UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
(Mestrado)
KATIA ACOSTA SOARES
E
XISTÊNCIA E COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO DE
SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA ONDA DEGENERADA COM
CONDIÇÕES DE FRONTEIRA NÃO LINEARES
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
E
XISTÊNCIA E COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO
DE SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA ONDA
DEGENERADA COM CONDIÇÕES DE FRONTEIRA
NÃO LINEARES
KATIA ACOSTA SOARES
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Esta-dual de Maringá - UEM-PR, como parte dos requi-sitos necessários à obtenção do grau de Mestre. Área de concentração: Análise.
Orientadora: Profa. Dra. Claudete Matilde Webler
Martins.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Biblioteca Setorial BSE-DMA-UEM, Maringá, PR, Brasil)
Soares, Katia Acosta
S676e Existência e comportamento assintótico de soluções da equação da onda degenerada com condições de
fronteira não lineares / Katia Acosta Soares. – Maringá, 2019.
115 f. : il.
Orientadora: Prof.ª Dr.ª Claudete Matilde Webler Martins.
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Maringá, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática - Área de Concentração: Análise, 2019.
1. Equação da onda degenerada. 2. Condições de fronteira não lineares. 3. Método de Galerkin. 4. Método de energia perturbada. 5. Degenerate wave equation. 6. Nonlinear boundary condition. 7. Galerkin method. 8. Perturbed energy method. I. Martins,
Claudete Matilde Webler, orient. II. Universidade Estadual de Maringá, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática - Área de Concentração: Análise. III. Título.
CDD 22.ed. 515.3535
Agradecimentos
Agradeço, primeiramente, à minha família que sempre esteve comigo durante essa caminhada. Em especial aos meus pais, Maria e Henrique, pelo carinho e incentivo aos estudos. Às minhas irmãs Ilma, Ângela e Helena por sempre, com carinho, cuidarem de mim.
À minha irmã Ilma, e meu cunhado Calixto, pelo incentivo aos estudos e pelo apoio financeiro especialmente na graduação e no mestrado, que me propiciaram a chance de estudar.
Aos meus amigos, pelos momentos de alegria e desafios vividos juntos. Em espe-cial, aos meus amigos da graduação Edcleia, Rafael e Benverson pelo carinho, compa-nheirismo e apoio nos momentos de estudo. Às minhas amigas do mestrado Nágela e Kamila pelo conhecimento e pelas alegrias compartilhadas, que me ajudaram a lidar com a saudade.
À minha orientadora Profa. Claudete M. W. Martins pela paciência, sabedoria,
com-preensão, dedicação e incentivo que tornaram possível a conclusão deste trabalho. Ao Profo. Wellington José Corrêa e a Profa. Valéria Neves Domingos Cavalcanti
pelas contribuições na correção deste trabalho.
À todos os meus professores que contribuíram com a minha formação profissional e pessoal.
À CAPES, pelo apoio financeiro, que foi essencial para minha dedicação exclusiva aos estudos.
Enfim, agradeço a todos que ajudaram-me direta ou indiretamente a superar, com persistência e paciência, os desafios até aqui. Agradeço a todos aqueles que acredita-ram em mim.
Meu muito Obrigada!
Resumo
Neste trabalho estudamos a equação da onda degenerada com condições de fron-teira não lineares
ρ(x)y00− ∆y = 0 em Ω × (0, ∞), y = 0 em Γ1× (0, ∞), ∂y ∂ν + y 0 + f (y) + g(y0) = 0 em Γ0× (0, ∞),
y(x, 0) = y0(x), (√ρy0)(x, 0) = (√ρy1)(x) em Ω,
onde y0 denota a derivada de y com relação a variável t, as funções f , g e ρ satisfazem hipóteses apropriadas. A existência de soluções será provada por meio do Método de Faedo-Garlekin. Além disso, o decaimento uniforme será obtido por meio do Método de Energia.
Abstract
In this work we study the degenerated wave equation with nonlinear boundary conditions ρ(x)y00− ∆y = 0 em Ω × (0, ∞), y = 0 em Γ1× (0, ∞), ∂y ∂ν + y 0 + f (y) + g(y0) = 0 em Γ0× (0, ∞),
y(x, 0) = y0(x), (√ρy0)(x, 0) = (√ρy1)(x) em Ω,
where y0 denoting the derivative of y with respect to t, the functions f , g and ρ sa-tisfying suitable hypothesis. The existence of solutions will be proved using the Faedo-Garlekin Method. In addition, the uniform decay will be obtained by means of the Energy Method.
SUMÁRIO
Introdução 12
1 Resultados Preliminares 15
1.1 Alguns resultados de Análise Funcional . . . 15
1.1.1 Espaços de Banach e Espaços de Hilbert . . . 15
1.1.2 Topologia Fraca e Topologia Fraca ∗ . . . 17
1.2 Teoria das distribuições e Espaços funcionais . . . 19
1.2.1 Distribuições e derivada fraca . . . 19
1.2.2 Os Espaços Lp(Ω) . . . . 21
1.2.3 Os Espaços de Sobolev . . . 24
1.3 Espaços funcionais a valores vetoriais . . . 31
1.4 Teoria do Traço . . . 35
1.5 Teorema de Carathéodory . . . 37
1.6 Resultados auxiliares . . . 38
2 Equação da onda degenerada com condições de fronteira não lineares 45 2.1 Hipóteses . . . 45
2.2 Existência e unicidade de solução . . . 48
2.2.1 Estimativas a priori . . . 57
SUMÁRIO 11
2.2.3 Passagem ao limite . . . 75
2.2.4 Condições iniciais . . . 82
2.2.5 Unicidade . . . 85
2.3 Existência de solução fraca . . . 88
2.3.1 Passagem ao Limite . . . 93
2.3.2 Condições iniciais . . . 97
3 Comportamento assintótico 98
INTRODUÇÃO
Este trabalho foi baseado no artigo de Marcelo Moreira Cavalcanti, Váleria Neves Domingos Cavalcanti e Juan Amadeo Soriano [8].
Sejam Ω um domínio limitado do Rn com fronteira Γ de classe C2. Sejam Γ 0 e Γ1
subconjuntos não vazios de Γ tais que Γ = Γ0∪ Γ1 com Γ0 ∩ Γ1 = ∅.Consideramos a
equação da onda degenerada (ρ ≥ 0) com condições de fronteira não lineares
(∗) ρ(x)y00− ∆y = 0 em Ω × (0, ∞), y = 0 em Γ1× (0, ∞), ∂y ∂ν + y 0 + f (y) + g(y0) = 0 em Γ0× (0, ∞),
y(x, 0) = y0(x), (√ρy0)(x, 0) = (√ρy1)(x) em Ω, onde y0 denota a derivada de y com respeito ao parâmetro t.
INTRODUÇÃO 13
(2000) [10], Cavalcanti (1999) [9] e Cavalcanti e Domingos Cavalcanti [5], devido aos autores, a necessidade de estimativas adicionais para passar o limite traz à tona difi-culdades técnicas as quais são superadas considerando uma mudança de variáveis, a qual transforma o problema (∗) em um equivalente com dados iniciais nulos.
A fim de obter o decaimento exponencial da energia, usamos o método de energia perturbada, veja por exemplo, Komornik e Zuazua [20]. Para isso, consideramos Γ0 e
Γ1como segue
(1) Γ0 = {x ∈ Γ; m(x) · ν(x) > 0} e Γ1 = {x ∈ Γ; m(x) · ν(x) < 0},
onde m(x) = x − x0, x ∈ Rne ν(x) é um vetor normal unitário, normal a Γ em x ∈ Γ,
apontado para fora. A característica que diferencia o artigo [8] dos demais é exata-mente lidar com uma equação da onda degenerada sujeita a condições de fronteira não lineares, o que forçou os autores de [8] a lidar com uma estrutura de Liapunov mais difícil do que uma usada pelos mesmos autores num trabalho anterior, [9]. De fato, em [9] foi estudada a equação da onda com condições de fronteira não lineares sujeita a um amortecimento por atrito adicional atuando no domínio, cujo decaimento foi estabelecido considerando um funcional de Lyapunov padrão. Além disso, tiveram que lidar com a degeneracidade da função ρ = ρ(x).
Assumimos que ρ ≥ 0 em Ω, satisfazendo a seguinte condição (2) ∇ρ · m ≥ 0em Ω.
Segundo o ponto de vista físico, se ρ ≥ 0 é a densidade de massa do material o qual é modelado para ter a forma de Ω, a hipótese (2) nos informa que a distribuição da massa é concentrada de tal maneira que a densidade da massa cresce tanto quanto a distância dos pontos de Ω até o ponto x0. Por outro lado, se ρ = 0, (∗) é um problema elíptico
com condições de fronteira dinâmica o qual pode ser reduzido ao seguinte problema
(3) = Ay + y0 + f (y) + g(y) = 0 em Γ0× (0, ∞), y = 0 em Γ1× (0, ∞), y(x, 0) = γ0(y0) em Γ,
onde γ0 é o operador traço e A : H
1
2(Γ0) → H− 1
INTRODUÇÃO 14
dado por Aϕ = ∂w
∂ν onde ω é a única solução do problema elíptico
(4) ∆ω = 0 em Ω, ω = 0 em Γ1, ω = ϕ em Γ0.
O problema (3) juntamente com (4), reduz (3) a um problema físico matemático sobre uma variedade. Nesta direção, é importante mencionar o trabalho de Cavalcanti e Domingos Cavalcanti [5].
