Aula 02 Juros Compostos. Matemática Financeira - SEFAZ MG (todos os cargos) Prof. Arthur Lima. 1 de 78 Prof. Arthur Lima Aula 02

Aula 02 – Juros Compostos

Matemática Financeira - SEFAZ MG (todos os cargos)

Prof. Arthur Lima

Sumário

SUMÁRIO ... 2

JUROS COMPOSTOS ... 3

INTRODUÇÃO ... 3

COMPARAÇÃOENTREOSREGIMESSIMPLESECOMPOSTO ... 11

JUROSCOMPOSTOS–CÁLCULODOPRAZO ... 15

TAXASNOMINAIS,EFETIVAS,PROPORCIONAIS,EQUIVALENTES ... 19

CONVENÇÃOLINEAREEXPONENCIAL ... 25

TAXASDEINFLAÇÃO.TAXAREALEAPARENTE. ... 26

TAXASBRUTAELÍQUIDA ... 28

CAPITALIZAÇÃOCONTÍNUA... 29

QUESTÕES DA BANCA FGV COMENTADAS ... 33

LISTA DE QUESTÕES ... 62

GABARITO ... 76

RESUMO DIRECIONADO ... 77

Juros Compostos

Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.

É com muita alegria que inicio mais essa aula.

Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro:

Juros compostos. Montante e juros. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua

Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:

INTRODUÇÃO

Vamos imaginar que você pegou um empréstimo de R$1.000,00 no banco, cujo pagamento deve ser realizado após 4 meses, à taxa de juros de 10% ao mês. Ficou combinado que o cálculo de juros de cada mês será feito sobre o total da dívida no mês anterior, e não somente sobre o valor inicialmente emprestado. Neste caso, estamos diante da cobrança de juros compostos. Quanto você deverá pagar ao banco ao final dos 4 meses?

Repare que agora você precisa calcular os juros sobre o total da dívida no mês anterior. Portanto, ao final do primeiro mês, você deve aplicar a taxa de juros (10%) sobre a dívida que você possuía um mês antes, ou seja, o capital inicial (R$1000). Como 10% de 1000 é igual a 100, podemos dizer que ao final do primeiro mês a dívida subiu para R$1100, onde R$1000 corresponde ao capital inicial e R$100 correspondem aos juros incorridos no período.

Até aqui temos os mesmos valores do regime de juros simples. Na hora de calcular os juros do 2º mês, aí sim temos uma diferença, pois agora você deve calcular 10% sobre o total da dívida no mês anterior, que agora soma R$1100, e não apenas R$1000. Calculando 10% de 1100, você tem R$110, que são os juros do segundo mês. Portanto, neste momento a dívida chega a 1100 + 110 = R$1210. Ao final do terceiro mês devemos calcular 10% de 1210 (dívida no mês anterior), que é 121 reais, de modo que a dívida chega a 1210 + 121 = 1331 reais. No final do 4º mês devemos obter 10% de 1331, que é R$133,10, de modo que a dívida chega a 1331 + 133,1 = R$1464,10. Temos a seguinte tabela:

Mês Dívida

0 (início) R$1.000

1 R$1.100

2 R$1.210

3 R$1.331

4 (final) R$1.464,10

Portanto, ao final de 4 meses você deverá devolver ao banco R$1464,10, que é a soma da dívida inicial (R$1000) e de juros de R$464,10.

Para calcular diretamente o valor do montante final (M) devido em uma aplicação do capital inicial (C) por um determinado prazo (t) a uma determinada taxa de juros (j), basta usar a fórmula:

M = C x (1 + j)

Neste caso, teríamos C = 1000 reais, t = 4 meses, e j = 10% ao mês. Novamente, observe que a unidade temporal do prazo (“meses”) é igual à unidade temporal da taxa de juros (“ao mês”), o que nos permite aplicar diretamente a fórmula:

M = 1000 x (1 + 10%)⁴ M = 1000 x (1 + 0,10)⁴ M = 1000 x (1,10)⁴ M = 1000 x 1,4641 M = 1464,10 reais

Repare que a etapa mais complicada do cálculo é elevar 1,10 à 4ª potência. Você reparou que eu fiz o cálculo de 1,10⁴ = 1,4641 rapidamente? Isso foi porque eu já DECOREI este valor. Eu sugiro que você também grave as potências do tipo 1,10ⁿ, pois elas são MUITO frequentes nas questões de juros compostos. Veja a seguir:

MEMORIZE

(1 + 10%)² = 1,10² = 1,21 (1 + 10%)³ = 1,10³ = 1,331 (1 + 10%)⁴ = 1,10⁴ = 1,4641

Vamos resolver uns exercícios introdutórios sobre juros compostos? Neles você utilizará potências da tabela acima.

FGV – BANESTES – 2018) Certa empresa financeira do mundo real cobra juros compostos de 10% ao mês para os empréstimos pessoais. Gustavo obteve nessa empresa um empréstimo de 6.000 reais para pagamento, incluindo os juros, três meses depois. O valor que Gustavo deverá pagar na data do vencimento é:

a) 6.600 reais;

b) 7.200 reais;

c) 7.800 reais;

d) 7.986 reais;

e) 8.016 reais.

RESOLUÇÃO:

Aqui foram dados C = 6000 reais, i = 10% am e t = 3 meses. Aplicando a fórmula, temos:

M = C x (1 + j)^t M = 6000 x (1,1)³ M = 6000 x 1,331 M = 7986 reais Resposta: D

FCC – FUNAPE – 2017) O montante de um empréstimo de 4 anos da quantia de R$ 20.000,00, do qual se cobram juros compostos de 10% ao ano, será igual a

(A) R$ 26.000,00.

(B) R$ 28.645,00.

(C) R$ 29.282,00.

(D) R$ 30.168,00.

(E) R$ 28.086,00.

RESOLUÇÃO:

Temos um prazo de t = 4 anos, capital inicial C = 20000 reais, juros compostos de j = 10% ao ano. O montante final é:

M = C x (1+j)^t M = 20000 x (1+0,10)⁴

M = 20000 x 1,1⁴ Lembrando que 1,1⁴ = 1,4641, temos:

M = 20000 x 1,4641 M = 2 x 14641

M = 29282 reais Resposta: C

Retomando o nosso exemplo em que você pegou 1000 reais emprestado e terá que pagar 1464,10 reais, temos que:

Juros = Montante final – Capital inicial J = M – C

J = 1464,1 – 1000 J = 464,10 reais

No regime de Juros simples vimos que a fórmula J = C x j x t nos dava diretamente o valor dos Juros obtidos no período. Note que, no caso do regime composto, você não vai usar uma fórmula direta assim. Você precisará calcular o montante M, como fizemos acima, e em seguida calcular J = M – C para obter o valor dos juros (J). Veja isso nos próximos exercícios:

CESPE - STM - 2018) Uma pessoa atrasou em 15 dias o pagamento de uma dívida de R$20.000, cuja taxa de juros de mora é de 21% ao mês no regime de juros simples. Acerca dessa situação hipotética, e considerando o mês comercial de 30 dias, julgue os itens subsequentes.

( ) No regime de juros compostos, o valor dos juros de mora na situação apresentada será R$100 menor do que no regime de juros simples.

RESOLUÇÃO:

Temos uma dívida inicial de C = 20.000 reais, paga após t = 15 dias (ou melhor, t = 0,5 mês, pois a questão nos fala que o mês tem 30 dias – este é o mês comercial), com taxa de j = 21% ao mês.

No regime de juros simples, os juros são obtidos diretamente pela fórmula:

J = C x j x t J = 20.000 x (21/100) x 0,5

J = 10.000 x 21/100 J = 100 x 21 J = 2.100 reais No regime composto, temos:

M = C x (1+j)^t M = 20.000 x (1+0,21)^0,5

M = 20.000 x 1,21^0,5 Veja que 1,21 é o mesmo que 1,1². Ou seja:

M = 20.000 x (1,1²)^0,5 M = 20.000 x 1,1^{2 x 0,5} M = 20.000 x 1,1¹ M = 22.000 reais Logo, no regime composto, os juros são de:

J = M – C J = 22.000 - 20.000

J = 2.000 reais

Realmente no regime composto os juros (2.000) são 100 reais a menos do que no regime simples (2.100).

