Reconhecimento de Padrões Revisão de Probabilidade e
Estatística
Luiz Eduardo S. Oliveira, Ph.D.
http://lesoliveira.net Universidade Federal do Paraná
Departamento de Informática
Conceitos Básicos
• Estamos realizando um evento aleatório (pegar um peixe no mar)
• Espaço amostral S
– Conjunto de todas a possibilidades
• Um evento A
– Um subconjunto de S
• Lei da probabilidade
– Regra que atribui uma probabilidade aos eventos de um experimento
S
A
Axiomas Básicos da Probabilidade
• P(A) >= 0
• P(S) = 1
• P(AUB) = P(A)+P(B) se A e B forem mutuamente exclusivos
– Eventos que não ocorrem simultaneamente, ou seja A∩B = ø
• Caso contrário
– P(AUB) = P(A)+P(B) – P(A∩B)
• P(A) + P(~A)= 1
Probabilidade Condicional
• A probabilidade de ocorrer um evento, na
condição de que outro evento já tenha ocorrido.
• Considere o seguinte exemplo:
– 250 alunos estão matriculados no primeiro ano
• 100 homens e 150 mulheres
• 110 cursam física e 140 química ) (
) ) (
|
( P B
B A B P A
P I
=
Sexo\Discip. Física Quimica Total
H 40 60 100
M 70 80 150
Total 110 140 250
Probabilidade Condicional
• Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química dado que seja mulher.
53 . 150 0
80 250 150 150 80 )
( ) ) (
|
( = = = =
M P
M Q M P
Q
P I
Probabilidade Total
• Uma sequência finita de experimentos na qual cada experimento tem um número finito de resultados com uma determinada probabilidade é chamada de processo estocástico finito.
• Árvore Bayesiana é uma boa ferramenta para visualização do problema.
• A probabilidade final é calculada pela lei da probabilidade final.
Probabilidade Total: Exemplo
• Considere 3 caixas
– Caixa 1 tem 10 lampadas, das quais 4 com defeito – Caixa 2 tem 6 lâmpadas, das quais 1 com defeito – Caixa 3 tem 8 lâmpadas, das quais 3 com defeito.
• O problema consiste em saber a probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa P(A), ao selecionar uma caixa aleatoriamente e depois selecionar uma lâmpada aleatoriamente.
1
2
3
Defeito Ok Defeito Ok Defeito Ok 1/3
1/3
1/3
4/10 6/10 1/6 5/6 3/8 5/8
Baseado no conceito de probabilidade total, temos como probabilidade P(A)
31 . 8 0 3 3 1 6 1 3 1 10
4 3 ) 1
( =
×
+
×
+
×
= A P
Eventos Independentes
• Dois eventos são ditos independentes se P(A∩B) = P(A) * P(B)
• Logo, pela regra da probabilidade
condicional, se A e B são independentes,
) ) (
( ) ( ) ) (
|
( P A
B P
B P A B P
A
P × =
=
Exemplo
• Suponha que uma urna contenha 4 bolas brancas e 6 vermelhas. Vamos sortear duas bolas (sem reposição) em momentos distintos. Qual a probabilidade de sair uma bola branca seguida de uma vermelha
P(B) = 4/10
P(V) = 6/10
P(B) = 3/9
P(V) = 6/9
P(B) = 4/9
P(V) = 5/9
Exemplo (cont)
• Agora considere o exemplo anterior com reposição, ou seja, eventos
independentes.
• P(B,V) = P(B) X P(V) = 4/10 X 6/10 = 0.24
Teorema de Bayes
• Basicamente o teorema de Bayes mostra como rever as crenças sempre que novas evidências são coletadas.
• Ou seja, atualizar a probabilidade a posteriori utilizando para isso a probabilidade a priori e as verossimilhanças e as evidências.
) (
)
| ( ) ) (
|
( P B
A B A B P
A
P ×
=
priori Verosimilhanças
(likelihood)
Evidências Prob. a
posteriori
∑
×= ( ) ( | ) )
(B P Ai P B Ai
P
Teorema de Bayes:Exemplo
• Um médico sabe que a meningite causa
torcicolo em 50% dos casos. Porém, o médico sabe que a meningite atinge 1/50000 e também que a probabilidade de se ter torcicolo é de 1/20.
• Usando Bayes pra saber a probabilidade de uma pessoa ter meningite dado que ela está com torcicolo
P(T|M) = 0.5 P(M) = 1/50000 P(T) = 1/20
0002 . 20 0
/ 1
5 . 0 50000 / 1 )
( )
| ( ) ) (
|
( × =
× =
= PT
M T M T P M P
Teorema de Bayes:Exercício
• Considere o sistema de classificação de peixes visto anteriormente.
Para essa época do ano, sabe-se que a probabilidade de pescar salmão é maior que pescar robalo, P(salmão) = 0.82 e P(robabo) = 0.18.
• Suponha que a única característica que você pode contar é a intensidade do peixe ou seja, se ele é claro ou escuro. Sabe-se que 49.5% dos salmões tem intensidade clara e que 85% dos robalos tem intensidade clara.
• Calcule a probabilidade de ser salmão dado que o peixe amostrado tem intensidade clara.