Considerando que a hipótese acima é válida, podemos mostrar que toda solução regular e fraca do problema (∗) decai uniformemente. Em outras palavras, se
E(t) = 1 2 Z Ω ρ|y0|2dx +1 2 Z Ω |∇y|2dx + C0 δ + 2 Z Γ0 |y|δ+2dΓ, (0-1)
é a energia associada ao problema (∗), podemos obter E(t) ≤ C e−θt, para todo t ≥ 0 e C, θconstantes positivas.
Podemos citar ainda, alguns trabalhos mais recentes que foram publicados depois de [8], que abordam estudos semelhantes, entre eles os trabalhos de Sung e Wang [37], Feng [17], e de Cavalcanti, Domingos Cavalcanti e Santos [7].
CAPÍTULO 1
RESULTADOS PRELIMINARES
Neste capítulo apresentaremos os principais conceitos, resultados e notações que serão necessários para o desenvolvimento deste trabalho. Ao longo deste capítulo, Ω denotará um subconjunto aberto de Rn.
Cabe destacar que não provaremos os resultados expostos, mas citaremos a refe-rência onde as provas estão feitas.
1.1
Alguns resultados de Análise Funcional
1.1.1
Espaços de Banach e Espaços de Hilbert
Definição 1.1. Um espaço normado X é um espaço vetorial, com uma norma definida em X, ou seja, existe uma aplicação k·kX : X → R+ tal que para quaisquer x, y ∈ X e α ∈ R:
• kxkX = 0 ⇔ x = 0; • kαxkX = |α| kxkX;
• kx + ykX ≤ kxkX + kykX.
1.1 Alguns resultados de Análise Funcional 16
norma.
Definição 1.3. Um espaço vetorial normado (X, k·k) é chamado de espaço de Banach quando toda sequência de Cauchy em X é convergente em X, com respeito à métrica induzida pela norma k·k, isto é, X é um espaço normado completo.
Definição 1.4. Seja X um espaço vetorial normado e k·k1, k·k2 duas normas em X. Dizemos que k·k1 é equivalente a k·k2 quando existem constantes C1 > 0e C2 > 0tais
que
C1kxk1 ≤ kxk2 ≤ C2kxk1, para todo x ∈ X.
Definição 1.5. Seja X um espaço vetorial. Um produto interno em X é uma função h·, ·iX : X × X → R+tal que para quaisquer x, y, z ∈ X e α ∈ R:
• hx + y, ziX = hx, ziX + hy, ziX; • hαx, yiX = α hx, yiX;
• hx, yiX =hy, xiX; • hx, xiX = 0 ⇔ x = 0.
Neste caso, X com um produto interno h·, ·iX é chamado espaço com produto interno ou espaço pré-Hilbert.
Definição 1.6. Dizemos que X é um espaço de Hilbert, quando X é um espaço pré-Hilbert completo, em relação a norma definida por ||x||X =phx, xiX.
Observação 1.7. Se X é um espaço com produto interno então X é um espaço normado, e se Xé um espaço de Hilbert então X é Banach.
Teorema 1.8. Seja Y um subespaço de um espaço de Hilbert H. Então: (a) Y é completo se, e somente se, Y é fechado em H.
(b) Se Y tem dimensão finita, então Y é completo.
(c) Se H é separável, então Y é separável. De forma geral, todo subconjunto de um espaço com produto interno separável é separável.
1.1 Alguns resultados de Análise Funcional 17
Demonstração. Ver Teorema 4.6.6 em [22].
Definição 1.10. Seja X um espaço de Hilbert. Detonamos por X0 o conjunto de todos os funcionais lineares limitados sobre X, o qual chamamos de espaço dual de X.
Definição 1.11. Sejam X e Y espaços de Banach com X ⊆ Y . O operador de imersão j : X * Y é definido por j(u) = u para todo u ∈ X.
(i) A imersão X ⊆ Y é chamada continua se, e somente se, o operador j é contínuo, isto é, existe uma constante positiva b tal que
||u||Y ≤ b||u||X, para todo u ∈ X.
(ii) A imersão X ⊆ Y é chamada compacta se, e somente se, o operador j é contínuo e toda sequência limitada em X possui uma subsequência convergente em Y . Escrevemos X ,→ Y e X ,→ Yc para representar imersões contínuas e imersões compactas, respectivamente.
1.1.2
Topologia Fraca e Topologia Fraca ∗
Considerando E um espaço de Banach, a topologia fraca σ(E, E0)sobre E é a topolo-gia menos fina sobre E que torna contínuas todas as aplicações f ∈ E0.
Seja {xn} uma sequência convergente para x na topologia fraca σ(E, E0),
escreve-mos xn * x em E.
Proposição 1.12. Seja {xn}n∈Numa sequência em E, então
(i) xn * xem E se, e somente se, hu, xni −→ hu, xi , ∀u ∈ E0;
(ii) Se xn−→ x em E, então xn * xem E;
(iii) Se xn* xem E, então ||xn||E é limitada e ||x||E ≤ lim inf ||xn||E;
(iv) Se xn* xem E e un−→ u em E0, então hun, xni −→ hu, xi.
1.1 Alguns resultados de Análise Funcional 18
Sejam E um espaço de Banach e x ∈ E fixo. Considere a aplicação
Jx : E0 → R
u 7→ hJx, ui = hu, xi ,
que é linear e contínua e portanto Jx ∈ E00, para todo x ∈ E. Deste modo, definamos a
aplicação J : E → E00tal que J(x) = Jx, a qual é chamada de injeção canônica de E em
E00.
A topologia fraca ∗, ou σ(E0, E), é a topologia menos fina sobre E0que faz contínuas todas as aplicações Jx.
Seja {un} uma sequência convergente para u na topologia fraca ∗ σ(E0, E),
simboli-camente escrevemos
un ∗
* u em E0. Proposição 1.13. Seja {un}n∈Numa sequência em E0, então
(i) un ∗
* uem E0 se, e somente se, hun, xi −→ hu, xi , ∀x ∈ E;
(ii) Se un−→ u em E, então un * uem σ(E0, E00);
(iii) Se un* uem σ(E0, E00), então un ∗
* uem E0;
(iv) Se un ∗
* uem E0, então ||un||E0 é limitada e ||u||E0 ≤ lim inf ||un||E0;
(v) Se un ∗
* uem E0e x
n−→ x em E, então hun, xni −→ hu, xi.
Demonstração. Ver Proposição 3.13 em [2].
Teorema 1.14. Seja X um espaço de Banach e separável. Então toda sequência limitada {un}
em X0 possui uma subsequência {u
nk} convergente fraco ∗ para u em X
0.
Demonstração. Ver Teorema 21.E em [39].
Teorema 1.15. Seja (un)n∈N uma sequência limitada em um espaço de Banach reflexivo X,
então (un)possui uma subsequência fracamente convergente.
1.2 Teoria das distribuições e Espaços funcionais 19
1.2
Teoria das distribuições e Espaços funcionais
1.2.1
Distribuições e derivada fraca
Dados α = (α1, α2, ..., αn) ∈ Nn, definimos |α| = α1+ α2... + αn. Representamos por
Dαo operador de derivação de ordem |α|, isto é,
Dα = ∂ |α| ∂α1 x1∂ α2 x2...∂xαnn .
No caso 0 = (0, 0, ..., 0) o operador D0será representado pelo operador identidade.
Seja Ω um aberto do Rn. Representamos por C∞(Ω)
o espaço vetorial das funções numéricas definidas em Ω, indefinidamente continuamente deriváveis em Ω.
Definição 1.16. Seja u : Ω −→ R uma função contínua. Definimos o suporte de u, e denotaremos por supp(u), como sendo o fecho em Ω do conjunto dos pontos de Ω onde u é diferente de zero. Isto é, supp(u) = {x ∈ Ω; u(x) 6= 0}Ω. Se este conjunto for um compacto do Rn, então dizemos que u possui suporte compacto.
Definição 1.17. Denotaremos por C0∞(Ω) o espaço vetorial, com as operações usuais,
das funções infinitamente diferenciáveis em Ω e que tem suporte compacto. Definição 1.18. Uma sequência (ϕν)em C0∞(Ω) converge para ϕ em C
∞
0 (Ω), quando
existe um compacto K de Ω, tal que:
(i) supp(ϕ), supp(ϕν) ⊂ K, para todo ν ∈ N;
(ii) Para todo multi-índice α ∈ Nn, tem-se Dα(ϕ
ν − ϕ) −→ 0 uniformemente em K.
O espaço C∞
0 (Ω), munido dessa noção de convergência, é chamado de Espaço das
Funções Testes sobre Ω e é representado por D(Ω).
Definição 1.19. Uma distribuição sobre um aberto Ω ⊂ Rn é um funcional linear T :
D(Ω) −→ R, contínuo no sentido da convergência em D(Ω), isto é, (i) T (aϕ + bψ) = aT (ϕ) + bT (ψ), para toda função ϕ, ψ ∈ D(Ω);
1.2 Teoria das distribuições e Espaços funcionais 20
O Espaço das Distribuições sobre Ω é denotado por D0(Ω).
Se T ∈ D0(Ω), representamos o valor da distribuição T em ϕ por hT, ϕi. Com isso, dizemos que Tν → T em D0(Ω),quando
hTν, ϕi → hT, ϕiem R, para toda função ϕ ∈ D(Ω).
Denotaremos por L1
loc(Ω), o espaço das (classes de) funções u : Ω → R tais que |u| é
integrável no sentido de Lebesgue sobre cada compacto K ⊂ Ω. Lema 1.20. (Du Bois Raymond) Seja u ∈ L1
loc(Ω)tal que
Z
Ω
u(x)ϕ(x)dx = 0, para toda ϕ ∈ D(Ω).
Então, u = 0 quase sempre em Ω.