Item CERTO.

Resposta: C

VUNESP – SPTRANS – 2012) Considerando o regime de capitalização composta, calcule a remuneração total obtida no período de 3 meses, a uma taxa de 3% de um capital aplicado de R$ 100.000,00 e assinale a alternativa correta.

(A) R$ 9.000,00 (B) R$ 9.270,00 (C) R$ 9.272,70 (D) R$ 9.352,70 (E) R$ 9.378,53 RESOLUÇÃO:

Temos C = 100.000 reais, j = 3% ao mês, t = 3 meses. A questão pediu a “remuneração total”, ou seja, o total de JUROS que foram recebidos nessa aplicação, no regime de juros compostos. Neste regime, sabemos que:

J = M – C

Também sabemos que o montante M é obtido por M = C x (1 + j)^t. Substituindo M por C x (1+j)^t na expressão anterior, temos:

J = C x (1 + j)^t – C

J = 100000 x (1 + 0,03)³ – 100000 J = 100000 x (1,03)³ – 100000

Aqui temos um cálculo “chato” para fazer. Veja que 1,03³ = 1,03 x 1,03 x 1,03. Precisamos fazer essas multiplicações, obtendo 1,092727. Mais adiante nessa aula eu vou mostrar um jeito rápido para você calcular 1,03²

= 1,0609. A partir daí, bastaria multiplicar 1,0609 por 1,03 e, assim, chegar em 1,092727. Continuando o exercício:

J = 100000 x 1,092727 – 100000 J = 109272,70 – 100000

J = 9272,70 reais Resposta: C

GRAVE AS PRINCIPAIS FÓRMULAS DE JUROS COMPOSTOS M = C x (1 + j)^t

J = M – C

Retornemos agora ao fator 1,10⁴ que foi preciso calcular no nosso exemplo. Este fator se originou do cálculo de (1 + j)^t, ou melhor, (1 + 10%)⁴. Chamamos o termo (1 + j)^t de fator de acumulação de capital. Trata-se de um fator que costuma ser fornecido em tabelas para facilitar os seus cálculos. Veja, por exemplo, a tabela a seguir:

Com auxílio desta tabela, podemos obter rapidamente o valor de (1 + 10%)⁴. Basta buscarmos a coluna da taxa 10% (que é última coluna da direita, pois a taxa também é designada pela letra i) e a linha de 4 períodos (que é a quarta linha, pois o prazo também é designado pela letra n). Com isso, encontramos o valor 1,4641:

Note que, com este mesmo procedimento, você consegue encontrar vários outros fatores de acumulação de capital. A título de exercício, tente encontrar o fator que você usaria em uma questão onde a taxa de juros fosse

de 5% ao ano e o prazo de aplicação fosse de 9 anos. Você deve obter o valor 1,551328. Isso significa que, ao investir 100 reais, ao final do período você terá 100x1,551328 = 155,13 reais aproximadamente.

Vale dizer que muitas vezes as bancas preferem, ao invés de fornecer uma tabela completa, apresentar como dados do enunciado os valores de alguns fatores de acumulação de capital. Por exemplo, a banca poderia ter simplesmente dito: considere que 1,551328 é o valor de (1,05)⁹. Veremos isso nos exercícios.

Antes de prosseguir, acompanhe comigo essa questão. Ela é mais extensa, mas ilustra bem o que acabei de falar no último parágrafo:

FCC – SEFAZ/GO – 2018) Há dois anos, Marcelo recebeu R$ 100.000,00 como resultado do fechamento de um negócio e decidiu investir esse dinheiro no mercado financeiro. Após conversar com um consultor, ele aplicou parte do valor em um fundo de ações A e, o restante, em um investimento estruturado B. Marcelo acaba de resgatar o valor completo das duas aplicações, totalizando R$137.800,00. De acordo com o relatório elaborado pelo consultor, no período de 2 anos, o fundo A rendeu o equivalente a 0,8% ao mês, enquanto que o investimento B rendeu o equivalente a 2,2% ao mês, com ambos os rendimentos calculados no regime de juros compostos. O valor, em reais, aplicado por Marcelo, há dois anos, no fundo de ações A foi de

(A) 45.000,00.

(B) 50.000,00.

(C) 55.000,00.

(D) 60.000,00.

(E) 65.000,00.

RESOLUÇÃO:

Sendo CB = B o valor aplicado no investimento estruturado, então o valor aplicado no fundo de ações é de CA

= 100.000 – B, afinal a soma dos valores iniciais é cem mil reais.

O investimento A teve duração de tA = 24 meses e taxa composta jA = 0,8%am, chegando ao montante:

MA = CA x (1 + jA)^tA MA = (100.000 – B) x (1 + 0,8%)²⁴ MA = (100.000 – B) x (1 + 0,8/100)²⁴

MA = (100.000 – B) x (1 + 0,008)²⁴ MA = (100.000 – B) x (1,008)²⁴

Observe que foi dado o valor de 1,008¹², e não de 1,008²⁴. Podemos aplicar aqui uma propriedade das potências:

1,008²⁴ = 1,008^12x2 = (1,008¹²)² Assim:

MA = (100.000 – B) x (1,008¹²)² Foi dito que 1,008¹² = 1,1. Portanto:

MA = (100.000 – B) x (1,1)² MA = (100.000 – B) x 1,21

O investimento B teve duração de tB = 24 meses e taxa composta jB = 2,2%am, chegando ao montante:

MB = CB x (1 + jB)^tB MB = B x (1 + 2,2%)²⁴

MB = B x (1,022)^12x2 MB = B x (1,022¹²)²

MB = B x (1,3)² MB = B x 1,69 Como a soma dos montantes é 137.800, temos:

MA + MB = 137.800

(100.000 – B) x 1,21 + B x 1,69 = 137.800 121.000 – 1,21B + Bx1,69 = 137.800

0,48.B = 16.800 B = 35.000 reais O valor investido no fundo A é igual a:

100.000 – B = 100.000 – 35.000 =

65.000 reais Resposta: E

Infelizmente muitas questões de matemática financeira envolvem cálculos matemáticos complicados. Ao longo das aulas eu pretendo ir passando dicas para que você consiga efetuar esses cálculos com mais rapidez e segurança, ok? Mas aproveito para deixar um alerta aqui: ESQUEÇA A SUA CALCULADORA! Faça sempre os cálculos à mão, pois você precisa praticar bastante de modo a ganhar mais velocidade e confiança.

COMPARAÇÃO ENTRE OS REGIMES SIMPLES E COMPOSTO

Considero bastante interessante compararmos o funcionamento dos dois regimes. Para isto, vamos usar o mesmo exemplo que estamos trabalhando, ou seja: dívida inicial C = 1000 reais, prazo de pagamento t = 4 meses, taxa de juros j = 10% ao mês. Reproduzindo em uma tabela os valores que calculamos ao longo das aulas, temos:

Mês Montante (Juros Simples) Montante (Juros Compostos)

0 1000 1000

1 1000 + 100 1100

2 1000 + 200 1210

3 1000 + 300 1331

4 1400 1464,10

Note nessa tabela os seguintes pontos:

- ao final de 1 período (1 mês), os valores devidos em ambos os regimes são iguais. Ou seja, para t = 1, juros simples e juros compostos geram o mesmo montante.

- ao final do prazo total, veja que juros compostos são mais onerosos, ou seja, levam a um montante superior ao do regime simples. Isto vale desde t = 2, onde tínhamos uma dívida de 1200 no regime simples e 1210 no regime composto. Ou seja, para t > 1, juros compostos são mais onerosos que juros simples.

- grave que para t<1 (prazos fracionários, como por exemplo 0,5 mês), juros simples são mais onerosos que juros compostos.

- você reparou que na coluna de juros simples eu deixei o principal da dívida (1000) separado dos juros (100, 200, 300)? Isto ocorre porque no regime simples os juros são capitalizados (adicionados ao capital) somente no fim do prazo.

- na coluna do regime composto, veja que os juros são capitalizados (somados ao capital) no fim de cada período, e passam a render juros já no período seguinte. Ou seja, aqui temos o fenômeno dos juros sobre juros.

