceleração é nula, mas a velocidade é diferente de zero.

c) A velocidade é nula, mas a aceleração é diferente de zero.

d) A aceleração e a velocidade são diferentes de zero.

e) É impossível saber se a aceleração e a velocidade serão nulas ou não.

Solução: Alternativa (d).

5) Uma haste delgada, homogênea, de comprimento L e massa M pode girar em torno do eixo z, que é perpendicular a seu eixo de simetria. O momento de inércia em cada uma das situações mostradas na figura abaixo é dado por I1, I2 e I3. A partir dessas

informações é correto afirmar que: a) I1 > I2 > I3. b) I1 > I3 > I2. c) I2 > I1 > I3. d) I2 > I3 > I1. e) I3 > I2 > I1. I1 I2 I3

6) Considere as seguintes situações:

I. Um automóvel de massa m viaja com uma velocidade de 90 km/h em uma estrada retilínea e horizontal quando colide com uma carreta que estava em repouso.

II. Um automóvel idêntico a esse, inicialmente em repouso, cai de uma altura h e colide com o chão.

Supondo que a resistência do ar possa ser desprezada, calcule qual deveria ser a altura h para que o momento linear do automóvel imediatamente antes da colisão fosse o mesmo nas duas situações. Adote g = 10 m/s2_.

Solução:

7) Um ônibus viaja ao longo de uma estrada retilínea com uma velocidade constante de 72 km/h enquanto um passageiro caminha ao longo corredor com uma velocidade constante de 1 m/s em relação ao piso do ônibus. Calcule a velocidade desse passageiro em relação à estrada quando:

a) o passageiro sai da primeira fila junto ao motorista e vai para o fundo do ônibus; b) o passageiro sai da última fila e vai até a frente do ônibus.

Solução:

8) Uma caixa sem tampa tem o formato de um cubo. Todas as suas cinco faces (o fundo da caixa e as quatro faces laterais) são idênticas, têm lado L e massa M. Supondo que a espessura das faces possa ser desprezada, calcule a distância entre o fundo e o centro de massa da caixa.

Solução:

9) Um torque constante é aplicado a um disco homogêneo de 400 g, inicialmente em repouso, que pode girar em torno de um eixo vertical que passa por seu centro. Depois de 5,0 segundos sua velocidade angular chega a 30 rotações por minuto. Sabendo que o raio do disco é de 20 cm, calcule:

a) a aceleração angular do disco; b) o torque aplicado a ele.

Dado:

I

Solução:

Como o torque e o momento de inércia são constantes, a aceleração angular também será constante. Então:

(a)

10) Duas caixas A e B estão conectadas por uma corda inextensível, como mostra a figura acima. A caixa B é puxada para a direita com uma força constante de 20 N. Supondo que não haja atrito entre as caixas e o solo, que a massa de A seja 2,0 kg e que a massa de B seja 3,0 kg, calcule:

a) A aceleração da caixa A.

b) A tração na corda que une as duas caixas.