Demonstração. Ver Corolário 4.24 em [2]. Exemplo 1.21. Seja u ∈ L1
loc(Ω). O funcional Tu : D(Ω) → R, definido por
hTu, φi =
Z
Ω
u(x)φ(x)dx, ∀φ ∈ D(Ω),
é uma distribuição sobre Ω.
Demonstração. Ver Exemplo 4, Capítulo 1, em [29].
Observação 1.22. Segue do Lema de Du Bois Raymond que se u, v ∈ L1
loc(Ω), então Tu = Tv
em D0(Ω)se, e somente se, u = v. Desta forma, temos uma correspondência biunívoca entre as
distribuições do tipo Tu com o espaço L1loc(Ω).
Exemplo 1.23. Seja (uν)uma sequência de funções em Lp(Ω), convergente para u em
Lp(Ω). Então (T
uν)converge para Tu em D
0(Ω)
. Demonstração. Ver Exemplo 6, Capítulo 1, em [29].
1.2 Teoria das distribuições e Espaços funcionais 21
Definição 1.24. Uma função u ∈ L1
loc(Ω) é derivável no sentido fraco em Ω, quando
existe uma função v ∈ L1
loc(Ω)tal que
Z Ω u(x)∂ϕ ∂xj (x)dx = − Z Ω v(x)ϕ(x)dx.
para toda função ϕ ∈ D(Ω).
Definição 1.25. Seja T uma distribuição sobre Ω e α um multi-índice. A derivada DαT
de ordem |α| de T é um funcional Dα
: D(Ω) → R definido por hDαT, ϕi = (−1)nhT, Dαϕi .
Além disso, Dαé uma distribuição sobre Ω.
Observação 1.26. Decorre da definição acima que uma distribuição tem derivada de todas as ordens. Além disso, o operador Dα : D0(Ω) → D0(Ω) dado por Dα(T ) = DαT é linear e
contínuo no sentido da convergência definida em D0(Ω). Para mais detalhes veja [29].
1.2.2
Os Espaços L
p(Ω)
Definição 1.27. Denotaremos por Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞, o conjunto das (classes de) funções
reais f definidas em Ω cuja p-ésima potência é integrável no sentido de Lebesgue e por L∞(Ω)denotaremos o conjunto das (classes de) funções mensuráveis e essencialmente limitadas em Ω.
Definição 1.28. Por Lploc(Ω), 1 ≤ p < ∞, denotaremos o espaço das (classes de) funções reais definidas em Ω, cuja p-ésima potência é integrável à Lebesgue sobre qualquer subconjunto compacto Rn contido em Ω e por L∞
loc(Ω) o espaço das (classes de)
fun-ções mensuráveis e essencialmente limitadas em qualquer subconjunto compacto do Rncontido em Ω.
Teorema 1.29. O espaço Lp(Ω)munido da norma
1.2 Teoria das distribuições e Espaços funcionais 22
é um espaço de Banach.
Demonstração. Ver Teorema 2.10 em [1].
Corolário 1.30. O espaço L2(Ω)é um espaço de Hilbert com o produto interno dado por
(u, v)L2(Ω) = (u, v) =
Z
Ω
u(x)v(x)dx.
Teorema 1.31. Lp(Ω)é um espaço separável se 1 ≤ p < ∞.
Demonstração. Ver Teorema 2.15 em [1].
Teorema 1.32. Lp(Ω)é um espaço reflexivo se 1 < p < ∞.
Demonstração. Ver Teorema 2.35 em [1].
Teorema 1.33. Se 0 < p1 < p2 ≤ ∞ e |Ω| < ∞, então Lp2(Ω) ⊂ Lp1(Ω), onde |Ω| denota a
medida de Lebesgue de Ω.
Demonstração. Ver Teorema 8.2 em [38].
Teorema 1.34. Lp(Ω) ⊂ L1loc(Ω)para 1 ≤ p ≤ ∞ e qualquer domínio Ω. Demonstração. Ver Corolário 2.9 em [1].
Teorema 1.35. Seja (hn)n∈N uma sequência em Lp(Ω) e seja h pertencente a Lp(Ω) tal que
||hn− h||L2(Ω) −→ 0. Então, existe uma subsequência (hnj)e uma função l ∈ Lp(Ω)tal que
(a) hnj −→ h quase sempre em Ω,
(b) |hnj(x)| ≤ l(x) ∀j,quase sempre em Ω.
Demonstração. Ver Teorema 4.9 em [2]. Teorema 1.36. C0∞(Ω)é denso em Lp(Ω).
Demonstração. Ver Teorema 2.19 em [1].
Definição 1.37. Seja 1 ≤ p ≤ ∞. Dizemos que um número real q é expoente conjugado de p quando 1
p + 1
1.2 Teoria das distribuições e Espaços funcionais 23
Teorema 1.38. (Desigualdade de Young) Sejam 1 < p < ∞ e q ∈ R tais que 1 p + 1 q = 1. Dados a, b ≥ 0, então ab ≤ a p p + bq q. Demonstração. Ver Apêndice B.2 em [16].
Corolário 1.39. (Desigualdade de Young para ε) Dados a, b ≥ 0 e ε > 0 vale ab ≤ εap+ 1
q(εp)q/pb q.
Demonstração. Ver Apêndice B.2 em [16].
Teorema 1.40. (Desigualdade de Minkowski) Se 1 ≤ p ≤ ∞ então
kf + gkp ≤ kf kp+ kgkp.
Demonstração. Ver Apêndice B.2 em [16].
Teorema 1.41. (Desigualdade de Hölder) Sejam 1 ≤ p ≤ ∞ e q o expoente conjugado de p. Se f ∈ Lp(Ω)e g ∈ Lq(Ω), então f g ∈ L1(Ω)e
kf gk1 ≤ kf kpkgkq.
Demonstração. Ver Teorema 4.6 em [2].
Teorema 1.42. (Desigualdade de Hölder generalizada) Sejam u1, u2, ..., uk funções reais,
tais que ui ∈ Lp(Ω), 1 ≤ pipara i = 1, ..., k, e ainda,Pki=1p1
i = 1então Qk i=1ui ∈ L p(Ω)e Z Ω k Y i=1 ui(x) dx ≤ k Y i=1 Z Ω |ui(x)|pi pi1 .
Demonstração. Ver Teorema 3.1.1 em [36].
Teorema 1.43. (Teorema de Representação de Riesz) Sejam 1 < p < ∞ e f ∈ (Lp(Ω))0.
Então existe uma única função u ∈ Lq(Ω)com 1
p+ 1 q = 1, tal que hf, vi = Z Ω
1.2 Teoria das distribuições e Espaços funcionais 24
Mas ainda,
kukq = kf k(Lp(Ω))0.
E, se p = 1 e f ∈ (L1(Ω))0
, existe uma única u ∈ L∞(Ω)tal que
hf, vi = Z
Ω
u(x)v(x)dx, ∀ v ∈ L1(Ω) e kuk∞= kf k(L1(Ω))0.
Demonstração. Ver Teorema 4.11 e 4.14 em [2].
Se (u, v)L2(Ω) = 0, então u e v são ditos ortogonais. Um conjunto {φα}α∈A é
ortogo-nal se para quaisquer dois elementos do conjunto são ortogonais. Um sistema {φα} é
ortonormal se é ortogonal e ||φα||L2(Ω) = 1, para todo α. Uma coleção ψ1, ..., ψN é dita
linearmente independente se
N
X
k=1
akψk(x) = 0implica que ak= 0, para todo k.
Teorema 1.44. Se {ψk} é ortogonal em L2(Ω), então é linearmente independente.
Demonstração. Ver Teorema 8.22 em [38].
1.2.3
Os Espaços de Sobolev
Definição 1.45. Dado um número inteiro m ≥ 1, representamos por Wm,p(Ω)o espaço
vetorial de todas as funções de Lp(Ω) tais que Dαu ∈ Lp(Ω), para todo α ≤ m, no
sentido distribucional. Simbolicamente,
Wm,p(Ω) = {u ∈ Lp(Ω); Dαu ∈ Lp(Ω), ∀ |α| ≤ m, no sentido distribucional}
Para cada u ∈ Wm,p(Ω)definimos a norma
kukWm,p(Ω) = X |α|≤m Z Ω |Dαu|p 1 p , quando 1 ≤ p < ∞, e kukWm,∞(Ω) = X |α|≤m kDαuk L∞(Ω), quando p = ∞.
Teorema 1.46. O espaço de Sobolev Wm,p(Ω)é um espaço de Banach.
1.2 Teoria das distribuições e Espaços funcionais 25
Em particular, quando p = 2 representamos por Wm,2(Ω) = Hm(Ω). E se Ω = Rn
denotamos por Wm,2(Rn) = Hm(Rn)o espaço
Hm(Rn) = {u ∈ L2(Rn); Dαu ∈ L2(Rn); ∀α ∈ Nn; | α |≤ m},
onde as derivadas são distribucionais, munido do produto interno
(u, v)Hm(Rn) =
X
|α|≤m
(Dαu, Dαv)L2(Rn). (1-1)
Corolário 1.47. Os espaços Hm(Ω)são espaços de Hilbert com a estrutura de produto interno
dada por
(u, v)Hm(Ω) =
X
|α|≤m
(Dαu, Dαv)L2(Ω).
Sabemos que C0∞(Ω) é denso em Lp(Ω), mas não é verdade que C ∞
0 (Ω) é denso
em Wm,p(Ω), para m ≥ 1. Por isto defini-se o espaço Wm,p
0 (Ω)como sendo o fecho de
C0∞(Ω)em Wm,p(Ω). E denotamos por H1
0(Ω)o fecho de D(Ω) em H1(Ω). Representa-se
por W−m,q(Ω)o dual topológico de W0m,p(Ω). O dual topológico de H0m(Ω)denotamos
por H−m(Ω).