- para prazos relativamente curtos (como t = 2 períodos), veja que a diferença entre juros simples e compostos é bem pequena. É possível até fazer um cálculo aproximado de juros compostos usando o regime simples.

- à medida que o prazo aumenta, a diferença vai ficando cada vez maior. Por exemplo, se tivéssemos t = 20 meses, a dívida no regime simples chegaria a R$3.000, e no regime composto chegaria a R$6.727 (mais que o dobro).

Veja como essas questões podem ser resolvidas rapidamente com os conceitos acima:

CESPE – TCE/PE – 2017) Considere que dois capitais, cada um de R$ 10.000, tenham sido aplicados, à taxa de juros de 44% ao mês — 30 dias —, por um período de 15 dias, sendo um a juros simples e outro a juros compostos. Nessa situação, o montante auferido com a capitalização no regime de juros compostos será superior ao montante auferido com a capitalização no regime de juros simples.

RESOLUÇÃO:

Veja que a taxa de juros é mensal, e o prazo da aplicação foi de t = 0,5 mês (quinze dias). Isto é, t < 1.

Quando o prazo é fracionário (inferior a 1 unidade temporal), juros simples rendem MAIS que juros compostos.

Logo, o montante auferido com a capitalização no regime de juros compostos será INFERIOR ao montante auferido no regime simples. Item ERRADO. Perceba que não era necessário realizar NENHUM cálculo, embora o examinador, de propósito, tenha fornecido uma série de dados para te confundir.

Resposta: E

CESPE – SEDUC/AL – 2018) Um capital C foi aplicado, no regime de juros simples, à taxa de juros i% ao mês, por um período de t meses, em que t > 2. Outro capital, de mesmo valor C, foi aplicado, no regime de juros compostos, também à taxa de i% ao mês, pelo mesmo período t. Nesse caso, o montante auferido no regime de juros compostos é maior que o montante auferido no regime de juros simples.

RESOLUÇÃO:

Como o prazo é maior do que 1 (na verdade ele é até maior do que 2 períodos), podemos garantir que juros compostos vão gerar um montante MAIOR do que juros simples. Item CERTO.

Resposta: C

Para darmos prosseguimento em nossa comparação entre juros simples e juros compostos, analise por um momento o gráfico abaixo. Nele eu reproduzi os dois investimentos que estamos trabalhando (1000 reais, taxa de 10%, juros simples ou compostos) por um prazo de 30 meses. Observe como o montante evolui em cada regime:

Com base na figura acima, repare que:

- o montante no regime de juros simples cresce de forma linear (isto é, seguindo uma linha reta). Isto ocorre porque, a cada mês, você recebe o mesmo valor a título de juros. Trata-se de um crescimento constante ao longo do tempo, pois o cálculo dos juros é feito somente com base no capital inicial, que não muda nunca;

- o montante no regime de juros compostos cresce de forma exponencial. Repare que se trata de um crescimento que vai acelerando com o tempo. Ele começa de forma similar ao regime de juros simples, mas com o tempo vai crescendo cada vez mais rápido e se afastando da curva dos juros simples. O crescimento vai acelerando porque temos o efeito dos “juros sobre juros”, isto é, a cada mês você vai recebendo mais e mais juros, pois o cálculo é feito com base no valor atualizado no mês anterior, e não somente no capital inicial;

A título de curiosidade, após 30 meses o montante no regime composto é mais de 4 vezes superior ao do regime simples (R$17.449,40 contra R$4.000,00)! Ainda como curiosidade, taxas da ordem de 10% ao mês são comuns nos cartões de crédito. Como a cobrança de juros é no regime composto, você consegue visualizar bem com este exemplo o quanto é importante pagar em dia a sua fatura! Uma dívida de R$1.000 pode chegar a R$17.449,40 em dois anos e meio...

Resumindo essa comparação entre juros simples e compostos, temos o seguinte:

0 5000 10000 15000 20000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

MONT ANTE (e m reai s)

MESES

Juros Simples Juros Compostos

Juros simples Juros compostos Mais onerosos se t < 1 Mais onerosos se t > 1

Mesmo valor se t = 1

Juros capitalizados no final do prazo Juros capitalizados periodicamente (“juros sobre juros”)

Crescimento linear (reta) Crescimento exponencial Valores similares para prazos e taxas curtos

Você deve estar se perguntando: por que eu preciso saber fazer essas comparações? A resposta é simples:

porque as bancas costumam cobrar questões teóricas sobre matemática financeira, e não apenas questões de cálculo. E nas questões teóricas, assuntos como o desta comparação são bastante explorados! Resolva comigo este próximo exercício, que é muito ilustrativo (ele vem de um concurso bancário, que são certames que cobram matemática financeira em um bom nível):

IDECAN – BANESTES – 2012) Em relação aos conceitos de juros simples e juros compostos, assinale a alternativa INCORRETA.

a) A formação do montante em juros simples é linear.

b) A formação do montante em juros compostos é exponencial.

c) Para um mesmo capital, uma mesma taxa e um mesmo prazo, o montante obtido a juros compostos sempre será maior que o montante obtido a juros simples.

d) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros simples de i%, apresentará o mesmo valor de juros para cada um dos 10 meses.

e) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros compostos de i%, apresentará valor diferente para os juros de cada um dos 10 meses.

RESOLUÇÃO:

Vejamos cada afirmação separadamente:

a) A formação do montante em juros simples é linear.

CORRETO. Dizer que a formação do montante é linear significa dizer que o montante cresce de forma constante, como uma reta crescente. É isso que acontece no regime de juros simples, como vimos em nosso gráfico.

b) A formação do montante em juros compostos é exponencial.

CORRETO. No regime composto o montante é gerado pela multiplicação do capital inicial C por um fator

c) Para um mesmo capital, uma mesma taxa e um mesmo prazo, o montante obtido a juros compostos sempre será maior que o montante obtido a juros simples.

ERRADO. Para t < 1, o montante gerado por juros simples é maior, e para t = 1 os montantes são iguais nos dois regimes.

d) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros simples de i%, apresentará o mesmo valor de juros para cada um dos 10 meses.

CORRETO, no regime de juros simples os juros de cada período são calculados sobre o capital inicial, de modo que em cada período esses juros são iguais à multiplicação entre o capital C e a taxa de juros i%.

e) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros compostos de i%, apresentará valor diferente para os juros de cada um dos 10 meses.

CORRETO, pois no regime composto os juros de cada período são calculados sobre o montante do período anterior, que vai crescendo com o tempo, gerando juros cada vez maiores nos períodos seguintes. Este é o efeito dos “juros sobre juros”.

Resposta: C

JUROS COMPOSTOS – CÁLCULO DO PRAZO

Como o tempo (“t”) está no expoente da fórmula de juros compostos, nas questões em que é preciso calcular o prazo você deverá utilizar logaritmos. Fique tranquilo: ainda que você não se lembre de NADA sobre logaritmos, o conhecimento de algumas propriedades simples são suficientes para enfrentarmos as questões.

A propriedade mais importante a ser lembrada é que, sendo dois números A e B, então:

log A^B = B x log A

(o logaritmo de A elevado ao expoente B é igual a multiplicação de B pelo logaritmo de A)

Por exemplo,

log3² = 2 x log3

Esta propriedade é útil quando nosso objetivo é encontrar o valor do prazo “t”, que se encontra no expoente da fórmula M=  +C (1 j)^t. Imagine que vamos investir C = 2000 reais a uma taxa composta j = 2% ao mês, e pretendemos obter o triplo do valor inicial, ou seja, M = 6000 reais. Veja como obter o prazo deste investimento:

M = C x (1 + j)^t 6000 = 2000 x (1 + 0,02)^t

6000 / 2000 = 1,02^t 3 = 1,02^t

Uma noção intuitiva: se 3 é igual a 1,02^t, então o logaritmo de 3 também deve ser igual ao logaritmo de 1,02^t, concorda? Aplicando o logaritmo aos dois lados dessa igualdade, temos:

log 3 = log 1,02^t

O enunciado normalmente fornecerá o valor de alguns logaritmos. Digamos que seja informado que log 3 = 0,477, e que log 1,02 = 0,0086. Antes de utilizar esses valores, devemos lembrar que log A^B = B x log A, ou seja, podemos “descer” o expoente t: log 1,02^t = t x log 1,02. Continuando o cálculo anterior:

log 3 = t x log 1,02 0,477 = t x 0,0086 t = 0,477 / 0,0086 t = 55,46 meses

Portanto, é preciso investir os 2000 reais por mais de 55 meses para obter o valor pretendido.

