Funções exponenciais e logarítmicas

Pré-Cálculo

Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Parte 08

Pré-Cálculo 1

Funções exponenciais e logarítmicas

Pré-Cálculo 2

Observações

Nosso enfoque aqui será mais do pontos de vista operacional do queconceitual.

Uma construção conceitual das funções exponencial e logarítmica requer ferramentas de cálculo diferencial e integral.

Para o leitor interessado em uma abordagem mais conceitual, indicamos as referências a seguir.

Em um muitas situações reais, o crescimento/decrescimento de uma grandeza costuma ser proporcional ao seu valor.

I Juros compostos

I Decaimento de uma substância radioativa

I Crescimento de populações

Esses fenômenos são modelados por meio de uma função exponencial.

Juros compostos

Deposito R$ 500,00 na poupança hoje. O banco paga juros de 0,6% ao mês.

Atualmente o rendimento de nossa poupança é corrigido diariamente pela taxa Selic. Supondo que não ocorrerão novos depósitos e que a taxa permaneça fixa, quanto terei em 10 anos?

Chamando deQn a quantidade de dinheiro que tenho apósnmeses, podemos escrever

Q0 = 500

Q1 = Q0+0.006Q0=1,006Q0

Q2 = Q1+0.006Q1=1,006Q0+0,006 1,006Q0

= (1,006)²Q0

Q3 = Q2+0.006Q2= (1,006)²Q0+0,006(1,006)²Q0 = (1,006)³Q0

. . .

Qn = (1,006)ⁿQ0.

Ou seja, Qn= (1,006)ⁿ500 .

Assim em 10 anos, ou seja, em 120 meses, temos que Q120= (1,006)¹²⁰·500=1025,01 reais.

Pré-Cálculo 5

Datação através do carbono-14

Foi observado que a proporção de carbono-14 nas plantas e animais é a mesma que a da atmosfera, desde que a planta ou animal esteja vivo.

Quando o animal ou a planta morre, o carbono-14 dos seus tecidos começa a decrescer segundo uma razãor.

1) A “meia-vida” do material radioativo é o tempo necessário para que metade do material se dissipe. Se a “meia-vida” do carbono-14 é de 5700 anos, qual é a razão de decrescimento?

2) Se a quantidade de carbono-14 observada num osso de um animal é 70% da quantidade original de carbono-14, que idade tem a ossada?

SejaQna quantidade de carbono-14 que o osso contém no anon. A quantidade de carbono-14 no anoné igual a quantidade de carbono-14 do ano anterior menos a quantidade que o mesmo decresce sob a razãor. Desta forma:

Qn+1 =Qn−rQn =Qn(1−r).

Logo,

Qn = (1−r)ⁿQ0 ,

ondeQ0 é a quantidade de carbono-14 que o animal ou a planta possuía no momento de sua morte.

Pré-Cálculo 6

Datação através do carbono-14

Qn = (1−r)ⁿQ0 ,

ondeQ0é a quantidade de carbono-14 que o animal ou a planta possuía no momento de sua morte.

1) Paran=5700, a quantidade de carbono-14 é a metade da quantidade inicial, ou seja,

Q0

2 = (1−r)⁵⁷⁰⁰Q0⇐⇒r =1− ⁵⁷⁰⁰√ 0.5

2) A situação deste item é descrita por

0,7Q0= (1−r)ⁿQ0 ⇐⇒0,7= (1−r)ⁿ ⇐⇒0,7 = (⁵⁷⁰⁰√ 0.5)ⁿ

... ???

n≈2933anos

A função exponencial

y =f(x) =a^x, coma>0 ex ∈R.

(1) Vale quef(0) =a⁰ =1, para todoa>0. Temos também que f(x) =a^x >0 para todoa>0 ex ∈R.

(2) Vale quef(p+q) =a^p+q =a^p·a^q =f(p)·f(q).

(3) Vale que ^f(x+h)_f(x) = ^a_a^x+hx =a^h não depende dex, apenas deh.

(4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 <

a<1.

Função Exponencial de base a

f : R−→(0,∞), em quea>0 ea6=1 f(x) =a^x

x 1

y

a>1

I fé crescente

I fé injetiva

I fé sobrejetiva

I Comofé injetiva e sobrejetiva, segue quef é bijetiva. Portanto,fé inversível.

x 1

y

0<a<1

I fé decrescente

I fé injetiva

I fé sobrejetiva

I Comofé injetiva e sobrejetiva, segue quef é bijetiva. Portanto,fé inversível.

Pré-Cálculo 9

Cuidado: função exponencial 6= função potência

Cuidado:

função exponencial6=função potência!

Função exponencial: y =constante^x.

Função potência: y =x^constante.

y =x^x não é uma função exponencial e nem uma função potência!