Proposição 1.48. O espaço H1(Ω)é um espaço de Hilbert separável munido do produto interno
(u, v)H1(Ω) = Z Ω u(x)v(x)dx + Z Ω n X i=1 ∂u ∂xi ∂v ∂xi dx.
Demonstração. Ver Proposição 1 e 2, Capítulo 3, em [29].
Teorema 1.49. Seja Ω um aberto, limitado, bem regular do Rn. Então, a imersão do H1(Ω)no
L2(Ω)é compacta.
Demonstração. Ver Teorema 6, Capítulo 3, em [29]. Teorema 1.50. D(Rn)é denso em Wm,p(Rn).
Demonstração. Ver Teorema 2.2.1 em [31].
Proposição 1.51. Seja u ∈ Wm,p(Ω). Então supp (Dαu) ⊂ supp u, para todo |α| ≤ m.
1.2 Teoria das distribuições e Espaços funcionais 26
Teorema 1.52. (Desigualdade de Poincaré) Se |Ω| < ∞ então existe uma constante C > 0 tal que
kukL2(Ω) ≤ C k∇ukL2(Ω), ∀u ∈ H
1 0(Ω).
Demonstração. Ver Corolário 9.19 em [2].
Corolário 1.53. As normas kvkH1(Ω) e k∇vkL2(Ω)são equivalentes para todo v ∈ H01(Ω).
Demonstração. Ver Capítulo 3 em [29].
Observação 1.54. A desigualdade de Poincaré é válida também para funções que se anulam (no sentido do traço) em apenas uma parte da fronteira ∂Ω e também para as funções que tem média nula, isto émed1
(Ω)
R
Ωu(x)dx = 0. Para mais detalhes ver [36], página 127.
Definição 1.55. Seja u ∈ L1
(Rn), definimos a transformada de Fourier Fu = ˆupor ˆ
u(y) = (2π)−n2
Z
Rn
e−ihx,yiu(y)dy, para todo y ∈ Rn.
E sua transformada de Fourier inversa F−1u = ˇupor
ˇ
u(y) = (2π)n2
Z
Rn
eihx,yiu(y)dy, para todo y ∈ Rn
onde hx, yi =
n
X
i=1
xiyi.
Teorema 1.56. (Teorema de Plancherel) Seja u ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn)então ˆu, ˇu ∈ L2(Rn)e
kˆukL2(Rn)= kˇukL2(Rn) = kukL2(Rn).
Demonstração. Ver Teorema 1, Capítulo 4, em [16].
Definição 1.57. Em vista do Teorema de Plancherel podemos definir a transformada de Fourier para uma função u ∈ L2
(Rn)como segue. Escolha uma sequência (uk)k∈N ⊂
L1(Rn) ∩ L2(Rn)tal que u
k−→ u em L2(Rn).Pelo Teorema de Plancherel, tem-se
1.2 Teoria das distribuições e Espaços funcionais 27
Logo ( ˆuk)k∈N é uma sequência de Cauchy em L2(Rn). Como L2(Rn) é completo, essa
sequência converge para um limite o qual definimos ˆu = F u: ˆuk−→ ˆu em L2(Rn).
Definimos do mesmo modo ˇu.
Teorema 1.58. (Propriedades da Transformada de Fourier) Seja u, v ∈ L2(Rn)então
(i) R
Rnu¯vdx =
R
Rnu¯ˆvdy.ˆ
(ii) \(D αu) = (iy)αuˆpara cada multi índice α tal que Dαu ∈ L2(Rn).
(iii) Se u, v ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn), então \(u ∗ v) = (2π)n/2uˆˆv.
(iv) Além disso, u = ˇˆu.
Demonstração. Ver Teorema 2, Capítulo 4, em [16].
Definição 1.59. O Espaço de Schwartz ou espaço das funções rapidamente decrescentes, que denotamos por S, é o subespaço vetorial formado pelas funções ϕ ∈ C∞(Rn)tais
que:
lim
kxk7→∞kxk k
Dαϕ(x) = 0
quaisquer que sejam k ∈ N e α ∈ Nn.
Denotamos S0(Rn)como o dual topológico de S(Rn), isto é, o conjunto dos
funcio-nais lineares contínuos sobre S(Rn).
Consideremos o seguinte espaço
{u ∈ S0(Rn); (1 + kxk2
)m2u ∈ Lˆ 2(Rn)}
onde ˆudesigna a transformada de Fourier de u, munido do produto interno
hu, vi =(1 + kxk2
)m2u, (1 + kxkˆ 2) m
2ˆv
L2(Rn). (1-2)
Proposição 1.60. Para todo m ∈ N temos:
Hm(Rn) = {u ∈ S0(Rn); (1 + kxk2)m2 u ∈ Lˆ 2(Rn)}.
1.2 Teoria das distribuições e Espaços funcionais 28
Demonstração. Ver Teorema 2.6.1 em [31] ou Proposição 1, Capítulo 5 , em [4]. Motivados pela Proposição 1.60 temos a seguinte definição:
Definição 1.61. Definimos para s ∈ R, s ≥ 0:
Hs(Rn) = {u ∈ S0; (1 + kxk2)s2u ∈ Lˆ 2(Rn)}
Proposição 1.62. O espaço Hs(Rn)é um espaço de Hilbert, munido do produto interno
hu, vi =(1 + kxk2
)m2 u, (1 + kxkˆ 2) m
2ˆv
L2(Rn).
Demonstração. Ver Proposição 2.6.2 em [31].
Observação 1.63. Se s ≥ 0, temos que Hs(Rn) ,→ L2(Rn) ,→ (Hs(Rn))0 = H−s
(Rn).
Definição 1.64. Seja Ω ⊂ Rnaberto e limitado bem regular (ou o Rn
+) e s ≥ 0. Definimos
para s < m os espaços fracionários
Hs(Ω) = {u = v|Ω; v ∈ H
s
(Rn)} cuja norma é dada por
kukHs(Ω) = inf{kvkHs(Rn); v|Ω = u}.
Observação 1.65. Quando s ≥ 0 é um inteiro as definições de Hs(Ω)e de Hm(Ω)são
equiva-lentes.
Proposição 1.66. Para todo s ≥ 0, Hs(Ω)é um espaço de Hilbert.
Demonstração. Ver Proposição 2, Capítulo 5, em [4]. Proposição 1.67. Se 0 ≤ s1 ≤ s2então Hs2(Ω) ,→ Hs1(Ω).
Demonstração. Ver Proposição 2.6.7 em [31].
Agora, considerando Ω um subconjunto aberto limitado do Rncom fronteira Γ bem
1.2 Teoria das distribuições e Espaços funcionais 29
Seja {(U1, ϕ1), ..., (Uk, ϕk)}um sistema de cartas locais para Γ. A cobertura aberta
Ω, U1, ..., Uk de ¯Ωdetermina uma partição C∞da unidade subordinada à mesma. Mais
precisamente, existem θ0, θ1, ..., θk ∈ C0∞(Rn)tais que
(i) supp(θ0) ⊂ Ω; supp(θi) ⊂ Ui para i = 1, ...k;
(ii) k X i=0 θi(x) = 1; para todo x ∈ ¯Ω; (iii) 0 ≤ θi ≤ 1 para i = 1, ..., k.
Seja u uma função definida sobre Γ. Por (ii), temos que
u(x) =
n
X
i=1
(θiu)(x), quase sempre em Γ. (1-3)
Para cada i ∈ {1, ..., k}, definimos ui(y) = (θiu)(ϕ−1i (y)), onde y ∈P = (0, 1)n−1.
Notemos que S(uθi) ={x ∈ Γ; (uθi)(x) 6= 0} ⊂ supp(θi) ∩ Γ ⊂ Ui∩ Γ.
Então, S(ui) = {x ∈ (0, 1)n−1; (ui)(x) 6= 0}é um compacto do Rn−1 contido no aberto
P. Além disso, como, supp(ui) ⊂ S(ui) ⊂ P podemos estender ui a uma função ˜ui
definida por ˜ ui(y) = (uθi)(ϕ−1i (y)), se y ∈ P 0, se y ∈ Rn−1−P .
Se ˜ui for para todo i = 1, ..., k, uma função integrável em Rn−1 então em virtude de
(1-3) Z Γ u(x)dΓ = k X i=1 Z Γ (uθi)(x)dΓ = k X i=1 Z Rn−1 ˜ ui(y) ¯J (y)dy,
onde ¯J (y)é uma aplicação infinitamente diferenciável sobre Rn−1.
Denotando por dΓ a medida superficial sobre Γ induzida pela medida de Lebesgue, designaremos por Lp(Γ), 1 ≤ p ≤ ∞, o espaço das funções Lp somáveis sobre Γ para a
medida superficial dΓ, munido da norma
kukLp(Γ) = Z Γ | u(x) |p dΓ 1p , se 1 ≤ p < ∞ (1-4) ou, kukL∞(Γ)= sup x∈Γ ess | u(x) |, se p = ∞.