726 . 85 0 . 0 18 . 0 495 . 0 82 . 0
495 . 0 82 . 0 )
( )
| ( ) ) (
|
( =
× +
×
= ×
= ×
C P
S C S C P S P
Probabilidade total
Variáveis Aleatórias
• Na prática, muitas vezes é mais interessante associarmos um número a um evento aleatório e calcularmos a probabilidade da ocorrência desse número do que a probabilidade do evento.
• Exemplo: Lançam-se três moedas. Seja X o numero de ocorrências da face cara. Determinar a distribuição de probabilidade de X
– S = {ccc,cck,ckc,ckk,kcc,kck,kkc,kkk}
– Se X é o número de caras, X assume os valores 0,1,2, e 3.
Variáveis Aleatórias
• Podemos associar a esses números eventos que correspondem a ocorrência de nenhuma, uma, duas ou três caras.
• Desta forma temos – P(X=0) = 1/8
– P(X=1) = 3/8 – P(X=2) = 3/8 – P(X=3) = 1/8
Distribuição de Probabilidades
∑P(Xi)=1
Variáveis Aleatórias
• Portanto, podemos definir que variável aleatória é a função que associa a todo evento pertencente a uma partição do espaço amostral um único número real.
• Variáveis podem ser discretas ou contínuas
Parâmetros de uma Distribuição
• Existem características numéricas que são muito importantes em uma
distribuição de probabilidades. São os parâmetros da distribuição
– Esperança matemática e variância.
• Esperança matemática
∑
×= ( )
)
(X Xi P Xi
E
Esperança Matemática: Exemplo
• Uma seguradora paga 30000 em caso de acidente de carro e cobra franquia de 1000.
Sabe-se que a probabilidade de que um carro sofra acidente é de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado.
• Variável Aleatória: X
X P(X)
1000 0.97
-29000 0.03
Distribuição de Probabilidade
E(X) = 1K * .97 + -29K *.03 = 100
Esperança (lucro médio) é de 100 por carro. Deve ser interpretada como valor médio
Variância
• Conhecendo a média (esperança) de uma distribuição de probabilidades, podemos calcular o grau de dispersão em torno da média
(
2 ( )) [ ( )]
2
)
(X X P X E X
VAR =
∑
i × i −Variáveis Aleatórias Contínuas
• Podemos definir uma variável aleatória contínua como sendo a variável aleatória X em R se existir uma função f(x) tal que:
Calculando as probabilidades
Caso discreto:
-Probabilidades
- P(peixe ter 2 ou 3 nadadeiras) = - P(2) + P(3) = 0.3+0.4
Use a soma
Caso contínuo:
-Densidadee não probabilidades -Probabilidade do peixe pesar entre 29 e 31 kgs.
-Integrar
Distribuições Teóricas
• As distribuições teóricas associam uma probabilidade a cada resultado numérico de um experimento, ou seja, dá a
probabilidade de cada valor de uma variável aleatória.
• Podem ter uma variedade de formas.
– Simétricas e não simétricas.
• Binomial, Poisson, Exponencial, Normal
Distribuição Normal (Gaussiana)
• A distribuição normal é a mais importante das distribuições pois muitas variáveis aleatórias de ocorrência natural ou de processos práticos obedecem a esta distribuição.
• Formato de sino
• Simétrica
• Unimodal
Distribuição Normal
• A função densidade para esta distribuição é dada por
• Como podemos perceber, a distribuição normal inclui dois parâmetros
– µ – média populacional
– σ – desvio padrão populacional.
• Denotamos N(µ, σ) a curva normal com média µ e desvio padrão σ
Distribuição Normal
• A média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão ao
espalhamento (ou achatamento) da curva.
Distribuição Normal
68.27%
95.45%
Exemplo
• O peso de recém-nascidos é uma variável aleatória contínua. A Figura abaixo mostra a distribuição de freqüências relativas 5000 pesos de recém-nascidos.
Exemplo
• Considerando µ = 2800g, σ = 500g, podemos concluir que
– P(2300 <= X <= 3300) = 68.3%
– P(1800 <= X <= 3800) = 95.5%
– P(1300 <= X <= 4300) = 99.7%
• Porém, na prática desejamos calcular probabilidades para diferentes valores de µ e σ.
Distribuição Normal
• Para isso, a variável X cuja distribuição N(µ, σ) é transformada numa forma padronizada Z, com distribuição N(0,1) (distribuição normal padrão), pois tal distribuição é tabelada.
• A normalização se dá por σ
µ
= X − Z
Utilizando a Tábua de Probabilidades
• Primeiro é necessário decompor Z em duas parcelas
• Por exemplo, Z = 1.39 – Primeira parcela = 1.3 – Segunda parcela = 0.09
• No cruzamento das duas parcelas encontra-se a probabilidade
correspondente a área da curva entre 0 e Z.
Exemplo
• Considere a seguinte distribuição – X -> N(30;4)
– Calcule a probabilidade de X >= 40.
5 . 4 2
30 40− =
= Z
Da tabela, temos 0.4938 Logo,
P(X>=40) = 0.5 – 0.4938
2.5 0
Exercício
• Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média 150 mil km e desvio de 5 mil. Qual a probabilidade de que um carro escolhido ao acaso dure
– a) menos de 170 mil – b) entre 140 e 165 mil
Exercício
• a) P(X < 170)
– Z = 4. Da tabela temos 0.4999968 – Logo P(X<170) = 0.5 + 0.4999= 0.999
Teorema Central do Limite
• A medida em que o tamanho da amostra X cresce, a distribuição de X se aproxima da distribuição normal