Uma outra propriedade bastante útil dos logaritmos é a seguinte:

log (𝐴

𝐵) = 𝑙𝑜𝑔𝐴 − 𝑙𝑜𝑔𝐵

Isto é, o logaritmo de uma divisão entre A e B é igual à subtração dos logaritmos de cada número. Também é importante ter em mente que “logA” significa “logaritmo do número A na base 10”. Assim, o log10 seria o logaritmo do número 10 na base 10, cujo resultado é igual a 1.

Vou usar essas propriedades nas questões a seguir:

CESPE – BNB – 2018) No regime de juros compostos com capitalização mensal à taxa de juros de 1% ao mês, a quantidade de meses que o capital de R$100.000 deverá ficar investido para produzir o montante de R$120.000 é expressa por _log(1,01)^log(2,1).

RESOLUÇÃO:

Temos a taxa j = 1%am, capital C = 100.000 e montante M = 120.000. Na fórmula de juros compostos:

M = C x (1+j)^t 120000 = 100000 x (1+1%)^t

12 = 10 x (1,01)^t 1,2 = (1,01)^t

Podemos aplicar o logaritmo dos dois lados:

log1,2 = log (1,01)^t log1,2 = t . log 1,01

t = ^{𝑙𝑜𝑔1,01}_{𝑙𝑜𝑔1,2} Item ERRADO.

Resposta: E

FCC – Banco do Brasil – 2011) Saulo aplicou R$ 45000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano.

Seu objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava R$

135000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa?

Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48) (A) 15.

(B) 12.

(C) 10.

(D) 9.

(E) 6.

RESOLUÇÃO:

Veja que o capital de Saulo cresce devido ao investimento, e o preço da casa cresce devido à valorização. No caso do capital, seu valor inicial é C = 45000, a taxa de juros é j = 20% ao ano, regime de juros compostos (veja que o enunciado nos mandou usar log3, o que é inviável no regime simples). Após um tempo “t”, o montante é:

M = 45000 x (1 + 0,20)^t

A casa tinha valor inicial C = 135000 reais e valorizava à taxa j = 8% ao ano. Após um tempo “t”, o seu valor é:

M = 135000 x (1 + 0,08)^t Para que estes dois montantes se igualem, é preciso que:

45000 x (1 + 0,20)^t = 135000 x (1 + 0,08)^t 1,2^t = 3 x 1,08^t

(1,2 / 1,08)^t = 3 Agora devemos lançar mão dos conhecimentos de logaritmo:

log(120 / 108)^t = log3 t x log(10 / 9) = 0,48

Lembrando que log(A/B) = logA – logB, podemos dizer que log(10/9) = log(10) – log(9). Assim:

t x [log10 – log9] = 0,48 Lembrando que log10 = 1, temos:

t x [ 1 – log3²] = 0,48 Utilizando a propriedade log3² = 2 x log3:

t x [1 – 2 x log3] = 0,48 t x [1 – 2 x 0,48] = 0,48

t = 12 anos Resposta: B

CESPE – SEDUC/AL – 2018 – adaptada) Com relação a matemática financeira, cada um dos itens a seguir apresenta uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada.

() Um capital C foi aplicado à taxa de juros compostos de ₃^𝑖 % ao quadrimestre. Nessa situação, o período de tempo dessa aplicação para que o montante seja igual a 2C é expresso por 𝑙𝑜𝑔₁₀( 1 + ^𝑖

300) RESOLUÇÃO:

Temos o capital inicial C e queremos chegar ao montante final M = 2C. A nossa taxa de juros é j = ₃^𝑖 % ao quadrimestre. Substituindo tudo isso na fórmula de juros compostos:

M = C x (1 + i)^t

2C = C x (1 + 𝑖 3)^t

2 = (1 + 𝑖 3)^t Podemos aplicar o logaritmo dos dois lados, ficando:

𝑙𝑜𝑔₁₀ 2 = 𝑙𝑜𝑔₁₀ (1 + 𝑖 3)

t

𝑙𝑜𝑔₁₀ 2 = t × 𝑙𝑜𝑔₁₀ (1 + 𝑖 3)

t = 𝑙𝑜𝑔₁₀ 2 𝑙𝑜𝑔₁₀ (1 + 𝑖

3)

Veja que temos a divisão entre dois logaritmos de mesma base (10). Aqui vale adicionar ao seu conhecimento mais uma propriedade dos logaritmos:

𝑙𝑜𝑔_𝑏 x

𝑙𝑜𝑔_𝑏 a

= 𝑙𝑜𝑔

x

Isto é, podemos dizer que:

𝑙𝑜𝑔₁₀ 2 𝑙𝑜𝑔₁₀ (1 + 𝑖

3)

= 𝑙𝑜𝑔

(1+ 𝑖 3) 2 Portanto:

t = 𝑙𝑜𝑔

(1+ 𝑖 3) 2 Item ERRADO.

Resposta: E

TAXAS NOMINAIS, EFETIVAS, PROPORCIONAIS, EQUIVALENTES

Para aplicar corretamente uma taxa de juros compostos, é importante saber:

- a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida. Isto é, não adianta saber apenas que a taxa de juros é de “10%”. É preciso saber se essa taxa é mensal, bimestral, anual etc.

- de quanto em quanto tempo os juros devem ser calculados e seu valor incorporado no total devido. Este é o período de capitalização. Por exemplo, se tivermos juros com capitalização semestral, isso quer dizer que a cada semestre os juros devem ser calculados, e o valor calculado deve ser acrescido à dívida.

Em regra, a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida é a mesma do período de capitalização.

Ex.: 10% ao mês com capitalização mensal (isto é, calculados a cada mês), 12% ao ano com capitalização anual etc.

Quando isso acontece, temos uma taxa de juros efetiva, isto é, uma taxa de juros que efetivamente corresponde à realidade da operação. Nestes casos normalmente omite-se a informação sobre o período de capitalização, dizendo-se apenas “10% ao mês” ou “12% ao ano”.

Porém podemos ter uma taxa de juros de 10% ao ano com capitalização semestral. Neste caso, a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida (ao ano) é diferente do período de capitalização (a cada semestre).

Assim, essa é chamada taxa de juros de nominal, pois ela precisará ser “adaptada” para então ser utilizada nos cálculos.

Quando temos uma taxa de juros nominal, é preciso obter a taxa efetiva para só então efetuar os cálculos devidos. Isto é muito simples, pois basta uma simples divisão, de modo a levar a taxa de juros para a mesma unidade de tempo da capitalização. Veja alguns exemplos:

- Taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral: como a taxa é anual, devemos dividi-la por 2 (pois 1 ano possui 2 semestres) para chegar à taxa efetiva de 5% ao semestre.

- Taxa nominal de 6% ao semestre com capitalização mensal: basta dividir a taxa por 6 (afinal temos 6 meses em 1 semestre) para obter a taxa efetiva de 1% ao mês.

Resumidamente, temos até aqui os seguintes conceitos:

a) Taxa de juros efetiva: é aquela onde o período de capitalização é igual da unidade temporal da taxa (10%

ao ano, com capitalização anual).

b) Taxa de juros nominal: é aquela onde o período de capitalização é diferente da unidade temporal da taxa (10% ao ano, com capitalização bimestral).

Vamos relembrar ainda dois conceitos vistos na aula anterior, que são importantíssimos na resolução dos exercícios, e que geralmente são cobrados juntos dos que acabamos de ver: as taxas de juros equivalentes e as taxas proporcionais.

Dizemos que duas taxas de juros são equivalentes quando são capazes de levar o mesmo capital inicial C ao montante final M, após o mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, sabemos que a taxa de 21% ao ano leva o capital C ao montante final 1,21C após o período de 1 ano. Existe uma taxa de juros semestral que é capaz de levar o mesmo capital inicial C ao montante final 1,21C após transcorrido o mesmo período (1 ano, ou 2 semestres).