1.2 Teoria das distribuições e Espaços funcionais 30
Cm e por D(Γ) o espaço das funções infinitamente diferenciáveis sobre Γ. Usando a partição da unidade {θi}0≤i≤kintroduzida anteriormente temos,
Lp(Γ) = {u : Γ → R; u ^θi◦ ϕ−1i = ˜ui ∈ Lp(Rn−1), i = 1, ..., k}, Cm(Γ) = {u : Γ → R; u ^θi◦ ϕ−1i = ˜ui ∈ Cm(Rn−1), i = 1, ..., k} e D(Γ) = {u : Γ → R; u ^θi◦ ϕ−1i = ˜ui ∈ Cm(Rn−1), ∀m ∈ N e i = 1, ..., k}. Consideramos a aplicação φi : D(Γ) → D(Rn−1) u 7→ φi(u) = fuθi◦ ϕ−1 (1-5)
Sendo v ∈ D(Rn−1)vem que
hφi(u), viD0(Rn−1)×D(Rn−1) = Z Rn−1 ˜ ui(y)v(y)dy = Z Ui∪Γ u(x)θi(x)v(ϕi(x))Ji(x)dΓ, (1-6)
onde Ji(x)é uma aplicação infinitamente diferenciável sobre Γi = Ui∩ Γ. Definindo
ψi(v)(x) = θi(x)v(ϕi(x))Ji(x), se x ∈ Ui∩ Γ 0, se x ∈ Γ − (Ui∩ Γ)
então, de (1-6) podemos escrever
hφi(u), viD0(Rn−1)×D(Rn−1) =
Z
Γ
u(x)ψi(v)(x)dΓ,
ou ainda, do fato que ψi(v) ∈ D(Γ), temos
hφi(u), viD0(Rn−1),D(Rn−1) = hu, ψi(v)iD0(Γ),D(Γ).
Da igualdade acima e do fato que D(Γ) é denso em D0(Γ), resulta que a aplicação de-finida em (1-5) se prolonga, por continuidade a uma aplicação que ainda denotaremos por φi de D0(Γ)em D0(Rn−1).
Definição 1.68. Definimos para s ∈ R,
1.3 Espaços funcionais a valores vetoriais 31 equipado da norma kukHs(Γ) = k X j=1 kφi(u)k 2 Hs(Rn−1) !12 . Observação 1.69. Alguns resultados sobre o espaço Hs(Γ)
• Hs(Γ)é um espaço de Hilbert em virtude de Hs
(Rn−1)o ser. • D(Γ) é denso em Hs(Γ).
• A imersão H12(Γ) ,→ L2(Γ)é contínua e compacta.
Para mais detalhes consultar [4], [31] ou [28].
Lema 1.70. (Imersões de Sobolev) Seja Ω um aberto limitado do Rn, (n ≥ 2), Ω de classe
Cm e 1 ≤ p < ∞. Então as imersões abaixo são contínuas.
(i) Se mp < n, então Wm,p(Ω) ,→ Lq(Ω), para q ∈
1, np
n − mp
; (ii) Se mp = n, então Wm,p(Ω) ,→ Lq(Ω), para q ∈ [1, ∞) ;
Demonstração. Ver Teorema 2.5.1 em [31].
Teorema 1.71. (Teorema de Rellich-Kondrachov) Seja Ω um aberto limitado bem regular do Rn, para n ≥ 2. Então as seguintes imersões são compactas:
(i) Se p < n, então W1,p(Ω),→ Lc q(Ω), para todo q ∈
1, np
n − mp
; (ii) Se p = n, então W1,p(Ω),→ Lc q(Ω), para todo q ∈ [1, ∞) ;
(iii) Se p > n, então W1,p(Ω),→ Cc 0( ¯Ω).
Demonstração. Ver Teorema 2.5.4 em [31].
1.3
Espaços funcionais a valores vetoriais
Nesta seção iremos determinar espaços em que são levados em conta as variáveis temporal e espacial, o que é necessário para dar sentido a problemas de evolução.
1.3 Espaços funcionais a valores vetoriais 32
Definição 1.72. Sejam X um espaço de Banach e a, b ∈ R.
(a) O espaço Lp(a, b; X), 1 ≤ p < ∞, consiste das funções (classes) mensuráveis sobre
[a, b]com imagem em X, ou seja, as funções u : (a, b) → X tais que
kukLp(a,b;X) := Z b a ku(t)kpX 1 p < ∞.
(b) O espaço L∞(a, b; X)consiste das funções (classes) mensuráveis sobre [a, b] com imagem em X, ou seja, as funções u : (a, b) → X limitadas quase sempre em (a, b). A norma neste espaço é dada por
kukL∞(a,b;X) := sup ess (ku(t)kX) .
(c) O espaço C(a, b; X), consiste de todas as funções contínuas u : (a, b) → X que possuem derivadas contínuas sobre [a, b]. A norma neste espaço é dada por
kukC(a,b;X) := max
t∈[a,b]||u(t)||X.
Definição 1.73. Denotamos por W1,p(0, T ; X)o espaço das funções u ∈ Lp(0, T ; X)tais
que u0 existe no sentido fraco e pertence ao espaço Lp(0, T ; X). Além disso,
||u||W1,p(0,T ;X) := Z T 0 [||u(t)||pX + ||u0(t)||pX] dt 1p se 1 ≤ p < ∞ e sup 0≤t≤T
ess (||u(t)||X + ||u0(t)||X) se p = ∞.
Escrevemos H1(0, T ; X) = W1,2(0, T ; X)e C(a, b; X) em vez de C0(a, b; X).
Teorema 1.74. Sejam m = 0, 1, ..., e 1 ≤ p < ∞, X e Y espaços de Banach. (a) Cm(a, b; X)é um espaço de Banach sobre R.
(b) Lp(a, b; X), 1 ≤ p < ∞ e L∞(a, b; X)são espaços de Banach sobre R.
(d) C(a, b; X) é denso em Lp(a, b; X)e a imersão C(a, b; X) ,→ Lp(a, b; X)é contínua.
1.3 Espaços funcionais a valores vetoriais 33
espaço de Hilbert com produto interno
(u, v)L2(a,b;X) :=
Z
Ω
(u(t), v(t))Xdt. (1-7)
(e) Lp(a, b; X)é separável, se X for separável e 1 ≤ p < ∞.
(f) O espaço Lp(a, b; X)é reflexivo se 1 < p < ∞.
(g) Se X ,→ Y , então Lr(a, b; X) ,→ Lq(a, b; Y ), 1 ≤ q ≤ r ≤ ∞.
Demonstração. Ver Teorema 23.2 em [39].
Definição 1.75. Seja X um espaço de Hilbert. Denotaremos por D(a, b, X) o espaço localmente convexo completo das funções vetoriais ϕ : (a, b) → X infinitamente dife-renciáveis com suporte compacto em (a, b).
Dizemos que uma sequência ϕν −→ ϕ em D(a, b; X) se
(i) Existe um compacto K de (a, b) tal que supp(ϕν) e supp(ϕ) estão contidos em K,
para todo ν;
(ii) Para cada k ∈ N, d
k
dtkϕν −→
dk
dtkϕem X, uniformemente em t ∈ (a, b).
O espaço das aplicações lineares de D(a, b) = D(a, b; R) em X será denotado por D0(a, b; X)
, isto é, S ∈ D(a, b; X) se S : D(a, b) → X é linear e se θν −→ θ em D(a, b)
implicar que hS, θνi −→ hS, θi em X.
Diremos que Sν −→ S em D(a, b; X) se hSν, θi −→ hS, θi para todo θ ∈ D(a, b).
O espaço D0(a, b; X)munido da convergência acima é denominado espaços das dis-tribuições vetoriais de (a, b) com valores em X.
Denotaremos por H1
0(a, b; X)o espaço de Hilbert
H01(a, b; X) :=u ∈ L2(a, b; X); u0 ∈ L2(a, b; X)
e u(a) = u(b) = 0
munido com o produto interno
((w, u)) = Z b a (w(t), u(t))Xdt + Z b a (w0(t), u0(t))Xdt.
Uma vez que X é um espaço de Hilbert, identificamos X ≡ X0. Assim,
identi-ficando L2(a, b; X) com seu dual (L2(a, b; X))0 ≡ (L2(a, b; X0)
1.3 Espaços funcionais a valores vetoriais 34 obtemos D(a, b; X) ,→ H1 0(a, b; X) ,→ L 2(a, b; X) ,→ H−1 (a, b; X) ,→ D0(a, b; X) onde H−1(a, b; X) = [H1 0(a, b; X)] 0
.Aqui ,→ denota a imersão contínua e densa de um espaço no seguinte.
Proposição 1.76. Seja u ∈ L2(a, b; X).Então existe um único funcional h ∈ H−1(0, T ; X)
que verifica hh, θξi = (hu0, θi , ξ)
X, ∀θ ∈ D(0, T ), para todo ξ ∈ X.
Demonstração. Ver Proposição 1 em [33].
Observação 1.77. Baseado na Proposição 1.76, identificamos h com u0. Em razão disso, dire-mos que se u ∈ L2(0, T ; X)então u0 ∈ [H1
0(a, b; X)] 0
.
Corolário 1.78. A aplicação u ∈ L2(0, T ; X) 7−→ u0 ∈ H−1(0, T ; X)
é linear e contínua. Proposição 1.79. Sejam X, Y espaços de Hilbert tal que a imersão X ,→ Y é contínua e u ∈ Lp(0, T ; X), u0 ∈ Lp(0, T ; Y ), com 1 ≤ p ≤ ∞, então u ∈ C0([0, T ]; Y ).
Demonstração. Ver Seção 1, Corolário 1, em [30].
Proposição 1.80. Seja X um espaço de Banach reflexivo e separável. Então o espaço L1(0, T ; X) é separável e L1(0, T ; X)0 ≡ L∞(0, T ; X0).
Demonstração. Ver Exercício 23.12d em [39].