Pré-Cálculo 10

Função exponencial especial: função exponencial natural

y=e^x

H0,1L

1 x

1 y

f : R−→(0,∞) f(x) =e^x

a = e ≈ 2.718282 é a única base para a qual a inclinação da reta tangente ao gráfico dey =e^x em qualquer ponto P(x₀,y₀) é igual a y₀. Por exemplo, a inclinação da reta tangente ao gráfico dey =e^x em(0,1)é igual 1.

Notação: e^x =exp(x)

Aproximações de e por 1 +

Atividade

[03]Resolva, parax ∈R, a equação

2^x2 =

1

2

x

.

Solução: Considerando a funçãof(x) =2^x, que é injetiva,

2^x2 = 1

2 x

⇔2^x2 =2^−x ⇔f x²

=f(−x)⇔x² =−x

⇔x =0∨x =−1.

Pré-Cálculo 13

Atividade

[05]Resolva, parax ∈R, a inequação

1

2

x

>8

Solução: Considerando a funçãof(x) = ¹₂^x

, a inequação se transforma em

f(x)>f(−3).

(Note que ¹₂−3

=2³ =8). Como a base ¹₂ da função exponencialf émenor que 1,f édecrescente, logo

1 2

x

>8⇔f(x)>f(−3)⇔x <−3.

Pré-Cálculo 14

Atividade

[05]Resolva, parax ∈R, a inequação

1

2

x

>8

Outra solução: Considerando a funçãof(x) =2^x, a inequação se transforma em

f(−x)>f(3).

(Note que 2^−x = ¹₂x

e 2³ =8). Como a base 2 da função exponencialf émaior que 1,f écrescente, logo

1 2

x

>8⇔f(−x)>f(3)⇔ −x >3⇔x <−3.

Atividade

[07]Resolva, parax ∈R, a inequação 4^x−3·2^x >4.

Solução: Fazendoy =2^x,

4^x−3·2^x >4⇔y²−3y −4>0⇔y >4∨y <−1.

Assim, a solução da equação é dada pelosx ∈Rtais que 2^x >4∨2^x <−1.

Como não existex ∈Rtal que 2^x <−1 (por quê?),

4^x −3·2^x >4⇔2^x >4∨2^x <−1⇔2^x >2² ⇔x >2.

Função logarítmica na base a

Sejaauma constante tal quea>0 ea6=1 e f: R → (0,+∞)

x 7→ y =f(x) =a^x

I A função f: R → (0,+∞) é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescente se 0<a<1).

I A função f: R → (0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise).

I Logof: (0,+∞)→Rébijetivae, portanto,inversível.

I A função inversa f⁻¹ de f é denominada função logarítmica de base a.

Usaremos a notação

log_a(x) para representar

f⁻¹(x).

I Note então que, se x > 0, entãolog_a(x) é o úniconúmero real tal quea elevado a esse número dá o número realx.

Pré-Cálculo 17

Observações

1)Note que

log_a(a^x) =x, para todo x ∈ R e

a^loga(x) =x, para todo x ∈]0,+∞[.

2)

f⁻¹ : (0,∞)−→R f⁻¹(x) =loga(x) e

loga(x) =y ⇐⇒x =a^y

Pré-Cálculo 18

Gráfico da função logarítmica

f⁻¹ : (0,∞)−→R, coma>0, a6=1 f⁻¹(x) =loga(x)

1 x

1 y

a>1

I f é crescente em(0,∞)

1 x

1 y

0<a<1

I f é decrescente em(0,∞)

É importante saber os gráficos das funções logarítmicas!

Propriedades

Função logarítmica: Sex > 0, entãolog_a(x) é o úniconúmero real tal queaelevado a esse número dá o número real x.

Propriedade:

log_a(1) =0 elog_a(a) =1, para todoa>0 ea6=1.

De fato: log_a(1) é o único número real tal que a elevado a este nú- mero dá 1: a^loga(1) = 1. Comoa⁰ também é igual a 1, segue-se que log_a(1) =0.

De fato: log_a(a) é o único número real tal que a elevado a este nú- mero dáa: a^loga(a) = a. Comoa¹ também é igual aa, segue-se que log_a(a) =1.

Propriedades

Função logarítmica: Se x > 0, então log_a(x) é oúnico número real tal queaelevado a esse número dá o número realx.

Propriedade:

Sep>0 eq >0, entãolog_a(p·q) = log_a(p) + log_a(q).

De fato: log_a(p·q) é o único número real tal que a elevado a este número dáp·q: a^loga(p·q) =p·q. Agora:

a^{loga(p)+loga(q)} =a^loga(p)·a^loga(q) =p·q.

Logo,log_a(p·q) = log_a(p) + log_a(q).