Esta é a taxa semestral que é equivalente à taxa anual de 21%, motivo pelo qual vamos chamá-la de jeq. Podemos obtê-la substituindo t = 2 semestres e M = 1,21C na fórmula de juros compostos:

M = C x (1 + j)^t 1,21C = C x (1 + jeq)²

1,21 = (1 + jeq)² Tirando a raiz quadrada dos dois lados:

1,1 = 1 + jeq jeq = 1,1 – 1

jeq = 0,1 jeq = 10% ao semestre

Portanto, uma taxa de juros de 10% ao semestre é equivalente a uma taxa de juros anual de 21% ao ano, pois ambas levam o mesmo capital inicial C ao mesmo montante final M após o mesmo período transcorrido.

Tendo uma taxa de juros compostos “j”, é possível obter uma equivalente “jeq” através da fórmula:

(1 + j)^t = (1 + jeq)^teq

Imagine que queremos descobrir a taxa semestral que equivale a 21% ao ano. Para utilizar esta fórmula, o primeiro passo é substituirmos o valor da taxa que temos (j), que é 21% ao ano:

(1 + 21%)^t = (1 + jeq)^teq

O próximo passo é substituir os expoentes t e teq por valores correspondentes. Para isso, note que o lado esquerdo da igualdade está na unidade ANO, e o lado direito da igualdade está na unidade SEMESTRE (pois queremos achar a taxa equivalente semestral). Assim, podemos ver a correspondência entre t = 1 ano e teq = 2 semestres com facilidade, certo? Substituindo esses expoentes:

(1 + 21%)¹ = (1 + jeq)² 1,21 = (1 + jeq)²

1,1² = (1 + jeq)² Tirando a raiz quadrada dos dois lados:

1,1 = 1 + jeq

jeq = 0,1 = 10% ao semestre.

Dizemos ainda que duas taxas de juros são proporcionais quando guardam a mesma proporção em relação ao prazo. Por exemplo, 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre, e também é proporcional a 1% ao mês. Para obter taxas proporcionais com segurança, basta efetuar uma regra de três simples. Vamos obter a taxa de juros bimestral que é proporcional à taxa de 12% ao ano:

12% ao ano --- 1 ano Taxa bimestral --- 2 meses

Substituindo 1 ano por 12 meses, para deixar os valores da coluna da direita na mesma unidade temporal, temos:

12% ao ano --- 12 meses Taxa bimestral --- 2 meses Efetuando a multiplicação cruzada, temos:

12% x 2 = Taxa bimestral x 12 Taxa bimestral = 2% ao bimestre

ATENÇÃO:

Quando trabalhamos com juros simples, taxas de juros proporcionais são também taxas de juros equivalentes. Entretanto, isto não é verdade no regime de juros compostos, ou seja, taxas proporcionais não necessariamente são também equivalentes.

Antes de praticarmos um pouco, guarde o seguinte esquema:

Veja a seguir alguns exercícios sobre taxas nominais, efetivas, proporcionais e equivalentes:

FCC – FUNAPE – 2017) Um empréstimo foi contratado com uma taxa nominal de juros de 6% ao trimestre e com capitalização mensal. A taxa efetiva desse empréstimo é igual a

CONVERSÃO entre taxas nominais e

efetivas

De taxa nominal p/

efetiva (e vice-versa)

Multiplicação ou divisão

(proporcionalidade)

De taxa efetiva p/

outra taxa efetiva

Fórmula de taxas

equivalentes

(A) 6,2302%.

(B) 6,3014%.

(C) 6,1385%.

(D) 6,2463%.

(E) 6,1208%.

RESOLUÇÃO:

Temos taxa nominal de 6% ao trimestre com capitalização mensal, o que corresponde à taxa efetiva de 6% / 3 = 2% ao mês, afinal temos três meses em um trimestre.

Agora temos uma taxa efetiva (mensal) e queremos obter outra taxa efetiva (trimestral). Fazemos isso pelo método da equivalência:

(1 + j)^t = (1 + jeq)^teq (1 + 0,02)^t = (1 + jeq)^teq

Nesta fórmula, temos ao lado esquerdo informações AO MÊS, e do lado direito temos informações AO TRIMESTRE. Lembrando que teq = 1 trimestre corresponde a t = 3 meses:

(1 + 0,02)³ = (1 + jeq)¹ (1,02)³ = 1 + jeq

1,0612 = 1 + jeq

1,0612 – 1 = jeq

0,0612 = jeq

6,12% ao trimestre = jeq

Resposta: E

CESPE – CAGE/RS – 2018) Um indivíduo investiu a quantia de R$ 1.000 em determinada aplicação, com taxa nominal anual de juros de 40%, pelo período de 6 meses, com capitalização trimestral. Nesse caso, ao final do período de capitalização, o montante será de

A R$ 1.200.

B R$ 1.210.

C R$ 1.331.

D R$ 1.400.

E R$ 1.100.

RESOLUÇÃO:

Temos a taxa de 40%aa com capitalização trimestral. Esta é claramente uma taxa nominal, o enunciado nem precisava ter explicitado isso. Podemos obter a taxa efetiva correspondente lembrando que um ano é composto por 4 trimestres, ou seja:

taxa efetiva = 40%/4 = 10% ao trimestre Em 6 meses, ou melhor, t = 2 trimestres, o montante será:

M = C x (1+j)^t M = 1.000 x (1+0,10)²

M = 1.000 x 1,21 M = 1.210 reais Resposta: A

FGV – ICMS/RO – 2018) A taxa efetiva trimestral, que é equivalente a uma taxa nominal de 120% ao ano, capitalizados mensalmente, é igual a

(A) 21,78%.

(B) 30,00%.

(C) 33,10%.

(D) 46,41%.

(E) 50,00%.

RESOLUÇÃO:

A taxa nominal de 120%aa, capitalizada mensalmente, corresponde à taxa efetiva de 120%/12 = 10% ao mês.

Para obtermos a taxa efetiva trimestral, devemos realizar o cálculo de taxas equivalentes, obtendo a taxa trimestral que equivale a 10%am. Fazemos assim:

(1 + j)^t = (1 + jeq)^teq (1 + 10%)^t = (1 + jeq)^teq

Do lado esquerdo da igualdade as informações estão na unidade MÊS e, do lado direito, na unidade TRIMESTRE.

Sabemos que teq = 1 trimestre corresponde a t = 3 meses. Fazendo essa substituição:

(1 + 10%)³ = (1 + jeq)¹

1,10³ = 1 + jeq

1,331 = 1 + jeq

1,331 – 1 = jeq

0,331 = jeq

33,1% ao trimestre = jeq

Resposta: C

CESPE – CAGE/RS – 2018) Determinada empresa tem uma dívida de R$ 1.000.000 que vence daqui a seis meses.

A taxa de juros é de 21% ao ano. No orçamento da empresa, o contador reservou uma quantia para pagar os juros dessa dívida com base na taxa semestral composta equivalente à citada. O contrato, entretanto, explicita que serão cobrados juros à taxa proporcional. Nessa situação, o valor reservado pelo contador para o pagamento dos juros da dívida foi

R$ 5.000 menor que o valor correto.

R$ 5.000 maior que o valor correto.

R$ 24.100 menor que o valor correto.

R$ 24.100 maior que o valor correto.

exatamente igual ao valor correto.

RESOLUÇÃO:

Temos uma taxa efetiva (21% ao ano) e queremos usar outra taxa efetiva (semestral). Fazemos essa transformação pela fórmula de taxas equivalentes:

(1 + j)^t = (1 + jeq)^teq (1 + 0,21)^t = (1 + jeq)^teq

À esquerda temos informações AO ANO, e à direita temos informações AO SEMESTRE. Sabemos que t = 1 ano corresponde a teq = 2 semestres. Logo,

(1 + 0,21)¹ = (1 + jeq)² 1,21 = (1 + jeq)²

1,1 = 1+jeq jeq = 0,1 jeq = 10% ao semestre

Logo, o contador reservou 1.000.000 x 10% = 100.000 reais.