Observação 1.81. Seja X um espaço de Banach reflexivo e separável. Da Proposição 1.80 e do Teorema 1.14, toda sequência limitada (vn)em L∞(0, T ; X0)possui uma subsequência (vnk)
com
vnk
∗
* v em L∞(0, T ; X0)quando n → ∞, isto é, para todo u ∈ L1(0, T ; V ),
Z T 0 hvnk(t), u(t)i dt → Z T 0 hv(t), u(t)i dt, quando n → ∞.
Proposição 1.82. Seja X um espaço de Banach reflexivo e separável. Se vn0 = un em [0, T ]
1.4 Teoria do Traço 35 un ∗ * u em L∞(0, T ; X), quando n → ∞, vn ∗ * v em L∞(0, T ; X), quando n → ∞, então v0 = uem [0, T ].
Demonstração. Ver Exercício 23.12g em [39].
1.4
Teoria do Traço
Consideramos Ω ⊂ Rn um aberto limitado bem regular do Rn com fronteira Γ.
Como vimos D(Γ) é o espaço vetorial das funções reais definidas em Γ, possuindo derivadas parciais contínuas de todas as ordens. Dada uma função u definida em ¯Ω, representaremos por γ0ua restrição de u a Γ. Por D( ¯Ω)representa o conjunto de todas
as funções ϕ : ¯Ω → R que são restrições de funções pertencentes a C0∞(Rn)restrita a ¯Ω.
Em simbologia D( ¯Ω) = {ϕ = ψ|Ω¯, ψ ∈ C0∞(Rn)} .
Proposição 1.83. Existe uma constante positiva C tal que ||γ0u||H1
2(Γ) ≤ C||u||H1(Ω).
Demonstração. Ver Proposição 2.7.1 em [31].
De acordo com a Proposição 1.83 e pelo fato de que D( ¯Ω)é denso em H1(Ω),
pode-mos estender a aplicação γ0 : D( ¯Ω) → H
1
2(Γ)a única aplicação linear e contínua, ainda
representada por γ0,
γ0 : H1(Ω) → H
1 2(Γ)
u 7→ γ0u|Ω, ∀u ∈ D( ¯Ω). (1-8)
A aplicação dada em (1-8) é denominada a aplicação traço de ordem zero. Teorema 1.84. O núcleo de γ0é o espaço H01(Ω).
Demonstração. Ver Teorema 2.7.1 em [31].
Em face de D( ¯Ω)ser denso em Hm(Ω)podemos estender a aplicação γ
1.4 Teoria do Traço 36
Hm−j−12(Γ)a uma única aplicação linear e contínua e tal que
∂uj ∂νj Γ = γju, ∀u ∈ D( ¯Ω), ∀j = 1, 2, ..., m − 1.
Assim, a partir das γjs, podemos enunciar o seguinte Teorema:
Teorema 1.85. Existe uma única aplicação linear e contínua γ
γ : Hm(Ω) → m−1 Y j=0 Hm−j−12(Γ) u 7→ γu = (γ0, γ1, ..., γm−1)
com a topologia natural do espaçoQm−1
j=0 H m−j−12(Γ)dada por ||w||Qm−1 j=0 H m−j− 12(Γ)= ||w||Hm− 12(Γ)+ ||w||Hm− 32(Γ)+ ... + ||w||H12(Γ), onde w = (w0, w1, ..., wm−1).
Demonstração. Ver Teorema 2.7.2 em [31].
Observação 1.86. A aplicação γ acima é denominada aplicação traço de ordem m.
Teorema 1.87. Seja Ω um subconjunto limitado do Rn com fronteira Γ de classe C1. Então
existe um operador linear limitado T : W1,p(Ω) → Lp(Γ)tal que
(i) T u = u|Γse u ∈ W1,p(Ω) ∩ C(Ω);
(ii) ||T u||Lp(Γ) ≤ C||u||W1,p(Ω), para todo u ∈ W1,p(Ω), com C constante dependendo
so-mente de p e u.
Demonstração. Ver Teorema 1, Capítulo 5, em [16]. Observação 1.88. Chamamos T u de traço de u sobre Γ.
Para estudo do da Teoria do Traço nos espaços L2(0, T, Hm(Ω))e H−1(0, T, Hm(Ω))
1.5 Teorema de Carathéodory 37
1.5
Teorema de Carathéodory
Nesta seção apresentaremos o Teorema de Carathéodory que será usado para pro-var que existe solução para o problema aproximado, no Capítulo 2.
Seja D um subconjunto aberto de Rn+1, cujos elementos serão denotados por (t, x),
t ∈ R, x ∈ R e seja h : D → Rnuma função.
Consideremos o problema de valor inicial x0(t) = h(t, x(t)) x(t0) = x0 (1-9)
Dizemos que h está nas condições de Carathéodory sobre D se (i) h(t, x) é mensurável em t para cada x fixado;
(ii) h(t, x) é contínua em x para cada t fixado;
(iii) para cada compacto K de D, existe uma função real mK(t)integrável, tal que
|h(x, t)| ≤ mK(t), para todo (x, t) ∈ K.
Teorema 1.89. (Carathéodory). Sejam h : D → Rn satisfazendo as condições de
Carathéo-dory sobre D. Então existe uma solução absolutamente contínua x(t) de (1-9) sobre algum intervalo |t − t0| ≤ β, β > 0.
Demonstração. Ver [14].
Corolário 1.90. (Prolongamento). Sejam D = [0, T ]×B com T > 0, B = {x ∈ Rn; |x| ≤ b}
onde b > 0 e h : D → Rnsatisfazendo as condições de Carathéodory sobre D. Suponhamos que
x(t)é uma solução do problema (1-9) tal que |x0| ≤ b e que em qualquer intervalo I, onde x(t)
está definida, se tenha |x(t)| ≤ M , para todo t ∈ I, M independente de I e M < b. Então x(t) possui um prolongamento à todo [0, T ].
1.6 Resultados auxiliares 38
1.6
Resultados auxiliares
Teorema 1.91. (Teorema da Compacidade de Aubin-Lions) Sejam B0, B e B1 espaços de
Banach tais que B0 ,→ B ,→ B1e
(i) B0e B1 são reflexivos;
(ii) A imersão B0 ,→ Bé compacta;
(iii) A imersão B ,→ B1é contínua.
Definamos W = {u ∈ Lp0(0, T ; B
0); u0 ∈ Lp1(0, T ; B1)} ,onde 1 < p0; p1 < ∞.
Considera-mos W munido da norma
||u||W = ||u||Lp0(0,T ;B0)+ ||u
0||
Lp1(0,T ;B1),
a qual o torna um espaço de Banach. Então a imersão de W em Lp0(0, T ; B)é compacta.
Demonstração. Ver Teorema 5.1, Capítulo 1, em [28].
Teorema 1.92. (Lema de Lions) Seja (uµ)uma sucessão de funções pertencentes a Lq(Q)com
1 < q < ∞e Q = Ω × (0, T ). Se (i) uµ −→ u quase sempre em Q;
(ii) ||uµ||Lq(Q)≤ C, ∀µ ∈ N;
então uµ* ufraco em Lq(Q).
Demonstração. Ver Lema 1.3, Capítulo 1, em [28].
Proposição 1.93. (Lema de Gronwall) Sejam m ∈ L1(0, T )tal que m ≥ 0 quase sempre em
(0, T )e seja a ≥ 0 uma constante. Considere ϕ uma função contínua de [0, T ] em R verificando
1.6 Resultados auxiliares 39
Demonstração. Ver Lema A.4 em [3].
Proposição 1.94. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Para quaisquer a, b ∈ Rn, tem-se
|a · b| ≤ ||a||Rn||b||
Rn, onde · denota o produto interno no R n.
Demonstração. Ver Apêndice B.2 em [16].
Proposição 1.95. Sejam X, Y, Z espaços de Banach. Então
(a) Se a imersão X ⊆ Y e Y ⊂ Z são contínuas, então a imersão X ⊆ Z também o é. Além disso, se a imersão X ⊆ Y ou Y ⊂ Z é compacta, então a imersão X ⊆ Z também o é. (b) Se a imersão X ⊆ Y é contínua, então quando n −→ ∞,
un−→ u em X implica que un−→ u em Y
e un* uem X implica que un* uem Y.
(c) Se a imersão X ⊆ Y é compacta, então quando n −→ ∞,
un * uem X implica que un−→ u em Y.
Demonstração. Ver Proposição 21.35 em [39].
Definição 1.96. Um par dual (ou sistema dual) é um par de espaços vetoriais hL, L0i relacionados por meio de uma aplicação bilinear h·, ·i : L × L0
→ R que satisfaz (a) se hx, x0i = 0 para todo x0 ∈ L0
, então x = 0. (b) se hx, x0i = 0 para todo x ∈ L, então x0 = 0
.
Definição 1.97. Seja H um espaço de Hilbert. Uma forma bilinear a : H × H → R é dita H−elíptica ou coerciva, quando existe uma constante α > 0 tal que a(v, v) ≥ α||v||2
H,
para todo v ∈ H.
Teorema 1.98. (Lax - Milgran) Seja a : H × H → R uma forma bilinear contínua, H− elíptica e seja f : H → R uma forma linear contínua. Então existe um único u ∈ H tal que a(u, v) = hf, vi = f (v), para todo v ∈ H.
Demonstração. Ver Teorema 1, Capítulo 4, em [29]. Definição 1.99. Denotamos por H o seguinte conjunto
1.6 Resultados auxiliares 40
o qual, munido do produto interno,
((u, v))H = (u, v)L2(Ω)+ (∆u, ∆v)L2(Ω), ∀u, v ∈ H
e a norma ||u||H = h ||u||2 L2(Ω)+ ||∆u||2L2(Ω) i12 é um espaço de Hilbert. Proposição 1.100. D( ¯Ω)é denso em H. Demonstração. Ver Proposição 6.3.2, em [4].