Pré-Cálculo 21

Propriedades

Fica como exercício demonstrar as propriedades a seguir.

Propriedade:

Sep>0 er ∈R, entãolog_a(p^r) =r ·log_a(p).

Propriedade:

Sep>0 eq >0, entãolog_a

p q

= log_a(p)−log_a(q).

Propriedade:

Sex >0,a>0,b>0,a6=1 eb6=1, entãolog_a(x) = ^log_log^b(x)

b(a).

Pré-Cálculo 22

Atividade

[01]Calcule, pela definição, os seguintes logarítmos:

(a) log₄(16)

(b) log₃ ¹₃

(c) log₈₁(3)

(d) log1 2(8)

(e) log_0.01(0.001)

(f) log₂√ 2 (g) log₈(32)

(h) log√3

7(49) (i) log^√₂₇

√3

9 (j) log√1

3

√27

Atividade

[02]Calcule:

(a) 3^log3(2) (b) 4^log2(3) (c) 5^log25(2)

(d) 8^log4(5)

(e) 2^3−log2(5)

(f) 8^1+log2(3)

Atividade

[03]Sea,b >0,a6=1 eb 6=1, prove, a partir das propriedades anteriores, que

log_a(b)·log_b(a) =1.

Pré-Cálculo 25

Atividade

[04]Resolva, parax ∈R, a inequação 2^x >3.

Solução: Considerando a funçãof(x) =2^x, a inequação se transforma em

f(x)>3.

Mas 3=2^log23, logo, 3=f( log₂3). Assim,

2^x >3⇔f(x)>3⇔f(x)>f(log₂3).

Comof é crescente,

2^x >3⇔x >log₂3.

Pré-Cálculo 26

Atividade

[05]Resolva, parax ∈R, a equação 7

√x >2.

Atividade

[06]Resolva, parax ∈R, a equação log₂(3x+1) =4.

Atividade

[07]Resolva, parax ∈R, a equação

log₅(x²−2) = log₅(3x).

Pré-Cálculo 29

Atividade

[08]Resolva, parax ∈R, a equação

log₂(x²+3x) =1+ log₂(x²+1).

Dica: log₂(2) =1.

Pré-Cálculo 30

Atividade

[09]Resolva, parax ∈R, a equação

log₂(x+4) + log₂(x−3) = log₂(18).

Atividade

[10]Resolva, parax ∈R, a equação plog(x) = log √

x .

Atividade

[11]Resolva, parax ∈R, a inequação log1

3(4x −3)>2.

Pré-Cálculo 33

Atividade

[12]Resolva, parax ∈R, a inequação

log₄(2x²+x+1)−log₂(2x −1)61.

Pré-Cálculo 34

Atividade

[13]Resolva, parax ∈R, a inequação log_x(2x+3) =2.

Atividade

[14]Determine o domínio das funções a seguir:

a) f(x) = log₂(1−2x) R.: x <1/2 b) f(x) = log₃(4x −3)² R.: R−3/4 c) f(x) = log₅

x+1 1−x

R.: −1<x <1

d) f(x) = log₁₀(x²+x −12) R.: x <−4 oux >3

A função logarítmica natural

f⁻¹ : (0,∞)−→R f⁻¹(x) = log_e(x) é a inversa da função exponencial natural

f : R−→(0,∞) f(x) =e^x

Notação: É usual escrever ln(x)para representarlog_e(x) Como as funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra, segue que

ln(e^x) = x, x ∈R

e^ln(x) = x, x >0

Pré-Cálculo 37

Isto significa que:

e^ln(

√

2) =√

2 ln(e⁷) =7

e^ln(x) =x ln e^x

=x

Pré-Cálculo 38

Tarefa

Calcule:

a) ln(1) b) ln(e) c) ln ¹_e d) ln(e²)

Habilidade: mudar para base “e”

x^x =e^ln(xx) =e^x·ln(x)

(1+ sen(4x))^cotg(x) = e^ln[^{(1+sen(4x))cotg(x)}]

= ecotg(x)·ln(1+sen(4x))

2^x =e^ln(2x) =e^x·ln(2)

x² =e^ln(x2) =e^2·ln(x) (parax >0)

Atividade

[14]Resolva, parax ∈R,x >0, a inequação x^x >1.

Pré-Cálculo 41

Funções potência, logarítmica e afim

y =C·x^a, comC >0,x >0 ea∈R (função potência) m

ln(y) = ln(C·x^a) m

ln(y) = ln(C) + ln(x^a) m

ln(y) = ln(C) +a·ln(x)

Fazendoey = ln(y)eex = ln(x), vemos que:

y =C·x^a, comC >0,x >0 ea∈R (função potência) m

ye= ln(C) +a·ex (função afim) Em escala logarítmica, funções potência são funções afins!

Pré-Cálculo 42