O correto, segundo o contrato, seria utilizar taxa semestral que é proporcional a 21% ao ano, ou seja, usar 21%/2

= 10,5% ao semestre. Neste caso, o contador deveria ter reservado:

1.000.000 x 10,5% = 105.000 reais Logo, o contador reservou 5.000 a MENOS do que deveria.

Resposta: A

CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIAL

Em alguns cálculos de juros compostos, podemos ter um prazo de aplicação não-inteiro, isto é, com uma parte fracionária. Exemplificando, imagine que pretendemos aplicar 1000 reais à taxa de juros compostos j = 3%

ao mês, pelo período de 5,2 meses. Veja que o tempo de aplicação possui uma parte inteira (5 meses) e uma parte fracionária (0,2 meses).

Nesses casos, existem duas formas básicas de se calcular o montante final: a convenção linear e a convenção exponencial. Vejamos cada uma delas:

- convenção exponencial: neste caso, basta utilizar diretamente a fórmula de juros compostos, isto é:

5,2

(1 )

1000 (1 0,03) M C j t

M

=  +

=  +

Observe que elevar 1,03 à potência 5,2 não é trivial. Você não conseguirá efetuar essa conta na prova sem o auxílio de uma calculadora ou uma tabela. Por esses e outros motivos, geralmente as provas de concurso solicitam o cálculo através da convenção linear, que vemos a seguir.

- convenção linear: neste caso, o cálculo é dividido em 2 etapas:

CONVENÇÃO LINEAR DE JUROS COMPOSTOS

1. Calcular, com a fórmula de juros compostos, o montante produzido após a parte inteira do prazo de aplicação.

2. Considerando o montante calculado no passo 1 como sendo o capital inicial C, calcular, com a fórmula de juros simples, o montante final gerado pela parte fracionária do prazo.

Em nosso exemplo, devemos usar a fórmula de juros compostos para obter o montante após t = 5 meses (parte inteira):

5

(1 )

1000 (1 0,03) 1159,27 M C j t

M

=  +

=  + =

Aplicar a fórmula de juros simples pelo prazo fracionário (t = 0,2 meses), utilizando o montante acima como sendo o capital inicial:

(1 )

1159,27 (1 0,03 0,2) 1166,22

M C j t

M

=  + 

=  +  =

Obs.: Se a questão for de juros compostos e não mencionar a convenção linear, usar a convenção exponencial. O que falamos aqui não se aplica às questões de juros simples, onde basta aplicar a fórmula

=  + (1 )

M C j t considerando t = 5,2 (isto é, a parte inteira e a fracionária).

Tente resolver este exercício a seguir:

ESAF – RECEITA FEDERAL – 2006) Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de quinze meses usando a convenção linear.

a) R$ 150.108,00 b) R$ 151.253,00 c) R$ 151.772,00

d) R$ 152.223,00 e) R$ 152.510,00 RESOLUÇÃO:

Temos um capital C = 100.000 reais aplicado à taxa de juros compostos j = 18% ao semestre pelo prazo t = 15 meses. Como 1 semestre é composto por 6 meses, basta dividirmos o prazo mensal por 6 para obtermos o prazo semestral:

t = 15 / 6 = 2,5 semestres

Temos um prazo fracionário. Para aplicar a convenção linear, devemos inicialmente aplicar o capital a juros compostos pela parte inteira do prazo, ou seja, t = 2 semestres:

M = C x (1 + j)^t M = 100.000 x (1 + 18%)²

M = 100.000 x 1,18² M = 100.000 x 1,3924

M = 139.240 reais

Agora devemos aplicar o valor obtido (139.240 reais) pelo prazo restante (t = 0,5 semestre), porém utilizando a fórmula de juros simples. Com isso obtemos o valor final:

M = C x (1 + j x t) M = 139.240 x (1 + 18% x 0,5)

M = 139.240 x 1,09 M = 151771,60 reais Resposta: C

TAXAS DE INFLAÇÃO. TAXA REAL E APARENTE.

Quando aplicamos certa quantia em um investimento, ela renderá juros ao longo do tempo. Isto é, o nosso capital irá crescer. Entretanto, uma parte deste crescimento é “corroída” pela inflação. Isto é, apesar do nosso investimento ter certo rendimento nominal, ou aparente, é preciso tirar deste valor o que foi corroído pela inflação, restando o rendimento real.

A fórmula abaixo relaciona o rendimento nominal, ou aparente (ou taxa de juros nominal/aparente) jn com a taxa de juros real jreal, de acordo com a taxa de inflação “i”:

(1 )

(1 )

(1 )

n

real

j j

i

+ = + +

Exemplificando, se a inflação é de 5% ao ano, e o nosso rendimento foi remunerado à taxa de juros jn = 8%

ao ano, então o rendimento real do investimento após um ano foi de:

(1 8%)

(1 )

(1 5%) 1, 08

(1 )

1, 05 1, 028 1

0, 028 2,8%

real

real

real real

j j j j

+ = + +

= +

= +

= =

Portanto, a taxa de juros real do investimento foi de apenas 2,8%, pois boa parte do rendimento nominal (8%) serviu apenas para repor a inflação do período (5%).

Observe que o valor 2,8% é aproximadamente a subtração 8% - 5%. Existe uma fórmula de cálculo aproximado da taxa real, que é:

jreal = jn – i

MUITO CUIDADO: só use essa aproximação se o examinador a citar explicitamente. Caso contrário você pode errar o exercício.

Veja as questões abaixo:

FCC – TST – 2017) Um investidor aplicou R$ 10.000,00 em títulos que remuneram à taxa de juros compostos de 10% ao ano e o prazo para resgate da aplicação foi de 2 anos. Sabendo-se que a inflação no prazo total da aplicação foi 15%, a taxa real de remuneração obtida pelo investidor no prazo total da aplicação foi

(A) 5,00%.

(B) 6,00%.

(C) 5,22%.

(D) 5,00% (negativo).

(E) 4,55%.

RESOLUÇÃO:

Temos inflação de i = 15% no período completo. Neste mesmo período de 2 anos, tivemos juros de 10% ao ano, o que equivale a (1,10)² – 1 = 0,21 = 21% no período. Portanto, a taxa real foi:

(1 + jreal) = (1 + jn) / (1 + i) (1 + jreal) = 1,21 / 1,15

(1 + jreal) = 1,0522 jreal = 0,0522 = 5,22%

Resposta: C

CESPE – CAGE/RS – 2018) Ao verificar que o volume de vendas, em reais, aumentou 8,02%, o gerente de uma fábrica quis publicar no relatório que a produção havia aumentado 8,02%, o que refletiria melhora na produtividade das instalações. Porém, ao ser informado de que os preços dos produtos (inflação), no mesmo período, aumentaram 10%, o gerente percebeu que, na realidade, no período, a produção

A aumentou 7,218%.

B caiu 9,82%.

C caiu 1,80%.

D aumentou 0,982%.

E caiu 1,98%.

RESOLUÇÃO:

Temos um aumento aparente de jn = 8,02%, e inflação de i = 10% no mesmo período. A taxa real é dada por:

1 + jreal = (1 + jn) / (1 + i) 1 + jreal = (1 + 0,0802) / (1 + 0,10)

1 + jreal = 1,0802 / 1,1 1 + jreal = 0,982 jreal = 0,982 – 1 jreal = -0,018 = -1,8%

Portanto, houve uma queda real de 1,8%.

Resposta: A

TAXAS BRUTA E LÍQUIDA

Imagine que você invista R$1.000 reais em uma aplicação bancária que, após um ano, paga juros de 20%. Em um primeiro momento, você acredita que receberá, ao final daquele prazo, o valor de 1.200 reais, afinal:

M = 1.000 x (1 + 20%) = 1.200 reais

Só depois você descobre que, sobre o seu rendimento, incide imposto de renda à alíquota de 22,5%. O que significa isso? Veja que tivemos um rendimento de 200 reais. Assim, o imposto de renda é de:

Imposto de renda = 22,5% x 200 = 45 reais

Portanto, ao invés de receber 1.200 reais, você vai receber apenas 1.155 reais, pois 45 reais serão retidos pelo banco para entrega aos cofres públicos, a título de imposto de renda.