Proposição 1.101. Existe uma única aplicação linear e contínua:
γ : H → H−12(Γ) × H− 3 2(Γ)
u 7→ (γ0(u), γ1(u))
e ainda a aplicação γ acima coincide com a aplicação traço de ordem 2. Demonstração. Ver Proposição 6.3.3 em [4].
Proposição 1.102. Existe uma única aplicação linear e contínua:
γ1 : H ∩ H1(Ω) → H−
1 2(Γ).
Demonstração. Ver Proposição 6.3.6 em [4].
Teorema 1.103. (Fórmulas de Green) Seja Ω aberto limitado do Rn com fronteira Γ bem
regular, são válidas as seguintes fórmulas (i) Z Ω u∂v ∂xi dx = − Z Ω ∂u ∂xi vdx + Z Γ uvνidx; ∀u, v ∈ H1(Ω)e i = 1, 2, ..., n. Aqui as funções u e v são identificadas com a imagem da aplicação traço γ0.
(ii) − Z Ω ∆uvdx = (∇u, ∇v) − Z Γ ∂u ∂νvdx; ∀u ∈ H 2(Ω) e ∀v ∈ H1(Ω), (iii) (∆u, v) + (∇u, ∇v) = ∂u
∂ν, v H− 12(Γ),H12(Γ) ; ∀u ∈ H ∩ H1(Ω)e v ∈ H1(Ω), onde (∇u, ∇v) = n X i=1 Z Ω ∂u ∂xi ∂v ∂xi
1.6 Resultados auxiliares 41
Demonstração. Ver Seção 6.3 em [4].
Seja Ω um aberto e limitado do Rn com fronteira Γ de classe C2. Sejam Γ 0 e Γ1
subconjuntos não vazios de Γ tais que Γ = Γ0∪ Γ1 e Γ0∩ Γ1 = ∅.
Definição 1.104. Denotamos por V o subespaço de H1(Ω), dado por
V =v ∈ H1(Ω); v = 0
em Γ1 .
Proposição 1.105. O espaço V com a norma induzida por H1(Ω)é um espaço de Hilbert.
Demonstração. Ver [34].
Proposição 1.106. Considerando em V a norma
||v||V = ||∇v||L2(Ω), para todo v ∈ V,
segue que || · ||V e || · ||H1(Ω)são equivalentes.
Demonstração. Ver Proposição 1, Capítulo 4, em [29].
Corolário 1.107. V é um espaço de Hilbert com o produto interno
((u, v))V =
Z
Γ
∇u · ∇vdx, para todo u, v ∈ V.
Observação 1.108. Da Proposição 1.48 e do Teorema 1.8 concluímos que V é um espaço sepa-rável. Além disso, pelo Teorema 1.9 segue que V é reflexivo.
Teorema 1.109. Seja Ω um domínio no Rn, com fronteira Γ de classe Cm. Se mp < n e
p ≤ q ≤ p(n − 1) n − mp, então
Wm,p(Ω) ,→ Lq(Γ).
Se mp = n, então a imersão acima é válida para p ≤ q < ∞. Demonstração. Ver Teorema 5.22 em [1].
Observação 1.110. Notemos que a imersão acima esta definida no sentido do traço. Para mais detalhes veja [1].
1.6 Resultados auxiliares 42
• δ ≤ 1
n − 2 para n ≥ 3; • δ > 0 para n = 1 ou n = 2.
Afirmamos que V ,→ L2δ+2(Γ). Com efeito, consideramos q = 2δ + 2 e m = 1 segue,
para n ≥ 3, que 1 < q < 2(n − 1)
n − 2 . Assim pelo Teorema 1.109 temos a imersão H
1(Ω) ,→
L2δ+2(Γ),consequentemente,
V ,→ L2δ+2(Γ). (1-10)
Agora, para n = 1 ou n = 2, consideramos δ suficientemente pequeno tal que q = 2δ + 2 < ∞. Assim, para n = 2, m = 1 e p = 2, o Teorema 1.109 garante a imersão (1-10). Da mesma forma, para n = 1 e m = p = 1, obtemos o mesmo resultado. Concluindo a prova da afirmação.
Proposição 1.111. Dado f ∈ L2(Ω) e g ∈ L2(Γ
0), existe uma única solução u : Ω → R, em
V, para o problema de Dirichlet-Neumann ∆u = f em Ω u = 0 em Γ1 ∂u ∂ν = g em Γ0 (1-11)
Demonstração. Notemos que a formulação variacional do problema (1-11) é dado por
(∇u, ∇v) = (f, v) + (g, v)Γ0, para todo v ∈ V. (1-12)
Definamos a aplicação a : V × V → R por a(u, v) = (∇u, ∇v) = (u, v)V. Segue que a é
uma aplicação linear, contínua e coerciva.
Definamos a aplicação h : V → R por hh, vi = (f, v)+(g, v)Γ0. Afirmamos que h é linear
e contínua. De fato, Sejam v1, v2 ∈ V e α ∈ R temos que
hh, αv1+ v2i = (f, αv1+ v2) + (g, αv1+ v2)Γ0
= α(f, v1) + α(g, v1)Γ0 + (f, v2) + (g, v2)Γ0
= α hh, v1i + hh, v2i .
1.6 Resultados auxiliares 43 V e da imersão V ,→ L2(Γ 0)temos que |hh, vi| ≤ ||f ||L2(Ω)||v||L2(Ω)+ ||g||L2(Γ 0)||v||L2(Γ0) (1-13) ≤ λ1||f ||L2(Ω)||v||V + λ2||g||L2(Γ 0)||v||V (1-14) = λ3||v||V, (1-15) sendo λ3 = λ1||f ||L2(Ω)+ λ2||g||L2(Γ
0) e λ1, λ2 constantes positivas. Logo a aplicação h é
linear e contínua.
Assim, pelo Teorema de Lax-Milgran (Teorema 1.98) existe uma única solução u : Ω → R, em V , que verifica a igualdade (1-12). Além disso, como Ω é limitado com fronteira de classe C2, por regularidade elítica (veja [2] ou [18]) temos que u ∈ H2(Ω), ou seja,
u ∈ H32(Ω)(veja Proposição 1.67).
Em particular, para ϕ ∈ D(Ω) ⊂ V, de (1-12) temos (∇u, ∇ϕ) = (f, ϕ), para toda ϕ ∈ D(Ω). Pela fórmula de Green segue que (−∆u, ϕ) = (f, ϕ). Como D(Ω) é denso em L2(Ω), obtemos
(−∆u, ϕ) = (f, ϕ) para toda ϕ ∈ L2(Ω), (1-16)
pelo Lema de Du Bois Raymond (Lema 1.20) −∆u = f quase sempre em Ω. Notemos que ∆u ∈ L2(Ω)uma vez que f ∈ L2(Ω).
Como ∆u ∈ L2(Ω), temos que u ∈ H ∩ H1(Ω). Assim, pela fórmula de Green e de (1-16)
obtemos ∂u ∂ν, v H− 12(Γ0),H 1 2(Γ0) = (∆u, v) + (∇u, ∇v) = (∆u, v) + (f, v) + (g, v)Γ0 = (∆u + f, v) + (g, v)Γ0 = (g, v)Γ0, ou seja, ∂u ∂ν, v H− 12(Γ0),H 1 2(Γ0)
= (g, v)Γ0 para toda v ∈ V. Consequentemente,
∂u ∂ν = g em H−12(Γ
0). Por outro lado, temos g ∈ L2(Γ0) ,→ H−
1
2(Γ0),logo∂u
∂ν = gem L
1.6 Resultados auxiliares 44
A fim de simplificar a notação, denotaremos, no decorrer do trabalho
CAPÍTULO 2
EQUAÇÃO DA ONDA DEGENERADA COM
CONDIÇÕES DE FRONTEIRA NÃO LINEARES
Seja Ω um subconjunto aberto e limitado do Rncom fronteira Γ de classe C2. Sejam
Γ0e Γ1 subconjuntos não vazios de Γ tais que Γ = Γ0∪ Γ1 e Γ0∩ Γ1 = ∅.
Estudaremos a existência global de soluções da equação da onda degenerada com condições de fronteira não lineares
(∗) ρ(x)y00− ∆y = 0 em Ω × (0, ∞), y = 0 em Γ1× (0, ∞), ∂y ∂ν + y 0 + f (y) + g(y0) = 0 em Γ0 × (0, ∞),
y(x, 0) = y0(x), (√ρy0)(x, 0) = (√ρy1)(x) em Ω, onde y0 denota a derivada de y com respeito ao parâmetro t.
2.1
Hipóteses
2.1 Hipóteses 46
Assumiremos que
ρ ≥ 0em Ω e ρ ∈ C1( ¯Ω). (2-1)
Consideramos a função f : R −→ R definida por
f (s) = C0|s|δs, para todo s ∈ R e para algum C0 > 0, (2-2)
e g : R −→ R uma função C1 não-decrescente tal que existem k
1, k2 > 0verificando
k1|s|ξ+2 ≤ g(s)s ≤ k2|s|ξ+2, para todo s ∈ R, (2-3)
onde 0 < δ, ξ ≤ 1
n − 2 se n ≥ 3 ou δ, ξ > 0 se n = 1 ou n = 2.
Observação 2.1. Para estudarmos a existência de solução regular e fraca, sem perda de gene-ralidade, consideramos C0 = 1na hipótese (2-2).
A fim de obter a existência de soluções regulares, assumimos que
y0, y1 ∈ V ∩ H32(Ω), (2-4) satisfazendo −∆y0 = 0 em Ω, y0 = 0 em Γ 1, ∂y0 ∂ν + f (y 0) = −y1− g(y1) em Γ0. (2-5)
Observação 2.2. Recordamos que V = {v ∈ H1(Ω); v = 0em Γ
1} (veja Definição 1.104).
Observação 2.3. Vimos que, para n ≥ 1, temos as imersões V ,→ L2δ+2(Γ0)e V ,→ L2ξ+2(Γ0).
Consequentemente, y0 ∈ L2δ+2(Γ
0) e y1 ∈ L2ξ+2(Γ0). Assim, das hipóteses (2-2) e (2-3)
temos que f (y0), g(y1) ∈ L2(Γ
0), pois ||f (y0)||2L2(Γ 0) ≤ C 2 0||y0||2δ+22δ+2,Γ0 e ||g(y 1)||2 L2(Γ 0) ≤ k2 2||y0|| 2ξ+2 2ξ+2,Γ0. Além disso, y 1 ∈ V ,→ L2(Γ 0).Portanto, temos ∂y0 ∂ν = −f (y 0) − y1− g(y1) ∈ L2(Γ 0). Então dado y1 ∈ V ∩ H3
2.1 Hipóteses 47
qual verifica esta igualdade (veja Proposição 1.111). Além disso, como Ω é de classe C2, por
regularidade elíptica y0 ∈ H2(Ω) ,→ H32(Ω), isto é, y0 ∈ H32(Ω).
As hipóteses (2-4) e (2-5) parecem ser restritivas, mas, na verdade, elas não são restritivas uma vez que dado y1 ∈ V ∩ H32(Ω), o problema elíptico (2-5) possui uma
única solução y0 ∈ V ∩ H32(Ω). Assim sendo, para cada y1 ∈ V ∩ H32(Ω) existe um
único y0 ∈ V ∩ H32(Ω) verificando (2-5) o qual prova que as condições (2-4) e (2-5)
fazem sentido.
Agora para obter a existência de soluções fracas, consideramos, de um modo natu-ral,
y0, y1
pertencente ao fecho do conjunto C em V × L2(Ω), (2-6)
onde C =n{y0, y1} ∈ (H32(Ω))2; verificando (2 − 5)o.
Agora estamos em condições de enunciar os seguintes resultados:
Teorema 2.4. Assuma que as hipóteses (2-1)−(2-5) são válidas. Então, o problema (∗) possui uma única solução tal que
y ∈ L∞(0, ∞; V ), √ρy0 ∈ L∞(0, ∞; L2(Ω)), (2-7) y0 ∈ L∞(0, ∞; V ), √ρy00∈ L∞(0, ∞; L2(Ω)), (2-8) ρy00− ∆y = 0 em Ω × (0, ∞), (2-9) ∂y ∂ν + y 0 + f (y) + g(y0) = 0 em Γ0× (0, ∞), (2-10)
y(0) = y0, √ρy0(0) =√ρy1. (2-11)
A função y será dita solução regular para o problema (∗).
Teorema 2.5. Assuma que as hipóteses (2-1) e (2-6) sejam válidas. Então o problema (∗) possui pelo menos uma solução fraca na classe
y ∈ C0([0, ∞); V ), √ρy0 ∈ C0([0, ∞); L2(Ω))
(2-12) y0 ∈ L2([0, ∞); L2(Γ
2.2 Existência e unicidade de solução 48
2.2
Existência e unicidade de solução
Nesta seção provaremos a existência de soluções regulares para o problema (∗) (Te-orema 2.4) e para este propósito empregaremos o Método de Galerkin.
Se y é solução regular do problema (∗) então vale
ρ(x)y00− ∆y = 0 em Ω × (0, ∞). (2-14)
Seja w pertencente a V , calculando o produto interno em L2(Ω)em ambos os membros
da igualdade (2-14), obtemos
(ρy00(t), w) − (∆y(t), w) = 0. (2-15)
Notemos que pela fórmula de Green
−(∆y(t), w) = (∇y(t), ∇w) − Z Γ ∂y ∂νwdΓ = (∇y(t), ∇w) − Z Γ0 ∂y ∂νwdΓ − Z Γ1 ∂y ∂νwdΓ. Como w ∈ V , segue que w|Γ1 = 0, logo
−(∆y(t), w) = (∇y(t), ∇w) − Z
Γ0
∂y
∂νwdΓ. (2-16)
Do problema (∗) temos que∂y ∂ν = −y 0−f (y)−g(y0 ) em Γ0×(0, ∞) e, consequentemente, usando (2-2), − Z Γ0 ∂y ∂νwdΓ = Z Γ0 (y0+ f (y) + g(y0))wdΓ = Z Γ0 y0wdΓ + Z Γ0 |y|δywdΓ + Z Γ0 g(y0)wdΓ. Substituindo em (2-16) obtemos
−(∆y, w) = (∇y, ∇w) + (y0, w)Γ0 + (|y|
δy, w)
Γ0 + (g(y
0
), w)Γ0. (2-17)
2.2 Existência e unicidade de solução 49
(∗), dado por:
(ρy00, w) + (∇y, ∇w) + (y0, w)Γ0+ (|y|
δy, w)
Γ0 + (g(y
0
), w)Γ0 = 0, (2-18)
para todo w pertencente a V .
A fim de resolver o problema (∗), vamos transformá-lo num problema equivalente, com dados iniciais nulos. Para isso, consideramos a seguinte mudança de variáveis
v(x, t) = y(x, t) − φ(x, t), (2-19) sendo φ(x, t) = y0(x) + ty1(x), para todo t ∈ [0, T ]. (2-20) Notemos que • φ0(x, t) = y1(x) e φ00(x, t) = 0. • v0(x, t) = y0(x, t) − φ0(x, t) = y0(x, t) − y1(x), isto é, v0(x, t) + y1(x) = y0(x, t). • v00(x, t) = y00(x, t) − φ00(x, t) = y00(x, t).
Das igualdades acima e do problema (∗), formalmente temos
0 = ρ(x)y00(x, t) − ∆y(x, t) = ρ(x)v00(x, t) − ∆ [v(x, t) + φ(x, t)]
= ρ(x)v00(x, t) − ∆v(x, t) − ∆φ(x, t), (2-21)
ou seja,
ρ(x)v00(x, t) − ∆v(x, t) = ∆φ(x, t) = ∆y0(x) + t∆y1(x).
Por outro lado, pelas condições de fronteira, temos
2.2 Existência e unicidade de solução 50
A seguir, analisaremos as condições iniciais, para isso observamos que
(√ρy1)(x) = (√ρy0)(x, 0) = (√ρv0)(x, 0) + (√ρφ0)(x, 0) = (√ρv0)(x, 0) + (√ρy1)(x),
logo (√ρv0)(0) = 0.
Também, v(x, 0) = y(x, 0) − φ(x, 0) = y0(x) − y0(x) = 0.
Portanto, v é solução do problema: ρ(x)v00− ∆v = F (x, t) em Ω × (0, T ), v = 0 em Γ1× (0, T ), ∂v ∂ν + v 0 + |v + φ|δ(v + φ) + g(v0+ φ0) = G(x, t) em Γ0× (0, T ), v(0) = 0, (√ρv0)(0) = 0 em Ω. (2-23) sendo F (x, t) = ∆y0(x) + t∆y1(x), ∀(x, t) ∈ Ω × (0, T ) (2-24) G(x, t) = −y1(x) − ∂y 0 ∂ν (x) + t ∂y1 ∂ν (x) , ∀(x, t) ∈ Γ0× (0, T ) (2-25)
Podemos dizer que o problema (∗) é equivalente ao problema (2-23)−(2-25) no se-guinte sentido: se v é uma solução de (2-23) em [0, T ], então y = v + φ é uma solução para o problema (∗) no mesmo intervalo.
Representamos por Vm = [w1, w2, ..., wm], para cada m ∈ N, o subespaço de V
ge-rado pelos m primeiros vetores da base (wj)j∈Nem V , a qual é ortonormal em L2(Ω).
2.2 Existência e unicidade de solução 51
onde vm(t)é solução do seguinte problema de Cauchy:
(ρvm00 (t), w) + (∇vm(t), ∇w) + (vm0 (t), w)Γ0 +(|vm(t) + φ(t)|δ(vm(t) + φ(t)), w)Γ0 + (g(v 0 m(t) + φ 0(t)), w) Γ0 = (F (t), w) + (G(t), w)Γ0, ∀w ∈ Vm, vm(0) = v0m(0) = 0. (2-27)
A seguir, reescreveremos o problema de Cauchy acima, a fim de verificarmos se as condições do Teorema de Carathéodory (Teorema 1.89) são satisfeitas. Dessa forma, provaremos que o problema (2-27) possui solução no intervalo [0, tm).
Fazendo w = wj, j = 1, 2, ..., mem (2-27), temos (ρv00m(t), wj) + (∇vm(t), ∇wj) + (vm0 (t), wj)Γ0 +(|vm(t) + φ(t)|δ(vm(t) + φ(t)), wj)Γ0 + (g(v 0 m(t) + φ 0(t)), w j)Γ0 = (F (t), wj) + (G(t), wj)Γ0. (2-28) Substituindo vm(t) = m X i=1
gim(t)wi na equação (2-28), obtemos
m X i=1 gim00 (t)(ρwi, wj) + m X i=1 gim(t)(∇wi, ∇wj) + m X i=1 gim0 (t)(wi, wj)Γ0 +(| m X i=1 gim(t)wi+ φ(t)|δ( m X i=1 gim(t)wi+ φ(t)), wj)Γ0 +(g( m X i=1 gim0 (t)wi+ φ0(t)), wj)Γ0 = (F (t), wj) + (G(t), wj)Γ0. (2-29)