Ou seja, na prática você investiu 1.000 reais e recebeu 1.155 reais após um ano, ou seja, teve um rendimento de 155 reais. Percentualmente, o seu rendimento em relação ao valor investido inicialmente foi de 155 / 1.000 = 15,5% ao ano, e não de 20% ao ano como prometido pelo banco.

Neste exemplo acima, podemos dizer que a taxa de 20% é chamada de taxa BRUTA de juros. Já a taxa de 15,5% é chamada de taxa LÍQUIDA, pois ela é a taxa que você efetivamente percebe após levar em consideração os encargos tributários (neste caso, o imposto de renda) e outros encargos financeiros (por exemplo, o banco poderia cobrar uma taxa de administração).

Portanto, grave essa diferença: a taxa líquida é aquela obtida a partir da taxa bruta, após a dedução dos encargos aos quais o capital é submetido.

CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA

Você deve ter percebido que, no regime de juros simples, os juros só são incorporados ao capital no final da aplicação, produzindo o montante final. Já no regime de juros compostos, os juros são capitalizados ao final de cada período (dia, mês, ano etc.) da aplicação, passando a render juros já no período seguinte.

No regime de capitalização contínua, os juros são capitalizados (integrados ao capital) de forma instantânea, continuamente. Dessa forma, já no instante seguinte eles passarão a render novos juros, havendo assim uma acumulação contínua de juros. A fórmula utilizada para o cálculo de capitalização contínua é:

M =  C e

Nessa fórmula, M é o montante final, C é o capital inicial, j é a taxa de juros e t é o tempo de aplicação. A letra

“e” representa o número de Euler, que é aproximadamente igual a 2,72. Geralmente as questões de capitalização contínua cobram a mera aplicação da fórmula, fornecendo todas as variáveis, exceto uma, e pedindo o valor desta última.

Para efetuar os cálculos, você precisará se lembrar de algumas propriedades dos logaritmos e das operações com potências:

1.

e

= e

 e

2.

ln X

e = X

3.

^e

⁼ ( ) ( ) ^e

^{= e}

elevado a um número e em seguida ao outro.

Comece a praticar os conceitos de capitalização contínua com essas questões:

FCC – TCE/PR – 2011) Um capital no valor de R$ 25.000,00 foi aplicado, durante um ano, à taxa semestral de 6%

com capitalização contínua. Utilizando a informação de que 6% é igual ao logaritmo neperiano de 1,062, tem-se que o valor do montante, no final do período, foi igual a

(A) R$ 28.090,00.

(B) R$ 28.143,00.

(C) R$ 28.196,10.

(D) R$ 28.249,20.

(E) R$ 28.302,30.

RESOLUÇÃO:

A fórmula de capitalização contínua é:

M =  C e

Neste exercício, o capital inicial é C = 25000, a taxa de juros é j = 6% ao semestre e o tempo de aplicação é t = 2 semestres (1 ano). Substituindo na fórmula, temos:

25000

M =  e

Observe que 6% x 2 é igual a 6% + 6%. Fazendo essa substituição, podemos usar a propriedade

a

=  a

a

mencionada acima:

6% 6% 6% 6%

25000 25000

M =  e

=  e  e

O exercício disse que 6% = ln 1,062. Ou seja:

ln1,062 ln1,062

25000

M =  e  e

Utilizando a propriedade

e

= X

e

= 1,062

25000 1,062 1,062 M =  

28196,10 M =

Resposta: C

FGV – ICMS/RJ – 2011 – adaptada) A respeito dos conceitos relacionados ao cálculo de montantes sob juros compostos (sendo VF o Valor Futuro, VP o Valor Presente, n o número de períodos e i a taxa de juros), analise as afirmativas a seguir:

I. O Valor Futuro quando os juros são contínuos pode ser determinado por VF = VP x i x n.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que, no regime de juros contínuos (capitalização contínua), M = C x e^jxt. Utilizando as letras definidas pelo enunciado, a fórmula fica:

VF = VP x e^{n x i}

Item ERRADO. Repare que a fórmula VP x i x n é, na verdade, o valor referente aos juros em um regime de capitalização simples (J = C x j x t).

Resposta: E

FCC – ICMS/SP – 2006) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado à taxa semestral i, durante 2 anos, com capitalização contínua, apresentando, no final do período, um montante igual a R$ 200.000,00. Utilizando ln 2=0,69 (ln é o logarítimo neperiano), tem-se que i é igual a

(A) 14,02%

(B) 17,25%

(C) 30%

(D) 34,5%

(E) 69%

RESOLUÇÃO:

Aqui temos o capital inicial C = 50000, a taxa “j” ao semestre, o tempo t = 4 semestres (2 anos) e o montante M = 200000. Através da fórmula de capitalização contínua, temos:

M= C ej t^

=  ⁴

200000 50000 e^j

= ⁴

4 e^j

Se 4 é igual a e^jx4, podemos dizer também que o logaritmo neperiano de 4 é igual ao logaritmo neperiano de e^jx4. Isto é:

= ⁴

ln4 lne^j

= 

2 4

ln2 lne^j

Para o lado esquerdo da igualdade acima, podemos usar a propriedade lnA^b = b x lnA. Isto é, ln2² = 2 x ln2.

Fazemos isso para poder utilizar o valor de ln2 dado pelo enunciado:

 =   2 ln2 j 4 lne

 =   2 0,69 j 4 1

0,345 34,5%

j= = ao semestre

Resposta: D

Um último ponto sobre a capitalização contínua: como, neste regime, o processo de capitalização é mais intenso (afinal, a cada instante estamos calculando juros e incorporando esses juros ao principal), o montante final será MAIOR do que nos demais regimes!

Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui?

Questões da banca FGV comentadas

1.

Certa empresa financeira do mundo real cobra juros compostos de 10% ao mês para os empréstimos pessoais.

Gustavo obteve nessa empresa um empréstimo de 6.000 reais para pagamento, incluindo os juros, três meses depois.

O valor que Gustavo deverá pagar na data do vencimento é:

a) 6.600 reais;

b) 7.200 reais;

c) 7.800 reais;

d) 7.986 reais;

e) 8.016 reais.

RESOLUÇÃO:

Aqui foram dados C = 6000 reais, i = 10% am e t = 3 meses. Aplicando a fórmula, temos:

M = C x (1 + j)^t M = 6000 x (1,1)³ M = 6000 x 1,331 M = 7986 reais Resposta: D

2.

Um capital de R$ 2.662,00 é capitalizado sob regime de juros compostos, ao longo de 4 meses, à taxa efetiva de 10% ao mês, produzindo um montante M.

Para que R$ 2.000,00 produzam o mesmo montante M, ele deve ser capitalizado nessas mesmas condições durante um período igual a:

a) 8 meses;

b) 7 meses;

c) 6 meses;

d) 4 meses;

e) 3 meses.

RESOLUÇÃO:

Temos uma operação de juros compostos em que o capital inicial é C = 2662,00 reais, a taxa é de j = 10% am, e o prazo é de t = 4 meses. O montante final é:

M = C x (1+j)^t M = 2662 x (1+0,1)⁴

M = 2662 x (1,1)⁴

Para que um capital C = 2000 reais produza esse mesmo montante M, a uma taxa de 10% ao mês, temos:

M = 2000 x (1 + 0,1)^t 2662 x (1,1)⁴ = 2000 x (1,1)^t

2662/2000 = (1,1)^t / (1,1)⁴ 1,331 = (1,1)^{t – 4} (1,1)³ = (1,1)^{t – 4}

3 = t – 4 T = 7 meses Resposta: B

3.

A taxa efetiva trimestral, que é equivalente a uma taxa nominal de 120% ao ano, capitalizados mensalmente, é igual a

(A) 21,78%.

(B) 30,00%.

(C) 33,10%.

(D) 46,41%.

(E) 50,00%.

RESOLUÇÃO:

A taxa nominal de 120%aa, capitalizada mensalmente, corresponde à taxa efetiva de 120%/12 = 10% ao mês.

Para obtermos a taxa efetiva trimestral, devemos realizar o cálculo de taxas equivalentes, obtendo a taxa trimestral que equivale a 10%am. Fazemos assim:

(1 + j)^t = (1 + jeq)^teq (1 + 10%)^t = (1 + jeq)^teq

Do lado esquerdo da igualdade as informações estão na unidade MÊS e, do lado direito, na unidade TRIMESTRE.

Sabemos que teq = 1 trimestre corresponde a t = 3 meses. Fazendo essa substituição:

(1 + 10%)³ = (1 + jeq)¹ 1,10³ = 1 + jeq

1,331 = 1 + j

1,331 – 1 = jeq

0,331 = jeq

33,1% ao trimestre = jeq

Resposta: C

4.

Um bem, cujo preço à vista é R$ 500,00, será adquirido por meio de duas prestações mensais consecutivas de R$

450,00, sendo a primeira delas paga um mês após a compra.

Nessa venda, a taxa mensal de juros compostos aplicada é:

a) 20%;

b) 25%;

c) 30%;

d) 40%;

e) 50%.

RESOLUÇÃO:

O preço à vista é 500 reais. Vamos trazer as parcelas para a data de início e igualar os capitais:

500 = ⁴⁵⁰

(1+𝑖)¹ + ⁴⁵⁰

(1+𝑖)²

Multiplicando toda equação por (1 + i)², fica:

500(1 + i)² = 450(1 + i) + 450 500(1 + i)² - 450(1 + i) – 450 = 0 Se fizermos 1 + i = x fica mais fácil resolver essa equação de 2º grau:

500x² - 450x – 450 = 0 Dividindo toda equação por 5, temos:

10x² - 9x – 9 = 0

x =−(−9) ± √(−9)²− 4.10. (−9) 2.10

x =9 ± √81 + 360 20

x =9 ± √441 20

x = (9 + 21)/20 = 30/20 = 1,5 Logo:

1 + i = 1,5 i = 0,5 = 50% ao mês Resposta: E

5.

Nesta questão considere apenas a parte inteira da resposta. As taxas efetivas trimestrais equivalentes a uma taxa nominal de 3% ao trimestre, sob capitalizações mensal e bimestral, são iguais, respectivamente, a

(A) 3% e 3%.

(B) 3% e 2%.

(C) 3% e 1%.

(D) 1% e 2%.

(E) 2% e 2%.

RESOLUÇÃO:

Uma taxa nominal de 3%at com capitalização mensal corresponde à taxa efetiva de 3% / 3 = 1%am. Para obter a taxa trimestral equivalente, temos:

(1 + j)^t = (1 + jeq)^teq Como t = 3 meses corresponde a teq = 1 trimestre:

(1 + 1%)³ = (1 + jeq)¹ 1,01³ = 1 + jeq 1,0303 = 1 + jeq

jeq = 0,0303 = 3,03% ao trimestre (aproximadamente 3%).

Podemos obter a taxa efetiva bimestral que corresponda a uma taxa nominal de 3%at com capitalização bimensal assim:

3% ——— 3 meses j ———— 2 meses Resolvendo a proporção acima, temos j = 2% ao bimestre.

Para obter a taxa trimestral equivalente, temos:

(1 + j)^t = (1 + jeq)^teq Como teq = 1 trimestre corresponde a t = 1,5 bimestre:

(1 + 2%)^1,5 = (1 + jeq)¹ 1,02^1,5 = 1 + jeq 1,02^(1+0,5) = 1 + jeq

1,02¹ x 1,02^0,5 = 1 + jeq

Veja que 1,02^0,5 é a raiz quadrada de 1,02, que é aproximadamente 1,01 (pois 1,01×1,01 = 1,0201). Assim, temos:

1,02 x 1,01 = 1 + jeq 1,0302 = 1 + jeq

jeq = 3,02% ao trimestre (aproximadamente 3%).

Resposta: A

6.

Um empréstimo por dois meses utilizando o regime de juros compostos de 10% ao mês equivale a um empréstimo utilizando o regime de juros simples, pelo mesmo período, de:

a) 9,0% ao mês;

b) 9,5% ao mês;

c) 10,0% ao mês;

d) 10,5% ao mês;

e) 11,0% ao mês.

RESOLUÇÃO:

Vamos supor que o empréstimo seja de 100 reais. Após dois meses, a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês, teremos:

M = 100 x (1 + 0,1)² = 100 x 1,1² = 121 reais

Se fosse no regime simples, esse mesmo empréstimo de 100 reais, em 2 meses, renderia esses 21 reais de juros a uma taxa de juros “i” equivalente a:

J = C x i x t 21 = 100 x i x 2

i = 21/200 i = 0,105 = 10,5%

Veja que nos juros compostos temos um total de 0,1² = 0,21 = 21% de juros. Já os juros simples são menos onerosos:

10,5%.

Resposta: E

7.

Os juros sobre uma dívida são cobrados utilizando a convenção linear. A dívida será paga após um ano e meio, e a taxa de juros compostos anunciada pela instituição financeira é de 20% ao ano.

A porcentagem de juros cobrados em relação ao principal é:

a) 20%;

b) 21%;

c) 30%;

d) 31%;

e) 32%.

RESOLUÇÃO:

Aqui temos um número não-inteiro de períodos: 1,5 períodos. A convenção linear nos diz para aplicar juros compostos durante o número inteiro de períodos (1) e, sobre o montante obtido, aplicar juros simples pelo tempo restante (0,5 período). Como temos apenas 1 período inteiro, não importa o regime de juros usado (ambos chegam ao mesmo resultado).

Ao fim de 1 período, temos:

M = 1000 x (1 + 0,2)¹ M = 1000 x (1,2)

M = 1200 reais

Para a parte fracionária (0,5 período), vamos utilizar a fórmula de juros simples, tendo como capital inicial o montante calculado acima:

Mfinal = 1200 x (1 + 0,2 x 0,5) = 1200 x 1,1 = 1320 reais

Portanto, os juros cobrados serão de 320 reais. Em relação ao principal, equivale a 320/1000 = 32%.

Resposta: E

8.

Uma aplicação de R$ 10.000,00 foi resgatada ao final de um ano gerando um montante de R$ 12.000,00. Nas datas de aplicação e resgate, os números índices de preços - base fixa eram 200 e 210, respectivamente. A taxa real de juros recebida nessa aplicação durante o ano foi, aproximadamente:

(A) 5%;

(B) 7%;

(C) 10%;

(D) 14%;

(E) 20%.

RESOLUÇÃO:

Veja que houve um ganho de 2.000 reais, que corresponde ao ganho percentual de 2.000 / 10.000 = 20%. Este é o ganho aparente, ou taxa aparente.

O índice de inflação aumentou 10 pontos no período (de 200 para 210), o que corresponde a um aumento percentual de 10 / 200 = 5 / 100 = 5%. Esta é a taxa de inflação.

Podemos rapidamente encontrar a taxa real:

(1 + taxa real) = (1 + taxa aparente) / (1 + inflação) 1 + taxa real = (1 + 20%) / (1 + 5%) =

1,20 / 1,05 = 120 / 105 = 24 / 21 = 8 / 7 = 1,143

taxa real = 0,143 taxa real = 14,3%

Resposta: D

9.

Uma aplicação de R$ 10.000,00, após dois meses, resultou em um montante de R$ 14.210,00. Considerando a incidência de imposto sobre o rendimento de 30% e a taxa mensal de inflação de 10%, a taxa de juros real durante o período de aplicação foi:

(A) 7,0%;

(B) 7,5%;

(C) 8,0%;

(D) 8,5%;

(E) 9,0%.

RESOLUÇÃO:

Temos um ganho de R$4.210 reais. Como deve ser pago 30% de imposto, então o ganho líquido é de 70% x 4.210

= 0,70 x 4.210 = 7 x 421 = 2.947 reais. Isso corresponde a um ganho percentual de 2.947 / 10.000 = 0,2947 = 29,47%.

Portanto, esta é a nossa taxa aparente ou nominal (jn). Sendo a inflação de 10% ao mês, ao longo de 2 meses esta inflação é de 21% (basta obter a taxa bimestral equivalente a 10% ao mês).

Assim, podemos obter a taxa real do período lembrando que:

(1 + taxa real) = (1 + taxa aparente) / (1 + inflação) (1 + taxa real) = (1 + 29,47%) / (1 + 21%)

(1 + taxa real) = 1,2947 / 1,21 (1 + taxa real) = 1,07 taxa real = 0,07 = 7%

Resposta: A